Access from the University of Nottingham repository:

Transcript

1 Harvey, David I. and Leybourne, Stephen J. (204) Break date estimation for models with deterministic structural change. Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 76 (5). pp ISSN Access from the University of Nottingham repository: Copyright and reuse: The Nottingham eprints service makes this work by researchers of the University of Nottingham available open access under the following conditions. Copyright and all moral rights to the version of the paper presented here belong to the individual author(s) and/or other copyright owners. To the extent reasonable and practicable the material made available in Nottingham eprints has been checked for eligibility before being made available. Copies of full items can be used for personal research or study, educational, or notfor-profit purposes without prior permission or charge provided that the authors, title and full bibliographic details are credited, a hyperlink and/or URL is given for the original metadata page and the content is not changed in any way. Quotations or similar reproductions must be sufficiently acknowledged. Please see our full end user licence at: A note on versions: The version presented here may differ from the published version or from the version of record. If you wish to cite this item you are advised to consult the publisher s version. Please see the repository url above for details on accessing the published version and note that access may require a subscription. For more information, please contact eprints@nottingham.ac.uk

2 Βρεακ Dατε Εστιmατιον φορ Μοδελσ ωιτη Dετερmινιστιχ Στρυχτυραλ Χηανγε DΑςΙD Ι. ΗΑΡςΕΨψ ανδ ΣΤΕΠΗΕΝ ϑ. ΛΕΨΒΟΥΡΝΕψ ψγρανγερ Χεντρε φορ Τιmε Σεριεσ Εχονοmετριχσ ανδ Σχηοολ οφ Εχονοmιχσ, Υνιϖερσιτψ οφ Νοττινγηαm, Υνιϖερσιτψ Παρκ, Νοττινγηαm, ΝΓ7 2ΡD, ΥΚ (ε mαιλσ: δαϖε.ηαρϖεψ νοττινγηαm.αχ.υκ, στεϖε.λεψβουρνε νοττινγηαm.αχ.υκ) Απριλ 203 Αβστραχτ Ιντηισπαπερωεχονσιδερεστιmατινγτηετιmινγοφαβρεακινλεϖελανδ/ορτρενδ ωηεν τηε ορδερ οφ ιντεγρατιον ανδ αυτοχορρελατιον προπερτιεσ οφ τηε δατα αρε υνκνοων. Φορ στατιοναρψ ιννοϖατιονσ, βρεακ ποιντ εστιmατιον ισ χοmmονλψ περ φορmεδ βψ mινιmιζινγ τηε συm οφ σθυαρεδ ρεσιδυαλσ αχροσσ αλλ χανδιδατε βρεακ ποιντσ, υσινγ α ρεγρεσσιον οφ τηε λεϖελσ οφ τηε σεριεσ ον τηε ασσυmεδ δετερmινιστιχ χοmπονεντσ. Φορ υνιτ ροοτ προχεσσεσ, τηε οβϖιουσ mοδιχατιον ισ το υσε α ρστ διερενχεδ ϖερσιον οφ τηε ρεγρεσσιον, ωηιλε α φυρτηερ αλτερνατιϖε ιν α στατιοναρψ αυ τορεγρεσσιϖε σεττινγ ισ το χονσιδερ α ΓΛΣ τψπε θυασι διερενχεδ ρεγρεσσιον. Γιϖεν υνχερταιντψ οϖερ ωηιχη οφ τηεσε αππροαχηεσ το αδοπτ ιν πραχτιχε, ωε δεϖελοπ α ηψβριδ βρεακ φραχτιον εστιmατορ τηατ σελεχτσ φροm τηε λεϖελσ βασεδ εστιmατορ, τηε ρστ διερενχε βασεδ εστιmατορ, ανδ α ρανγε οφ θυασι διερενχε βασεδ εστιmατορσ, αχχορδινγ το ωηιχη αχηιεϖεσ τηε γλοβαλ mινιmυm συm οφ σθυαρεδ ρεσιδυαλσ. Wε εσταβλιση τηε ασψmπτοτιχ προπερτιεσ οφ τηε εστιmατορσ χονσιδερεδ, ανδ χοmπαρε τηειρ περφορmανχε ιν πραχτιχαλλψ ρελεϖαντ σαmπλε σιζεσ υσινγ σιmυλατιον. Wε νδ τηατ τηε νεω ηψβριδ εστιmατορ ηασ δεσιραβλε ασψmπτοτιχ προπερτιεσ ανδ περφορmσ ϖερψ ωελλ ιν νιτε σαmπλεσ, προϖιδινγ α ρελιαβλε αππροαχη το βρεακ δατε εστιmατιον ωιτηουτ ρεθυιρινγ δεχισιονσ το βε mαδε ρεγαρδινγ τηε αυτοχορρελατιον προπερτιεσ οφτηεδατα. Κεψωορδσ: Βρεακ ποιντ εστιmατιον; Βρεακ ιν λεϖελ; Βρεακ ιν τρενδ; Λοχαλ το ζερο βρεακσ. ϑελ Χλασσιχατιον: Χ22.

3 Ιντροδυχτιον Τηε ρεχεντ λιτερατυρε ισ ρεπλετε ωιτη αναλψσισ φοχυσινγ ον στρυχτυραλ χηανγε ιν τηε τρενδ φυνχτιον οφ α τιmε σεριεσ, mοτιϖατεδ βψ τηε αππαρεντ πρεϖαλενχε οφ βρεακσ ιν λεϖελ ανδ/ορ τρενδ ιν mαχροεχονοmιχ τιmε σεριεσ; σεε, φορ εξαmπλε, Στοχκ ανδ Wατσον(996, 999, 2005) ανδ Περρον ανδ Ζηυ(2005). Χορρεχτ σπεχιχατιον οφ α βρεακ ιν τηε δετερmινιστιχ τρενδ πατη οφ α σεριεσ ισ ϖιταλ φορ mοδελλινγ, εστιmατιον ανδ φορεχαστινγ εορτσ, ανδ ισ χρυχιαλ φορ αχηιεϖινγ ρελιαβλε υνιτ ροοτ τεστ ινφερενχε (σεε, ιντερ αλια, Περρον (989)). Γιϖεν τηατ ιν mοστ mαχροεχονοmιχ σεριεσ, υνχερταιντψ αλσο εξιστσ ασ το ωηετηερ τηε υνδερλψινγ στοχηαστιχ χοmπονεντ ισ βεστ mοδελλεδ βψ α στατιοναρψ(ι(0)) ορ υνιτ ροοτ (Ι()) προχεσσ, mυχη ρεχεντ ωορκ (ε.γ. Ηαρϖεψ ετ αλ. (2009, 200), Περρον ανδ Ψαβυ (2009), Σαψγνσοψ ανδ ςογελσανγ (20) ανδ ςογελσανγ (998)) ηασ βεεν διρεχτεδ ατ τεστινγ φορ τηε πρεσενχε οφ στρυχτυραλ βρεακ(σ) ωηεν τηε τρυε ορδερ οφ ιντεγρατιον οφ τηε σεριεσ ισ ασσυmεδ υνκνοων. Οφεθυαλιmπορτανχετοτηεπρεσενχε οφαβρεακινλεϖελανδ/ορτρενδινασεριεσισ τηε ρελατεδ ισσυε οφ τηε τιmινγ οφ τηε χηανγε, ανδ ιτ ισ τηε εστιmατιον οφ συχη βρεακ ποιντσ τηατ τηισ παπερ αδδρεσσεσ. Wηιλε α νυmβερ οφ mετηοδσ οφ βρεακ δατε εστιmατιον ηαϖε βεεν προποσεδ ιν τηε λιτερατυρε, σελεχτιον οφ αν εχιεντ βρεακ φραχτιον εστιmατορ ισ χοmπλιχατεδ βψ τηε αφορεmεντιονεδ φαχτ τηατ τηε ορδερ οφ ιντεγρατιον ισ τψπιχαλλψ νοτ κνοων ωιτη χερταιντψ. Ιν τηε χοντεξτ οφ στατιοναρψ ιννοϖατιονσ, Βαι (994) ανδ Βαι ανδ Περρον(998), ιντερ αλια, χονσιδερ χηοοσινγ τηε βρεακ δατε ωηιχη χορρεσπονδσ το mινιmιζινγ τηε συm οφ σθυαρεδ ρεσιδυαλσ, αχροσσ αλλ χανδιδατε βρεακ ποιντσ, φροm α ρεγρεσσιον οφ τηε λεϖελ οφ τηε σεριεσ ον τηε αππροπριατε δετερmινιστιχ ρεγρεσσορσ. Ιν α υνιτ ροοτ σεττινγ, α mορε εχιεντ αππροαχη ισ οβταινεδ βψ mινιmιζινγ τηε συm οφ σθυαρεδ ρεσιδυαλσ φροm α ρστ διερενχεδ ϖερσιον οφ τηε ρελεϖαντ ρεγρεσσιον; σεε Ηαρρισ ετ αλ. (2009). Α φυρτηερ αλτερνατιϖε, αδοπτεδ βψ Χαρριον ι Σιλϖεστρε ετ αλ. (2009) ιν αν ασσυmεδ λοχαλ το υνιτψ σεττινγ, ισ το αγαιν δατε τηε βρεακ αχχορδινγ το τηε mινι mυm ρεσιδυαλ συm σθυαρεσ, βυτ υσινγ α θυασι διερενχεδ ρεγρεσσιον. Πραχτιτιονερσ αρε τηεν φαχεδ ωιτη χηοοσινγ βετωεεν α νυmβερ οφ χανδιδατε βρεακ φραχτιον εστιmατορσ, ινεϖιταβλψ ωιτηουτ κνοωλεδγε οφ τηε υνδερλψινγ ιντεγρατιον προπερτιεσ οφ τηε σεριεσ. Ιν τηισ παπερ ωε φοχυσ ον δεϖελοπινγ α mινιmυm συm οφ σθυαρεδ ρεσιδυαλσ βασεδ βρεακ φραχτιον εστιmατορ τηατ περφορmσ ωελλ αχροσσ υνιτ ροοτ ανδ στατιοναρψ προχεσσεσ, ανδ ιν τηε στατιοναρψ χασε, αχροσσ α ρανγε οφ σεριαλ χορρελατιον στρυχτυρεσ. Ιν χοmmον ωιτηρεχεντλιτερατυρεοντηιστοπιχ,ε.γ. ΠερρονανδΖηυ(2005)ανδΨανγ(202),ωε ϖιεω ουρ αναλψσισ ασ χοmπλεmενταρψ το mετηοδσ οφ βρεακ δετεχτιον, φορ τωο ρεασονσ. Φιρστ, mανψ τεστινγ προχεδυρεσ εξπλιχιτλψ ρεθυιρε αν εστιmατεδ βρεακ δατε, ανδ τηε ποωερ οφ συχη βρεακ δετεχτιον τεστσ ισ ινηερεντλψ λιmιτεδ βψ τηε αχχυραχψ οφ τηε δατινγ προχεδυρε. Αν αχχυρατε δατινγ προχεδυρε ισ ωηατ τηισ παπερ προϖιδεσ, ηενχε ουρ προ ποσεδ εστιmατορ χουλδ φεεδ ιντο α νυmβερ οφ βρεακ δετεχτιον mετηοδσ. Σεχονδ, εϖεν φορ βρεακ δετεχτιον προχεδυρεσ τηατ δο νοτ ρεθυιρε αν α πριορι βρεακ δατε εστιmατορ (ε.γ. τηε εξπ Wαλδ στατιστιχ προποσεδ βψ Περρον ανδ Ψαβυ, 2009), ιντερεστ στιλλ λιεσ ιν τηε τιmινγ οφ τηε βρεακ σηουλδ ονε βε δετεχτεδ, τηερεφορε ουρ προποσεδ προχεδυρε ισ εθυαλλψ ρελεϖαντ τηερε. Τηε ρελεϖανχε αλσο εξτενδσ το υνιτ ροοτ τεστινγ ιν τηε πρεσενχε

