ιν σατισφαχτιον µεασυρεµεντ

Θυαδερνι δι Στατιστιχα ςολ. 11, 2009 Μισσινγ ϖαλυεσ τρεατµεντ ωιτητι Ιντερϖαλτι Ιµπυτατιον ιν σατισφαχτιον µεασυρεµεντ Παολα Ζυχχολοττο ιπαρτιµεντο Μετοδι Θυαντιτατιϖι, Υνιϖερσιτ α δεγλι Στυδι δι Βρεσχια Ε µαιλ: ζυκ εχο.υνιβσ.ιτ Συµµαρψ: Ιν τηε φραµεωορκ οφ σατισφαχτιον µεασυρεµεντ µανψ στατιστιχαλ τεχηνιθυεσ ηαϖε βεεν προποσεδ ιν ορδερ το φαχε τωο µαιν θυεστιονσ: ρστλψ τηε φαχτ τηατ τηε αναλψσεσ υσυαλλψ ινϖολϖε ορδερεδ χατεγοριχαλ ϖαριαβλεσ, σεχονδλψ τηε πρεσενχε οφ µισσινγ ϖαλυεσ, δυε το σοµε συβϕεχτσ ινχαπαχιτψ ορ υνωιλλινγνεσσ το γιϖε ανσωερσ το ονε ορ µορε ποιντσ. Ιν τηισ παπερ Ιντερϖαλ Ιµπυτατιον, α ρεχεντ τεχηνιθυε φορ µισσινγ ϖαλυεσ τρεατµεντ, βασεδ ον τηε ιδεα οφ σψµβολιχ δατα αναλψσισ, ισ εµπλοψεδ ωιτη νονλινεαρ πρινχιπαλ χοµπονεντ αναλψσισ ιν τηε χοντεξτ οφ σατισφαχτιον µεασυρεµεντ. Τηε περφορµανχε οφ τηε προποσεδ στρατεγψ ισ χοµπαρεδ ωιτη τηε τραδιτιοναλ προχεδυρεσ βψ µεανσ οφ α σιµυλατιον στυδψ. Κεψωορδσ: Μισσινγ ϖαλυεσ, σψµβολιχ δατα αναλψσισ, Ιντερϖαλ Ιµπυτατιον, σατισφαχτιον µεασυρεµεντ. 1. Ιντροδυχτιον Ιν τηε ρεχεντ ψεαρσ α ωιδε ιντερεστ ηασ βεεν δεϖοτεδ το στατιστιχαλ τεχη νιθυεσ αιµεδ ατ εϖαλυατινγ ανδ µεασυρινγ σατισφαχτιον. Τηε αναλψσεσ αρε υσυαλλψ χαρριεδ ουτ ον τηε βασισ οφ τηε ϕυδγµεντσ αχθυιρεδ φροµ τηε συβ ϕεχτσ, βψ µεανσ οφ α στρυχτυρεδ θυεστιονναιρε. Τηε µαιν µετηοδ φορ αχ θυιρινγ σατισφαχτιον ϕυδγµεντσ ισ το αρρανγε α σετ οφ ιτεµσ, ασκινγ φορ σατ ισφαχτιον ϕυδγµεντσ αβουτ σεϖεραλ διφφερεντ ασπεχτσ οφ τηε προδυχτ/σερϖιχε (φαχετ σατισφαχτιον, ΦΣ). Ωιτη τηισ αππροαχη, σπεχι χ στατιστιχαλ τεχηνιθυεσ αρε υσυαλλψ εµπλοψεδ, ιν ορδερ το οβταιν ονε ορ µορε χοµποσιτε σατισφαχ τιον ινδεξεσ, τακινγ αχχουντ οφ αλλ τηε σινγλε ΦΣ ϕυδγµεντσ. Ιν τηε χονστρυχτιον οφ α χοµποσιτε σατισφαχτιον ινδεξ, τωο µαιν προβ

146 Π. Ζυχχολοττο λεµσ ηαϖε το βε φαχεδ: (1) τηε ορδιναλ σχαλε οφ ΦΣ ϕυδγµεντσ, τψπιχαλλψ οβταινεδ τηρουγη Λικερτ τψπε ϖαριαβλεσ ανδ (2) τηε ποσσιβλε πρεσενχε οφ µισσινγ ϖαλυεσ. Φορ βοτη τηεσε προβλεµσ, σεϖεραλ τεχηνιθυεσ ηαϖε βεεν προποσεδ ιν τηε λιτερατυρε. Ιν τηισ παπερ ωε δεαλ ωιτη τηε διµενσιοναλιτψ ρεδυχτιον τοολ χαλλεδ νονλινεαρ πρινχιπαλ χοµπονεντ αναλψσισ (ΝΛ ΠΧΑ Γι, 1990). ΝΛ ΠΧΑ ισ ωιδελψ υσεδ ιν τηε χοντεξτ οφ τηε χονστρυχτιον οφ χοµποσιτε σατισφαχτιον ινδεξεσ βεχαυσε ιτ ασσιγνσ νυµεριχαλ ϖαλυεσ το τηε χατεγοριεσ οφ θυαλιτατιϖε ϖαριαβλεσ βψ µεανσ οφ αν οπτιµαλ σχαλινγ προχεδυρε. Τηυσ ιτ ισ αβλε το προπερλψ τρεατ ορδιναλ σχαλεδ ΦΣ ϕυδγεµεντσ. Φροµ τηε ποιντ οφ ϖιεω οφ µισσινγ ϖαλυεσ τρεατµεντ, ωε φοχυσ αττεντιον ον Ιντερϖαλ Ιµπυτατιον (ΙνΙ Ζυχχολοττο, 2008, 2009), α τεχηνιθυε βασεδ ον τηε ιδεα οφ λλινγ βλανκσ υσινγ ιντερϖαλσ ινστεαδ οφ σπεχι χ ιµπυτεδ ϖαλυεσ. Τηε µαιν αιµ οφ τηισ παπερ ισ το ινϖεστιγατε τηε περφορµανχε οφ ΙνΙ ωηεν υσεδ ωιτη ΝΛ ΠΧΑ ιν τηε φραµεωορκ οφ σατισφαχτιον µεασυρεµεντ ανδ το χοµπαρε ιτ ωιτη τηε αππροαχηεσ το µισσινγ ϖαλυεσ τρεατµεντ τραδι τιοναλλψ υσεδ ωιτη ΝΛ ΠΧΑ. Τηισ ισ µαδε βψ µεανσ οφ α σιµυλατιον στυδψ. Τηε παπερ ισ οργανιζεδ ασ φολλοωσ: ιν σεχτιον 2 τηε ΙνΙ τεχηνιθυε ισ ρεχαλλεδ ανδ εξπλαινεδ υσινγ βοτη αν ιλλυστρατιϖε εξαµπλε ανδ α ρεαλ δατα χασε στυδψ αβουτ ϕοβ σατισφαχτιον µεασυρεµεντ. Σεχτιον 3 ιλλυστρατεσ τηε σιµυλατιον στυδψ ανδ συµµαριζεσ ιτσ µαιν ρεσυλτσ, σοµε ναλ ρεµαρκσ φολλοω ιν σεχτιον 4. 2. Μισσινγ ϖαλυεσ τρεατµεντ ωιτη ΙνΙ Ιντερϖαλ Ιµπυτατιον (Ζυχχολοττο, 2008, 2009) ισ α προχεδυρε φορ µισσ ινγ ϖαλυεσ τρεατµεντ, χονσιστινγ ιν τηε ρεπλαχεµεντ οφ εϖερψ µισσινγ ϖαλυε ωιτη αν ιντερϖαλ ρανγινγ φροµ τηε µινιµυµ το τηε µαξιµυµ ϖαλυε αδµισ σιβλε φορ τηε χονχερνεδ ϖαριαβλε. Τηε ρεσυλτινγ δατασετ ισ τηυσ χοµποσεδ βψ σινγλε ϖαλυεδ ανδ ιντερϖαλ ϖαλυεδ µεασυρεµεντσ µιξεδ ανδ ηασ το βε προχεσσεδ υσινγ σπεχι χ τεχηνιθυεσ. Τηε τηεορετιχαλ αππαρατυσ ωε χαν ρεφερ το ισ τηατ οφ σψµβολιχ δατα αναλ ψσισ (Σ Α ιδαψ, 1987). Σ Α δεαλσ ωιτη δατα µατριχεσ ωηοσε γενεριχ ελεµεντ x ij ισ νοτ νεχεσσαριλψ α σινγλε θυαντιτατιϖε ορ χατεγοριχαλ ϖαλυε,

