Μαθηματική Ανάλυση Ι

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 3: Σειρές Πραγματικών Αριθμών Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ψηφιακά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Περιεχόμενα Το σύμβολο του αθροίσματος. Ορισμός σειράς, μερικά αθροίσματα. Σύγκλιση σειρών. Γεωμετρικές και τηλεσκοπικές σειρές. Κριτήρια σύγκλισης σειρών μη αρνητικών όρων. Εναλλασσόμενες σειρές. Απολύτως συγκλίνουσες σειρές. 4

Το σύμβολο του αθροίσματος 1 3 4 4 4 4 a a a a a a a k i 1 k1 i1 a a a a... a a a k m m m1 m m3 k1 k m k m m1 a a a m1 1 1 m k k a a a k m 1 m1 1 5

Σειρές (1/) Έστω η ακολουθία (a ). Μια έκφραση της μορφής 1 a a a a... a... a 1 3 ονομάζεται άπειρη σειρά (ή απλώς σειρά). Ο a αποτελεί το -οστό όρο της σειράς. Από την ακολουθία (a ) ορίζεται μια νέα ακολουθία (s ), με βάση τις σχέσεις s 1 = a 1, s = a 1 + a,, s = a 1 + a + + a, Καθένας από τους όρους αποτελεί μερικό άθροισμα της σειράς a 6

Σειρές (/) Παράδειγμα: Παράδειγμα: a s 1 Αν a =, τότε: Αν,τότε s a 1 1 1 s s a 1 3 1 s s a 3 3 6 3 3 s s a 6 4 10 4 3 4 s s a 10 5 15 5 4 5 s s a 15 6 1 6 5 6... s s s s s 1 1 1 1 4 1 1 1 3 4 8 4 5 6 0.5 0.75 0.875 0.9375 0.96875 0.984375... 7

Σύγκλιση σειρών (1/4) Μία σειρά συγκλίνει στον αριθμό s R, αν και μόνο αν η a 1 ακολουθία (s ) των μερικών αθροισμάτων συγκλίνει στον s. Τότε γράφουμε 1 a s Ο πραγματικός αριθμός s στον οποίο συγκλίνει μια σειρά ονομάζεται άθροισμα ή όριο της σειράς. Μία σειρά a 1 συγκλίνει στο + (στο ), αν και μόνο αν η ακολουθία (s ) των μερικών αθροισμάτων συγκλίνει στο + (ή στο ): a 1 8

Σύγκλιση σειρών (/4) Παράδειγμα: Έστω η σειρά 1 + 1 + 1 + Ο -οστός όρος της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων είναι Επειδή s 11... 1 lim s όροι lim τελικά 111... και η σειρά απειρίζεται θετικά. 9

Σύγκλιση σειρών (3/4) Αν η σειρά συγκλίνει στο R, τότε. Αν, η σειρά δεν είναι απαραίτητο να συγκλίνει στο R. Παράδειγμα: Η σειρά δε συγκλίνει στο R, αν και. 10

lima 0 Σύγκλιση σειρών (4/4) Αν, ή αν το όριο της (a ) δεν υπάρχει, τότε η σειρά a δε συγκλίνει στο R (κριτήριο μη-σύγκλισης). Παράδειγμα: H σειρά 3 δε συγκλίνει στο R, διότι 1 4 3 Παράδειγμα: 3 3 4 3 4 lim 0 H σειρά 1 1 1 δε συγκλίνει στο R, διότι δεν υπάρχει το όριο lim 1 1 11

Πράξεις/σχέσεις μεταξύ σειρών (1/) Αν οι σειρές a και b είναι συγκλίνουσες, τότε και η είναι συγκλίνουσα (κ, λ R) και ισχύει κ a λb κ a λb κ a λ b 1 1 1 a κa Αν η δε συγκλίνει στο R, τότε και η δε συγκλίνει στο R (κ R {0}). Αν για δύο συγκλίνουσες σειρές και ισχύει a b για κάθε, τότε θα είναι και a a 1 1 b b 1

Πράξεις/σχέσεις μεταξύ σειρών (/) Αν η σειρά a συγκλίνει στο R, ενώ η σειρά b δε συγκλίνει στο R, τότε η σειρά a b δε συγκλίνει στο R. Αν οι σειρές a και b δε συγκλίνουν στο R, τότε η σειρά a συγκλίνουσα. b μπορεί είτε να είναι, είτε να μην είναι 13