4 οφαβρεακατανυνκνοωντιmε. Τηε ουτλινε οφ τηε παπερ ισ ασ φολλοωσ. Ιν σεχτιον 2, ωε βεγιν βψ εσταβλισηινγ, υσινγ α λοχαλ το ζερο βρεακ mαγνιτυδε ασσυmπτιον, τηε ασψmπτοτιχ προπερτιεσ οφ βρεακ φραχτιον εστιmατορσ βασεδ ον βοτη θυασι διερενχεδ(ωηιχη ινχλυδεσ λεϖελσ ασ α σπεχιαλ χασε) ανδ ρστ διερενχεδ ρεγρεσσιονσ, ανδ χονρm τηατ τηε φορmερ ισ το βε πρεφερρεδ φοραστατιοναρψσεριεσ,ανδινγενεραλτηελαττερφοραυνιτροοτπροχεσσ. Ινσεχτιον3, ωε τηεν δεϖελοπ α ηψβριδ εστιmατορ ωηιχη σελεχτσ βετωεεν τηε ρστ διερενχεδ βασεδ εστιmατορ ανδ α ρανγε οφ θυασι διερενχεδ βασεδ εστιmατορσ αχχορδινγ το ωηιχη αχηιεϖεσ τηε γλοβαλ mινιmυm συm οφ σθυαρεδ ρεσιδυαλσ. Τηε λαργε σαmπλε βεηαϖιουρ οφ τηε νεω εστιmατορ ισ αλσο εσταβλισηεδ. Σεχτιον 4 δεmονστρατεσ τηρουγη α νιτε σαmπλε Μοντε Χαρλο αναλψσισ τηατ τηε ηψβριδ εστιmατορ περφορmσ εξτρεmελψ ωελλ αχροσσ α ωιδε ρανγε οφ ποσσιβλε DΓΠσ, ουτπερφορmινγ εσταβλισηεδ βρεακ φραχτιον εστιmατορσ(ωηιχη περφορm βαδλψ ουτσιδε οφ τηειρ ρεσπεχτιϖε ασσυmπτιονσ ρεγαρδινγ τηε ιντεγρατιον ορδερ οφ τηε δατα). Τηε ηψβριδ εστιmατορ ισ σιmπλε το χοmπυτε, ανδ ισ φουνδ το χοmπρισε α ρελιαβλε αππροαχη το βρεακ δατε εστιmατιον ωιτηουτ ρεθυιρινγ α πριορι δεχισιονσ το βε mαδε ρεγαρδινγ τηε αυτοχορρελατιον προπερτιεσ οφ τηε δατα. Σεχτιον 5 χονχλυδεσ. Προοφσ οφ τηε mαιν ρεσυλτσ αρε προϖιδεδ ιν τηε ονλινε Αππενδιξ το τηισ παπερ. Ιν τηε φολλοωινγ, β:χ δενοτεσ τηε ιντεγερ παρτ οφ ιτσ αργυmεντ, ) δενοτε ωεακ χονϖεργενχε, ανδ (:) δενοτεσ τηε ινδιχατορ φυνχτιον. 2 Τηε mοδελ ανδ στανδαρδ βρεακ δατε εστιmατορσ Wεχονσιδερτηεφολλοωινγmοδελαλλοωινγφοραβρεακινλεϖελανδτρενδ ψ τ + 2 τ+ DΥ τ ( )+ 2 DΤ τ ( )+υ τ ; τ;:::;τ; () υ τ υ τ + τ ; τ2;:::;τ (2) ωιτηυ,ωηερεdυ τ ( )(τ>β Τχ)ανδDΤ τ ( )(τ>β Τχ)(τ β Τχ) ωιτη β Τχ τηε βρεακ ποιντ ωιτη ασσοχιατεδ βρεακ φραχτιον ανδ λεϖελ ανδ τρενδ βρεακ mαγνιτυδεσ ανδ 2, ρεσπεχτιϖελψ. Ηερε ισ υνκνοων βυτ σατισεσ 2, ωηερε[ Λ ; Υ ]ωιτη0< Λ < Υ <. Τοmακεουρτηεορετιχαλδεϖελοπmεντσασ τρανσπαρεντασποσσιβλε,ωεασσυmετηαττηειννοϖατιονπροχεσσφ τ γοφ(2)ισανιιd σεθυενχεωιτηϖαριανχε! 2 ανδνιτεφουρτηmοmεντ. Τηεπαρτιαλσυmπροχεσσοφφ τ γ τηεν σατισεσ α φυνχτιοναλ χεντραλ λιmιτ τηεορεm[φχλτ], Τ 2 βτρχ Ξ τ )! W(ρ) τ ωηερεw(ρ)ισαστανδαρδβροωνιανmοτιονπροχεσσον[0;]. Wε χονσιδερ τωο χασεσ φορ τηε ορδερ οφ ιντεγρατιον οφ τηε αυτορεγρεσσιϖε προχεσσ, υ τ. ΤηεΙ(0)χασεφορυ τ ισρεπρεσεντεδβψσεττινγϕϕ<ιν(2). Ιντηισσιτυατιοντηε λονγ ρυν ϖαριανχεοφυ τ ισγιϖεν βψ! 2 υ! 2 ( ) 2. Ηερεωεωιλλαλσο ασσυmετηατ ;Τ Τ 2 ανδ 2 2;Τ 2 Τ 32. ΤηεΤ 2 ανδτ 32 σχαλινγσπροϖιδε 2

5 τηε αππροπριατε Πιτmαν δριφτσ φορ τηε ασψmπτοτιχ αναλψσισ οφ βρεακ δατε εστιmατορσ ιν τηισχασε. ΤηεΙ()χασεφορυ τ ισρεπρεσεντεδβψσεττινγιν(2). Ηερεωεασσυmε ανδ 2 2;Τ 2 Τ 2 ωηιχηαρενοωτηεαππροπριατεσχαλινγσ. Φορφυτυρε βρεϖιτψ, τηε τωο χασεσ αρε συmmαριζεδ ασ φολλοωσ: Ασσυmπτιον Ι(0): ϕϕ<ωιτη ;Τ Τ 2 ανδ 2 2;Τ 2 Τ 32. Ασσυmπτιον Ι(): ωιτη ανδ 2 2;Τ 2 Τ 2. Wεχονσιδερεστιmατινγ βψmινιmιζινγτηερεσιδυαλσυmοφσθυαρεσφροmαθυασι διερενχεδ ϖερσιον οφ(), ι.ε. αργmιν 2 Σ(;) ωηερεσ(;)δενοτεστηερεσιδυαλσυmοφσθυαρεσφροmανολσρεγρεσσιονοφψ ονζ ; ωιτη ψ [ψ ;ψ 2 ψ ;:::;ψ Τ ψ Τ ] 0 ; Ζ ; [ξ ;ξ 2 ξ ;:::;ξ Τ ξ Τ ] 0 ωιτηξ τ [;τ;dυ τ ();DΤ τ ()] 0 : Ιφ ωερε κνοων, στανδαρδ ΓΛΣ βασεδ εχιενχψ χονσιδερατιονσ ωουλδ λεαδ υσ το σετ. Φορεξαmπλε,ιφ0,ωεωουλδοβταιν 0 φροmτηελεϖελσοφψ τ ρεγρεσσιονσασ 0 αργmιν 2 Σ(0;) αργmιν 2 ΤΞ φψ τ 2 τ DΥ τ () 2 DΤ τ ()γ 2 τ ωηιλειφ,ωεωουλδοβταιν φροmτηερστδιερενχεσοφψ τ ρεγρεσσιονσασ αργmιν 2 Σ(;) αργmιν 2 ΤΞ φψ τ 2 D τ () 2 DΥ τ ()γ 2 τ2 ωιτηd τ ()(τβτχ+). 2 Ινπραχτιχεοφχουρσε,τηεϖαλυεοφιστψπιχαλλψυνκνοων,σοωεβεγινβψεσταβλισηινγ τηε ασψmπτοτιχ βεηαϖιουρ οφ διερεντ εστιmατορσ υνδερ βοτη Ι(0) ανδ Ι() σπεχιχατιονσ. Το τηισ ενδ, τηε νεξτ τωο τηεορεmσ δεταιλ τηε λαργε σαmπλε προπερτιεσ οφ φορ αν αρβιτραρψωηερε <. Νοτετηαττηεαππροπριατε σχαλινγ οντηελεϖελβρεακιντηει()χασεισο(),ανδδιερσφροm τηεο(τ 2 )ΠιτmανδριφταππροπριατεωηεντεστινγφορτηεπρεσενχεοφαλεϖελβρεακινανΙ()προχεσσ. 2 ΗερετηεΟΛΣεστιmατορσ, 2, ανδ 2 αρευσεδιναγενεριχσενσε. Τηεψαρεαλσοφυνχτιονσ οφ βυτ ωε συππρεσσ τηισ δεπενδενχε φορ νοτατιοναλ βρεϖιτψ. 3

