Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 0: Προσέγγιση μειωμένου φορτίου Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών
Συνιστώμενο Βιβλίο: Εκδόσεις : Παπασωτηρίου Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως και Εφαρμογές Μιχαήλ Δ. Λογοθέτη Δεύτερη Έκδοση Το βιβλίο αυτό απευθύνεται κατ' αρχήν σε τηλεπικοινωνιακούς μηχανικούς και μηχανικούς Η/Υ. Δεδομένης όμως της διεισδυτικότητας της Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως στον γενικότερο επιστημονικό τομέα των μηχανικών, συνιστάται η γνώση του αντικειμένου του βιβλίου αυτού σ' όλους τους Ηλεκτρολόγους/Ηλεκτρονικούς Μηχανικούς και ιδιαιτέρως σε όλους όσους εξειδικεύονται στον τομέα των τηλεπικοινωνιακών δικτύων ή δικτύων υπολογιστών ως διαχειριστές, αναλυτές ή σχεδιαστές. Πρόθεση του συγγραφέα είναι το βιβλίο αυτό να αποτελέσει εγχειρίδιο μελέτης για προπτυχιακούς φοιτητές. Συνιστάται δε ως βασικό υπόβαθρο στους φοιτητές που ενδιαφέρονται να ακολουθήσουν μεταπτυχιακές σπουδές στους προαναφερθέντες τομείς. Copyright 202 Α. Παπασωτηρίου & ΣΙΑ Ο.Ε. Μιχαήλ Δ. Λογοθέτης 2
Σκοποί ενότητας Περιγραφή και ανάλυση της προσεγγιστικής μεθόδου του μειωμένου φορτίου για τηλεφωνικά δίκτυα Περιγραφή και ανάλυση της προσεγγιστικής μεθόδου του μειωμένου φορτίου για δίκτυα πολλαπλών υπηρεσιών 3
Περιεχόμενα ενότητας Προσέγγιση μειωμένου φορτίου για τηλεφωνικά δίκτυα Προσέγγιση μειωμένου φορτίου για δίκτυα πολλαπλών υπηρεσιών 4
Προσέγγιση μειωμένου φορτίου για τηλεφωνικά δίκτυα () Έστω ένα τηλεφωνικό δίκτυο (δίκτυο απωλειών μορφής γινομένου) το οποίο υποστηρίζει μια μόνο υπηρεσία, δηλαδή ένα δίκτυο όπου b k = για όλες τις κλήσεις. Βάσει του θεωρήματος 3 της προηγούμενης ενότητας, η πιθανότητα η ζεύξη j να είναι κατειλημμένη έχει ως άνω όριο: E C j ( j ) EC j () k kk j Επειδή το αποτέλεσμα αυτό είναι ένα άνω όριο της πιθανότητας απωλείας κλήσεως, προσεγγίζουμε τις απώλειες της ζεύξης j, μειώνοντας τα α k στην () ώστε να λάβουμε υπόψη μας τις απώλειες στις υπόλοιπες ζεύξεις (εκτός της j). Αντικαθιστούμε λοιπόν το α k της έκφρασης () με α k t k (j) όπου t k (j) είναι η πιθανότητα να υπάρχει διαθέσιμη τουλάχιστον μια μονάδα εύρους ζώνης σε κάθε ζεύξη (εκτός της j) της διαδρομής που ακολουθεί μια κλήση κατηγορίας k. 5
Προσέγγιση μειωμένου φορτίου για τηλεφωνικά δίκτυα (2) Ορίζοντας με j την προσεγγιστική πιθανότητα η ζεύξη j να είναι πλήρως κατειλημμένη έχουμε: j EC j ktk ( j) (2) kk j Επίσης, αν υποθέσουμε (λανθασμένα!!!) ότι οι απώλειες είναι ανεξάρτητες από ζεύξη σε ζεύξη τότε: t ( j) (3) i j k i Rk Από τις (3), (4) προκύπτει η (5), η οποία καλείται εξίσωση σταθερού σημείου (fixed point equation), και η οποία ικανοποιείται από τις προσεγγιστικές πιθανότητες απωλείας κλήσεως στις ζεύξεις,, j : j E,..., Cj Kj i j J (4) i R j 6
Προσέγγιση μειωμένου φορτίου για τηλεφωνικά δίκτυα (3) Θεωρώντας εκ νέου την υπόθεση της ανεξαρτησίας των ζεύξεων, έχουμε την παρακάτω προσέγγιση για τις απώλειες των κλήσεων της κατηγορίας k: j B, k,..., (5) k jr k Οι (4) και (5) συνθέτουν την προσέγγιση μειωμένου φορτίου (reduced load approximation), η οποία συναντάται στην διεθνή βιβλιογραφία και ως «Erlang fixed point equation». Προτού προχωρήσουμε σε ένα παράδειγμα τονίζουμε ότι, η μέθοδος του μειωμένου φορτίου είναι προσεγγιστική μέθοδος διότι: (α) Βασίζεται στην υπόθεση ότι οι απώλειες είναι ανεξάρτητες από ζεύξη σε ζεύξη. (β) Λαμβάνεται υπόψη μόνο η μειώση του φορτίου κίνησης μιας ζεύξης, λόγω απωλειών στις υπόλοιπες. (γ) Η προσφερομένη κίνηση σε όλες τις ζεύξεις μιας διαδρομής δεν είναι Poisson. 7
