Ρεαλιστικά µαθηµατικά & Εµπλαισιωµένη µάθηση στη υπηρεσία της διδασκαλίας των µαθηµατικών
Ρεαλιστικά µαθηµατικά... σαν ορισµός Διδασκαλία µαθηµατικών µέσα από ρεαλιστικές καταστάσεις - καταστάσεις που έχουν νόηµα για τους µαθητές Τα θεµέλια της ρεαλιστικής µαθηµατικής εκπαίδευσης τέθηκαν από τον H. Freudenthal και τους συνεργάτες του, στα πλαίσια του «Ινστιτούτου για την Ανάπτυξη της Μαθηµατικής Εκπαίδευσης» στην Ολλανδία
βασικές παραδοχές Τα µαθηµατικά διδάσκονται για να είναι χρήσιµα χρήσιµα και για την οργάνωση της πραγµατικότητας και για την οργάνωση των µαθηµατικών Τα µαθηµατικά αποτελούν εργαλείο οργάνωσης του φυσικού, κοινωνικού και νοητικού κόσµου Η γνώση που αποκτά τελικά το άτοµο έχει άµεση σχέση µε τις αναπαραστάσεις που έχει σε καθαρά ατοµικό επίπεδο και η γνώση που ανασύρουµε από τη µνήµη µας κατά τη διαδικασία επίλυσης ενός προβλήµατος είναι µια «πλαισιοποιηµένη» γνώση η οποία σταδιακά µόνο αποπλαισιοποιείται. από το συγκεκριµένο στο αφηρηµένο Το πλαίσιο των «ρεαλιστικών» προβληµάτων δεν περιορίζεται στον πραγµατικό ή κοινωνικό κόσµο αλλά επεκτείνεται και στην πραγµατικότητα της φαντασίας των παιδιών
βασική δοµή Σηµείο εκκίνησης των ρεαλιστικών προβληµάτων είναι η άτυπη καθηµερινή γνώση και τα ενδιαφέροντα των µαθητών Ένα πρόβληµα/πλαίσιο µπορεί να έχει τη µορφή ενός λεκτικού προβλήµατος, ενός παιχνιδιού, µιας ιστορίας ή παραµυθιού, να αναπαρίσταται από µοντέλα, σχήµατα ή γραφήµατα ή να αποτελεί συνδυασµό όλων των προηγούµενων. Μέσω της διαδικασίας της µαθηµατικοποίησης οι µαθητές θα οικοδοµήσουν σιγά σιγά, µέσα από την κατασκευή µοντέλων, έναν «µαθηµατικό µικρόκοσµο» όπου θα µιλούν «Μαθηµατικά», θα δίνουν και θα ζητούν εξηγήσεις, θα σχεδιάζουν προτεινόµενες λύσεις έτσι θα επανεφεύρουν τα τυπικά µαθηµατικά.
θεωρητικό πλαίσιο Η θεωρία της ρεαλιστικής µαθηµατικής εκπαίδευσης (Realistic Mathematics Education. RME ) διαµορφώθηκε στη βάση κυρίως τριών θεωρητικών αξόνων: Την θεωρία των επιπέδων.(van Hiele) Την διδακτική φαινοµενολογία (Freudenthal) Την προοδευτική µαθηµατικοποίηση (Wiskobas) Και συνοµιλεί µε προσεγγίσεις όπως: Την εµπλαισιωµένη µάθηση (Collins) Γνωστική µαθητεία (Vygotsky) Τη µάθηση ως διαδικασία συµµετοχής/εµπλοκής (Vygotsky)
Θεωρία των επιπέδων Van Hiele λίγα λόγια
Θεωρία των επιπέδων Van Hiele Δηµιουργήθηκε αρχικά για την περιγραφή της διδασκαλίας και µάθησης της γεωµετρίας, αλλά µπορεί και να γενικευθεί Κατά τη διαδικασία της µάθησης ο µαθητής περνά από πέντε επίπεδα σκέψης τα επίπεδα αυτά είναι: διαδοχικά και ιεραρχικά η µετάβαση από το ένα στο άλλο εξαρτάται περισσότερο από τη διδασκαλία παρά από την ηλικία ή την ωριµότητα η σειρά δεν µπορεί να διαταραχθεί κάθε επίπεδο χαρακτηρίζεται από το δικό του δίκτυο σχέσεων, τις δικές του έννοιες και τη δική του γλώσσα Χρειάζονται κατάλληλες εµπειρίες για την κατάκτησή τους Ακατάλληλη εµπειρίες παρεµποδίζουν τη µάθηση
Θεωρία των επιπέδων Van Hiele Επίπεδο 1: Αναγνώρισης ή Ολιστικό (Visualization) Επίπεδο 2: Ανάλυσης ή Περιγραφικό (Analysis) Επίπεδο 3: Διάταξης, ή Συσχετιστικό, ή Άτυπης Αφαίρεσης (Informal Deduction) Επίπεδο 4: Παραγωγικό ή αφαίρεσης (Deduction) Επίπεδο 5: Αυστηρότητας