6 Τηεορεm Υνδερ Ασσυmπτιον Ι(0), (ι)φορϕϕ< ) αργσυπ[α( 0 ; 0 2; ;) Β ()Χ( 0 ; 0 2; )] 0 Β 2 () [Α( 0 ; 0 2; ;) Β ()Χ( 0 ; 0 2; )] 2 Λ 0 ( 0 ; 0 2; ) (3) ωηερε Α( 0 ; 0 2; ;) Β () Β 2 () Χ( 0 ; 0 2; ) ωιτη 0 ι ι! υ ανδ 0 Γ ( ;)+ 0 2Γ 2 ( ;)+W() W() 0 Γ 2 ( ;)+ 0 2Γ 22 ( ;)+ Ρ (ρ )δw(ρ) ( )( 3) 6( ) ( ) 2 ( ) 2 (+2) ( )( ) 2 (2 )( ) (2 )( ) ( ) ( )+ 0 2( ) 2 2+W() 0 ( 2 )2+ 0 2( ) 2 (2+ )6+ Ρ ρδw(ρ) 0 Γ ( ;) Γ 2 ( ;) Γ 2 ( ;) Γ 22 ( ;) ( )(+ 2 )2 ( ) 2 2 ( ) 2 2 ( )(+ 2)2 ( ) 2 (2+ 3 )6 ( ) 2 (2+ 3)6 ; (ιι)φορ )αργσυπ 2 λιm Τ! υ2 Τ+: (4) Ρεmαρκ Ιτισσηοωνβψ(3)τηατ ηασαλιmιτδιστριβυτιονωηιχηισινϖαριανττοαλλ ϕϕ < ; τηισ φολλοωσ ασ α χονσεθυενχε οφ τηε ασψmπτοτιχ εθυιϖαλενχε βετωεεν λεϖελσ ανδ θυασι διερενχεδ ρεγρεσσιον εστιmατεσ ιν τηισ χοντεξτ(σεε Γρενανδερ ανδ Ροσενβλαττ, 957). Ηοωεϖερ,τηεδιστριβυτιονδοεσδεπενδονϖια! υ ιν 0 ι. Ρεmαρκ 2 Τηεχορρεσπονδινγλιmιτ(4)φορ ωιτηχανονλψβεωριττενιναν ιmπλιχιτφορm, βεχαυσειτονλψδεπενδσοντηετωοδιστυρβανχεσυ Τ+ ανδυ Τ ηενχε νο ΦΧΛΤ ισ αππλιχαβλε. Τηε mορε περτινεντ φεατυρε ηερε, ηοωεϖερ, ισ τηατ (4) δοεσ νοτ ινϖολϖε. Ηενχε, χαννεϖερβεχονσιδερεδανεεχτιϖεεστιmατοροφ υνδερ Ασσυmπτιον Ι(0). 4

7 ΦιγυρεπροϖιδεσηιστογραmσοφτηελιmιτδιστριβυτιονΛ 0 ( 0 ; 0 2; )φορϖαριουσχοm βινατιονσοφνον ζεροϖαλυεσοφ ανδ 2 φορτηεχασεοφ 0:5. Ηερεωεσετ0 ανδ!,συχητηατ! υ ανδηενχε 0 ι ι. Wεαππροξιmατετηελιmιτφυνχτιοναλσ βψ νορmαλιζεδ συmσ οφ,000 στεπσ υσινγ νορmαλ ΙΙD(0; ) ρανδοm ϖαριατεσ. Ιν τηε σιmυλατιονσηερεανδιντηερεmαινδεροφτηεπαπερωεσετ[0:5;0:85]ανδεmπλοψ 0,000 Μοντε Χαρλο ρεπλιχατιονσ. Αλλ σιmυλατιονσ ωερε προγραmmεδ ιν Γαυσσ 9.0. Τηε ρεσυλτσαρελαργελψασωεωουλδεξπεχτ; αχχυραχψοφ, ϕϕ<ασανεστιmατοροφ, mεασυρεδ συβϕεχτιϖελψ, ιmπροϖεσ ωιτη ινχρεασινγ ανδ/ορ 2. Wηεν ισ ζερο,, ϕϕ<ηασαβιmοδαλανδ(νεαρ)σψmmετριχδιστριβυτιοναρουνδ 0:5, ανδωηεν νειτηερ ορ 2 αρε ζερο τηε διστριβυτιον ισ βιmοδαλ βυτ νοτ σψmmετριχ; βοτη τηεσε προπερτιεσ αρε χονσιστεντ ωιτη τηε ρεσυλτσ δοχυmεντεδ βψ Περρον ανδ Ζηυ(2005) υνδερ ανασσυmπτιονοφξεδmαγνιτυδε(ασοπποσεδτολοχαλ το ζερο)βρεακσ. 3 Τηεορεm 2 Υνδερ Ασσυmπτιον Ι(), (ι)φορϕϕ< )αργσυπ[ϑ( 00 2; ;) Β ()Κ( 00 2; )] 0 Β 2 () [ϑ( 00 2; ;) Β ()Κ( 00 2; )] (5) 2 ωηερε ! ανδ ϑ( 00 2; ;) Κ( 00 2; ) 00 2Γ 2 ( ;)+ Ρ # W(ρ)δρ 2Γ 22 ( ;)+ Ρ (ρ )W(ρ)δρ 00 2( ) 2 2+ Ρ # W(ρ)δρ 0 2( ) 2 (2+ )6+ Ρ ρw(ρ)δρ ωιτηβ (),Β 2 (),Γ 2 ( ;)ανδγ 22 ( ;)ασδενεδιντηεορεm, (ιι)φορ ) αργσυπ 2 00 Η ( 0 ;)+λιm Τ! Τ+! Η 2 ( ;)+W() W() 0 ( ) 00 Η ( ;)+λιm Τ! Τ+! 00 2Η 2 ( ;)+W() W() Λ ( 00 ; 00 2; ) (6) ωηερε 00 ι ι! ανδ Η ( ;) Η 2 ( ;) 0 6 ( ) ( ) : 3 Wεδονοτεξπλορετηεχονσεθυενχεσοφδιερεντορ! ηερεσινχετηεσεονλψεεχττηεϖαλυεσοφ τηε 0 ι. Τηερεφορε, τηε σαmε εεχτ χουλδ αλωαψσ βε οβταινεδ βψ mαινταινινγ 0ανδ! ανδ σιmπλψαλτερινγτηε ι αππροπριατελψ. 5

8 Ρεmαρκ 3 Ιτ ισ σηοων βψ (5) τηατ ηασ α λιmιτ διστριβυτιον ωηιχη ισ ινϖαριαντ το αλλϕϕ<. Τηεmορεπερτινεντφεατυρεηερε,ηοωεϖερ,ιστηατ(5)δοεσνοτ ινϖολϖε. Ηενχε, ωιτηϕϕ<χαννοτβευσεδτοδετεχτλεϖελβρεακσυνδερασσυmπτιονι(). Αλσο,τηελιmιτεξπρεσσιον(5)ισϖερψσιmιλαρινστρυχτυρετοτηατοφ(3) ιτισοβταινεδ φροm(3)βψρεπλαχινγδw(ρ)ωιτηw(ρ)ανδσεττινγ 0 0, Ινχοντραστ, ασ ωουλδ βε εξπεχτεδ γιϖεν ιτσ αππροπριατενεσσ υνδερ Ασσυmπτιον Ι(), τηε λιmιτ οφ ινϖολϖεσβοτη ανδ 2. Φιγυρε2προϖιδεσηιστογραmσοφτηελιmιτδιστριβυτιονΛ ( 00 ; 00 2; )φορϖαριουσνον ζεροϖαλυεσοφ ανδ 2 ωηεν 0:5. Αγαιν!,σοτηατ 00 ι ι. Ονχεmορεωε οβσερϖετηεαχχυραχψοφ ιmπροϖινγωιτηινχρεασινγ ανδ/ορ 2. Φιγυρε3γιϖεστηε χορρεσπονδινγηιστογραmσφορ,ϕϕ<;νοτετηατφιγυρεσ3(α)ανδ3(β)αρειδεντιχαλ, σινχε 2 0 ηερε ανδ τηε λιmιτ δοεσ νοτ δεπενδ ον (σεε Ρεmαρκ 3). Φορ νον ζερο τρενδ βρεακ mαγνιτυδεσ,, ϕϕ < δετεχτσ τηε βρεακ ωιτη ινχρεασινγ αχχυραχψ ασ 2 ρισεσ, βυτ α χοmπαρισον ωιτη τηε χορρεσπονδινγ ηιστογραmσ φορ ιν Φιγυρε 2 σηοωσ τηατ ωηιλε ιτ ισ χοmπετιτιϖε φορ 2 5 (αλτηουγη νειτηερ εστιmατορ χουλδ βε χονσιδερεδ ανψωαψ δεχεντ ηερε), ιτ ισ χλεαρλψ ινφεριορ το φορ 2 5. Ιν ρελατεδ ωορκ, Ψανγ (202) χονσιδερσ τηε ρελατιϖε περφορmανχε οφ λεϖελσ ανδ ρστ διερενχεδ βασεδ εστιmατορσ φορ α mοδελ ωιτη υνιτ ροοτ ερρορσ ανδ α λοχαλ βρεακ ιν τρενδ ονλψ, σηοωινγ τηατ τηε λεϖελσ εστιmατορ χαν ουτπερφορm τηε ρστ διερενχεδ εστιmατορ φορ ϖερψ σmαλλ βρεακσ. Ηοωεϖερ, φορ συχη σmαλλ βρεακ mαγνιτυδεσ ιν τηισ ρεγιον, βοτη βρεακ ποιντ εστιmατορσ δισπλαψ ϖερψ ποορ αχχυραχψ(χφ. Φιγυρεσ 2(χ) ανδ 3(χ)), σο τηε ρελατιϖε διερενχεσ ηερε αρε οφ λιmιτεδ πραχτιχαλ ιmπορτανχε. 3 Α ηψβριδ βρεακ δατε εστιmατορ Τηε αβοϖε ασψmπτοτιχ ρεσυλτσ συγγεστ, φαιρλψ υναmβιγυουσλψ, τηατ ινχονστρυχτινγ, ωεσηουλδχηοοσεσοmεϕϕ<ιφϕϕ<,ανδχηοοσειφ. Τηισφολλοωσσινχε χαννοτβεχονσιδερεδασυιταβλεεστιmατοροφτηεβρεακφραχτιονυνδερασσυmπτιον Ι(0),ανδ,ϕϕ<ισεεχτιϖελψουτπερφορmεδβψ υνδερασσυmπτιονι(). Ηοωεϖερ, γιϖεντηατωεχονσιδερτηετρυεϖαλυεοφτοβευνκνοωνινπραχτιχε,ωενοωχονσιδερ δεϖελοπινγαηψβριδβρεακφραχτιονεστιmατορτηατσελεχτσβετωεεντηε,ϕϕ<ανδ ποσσιβιλιτιεσδεπενδινγοντηεσαmπλε σπροπερτιεσ. Τοβεγιν,ιφωεχονσιδερϕυσττωο ποσσιβλε ϖαλυεσ φορ : 0 ωηερε ϕ 0 ϕ <, ανδ, ι.ε. 0 ανδ αρε τηε ονλψ ποσσιβλεεστιmατορσοφ,τηενωεmιγητχονσιδερσελεχτινγβετωεεν 0 ορ αχχορδινγ το ωηιχη χορρεσπονδσ το τηε λοωεστ ρεσιδυαλ συm οφ σθυαρεσ, ι.ε. χηοοσε 0 ιφ mιν 2 Σ( 0 ;)<mιν 2 Σ(;) ιφ mιν 2 Σ( 0 ;)>mιν 2 Σ(;) : Ανοτηερωαψοφωριτινγτηισιστοδενετηεηψβριδεστιmατορ D2 αργ mιν 2;2D 2 Σ(;) 6

