Εισαγωγή στην ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού στην προσχολική ηλικία

Transcript

1 Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών Εισαγωγή στην ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού στην προσχολική ηλικία Ενότητα 1: Εισαγωγή Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών

2 ένα απλό πρόβλημα Η οικογένεια Γκριν έχει να οδηγήσει 261 μίλια για να φτάσει από το Λονδίνο στο Λιντσ. Αφού οδήγησαν 87 μίλια, σταματούν για φαγητό. Πώς θα υπολογίσετε πόσο έχουν να οδηγήσουν ακόμα; 87x : x87 261: μόλις 60% των δωδεκάχρονων επέλεξε τη σωστή πράξη από Hughes (2000) 2

3 πιθανές αιτίες τα μαθηματικά προκαλούν πολύ δυσάρεστα συναισθήματα στα παιδιά, σε πολλούς ενήλικες (και στις φοιτήτριες των παιδαγωγικών τμημάτων) φοβίες, άρνηση προσπάθειας, τάση να τα αποφεύγουμε, να δίνουμε τυχαίες απαντήσεις υπάρχουν πολλά στερεότυπα για τα μαθηματικά: τα αγόρια είναι καλά, τα κορίτσια δεν χρειάζεται να τα πάνε καλά στα μαθηματικά, είναι για τους έξυπνους, δεν χρησιμοποιούνται πουθενά, μπορούμε να ζήσουμε και χωρίς αυτά, είναι θέμα κλίσης, ταλέντου, η λύση βρίσκεται στα πρώτα δευτερόλεπτα και χωρίς μεγάλη προσπάθεια, κτλ. 3

4 πιθανές αιτίες 2 τα παιδιά όμως του δείγματος μπορούσαν να κάνουν τις πράξεις αλλά όχι να πούνε ποια είναι η σωστή πράξη που πρέπει να γίνει υπάρχει υπερεπένδυση σε μαθηματικούς αλγόριθμους και κάθετες πράξεις αλλά όχι η εφαρμογή τους σε πραγματικές καταστάσεις δεν υπάρχει κατανόηση σε βάθος των μαθηματικών εννοιών και των διαδικασιών - γίνεται γνώση διαδικασιών χωρίς νόημα δεν υπάρχει κριτική γνώση που θα μπορούσε να κάνει τους μαθητές να αναστοχαστούν για το νόημα του αποτελέσματος που βρήκαν 4

5 άλλο παράδειγμα Ένα στρατιωτικό λεωφορείο χωρά 36 στρατιώτες. Πόσα λεωφορεία χρειάζονται για να μεταφερθούν 1128 στρατιώτες στο χώρο εκπαίδευσής τους; περίπου 70% δεκατριάχρονων εκτέλεσε σωστά την πράξη της διαίρεσης 31,33 και το ένα τρίτο των μαθητών έδωσε αυτό σαν απάντηση είναι ξεκάθαρο ότι οι μαθητές αυτοί κάνουν σωστά πράξεις αλλά δεν καταλαβαίνουν το νόημα αυτού που κάνουν και τη σχέση του με την πραγματικότητα του προβλήματος σε αυτό το θέμα τα κομπιουτεράκια δε μπορούν να δώσουν λύση 5

6 κι άλλο ένα παράδειγμα ζητήθηκε από 13χρονα: εκτιμήστε το αποτέλεσμα της πράξης 12/13 + 7/8: 1, 2, 19, 21, δεν ξέρω μόνο το 24% έδωσε τη σωστή απάντηση 28% απάντησε 19 27% απάντησε το 21 6

7 προοδευτικά μαθηματικά Μετά το 60 στις δυτικές χώρες έγινε μια μεταρρύθμιση στη μαθηματική εκπαίδευση εστίαση στην κατανόηση με νόημα κι όχι στην απομνημόνευση και στη διεξαγωγή απλών πράξεων μόνο με τη σωστή χρήση του αλγορίθμου μάθηση με ανακάλυψη παρά μάθηση με μίμηση και επανάληψη κατά προσέγγιση υπολογισμοί κι όχι μόνο ακριβείς πράξεις βιωματική μάθηση μέσα από λύση προβλήματος σε αυθεντικές ρεαλιστικές καταστάσεις. 7

8 παρόλα αυτά δεν λειτούργησε οι δάσκαλοι δεν το ακολουθούν γιατί δεν το εμπιστεύονται θέλει πολύ χρόνο δυσκολία διαχείρισης σε μεγάλη τάξη πρέπει να ακολουθήσουν το αναλυτικό πρόγραμμα Υπάρχει η πεποίθηση ότι αν ξέρεις να κάνεις σωστά τις πράξεις μπορείς και να το εφαρμόσεις στα μαθηματικά προβλήματα οι γονείς δυσκολεύονται να το καταλάβουν και ζητούν τα παραδοσιακά μαθηματικά - δεν μπορούν να βοηθήσουν λείπει μια συνολική αλλαγή στο σύνολο του εκπαιδευτικού συστήματος για να υποστηρίξει βασίζεται σε βασικές αρχές της θεωρίας του Piaget που έχουν δεχθεί έντονη κριτική και πρέπει να αναθεωρηθούν. 8