Μισσινγ ϖαλυεσ τρεατµεντ ωιτη ιντερϖαλ ιµπυτατιον ιν σατισφαχτιον µεασυρεµεντ 147 βυτ χαν βε, φορ εξαµπλε, α διστριβυτιον (ηιστογραµ τψπε ϖαριαβλεσ) ασ ωελλ ασ αν ιντερϖαλ (ιντερϖαλ τψπε ϖαριαβλεσ), ορ α σετ οφ ϖαλυεσ λινκεδ βψ σοµε λογιχαλ ρυλε. Ιν τηισ φραµεωορκ, σοµε µετηοδσ ηαϖε βεεν προποσεδ ιν ορδερ το εξτενδ χλασσιχαλ διµενσιοναλιτψ ρεδυχτιον µετηοδσ το σψµβολιχ δατα. Τηε προβλεµ ηασ βεεν εξπλιχιτλψ φορµαλιζεδ βψ Γοδωα ετ αλ. (1995), ανδ τηεν φυρτηερ ινϖεστιγατεδ φροµ διφφερεντ ποιντσ οφ ϖιεω. Χαζεσ ετ αλ. (1997) προποσεδ τωο ποπυλαρ µετηοδσ φορ ΠΧΑ ον ιντερϖαλ δατα, χαλλεδ ϖερτιχεσ µετηοδ ανδ χεντερσ µετηοδ, λατερ ρε νεδ βψ Λαυρο ανδ Παλυµβο (2000). Αβουτ τηε ΠΧΑ φορ ηιστογραµ δατα, Ροδρ γυεζ ετ αλ. (2000) προ ποσεδ αν αλγοριτηµ αλσο ωορκινγ ιφ τηε δατα ταβλε ηασ ϖαριαβλεσ οφ ιντερϖαλ τψπε ανδ ηιστογραµ τψπε µιξεδ. Γιορδανι ανδ Κιερσ (2004) ιντροδυχεδ α µετηοδ φορ τηρεε ωαψ χοµπονεντ αναλψσισ οφ ιντερϖαλ δατα. Ιν τηισ παπερ ωε φολλοω τηε ποπυλαρ ϖερτιχεσ µετηοδ οφ Χαζεσ ετ αλ. (1997), ωηοσε βασιχ οβσερϖατιον ισ τηατ α συβϕεχτ µεασυρεδ βψ µεανσ οφ p ιντερϖαλ τψπε ϖαριαβλεσ, χαν βε χονσιδερεδ α p διµενσιοναλ ηψπερρεχταν γλε. Σψµβολιχ πρινχιπαλ χοµπονεντ αναλψσισ (ΣΠΧΑ) ισ τηεν χαρριεδ ουτ βψ αππλψινγ τραδιτιοναλ ΠΧΑ το τηε δατα µατριξ Ξ N2 p p οβταινεδ σταχκινγ βελοω εαχη οτηερ αλλ τηε 2 p ϖερτιχεσ οφ τηε ηψπερρεχτανγλεσ χορρεσπονδ ινγ το εαχη συβϕεχτ. Τηε διµενσιοναλιτψ ρεδυχτιον ισ οβταινεδ βψ προϕεχτ ινγ αλλ τηε ηψπερρεχτανγλεσ ϖερτιχεσ ιν τηε ρστ q (q <p) φαχτοριαλ αξεσ. Φορ εξαµπλε, ωιτη q =2, τηε τωο διµενσιοναλ ρεπρεσεντατιον ϖισυαλιζεσ τηε προϕεχτιονσ οφ αλλ τηε ηψπερρεχτανγλεσ ϖερτιχεσ ιν τηε πλανε σπαννεδ βψ τηε 1στ ανδ τηε 2νδ Πρινχιπαλ Χοµπονεντ (ΠΧ). Τηυσ, αχχορδινγ το ϖερτιχεσ µετηοδ, εαχη συβϕεχτ ισ ρεπρεσεντεδ βψ µεανσ οφ αν ιρρεγυλαρλψ σηαπεδ τωο διµενσιοναλ σχαττερινγ, ωηιχη χαν βε ϖισυαλιζεδ βψ µεανσ οφ ιτσ µαξιµυµ χοϖερινγ αρεα ρεχτανγλε ορ ιτσ χονϖεξ ηυλλ. Τηε ϖερτιχεσ µετηοδ χαν βε αππλιεδ το τηε παρτιχυλαρ δατα µατριξ γεν ερατεδ βψ ΙνΙ βεχαυσε τηε σινγλε ϖαλυεδ µεασυρεµεντσ ιτ χονταινσ χαν βε χονσιδερεδ ασ λιµιτινγ χασεσ οφ δεγενερατε ιντερϖαλσ. Λετ X βε τηε οριγιναλ δατα µατριξ, χονταινινγ σοµε µισσινγ ϖαλυεσ (miss) x 11 miss x 13... x 1p X N p =......., x N1 x N2 x N3... miss

148 Π. Ζυχχολοττο τηε ιµπυτεδ µατριξ ισ γιϖεν βψ x 11 [x 2,min ;x 2,max ] x 13... x 1p X(InI) N p =......., x N1 x N2 x N3... [x p,min ;x p,max ] ωηερε [x j,min ;x j,max ] δενοτεσ τηε χλοσεδ ιντερϖαλ ρανγινγ φροµ τηε µινι µυµ το τηε µαξιµυµ ϖαλυε οφ j τη ϖαριαβλε. Σινχε ιν τηε µατριξ X(InI) τηερε ισ α ρελατιϖελψ σµαλλ νυµβερ οφ νον δεγενερατε ιντερϖαλσ, τηε (N2 p ) p µατριξ Ξ, ρεθυιρεδ βψ τηε ϖερτιχεσ µετηοδ, ρεσυλτσ λαργελψ οϖερσιζεδ. Τηε πρεσενχε οφ µανψ σινγλε ϖαλυεδ µεασυρεµεντσ αλλοωσ το χονστρυχτ α µυχη σµαλλερ µατριξ, βεχαυσε α συβ ϕεχτ i ωιτη m i µισσινγ ϖαλυεσ ισ α m i διµενσιοναλ ηψπερρεχτανγλε ιν τηε p διµενσιοναλ σπαχε ανδ ιτσ ηψπερρεχτανγλε ηασ ονλψ 2 m i ϖερτιχεσ. Ον τηε οτηερ ηανδ, ωε νεεδ το γιϖε τηε σαµε ωειγητ το αλλ τηε συβϕεχτσ. Σο, λετ M =max(m i ), εαχη συβϕεχτ ισ εξπανδεδ ιντο α 2 M p µατριξ Xi, (i =1, 2,...,N), χονταινινγ τηε ϖερτιχεσ οφ ιτσ ηψπερρεχτανγλε, ρεπλιχατεδ 2 M m i τιµεσ. Τηε µατριξ Ξ(InI) ισ τηεν οβταινεδ σταχκινγ βελοω εαχη οτηερ αλλ τηε 2 M p µατριχεσ χορρεσπονδινγ το εαχη συβϕεχτ ανδ τραδιτιοναλ ΠΧΑ χαν βε αππλιεδ. ιµενσιοναλιτψ ισ ρεδυχεδ βψ προϕεχτινγ αλλ τηε ϖερτιχεσ ιν τηε ρστ q (q <p) φαχτοριαλ αξεσ. Ωε δενοτε ωιτη y hi τηε 2 M 1 ϖεχτορ χονταινινγ τηε προϕεχτιονσ οφ τηε ϖερτιχεσ οφ συβϕεχτ i ον τηε h τη φαχτοριαλ αξισ. Τηε ϖεχτορ y hi χονταινσ 2 m i διφφερεντ ϖαλυεσ. Ωηεν q =2, συβϕεχτσ χαν βε ρεπρεσεντεδ ιν τηε πλανε σπαννεδ βψ τηε ρστ τωο ΠΧσ. Οβσερϖατιονσ ωιτη m i > 0 προϕεχτ ιντο α σχαττερ ωηιχη χαν βε ϖισυαλιζεδ βψ µεανσ οφ αν ιρρεγυλαρλψ σηαπεδ τωο διµενσιοναλ πολψ γον. Τηισ ηιγηλιγητσ τηε υνχερταιντψ δεριϖινγ φροµ τηε πρεσενχε οφ σοµε µισσινγ ϖαλυεσ. Ον τηε οτηερ ηανδ, ωηεν m i =0, τηατ ισ ωιτη α χοµπλετε οβσερϖατιον, τηε δεγενερατε ηψπερρεχτανγλε ισ α ποιντ ιν τηε p διµενσιοναλ σπαχε, ασ ιν τηε τραδιτιοναλ δατα αναλψσισ, ανδ ιτ προϕεχτσ ιντο α σινγλε ποιντ. Τηε ΙνΙ µετηοδ ηασ ατ λεαστ φουρ µαϕορ αδϖανταγεσ: 1. συβϕεχτσ ωιτη µισσινγ ϖαλυεσ αρε µαινταινεδ ιν τηε δατασετ, ανδ τηε ινφορµατιον τηεψ χονταιν, εϖεν ιφ παρτιαλ, ισ ιν ανψ χασε ρεχοϖερεδ;