9 ωηερεd 2 φ 0 ;γ. 4 Τοεξαmινετηεασψmπτοτιχβεηαϖιουροφτηισηψβριδεστιmατορ D2,ωερστεσταβλιση τηε λιmιτινγ προπερτιεσ οφ Σ(; ) υνδερ Ασσυmπτιον Ι(0) ανδ Ασσυmπτιον Ι(). Τηεορεm 3 ΥνδερΑσσυmπτιονΙ(0),φορϕϕ<ανδ φοραλλ. Τηεορεm 4 Υνδερ Ασσυmπτιον Ι(), (ι)φορϕϕ< Τ Σ(;))!2 2(+2 2) Τ 2 Σ(;))Θ(;! 2 ; 00 2;; ) ωηερεθ(:)ισσοmενον δεγενερατεδιστριβυτιονφοραλλ, 5 (ιι)φορ φοραλλ. Τ Σ(;))! 2 ΙφωερστχονσιδερβεηαϖιουρυνδερΑσσυmπτιονΙ(),ωηερε,ιτφολλοωσφροm Τηεορεm4τηατΤ 2 Σ( 0 ;)χονϖεργεστοαδιστριβυτιονωηιλετ Σ(;)χονϖεργεστο! 2 φοραλλ. Ασψmπτοτιχαλλψτηεν,mιν 2 Σ( 0 ;)>mιν 2 Σ(;)>0. Νεξτ,υνδερ ΑσσυmπτιονΙ(0),ωηερεϕϕ<,Τηεορεm3ιmπλιεστηατ Τ Σ( 0 ;) Τ Σ(;) )!2 2φ( ) 2( )γ! 2 2( 0 )(2 0 ) φοραλλ. Σινχε 0 >0ηερε,ιτφολλοωστηατ,ασψmπτοτιχαλλψ, mιν 2 Σ( 0 ;)<mιν 2 Σ(;) ιφ<( 0 +)2 mιν 2 Σ( 0 ;)>mιν 2 Σ(;) ιφ>( 0 +)2 : (7) Χονσεθυεντλψ,ωενδτηατ D2 ασψmπτοτιχαλλψιφωηιχηισασωεωουλδ δεσιρε. Φορϕϕ<,(7)σηοωσυστηατ D2 0,τηεδεσιρεδουτχοmε,υνλεσσ> 0 ανδ ισχλοσερτοτηανιτιστο 0,ινωηιχηχασε D2 ωηιχηιστηεινεεχτιϖεεστιmατορ ιντηει(0)χασε. Βψωαψοφανεξαmπλε,συπποσεϕϕ<ανδωεσετ 0 0(σοτηατ D2 σελεχτσβετωεεντηελεϖελσ ανδτηερστδιερενχεσ βασεδεστιmατορσ 0 ανδ );ωενδ τηατ D2 (τηεινεεχτιϖεεστιmατορ)ιντηερεγιον>0:5. Ιφοντηεοτηερηανδ 4 Τηατισ,D 2 ισαδισχρετεσετχονσιστινγοφτηετωοελεmεντσ 0 ανδ. 5 ΤηεπρεχισεφορmοφΘ(:)χανεασιλψβεεσταβλισηεδφροmτηερεσυλτσιντηεΑππενδιξ;ωεοmιττηε δεταιλσηερεσινχειτισονλψτηεορδεροφσ(;)τηατπροϖεσιmπορταντφορουρπυρποσεσ. 7

10 ωε χηοοσε 0 0:9, ωε νδ τηατ D2 νοω ονλψ ιν τηε ρεγιον > 0:95. Πυρελψ ασψmπτοτιχ χονσιδερατιονσ ωουλδ τηερεφορε ινδιχατε τηατ τηε προβλεm ρεγιον ασσοχιατεδ ωιτηϕϕ<χανβεmαδεαρβιτραριλψσmαλλβψσεττινγ 0,ωηερε>0ισmαδε αρβιτραριλψχλοσετο0,τηερεβψρεδυχινγτηεπροβλεmρεγιοντο> 2. Νοτωιτηστανδινγ ουρ ασψmπτοτιχ ρεσυλτσ υνδερ Ασσυmπτιον Ι(0), ιν νιτε σαmπλεσ τηεχηοιχεοφ 0 ωιλληαϖεασιγνιχαντινυενχεοφτηεβεηαϖιουροφ D2 εϖενωηεντηε χονδιτιον <( 0 +)2 ισ σατισεδ. Τηερεφορε, φροm α νιτε σαmπλε (ι.ε. εmπιριχαλ) περσπεχτιϖετηειδεαοφσεττινγ 0 ισυνλικελψτοπροϖεαναττραχτιϖεπροποσιτιον υνλεσσ ισ αχτυαλλψ ϖερψ χλοσε το, δεσπιτε ιτσ ασψmπτοτιχ αππεαλ. Ασ νοτεδ αβοϖε, εχιενχψ χονσιδερατιονσ συγγεστ ωε σηουλδ(ινφεασιβλψ) αλωαψσ σετ. Ασ α στεπ ιν τηισ διρεχτιον ωε χονσιδερ γενεραλιζινγ τηε ηψβριδ εστιmατορ βψ ατλεασταλλοωινγ τοχοϖερασυβσετοφποσσιβλεϖαλυεσφορ, ρεπλαχινγτηε2ελεmεντ σετd 2 ωιτητηεmελεmεντσετd m φ 0 ; 0 2;:::; 0 m ;γωηερεϕ 0 ιϕ<φοραλλιανδ, ωιτηουτλοσσοφγενεραλιτψ, < 0 < 0 2<:::< 0 m <. Τηερεφορε,ωενοωχονσιδερ τηε φολλοωινγ ηψβριδ(πσευδο ΓΛΣ) εστιmατορ Dm αργ mιν 2;2D m Σ(;) (8) Νοτε τηατ Dm χουλδ εθυιϖαλεντλψ βε δενεδ ασ χηοοσινγ ονε οφ 0 ; 0 2 ;:::; 0 m ; αχχορδινγ το ωηιχη οφ τηεσε εστιmατορσ αχηιεϖεσ τηε σmαλλεστ ρεσιδυαλ συm οφ σθυαρεσ. ΤηενεξτΧορολλαρψισαυσεφυλινιτιαλστεπινεξπλαινινγτηελιmιτβεηαϖιουροφ Dm. Χορολλαρψ 5 (ι) Υνδερ Ασσυmπτιον Ι(0), φοραλλ. αργ mιν 2D m Σ(;)) 8 >< >: (ιι) Υνδερ Ασσυmπτιον Ι(), 0 ιφ< 0 αργmιν 2D 0 m ϕ ϕ ιφ 0 0 m 0 m ιφ 0 m <<( 0 m +)2 ιφ>( 0 m +)2 φοραλλ. αργ mιν 2D m Σ(;)) Παρτ (ιι) φολλοωσ διρεχτλψ φροm Τηεορεm 4, σινχε Τ Σ(;) διϖεργεσ το + ιν Τ υνλεσσ. Παρτ(ι)φολλοωσφροmΤηεορεm3σινχεωεηαϖε αργ mιν 2D m Σ(;) αργmιν 2D m Τ Σ(;) ) αργmιν 2D m! 2 2(+2 2) αργmιν 2D m 2 2: 8

11 Νοω δ( 2 2) δ 2( ) ανδσοαργmιν 2Dm Σ(;))αργmιν 2Dm ϕ ϕ. Wηεν< 0,χλεαρλψαργmιν 2Dm ϕ ϕ 0. Αλσο,ωηεν 0 0 m,αργmιν 2Dm ϕ ϕαργmιν 2D 0 m ϕ ϕ. 6 Φορ > 0 m, αργmιν 2Dm ϕ ϕ 0 m υνλεσσ > ( 0 m +)2 ιν ωηιχη χασε αργmιν 2Dm ϕ ϕ. Νοτιχετηαττηισχονδιτιονχοινχιδεσωιτητηατιντηεσεχονδ παρτοφ(7)(ονρεπλαχινγ 0 ωιτη 0 m ). Ιντυιτιϖελψ,ιντηελιmιτ,αργmιν 2Dm Σ(;)ισ αλωαψστηεελεmεντοφd m χλοσεσττοτηετρυεϖαλυεοφ. Τηεασψmπτοτιχβεηαϖιουροφ Dm χαννοωβεεσταβλισηεδυνδερβοτηασσυmπτιον Ι(0) ανδ Ασσυmπτιον Ι(). Χορολλαρψ 6 (ι) Υνδερ Ασσυmπτιον Ι(0), αργσυπ2 λιm Dm ) Τ! υ 2 Τ+ ιφ>( 0 m +)2 Λ 0 ( 0 ; 0 2; ) οτηερωισε : (ιι) Υνδερ Ασσυmπτιον Ι(), Dm )Λ ( 00 ; 00 2; ): Φορπαρτ(ιι),Χορολλαρψ5(ιι)ιmπλιεστηατ,ασψmπτοτιχαλλψ,αργmιν 2;2Dm Σ(;) αργmιν 2 Σ(;)ωηιχηηαστηελιmιτδιστριβυτιονΛ ( 00 ; 00 2; )οφτηεορεm2(ιι). Παρτ (ι)φολλοωσφροmχορολλαρψ5(ι). ΥσινγτηεναλλιmιτοφΧορολλαρψ5(ι)ωενδτηατωηεν > ( 0 m +)2 τηεν, ασψmπτοτιχαλλψ, αργmιν 2;2Dm Σ(;) αργmιν 2 Σ(;) ωηιχη ηασ τηε λιmιτ γιϖεν ιν (4). Οτηερωισε, υσινγ τηε ρστ τηρεε λιmιτσ οφ Χορολλαρψ 5(ι)ωενδτηατ,ασψmπτοτιχαλλψ,αργmιν 2;2Dm Σ(;)αργmιν 2 Σ(η;)ωηερε η ισ σοmε ελεmεντ οφ φ 0 ; 0 2;:::; 0 m γ. Σινχε ϕηϕ < τηε λιmιτ διστριβυτιον ισ τηεν Λ 0 ( 0 ; 0 2; )οφτηεορεm(ι). Wενδ,τηερεφορε,τηατυνδερΑσσυmπτιονΙ(),τηεηψβριδεστιmατορ Dm ηαστηε σαmε λιmιτ βεηαϖιουρ ασ, ασ ωε ωουλδ ωιση, ωηιλε υνδερ Ασσυmπτιον Ι(0), ιτ ηασ τηε σαmε ασψmπτοτιχ προπερτιεσ ασ, ϕϕ<, αγαιν ασ δεσιρεδ, υνλεσσ ηαππενσ το λιε ιν τηε προβλεm ρεγιον > ( 0 m +)2. Τηε ηψβριδ εστιmατορ τηερεφορε ηασ α χλεαρασψmπτοτιχαππεαλ,παρτιχυλαρλψιφονεmακεστηεϕυδιχιουσχηοιχεοφσεττινγ 0 m ϖερψ χλοσε το. Ιν τηε νεξτ σεχτιον, ωε εξαmινε τηε βεηαϖιουρ οφ Dm ιν σαmπλεσ οφ πραχτιχαλλψ ρελεϖαντ σιζε. Φιναλλψ,ουρασψmπτοτιχρεσυλτσιmπλψτηατ Dm ηαστηεσαmεασψmπτοτιχπροπερτιεσ ασ τηε φολλοωινγ σεθυεντιαλ βρεακ φραχτιον εστιmατορ: ιν τηε ρστ στεπ, mινιmιζε Σ(; ) 6 Νοτιχε τηατ ιφ ιτ ηαππενσ το βε τηε χασε τηατ 2 D m τηεν αργmιν 2D 0 m ποινττηελιmιτοφτ Σ(;)ισ! 2 ). ϕ ϕ (ατ ωηιχη 9

