Ρεγδ. Οφφιχε : Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο. 4, Σεχτορ 11, Dωαρκα, Νεω Dεληι Πη. : Φαξ : ΑΝΣWΕΡΣ & ΗΙΝΤΣ φορ WΒϑΕΕ 2011

Transcript

1 WΒϑΕΕ (Ανσωερσ & Ηιντσ) 687 [Θ. Βοοκλετ Νυmβερ]. Τηε εχχεντριχιτψ οφ τηε ηψπερβολα 9ψ = 6 ισ ψ 9 α, β (Β) α β ε α 9 ΑΝΣWΕΡΣ & ΗΙΝΤΣ φορ WΒϑΕΕ βψ Αακαση Ινστιτυτε & Αακαση ΙΙΤ ϑεε ΜΥΛΤΙΠΛΕ ΧΗΟΙΧΕ ΘΥΕΣΤΙΟΝΣ ΣΥΒ : ΜΑΤΗΕΜΑΤΙΧΣ 5. Τηε λενγτη οφ τηε λατυσ ρεχτυm οφ τηε ελλιπσε 6 + 5ψ = ισ 5/6 υνιτ (Β) /5 υνιτ 6/5 υνιτ 5/ υνιτ β 6 Λενγτη οφ λατυσ ρεχτυm = α ψ ψ ; 5 6 α 5; β 6. Τηε ϖερτε οφ τηε παραβολα ψ + 6 ψ + = ισ ψ 6 ψ 6 6 ςερτε, Ρεγδ. Οφφιχε : Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη. : 7656 Φα : 767 (, ) (Β) (, ), 7, Αακαση Ινστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 ()

2 WΒϑΕΕ (Ανσωερσ & Ηιντσ). Τηε χοορδινατεσ οφ α mοϖινγ ποιντ π αρε (τ +, τ + 6). Τηεν ιτσ λοχυσ ωιλλ βε α χιρχλε (Β) στραιγητ λινε παραβολα ελλιπσε τ, ψ τ 6, ψ 6 ψ τ 6 τ ψ 6 ψ 6 8 ψ 6 5. Τηε εθυατιον 8 + ψ + ψ = ρεπρεσεντσ αν ελλιπσε (Β) α ηψπερβολα α παραβολα α χιρχλε α βψ ηψ γ φψ χ ρεπρεσεντσ ελλιπσε ιφ η αβ ψ ψ η, α, β η αβ 6. Ιφ τηε στραιγητ λινε ψ = m λιεσ ουτσιδε οφ τηε χιρχλε + ψ ψ + 9 =, τηεν τηε ϖαλυε οφ m ωιλλ σατισφψ m < (Β) m < m > m > m m 9 m m 9 D m 9 m m 6 m 9 ; m 7. Τηε λοχυσ οφ τηε χεντρε οφ α χιρχλε ωηιχη πασσεσ τηρουγη τωο ϖαριαβλε ποιντσ (α, ), ( α, ) ισ = (Β) + ψ = α + ψ = α = Ανσ : (,η) (,) (,) Χεντρε λιεσ ον ψ αισ λοχυσ = Αακαση Ινστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 ()