Μισσινγ ϖαλυεσ τρεατµεντ ωιτη ιντερϖαλ ιµπυτατιον ιν σατισφαχτιον µεασυρεµεντ 149 2. τηε προχεδυρε δοεσ νοτ νεεδ το ρεπλαχε τηε µισσινγ ωιτη συβϕεχτιϖελψ ιµπυτεδ ϖαλυεσ; 3. τηε παρτιχυλαρ ναλ ρεπρεσεντατιον οφ συβϕεχτσ ωιτη µισσινγ ϖαλυεσ αλλοωσ το αππρεχιατε τηειρ πεχυλιαρ φυζζψ χονδιτιον, ιν αδδιτιον τηε λαργερ τηε νυµβερ οφ µισσινγ οφ α γιϖεν συβϕεχτ, τηε λαργερ τηε αρεα οφ ιτσ πολψγον; 4. φορ α γιϖεν συβϕεχτ, τηε µισσινγ ινφορµατιον διφφερεντλψ αφφεχτσ ιτσ γραπηιχαλ ρεπρεσεντατιον ιν τηε φαχτοριαλ πλανε, ιν αχχορδανχε ωιτη τηε σχορεσ οφ τηε ϖαριαβλεσ ωηερε τηε µισσινγ αρε λοχατεδ. Ιν τηε χοντεξτ οφ ΦΣ, α µισσινγ ϖαλυε οχχυρσ ωηεν α συβϕεχτ ισ νοτ αβλε, ορ δοεσ νοτ ωαντ, το φορµυλατε α ϕυδγµεντ αβουτ α γιϖεν ιτεµ. Ιφ ΦΣ ϕυδγµεντσ αρε αχθυιρεδ βψ µεανσ οφ α Λικερτ σχαλε ωιτη k χατεγοριεσ, αχχορδινγ το ΙνΙ εαχη µισσινγ ισ ρεπλαχεδ βψ τηε ιντερϖαλ [1;k]. Ιν τηε χον τεξτ οφ σατισφαχτιον µεασυρεµεντ ΝΛ ΠΧΑ χαν βε αππλιεδ το τηε ϖερτιχεσ µατριξ ιν πλαχε οφ ΠΧΑ, ιν ορδερ το τακε αχχουντ οφ τηε ορδιναλ σχαλε οφ Λικερτ τψπε ϖαριαβλεσ. Τηε χοµποσιτε ινδεξεσ µεασυρινγ σατισφαχτιον λεϖελσ δεριϖε φροµ ονε διµενσιοναλ ρεπρεσεντατιονσ οφ τηε συβϕεχτσ, φορ εξαµπλε προϕεχτιονσ οντο τηε ρστ φαχτοριαλ αξισ. Ιν µανψ εµπιριχαλ αναλψσεσ ωε αρε ιντερεστεδ ιν τηε αϖεραγε οφ τηεσε ινδεξεσ ωιτηιν γρουπσ δε νεδ αχχορδινγ σοµε χατεγορι χαλ ϖαριαβλε G, ωηοσε ιν υενχε ον σατισφαχτιον ωε ωαντ το ινϖεστιγατε. Ιν ορδερ το τακε αχχουντ οφ τηε φυζζψ χονδιτιον οφ ινχοµπλετε οβσερϖατιονσ, τηε αϖεραγε ινδεξεσ σηουλδ βε τηεµσελϖεσ ιντερϖαλ ϖαλυεδ (Ζυχχολοττο, 2008). Τηε ιντερϖαλ ϖαλυεδ αϖεραγε σατισφαχτιον ινδεξ δεριϖινγ φροµ προ ϕεχτιονσ ον τηε h τη φαχτοριαλ αξεσ οφ τηε N g συβϕεχτσ βελονγινγ το γρουπ G g χαν βε χοµπυτεδ ασ ȳ h,gg = 1 min(y hi ); N g i G g 1 N g max(y hi ). (1) i G g Ιφ α γρουπ χονταινσ ονλψ χοµπλετε οβσερϖατιονσ, τηε εξτρεµεσ οφ ιτσ αϖερ αγε χοµποσιτε ινδεξ αρε χοινχιδεντ. Τηε φυνχτιονινγ οφ ΙνΙ χαν βε µαδε µορε χοµπρεηενσιβλε βψ µεανσ οφ αν ιλλυστρατιϖε εξαµπλε ον σιµυλατεδ δατα ανδ α ρεαλ δατα χασε στυδψ.

150 Π. Ζυχχολοττο 2.1. Αν ιλλυστρατιϖε εξαµπλε Ιν α χυστοµερ σατισφαχτιον συρϖεψ N = 105 συβϕεχτσ ηαϖε εξπρεσσεδ σατισφαχτιον ϕυδγµεντσ αβουτ p =9ιτεµσ, ιν α Λικερτ σχαλε ρανγινγ φροµ 1 το 5, ωιτη ηιγηερ σχορεσ ρε εχτινγ µορε σατισφαχτιον. Τηε συβϕεχτσ αρε διϖιδεδ ιντο 4 γρουπσ. Α ϖαριαβλε νυµβερ οφ µισσινγ ϖαλυεσ αφφεχτ 8 συβ ϕεχτσ, αλλ βελονγινγ το γρουπ 1, ωιτη M =4. Τηε δατα µατριξ ισ γιϖεν βψ X = miss 5 4 3 2 5 5 5 4 3 2 3 3 1 miss 4 2 1 miss miss 3 4 5 3 4 5 5 3 3 3 3 4 miss miss 5 5 5 5 miss miss miss 5 3 2 3 4 3 5 4 4 4 miss miss miss 2 1 1 1 miss miss 1 1 1 4 3 3 miss miss miss miss 2 2 4 5 5 5 5 5 5 4 4......... 1 1 1 1 1 3 4 4 3 ανδ τηε µατριξ X(InI) ισ οβταινεδ ρεπλαχινγ εαχη µισσινγ ωιτη τηε ιντερ ϖαλ [1; 5]. Εαχη συβϕεχτ ισ εξπανδεδ ιντο α µατριξ ωιτη 2 M =16ροωσ χονταιν ινγ τηε ϖερτιχεσ οφ ιτσ ηψπερρεχτανγλε ρεπλιχατεδ 2 4 m i τιµεσ. Φορ εξαµ πλε, συβϕεχτ 1 ισ α 1 διµενσιοναλ ρεχτανγλε (m 1 =1), αχτυαλλψ α σεγ µεντ ιν τηε 9 διµενσιοναλ σπαχε ωιτη τωο ϖερτιχεσ γιϖεν βψ τηε ϖεχτορσ (154325554) ανδ (554325554). Ιτσ εξπανδεδ µατριξ X1 ισ οβταινεδ ρεπλιχατινγ 8 τιµεσ τηε τωο ϖερτιχεσ οφ ιτσ (δεγενερατε) ηψπερ ρεχτανγλε X1 16 9 =. 1 5 4 3 2 5 5 5 4 5 5 4 3 2 5 5 5 4........ 1 5 4 3 2 5 5 5 4 5 5 4 3 2 5 5 5 4.,