Προσέγγιση μειωμένου φορτίου για τηλεφωνικά δίκτυα (4) Αν και υπάρχουν παραδείγματα αυτής της μεθόδου στα οποία η μέθοδος δεν συγκλίνει, ωστόσο για τα περισσότερα δίκτυα πρακτικού ενδιαφέροντος η μέθοδος συγκλίνει σ ένα μοναδικό σταθερό σημείο (unique fixed point) το οποίο ικανοποιεί την σχέση: όπου j k και επειδή: kk j * j E C j B j k j jr k (6) (7) έχουμε τελικά: jrk j E j * (8) jrk C j 8
Προσέγγιση μειωμένου φορτίου για Παράδειγμα τηλεφωνικά δίκτυα (5) Θεωρήστε το τηλεφωνικό δίκτυο του σχήματος το οποίο αποτελείται από τρεις ζεύξεις C, C 2, C 3 και εξυπηρετεί τρεις συνδέσεις (διαδρομές) Α, Β, Γ. Η χωρητικότητα των ζεύξεων είναι C =C 2 =C 3 =5 trunks ενώ το προσφερόμενο φορτίο κίνησης α Α =α Β =α C =5 erl. Να εφαρμόσετε την προσέγγιση μειωμένου φορτίου προκειμένου να υπολογίσετε τις τιμές blocking B A, B B, Β Γ. Β Γ C C2 C3 Β Α Α Γ 9
0 Προσέγγιση μειωμένου φορτίου για τηλεφωνικά δίκτυα (6) Λύση Εφαρμόζοντας την προσέγγιση μειωμένου φορτίου στο δίκτυο αυτό έχουμε: Άρα: και ( 3 ) ( 3 ), 2 ) ( 2 ) (, () 3 3 2 2 t t E t t E t E B B C B B A A C A A C (9) (3), (3), (2), (2), ) ( 2 3 2 t t t t t B B A A ) ( ), ( ) ( ), ( 2 3 3 3 2 2 2 E E E B C B A C A C ) ( ), )( ( ), )( ( 3 3 2 2 B B B B A (0)
Προσέγγιση μειωμένου φορτίου για τηλεφωνικά δίκτυα (7) Προκειμένου να επιλύσουμε το σύστημα των εξισώσεων (9) και (0), εφαρμόζουμε την ακόλουθη επαναληπτική μέθοδο. Θέτουμε = 2 = 3 =, (υποθέτουμε δηλαδή ότι η πιθανότητα απωλείας κλήσεως σε κάθε ζεύξη είναι 00%). Το επόμενο βήμα είναι να αντικαταστήσουμε τις τιμές αυτές στις σχέσεις (9) και αφού υπολογίσουμε τα νέα, 2, 3, αντικαθιστούμε τις τιμές τους στις σχέσεις (0) με σκοπό να υπολογίσουμε τις απώλειες για κάθε σύνδεση (για κάθε διαδρομή). Εν συνεχεία αντικαθιστούμε τα, 2, 3 εκ νέου στις εξισώσεις (9) κ.ο.κ.
Προσέγγιση μειωμένου φορτίου για τηλεφωνικά δίκτυα (8) Πιο αναλυτικά, για = 2 = 3 = η νέα τριάδα τιμών είναι =0, 2 =0, 3 =0.00057. Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στις σχέσεις (0) έχουμε: B Α, B Β 0.00057, B Γ 0.00057. Εν συνεχεία αντικαθιστούμε τις τιμές =0, 2 =0, 3 =0.00057 στις σχέσεις (9) οπότε η νέα τριάδα τιμών είναι =0.00057, 2 =0.036466, 3 =0.8036. Με βάση τις τιμές αυτές υπολογίζουμε τις νέες πιθανότητες απωλείας κλήσεως σε κάθε διαδρομή: B Α 0.03668, B Β 0.20207, B Γ 0.8036. 2
Προσέγγιση μειωμένου φορτίου για τηλεφωνικά δίκτυα (9) Θέτοντας ως κριτήριο τερματισμού αυτής της διαδικασίας, οι επόμενες από τις προηγούμενες τιμές των, 2, 3 να διαφέρουν λιγότερο από 0.0000, παρατηρούμε ότι η μέθοδος συγκλίνει μετά από 8 επαναλήψεις (βλ. πίνακα). Επανάληψη 2 3 Β Α Β Β Β Γ 0.000000 0.000000 0.00057.000000 0.00057 0.00057 2 0.00057 0.036466 0.8036 0.03668 0.20207 0.8036 3 0.00003 0.00778 0.6842 0.0079 0.77384 0.6842 4 0.000020 0.0900 0.76808 0.0902 0.92450 0.76808 5 0.00008 0.004 0.76442 0.022 0.85557 0.76442 6 0.00008 0.038 0.7670 0.056 0.8587 0.7670 7 0.00008 0.04 0.76690 0.033 0.8584 0.76690 8 0.00008 0.058 0.76698 0.076 0.85885 0.76698 3