3 WΒϑΕΕ (Ανσωερσ & Ηιντσ) 8. Τηε χοορδινατεσ οφ τηε τωο ποιντσ λψινγ ον + ψ = ανδ ατ α υνιτ διστανχε φροm τηε στραιγητ λινε + ψ = αρε (, ), (7, ) (Β) (, ), ( 7, ) (, ), (7, ) (5, ), (, ) Λετ πη, η η η 5 η 5 η, 7 ; π,,, 7, 9. Τηε ιντερχεπτ ον τηε λινε ψ = βψ τηε χιρχλε + ψ = ισ ΑΒ. Εθυατιον οφ τηε χιρχλε ωιτη ΑΒ ασ διαmετερ ισ + ψ = (Β) ( ) +ψ(ψ ) = + ψ = ( )( )+(ψ )+(ψ )=,; ψ,,,, ασ διαmετριχ ενδσ ψ ψ ψ ψ. Ιφ τηε χοορδινατεσ οφ ονε ενδ οφ α διαmετερ οφ τηε χιρχλε +ψ + 8ψ+5=, ισ (,), τηε χοορδινατεσ οφ τηε οτηερ ενδ ισ ( 6, 7) (Β) (6, 7) ( 6, 7) (7, 6) ψ 9 8ψ 5 Χεντρε χιρχλε (, ) (,) (η,κ) (,) η η 6 κ κ 7 η,κ 6, 7. Ιφ τηε τηρεε ποιντσ Α(,6), Β(, ) ανδ Χ(, ψ) αρε χολλινεαρ τηεν τηε εθυατιον σατισφψινγ βψ ανδ ψ ισ 5 + ψ = (Β) 5 + ψ + 5 = 5 ψ + 5 = 5ψ +5 = Αακαση Ινστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 ()

4 WΒϑΕΕ (Ανσωερσ & Ηιντσ) 6 ψ ψ ψ 6 8 ψ ψ 6 ψ ψ 5 τ. Ιφ σιν ανδ θ λιεσ ιν τηε σεχονδ θυαδραντ, τηεν χοσθ ισ εθυαλ το τ τ τ (Β) θ ιν νδ θυαδ Χοσθ < τ τ χοσ τ τ τ χοσ τ τ τ. Τηε σολυτιονσ σετ οφ ινεθυατιον χοσ < σιν ισ [, ] (Β) Ανσ : χοσ σιν, χοσ,, χοσ σιν σιν τ τ [, ] τ τ,. Τηε νυmβερ οφ σολυτιονσ οφ σιν + χοσ = ισ (Β) ινφινιτε Νο σολυτιον Ανσ : 5 Νο σολυτιον α 5. Λετ ταν ανδ α ταν τηεν α + β ισ α (Β) π Αακαση Ινστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 ()

5 WΒϑΕΕ (Ανσωερσ & Ηιντσ) α ταν, ταν α α α α α α α α α α α α ταν α α α α α α α α α α 6. Ιφ, τηεν ( ταν )( ταν ) ισ εθυαλ το (Β) 5/ / ταν ταν ταν ταν ταν 7. Ιφ σινθ ανδ χοσθ αρε τηε ροοτσ οφ τηε εθυατιον α β + χ =, τηεν α, β ανδ χ σατισφψ τηε ρελατιον α + β + αχ = (Β) α β + αχ = α + χ + αβ = α β αχ = β σιν χοσ α χ σιν.χοσ α β α χ α β α αχ α β αχ 8. Ιφ Α ανδ Β αρε τωο mατριχεσ συχη τηατ Α+Β ανδ ΑΒ αρε βοτη δεφινεδ, τηεν Α ανδ Β χαν βε ανψ mατριχεσ (Β) Α, Β αρε σθυαρε mατριχεσ νοτ νεχεσσαριλψ οφ τηε σαmε ορδερ Α, Β αρε σθυαρε mατριχεσ οφ τηε σαmε ορδερ Νυmβερ οφ χολυmνσ οφ Α = νυmβερ οφ ροωσ οφ Β Αδδιτιον ισ δεφινεδ ιφ ορδερ οφ Α ισ εθυαλ το ορδερ οφ Β Α Β νm νm ισ δεφινεδ ιφ m = ν Α, Β αρε σθυαρε mατριχεσ οφ σαmε ορδερ 9. Ιφ Α ισ α σψmmετριχ mατρι, τηεν τηε ϖαλυε οφ ισ (Β) Αακαση Ινστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 (5)