9 μια ερώτηση τι είναι το 8; τι θα θέλατε να ξέρει ένας μαθητής ότι είναι το 8; 9

10 αίσθηση του αριθμού (Number Sense) Ορισμός Υπάρχει ποικιλία ορισμών και πραγμάτων που εννοεί κανείς με τον όρο Αίσθηση του Αριθμού Όλες οι προσεγγίσεις συγκλίνουν στο να δέχονται ότι ως Αίσθηση του Αριθμού εννοούμε την κατανόηση του είναι οι αριθμοί και των σχέσεων μεταξύ τους π.χ., ότι το 6 είναι μετά το 5, πριν το 8, μισό του 12, διπλάσιο του 3, 2 πάνω από 4, 1 χέρι κι ένα δάχτυλο, μια λέξη πριν το εφτά, το 6ο κουτάκι του πίνακα των αριθμών, ο αριθμός που είναι σαν ανάποδο 9 κι ακούει στο όνομα έξι, ανάμεσα σε άλλα πράγματα 10

11 βασικές έννοιες για τον αριθμό Οι βασικές έννοιες/δεξιότητες που συνδέονται άμεσα με την Αίσθηση του Αριθμού (Number Sense) - την κατανόηση της έννοιας του αριθμού: απαρίθμηση (counting) αίσθηση των πράξεων με αριθμούς ποσότητα (quantity) σχέσεις (relationships) αναπαραστάσεις (representation) οι παραπάνω είναι αλληλένδετες, εξίσου σημαντικές και επικαλυπτόμενες 11

12 Αίσθηση του Αριθμού "είναι μια αναδυόμενη δομή που αναφέρεται στην ρευστότητα και την ευελιξία του παιδιού με αριθμούς, η αίσθηση του τί σημαίνουν οι αριθμοί και η ικανότητα του παιδιού να εκτελεί νοερές μαθηματικές πράξεις όπως και να βλέπουν τον κόσμο κάνοντας συγκρίσεις." Russell Gersten, David Chard είναι να έχεις µια καλή διαίσθηση για τους αριθµούς και τις σχέσεις τους. Αναπτύσσεται σταδιακά ως αποτέλεσµα της διερεύνησης των αριθµών, αναπαριστώντας τους συµβολικά σε ποικίλα πλαίσια και σχετίζοντάς τα µε τρόπους που δεν περιορίζονται στους παραδοσιακούς αλγόριθµους 12

13 η σημασία της Αίσθησης του Αριθμού Η έρευνα δείχνει ότι η πρώιµη Aίσθηση του Aριθµού προβλέπει την σχολική επιτυχία σε µεγαλύτερες τάξεις της εκπαίδευσης περισσότερο από κάθε άλλη µεταβλητή της γνωστικής ανάπτυξης όπως η γλωσσική, η χωρική ανάπτυξη ή ανάπτυξη της µνήµης και της ικανότητας για ανάγνωση 13

14 χαρακτηριστικά του παιδιού με ευχέρεια στους αριθμούς 1 1. Αναπτύσσει νόηµα για τους αριθµούς και τις πράξεις συνδέει τους αριθµούς µε καταστάσεις από την πραγµατική ζωή γνωρίζει ότι οι αριθµοί έχουν πολλαπλές ερµηνείες και χρήσεις κατανοεί ότι το µέγεθος των αριθµών είναι σχετικό συνδέει τις βασικές πράξεις της πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασµού και διαίρεσης µε δράσεις που προκύπτουν από πραγµατικές καταστάσεις µπορεί να προβλέψει τα αποτελέσµατα που προκύπτουν από πράξεις πάνω σε αριθµούς δηµιουργεί κατάλληλες αναπαραστάσεις για τις πράξεις µε αριθµούς 14

15 χαρακτηριστικά του παιδιού με ευχέρεια στους αριθμούς 2 2. Aναζητά και να ανακαλύπτει σχέσεις ανάµεσα σε αριθµούς και τα αποτελέσµατα των πράξεών τους κατανόηση της ανάλυσης και σύνθεσης των αριθµών κατανόησης της σχέσης των αριθµών µε άλλους αριθµούς σχέσεις ανάµεσα στις αριθµητικές πράξεις πολ/σµός και διαίρεση ως αντίστροφες πράξεις πρόσθεση και αφαίρεση ως αντίστροφες πράξεις πολ/σµός ως επαναλαµβανόµενη πρόσθεση (και τα προβλήµατα αυτού του µοντέλου) διαίρεση ως µερισµός και ίσα µέρη 15