Θεωρία των επιπέδων Van Hiele Υπάρχουν και πέντε φάσεις µάθησης για το πέρασµα από το ένα επίπεδο στο άλλο που κινητοποιούνται µέσα από συγκεκριµένες διδακτικές παρεµβάσεις. Οι φάσεις είναι: Πρώτη φάση: Πληροφόρηση - Διερεύνηση Ο δάσκαλος ενηµερώνεται για το επίπεδο των µαθητών Οι µαθητές ερευνούν το θέµα µέσω των υλικών που ο δάσκαλος διαθέτει στους µαθητές, π.χ. εξετάζονται παραδείγµατα και αντιπαραδείγµατα για να ανακαλύψει µια δοµή. Δεύτερη φάση: Περιορισµένος/καθοδηγούµενος προσανατολισµός Μέσα από δραστηριότητες διερευνούν κάποιες πρώτες έννοιες. Το παιδί έρχεται σε επαφή µε τις αρχικές συνδέσεις του δικτύου των σχέσεων που πρόκειται να σχηµατιστούν µέσω µιας προσεκτικά οργανωµένης ακολουθίας δραστηριοτήτων και απλών βηµάτων που απαιτούν συγκεκριµένη απάντηση. Μαθαίνει κάνοντας και βρίσκοντας, όχι ακούγοντας τις εξηγήσεις του δασκάλου
Θεωρία των επιπέδων Van Hiele Τρίτη φάση: Επεξήγηση /Αποσαφήνιση. Ο δάσκαλος οργανώνει τη συζήτηση µέσα στην τάξη, η οποία θα καταλήξει σε µια σωστή χρήση της γλώσσας, την οποία ο µαθητής πρέπει να είναι σε θέση να χρησιµοποιεί. Τέταρτη φάση: Ελεύθερος προσανατολισµός. Οι µαθητές αντιµετωπίζουν στόχους που απαιτούν πολλά βήµατα και πραγµατοποιούνται µε διαφορετικούς τρόπους. Εφαρµόζουν τη γνώση σε άλλες καταστάσεις Πέµπτη φάση: Ολοκλήρωση. Ο δάσκαλος προσκαλεί τους µαθητές να αναστοχαστούν πάνω στις ενέργειές τους και βοηθάει ώστε τα αντικείµενα και οι σχέσεις να ενσωµατωθούν σε ένα νέο γνωστικό σχήµα. Θα πρέπει να ξεφύγουν από το σχήµα και να σκέφτονται µε τις ιδιότητες
Θεωρία των επιπέδων Van Hiele εφαρµογές στη διδασκαλία Παιχνίδια όπως: "Έγώ έχω - ποιος έχει» Βρείτε ίδια σχήµατα Πόσα διαφορετικά σχήµατα µπορώ να κάνω µε τα τανγράµ; Τι είναι κοινό σε όλα τα τρίγωνα; Ποιο σχήµα είµαι; Τι ιδιότητες έχω; Χρήση της τεχνολογίας (π.χ., Sketchpad) για να διερευνήσετε τις ιδιότητες των σχηµάτων Δηµιουργήστε ένα ορθογώνιο στο Sketchpad, µετρήστε τα µήκη των δύο διαγωνίων, τις αποστάσεις από τις κορυφές µε τα σηµεία τοµής των διαγωνίων και βγάλτε συµπεράσµατα Ταξινοµήστε τα σχήµατα µε βάση τις ιδιότητές τους Επιλύστε προβλήµατα που αφορούν τις ιδιότητες των σχηµάτων
ρεαλιστικά µαθηµατικά συνέχεια
...σαν ορισµός Διδασκαλία µαθηµατικών µέσα από ρεαλιστικές καταστάσεις - καταστάσεις που έχουν νόηµα για τους µαθητές Τα θεµέλια της ρεαλιστικής µαθηµατικής εκπαίδευσης τέθηκαν από τον H. Freudenthal και τους συνεργάτες του, στα πλαίσια του «Ινστιτούτου για την Ανάπτυξη της Μαθηµατικής Εκπαίδευσης» στην Ολλανδία Η θεωρία της ρεαλιστικής µαθηµατικής εκπαίδευσης (Realistic Mathematics Education. RME ) διαµορφώθηκε στη βάση κυρίως τριών θεωρητικών αξόνων: Την θεωρία των επιπέδων.(van Hiele) Την διδακτική φαινοµενολογία (Freudenthal) Την προοδευτική µαθηµατικοποίηση (Wiskobas)
διδακτική φαινοµενολογία Φαινοµενολογία: Η φαινοµενολογία είναι φιλοσοφικό κίνηµα το οποίο βασίζεται στην διερεύνηση των φαινοµένων, δηλαδή των πραγµάτων που γίνονται αντιληπτά ενσυνείδητα, και όχι στην ύπαρξη οποιουδήποτε πράγµατος «αυτού καθ' εαυτού», ευρισκόµενου πέρα από τα όρια της ανθρώπινης συνειδητότητας. Με σηµείο εκκίνησης την εµπειρία των φαινοµένων (αυτό που αποτυπώνεται ως συνειδητή εµπειρία), επιχειρεί να εξαγάγει τα θεµελιώδη χαρακτηριστικά της αντιληπτικής διαδικασίας και την οντότητα των εµπειριών µας. Η σηµασία του πλαισίου που καθορίζει την οντολογία, βλ. Heidegger: experience is always already situated in a world and in ways of being Δεν προσεγγίζεται η οντολογία των πραγµάτων στη βάση ιδιοτήτων ή ουσιοκρατικών χαρακτηριστικών αλλά στη βάση της ιστορικά τοποθετηµένης επιτέλεσής τους και στη σηµασία αυτής.