6 WΒϑΕΕ (Ανσωερσ & Ηιντσ). Ιφ Α = Α Τ ορ ι 5ι ζ ι 5 ι τηεν ι 5ι 5 ι 7 ζ ισ πυρελψ ρεαλ (Β) ζ ισ πυρελψ ιmαγιναρψ ζ ζ ζ ζ ι ισ πυρελψ ιmαγιναρψ ι 5ι ζ ι 5 ι 6 ι 7 ι 5ι 5 ι 5ι ι 5 ι 5ι = Ρεαλ 5ι 5 ι 7. Τηε εθυατιον οφ τηε λοχυσ οφ τηε ποιντ οφ ιντερσεχτιον οφ τηε στραιγητ λινεσ σιν θ + ( χοσ θ) ψ = α σιν θ ανδ σιν θ ( + χοσ θ) ψ + α σιν θ = ισ ψ ± α (Β) = ± αψ ψ = + ψ = α Ανσ : ψ = α σιν θ = α χοσ θ. ψ α. Ιφ σινθ + χοσθ = ανδ < θ < π, τηεν θ (Β) Ανσ : σιν θ + χοσ θ = ταν θ =. Τηε ϖαλυε οφ χοσ 5 ο σιν 5 ο ισ (Β) χοσ 5 ο σιν 5 ο = χοσ6 ο. Τηε περιοδ οφ τηε φυνχτιον φ() = χοσ + ταν ισ (Β) ΛΧΜ, Αακαση Ινστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 (6)

7 WΒϑΕΕ (Ανσωερσ & Ηιντσ) 5. Ιφ ψ = + 5, τηεν φορ = ανδ =. ϖαλυε οφ ψ ισ. (Β).9.9 δψ 6 δ δψ ψ.9 δ 6. Τηε αππροιmατε ϖαλυε οφ 5 χορρεχτ το δεχιmαλ πλαχεσ ισ. (Β) δψ ψ ψ δ 8 ψ = Τηε ϖαλυε οφ χοσ σιν δ ισ (Β) Ανσ : χοσ σιν δ δ 8. Φορ τηε φυνχτιον φ() ε χοσ, Ρολλε σ τηεορεm ισ αππλιχαβλε ωηεν (Β) αππλιχαβλε ωηεν αππλιχαβλε ωηεν αππλιχαβλε ωηεν φ φ 9. Τηε γενεραλ σολυτιον οφ τηε διφφερεντιαλ εθυατιον δ ψ δψ 8 6ψ δ δ ισ (Α + Β )ε 5 (Β) (Α + Β)ε (Α + Β )ε (Α + Β )ε δ ψ δ δψ 8 6 ψ δ αυιλαρψ εθυατιον m + 8m + 6 = m = ψ α β ε Σολυτιον δψ. Ιφ + ψ =, τηεν ψ δ (Β) δψ ψ δ Αακαση Ινστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 (7)

8 WΒϑΕΕ (Ανσωερσ & Ηιντσ). δ 8 ταν + χ (Β) ταν χ + ταν + χ ταν χ δψ ταν. 6 σιν δ (Β) 8 5 σιν δ 5 χοσ δψ δψ. Τηε δεγρεε ανδ ορδερ οφ τηε διφφερεντιαλ εθυατιον ψ αρε ρεσπεχτιϖελψ δ δ, (Β),,, δψ δψ ψ δ δ,. φ() =, Τηε φυνχτιον φ () ισ ινχρεασινγ ωηεν (Β) στριχτλψ ινχρεασινγ ωηεν > Στριχτλψ ινχρεασινγ ατ = νοτ χοντινυουσ ατ = ανδ σο ιτ ισ νοτ ινχρεασινγ ωηεν > ψ 5. Τηε φυνχτιον φ() = α + β ισ στριχτλψ ινχρεασινγ φορ αλλ ρεαλ ιφ α > (Β) α < α = α φ () = α φ () > α > 6. χοσ δ χοσ σιν + λογ σεχ + ταν + Χ (Β) σιν λογ σεχ ταν + χ σιν λογ σεχ + ταν + Χ σιν + λογ σεχ ταν + Χ Αακαση Ινστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 (8)