16 χαρακτηριστικά του παιδιού με ευχέρεια στους αριθμούς 3 3. κατανοεί τις στρατηγικές και χρησιµοποιούν τις κατάλληλες και µε αποτελεσµατικό τρόπο εκτελεί σωστά τα βήµατα του αλγόριθµου και µπορεί να εξηγήσει γιατί ο αλγόριθµός λειτουργεί (π.χ., προσθέτω πρώτα τις δεκάδες και µετά τις µονάδες και...) Κάνει συνειδητή προσπάθεια να ολοκληρώσει τις πράξεις χρησιµοποιώντας τις προϋπάρχουσες γνώσεις από απλούστερες πράξεις ή αποτελέσµατα που είναι ήδη γνωστά είναι ευέλικτο στη χρήση διαφορετικών στρατηγικών ακόµα και για τις ίδιες πράξεις χρησιµοποιεί τις κατάλληλες τεχνικές για να επιτύχουν ακριβείς ή κατά προσέγγιση υπολογισµούς µπορεί να εκτελέσουν ακριβείς υπολογισµούς σωστά µε τυπικό και άτυπο τρόπο 16

17 χαρακτηριστικά του παιδιού με ευχέρεια στους αριθμούς 4 4. Δίνει νόηµα στις αριθµητικές και υπολογιστικές καταστάσεις αναµένει τα αποτελέσµατα των αριθµητικών πράξεων να έχουν νόηµα επιδιώκει να κατανοήσουν τις σχέσεις µεταξύ των ποσοτήτων σε καταστάσεις του πραγµατικού κόσµου. αξιολογεί κατά πόσον το αποτέλεσµα του υπολογισµού έχει νόηµα στο πλαίσιο των αριθµών και της σχέσης τους µε τον πραγµατικό κόσµο 17

18 καλή αίσθηση των αριθμών γλώσσα 18

19 καλή αίσθηση των αριθμών γλώσσα Components of Number Sense 2007 Cain/Doggett/Faulkner/Hale/NCDPI 18

20 καλή αίσθηση των αριθμών ποσότητα/ µέγεθος γλώσσα Components of Number Sense 2007 Cain/Doggett/Faulkner/Hale/NCDPI 18

21 καλή αίσθηση των αριθμών ποσότητα/ µέγεθος γλώσσα αρίθµηση Components of Number Sense 2007 Cain/Doggett/Faulkner/Hale/NCDPI 18

22 καλή αίσθηση των αριθμών ποσότητα/ µέγεθος γλώσσα αρίθµηση ισότητα Components of Number Sense 2007 Cain/Doggett/Faulkner/Hale/NCDPI 18

23 καλή αίσθηση των αριθμών ποσότητα/ µέγεθος γλώσσα αρίθµηση ισότητα Components of Number Sense 2007 Cain/Doggett/Faulkner/Hale/NCDPI βάση του 10 18

24 καλή αίσθηση των αριθμών ποσότητα/ µέγεθος µορφή του αριθµού Components of Number Sense 2007 Cain/Doggett/Faulkner/Hale/NCDPI γλώσσα βάση του 10 αρίθµηση ισότητα 18

25 καλή αίσθηση των αριθμών ποσότητα/ µέγεθος Components of Number Sense 2007 Cain/Doggett/Faulkner/Hale/NCDPI αναλογική σκέψη µορφή του αριθµού γλώσσα βάση του 10 αρίθµηση ισότητα 18

26 καλή αίσθηση των αριθμών αλγεβρική & γεωµετρική σκέψη ποσότητα/ µέγεθος Components of Number Sense 2007 Cain/Doggett/Faulkner/Hale/NCDPI αναλογική σκέψη µορφή του αριθµού γλώσσα βάση του 10 αρίθµηση ισότητα 18

27 γενικές αρχές για τη διδασκαλία... των μαθηματικών εννοιών Καθώς οι μαθητές μαθαίνουν πιο περίπλοκες έννοιες χρειάζονται και περισσότερη ενθάρρυνση να χρησιμοποιούν τις δικές τους στρατηγικές σκέψης Είναι σημαντικό να κατανοήσουν ότι τα μαθηματικά έχουν νόημα κι είναι ικανοί/ες να κατακτήσουν αυτό το νόημα μέσα από τη λύση προβλήματος και τους υπολογισμούς τυπικούς ή άτυπους, γραπτούς ή νοερούς, ακριβείς ή κατά προσέγγιση 19