Μισσινγ ϖαλυεσ τρεατµεντ ωιτη ιντερϖαλ ιµπυτατιον ιν σατισφαχτιον µεασυρεµεντ 151 Συβϕεχτ 3 ισ α 2 διµενσιοναλ ρεχτανγλε (m 3 =2) ωιτη 4 ϖερτιχεσ γιϖεν βψ τηε ϖεχτορσ (114325554), (554325554), (154325554) ανδ (514325554). Ιτσ εξπανδεδ µατριξ X3 ισ οβταινεδ ρεπλιχατινγ 4 τιµεσ ιτσ 4 ϖερτιχεσ. X3 16 9 =. 1 1 3 4 5 3 4 5 5 5 5 3 4 5 3 4 5 5 1 5 3 4 5 3 4 5 5 5 1 3 4 5 3 4 5 5........ 1 1 3 4 5 3 4 5 5 5 5 3 4 5 3 4 5 5 1 5 3 4 5 3 4 5 5 5 1 3 4 5 3 4 5 5 Σιµιλαρλψ, συβϕεχτσ 5 ανδ 6 αρε 3 διµενσιοναλ ρεχτανγλεσ (χυβεσ ιν τηε 9 διµενσιοναλ σπαχε) ανδ τηειρ 8 ϖερτιχεσ αρε ρεπλιχατεδ 2 τιµεσ, συβϕεχτ 8 ισ α 4 διµενσιοναλ ηψπερρεχτανγλεσ ωιτη 16 ϖερτιχεσ ανδ ναλλψ συβϕεχτσ ωιτη νο µισσινγ αρε εξπανδεδ βψ ρεπλιχατινγ 16 τιµεσ τηειρ χοµπλετε οβ σερϖατιον. Συβσεθυεντλψ, τηε µατριξ Ξ(InI) ηασ διµενσιον (1680 9) ανδ ΝΛ ΠΧΑ ισ αππλιεδ.. Ρεπρεσεντατιον οφ συβϕεχτσ ιν τηε φαχοριαλ πλανε Ιντερϖαλ!ϖαλυεδ αϖεραγεσ ωιτηιν γρουπσ (1τσ ΠΧ) Ιντερϖαλ!ϖαλυεδ αϖεραγεσ ωιτηιν γρουπσ (2νδ ΠΧ) ΠΧ2!2.0!1.5!1.0!0.5 0.0 0.5 1.0 1.5!1.5!1.0!0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 ΠΧ1 Μιν!Μαξ 1στ ΠΧ!1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 1 2 3 4 Γρουπσ Μιν!Μαξ 2νδ ΠΧ!1.0!0.5 0.0 0.5 1.0 1 2 3 4 Γρουπσ Φιγυρε 1. Μαιν ρεσυλτσ οφ ΝΛ ΠΧΑ: προϕεχτιονσ ον τηε ρστ τωο φαχτο ριαλ αξεσ (λεφτ), ιντερϖαλ ϖαλυεδ αϖεραγε σατισφαχτιον ινδεξεσ ωιτηιν γρουπσ (µιδδλε ανδ ριγητ)

152 Π. Ζυχχολοττο Τηε 2 διµενσιοναλ ρεπρεσεντατιον αχχουντσ φορ 69.6% εξπλαινεδ ϖαρι ανχε. Τηε ρστ τωο ΠΧσ αρε ηιγηλψ χορρελατεδ ωιτη ιτεµσ 1 τηρουγη 5 ανδ 6 τηρουγη 9, ρεσπεχτιϖελψ. Τηε προϕεχτιον οφ συβϕεχτσ ιν τηε φαχτοριαλ πλανε (Φιγυρε 1, λεφτ) σηοωσ 8 ιρρεγυλαρλψ σηαπεδ πολψγονσ ανδ 97 ποιντσ. Αβουτ τηε πολψγονσ ωε χαν ρεµαρκ τηε φολλοωινγ µαιν οβσερϖατιονσ: (1) συβϕεχτσ ωιτη m i =1αρε ρεπρεσεντεδ βψ σεγµεντσ, (2) τηε αρεα οφ τηε πολψγονσ εν λαργεσ ωηεν m i ινχρεασεσ (τηε λαργεστ πολψγον χορρεσπονδσ το συβϕεχτ 8), (3) τηε σηαπε οφ τηε πολψγονσ δεπενδσ ον ωηερε τηε µισσινγ αρε λοχατεδ. Φορ εξαµπλε, συβϕεχτσ ωιτη µισσινγ ϖαλυεσ ον τηε ιτεµσ 1 τηρουγη 5 ηαϖε α λαργε βασε ανδ α ναρροω ηειγητ, τηυσ εξηιβιτινγ τηειρ υνχερταιντψ αβουτ ονλψ τηε 1στ ΠΧ. Τηε χοµποσιτε σατισφαχτιον ινδεξεσ γιϖεν βψ τηε ρστ τωο ΠΧσ χαν βε αϖεραγεδ ωιτηιν γρουπσ, ασ σπεχι εδ ιν (1). Σινχε τηε ινχοµπλετε οβ σερϖατιονσ αρε γατηερεδ ιν γρουπ 1, ιτσ αϖεραγε ινδεξ ισ ιντερϖαλ ϖαλυεδ, διφφερεντλψ το τηοσε οφ οτηερ γρουπσ ωηιχη ρεσυλτ σινγλε ϖαλυεδ (Φιγυρε 1, µιδδλε ανδ ριγητ). 2.2.Αρεαλδαταχασεστυδψ Τηε δατα σετ αναλψζεδ ιν τηισ σεχτιον δεριϖεσ φροµ ΙΧΣΙ2007, α ωιδε συρϖεψ αβουτ τηε σοχιαλ σερϖιχε σεχτορ, χαρριεδ ουτ βψ α τεαµ οφ ρεσεαρχηερσ φροµ σιξ Ιταλιαν υνιϖερσιτιεσ (Βεργαµο, Βρεσχια, Μιλανο, Ναπολι Φεδεριχο ΙΙ, Ρεγγιο Χαλαβρια, Τρεντο). Ιτ ινϖολϖεδ 320 σοχιαλ χοοπερατιϖεσ, σελεχτεδ τηρουγη α στρατι εδ σαµπλινγ φροµ 24 στρατα δεσχριβεδ βψ τηρεε ϖαριαβλεσ: Τψπε (Α ορ Β) 1, Αρεα οφ Ιταλψ (Νορτη Εαστ, Νορτη Ωεστ, Χεντερ ορ Σουτη), Νυµβερ οφ εµπλοψεδ ωορκερσ (15 ορ λεσσ, φροµ 16 το 49, 50 ορ µορε). Φορ εαχη σοχιαλ χοοπερατιϖε α σαµπλε οφ διφφερεντ τψπεσ οφ ωορκερσ (ωιτη α το ταλ οφ 4134 παιδ ωορκερσ, 289 ϖολυνταρψ ωορκερσ ανδ 287 µαναγερσ) ωασ ρεθυεστεδ το λλ ιν α σπεχι χ θυεστιονναιρε, ασκινγ φορ ινφορµατιον αβουτ περσοναλ ανδ προφεσσιοναλ χηαραχτεριστιχσ, ωορκ ρελατεδ αττιτυδεσ, ϕοβ σατ ισφαχτιον, ρελατιονσηιπσ ωιτη ενδ υσερσ, χολλεαγυεσ ανδ συπεριορσ. Φυρτηερ 1 Σοχιαλ χοοπερατιϖεσ οφ τψπε Α µαναγε σοχιαλ ασσιστανχε ανδ εδυχατιοναλ σερϖιχεσ ωηερεασ σοχιαλ χοοπερατιϖεσ οφ τψπε Β ρυν αχτιϖιτιεσ φοχυσεδ ον τραινινγ ανδ ϕοβ νδινγ φορ δισαδϖανταγεδ πεοπλε.

Μισσινγ ϖαλυεσ τρεατµεντ ωιτη ιντερϖαλ ιµπυτατιον ιν σατισφαχτιον µεασυρεµεντ 153 δεταιλσ ον τηε συρϖεψ ανδ ον ιτσ µαιν ρεσυλτσ αρε ιν Βορζαγα(2007) ανδ ιν Χαρπιτα (2009). Ιν τηισ αναλψσισ ωε φοχυσ ον τηε ϕοβ σατισφαχτιον (ϑσ) οφ τηε N = 1084 παιδ ωορκερσ ωηοσε ϕοβ χονσιστσ σπεχι χαλλψ ιν συππλψινγ τηε σερϖιχε (αδ µινιστρατιϖε τασκσ, τεχηνιχαλ ασσιστανχε, χλεανινγ σερϖιχεσ,... αρε τηυσ εξ χλυδεδ) ανδ ασσερτ το ηαϖε αλωαψσ διρεχτ ρελατιονσ ωιτη ενδ υσερσ ανδ τηειρ φαµιλιεσ. Σινχε ιτ ισ λικελψ τηατ ωορκερσ ωιτη γρεατλψ διφφερεντ τασκσ ηαϖε διφφερεντ περχεπτιονσ αβουτ τηειρ ϕοβ, ωιτη τηισ χηοιχε ονλψ ωορκερσ δι ρεχτλψ ινϖολϖεδ ιν τηε µισσιον οφ τηε χοοπερατιϖε αρε εξαµινεδ. Ιν τηε παιδ ωορκερσ θυεστιονναιρε οφ ΙΧΣΙ2007, φαχετ ϑσ ϕυδγεµεντσ αρε ασκεδ φορ βψ µεανσ οφ 23 ιτεµσ (Ταβλε 1) ωηερε ρεσπονδεντσ ινδιχατεδ, ον α σχαλε ρανγινγ φροµ 1 το 7, τηε λεϖελ οφ σατισφαχτιον ωιτη ρεσπεχτ το εαχη ασπεχτ. Ηιγηερσχορεσρε εχτ µορε σατισφαχτιον ανδ τηε µεδιαν σχορε 4 εξ πλιχιτλψ ινδιχατεσ νευτραλιτψ ( νειτηερ σατισ εδ νορ υνσατισ εδ ). Τηε ρστ 12 ιτεµσ αρε ρελατιϖε το εξτρινσιχ ασπεχτσ οφ ϑσ, χονχερνεδ ωιτη ρεµυνερ ατιϖε, οργανιζατιοναλ ανδ ενϖιρονµενταλ µαττερσ, ωηερεασ τηε ρεµαινινγ ιτεµσ δεαλ ωιτη ιντρινσιχ ϑσ, τηατ ισ ωιτη τηε ρελατιοναλ ανδ µοτιϖατιοναλ διµενσιον. ιµενσιον 2!1.0!0.5 0.0 0.5 1.0 18 15 20 22 16 23 19 21 12 17 14 1 10 2 4 9 3 511 6 7 8 13 Ιντρινσιχ ϑσ!3!2!1 0 1 2 3!1.0!0.5 0.0 0.5 1.0 ιµενσιον 1!2!1 0 1 2 Εξστρινσιχ ϑσ Φιγυρε 2. Μαιν ρεσυλτσ οφ ΝΛ ΠΧΑ: ϖαριµαξ ροτατεδ φαχτορ λοαδινγσ πλοτ (λεφτ), προϕεχτιονσ οφ τηε συβϕεχτσ ιν τηε φαχτοριαλ πλανε (ριγητ)