διδακτική φαινοµενολογία (Freudenthal) Διδακτική Φαινοµενολογία: έννοιες ως «εργαλεία» οργάνωσης των πραγµατικών φαινοµένων Σε ποια φαινόµενα εµφανίζεται µια µαθηµατική έννοια; Σε ποια µπορεί να επεκταθεί; Ποια φαινόµενα οργανώνει; Από ποιες προβληµατικές καταστάσεις της καθηµερινής ζωής προέκυψε; Ποια προβλήµατα µπορεί να λύσει; Πώς συνδέεται µε άλλες έννοιες επί του φορµαλισµού των µαθηµατικών; Tι εννοιολογικές αλλαγές µπορεί να υποστεί η έννοια κατά τη διάρκεια της σχολικής εκπαίδευσης;
διδακτική φαινοµενολογία (Freudenthal) Επιλογή κατάλληλων δραστηριοτήτων µε «πραγµατικές» (ρεαλιστικές) προβληµατικές καταστάσεις για να επανεφεύρουν οι µαθητές τις έννοιες Ο µαθητής ξεκινά από τα ίδια τα φαινόµενα που ζητούν οργάνωση και µε αφετηρία αυτά, µαθαίνει πώς να χειρίζεται τις έννοιες και δοµές. Οι διαφορετικές δραστηριότητες συνδέονται στη βάση κοινών εννοιολογικών χαρακτηριστικών, ιδιοτήτων των εννοιών και κοινού συµβολισµού Ο δάσκαλος ελέγχει τη διαδικασία της καθοδηγούµενης επανεφεύρεσης της µαθηµατικής έννοιας και των τυπικών µαθηµατικών µέσα από τα άτυπα
καθοδηγούµενη επανεφεύρεση - µαθηµατικοποίηση bottom up process αρχικά οι µαθητές κατασκευάζουν µοντέλα της προβληµατικής κατάστασης δίνοντας λύσεις που βασίζονται σε διαισθήσεις και άτυπα µαθηµατικά στόχος να βιώσουν οι µαθητές καταστάσεις παρόµοιες µε αυτές που δηµιούργησαν την ανάγκη να δηµιουργηθεί εξ αρχής η έννοια µέσα από έλεγχο υποθέσεων, πειραµατισµούς, ανταλλαγή απόψεων, διατύπωση επιχειρηµατολογίας ΟΧΙ να αναπαρασταθεί το ιστορικό πλαίσιο χρήση της ιστορίας των µαθηµατικών για ιδέες και επιλογή δραστηριοτήτων µέσα από την επεξεργασία ερωτηµάτων ή προβληµατικών καταστάσεων µε κοινή µαθηµατική δοµή θα φάσουν σε τυπικές στρατηγικές, αφηρηµένα µαθηµατικά αντικείµενα και τυπικές µαθηµατικές δοµές η διαδικασία αυτή ονοµάζεται προοδευτική τυποποίηση ή µαθηµατικοποίηση
η διαδικασία της µαθηµατικοποίησης Οριζόντια µαθηµατικοποίηση: πρώτο στάδιο στη διδασκαλία µιας έννοιας Μέσω συγκεκριµένων ενεργειών (π.χ. διατύπωση και αναπαράσταση του προβλήµατος µε διαφόρους τρόπους, ανακάλυψη σχέσεων κλπ.) προσπαθούµε να εντοπίσουµε τις µαθηµατικές έννοιες που βρίσκονται διάχυτες µέσα στο πλαίσιο του προβλήµατος. Μοντελοποίηση της προβληµατικής κατάστασης στη βάση διαισθητικών και άτυπων µαθηµατικών γνώσεων Τα µοντέλα είναι γέφυρες µεταξύ πραγµατικού κόσµου και εσωτερικού νοητικού κόσµου Αναγνώριση κοινών χαρακτηριστικών ανάµεσα στις διάφορες δραστηριότητες Επινόηση εργαλείων, συµβόλων, αναπαραστάσεων για τη λύση και µοντελοποίηση των καταστάσεων...στη συνέχεια γίνεται χρήση όλο και πιο τυπικών µαθηµατικών συµβόλων και εργαλείων...τα µοντέλα γίνονται πιο αφηρηµένα και γενικά µοντέλα των κοινών χαρακτηριστικών των δραστηριοτήτων
η διαδικασία της µαθηµατικοποίησης Κατακόρυφη µαθηµατικοποίηση: δεύτερο στάδιο στη διδασκαλία µιας έννοιας Tο (πραγµατικό) πρόβληµα που έχει «µεταφραστεί» σε µαθηµατικό, αντιµετωπίζεται και επεξεργάζεται µε µαθηµατικά εργαλεία (πχ. αναπαράσταση σχέσεων µε τύπους, απόδειξη σχέσεων, χρήση γνωστών µοντέλων κλπ.) Κατασκευή ενός νέου, τυπικού, µαθηµατικού αντικειµένου/έννοιας χρήση τυπικών εργαλείων, συµβόλων και µαθηµατικής γλώσσας για την περιγραφή και λύση της προβληµατικής κατάστασης Στόχος: η απόκτηση τυπικής γνώσης που µπορεί να µεταφερθεί σε άλλες προβληµατικές καταστάσεις
βασικές αρχές της ρεαλιστικής µαθηµατικής εκπαίδευσης 1. Από το συγκεκριµένο στο αφηρηµένο: Η εκµάθηση των µαθηµατικών είναι µια κατασκευαστική διαδικασία και επιτυγχάνεται µέσα από συγκεκριµένα προβλήµατα και καταστάσεις. Στη φάση της εισαγωγής ενός σχετικά νέου αντικειµένου οι µαθηµατικές δραστηριότητες πρέπει να διατυπώνονται σε ένα συγκεκριµένο πλαίσιο (context) και τα πραγµατικά φαινόµενα πρέπει να διερευνώνται κάτω από όσο το δυνατό περισσότερες οπτικές γωνίες. Ένα πρόβληµα πλαίσιο µπορεί να έχει τη µορφή ενός λεκτικού προβλήµατος αλλά ενδέχεται επίσης να εµφανίζεται µε τη µορφή παιχνιδιού, µιας ιστορίας ή παραµυθιού, να αναπαρίσταται από µοντέλα, σχήµατα ή γραφήµατα ή να αποτελεί συνδυασµό όλων των προηγούµενων.
βασικές αρχές της ρεαλιστικής µαθηµατικής εκπαίδευσης 2. Η εκµάθηση µιας µαθηµατικής έννοιας είναι µια διαδικασία που θέλει χρόνο και κινείται σε διάφορα επίπεδα αφαίρεσης από το συγκεκριµένο ως το αφηρηµένο. Χρήση σταδιακής αύξησης των λογικών βηµάτων που απαιτούνται για την επεξεργασία της προβληµατικής κατάστασης Οι όροι αυτοί είναι σχετικοί καθώς το αφηρηµένο στην αρχή της διδασκαλίας, µπορεί να είναι συγκεκριµένο σε µεγαλύτερες τάξεις. Για να γεφυρωθεί αυτό το χάσµα µεταξύ συγκεκριµένου και αφηρηµένου χρησιµοποιείται συγκεκριµένο υλικό, οπτικά µοντέλα, πρότυπες καταστάσεις, σχήµατα, διαγράµµατα και σύµβολα.