9 WΒϑΕΕ (Ανσωερσ & Ηιντσ) χοσ χοσ δ σιν λογ σεχ ταν 7. σιν χοσ 8 8 σιν χοσ δ σιν Χ (Β) σιν Χ σιν Χ σιν Χ σιν χοσ δ χοσ δ σιν Χ δψ 8. Τηε γενεραλ σολυτιον οφ τηε διφφερεντιαλ εθυατιον λογε ψ ισ δ ε + ε ψ = Χ (Β) ε + ε ψ = Χ ε ψ + ε = Χ ε + ε ψ = Χ δψ ε.ε ψ ψ δ ε ψ δψ. ε δ Α δ ψ 9. Ιφ ψ Β, τηεν = δ ε ε χ ψ (Β) ψ ψ ψ δ ψ Α δ Β ψ. Ιφ ονε οφ τηε χυβε ροοτσ οφ βε ω, τηεν ι ι ω (Β) ι Ανσ : Χ Χ Χ Χ Χ + Χ Χ Χ + ωχ Χ Χ Χ. βοψσ ανδ γιρλσ οχχυπψ σεατσ ιν α ροω ατ ρανδοm. Τηεν τηε προβαβιλιτψ τηατ τηε τωο γιρλσ οχχυπψ σεατσ σιδε βψ σιδε ισ (Β) ν(ε) = 5. ν(σ) = π 6 = 6 = Αακαση Ινστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 (9)

10 WΒϑΕΕ (Ανσωερσ & Ηιντσ). Α χοιν ισ τοσσεδ αγαιν ανδ αγαιν. Ιφ ταιλ αππεαρσ ον φιρστ τηρεε τοσσεσ, τηεν τηε χηανχε τηατ ηεαδ αππεαρσ ον φουρτη τοσσ ισ 6 (Β) 8 π =... =. Τηε χοεφφιχιεντ οφ ν ιν τηε επανσιον οφ ε ε ε 7 ισ ( ) ν ν ν (Β) ν ν ν ν ν ν ν ν ( ) ν Ανσ : ε ε ε 7 ε Χο εφφιχιεντ οφ ν ε ν ν () () ν ( ) = ν! ν!. Τηε συm οφ τηε σεριεσ ν ν ( ) ν!... ισ... λογ ε + (Β) λογ ε λογ ε λογ ε σ = =... 5 = λογ 5. Τηε νυmβερ () ισ διϖισιβλε βψ (Β) 6 8 () = Χ + Χ + Χ Χ = [ + Χ + Χ +... ] = ( ) 6. Ιφ Α ανδ Β αρε χοεφφιχιεντσ οφ ν ιν τηε επανσιονσ οφ (+ ) ν ανδ (+) ν ρεσπεχτιϖελψ, τηεν Α/Β ισ εθυαλ το (Β) 9 6 Α = ν Χ ν. Β = ν Χ ν Αακαση Ινστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 ()

11 WΒϑΕΕ (Ανσωερσ & Ηιντσ) Α Β Χ ν ν ν ν Χν ν = 7. Ιφ ν > ισ αν ιντεγερ ανδ, τηεν ( + ) ν ν ισ διϖισιβλε βψ ν (Β) ν ν ( + ) ν = ν Χ + ν Χ + ν Χ + ν Χ +... = + ν + ( ν Χ + ν Χ +...) ( + ) ν ν = ( ν Χ + ν Χ +...) 8. Ιφ ν Χ, ν Χ 5 ανδ ν Χ 6 αρε ιν Α.Π., τηεν ν ισ 7 ορ (Β) 7 ορ ν Χ, ν Χ 5, ν Χ 6 αρε ιν ΑΠ. ν Χ 5 = ν Χ + ν Χ 6 5(ν 5) (ν ) βψ σολϖινγ ν = ορ 7 9. Τηε νυmβερ οφ διαγοναλσ ιν α πολψγον ισ. Τηε νυmβερ οφ σιδεσ οφ τηε πολψγον ισ 5 (Β) 6 8 ν Χ ν = ν = Χ Χ Χ5 (Β) Χ + 5 Χ Χ 5 = 5 Χ = 5 5. Λετ α, β, χ βε τηρεε ρεαλ νυmβερσ συχη τηατ α + β + χ =. Τηεν τηε εθυατιον α + β + χ = ηασ βοτη τηε ροοτσ χοmπλε (Β) ηατ ιτσ ροοτσ λψινγ ωιτηιν < < ηασ ονε οφ ροοτσ εθυαλ το α β χ α β χ = αβ 5. Ιφ τηε ρατιο οφ τηε ροοτσ οφ τηε εθυατιον π + θ + ρ = ισ α : β, τηεν (α β) π θρ ηασ ιτσ ροοτσ λψινγ ωιτηιν < < 6 Λετ ροοτσ αρε αα ανδ βα θ α β π πρ (Β) θ θ πρ πθ ρ Αακαση Ινστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 ()