154 Π. Ζυχχολοττο Ταβλε 1. Ιτεµσ οφ ϕοβ σατισφαχτιον Ιδ Ηοω σατισ εδ αρε ψου ωιτη... Σηορτ ναµε 1... τηε ωορκινγ ηουρσ σχηεδυλε? ΗΟΥΡΣ 2... τηε ωορκινγ ηουρσ εξιβιλιτψ? ΦΛΕΞ 3... τηε ϕοβ σταβιλιτψ? ΣΤΑΒ 4... τηε ωορκπλαχε ενϖιρονµεντ? ΕΝςΙΡ 5... τηε σοχιαλ σεχυριτψ προτεχτιον ανδ βενε τσ? ΩΕΛΦΑΡΕ 6... ψουρ τοταλ παψ (ινχλυδινγ ποσσιβλε φρινγε βενε τσ)? ΠΑΨ 7... ψουρ ινϖολϖεµεντ ιν τηε χοοπερατιϖε δεχισιονσ? ΙΝςΟΛς 8... τηε τρανσπαρενχψ ιν ψουρ ρελατιονσ ωιτη τηε χοοπερατιϖε? ΤΡΑΝΣΠ 9... ψουρ ϖοχατιοναλ τραινινγ ανδ προφεσσιοναλ γροωτη? ΓΡΟΩΤΗ 10... ψουρ δεχισιοναλ ανδ οπερατιϖε ινδεπενδενχε? ΙΝ ΕΠ 11... ψουρ αχηιεϖεδ ανδ προσπεχτιϖε χαρεερ προµοτιονσ? ΧΑΡΕΕΡ 12... τηε χονσιστενχε ωιτη ψουρ εδυχατιον ανδ ϖοχατιοναλ τραινινγ? ΧΟΝΣΙΣΤ 13... τηε ρεχογνιτιον βψ τηε χοοπερατιϖε οφ ψουρ ωορκ? ΧΟΟΠ ΡΕΧΟΓ 14... ψουρ περσοναλ φυλ λλµεντ? ΦΥΛΦΙΛ 15... τηε ρελατιονσ ωιτη ψουρ χολλεαγυεσ? ΧΟΛΛΕΑΓ 16... τηε ρελατιονσ ωιτηιν τηε τεαµ? ΤΕΑΜ 17... τηε ρελατιονσ ωιτη ψουρ συπεριορσ? ΣΥΠΕΡ 18... ψουρ ρελατιονσ ωιτη ενδ υσερσ ανδ τηειρ φαµιλιεσ? ΥΣΕΡΣ 19... τηε ϖαριετψ ανδ χρεατιϖιτψ οφ ψουρ ωορκ? ςαριετψ 20... τηε ρεχογνιτιον βψ χολλεαγυεσ οφ ψουρ ωορκ? ΧΟΛΛ ΡΕΧΟΓ 21... τηε σοχιαλ ρεχογνιτιον? ΣΟΧΙΑΛ ΡΕΧΟΓ 22... τηε ενδ υσερσ ρεχογνιτιον? ΥΣΕΡ ΡΕΧΟΓ 23... τηε υσεφυλνεσσ οφ ψουρ ωορκ φορ ενδ υσερσ ανδ τηειρ φαµιλιεσ? ΥΣΕΦΥΛΝΕΣΣ Ιν τηε αναλψζεδ δατασετ τηερε αρε αβουτ 15% ινχοµπλετε οβσερϖατιονσ (163 συβϕεχτσ ουτ οφ τηε 1084 ρεσπονδεντσ), ωιτη α τοταλ οφ N i=1 m i =248 µισσινγ ϖαλυεσ (αβουτ 1% οφ τηε 1084 23 δατα µατριξ) ανδ α µαξιµυµ νυµβερ οφ µισσινγ περ ροω οφ M =5. Τηε εξπανδεδ δατα µατριξ Ξ(InI) ηασ διµενσιον 34688 23. υε το τηε ορδιναλ σχαλε οφ τηε Λικερτ τψπε ϖαριαβλεσ, ΝΛ ΠΧΑ ισ υσεδ ιν ορδερ το οβταιν χοµποσιτε σατισφαχτιον ιν δεξεσ. Τηε ινσπεχτιον οφ τηε ϖαριµαξ ροτατεδ φαχτορ λοαδινγσ πλοτ (Φιγυρε 2, λεφτ) σηοωσ τηατ εξτρινσιχ ανδ ιντρινσιχ ιτεµσ τενδ το βε σεπαρατελψ χορ ρελατεδ το τηε 1στ ανδ τηε 2νδ ΠΧ, ρεσπεχτιϖελψ. Τηε ρστ τωο διµενσιονσ

Μισσινγ ϖαλυεσ τρεατµεντ ωιτη ιντερϖαλ ιµπυτατιον ιν σατισφαχτιον µεασυρεµεντ 155 Εξτρινσιχ ϑσ: Ιντερϖαλ!ϖαλυεδ αϖεραγε ωιτηιν γρουπσ Ιντρινσιχ ϑσ: Ιντερϖαλ!ϖαλυεδ αϖεραγε ωιτηιν γρουπσ Μιν!Μαξ 1στ ΠΧ!1.0!0.5 0.0 0.5 1.0 Μιν!Μαξ 2νδ ΠΧ!1.0!0.5 0.0 0.5 1.0 Α Β Α Β Χοοπερατιϖε τψπε Χοοπερατιϖε τψπε Φιγυρε 3. Ιντερϖαλ ϖαλυεδ αϖεραγεσ οφ χοµποσιτε σατισφαχτιον ινδιχεσ; γρουπσ δε νεδ αχχορδινγ το τηε χατεγοριχαλ ϖαριαβλε Τψπε οφ χοοπερατιϖε Εξτρινσιχ ϑσ: Ιντερϖαλ!ϖαλυεδ αϖεραγε ωιτηιν γρουπσ Ιντρινσιχ ϑσ: Ιντερϖαλ!ϖαλυεδ αϖεραγε ωιτηιν γρουπσ Μιν!Μαξ 1στ ΠΧ!1.0!0.5 0.0 0.5 1.0 Μιν!Μαξ 2νδ ΠΧ!1.0!0.5 0.0 0.5 1.0 Χεντερ Νορτη!Εαστ Νορτη!Ωεστ Σουτη Αρεα οφ Ιταλψ Χεντερ Νορτη!Εαστ Νορτη!Ωεστ Σουτη Αρεα οφ Ιταλψ Φιγυρε 4. Ιντερϖαλ ϖαλυεδ αϖεραγεσ οφ χοµποσιτε σατισφαχτιον ινδιχεσ; γρουπσ δε νεδ αχχορδινγ το τηε χατεγοριχαλ ϖαριαβλε Αρεα οφ Ιταλψ αλτογετηερ αχχουντ φορ α 41.7% εξπλαινεδ ϖαριανχε. Ιν τηε ριγητ παρτ οφ Φιγυρε 2 τηε προϕεχτιονσ ιν τηε φαχτοριαλ πλανε αρε ρεπρεσεντεδ. υε το τηε ηιγη νυµβερ οφ οβσερϖατιονσ, τηε γραπηιχ ισ ρατηερ διφ χυλτ το ιντερπρετ ανδ