Ο φούρναρης και ο γίγαντας Σ' ένα µακρινό δάσος στην πέρα -πέρα και παραπέρα χώρα ζούσε ένας γίγαντας σε ένα πανύψηλο πύργο. Πέντε χιλιόµετρα νότια υπήρχε ένα µικρό χωριουδάκι ( όχι των στρουµφ βέβαια ). Εκεί ζούσε ο κύριος Μαθηµάτας ο φούρναρης που ήταν πέντε φορές πιο κοντός από τον γίγαντά µας. Ζούσε σ ένα φτωχικό καλυβάκι που ήταν πέντε φορές χαµηλότερο απ τον πύργο του γίγαντα. Μια µέρα ο κύριος Μαθηµάτας αποφάσισε να κάνει περίπατο στο δάσος για να χαρεί τη φύση και το οξυγόνο. Οι πατούσες του ήταν πέντε φορές µικρότερες από τις πατούσες του γίγαντα. Καθώς προχωρούσε αισθάνθηκε περίεργα σα να συνταρασσόταν η γη από σεισµό. Γρήγορα ήρθε αντιµέτωπος µε τον πελώριο κάτοικο του δάσους. 'Εγιναν αµέσως φίλοι ( ο καλόκαρδος γίγαντας που λέµε...)! Από τότε ο φούρναρής µας έφτιαχνε καθηµερινά ψωµί για τον φίλο του. Μόνο που είχε ένα πρόβληµα : Το ψωµί που έτρωγε ο γίγαντας ήταν πέντε φορές µεγαλύτερο από το ψωµί του κυρίου Μαθηµάτα! Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα :
Ο φούρναρης και ο γίγαντας Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα : Ύψος φούρναρη Ύψος γίγαντα ύψος καλύβας ύψος πύργου 150cm 3m 600cm 25m µήκος πατούσας φούρναρη 25cm µήκος πατούσας γίγαντα 140cm µήκος ψωµιού φούρναρη µήκος ψωµιού γίγαντα 20cm
βασικές αρχές της ρεαλιστικής µαθηµατικής εκπαίδευσης 3. Χρήση µοντέλων Από το «µοντέλο του...» δηλ. µοντέλο µιας συγκεκριµένης κατάσταση στο «µοντέλο για...» δηλ. µοντέλο που περιγράφει ένα σύνολο καταστάσεων στη βάση της κοινής τυπικής µαθηµατικής δοµής (βλ. εξίσωση) Τα µοντέλα παίζουν ρόλο καθοδηγητικό (καθοδηγούν την ανακάλυψη) και περιγραφικό (περιγράφουν την µαθηµατική έννοια) Είναι οχήµατα για τη µαθηµατικοποίηση µπορεί να είναι χειραπτικά υλικά, σύµβολα, εργαλεία, εικόνες, διαγράµµατα, άτυπες ή τυπικές στρατηγικές, π.χ., πολ/σµος ως επαναλαµβανόµενη πρόσθεση π.χ., το µοντέλο της αριθµογραµµής, από χρήση σε απαρίθµηση (model of) σε χρήση για νοητική πρόσθεση ή αφαίρεση (model for)
βασικές αρχές της ρεαλιστικής µαθηµατικής εκπαίδευσης 4. Η µάθηση είναι προσωπική διαδικασία και άρα πρέπει να λαµβάνονται υπόψιν οι ατοµικές διαφορές Χρήση των αρχών της εξατοµικευµένης διδασκαλίας /µάθησης Σηµαντικός ο ρόλος της γνωστικής σύγκρουσης ανάµεσα στις διαισθητικές και τυπικές µαθηµατικές γνώσεις
βασικές αρχές της ρεαλιστικής µαθηµατικής εκπαίδευσης 5. Η µάθηση είναι µια κοινωνική δραστηριότητα οπότε η εκπαίδευση των µαθηµατικών να στηρίζεται στην αλληλεπίδραση. Οι µαθητές κατά τη διδασκαλία έχουν την ευκαιρία να επεξεργαστούν όχι µόνο τις δικές τους «κατασκευές» αλλά και των συµµαθητών τους. Για τη ρεαλιστική εκπαίδευση γενικά, η µαθησιακή διαδικασία εξελίσσεται στα πλαίσια µιας αλληλεπιδραστικής, αµφίδροµης διδασκαλίας όπου εκτός από το χρόνο για ατοµική εργασία πρέπει να δίνεται και η ευκαιρία για οµαδική συζήτηση, συλλογική προσπάθεια, παρουσίαση και κρίση εργασιών, ανταλλαγή επιχειρηµάτων κλπ.