12 WΒϑΕΕ (Ανσωερσ & Ηιντσ) αβ π ρ αβ ρ π. (α β) π θ αβ ρπ (α β) θ 5. Ιφ α ανδ β αρε τηε ροοτσ οφ τηε εθυατιον + + =, τηεν τηε εθυατιον ωηοσε ροοτσ αρε α 9 ανδ β 7 ισ = (Β) + = + = + + = Ανσ : α ανδ β αρε τηε ροοτσ οφ + + = α = ω β = ω α 9 = ω β 7 = ω (α 9 + β 7 ) + α 9 β 7 = Τηου, (ω + ω ) + ω. ω = + + = 5. Φορ τηε ρεαλ παραmετερ τ, τηε λοχυσ οφ τηε χοmπλε νυmβερ ζ = ( τ ) + ι τ ιν τηε χοmπλε πλανε ισ αν ελλιπσε (Β) α παραβολα α χιρχλε α ηψπερβολα Γιϖεν ζ = ( τ ) + ι τ Λετ ζ = + ιψ = τ ψ = + τ Τηυσ, + ψ = ψ = ψ = ( ) Τηυσ παραβολα 55. Ιφ χοσ, τηεν φορ ανψ ιντεγερ ν, ν ν χοσ νθ (Β) σιν νθ ι χοσ νθ ι σιν νθ χοσ Λετ = χοσ θ + σιν θ χοσ σιν Τηυσ ν χοσ ν ν 56. Ιφ ω ισ α χυβε ροοτ οφ υνιτψ, τηεν τηε συm οφ τηε σεριεσ Σ = + ω + ω νω ν ισ ν (Β) ν(ω ) ν Αακαση Ινστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 ()

13 WΒϑΕΕ (Ανσωερσ & Ηιντσ) σ = + ω + ω ν ω ν σω = ω + ω (ν )ω ν + νω ν σ( ω) = + ω + ω ω ν νω η = ν ν σ = ν 57. Ιφ λογ + λογ ψ = + λογ ανδ λογ ( + ψ) =, τηεν =,ψ = 8 (Β) = 8, ψ = =, ψ = 6 = 9, ψ = λογ + λογ ψ = + λογ.ψ = 8 λογ ( + ψ) = + ψ = 9 ωε ωιλλ γετ = ανδ ψ = Ιφ λογ 7 = λ, τηεν τηε ϖαλυε οφ λογ 9 (8) ισ (λ + ) (Β) (λ + ) λογ 9 8 = λογ 7 7 λογ 7 λογ 7 7 α α 59. Τηε σεθυενχε λογ α, λογ, λογ,... ισ β β ( ) (λ + ) α Γ.Π. (Β) αν Α.Π. α Η.Π. βοτη α Γ.Π. ανδ α Η.Π λογ α. (λογ α λογ β)(λογ α λογ β) = Τ Τ = λογ α λογ β = Τ Τ = λογ α λογ β 6. Ιφ ιν α τριανγλε ΑΒΧ, σιν Α, σιν Β, σιν Χ αρε ιν Α.Π., τηεν τηε αλτιτυδεσ αρε ιν Α.Π. (Β) τηε αλτιτυδεσ αρε ιν Η.Π. τηε ανγλεσ αρε ιν Α.Π. τηε ανγλεσ αρε ιν Η.Π. 6. απ = βπ = χπ = α = Η.Π. β χ π π π α β β χ χ α β χ χ α α β χ α α β β χ (Β) χ χ + χ + χ Αακαση Ινστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 ()