156 Π. Ζυχχολοττο Εξτρινσιχ ϑσ: Ιντερϖαλ!ϖαλυεδ αϖεραγε ωιτηιν γρουπσ Ιντρινσιχ ϑσ: Ιντερϖαλ!ϖαλυεδ αϖεραγε ωιτηιν γρουπσ Μιν!Μαξ 1στ ΠΧ!1.0!0.5 0.0 0.5 1.0 Μιν!Μαξ 2νδ ΠΧ!1.0!0.5 0.0 0.5 1.0 15 ανδ λεσσ φροµ 16 το 49 50 ανδ µορε Νυµβερ οφ ωορκερσ ιν τηε Χοοπερατιϖε 15 ανδ λεσσ φροµ 16 το 49 50 ανδ µορε Νυµβερ οφ ωορκερσ ιν τηε Χοοπερατιϖε Φιγυρε 5. Ιντερϖαλ ϖαλυεδ αϖεραγεσ οφ χοµποσιτε σατισφαχτιον ινδιχεσ; γρουπσ δε νεδ αχχορδινγ το τηε χατεγοριχαλ ϖαριαβλε Νυµβερ οφ εµπλοψεδ ωορκερσ ιντερϖαλ ϖαλυεδ αϖεραγεσ ωιτηιν γρουπσ αρε µυχη µορε ινσιγητφυλ (Φιγυρεσ 3 τηρουγη 5). Μορε σπεχι χαλλψ ωε οβσερϖε τηατ, ιν σπιτε οφ τηε πρεσενχε οφ µισσινγ ϖαλυεσ, αλλ τηε ιντερϖαλσ αρε θυιτε ναρροω ανδ τηε διφφερενχεσ αµονγ γρουπσ, ωηεν πρεσεντ, χαν βε εασιλψ αππρεχιατεδ. 3. Α σιµυλατιον στυδψ Ωιτη τηε µετηοδ οφ ΝΛ ΠΧΑ τωο µαιν στρατεγιεσ φορ µισσινγ ϖαλυεσ τρεατµεντ αρε υσυαλλψ εµπλοψεδ: (1) πασσιϖε, χονσιστινγ ιν σεττινγ ωειγητσ ιν τηε λοσσ φυνχτιον εθυαλ το ζερο ( ε Λεευω ανδ ςαν Ριϕχκεϖορσελ, 1980), (2) αχτιϖε, χονσιστινγ ιν ιµπυτατινγ τηε µοδε οφ τηε ϖαριαβλε ωηερε τηε µισσινγ ισ λοχατεδ. Τηε τερµινολογψ ισ τηε σαµε υσεδ ιν τηε ΣΠΣΣ παχκαγε ΧατΠΧΑ (Μευλµαν ανδ Ηεισερ, 1999). Τηε ρστ µετηοδ ισ τηε δεφαυλτ οπ τιον οφ τηε Ρ παχκαγε homals - version 0.9-7 ( ε Λεευω ανδ Μαιρ, 2007), ωηιχη ηασ βεεν υσεδ φορ τηε χοµπυτατιονσ πρεσεντεδ ιν τηισ παπερ. Ιν τηισ σεχτιον α σιµυλατιον στυδψ ισ χαρριεδ ουτ ιν ορδερ το χοµπαρε τηε περφορµανχε οφ ΙνΙ ωιτη τηε στρατεγιεσ πασσιϖε ανδ αχτιϖε. Α δατασετ

Μισσινγ ϖαλυεσ τρεατµεντ ωιτη ιντερϖαλ ιµπυτατιον ιν σατισφαχτιον µεασυρεµεντ 157 ωιτηουτ µισσινγ ϖαλυεσ ηασ βεεν γενερατεδ ωιτηn = 100 συβϕεχτσ ανδ p =10Λικερτ σχαλεδ ιτεµσ ωιτη k =5. Αφτερ αππλψινγ ΝΛ ΠΧΑ, τηε ρστ τωο ΠΧσ αχχουντ φορ 68.7% εξπλαινεδ ϖαριανχε ανδ αρε ηιγηλψ χορρε λατεδ ωιτη ιτεµσ 1 τηρουγη 5 ανδ 6 τηρουγη 10, ρεσπεχτιϖελψ. Α χατεγοριχαλ διχηοτοµουσ ϖαριαβλε ηασ βεεν δε νεδ 2 αφτερ τηε διµενσιοναλιτψ ρεδυχ τιον σο ασ το διϖιδε συβϕεχτσ ιντο τωο γρουπσ G 1 ανδ G 2 χηαραχτεριζεδ βψ αϖεραγε προϕεχτιονσ αππρεχιαβλψ διφφερεντ ον τηε 1στ ΠΧ ( 0.75 ανδ 0.99, ρεσπεχτιϖελψ), ανδ θυιτε σιµιλαρ ιν τηε 2νδ ΠΧ ( 0.06 ανδ 0.07). Ιν ορδερ το ινϖεστιγατε διφφερεντ δεγρεεσ οφ µισσινγ ϖαλυεσ χονταµινα τιον, τηρεε σεριεσ οφ σιµυλατιονσ ηαϖε βεεν χαρριεδ ουτ: ωιτη 50 (5% οφ τηε 100 10 δατα µατριξ), 100 (10%) ανδ 200 (20%) µισσινγ ϖαλυεσ, ωιτη R = 500 ρεπετιτιονσ φορ εαχη σεριεσ. Ηερεαφτερ τηε τηρεε σεριεσ οφ σιµυ λατιονσ ωιλλ βε δενοτεδ ωιτη Λ, Μ, Η (λοω, µεδιυµ, ηιγη χονταµινατιον). Τηε µισσινγ ηαϖε βεεν γενερατεδ ωιτη α ΜΧΑΡ µεχηανισµ (Μισσινγ Χοµπλετελψ Ατ Ρανδοµ Αλλισον, 2002), δραωινγ φροµ α υνιφορµ διστρι βυτιον τηε ποσιτιον ij ιν τηε δατα µατριξ X. Τηε ρεσυλτσ ηαϖε βεεν εϖαλυατεδ ιν τερµσ οφ χοµπυταβιλιτψ (δοεσ ΝΛ ΠΧΑ ρεαχη α σολυτιον?), ϖαριανχε αχχουντεδ φορ (ςαφ) βψ τηε τωο διµεν σιοναλ ρεπρεσεντατιον, βιασ ανδ ΕΘΜ ιν τηε εστιµατιον οφ λοαδινγσ ανδ αϖ εραγε προϕεχτιονσ ωιτηιν γρουπσ. Ιν αδδιτιον τηε ιντερϖαλ ϖαλυεδ ινδεξεσ (1) αρε εϖαλυατεδ ιν τερµσ οφ τηε φρεθυενχψ οφ χασεσ τηεψ ινχλυδε τηε ρεαλ γρουπ αϖεραγε ανδ τηε φρεθυενχψ οφ χασεσ τηεψ αρε δισϕοιντ. Ταβλε 2. Φρεθυενχψ οφ χασεσ (%)homals ιτερατιονσ ρεαχη χονϖεργενχε Λ Μ Η Λ Μ Η Λ Μ Η 61 57.6 50.5 100 100 100 100 100 100 Αβουτ τηε ποιντσ µεντιονεδ αβοϖε, ωε χαν δραω τηε φολλοωινγ ρε µαρκσ: Χοµπυταβιλιτψ: τηε δεφαυλτ οπτιον οφ τηε Ρ παχκαγε homals - version 0.9-7 σεεµσ το ηαϖε σεριουσ προβλεµσ ιν ηανδλινγ µισ 2 Τηε γρουπινγ ϖαριαβλε ασσυµεσ ϖαλυε 0 (γρουπ G 1 ) φορ εαχη συβϕεχτ ωιτη νεγατιϖε οβϕεχτ σχορε ιν τηε 1στ ΠΧ ανδ 1 οτηερωισε.

158 Π. Ζυχχολοττο ςαριανχε Αχχουντεδ Φορ (ςαφ) βψ τηε φιρστ τωο ΠΧσ (%) 100 90 80 70 60 50 ηοριζονταλ λινε: ςαφ τρυε ϖαλυε (ιν τηε οριγιναλ δατασετ ωιτηουτ µισσινγ) Φιγυρε 6. ςαφ βοξπλοτσ (τηε τηρεε βοξπλοτσ χορρεσπονδινγ το εαχη τεχη νιθυε ρεφερ το τηε τηρεε σεριεσ οφ σιµυλατιονσ: Λ, Μ, Η) σινγ ϖαλυεσ, εσπεχιαλλψ ωιτη ηεαϖψ χονταµινατιον. Τηε πασσιϖε στρατ εγψ φαιλσ το ρεαχη χονϖεργενχε ιν α γρεατ νυµβερ οφ χασεσ (Ταβλε 2) ανδ τηισ µακεσ τηισ προχεδυρε ποτεντιαλλψ ιµποσσιβλε το υσε ωιτη µανψ δατασετσ. Ιτ ισ νοτ χλεαρ ιφ ιτ ισ δυε το ανοµαλιεσ γενερατεδ ιν τηε λοσσ φυνχτιον βψ τηε πρεσενχε οφ τηε ζερο ωειγητσ ορ ιφ ιτ ισ α βυγ οφ τηε Ρ παχκαγε. Τηε προβλεµ ηασ νεϖερ οχχυρρεδ ωιτη τηε αχτιϖε στρατεγψ ανδ ωιτη ΙνΙ. ςαφ: α δατασετ ωιτη µισσινγ ϖαλυεσ χονταινσ λεσσ ινφορµατιον τηαν τηε χορρεσπονδινγ χοµπλετε δατασετ. Σο ονε ωουλδ ρεασοναβλψ εξ πεχτ α δεχρεασε ιν τηε ςαφ οφ τηε τωο διµενσιοναλ ρεπρεσεντατιον.