βασικές αρχές της ρεαλιστικής µαθηµατικής εκπαίδευσης 6. Η εκµάθηση των µαθηµατικών δεν είναι η απορρόφηση µιας συλλογής «άσχετων» µεταξύ τους γνώσεων και δεξιοτήτων αλλά η οικοδόµηση εννοιών µέσα σε µια δοµηµένη ενότητα. Επειδή οι µαθηµατικές έννοιες όπως και τα πραγµατικά φαινόµενα - σπανίως εκφράζουν µια και µόνο δοµή, θα πρέπει οι µαθησιακές πορείες να αλληλοσυµπλέκονται και να συσχετίζονται µεταξύ τους. Αυτό πρέπει να συµβαίνει και για έναν ακόµα λόγο:. επειδή τα προαπαιτούµενα για την προοδευτική µαθηµατικοποίηση σε µια θεµατική περιοχή, συνήθως βρίσκονται σε άλλες θεµατικές περιοχές. Χρήση των αρχών της διαθεµατικής προσέγγισης στη µαθηµατική εκπαίδευση
κάποια παραδείγµατα
ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα από: Φουδούλη, A., 11 Σχέδια µαθήµατος ρεαλιστικών µαθηµατικών, Διπλωµατική επ. Κωνσταντίνος εργασία (επ: Π. Χρήστου Ε. Κολέζα)
ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα από: Φουδούλη, A., 11 Σχέδια µαθήµατος ρεαλιστικών µαθηµατικών, Διπλωµατική επ. Κωνσταντίνος εργασία (επ: Π. Χρήστου Ε. Κολέζα)
ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα από: Φουδούλη, A., 11 Σχέδια µαθήµατος ρεαλιστικών µαθηµατικών, Διπλωµατική επ. Κωνσταντίνος εργασία (επ: Π. Χρήστου Ε. Κολέζα)
ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα από: Φουδούλη, A., 11 Σχέδια µαθήµατος ρεαλιστικών µαθηµατικών, Διπλωµατική επ. Κωνσταντίνος εργασία (επ: Π. Χρήστου Ε. Κολέζα)
ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα από: Φουδούλη, A., 11 Σχέδια µαθήµατος ρεαλιστικών µαθηµατικών, Διπλωµατική επ. Κωνσταντίνος εργασία (επ: Π. Χρήστου Ε. Κολέζα)
ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα από: Φουδούλη, A., 11 Σχέδια µαθήµατος ρεαλιστικών µαθηµατικών, Διπλωµατική επ. Κωνσταντίνος εργασία (επ: Π. Χρήστου Ε. Κολέζα)
ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα από: Φουδούλη, A., 11 Σχέδια µαθήµατος ρεαλιστικών µαθηµατικών, Διπλωµατική επ. Κωνσταντίνος εργασία (επ: Π. Χρήστου Ε. Κολέζα)
ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα από: Φουδούλη, A., 11 Σχέδια µαθήµατος ρεαλιστικών µαθηµατικών, Διπλωµατική επ. Κωνσταντίνος εργασία (επ: Π. Χρήστου Ε. Κολέζα)
µοντέλα στα µαθηµατικά & η διαδικασία της µοντελοποίησης
µοντέλα στα µαθηµατικά Πρόβληµα: Υπάρχουν 12 λουλούδια στην αυλή. Έκοψα τα 4 να τα δώσω στη φίλη µου. Πόσα έµειναν στον κήπο;
Σε ένα τραπέζι κάθονται 4 άτοµα Πήρε µία παρέα να κλείσει τραπέζι για 12 άτοµα, πόσα τραπέζια πρέπει να ενώσουµε; Πόσα τραπέζια για δέκα άτοµα;
τα µοντέλα στη διδακτική πράξη Υπό το πρίσµα της µοντελοποίησης, το ζητούµενο της µάθησης δεν περιορίζεται µόνο στην πρόσκτηση ενός µοντέλου αλλά επεκτείνεται και στην ανάπτυξη όλων εκείνων των γνωστικών εργαλείων που επιτρέπουν τις πρακτικές της µοντελοποίησης (Ραβάνης, 1999). Μοντελοποίηση: είναι η διαδικασία δηµιουργίας αφηρηµένων, εννοιολογικών, γραφικών ή και µαθηµατικών µοντέλων. Η προσέγγιση που βοηθά τους µαθητές να εκφράζουν και να σκέφτονται µε όρους µοντέλων και όχι µε µαθηµατικά σύµβολα ή γλωσσικές εκφράσεις φαίνεται ότι ενισχύουν την κατανόησή τους και όχι την στείρα αποµνηµόνευση (Βοσνιάδου, 1998).
µοντελοποίηση...συνέχεια
το µοντέλο της µοντελοποίησης
το µοντέλο της µοντελοποίησης
το µοντέλο της µοντελοποίησης
το µοντέλο της µοντελοποίησης
µοντελοποίηση στα µαθηµατικά: η διαδικασία µετατροπής µιας ρεαλιστικής προβληµατικής κατάστασης σε ένα µοντέλο /αναπαράσταση που θα βοηθήσει στην επίλυση ή/και διερεύνηση για τις λύσεις του προβλήµατος
παράδειγµα «α. Ποια σχέση συνδέει το χρόνο µε τον όγκο του νερού που µπαίνει σε ένα βαρέλι όταν η παροχή της βρύσης είναι σταθερή; β. Ποια σχέση συνδέει τον όγκο νερού µε την παροχή σε συγκεκριµένο χρονικό διάστηµα; γ. Ποια σχέση συνδέει τον χρόνο µε την παροχή όταν ο όγκος του νερού είναι συγκεκριµένος;».