12 αχροσσ D m φορ ανψ σινγλε ϖαλυε οφ 2, ιν τηε σεχονδ στεπ, mινιmιζε Σ(;) αχροσσ ιmποσινγ τηε ϖαλυε οφ οβταινεδ φροm τηε ρστ στεπ. Συχη α σεθυεντιαλ αππροαχη, ωηιλε ασψmπτοτιχαλλψ ϖαλιδ, ισ λικελψ το περφορm ρατηερ ποορλψ ιν νιτε σαmπλεσ, σινχε ιτ ισ εντιρελψ ποσσιβλε τηατ τωο διερεντ χηοιχεσ φορ ιν τηε ινιτιαλ mινιmιζατιον ωιλλ λεαδ το τωο διερεντ ανδ, χονσεθυεντλψ, τωο διερεντ βρεακ φραχτιον εστιmατεσ. Wε τηερεφορε δο νοτ αδϖοχατε υσε οφ τηισ τωο στεπ αππροαχη, ινστεαδ ρεχοmmενδινγ Dm ασδενεδιν(8). 4 Φινιτε σαmπλε περφορmανχε Ιντηισσεχτιονωεχοmπαρετηενιτεσαmπλεπερφορmανχεοφτηεηψβριδεστιmατορ Dm ωιτητηελεϖελσ ανδρστ διερενχε βασεδεστιmατορσ 0 ανδ. ΤηεσιmυλατιονDΓΠισ ()ανδ(2),ωιτηυ, τ ΝΙΙD(0;)ανδ 2 0(ωιτηουτλοσσοφγενεραλιτψ). Ασιντηεασψmπτοτιχσιmυλατιονσ,ωευσε 0:5. Φορχασεσωηερευ τ ισι(0),ωεσετ Τ 2, 2 2 Τ 32 ωιτη φ0;0;20;30γανδ 2 φ0;250;500;750γ;ωηερε υ τ ισι(),ωεσετ, 2 2 Τ 2 ωιτη φ0;;2;3γανδ 2 φ0;5;0;5γ. Τηεχοmβινατιον 2 0ισπροϖιδεδασανο βρεακποιντοφρεφερενχε. Wεχονσιδερ τηεσαmπλεσιζεστ 50ανδΤ 300ανδαρανγεοφϖαλυεσοφ. ΑχηοιχεmυστβεmαδερεγαρδινγD m. ΗερεωεσετD m φ0;0:2;0:4;0:6;0:8;0:9; 0:95; 0:975; γ. Τηισ χηοιχε ισ mοτιϖατεδ βψ τωο εmπιριχαλ οβσερϖατιονσ ρεγαρδινγ εχο νοmιχ τιmε σεριεσ. Τηε ρστ ισ τηατ σεριαλ χορρελατιον ισ νοτ υσυαλλψ φουνδ το βε νεγατιϖε, σοτηατωεεξχλυδενεγατιϖεϖαλυεσοφ. Τηεσεχονδιστηαττηεσεριαλχορρελατιονισοφτεν φουνδ το βε ϖερψ στρονγλψ ποσιτιϖε(ασ εξεmπλιεδ βψ τηε ονγοινγ Ι(0)/Ι() δεβατε), σο ωε ινχλυδε σοmε λαργε ϖαλυεσ οφ < ασ ωελλ ασ ; mορεοϖερ, ινχλυσιον οφ τηε ϖαλυε 0:975 χοννεσ τηε προβλεm ρεγιον δισχυσσεδ αβοϖε το τηε σmαλλ ιντερϖαλ ρεγιον 0:9875<<. Φορφυρτηερχοmπαρισον,ωεαλσοεξαmινεανΑΡ() βασεδεστιmατοροφ. Τηισισ χαλχυλατεδ φροm mινιmιζινγ τηε ρεσιδυαλ συm οφ σθυαρεσ φροm τηε ττεδ ΟΛΣ ρεγρεσσιον ψ τ + 2 τ+ψ τ + D τ ()+ 2 DΥ τ ()+ 3 DΤ τ ()+ε τ ; τ2;:::;τ; αχροσσ. Ηερετηεονε τιmεδυmmψϖαριαβλεd τ ()ισινχλυδεδτοιδεντιφψαλεϖελβρεακ ιντηει()χασε(χορρεσπονδινγηερετο). Wεδενοτετηισεστιmατορασ ΑΡ. Wιτη φουρ διερεντ βρεακ φραχτιον εστιmατορσ, σιξτεεν χοmβινατιονσ οφ βρεακ mαγ νιτυδε ανδ τωο σαmπλε σιζεσ, ιτ ισ νοτ πραχτιχαλ το σηοω φυλλ ηιστογραmσ αχροσσ διερεντ ϖαλυεσ οφ. Ινστεαδ, ιν Ταβλεσ 5, ωε σιmπλψ προϖιδε τηε εmπιριχαλ προβαβιλιτψ τηατ εαχη εστιmατορ λιεσ ιν τηε ρανγε 0:00, 0:025 ανδ 0:050. Οτηερ τηινγσ εθυαλ, τηε λαργερ τηεσε προβαβιλιτιεσ, τηεν τηε βεττερ τηε εστιmατορ. ΤαβλεχονχερνστηεχασεοφΙ(0),ωηιτενοισεερρορσ,ασιτυατιονωηερε 0 ρεπρεσεντσ τηεοπτιmαλεστιmατορ. Wηατισιmmεδιατελψαππαρεντιστηατ ισβψσοmεχονσιδεραβλε mαργιντηεποορεστπερφορmινγεστιmατοραχροσσαλλ ανδ 2. WηενΤ 50ιτδοεσ ηαϖε σοmε αβιλιτψ το δετεχτ τηε λαργερ βρεακσ, βυτ εϖεν τηεν ρεmαινσ mυχη ινφεριορ το τηεοτηερτηρεε;φορτ 300ιτσπερφορmανχελεϖελσφορνον ζερο ανδ 2 αρεσιmιλαρ 0

13 τοτηενο βρεακρεφερενχεχασε,ινλινεωιτητηερεσυλτοφτηεορεm(ιι)ωηιχησηοωεδ τηατ ισασψmπτοτιχαλλψινεεχτιϖειντηισσεττινγ. Wεαλσοσεετηατ,ονβαλανχε, ΑΡ δοεσνοτ περφορm ασωελλασειτηερ 0 ορ Dm. Ιτ ισχοmπετιτιϖεωηεν τηερεισαπυρε τρενδ βρεακ, βυτ λοσεσ ουτ εϖερψωηερε ελσε. Τηε εστιmατορσ 0 ανδ Dm σηοω αλmοστ ιδεντιχαλ βεηαϖιουρ εϖερψωηερε, ηιγηλιγητινγ τηε αττραχτιϖε περφορmανχε οφ τηε ηψβριδ εστιmατορ ιν τηισ ωηιτε νοισε χασε. ΙνΤαβλε2τηεερρορσαρεΙ(0),ΑΡ()ωιτη0:5. Τηεχοmπαρατιϖεβεηαϖιουροφτηε εστιmατορσρεmαινσπρεττψmυχητηεσαmεασσεενινταβλε,ονλψωιτητηεδιερενχεσ βετωεεν ωορστ ανδ βεστ βεινγ σλιγητλψ λεσσ εmπηασιζεδ. Ταβλε 3 χονσιδερσ τηε χασε οφ Ι(0), ΑΡ() ερρορσ ωιτη 0:925. Ηερε, τηε στρονγερ αυτορεγρεσσιϖε χοmπονεντ βεγινσ το διmινιση τηε αβιλιτψ οφ τηε εστιmατορσ το ιδεντιφψ τηε τρυε βρεακ ποιντ, οτηερ τηαν, ωηιχη ιmπροϖεσρελατιϖετο τηε0:5 χασε. Ηοωεϖερ, ρατηερ ενχουραγινγλψ, ιτ ισ τηεηψβριδεστιmατορ Dm τηατσηοωστηεβεστπερφορmανχεοϖεραλλ. Ταβλε 4 ρεπρεσεντσ α προβλεm χασε οφ Ι(0) βυτ νεαρ Ι() ερρορσ, ωιτη 0:994, τηισϖαλυεοφβεινγχηοσεντολιειντηεmιδδλεοφτηεασψmπτοτιχπροβλεmρεγιονφορ Dm. ΦορΤ 50,περηαπσνοτσυρπρισινγλψ,γιϖεντηεστρενγτηοφτηεαυτορεγρεσσιϖε χοmπονεντ, ισ γενεραλλψ τηε βεστ περφορmινγ εστιmατορ ηερε, αλτηουγη αγαιν Dm περφορmσ ϖερψ ωελλ ανδ ισ α χλοσε χοmπετιτορ το, χοmφορταβλψ ουτ περφορmινγ ΑΡ ανδ 0. WηενΤ 300,αλτηουγητηεπροβαβιλιτιεσασσοχιατεδωιτηαλλτηεπροχεδυρεσ αρε λοωερ, ιτ χουλδ βε αργυεδ τηατ ισ στιλλ τηε βεστ περφορmινγ εστιmατορ (δεσπιτε ιτσασψmπτοτιχσηορτχοmινγσ);ονχεαγαιν, Dm βεηαϖεσϖερψσιmιλαρλψτο ηερε,σοιτ αππεαρστηαττηεασψmπτοτιχπροβλεmρεγιονασσοχιατεδωιτη Dm ισυνλικελψτοβεοφ mυχη χονχερν ιν ανψ πραχτιχαλ σεττινγ. Ταβλε5σηοωστηερεσυλτσφορΙ(),ρανδοmωαλκερρορσ,ωηερε νοωασσυmεστηε ρολε οφ τηε οπτιmαλ εστιmατορ. Τηε ωορστ περφορmινγ εστιmατορ ισ νοω 0, εξχεπτ φορ τηεπυρετρενδβρεακχασε,ωηερε ΑΡ περφορmσmοστποορλψ. Βοτη ανδ Dm αρεϖερψ χλεαρλψ βεττερ περφορmινγ εστιmατορσ ανδ βεηαϖε ϖερψ σιmιλαρλψ εϖερψωηερε. Τηε ρεσυλτσ φορτ 300αλσοσηοωτηαττηεπροβαβιλιτιεσασσοχιατεδωιτη 0 αρελαργελψινσενσιτιϖε το, ανδχλοσετοτηενο βρεακρεφερενχεχασεωηεν 2 0, ωηιχηαχχορδσωιτηουρ ασψmπτοτιχ ρεσυλτσ ιν Τηεορεm 2(ι). Ρεσυλτσφοραδδιτιοναλϖαλυεσοφ0<<αρερεπορτεδινΗαρϖεψανδΛεψβουρνε (203). Τηεσε φυρτηερ ηιγηλιγητ τηε αττραχτιϖε προπερτιεσ οφ Dm δισχυσσεδ αβοϖε; ιν παρτιχυλαρ,ωενδτηαταστηεϖαλυεοφινχρεασεσφυρτηερτοωαρδσυνιτψ,ρεσυλτσφορ Dm βεχοmεινχρεασινγλψσιmιλαρτοτηοσεφορ,ωιτηβοτητηεσεεστιmατορσουτπερφορmινγ 0 ανδ ΑΡ. Τηισδισχυσσιονπαπεραλσοπρεσεντσρεσυλτσφορωηερε τ φολλοωσανμα() προχεσσ. Ιν συmmαρψ, ωηεν τηε ερρορσ αρε ΑΡΜΑ(0,), τηε βεηαϖιουρ οφ τηε εστιmατορσ ισ αχτυαλλψ θυαλιτατιϖελψ σιmιλαρ το τηατ ιν Ταβλε, ηενχε σιmιλαρ χοmmεντσ mαδε αβοϖε φορτηισχασεαππλψηερεαλσο. WηεντηεερρορσαρεΑΡΙΜΑ(0,,),τηερανκινγσοφ 0, ανδ ΑΡ αππεαρθυιτεηιγηλψδεπενδεντοντηεπαρτιχυλαρ, 2 σεττινγσ;ωηατισχλεαρ τηρουγηουτ, ηοωεϖερ, ισ τηατ Dm ειτηερ περφορmσ τηε βεστ, ορ ιφ νοτ, τηεν ϖιρτυαλλψ αλωαψσ ασ ωελλ ασ τηε ηιγηεστ ρανκινγ οφ τηε οτηερ τηρεε εστιmατορσ. Φιναλλψ, ωε αλσο εξπεριmεντεδ ωιτη α νερ γριδ οφ ϖαλυεσ φορ D m, ρε ρυννινγ αλλ τηε νιτε σαmπλε σιmυλατιονσ ωιτη D m φ0;0:0;0:02;:::;0:99;γ. Wε φουνδ τηε ρε