Μισσινγ ϖαλυεσ τρεατµεντ ωιτη ιντερϖαλ ιµπυτατιον ιν σατισφαχτιον µεασυρεµεντ 159 Λοαδινγσ (1στ ΠΧ)! Αϖεραγε αβσολυτε βιασ Λοαδινγσ (2νδ ΠΧ)! Αϖεραγε αβσολυτε βιασ 0.30 0.30 0.25 0.25 0.20 0.20 0.15 0.15 0.10 0.10 0.05 0.05 0.00 0.00 Λοαδινγσ (1στ ΠΧ)! Αϖεραγε ΕΘΜ Λοαδινγσ (2νδ ΠΧ)! Αϖεραγε ΕΘΜ 0.30 0.30 0.25 0.25 0.20 0.20 0.15 0.15 0.10 0.10 0.05 0.05 0.00 0.00 Φιγυρε 7. Βιασ ανδ ΕΘΜ οφ λοαδινγσ εστιµατιον (τηε τηρεε βαρσ χορρε σπονδινγ το εαχη τεχηνιθυε ρεφερ το τηε τηρεε σεριεσ οφ σιµυλατιονσ: Λ, Μ, Η) Τηισ ισ εξαχτλψ ωηατ ηαππενσ ωιτη τηε αχτιϖε στρατεγψ ανδ ΙνΙ, ωηερε ωε οβσερϖε α γρεατερ δεχρεασε ιν τηε δατασετ ωηερε τηε χονταµινα τιον ισ µορε σεϖερε (Φιγυρε 6). Θυιτε τηε οπποσιτε, ωιτη τηε πασσιϖε

160 Π. Ζυχχολοττο Γρουπσ αϖεραγε (1στ ΠΧ)! Αϖεραγε αβσολυτε βιασ Γρουπσ αϖεραγε (2νδ ΠΧ)! Αϖεραγε αβσολυτε βιασ 0.30 0.30 0.25 0.25 0.20 0.20 0.15 0.15 0.10 0.10 0.05 0.05 0.00 0.00 Γρουπσ αϖεραγε (1στ ΠΧ)! Αϖεραγε ΕΘΜ Γρουπσ αϖεραγε (2νδ ΠΧ)! Αϖεραγε ΕΘΜ 0.30 0.30 0.25 0.25 0.20 0.20 0.15 0.15 0.10 0.10 0.05 0.05 0.00 0.00 Φιγυρε 8. Βιασ ανδ ΕΘΜ οφ γρουπσ αϖεραγεσ εστιµατιον (τηε τηρεε βαρσ χορρεσπονδινγ το εαχη τεχηνιθυε ρεφερ το τηε τηρεε σεριεσ οφ σιµυλατιονσ: Λ, Μ, Η) στρατεγψ τηε διµενσιοναλιτψ ρεδυχτιον σεεµσ το βε ιµπροϖεδ βψ τηε πρεσενχε οφ µισσινγ ϖαλυεσ. Τηισ συρπρισινγ οδδ ρεσυλτ ισ προβαβλψ δυε το τηε φαχτ τηατ ωιτη τηε πασσιϖε στρατεγψ µισσινγ δατα δο νοτ

Μισσινγ ϖαλυεσ τρεατµεντ ωιτη ιντερϖαλ ιµπυτατιον ιν σατισφαχτιον µεασυρεµεντ 161 Ταβλε 3. Ρεσυλτσ αβουτ τηε ιντερϖαλ ϖαλυεδ ινδεξεσ προϖιδεδ βψ ΙνΙ φρεθυενχψ οφ χασεσ (%)... Λ Μ Η... τηε ιντερϖαλ ȳ 1,G1 ινχλυδεσ τηε ρεαλ ϖαλυε 97 96.8 97... τηε ιντερϖαλ ȳ 1,G2 ινχλυδεσ τηε ρεαλ ϖαλυε 94.8 94.8 95.5... τηε ιντερϖαλσ ȳ 1,G1 ανδ ȳ 1,G2 αρε δισϕοιντ 93.8 94.8 95.5... τηε ιντερϖαλ ȳ 2,G1 ινχλυδεσ τηε ρεαλ ϖαλυε 37.6 51.4 84... τηε ιντερϖαλ ȳ 2,G2 ινχλυδεσ τηε ρεαλ ϖαλυε 30.2 35.8 53.5... τηε ιντερϖαλσ ȳ 2,G1 ανδ ȳ 2,G2 αρε δισϕοιντ 11.4 3.4 0 εντερ ιν τηε χοµπυτατιον, ωηιχη ισ χαρριεδ ουτ ον τηε βασισ οφ αϖαιλ αβλε δατα. Τηυσ α πρυδεντ χαρε ιν τηε εϖαλυατιον οφ ςαφ ισ στρονγλψ ρεχοµµενδεδ ωηεν τηε πασσιϖε στρατεγψ ισ εµπλοψεδ. Βιασ ανδ ΕΘΜ οφ λοαδινγσ εστιµατιον: ωιτη εαχη τεχηνιθυε p =10 λοαδινγσ φορ εαχη ΠΧ αρε χοµπυτεδ. Φορ α γιϖεν τεχηνιθυε ανδ ατ α γιϖεν λεϖελ οφ µισσινγ ϖαλυεσ χονταµινατιον, λετ b h,j = av R {l h,j ˆlh,j } βε τηε αϖεραγε οϖερ τηε R = 500 ρεπετιτιονσ οφ τηε διφφερ ενχε βετωεεν τηε λοαδινγ οφ h τη ΠΧ φορ j τη ϖαριαβλε ανδ ιτσ εσ τιµατεδ ϖαλυε βψ µεανσ οφ τηε ινχοµπλετε δατα µατριξ. Τηε τοπ οφ Φιγυρε 7 δισπλαψσ τηε αϖεραγε αβσολυτε βιασ φορ τηε 1στ ανδ τηε 2νδ ΠΧ, γιϖεν βψ p 1 p j=1 b 1,j ανδ p 1 p j=1 b 2,j, ρεσπεχτιϖελψ. Σιµιλαρλψ, λετ EQM h,j = av R {(l h,j ˆl h,j ) 2 } βε τηε αϖεραγε οφ τηε θυαδρατιχ διφφερενχε βετωεεν τηε λοαδινγ ανδ ιτσ εστιµατε. Τηε βοτ τοµ οφ Φιγυρε 7 δισπλαψσ τηε αϖεραγε ΕΘΜ, p 1 p j=1 EQM 1,j ανδ p 1 p j=1 EQM 2,j, φορ τηε τηρεε τεχηνιθυεσ, ωιτη τηε τηρεε διφφερ εντ λεϖελσ οφ χονταµινατιον. Ασ α ωηολε, ωε νοτιχε τηατ ΙνΙ τενδσ το ουτπερφορµ τηε οτηερ τεχηνιθυεσ φροµ τηε ποιντ οφ ϖιεω οφ ΕΘΜ, ωηιλε τηε πασσιϖε στρατεγψ ηασ τηε βεστ περφορµανχε ιν τερµσ οφ βιασ. Βιασ ανδ ΕΘΜ οφ γρουπσ αϖεραγεσ εστιµατιον: τηε σαµε χοµπυτα τιονσ δεσχριβεδ φορ εϖαλυατινγ βιασ ανδ ΕΘΜ οφ λοαδινγσ εστιµατεσ ηαϖε βεεν χαρριεδ ουτ φορ τηε εστιµατεσ οφ τηε τωο γρουπσ αϖεραγε προϕεχτιονσ ιν τηε 1στ ανδ ιν τηε 2νδ ΠΧ. Ιν ορδερ το χοµπαρε τηε ΙνΙ τεχηνιθυε ωιτη τηε οτηερσ φροµ τηισ ποιντ οφ ϖιεω, τηε µιδποιντσ οφ