µοντελοποίηση στα µαθηµατικά: ερµηνεία πραγµατικών καταστάσεων επίλυση ρεαλιστικών προβληµάτων σύνδεση µε την πραγµατικότητα διαθεµατικότητα χρήση διαφορετικών αναπαραστάσεων διερεύνηση διαφόρων τρόπων λύσεως συζήτηση επί των λύσεων αξιολόγηση του τρόπου δράσης
Ο φούρναρης και ο γίγαντας Σ' ένα µακρινό δάσος στην πέρα -πέρα και παραπέρα χώρα ζούσε ένας γίγαντας σε ένα πανύψηλο πύργο. Πέντε χιλιόµετρα νότια υπήρχε ένα µικρό χωριουδάκι ( όχι των στρουµφ βέβαια ). Εκεί ζούσε ο κύριος Μαθηµάτας ο φούρναρης που ήταν πέντε φορές πιο κοντός από τον γίγαντά µας. Ζούσε σ ένα φτωχικό καλυβάκι που ήταν πέντε φορές χαµηλότερο απ τον πύργο του γίγαντα. Μια µέρα ο κύριος Μαθηµάτας αποφάσισε να κάνει περίπατο στο δάσος για να χαρεί τη φύση και το οξυγόνο. Οι πατούσες του ήταν πέντε φορές µικρότερες από τις πατούσες του γίγαντα. Καθώς προχωρούσε αισθάνθηκε περίεργα σα να συνταρασσόταν η γη από σεισµό. Γρήγορα ήρθε αντιµέτωπος µε τον πελώριο κάτοικο του δάσους. 'Εγιναν αµέσως φίλοι ( ο καλόκαρδος γίγαντας που λέµε...)! Από τότε ο φούρναρής µας έφτιαχνε καθηµερινά ψωµί για τον φίλο του. Μόνο που είχε ένα πρόβληµα : Το ψωµί που έτρωγε ο γίγαντας ήταν πέντε φορές µεγαλύτερο από το ψωµί του κυρίου Μαθηµάτα! Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα :
Ο φούρναρης και ο γίγαντας Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα : Ύψος φούρναρη Ύψος γίγαντα ύψος καλύβας ύψος πύργου 150cm 3m 600cm 25m µήκος πατούσας φούρναρη 25cm µήκος πατούσας γίγαντα 140cm µήκος ψωµιού φούρναρη µήκος ψωµιού γίγαντα 20cm
διδακτικά ωφέλη από µοντελοποίηση προβληµάτων δεν γίνεται χρήση τυπικών µαθηµατικών όπως συµβαίνει µε τα κλασσικά συστήµατα µοντελοποίησης αλλά ευνοείται ο ποιοτικός και ο ηµιποσοτικός συλλογισµός, είναι εφικτή η µοντελοποίηση µε βάση την ανάλυση των προβληµάτων και των καταστάσεων σε οντότητες ή αντικείµενα, σε ιδιότητές τους καθώς και σχέσεις µεταξύ των ιδιοτήτων, επιτρέπεται η έκφραση µέσω οπτικοποίησης τόσο των οντοτήτων, και των ιδιοτήτων τους όσο και των σχέσεων ή των κανόνων που τις διέπουν ή επιδρούν πάνω σε αυτές, υποστηρίζονται ποικίλες και κατάλληλες συµβολικές και γραφικές αναπαραστάσεις, που συνιστούν γνωστικά εργαλεία και µαθησιακά βοηθήµατα, επιτρέπεται στο µαθητή η ανάπτυξη µεταγνωστικών ικανοτήτων, σηµαντικών για την οικοδόµηση των γνώσεων, υποστηρίζονται συνεργατικές δραστηριότητες µεταξύ οµάδων µαθητών αλλά και διδασκόντων τόσο σε επίπεδο τοπικού δικτύου, όσο και σε επίπεδο διαδικτύου.
Δραστηριότητες µοντελοποίησης Vs Λεκτικά προβλήµατα
Σενάριο για την εισαγωγή της έννοιας της δύναµης Σε µια λίµνη υπάρχει ένα νούφαρο µήκους 2 cm. Κάθε µέρα διπλασιάζει το µήκος του. Να καταγράψετε τα µήκη του νούφαρου στη διάρκεια των πρώτων 5 ηµερών: Λύση : 1η µέρα : 2 cm 2η µέρα : 2 * 2 cm 3η µέρα : 2 * 2 * 2 cm 4η µέρα : 2 * 2 * 2 * 2 cm 5η µέρα : 2 * 2 * 2 * 2 * 2 γραφική αναπαράσταση σε µιλιµιτρέ χαρτί σταδιακή µαθηµατικοποίηση
µοντελοποίηση και εξισώσεις Πρόβληµα : Η Τασία έχει διπλάσια χρήµατα από την Ελένη. Η Ελένη τριπλάσια απ τη Βούλα. Τα συνολικά τους χρήµατα είναι 200 ευρώ. Πόσα χρήµατα διαθέτουν η κάθε µία; Λύση : Εδώ προτείνετε η εικονική αναπαράσταση των χρηµατων της καθεµίας µε παύλες. Με - εικονίζουµε τα χρήµατα της Βούλας. Βούλα : - Ελένη : - - - Τασία : - - - - - - Αν τώρα η - παριστάνει τον άγνωστο x γίνεται φανερό ότι η εξίσωσή µας είναι η x +3x+6x = 200.Ή ακόµη από το µέτρηµα των παυλών : 10x =200.
µοντελοποίηση π.χ., Ένας βιολόγος θέλει να µετρήσει τις πέστροφες που υπάρχουν σε µία λίµνη. Πιάνει την πρώτη φορά 150 πέστροφες, τις σηµαδεύει και τις ξαναπετάει στη λίµνη. Τη δεύτερη φορά ξανιαπιάνει 150 πέστροφες εκ των οποίων οι 9 ήταν συµαδεµένες. Τι συµπέρασµα µπορεί να βγάλει;
στόχος µοντελοποίησης Ο στόχος δεν είναι απλώς η παραγωγή µιας συγκεκριµένης απάντησης σε συγκεκριµένο ερώτηµα. Ο στόχος είναι η ανάπτυξη ενός εννοιολογικού εργαλείου (µοντέλου) για κατασκευή, περιγραφή, ή επεξήγηση ενός σηµαντικού µαθηµατικού συστήµατος. εφαρµοσιµότητα των µαθηµατικών: διδασκαλία των µαθηµατικών ως διαδικασία µαθηµατικοποίησης της πραγµατικότητας
παράδειγµα Νωρίς το πρωί η αστυνοµία ανακάλυψε ότι κάποιοι άνθρωποι επιδιόρθωσαν το περιτοίχισµα του πάρκου, που είχε καταστραφεί από τις βροχές του χειµώνα. Η κατασκευή του περιτοιχίσµατος είναι απαραίτητη για την ασφάλεια των παιδιών που παίζουν στο πάρκο. Οι γονείς των παιδιών θέλουν να ευχαριστήσουν τους ανθρώπους που είχαν επιδιορθώσει το περιτοίχισµα. Το µόνο, όµως, που βρήκε η αστυνοµία είναι τα ίχνη των παπουτσιών των ανθρώπων που εργάστηκαν για την επιδιόρθωση. Το ίχνος που φαίνεται στην εικόνα ανήκει πιθανώς σε κάποιο µεγαλόσωµο άτοµο. Η αστυνοµία είναι πιθανόν να ανακαλύψει την ταυτότητα των ανθρώπων από το ύψος τους. Για να βοηθήσετε την αστυνοµία να βρει αυτούς τους ανθρώπους, πρέπει να σκεφτείτε έναν τρόπο µε τον οποίο να υπολογίζετε το ύψος των ανθρώπων από το µέγεθος των παπουτσιών που φορούν.