14 WΒϑΕΕ (Ανσωερσ & Ηιντσ) 6. Τηε αρεα ενχλοσεδ βετωεεν ψ = ανδ ψ = ισ Ανσ : σθ. υνιτσ (Β) υνιτσ υνιτσ 6 υνιτσ Α δ Α (, ) / ( ) ο = [ ] [ ] = = 6 6 Ο (ΟΧ) 6. Λετ φ() = ε, >. Τηεν τηε mαιmυm ϖαλυε οφ φ() ισ ε (Β) ε 7ε 9 φ() =.ε = φ () = ε + ε ( ) = ε [ ] =, = Μαιmυm ατ = φ() = ε 6. Τηε αρεα βουνδεδ βψ ψ = ανδ = ψ ισ σθ. υνιτ (Β) 6 σθ. υνιτ σθ. υνιτ Α = = δ. )( ). / / = [ ]. 5/ = χοσ σθ. υνιτ Α () 65. Τηε αχχελερατιον οφ α παρτιχλε σταρτινγ φροm ρεστ mοϖινγ ιν α στραιγητ λινε ωιτη υνιφορm αχχελερατιον ισ 8m/σεχ. Τηε τιmε τακεν βψ τηε παρτιχλε το mοϖε τηε σεχονδ mετρε ισ = σεχ (Β) σεχ ( ) m m σεχ σεχ Αακαση Ινστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 ()

15 WΒϑΕΕ (Ανσωερσ & Ηιντσ) Σ υτ ατ.8.τ τ τ Σ υτ ατ 8.Τ Τ Τ Τιmε = 66. Τηε σολυτιον οφ = δψ ψ ψ ταν ισ δ = χ σιν(ψ/) (Β) = χ σιν(ψ) ψ = χ σιν(ψ/) ψ = χ σιν (/ψ) δψ ψ ταν ψ δ Πυτ ψ, ψ = θ δψ δ δ δ δ. ταν, δ χοτ δ δ λογ σινθ = λογ + λογχ σινθ =.χ., σιν ψ.χ = χ.σιν ψ δ δψ ταν 67. Ιντεγρατινγ Φαχτορ (Ι.Φ.) οφ τηε δεφφερεντιαλ εθυατιον Ανσ : δψ ψ σιν () δ ισ ε (Β) λογ( + ) + δ Ιφ πδ ε ε = ε ε λογ( ) λογ( ) = ( + ) = Αακαση Ινστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 (5)

16 WΒϑΕΕ (Ανσωερσ & Ηιντσ) 68. Τηε διφφερεντιαλ εθυατιον οφ ψ = αε β (α & β αρε παραmετερσ) ισ ψψ ψ ψ = α.ε β... (ι) ψ = αβε β ψ = βψ... (ιι) ψ = βψ... (ιιι) (Β) ψψ ψ ψψ ψ ψψ ψ Dιϖιδινγ (ιι) & (ιιι) 69. Τηε ϖαλυε οφ ψ ψ ψ ψ ψψ ψ ν ρ λιm ισ ρ ν ν ρ λογ (/) (Β) ε λογ (/) ε λογ ε λογ ε Λτ. ν ρ ρ ν ν ν ν =. δ λογ( ) = (λογ λογ) λογ Τηε ϖαλυε οφ σιν χοσ δ ισ 7. (Β) π/ π/ 5 9 Ι σιν.χοσ δ φ () φ (α ) Ι σιν ( χοσ ()) σιν.χοσ = Ι = Ι Ι = (φ () φ ()λογ )δ ισ φ () + Χ (Β) φ() + Χ (λογ )φ() + Χ (λογ ) φ() + Χ Ι φ ()δ φ () λογ δ = φ() Αακαση Ινστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 (6)