Γεωμετρικές σειρές (1/) Μια σειρά της μορφής: 1 aλ a aλ aλ... aλ... aλ 0 1 ονομάζεται γεωμετρική, με λόγο λ. Η παραπάνω σειρά συγκλίνει στο R μόνο όταν λ < 1. 0 aλ a, λ 1 1 λ a, λ 1 ( a 0) κυμαίνεται, λ 1 ( a 0) 14

Γεωμετρικές σειρές (/) Το -οστό μερικό άθροισμα μιας γεωμετρικής σειράς με λ 1 είναι: 1 1 λ s a aλ aλ... aλ a 1 λ Οι ρητοί αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν με τη βοήθεια συγκλινουσών γεωμετρικών σειρών, π.χ..777....7 0.7 0.007... 7 7... 100 10000 7 7... 100 100 7 1 100 1 100 7 1 100 1 1 100 7 5 5 99 99 11 1 15

Τηλεσκοπικές σειρές (1/) Μια σειρά ονομάζεται τηλεσκοπική, αν είναι της μορφής a b b 1 1 1 Αν η ακολουθία (b ) είναι συγκλίνουσα, τότε και η αντίστοιχη τηλεσκοπική σειρά θα είναι συγκλίνουσα. 1 b s b b b i i i1 b 1 1 b3 b b b lim s lim b b 1 1 1 1 b 16

Τηλεσκοπικές σειρές (/) Παράδειγμα: Να υπολογιστεί το άθροισμα: 1 1 1 1 1 1 6 1 0 1 1 A B ( A B) A A 1, B 1 ( 1) 1 ( 1) -οστό μερικό άθροισμα s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 lim1 1 1 1 17

Αρμονικές σειρές Μια σειρά ονομάζεται αρμονική τάξης p, αν είναι της μορφής 1 1 όπου p ρητός αριθμός. p Κριτήριο σύγκλισης Μια αρμονική σειρά συγκλίνει στο R, αν και μόνο αν p > 1 18

Σειρές μη αρνητικών όρων Μια σειρά a είναι σειρά μη αρνητικών όρων, αν ισχύει a 0 για κάθε όρο της σειράς. Για μια τέτοια σειρά, η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων είναι πάντα αύξουσα, αφού s = s 1 + a s 1 Μια σειρά μη αρνητικών όρων συγκλίνει στο R, αν και μόνο αν η αντίστοιχη ακολουθία των μερικών αθροισμάτων είναι άνω φραγμένη. 19

Σειρές μη αρνητικών όρων (κρ. σύγκρισης) (1/) Κριτήριο σύγκρισης: Έστω a μια σειρά μη αρνητικών αριθμών. Αν υπάρχει συγκλίνουσα σειρά μη αρνητικών όρων για την οποία ισχύει a b για κάθε 0 N, τότε και η θα συγκλίνει στο R. Αν υπάρχει σειρά b μη αρνητικών όρων που απειρίζεται θετικά και για την οποία ισχύει a b για κάθε 0 N, τότε και η a b θα απειρίζεται θετικά. 0

Σειρές μη αρνητικών όρων (κρ. σύγκρισης) (/) Παράδειγμα: Να εξεταστεί η σύγκλιση της σειράς 1 5si 3 5si 6 6 3 3 Εφόσον η σειρά 1 6 είναι συγκλίνουσα, το ίδιο θα συμβαίνει και με την αρχική. 1

Σειρές μη αρνητικών όρων (κρ. ορ. σύγκρισης) (1/) Κριτήριο οριακής σύγκρισης: Έστω a μια σειρά μη αρνητικών αριθμών. Αν υπάρχει συγκλίνουσα σειρά b με b > 0, για την οποία ισχύει a lim b τότε και η a θα συγκλίνει στο R.

Σειρές μη αρνητικών όρων (κρ. ορ. σύγκρισης) (/) Παράδειγμα: Να εξεταστεί η σύγκλιση της σειράς 1 1 1 a b 1 1 a 1 lim lim lim 1 1 b 1 11 / Εφόσον η σειρά με τη σειρά 1 1 1 1 1 είναι συγκλίνουσα, το ίδιο θα συμβαίνει και 3

Σειρές μη αρνητικών όρων (κρ. λόγου) (1/) Κριτήριο λόγου: Έστω a μια σειρά μη αρνητικών όρων και a lim a Αν ρ < 1, η σειρά συγκλίνει στο R. Αν ρ > 1, η σειρά απειρίζεται θετικά. Αν ρ = 1, το κριτήριο αυτό δε μπορεί να επιβεβαιώσει τη σύγκλιση (ή μη) της σειράς. 1 ρ 4