162 Π. Ζυχχολοττο ιντερϖαλσ ȳ 1,G1, ȳ 1,G2, ȳ 2,G1, ȳ 2,G2 ηαϖε βεεν χονσιδερεδ, εϖεν ιφ τηισ οπερατιον ισ σοµεηοω ινχονσιστεντ ωιτη τηε ΙνΙ πηιλοσοπηψ. Ρεσυλτσ αρε σηοων ιν Φιγυρε 8 ανδ ωε χαν ρεµαρκ νεαρλψ τηε σαµε χονχλυ σιονσ ασ φορ λοαδινγσ εστιµατιον. Ρεσυλτσ αβουτ τηε ιντερϖαλ ϖαλυεδ ινδεξεσ προϖιδεδ βψ ΙνΙ: φορ τηε ΙνΙ τεχηνιθυε α φυρτηερ αναλψσισ ισ ποσσιβλε, τηανκσ το τηε ιντερϖαλ ϖαλυεδ νατυρε οφ τηε γρουπσ αϖεραγε προϕεχτιονσ εστιµατεσ. Ταβλε 3 δισπλαψσ τηε φρεθυενχψ οφ χασεσ τηε ιντερϖαλσ ινχλυδε τηε ρεαλ γρουπ αϖεραγε ανδ τηε φρεθυενχψ οφ χασεσ τηεψ αρε δισϕοιντ. Φροµ τηισ ποιντ οφ ϖιεω ωε οβσερϖε α ϖερψ γοοδ περφορµανχε ιν τηε 1στ ΠΧ, ωηερε τηε τωο γρουπσ αρε αππρεχιαβλψ διφφερεντ. 4. Φιναλ ρεµαρκσ Ιν τηισ παπερ Ιντερϖαλ Ιµπυτατιον, α ρεχεντλψ προποσεδ τεχηνιθυε φορ µισσινγ ϖαλυεσ τρεατµεντ, ισ υσεδ ιν τηε χοντεξτ οφ σατισφαχτιον µεασυρε µεντ, τογετηερ ωιτη νονλινεαρ ΠΧΑ. Ιτσ φυνχτιονινγ ισ εξπλαινεδ βψ µεανσ οφ αν ιλλυστρατιϖε εξαµπλε ανδ α ρεαλ δατα χασε στυδψ. Τηε περφορµανχε οφ ΙνΙ ισ χοµπαρεδ το τηε τραδιτιοναλ στρατεγιεσ υσεδ ιν τηισ χοντεξτ, βψ µεανσ οφ α σιµυλατιον στυδψ. Τηε µοστ ιντερεστινγ ρεσυλτσ σηοω τηατ τηε πασ σιϖε στρατεγψ, αλτηουγη χαπαβλε οφ οφφερινγ γοοδ εστιµατεσ οφ λοαδινγσ ανδ γρουπσ αϖεραγεσ ιν τερµσ οφ βιασ, ισ αφφεχτεδ βψ χοµπυτατιοναλ προβλεµσ ανδ σεριουσλψ οϖερεστιµατεσ τηε εξπλαινεδ ϖαριανχε οφ τηε διµενσιοναλιτψ ρεδυχεδ ρεπρεσεντατιον. ΙνΙ, ον ιτσ ηανδ, ουτπερφορµσ τηε οτηερ στρατεγιεσ φροµ τηε ποιντ οφ ϖιεω οφ ΕΘΜ ανδ οφφερσ ιντερεστινγ αδϖανταγεσ ιν τερµσ οφ τηε γραπηιχαλ ιντερπρετατιον οφ τηε συβϕεχτσ ωιτη µισσινγ ϖαλυεσ. Ιν αδ διτιον ιτ προϖιδεσ ιντερϖαλ ϖαλυεδ εστιµατεσ οφ γρουπσ αϖεραγεσ. Φυρτηερ ρεσεαρχη σηουλδ φορµαλιζε τηε εϖιδενχεσ οβταινεδ ωιτη σιµυ λατιονσ στυδιεσ ανδ εξπλορε τηε περφορµανχε οφ ΙνΙ ωιτη οτηερ δατα αναλψσισ τεχηνιθυεσ, συχη ασ φορ εξαµπλε χλυστερ αναλψσισ. Ρεφερενχεσ Αλλισον Π.. (2002), Μισσινγ δατα, Σαγε Πυβλιχατιονσ, Τηουσανδ Οακσ.

Μισσινγ ϖαλυεσ τρεατµεντ ωιτη ιντερϖαλ ιµπυτατιον ιν σατισφαχτιον µεασυρεµεντ 163 Βορζαγα Χ. (εδιτορ) (2007), Θυανδο λε ρισορσε υµανε φαννο λα διφφερενζα: ιλ µοδελλο ιµπρενδιτοριαλε δελλε χοοπερατιϖε σοχιαλι. Πριµι ρισυλτατι δι ΙΧΣΙ 2007: λα νυοϖα Ινδαγινε συλλε Χοοπερατιϖε Σοχιαλι Ιταλιανε, Ιµπρεσα Σοχιαλε,3. Χαρπιτα Μ. (εδιτορ) (2009), Λα θυαλιτ α δελ λαϖορο νελλε χοοπερατιϖε σοχιαλι, µισυρε ε µοδελλι στατιστιχι, Φρανχο Ανγελι, Μιλανο. Χαζεσ Π., Χηουακρια Α., ιαδψ Ε. ανδ Σχηεκτµαν Ψ. (1997), Εξτενσιον δε λ αναλψσε εν χοµποσαντεσ πρινχιπαλεσ α δεσ δονν εεσ δε τψπε ιντερϖαλλε, Ρεϖυε δε Στατιστιθυε Αππλιθυ εε, 45, 5 24. ε Λεευω ϑ., Μαιρ Π. (2007), Ηοµογενειτψ αναλψσισ ιν Ρ: τηε παχκαγε ηοµαλσ, Πρεπριντ αϖαιλαβλε ατ ηττπ://γι.στατ.υχλα.εδυ/ηοµαλσρ.πδφ. ε Λεευω ϑ., ςαν Ριϕχκεϖορσελ ϑ., (1980), ΗΟΜΑΛΣ ανδ ΠΡΙΝΧΑΛΣ Σοµε γενεραλιζατιονσ οφ πρινχιπαλ χοµπονεντσ αναλψσισ, ιν Ε. ιδαψ ετ αλ. (εδσ.), ατα αναλψσισ ανδ ινφορµατιχσ, Νορτη Ηολλανδ, Αµστερδαµ. ιδαψ Ε. (1987), Ιντροδυχτιον λ αππροχηε σψµβολιθυε εν Αναλψσε δεσ οννεσ, Πρεµιερε ϑουρνεεσ Σψµβολιθυε Νυµεριθυε, Υνιϖερσιτ ε δε Παρισ ΙΞ αυπηινε. Γι Α. (1990), Νονλινεαρ µυλτιϖαριατε αναλψσισ, ϑ.ωιλεψ, Χηιχηεστερ. Γιορδανι Π., Κιερσ Η.Α.Λ. (2004), Τηρεε ωαψ χοµπονεντ αναλψσισ οφ ιντερϖαλ ϖαλυεδ δατα, ϑουρναλ οφ Χηεµοµετριχσ, 18, 253 264. Γοδωα Κ.Χ., ιδαψ Ε., Ναγαβηυσηαν Π. (1995), ιµενσιοναλιτψ ρεδυχτιον οφ σψµβολιχ δατα, Παττερν Ρεχογνιτιον Λεττερσ, 16, 219 223. Λαυρο Ν.Χ., Παλυµβο Φ. (2000), Πρινχιπαλ χοµπονεντ αναλψσισ οφ ιντερϖαλ δατα: α σψµβολιχ δατα αναλψσισ αππροαχη, Χοµπυτατιοναλ Στατιστιχσ, 15, 1, 73 87. Μευλµαν ϑ.ϑ., Ηεισερ Ω.ϑ., ΣΠΣΣ (1999), ΣΠΣΣ Χατεγοριεσ 10.0, ΣΠΣΣ Ινχ., Χηιχαγο. Ροδρ γυεζ Ο., ιδαψ Ε., Ωινσβεργ Σ. (2000), Γενεραλιζατιον οφ τηε πρινχιπαλ χοµπονεντσ αναλψσισ το ηιστογραµ δατα, Προχ. ΠΚ 2000, Λψον, Φρανχε. Ζυχχολοττο Π. (2008), Α σψµβολιχ δατα αππροαχη φορ µισσινγ ϖαλυεσ τρεατµεντ ιν πρινχιπαλ χοµπονεντ αναλψσισ, Στατιστιχα & Αππλιχαζιονι, 6, 153 180. Ζυχχολοττο Π. (2009), Πρινχιπαλ Χοµπονεντ Αναλψσισ ωιτη Ιντερϖαλ Ιµπυτεδ µισσινγ ϖαλυεσ, Ραππορτι δι ριχερχα δελ ιπαρτιµεντο δι Μετοδι Θυαντιτατιϖι, Υνιϖερσιτ α δι Βρεσχια, ν. 335.