17 WΒϑΕΕ (Ανσωερσ & Ηιντσ) 7. Λετ φ() = ταν. Τηεν φ () + φ () ισ =, ωηεν ισ εθυαλ το (Β) + ι ι φ() = ταν φ () φ (). ( ), + =, ( ) = = 7. Ιφ ψ = ταν, τηεν ψ () = / (Β) / / / ψ ταν σεχ = ταν χοσ ταν ταν σιν σιν ταν ταν ταν = σιν χοσ =.ταν, ψ ( ) ψ (). ν... ν 7. Τηε ϖαλυε οφ λιm ισ 75. ν (Β) ν Λτ Πυτ = τανθ ( ) ( ) ( )...( ) ν(ν ) = ν = λιm σιν( σιν ) ν(ν ) π (Β) π π π Ανσ : ν(ν ) Αακαση Ινστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 (7)

18 WΒϑΕΕ (Ανσωερσ & Ηιντσ) σιν σιν σιν Λτ = π 76. Ιφ τηε φυνχτιον (Α ) Α φορ φ () φορ ισ χοντινυουσ ατ =, τηεν Α = (Β) Α = Α = Α = 77. (Α ) Α Α Πυτ Α =. [] [ ], ωηεν φ () ωηεν Ιφ φ() ισ χοντινυουσ ατ =, τηε ϖαλυε οφ λ ωιλλ βε (Β) ΛΗΛ Λτ [ η] [ ( η)] = η η Λτ ( η) ΡΜΛ = Λτ [ η] ( ( η)) η = + ( η) = = λ = 78. Τηε εϖεν φυνχτιον οφ τηε φολλοωινγ ισ α φ () α α = ( ν) α α α φ (). α α φ ( ) ( ) α α = ν (α ) (α = φ() ) 79. Ιφ φ( + ψ, ψ) = ψ, τηεν φ(, ψ) ισ εθυαλ το (Β) φ () α α φ () λογ ψ (Β) ( ψ ) 8 ( ψ ) ( + ψ ) Αακαση Ινστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 (8)

19 WΒϑΕΕ (Ανσωερσ & Ηιντσ) ψ α ψ β α β ψ α β α β α β α β φ (α,β) 8 8. Τηε λοχυσ οφ τηε mιδδλε ποιντσ οφ αλλ χηορδσ οφ τηε παραβολα ψ = α πασσινγ τηρουγη τηε ϖερτε ισ α στραιγητ λινε (Β) αν ελλιπσε α παραβολα α χιρχλε η =, κ = ψ ψ = α κ = αη ψ = α Αακαση Ινστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 (9)

20 WΒϑΕΕ (Ανσωερσ & Ηιντσ). Τηε ηαρmονιχ mεαν οφ τωο νυmβερσ ισ. Τηειρ αριτηεmετιχ mεαν Α ανδ τηε γεοmετριχ mεαν Γ σατισφψ τηε ρελατιον Α + Γ = 7. φινδ τηε νυmβερσ. Ανσ. (, 6) Σολ : Λετ τηε νυmβερ βε α, β DΕΣΧΡΙΠΤΙςΕ ΤΨΠΕ ΘΥΕΣΤΙΟΝΣ ΣΥΒ : ΜΑΤΗΕΜΑΤΙΧΣ Α.Η Γ Η Γ = Α Α + Γ = 7 Α + Α = 7 7 Α 6 Γ = 8 Γ = 8 α.β = 8 α + β = 9 α 6 ορ α β β 6. Ιφ τηε αρεα οφ α ρεχτανγλε ισ 6 σθ. υνιτ, φινδ τηε mινιmυm ϖαλυε ποσσιβλε φορ ιτσ περιmετερ. Ανσ. Σολ. Λετ τηε διmεσιονσ βε α, β Αρεα = αβ Παιmετερ = (α + β) Wε ηαϖε αβ = 6 β = 6 α Περιmετερ ασ φυνχτιον οφ α 6 Π (α) = α α φορ mαιmα ορ mινιmυm 6 Πα α = ± 8 = 8 α 6 6 Π α α 8 Π (8) ισ mινιmυm Μινιmυm Π (8) = ( 8 + 8) = Αακαση Ινστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 ()