Δραστηριότητες ανάδειξης µοντέλου http://www.learner.org/resources /series32.html
Δραστηριότητες ανάδειξης µοντέλου Προβληµατική κατάσταση που απαιτεί τη δηµιουργία νέου µοντέλου Ενεργοποίηση προϋπάρχουσας γνώσης Διαχείριση και αξιολόγηση της χρήσιµης πληροφορίας Ενεργοποίηση δεξιοτήτων από άλλες περιοχές της γνώσης Αξιολόγηση-µετατροπή του µοντέλου Συλλογική δράση για τη διερεύνηση της λύσης Λήψη αποφάσεων, έκφραση υποθέσεων, διεξαγωγή πειραµατικών συνθηκών για την αξιολόγηση της λειτουργίας του µοντέλου Συνεργασία και ανάπτυξη κοινωνικών δεξιοτήτων Μεταφορά της γνώσης γενίκευση
Αρχές κατασκευής δραστηριοτήτων µοντελοποίησης Η ρεαλιστική αρχή να έχει σχέση µε την πραγµατικότητα των µαθητών, να περιγράφει κατά το δυνατόν µια ρεαλιστική κατάσταση Η αρχή της κατασκευής µοντέλου να έχει δυνατότητα να αναπαρασταθεί µε ένα (τουλάχιστον) µοντέλο Η αρχή της αυτό-αξιολόγησης Η αρχή της τεκµηρίωσης της έννοιας (Η αρχή της εξωτερίκευσης) να µπορεί να τρέξει το µοντέλο και να ελεγχθεί η λειτουργία του Η αρχή της µεταφοράς των γνώσεων και της επαναχρησιµοποίησης του µοντέλου η δυνατότητα του µοντέλου να µεταφερθεί σε άλλα αντικείµενα, ώστε να αποτελεί σηµαντική γνώση
Δραστηριότητες ανάδειξης µοντέλου Βασικά χαρακτηριστικά: Να δηµιουργεί κίνητρα ενασχόλησης Να έχει νόηµα και να είναι κοντά στα ενδιαφέροντα των µαθητών Να µπορεί να διερευνηθεί µε ποικιλία τρόπων και διαφορετικών αναπαραστάσεων Να έχει ξεκάθαρους στόχους και να είναι κοντινό στις ικανότητες των µαθητών Να µπορεί να γενικευθεί η γνώση και να µεταφερθεί σε άλλες περιπτώσεις
Δραστηριότητες ανάδειξης µοντέλου παραδείγµατα Μελέτη της µεταβολής της απόστασης κινούµενου αυτοκινήτου από δυο σταθερά σηµεία. Πρόβληµα: Ένας αυτοκινητόδροµος βρίσκεται κοντά σε δυο σταθµούς εκποµπής σήµατος κινητού τηλεφώνου Α και Β. Μπορείτε να περιγράψετε πώς µεταβάλλονται οι αποστάσεις ενός αυτοκίνητο του από τους σταθµούς Α και Β καθώς κινείται στον αυτοκινητόδροµο; Το πρόβληµα αυτό επιτρέπει στον µαθητή (1) να κατασκευάσει το µοντέλο ο ίδιος, επιλέγοντας τις πληροφορίες που του είναι αναγκαίες για τη µελέτη και (2) να χρησιµοποιεί τις δυνατότητες του µέσου για να αναπαριστά την κίνηση και να κάνει πειράµατα µε τη θέση του κινητού και τις αποστάσεις του από τους σταθµούς Α και Β.
Οι αποστάσεις ΣΑ και ΣΒ του κινητού Σ από τους δυο σταθµούς (1) καταγράφονται σε ένα πίνακα τιµών, (2) χρησιµοποιούνται ως πλευρές ενός ορθογωνίου και ακόµα (3) γίνονται συντεταγµένες ενός σηµείου. Καθώς οι αποστάσεις µεταβάλλονται µπορούµε να κάνουµε εγγραφές των αποστάσεων στον πίνακα τιµών µε το πλήκτρο Tab, να παρατηρούµε τον τρόπο µεταβολής των πλευρών του ορθογωνίου και τον γεωµετρικό τόπο που γράφει το σηµείο που ορίζουν επ. Κωνσταντίνος οι συντεταγµένες Π. Χρήστου - αποστάσεις.