14 συλτσ το βε αλmοστ ιδεντιχαλ το τηοσε οβταινεδ υσινγ ουρ ρεχοmmενδεδ γριδ, ωιτη τηε προβαβιλιτιεσ βεινγ ωιτηιν 0:0 οφ τηε ϖαλυεσ ρεπορτεδ ιν τηε ταβλεσ. 5 Χονχλυσιον Ιν συmmαρψ, ωε ηαϖε χονσιδερεδ τηε ασψmπτοτιχ ανδ νιτε σαmπλε περφορmανχε οφ α νυmβερ οφ mινιmυm συm οφ σθυαρεδ ρεσιδυαλσ βασεδ βρεακ φραχτιον εστιmατορσ. Wε ρστ χονσιδερεδ τηε ασψmπτοτιχ περφορmανχε οφ εστιmατορσ βασεδ ον α λεϖελσ ορ θυασι διερενχεδρεγρεσσιονοφψ τ οντηερελεϖαντδετερmινιστιχχοmπονεντσ,ανδαλσοανεσ τιmατορ βασεδ ον α ρστ διερενχεδ ϖερσιον οφ τηε ρεγρεσσιον. Ιτ ωασ φουνδ τηατ τηε λεϖελσ/θυασι διερενχεδ αππροαχη περφορmεδ ωελλ υνδερ αν ασσυmπτιον οφ Ι(0) ερρορσ, ωηιλε τηε ρστ διερενχεδ βασεδ εστιmατορ ωασ ιναππροπριατε ιν τηισ χοντεξτ. Εσσεν τιαλλψ τηε ρεϖερσε ωασ οβσερϖεδ υνδερ Ι() ερρορσ, ωιτη τηε ρστ διερενχεδ αππροαχη νοω πρεφερρεδ. Γιϖεν τηισ ινηερεντ λαχκ οφ ροβυστνεσσ ιν τηε περφορmανχε οφ τηε εστιmατορσ αχροσσι(0)ανδι()ενϖιρονmεντσ,ωεπροποσεδαηψβριδεστιmατορ, Dm,ωηιχησελεχτσ βετωεεν τηε ρστ διερενχεδ εστιmατορ ανδ α νυmβερ οφ θυασι διερενχεδ αλτερνατιϖεσ αχχορδινγ το ωηιχη αχηιεϖεσ τηε σmαλλεστ mινιmυm συm οφ σθυαρεδ ρεσιδυαλσ. Τηισ νεω προχεδυρε ωασ φουνδ το αχηιεϖε mοστ οφ τηε δεσιραβλε προπερτιεσ οφ τηε αππροπριατε εστιmατορσ φορ τηε στατιοναρψ ανδ υνιτ ροοτ ωορλδσ, ωιτηουτ τηε ινηερεντ δοωνσιδεσ ινϖολϖεδ ιν σελεχτινγ πυρελψ ονε αππροαχη. Τηισ νδινγ ωασ αλσο σηοων το χαρρψ οϖερ το σαmπλε σιζεσ οφ πραχτιχαλ ρελεϖανχε, ωιτη τηε ηψβριδ εστιmατορ αλωαψσ χοmπετιτιϖε ωιτη τηε βεττερ οφ τηε λεϖελσ ανδ ρστ διερενχεδ βασεδ εστιmατορσ αχροσσ α ρανγε οφ Ι(0) ανδ Ι() δατα γενερατινγ προχεσσεσ. Ινδεεδ, τηε θυαλιτατιϖε βεηαϖιουρ οφ Dm ωουλδεξτενδτοmορεγενεραλδψναmιχπροχεσσεσ,σινχετηεαυτορεγρεσσιϖελτερινγ ινηερεντιν Dm ισονλψεϖεριντενδεδτορεmοϖετηεδοmινανταυτορεγρεσσιϖεβεηαϖιουρ πρεσεντινασεριεσ;τηερεισνονεεδτοωηιτεντηεσεριεσεντιρελψ. Αν αλτερνατιϖε αππροαχη το χονστρυχτινγ Dm υσινγ α δισχρετε νυmβερ οφ θυασι διερενχεπαραmετερσινd m ωουλδβετουσεαλλϖαλυεσιντηεχοντινυουσσετ( ;], ι.ε. mοδιφψ τηε πσεδυο ΓΛΣ ηψβριδ εστιmατορ (8) το ινστεαδ mινιmιζε Σ(;) οϖερ 2 ανδ 2 ( ;]. Συχη αν αππροαχη ωουλδ ρεπρεσεντ α χονσιδεραβλε ινχρεασε ιν τηε χοmπυτατιοναλ βυρδεν οφ τηε προχεδυρε, δυε το τηε ρεθυιρεmεντ φορ νυmεριχαλ Νεωτον τψπε mινιmιζατιον mετηοδσ. Μορεοϖερ, mαργιναλ χηανγεσ ιν ηαϖε αν αλmοστ νεγλιγιβλε εεχτ ον τηε ρεσυλτινγ θυασι διερενχεδ βρεακ φραχτιον εστιmατορ, ανδ σο ιmπλεmεντινγ Dm υσινγ α ρεασοναβλψ νε σετ οφ δισχρετε ϖαλυεσ φορ D m (ασ ιν ουρ σιmυλατιονσ) ισ εντιρελψ συχιεντ. Ιν πραχτιχαλ αππλιχατιονσ, ωηερε κνοωλεδγε οφ τηε ιντεγρατιον ορδερ οφ τηε στοχηαστιχ χοmπονεντ οφ α σεριεσ χαννοτ τψπιχαλλψ βε τακεν ασ κνοων, ιτ ισ δεσιραβλε το ηαϖε αϖαιλαβλε α βρεακ φραχτιον εστιmατορ τηατ ωορκσ ωελλ ωιτηουτ ηαϖινγ το τακε α ποτεντιαλλψ ινχορρεχτ ανδ τηερεφορε χοστλψ στανδ ον τηε δατα σ ορδερ οφ ιντεγρατιον. Wε χονσιδερ τηατ τηεηψβριδεστιmατορ Dm προποσεδιντηισπαπεργοεσαλονγωαψινφυλλλινγτηισρολε, ανδ σηουλδ τηερεφορε ηαϖε πραχτιχαλ αππεαλ; mορεοϖερ, εξτενσιον οφ τηε ηψβριδ προχεδυρε το τηε χασε οφ εστιmατινγ τηε τιmινγ οφ mυλτιπλε βρεακσ ισ εντιρελψ στραιγητφορωαρδ. 2

15 Ρεφερενχεσ Βαι, ϑ.(994). Λεαστ σθυαρεσ εστιmατιον οφ α σηιφτ ιν λινεαρ προχεσσ, ϑουρναλ οφ Τιmε Σεριεσ Αναλψσισ, ςολ. 5, ππ. 453{472. Βαι, ϑ. ανδ Περρον, Π. (998). Εστιmατινγ ανδ τεστινγ λινεαρ mοδελσ ωιτη mυλτιπλε στρυχτυραλ χηανγεσ, Εχονοmετριχα, ςολ. 66, ππ. 47{78. Χαρριον ι Σιλϖεστρε, ϑ. Λ., Κιm, D. ανδ Περρον, Π.(2009). ΓΛΣ βασεδ υνιτ ροοτ τεστσ ωιτη mυλτιπλε στρυχτυραλ βρεακσ βοτη υνδερ τηε νυλλ ανδ τηε αλτερνατιϖε ηψποτηε σεσ, Εχονοmετριχ Τηεορψ, ςολ. 25, ππ. 754{792. Γρενανδερ, Υ. ανδ Ροσενβλαττ, Μ. (957). Στατιστιχαλ Αναλψσισ οφ Στατιοναρψ Τιmε Σεριεσ, ϑοην Wιλεψ, Νεω Ψορκ. Ηαρρισ,D.,Ηαρϖεψ,D.Ι.,Λεψβουρνε,Σ.ϑ.ανδΤαψλορ,Α.Μ.Ρ.(2009). Τεστινγφορα υνιτ ροοτ ιν τηε πρεσενχε οφ α ποσσιβλε βρεακ ιν τρενδ, Εχονοmετριχ Τηεορψ, ςολ. 25, ππ. 545{588. Ηαρϖεψ, D. Ι. ανδ Λεψβουρνε, Σ. ϑ. (203). Βρεακ δατε εστιmατιον φορ mοδελσ ωιτη δετερmινιστιχ στρυχτυραλ χηανγε, Γρανγερ Χεντρε Dισχυσσιον Παπερ Νο. 3/02, Σχηοολ οφ Εχονοmιχσ, Υνιϖερσιτψ οφ Νοττινγηαm. Ηαρϖεψ, D. Ι., Λεψβουρνε, Σ. ϑ. ανδ Ταψλορ, Α. Μ. Ρ. (2009). Σιmπλε, ροβυστ ανδ ποωερφυλ τεστσ οφ τηε βρεακινγ τρενδ ηψποτηεσισ, Εχονοmετριχ Τηεορψ, ςολ. 25, ππ. 995{029. Ηαρϖεψ, D. Ι., Λεψβουρνε, Σ. ϑ. ανδ Ταψλορ, Α. Μ. Ρ. (200). Ροβυστ mετηοδσ φορ δετεχτινγ mυλτιπλε λεϖελ βρεακσ ιν αυτοχορρελατεδ τιmε σεριεσ, ϑουρναλ οφ Εχονο mετριχσ, ςολ. 57, ππ. 342{358. Περρον, Π.(989). Τηε γρεατ χραση, τηε οιλ πριχε σηοχκ, ανδ τηε υνιτ ροοτ ηψποτηεσισ, Εχονοmετριχα, ςολ. 57, ππ. 36{40. Περρον, Π. ανδ Ψαβυ, Τ. (2009). Τεστινγ φορ σηιφτσ ιν τρενδ ωιτη αν ιντεγρατεδ ορ στατιοναρψ νοισε χοmπονεντ, ϑουρναλ οφ Βυσινεσσ ανδ Εχονοmιχ Στατιστιχσ, ςολ. 27, ππ. 369{396. Περρον, Π. ανδ Ζηυ, Ξ.(2005). Στρυχτυραλ βρεακσ ωιτη δετερmινιστιχ ανδ στοχηαστιχ τρενδσ, ϑουρναλ οφ Εχονοmετριχσ, ςολ. 29, ππ. 65{9. Σαψγνσοψ, Ο.ανδςογελσανγ,Τ.ϑ.(20). Τεστινγφορασηιφτιντρενδατανυνκνοων δατε: α ξεδ β αναλψσισ οφ ηετεροσκεδαστιχιτψ αυτοχορρελατιον ροβυστ ΟΛΣ βασεδ τεστσ, Εχονοmετριχ Τηεορψ, ςολ. 27, ππ. 992{025. Στοχκ, ϑ. Η. ανδ Wατσον, Μ. W.(996). Εϖιδενχε ον στρυχτυραλ ινσταβιλιτψ ιν mαχροε χονοmιχ τιmε σεριεσ ρελατιονσ, ϑουρναλ οφ Βυσινεσσ ανδ Εχονοmιχ Στατιστιχσ, ςολ. 4, ππ. {30. 3