Σειρές μη αρνητικών όρων (κρ. λόγου) (/) Παράδειγμα: Να εξεταστεί η σύγκλιση της σειράς a, με a > 0. 1 1 a 1 ( 1) a 1 lim lim alim a a a Άρα η συγκεκριμένη σειρά είναι συγκλίνουσα όταν 0 < a < 1. 5

Σειρές μη αρνητικών όρων (κρ. ρίζας) (1/) Κριτήριο -στης ρίζας: Έστω a μια σειρά μη αρνητικών αριθμών και lim a ρ Αν ρ < 1, η σειρά συγκλίνει στο R. Αν ρ > 1, η σειρά απειρίζεται θετικά. Αν ρ = 1, το κριτήριο αυτό δε μπορεί να επιβεβαιώσει τη σύγκλιση (ή μη) της σειράς. 6

Σειρές μη αρνητικών όρων (κρ. ρίζας) (/) Παράδειγμα: Να εξεταστεί η σύγκλιση της σειράς 1 3 1 lim a lim lim 1 3 3 3 Άρα η συγκεκριμένη σειρά είναι συγκλίνουσα. 7

Σειρές μη αρνητικών όρων (κρ. συμπύκνωσης) (1/) Κριτήριο συμπύκνωσης του Cauchy: Έστω a μια σειρά μη αρνητικών αριθμών, όπου η ακολουθία (a ) είναι φθίνουσα. Η σειρά συγκλίνει στο R (+ ), αν και μόνο αν η σειρά συγκλίνει στο R (+ ). a a 8

Σειρές μη αρνητικών όρων (κρ. συμπύκνωσης) (/) Παράδειγμα: Να εξεταστεί η σύγκλιση της σειράς. 1 που είναι συγκλίνουσα, ως γεωμετρική. Άρα η συγκεκριμένη σειρά απειρίζεται θετικά. 1 1 1 a 1 1 1 9

Εναλλασσόμενες σειρές (1/) Από μια ακολουθία (a ) που αποτελείται από μη αρνητικούς όρους (a 0), μπορούν να κατασκευαστούν οι ακόλουθες σειρές: 1 1 a1 a a3... 1 a... 1 a 1 3 1 a a a... 1 a... 1 a Οι σειρές στις οποίες το πρόσημο διαδοχικών όρων γίνεται εναλλάξ θετικό και αρνητικό ονομάζονται εναλλασσόμενες. 1 30

Εναλλασσόμενες σειρές (/) Κριτήριο Leibiz: Η εναλλασσόμενη σειρά θα συγκλίνει στο R, αν η ακολουθία (a ) είναι φθίνουσα και μηδενική, δηλ.: αν a + 1 a, για κάθε N, αν lima 0. a 1 Παράδειγμα: 1 3 0 s s 4 L s 5 s 3 s 1 1 1 a 3 a 5 a a 4 31

Απόλυτη σύγκλιση Μια σειρά a χαρακτηρίζεται ως απολύτως συγκλίνουσα, αν συγκλίνει στο R η σειρά a. Αν μια σειρά a είναι απολύτως συγκλίνουσα, τότε θα είναι και συγκλίνουσα και θα ισχύει a 1 1 a Το αντίστροφο δεν ισχύει: αν η a συγκλίνει στο R, δε σημαίνει ότι και η a θα συγκλίνει στο R. 3

Έλεγχος αν lim a 0. Έλεγχος σύγκλισης Έλεγχος αν πρόκειται για γεωμετρική σειρά. Έλεγχος αν πρόκειται για αρμονική σειρά. Έλεγχος αν πρόκειται για σειρά με μη αρνητικούς όρους, οπότε δοκιμάζονται τα διάφορα κριτήρια. Έλεγχος αν πρόκειται για σειρά με θετικούς και αρνητικούς όρους, οπότε εξετάζεται η απόλυτη σύγκλιση. Έλεγχος αν πρόκειται για σειρά με εναλλασσόμενους όρους. 33

Τέλος Ενότητας 34

Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Ζυγκιρίδης Θεόδωρος. «Μαθηματική Ανάλυση Ι». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη 015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https: //eclass.uowm.gr/courses/icte59/ 35

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commos Αναφορά, Όχι Παράγωγα Έργα Μη Εμπορική Χρήση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] h t t p ://creativecommos.org/liceses/by-c-d/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό 36

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 37