Δραστηριότητες ανάδειξης µοντέλου παραδείγµατα Υλοποίηση: Οι µαθητές αρχικά εστιάζουν την προσοχή τους στην µεταβολή της απόστασης ΣΑ και περιγράφουν τον τρόπο µεταβολής της καθώς κινούν µε το ποντίκι τους το κινητό Σ. Μετά εστιάζουν την προσοχή τους στην µεταβολή της απόστασης ΣΒ και περιγράφουν τον τρόπο µεταβολής της. Οι µαθητές εστιάζουν την προσοχή τους ταυτόχρονα στην µεταβολή της απόστασης ΣΑ και της απόστασης ΣΒ και περιγράφουν τον τρόπο συµµεταβολής τους (η συνεχής επανάληψη της κίνησης βοηθά τους µαθητές να αποκτήσουν δυνατότητες νοητικού συντονισµού στην µεταβολή των αποστάσεων, δηλαδή στη «θέαση» της συµµεταβολής των δυο αποστάσεων). Περιγράφουν την συµµεταβολή µε τη βοήθεια του γραφήµατος ή του παραλληλογράµµου ή του πίνακα τιµών. Μεταβάλλουν τη θέση των πόλεων ή του δρόµου και επαναλαµβάνουν την ίδια διαδικασία. Εξετάζουν ειδικές περιπτώσεις οι δυο πόλεις να είναι στην ίδια πλευρά του δρόµου ή και στις δυο πλευρές του αλλά κοντά στα δυο άκρα του ή πάνω στο δρόµο και οι δυο ή η µια. Έτσι αποκτούν πληρέστερη εικόνα για τη συµµεταβολή. Αναζητούν την θέση που το άθροισµα των δυο αποστάσεων είναι ελάχιστο. Εκφράζουν τον τρόπο µεταβολής των δυο αποστάσεων µε πολλαπλούς τρόπους
µοντέλα σε σενάρια
Δραστηριότητες ανάδειξης µοντέλου παραδείγµατα «Το σχολείο σας οργανώνει µια εκδροµή. Απευθύνεται σε ένα τουριστικό πρακτορείο για να πάρει προσφορά. Το πρακτορείο αρχικά σκόπευε να χρεώσει 150 για κάθε µαθητή. Δεδοµένου όµως ότι 100 µαθητές έχουν ήδη δηλώσει συµµετοχή στην εκδροµή προτίθεται να µειώσει το κόστος συµµετοχής όλων των µαθητών κατά 10 για κάθε επιπλέον µαθητή που συµµετέχει πέρα από τους πρώτους 100. Να διερευνήσετε πως διαµορφώνεται το κόστος της εκδροµής µετά την νέα αυτή προσφορά του τουριστικού πρακτορείου; Πόσοι µαθητές πρέπει να συµµετάσχουν στην εκδροµή ώστε η προσφορά αυτή να συµφέρει το πρακτορείο και πόσοι για να συµφέρει τους µαθητές;»
Πρόβληµα Mία ομάδα μαθητών σχεδιάζει ένα ταξίδι στο Λονδίνο για να συγκεντρώσει χρήματα για φιλανθρωπικό σκοπό. Τα εισιτήρια έχουν τιμές 10 για ενήλικες και 5 για παιδιά. Περιορισμός 1: Το minibus που έχουν νοικιάσει έχει θέσεις για 14 μόνο άτομα. Περιορισμός 2: Η εκδήλωση θα πραγματοποιηθεί μόνο αν υπάρχουν 10 ή περισσότεροι συμμετέχοντες Περιορισμός 3: Χρειάζεται να συμμετάσχουν τουλάχιστον τόσα παιδιά όσα και ενήλικες. 3/27/13
Απάντηση Εστω x o αριθµός των παιδιών και y ο αριθµός των ενηλίκων. Οι περιορισµοί: Περιορισµός 1: x + y 14 Περιορισµός 2: x + y 10 Περιορισµός 3: x y Διόρθωση αξόνων ώστε 0 x 15 and 0 y 15. Οbjective function: 5x+10y=k k=10 3/27/13
ΠΟΣΟΣΤΑ - ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Η διδασκαλία των ποσοστών ενσωµατώνεται στη λογική και τη διδασκαλία των ρητών αριθµών και συσχετίζεται µε τη διδασκαλία των κλασµάτων, των δεκαδικών και των αναλογιών. Το «ραβδο-µοντέλο» (bar model) συνδέει αυτές τις διαφορετικές εκφράσεις του ρητού αριθµού. Εκτός από το ραβδο-µοντέλο, που αργότερα γίνεται διπλή αριθµογραµµή, ο πίνακας αναλογιών και τα κυκλικά διαγράµµατα (pie -chart) διαδραµατίζουν επίσης έναν σηµαντικό ρόλο στη διδακτική και µαθησιακή πορεία του ποσοστού. 71
ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα 72
ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα Αρχικά ξεκινάμε με μερικές διερευνητικές δραστηριότητες που προετοιμάζουν το «κτίσιμο» του μοντέλου. Θέμα: το σχολικό θέατρο. Οι μαθητές καλούνται να δείξουν για τις διαφορετικές παραστάσεις πόσο γεμάτο θα είναι το θέατρο. Μπορούν να το κάνουν αυτό χρωματίζοντας το μέρος της αίθουσας που είναι κατειλημμένη και γράφοντας έπειτα το ποσοστό των καθισμάτων που είναι κατειλημμένα. 73
ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα 74
ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα Με τον ίδιο τρόπο όπως στην περίπτωση του θεάτρου, σε μια δραστηριότητα συνόψισης οι μαθητές καλούνται να φτιάξουν σχέδια για να εκφράσουν το νόημα μιας πρότασης που περιέχει ποσοστό. 75
ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα 76
77
Στο επόμενο βήμα το ορθογώνιο πλαίσιο που αναπαριστά το χώρο στάθμευσης αντικαθίσταται από ένα ραβδομοντέλο. Η πληρότητα του χώρου στάθμευσης στο ραβδομοντέλο εκφράζεται και μέσω ποσοστού. 78
ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα 79
ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα 80
ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα 81
ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα 82
ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα Για να κατεβάσει ένα αρχείο ο υπολογιστής σου χρειάζεται 24 λεπτά. Πόσο θέλει ακόμα αν έχει κατέβει το 75% του αρχείου; 83
ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα 84
ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα 85
86
ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα 87
ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα 88
ρεαλιστική συνθήκη ένα παράδειγµα 89
π.χ., µαθηµατικοποίησης Ι
π.χ., µαθηµατικοποίησης ΙΙ
π.χ., µαθηµατικοποίησης ΙΙΙ
Realism vs Romanticism in fine arts Caspar David Friedrich, Wanderer Above the Sea of Fog, 1818 Bonjour, Monsieur Courbet, 1854. Realist painting by Gustave Courbet.
ενδεικτική βιβλιογραφία Van Hiele, P., 1986, Structure and insight: A theory of Mathematics Education. New York: Academic Press, Inc. Κολέζα, Ε., 2000, Γνωσιολογική και Διδακτική προσέγγιση των Στοιχειωδών Εννοιών. Leader Books, Αθήνα Freudenthal H (1973), Mathematics as an educational task, Dordrecht - Holland: Reidel Publishing Company. Freudenthal H (1983), Didactical Phenomenology of Mathematical Structure, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers Πιπίνος, Γ. (2006) Διδακτική αξιοποίηση της θεωρίας των Van Hiele, Επιστηµονικό βήµα, τ.5. Φουδούλη, A., 11 Σχέδια µαθήµατος ρεαλιστικών µαθηµατικών, Διπλωµατική εργασία (επ: Ε. Κολέζα)