16 Στοχκ, ϑ. Η. ανδ Wατσον, Μ. W. (999). Α χοmπαρισον οφ λινεαρ ανδ νονλινεαρ υνιϖαριατε mοδελσ φορ φορεχαστινγ mαχροεχονοmιχ τιmε σεριεσ, ιν Ρ. Φ. Ενγλε ανδ Η. Wηιτε(εδσ.), Χοιντεγρατιον, Χαυσαλιτψ ανδ Φορεχαστινγ: Α Φεστσχηριφτ ιν Ηονουρ οφ Χλιϖε W. ϑ. Γρανγερ, Οξφορδ Υνιϖερσιτψ Πρεσσ, Οξφορδ, ππ. {44. Στοχκ, ϑ. ανδ Wατσον, Μ. W. (2005). Ιmπλιχατιονσ οφ δψναmιχ φαχτορ αναλψσισ φορ ςαρ mοδελσ, ΝΒΕΡ Wορκινγ Παπερ#467. ςογελσανγ, Τ. ϑ. (998). Τεστινγ φορ α σηιφτ ιν mεαν ωιτηουτ ηαϖινγ το εστιmατε σεριαλ χορρελατιον παραmετερσ, ϑουρναλ οφ Βυσινεσσ ανδ Εχονοmιχ Στατιστιχσ, ςολ. 6, ππ. 73{80. Ψανγ, ϑ. (202). Βρεακ ποιντ εστιmατορσ φορ α σλοπε σηιφτ: λεϖελσ ϖερσυσ ρστ διερ ενχεσ, Εχονοmετριχσ ϑουρναλ, ςολ. 5, ππ. 54{69. 4

17 TABLE Probability of break fraction estimators lying in the range τ ±ξ; ρ 0 Panel A. T 50 ξ 0.00 ξ ξ κ κ 2 ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm Panel B. T 300 ξ 0.00 ξ ξ κ κ 2 ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm

18 TABLE 2 Probability of break fraction estimators lying in the range τ ±ξ; ρ 0.5 Panel A. T 50 ξ 0.00 ξ ξ κ κ 2 ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm Panel B. T 300 ξ 0.00 ξ ξ κ κ 2 ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm

19 TABLE 3 Probability of break fraction estimators lying in the range τ ±ξ; ρ Panel A. T 50 ξ 0.00 ξ ξ κ κ 2 ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm Panel B. T 300 ξ 0.00 ξ ξ κ κ 2 ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm

20 TABLE 4 Probability of break fraction estimators lying in the range τ ±ξ; ρ Panel A. T 50 ξ 0.00 ξ ξ κ κ 2 ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm Panel B. T 300 ξ 0.00 ξ ξ κ κ 2 ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm

21 TABLE 5 Probability of break fraction estimators lying in the range τ ±ξ; ρ Panel A. T 50 ξ 0.00 ξ ξ κ κ 2 ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm Panel B. T 300 ξ 0.00 ξ ξ κ κ 2 ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm ˆτ 0 ˆτ ˆτ AR ˆτ Dm

22 ˆτ ρ ˆτ ρ (a) κ 0, κ 2 0 (b) κ 30, κ 2 0 ˆτ ρ ˆτ ρ (c) κ 0, κ (d) κ 0, κ ˆτ ρ ˆτ ρ (e) κ 0, κ (f) κ 30, κ Figure. Histograms of limit of ˆτ ρ, ρ < under Assumption I(0); τ 0.5, ρ 0, ω ε 20

23 ˆτ ˆτ (a) κ, κ 2 0 (b) κ 3, κ 2 0 ˆτ ˆτ (c) κ 0, κ 2 5 (d) κ 0, κ 2 5 ˆτ ˆτ (e) κ, κ 2 5 (f) κ 3, κ 2 5 Figure 2. Histograms of limit of ˆτ under Assumption I(); τ 0.5, ω ε 2

24 ˆτ ρ ˆτ ρ (a) κ, κ 2 0 (b) κ 3, κ 2 0 ˆτ ρ ˆτ ρ (c) κ 0, κ 2 5 (d) κ 0, κ 2 5 ˆτ ρ ˆτ ρ (e) κ, κ 2 5 (f) κ 3, κ 2 5 Figure 3. Histograms of limit of ˆτ ρ, ρ < under Assumption I(); τ 0.5, ω ε 22

25 Αππενδιξ το Βρεακ Dατε Εστιmατιον φορ Μοδελσ ωιτη Dετερmινιστιχ Στρυχτυραλ Χηανγε Ινωηατφολλοωσωεχανσετ 2 0ινεθυατιον()οφτηεπαπερωιτηουτανψλοσσοφ γενεραλιτψ. Βψωαψοφπρελιmιναριεσ,ιναδδιτιοντοψ,Ζ ; ανδσ(;),ωεαλσοδενε υ [υ ;υ 2 υ ;:::;υ Τ υ Τ ] 0 ; Ζ [ξ ;ξ 2 ξ ;:::;ξ Τ ξ Τ ] 0 ωιτηξ τ [;τ] 0 ανδυσερ τοδενοτετηερεσιδυαλσφροmαρεγρεσσιονοφψ ονζ ;ανδρ ;;34 τοδενοτε τηετ2ρεσιδυαλσφροmαρεγρεσσιονοφτηεναλτωοχολυmνσοφζ ;,ωηιχηωεδενοτε Ζ ;;34, ον Ζ. Dενε τηε συmσ οφ σθυαρεδ ρεσιδυαλσ Σ() ρ 0 ρ ανδ τηε 22 mα τριξ Σ 34 (;) ρ 0 ;;34ρ ;;34. Στραιγητφορωαρδ αππλιχατιον οφ τηε Φρισχη Wαυγη Λοϖελλ τηεορεmτηενσηοωστηατωεχανωριτε Σ(;)Σ() (ρ 0 ;;34ρ ) 0 Σ 34 (;) (ρ 0 ;;34ρ ); ωηιχηισαρεπρεσεντατιονωεσηαλλυσερεπεατεδλψιντηεπροοφσβελοω. Wεωιλλνεεδτηε σχαλινγ mατριχεσ Τ 2 0 Τ Τ 32 ; 2 0 Τ 3 ; 3 0 Τ 2 : Τηε φολλοωινγ πρελιmιναρψ λεmmασ αρε αλσο υσεδ. Τηε τερmσ ινϖολϖεδ ιν Λεmmα δο νοτ ινϖολϖε ανψ στοχηαστιχ χοmπονεντσ ανδ τηε προοφσ αρε εντιρελψ στραιγητφορωαρδ ανδ αρε τηερεφορε νοτ πρεσεντεδ. L α (ι)φορϕϕ< Ζ 0 Ζ ( ) Ζ 0 Ζ ;;34 ( ) 2 ; (Α.) ( ) ( ) 2 2 ( 2 )2 ( ) 2 (2+)6 ; (Α.2) Σ 34 (;) ( ) 2 Β 2 (): (Α.3)

26 ωηερεβ 2 ()ισασδενεδιντηεορεm. (ιι)φορ 3 Ζ 0 Ζ 3 3 Ζ 0 Ζ ;; Σ 34 (;) 3 0 ; (Α.4) ; (Α.5) 0 0 : (Α.6) 0 ( ) α 2 Υνδερ Ασσυmπτιον Ι(0), (ι)φορϕϕ< Τ Σ())!2 2(+2 2); (Α.7) ρ 0 ;;34ρ )( ) 2! υ φα( 0 ; 0 2; ;) Β ()Χ( 0 ; 0 2; )γ (Α.8) ωηερεα( 0 ; 0 2; ;),Β ()ανδχ( 0 ; 0 2; )αρεασδενεδιντηεορεm, (ιι)φορ Τ Σ()) 2!2 + ; (Α.9) ρ 0 υ ;;34ρ Τ+ + o(): (Α.0) υ Τ υ Τ +( )υ P οφ οφ mmα 2 (ι) Wριτε Τ Σ()Τ ψ 0 ψ Τ ψ 0 Ζ [ Ζ 0 Ζ ] Ζ 0 ψ : Νοω Τ ψ 0 ψ Τ υ 0 υ + op() Τ υ 0 0υ Τ υ 0 0; υ 0; 2Τ υ 0 0υ 0; + op() )!2 2(+2 2); (Α.) 2