28 γενικές αρχές για τη διδασκαλία 2... των μαθηματικών εννοιών οι μαθητές πρέπει να μιλάνε για τις μαθηματικές έννοιες, να αναπαράγουν το μαθηματικό λεξιλόγιο, να αναπτύσσουν μαθηματικούς διάλογους μεταξύ τους ή/και με τη δασκάλα η χρήση αναπαραστάσεων για τις έννοιες υποστηρίζει την κατανόηση και την επικοινωνία με μαθηματικές έννοιες Οι αναπαραστάσεις έχουν διάφορες μορφές Εικόνες, διαγράμματα, σύμβολα, χειροπιαστά αντικείμενα η χρήση και επίσης η αναπαραγωγή ορθών αναπαραστάσεων δηλώνει καλή κατανόηση των εννοιών η διδασκαλία με τη χρήση χειροπιαστών αντικειμένων βελτιώνει και τις στάσεις των μαθητών απέναντι στα μαθηματικά (Sowell, 1989; Thomson & Lambdin, 1994). Η χρήση των αναπαραστάσεων πρέπει να γίνεται με καθοδήγηση ώστε να γίνει σωστά η σύνδεση έννοιας με σύμβολο, εικόνα κτλ. 20

29 γενικές αρχές για τη διδασκαλία 3... των μαθηματικών εννοιών Η λύση προβλήματος μπορεί να αποτελέσει τη βάση για όλη τη διδασκαλία/μάθηση των μαθηματικών εννοιών Η λύση προβλήματος δημιουργεί ένα ενδιαφέρον πλαίσιο για τη μάθηση των μαθηματικών εννοιών και την κατανόηση της σημασίας τους (στον πολιτισμό και την καθημερινή ζωή) Δημιουργεί ένα περιβάλλον να επιτευχθεί μάθηση με κατανόηση κι όχι απομνημόνευση χωρίς κατανόηση 21

30 γενικές αρχές για τη διδασκαλία 4... των μαθηματικών εννοιών Οι μαθητές χρειάζονται διαρκώς νέες εμπειρίες από διαφορετικές πηγές και σε διαφορετικές στρατηγικές μάθησης π.χ. αριθμογραμμή, άβακα, κάρτες με αριθμούς, ζάρια, αριθμομηχανές, τραγούδια, παιχνίδια, ιστορίες, βιωματικές δραστηριότητες, κοκ κάποιες στρατηγικές (π.χ. τραγούδι, χειρονομίες) δεν υποστηρίζουν τη λύση προβλήματος αλλά είναι σημαντικές γιατί αναδεικνύουν τις διαφορετικές στρατηγικές μάθησης ανάμεσα στα παιδιά και δίνουν νέες δυνατότητες εμπλοκής σε παιδιά με διαφορετικές στρατηγικές μάθησης από τις κυρίαρχες και τις πιο διαδεδομένες 22

31 το ζήτημα της μεταφοράς γνώσης η μάθηση μέσα στη σχολική τάξη πρέπει να συνδέεται με την εφαρμογή της έξω από αυτή, στην καθημερινότητα του παιδιού έτσι τα μαθηματικά αποκτούν νόημα πρέπει να υπάρχει καλύτερη μεταφορά της γνώσης που αποκτήθηκε στη σχολική τάξη, στις καθημερινές πρακτικές της ζωής η αντίστροφη σχέση είναι πιο διαδεδομένη έτσι κι αλλιώς: υπάρχει μεταφορά των καθημερινών άτυπων μαθηματικών γνώσεων, που έχουν αποκτηθεί από τη ζωή μέσα στην κοινότητα στη μαθηματική τάξη με άλλα λόγια τα παιδιά έρχονται στην τάξη όχι ως ένα λευκό χαρτί αλλά με προϋπάρχουσες γνώσεις αλλά και αντιλήψεις για τα μαθηματικά. θα πρέπει να βρεθεί τρόπος να χτίσουμε πάνω σε αυτές τις νέες μαθηματικές γνώσεις κι επίσης οι νέες γνώσεις να βρίσκουν αναφορά στην καθημερινή πρακτική. 23

32 γενικές αρχές για τη διδασκαλία 5... των μαθηματικών εννοιών Πρέπει να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν στρατηγικές συλλογισμού όπως να ψάχνουν για μοτίβα/πρότυπα και να κάνουν εκτιμήσεις μοτίβα/πρότυπα π.χ., να δουν ότι οι αριθμολέξεις στο δεκαδικό σύστημα ακολουθούν μία κανονικότητα και επίσης οι βασικές πράξεις με φυσικούς αριθμούς εκτιμήσεις οι εκτιμήσεις βοηθούν τα παιδιά να αξιολογήσουν την ορθότητα κάποια απάντησης χρήσιμο σε αυτού του είδους το συλλογισμό είναι η χρήση σημείων αναφοράς και μέτρων σύγκρισης π.χ., αυτό είναι 1μ κι αυτό 5μ, πόσο υπολογίζεις να είναι το μήκος του πίνακα; 24

33 Τέλος Ενότητας 25