21 WΒϑΕΕ (Ανσωερσ & Ηιντσ). Φινδ τηε ιmαγε οφ τηε ποιντ ( 8, ) ωιτη ρεσπεχτ το τηε λινε + 7ψ + = Ανσ. ( 6, ) Α ( 8, ) Σολ. Π (η 8/, κ + /) ( + 7ψ + = ) Α (η, κ) Ιmαγε η 8 κ 7 η 6 + 7κ + + = η + 7κ + 78 = η 7κ 78...(ι) νδ εθυατιον, ωε χαν γετ Σλοπε οφ ΑΑ = 7 κ 7 ν 8 κ 8 = κ 7η =...(ιι) Σολϖινγ (ι) & (ιι) Εθυατιον (ι) 7 + Εθυατιον (ιι) 8η 9 κ 56 8η 6 κ 6 κ η 6 65 κ Α ( 6, ) ισ τηε ιmαγε οφ ( 8, ). Ηοω mανψ τριανγλεσ χαν βε φορmεδ βψ ϕοινινγ 6 ποιντσ λψινγ ον α χιρχλε? Ανσ. Σολ. Νυmβερ οφ τριανγλε 6 Χ = 6 5. Ιφ ρ = + ψ + ζ, τηεν προϖε τηατ ψζ ζ ψ ταν ταν ταν ρ ρψ ρζ Α. Σ Σ ταν Σ Αακαση Ινστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 ()

22 WΒϑΕΕ (Ανσωερσ & Ηιντσ) ζ ψ Σ = = ρ ρ ρ 6. Dετερmινε τηε συm οφ ιmαγιναρψ ροοτσ οφ τηε εθυατιον Ανσ. ( + ) ( + ) = 6 Σολ. Πυτ + = ψ ( ) ( ) = 6, ον σολϖινγ + + = 7. Ιφ χοσ Α + χοσ Β + χοσ Χ =, προϖε τηατ χοσ Α + χοσ Β + χοσ Χ = χοσ Α χοσ Β χοσ Χ Α. Λ.Η.Σ = χοσ Α χοσ Α χοσ Α = χοσ Α. χοσ Β. χοσ Χ χοσ Α 8. Λετ ΙΡ βε τηε σετ οφ ρεαλ νυmβερσ ανδ φ : ΙΡ ΙΡ βε συχη τηατ φορ αλλ, ψ ΙΡ, φ() φ(ψ) ψ. Προϖε τηατ φ ισ α χονσταντ φυνχτιον. Α. ψ φ ψ φ ψ = φ () φ () = φ () = χονσταντ ψ 9. Φινδ τηε γενεραλ σολυτιον οφ ( + λογψ) δψ + ψ δ = Ανσ. ψ + ψ λνψ ψ = Σολ. δψ + ψ δ + λογ ψ δψ = δ ψ λογ ψ δψ ψ + ψ λνψ ψ =. Προϖε τηατ Ι Α. Ι / σεχ δ χοσεχ σεχ σεχ χοσ εχ δ χοσ εχ σεχ χοσ εχ σεχ Ι δ Ι Αακαση Ινστιτυτε Ρεγδ. Οφφιχε: Αακαση Τοωερ, Πλοτ Νο., Σεχτορ, Dωαρκα, Νεω Dεληι 75 Πη.: 7656 Φα : 767 ()