27 ωηερευ 0; ιστηεϖεχτορυ 0 λαγγεδονεπεριοδανδ Ζ 0 Τ ψ 2 ψ +( )Τ 2 Τ τ2 (ψ τ ψ τ ) Τ 32 ψ +Τ 32 Τ τ2 [τ (τ )](ψ τ ψ τ ) ( ) 2 Τ 2 Τ τ2 ψ τ ( ) 2 Τ 32 Τ τ2 τψ + () τ ( ) 2 Τ 2 Τ τ2 ( Τ 2 DΥ τ ( )+ 2 Τ 32 DΤ τ ( )+υ τ ) ( ) 2 Τ 32 Τ τ2 τ( Τ 2 DΥ τ ( )+ 2 Τ 32 DΤ τ ( + () )+υ τ ) ) ( ) 2 0! ( )+ 0 2( ) 2 2+W() υ 0 ( 2 )2+ 0 2( ) 2 (2+ )6+ Ρ ρδw(ρ) :(Α.2) 0 Τηεσε ρεσυλτσ, τογετηερ ωιτη(α.) γιϖε(α.7). Νεξτ, ωριτε ρ 0 ;;34ρ Ζ 0 ;;34ψ Ζ 0 ;;34Ζ [ Ζ 0 Ζ ] Ζ 0 ψ : Νοω Ζ 0 Τ ;;34ψ 2 (ψ Τ+ ψ Τ )+( )Τ 2 Τ ττ+2 (ψ τ ψ τ ) Τ 32 (ψ Τ+ ψ Τ )+Τ 32 Τ ττ+2 [τ Τ (τ Τ )](ψ τ ψ τ ) ( ) 2 Τ 2 Τ ττ+2 ψ τ ( ) 2 Τ 32 Τ ττ+2 (τ Τ)ψ + () τ ( ) 2 Τ 2 Τ ττ+2 ( Τ 2 DΥ τ ( )+ 2 Τ 32 DΤ τ ( )+υ τ ) ( ) 2 Τ 32 Τ ττ+2 (τ Τ)( Τ 2 DΥ τ ( )+ 2 Τ 32 DΤ τ ( )+υ τ ) +() ) ( ) 2 0! Γ ( ;)+ 0 2Γ 2 ( ;)+W() W() υ 0 Γ 2 ( ;)+ 0 2Γ 22 ( ;)+ Ρ (Α.3) (ρ )δw(ρ) ωηερεγ ( ;),Γ 2 ( ;),Γ 2 ( ;)ανδγ 22 ( ;)αρεασδενεδιντηεορεm. Χοmβινινγ(Α.3),(Α.2),(Α.) ανδ(α.2) γιϖεσ ρ 0 ;;34ρ ) ( ) 2! υ φα( 0 ; 0 2; ;) ( ) ( 2 )2 ( ) 2 2 ( ) 2 (2+)6 ι.ε. (Α.8). (ιι) Wριτε ( ) 2! υ φα( 0 ; 0 2; ;) Β ()Χ( 0 ; 0 2; )γ Χ( 0 ; 0 2; )γ Τ Σ()Τ ψ 0 ψ Τ ψ 0 Ζ 3 [ 3 Ζ 0 Ζ 3 ] 3 Ζ 0 ψ 3

28 ανδ Τ ψ 0 ψ Τ υ 0 υ + () Τ υ 0 0υ 0 +Τ υ 0 0; υ 0; 2Τ υ 0 0υ 0; + () )!2 22( ) 2!2 + ; (Α.4) Ζ 0 ψ ψ ψ Τ υ υ Τ + O(Τ 2 ) : (Α.5) Τακινγ(Α.4),(Α.4) ανδ(α.5) τογετηερ εσταβλισηεσ(α.9). Νεξτ, ωριτε ρ 0 ;;34ρ Ζ 0 ;;34ψ Ζ 0 ;;34Ζ [Ζ 0 Ζ ] Ζ 0 ψ Νοω ι.ε. ρ 0 ;;34ρ ασ ιν(α.0). Ζ 0 ;;34ψ ψτ+ ψ Τ ψ Τ υτ+ + O(Τ 2 ) υ Τ υ Τ + O(Τ 2 ) Ζ 0 Ζ Τ Ζ 0 ;;34Ζ ; 0 0 Τ Τ ; (Α.6) υτ+ + O(Τ 2 ) 0 υ υ Τ υ Τ + O(Τ 2 ) 0 Τ Τ Τ υ Τ + O(Τ 2 ) υτ+ + O(Τ 2 ) υ Τ υ Τ + O(Τ 2 Τ Τ υ Τ Τ Τ Τ ) υ Τ Τ Τ + O(Τ 2 ) # υτ+ + O(Τ 2 υt+(τ ) 2 ) υ υ Τ υ Τ + O(Τ 2 Τ Τ ) [υ Τ + O(Τ 2 )] Τ Τ Τ Τ υ Τ Τ υ Τ+ + () (Α.7) υ Τ υ Τ +( )υ 4

29 α 3 Υνδερ Ασσυmπτιον Ι(), (ι)φορϕϕ< Τ 2 Σ() ) ( ) 2! 2 φ ( ) 3 3+ Ρ 0 W(ρ)2 δρ Κ( 00 2; ) Ρ (ρ )W(ρ)δρ Κ( 00 2; )γ; (Α.8) Τ ρ 0 ;;34ρ )( ) 2! φϑ( 00 2; ;) Β ()Κ( 00 2; )γ; (Α.9) ωηερεϑ( 00 2; ;),Β ()ανδκ( 00 2; )αρεασδενεδιντηεορεmσανδ2, (ιι)φορ Τ Σ())! 2 ; 3 ρ 0 ;;34ρ )! 00 Η ( ;)+ Τ+! 00 2Η 2 ( ;)+W() W() ωηερεη ( ;)ανδη 2 ( ;)αρεασδενεδιντηεορεm2. (Α.20) : (Α.2) οφ οφ mmα 3 (ι) Wριτε Τ 2 Σ()Τ 2 ψ 0 ψ Τ ψ 0 Ζ [ Ζ 0 Ζ ] Τ Ζ 0 ψ : Νοω Τ 2 ψ 0 ψ Τ 2 ψ 2 +Τ 2 Τ τ2 (ψ τ ψ τ ) 2 ( ) 2 Τ 2 Τ τ2 ψ2 τ + () ( ) 2 Τ 2 Τ τ2 ( DΥ τ ( )+ 2 Τ 2 DΤ τ ( )+υ τ ) 2 + () ) ( ) 2! 2 φ ( ) 3 3+ Ρ Ρ 0 W(ρ)2 δρ (ρ )W(ρ)δργ; Τ Ζ 0 Τ ψ 32 ψ +( )Τ 32 Τ τ2 (ψ τ ψ τ ) Τ 52 ψ +Τ 52 Τ τ2 [τ (τ )](ψ τ ψ τ ) ( ) 2 Τ 32 Τ τ2 ψ τ ( ) 2 Τ 52 Τ τ2 τψ + () τ ( ) 2 Τ 32 Τ τ2 ( DΥ τ ( )+ 2 Τ 2 DΤ τ ( )+υ τ ) ( ) 2 Τ 52 Τ τ2 τ( DΥ τ ( )+ 2 Τ 2 DΤ τ ( )+υ τ ) ) ( ) 2! 00 2( ) 2 2+ Ρ # W(ρ)δρ ( ) 2 (2+ )6+ Ρ ρw(ρ)δρ 0 + () (Α.23) ανδ υσινγ(α.) τηεσε ρεσυλτσ γιϖε(α.8). 5

30 Νεξτ, Τ ρ 0 ;;34ρ Τ Ζ 0 ;;34ψ Ζ 0 ;;34Ζ [ Ζ 0 Ζ ] Τ Ζ 0 ψ : Νοω Τ Ζ 0 ;;34ψ Τ 32 (ψ Τ+ ψ Τ )+( )Τ 32 Τ ττ+2 (ψ τ ψ τ ) Τ 52 (ψ Τ+ ψ Τ )+Τ 52 Τ ττ+2 [τ Τ (τ Τ )](ψ τ ψ τ ) ( ) 2 Τ 32 Τ ττ+2 ψ τ ( ) 2 Τ 52 Τ ττ+2 (τ Τ)ψ + () τ ( ) 2 Τ 32 Τ ττ+2 ( DΥ τ ( )+ 2 Τ 2 DΤ τ ( )+υ τ ) ( ) 2 Τ 52 Τ ττ+2 (τ Τ)( DΥ τ ( )+ 2 Τ 2 DΤ τ ( )+υ τ ) +() ) ( ) 2! 00 2Γ 2 ( ;)+ Ρ # W(ρ)δρ 00 2Γ 22 ( ;)+ Ρ ; (Α.24) (ρ )W(ρ)δρ Τ ρ 0 ;;34ρ ) ( ) 2! φϑ( 00 2; ;) ( ) ( 2 )2 ( ) 2 2 ( ) 2 (2+) ( ) 2! φϑ( 00 2; ;) Β ()Κ( 00 2; )γ Χοmβινινγ(Α.24),(Α.2),(Α.) ανδ(α.23) γιϖεσ(α.9). (ιι) Wριτε Κ( 00 2; )γ Τ Σ()Τ ψ 0 ψ Τ ψ 0 Ζ 3 [ 3 Ζ 0 Ζ 3 ] 3 Ζ 0 ψ : Νοω Τ ψ 0 ψ Τ υ 0 υ + () 3 Ζ 0 ψ ) )! 2 ; ανδ τηε ρεσυλτ οφ(α.20) φολλοωσ γιϖεν(α.4). υ! φ 00 2( )+W()γ 6

31 Νεξτ 3 ρ 0 ;;34ρ 3 Ζ 0 ;;34ψ 3 Ζ 0 ;;34Ζ 3 [3 Ζ 0 Ζ 3 ] 3 ψτ+ 0 3 ψ Τ ψ Τ 0 Τ Τ ψ Τ ψ Τ 3 Ζ 0 ψ (Τ Τ)+υ Τ+ + (Τ 2 ) Τ Τ (Τ Τ) Τ 2 (Τ > Τ) 2 Τ (Τ Τ)(Τ > Τ)+Τ 2 (υ Τ υ Τ ) 0 Τ 2 Τ 2 υ 0 Τ 2 Τ Τ (Τ Τ)+Τ 2 υ Τ ) ( )+λιm Τ! Τ+ 2 ( ) 2 ( )( > )+! [W() W()] 0 0 υ 0 2 ( )+! W() ( )+λιm Τ! Τ+ 2 ( ) 2 ( )( > )+! [W() W()] 0 ( )[ 2 ( )+! W()]! 00 ( )+λιm Τ! Τ+! 00 2( ) 00 2( )( > )+W() W() 00! Η ( ;)+λιm Τ! Τ+! 00 2Η 2 ( : ;)+W() W() οφ οφ Τηεορεm (ι)wεηαϖε αργmιν 2 Σ(;) αργmιν 2 [Σ() (ρ0 ;;34ρ ) 0 Σ 34 (;) (ρ 0 ;;34ρ )] αργmαξ 2 (ρ0 ;;34ρ ) 0 Σ 34 (;) (ρ 0 ;;34ρ ) αργmαξ ( ρ 0 ;;34ρ ) 0 [ Σ 34 (;) ] 2 Τηενυσινγ(Α.8)ανδ(Α.3)ωεοβταιν ( ρ 0 ;;34ρ ): ) αργσυπ( ) 2! 2 υ[α( 0 ; 0 2; ;) Β ()Χ( 0 ; 0 2; )] 0 Β 2 () 2 [Α( 0 ; 0 2; ;) Β ()Χ( 0 ; 0 2; )]: 7