Προσέγγιση μειωμένου φορτίου για δίκτυα πολλαπλών υπηρεσιών () Θεωρούμε μια ζεύξη χωρητικότητας C στην οποία καταφθάνουν κλήσεις από διάφορες κατηγορίες κλήσεων (από το σύνολο Κ j ) που προσφέρουν φορτίο κίνησης γ l, l Κ j και απαιτούν εύρος ζώνης b l, l Κ j. Ορίζουμε την πιθανότητα απωλείας κλήσεως της κατηγορίας k, ως: Q k C l, l K j c όπου q(c) η πιθανότητα να έχουμε c κατειλημμένες γραμμές στην κατάσταση ισορροπίας. C ; q( c) () bk 0 4
Προσέγγιση μειωμένου φορτίου για δίκτυα πολλαπλών υπηρεσιών (2) Ορίζουμε ως jk την προσεγγιστική πιθανότητα να υπάρχουν λιγότερες από b k μονάδες εύρους ζώνης ελεύθερες στην ζεύξη j. Υποθέτουμε μάλιστα ότι τα γεγονότα αυτά είναι ανεξάρτητα από ζεύξη σε ζεύξη και οι κλήσεις της κατηγορίας l φθάνουν στην ζεύξη j σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με προσφερόμενο φορτίο κίνησης: Λόγω της υπόθεσης της ανεξαρτησίας των ζεύξεων, ισχύει: l il (2) i j R l jk Q k C j ; R l l ( il ), l K j, k K j, j,..., J (3) i j 5
Προσέγγιση μειωμένου φορτίου για δίκτυα πολλαπλών υπηρεσιών (3) Όπως και για την περίπτωση των δικτύων μίας υπηρεσίας έτσι και εδώ χρησιμοποιούμε την τεχνική των επαναλαμβανομένων αντικαταστάσεων. Προσεγγίζουμε την πιθανότητα απωλείας κλήσεως για την κατηγορίας k ως εξής: B (4) k jk jrk Στην συνέχεια, θα δείξουμε μέσω ενός παραδείγματος ότι η γενίκευση της προσέγγισης μειωμένου φορτίου δεν έχει πάντοτε μοναδική λύση. 6
Προσέγγιση μειωμένου φορτίου για δίκτυα πολλαπλών υπηρεσιών (4) Παράδειγμα Θεωρήστε ένα δίκτυο το οποίο αποτελείται από C ζεύξεις με χωρητικότητα C μονάδες εύρους ζώνης ανά ζεύξη. Υποθέτουμε ότι υπάρχουν στο δίκτυο C+ κατηγορίες κλήσεων όπου η κατηγορία k, k=,...,c, χρησιμοποιεί μόνο την ζεύξη k, απαιτεί C μονάδες εύρους ζώνης από την ζεύξη k και το προσφερόμενο φορτίο κίνησης είναι α w (ευρείας ζώνης υπηρεσία wideband). Οι κλήσεις της κατηγορίας C+ απαιτούν μια μονάδα εύρους ζώνης από τις C ζεύξεις και το προσφερόμενο φορτίο κίνησης είναι α n (στενής ζώνης υπηρεσία narrowband). Αν α είναι το προσφερόμενο φορτίο κίνησης των κλήσεων στενής ζώνης σε μια ζεύξη αφού έχει μειωθεί (από α n ) λόγω των απωλειών στις προηγούμενες C ζεύξεις, η προσέγγιση μειωμένου φορτίου δίνει: C q C (5) n 7
8 Προσέγγιση μειωμένου φορτίου για δίκτυα πολλαπλών υπηρεσιών (5) Παράδειγμα (συνέχεια) όπου Συνδυάζοντας τις (5) και (6) παίρνουμε την ακόλουθη εξίσωση σταθερού σημείου (fixed point equation): C c w c w C c C C q 0!! ) ( (6) C c w c C c c n c c 0 0!! (7)
Προσέγγιση μειωμένου φορτίου για δίκτυα πολλαπλών υπηρεσιών (6) Η (7) δεν έχει πάντοτε μοναδική λύση για το α. Π.χ., αν α w =, α n =0 και C=0 τότε έχουμε τρεις διαφορετικές λύσεις: 0.25,.47 και 6.205. Οι αντίστοιχες προσεγγίσεις για τις πιθανότητες απωλείας κλήσεως των υπηρεσιών στενής και ευρείας ζώνης είναι (0.999, 0.505), (0.886, 0.805) και (0.42, 0.998). Οι πολλαπλές λύσεις στις εξισώσεις σταθερού σημείου μπορεί να προειδοποιήσουν τον σχεδιαστή του δικτύου για πιθανές αστάθειες. Για να γίνει περισσότερο κατανοητό αυτό το σημείο παρατηρήστε ότι το δίκτυο του παραδείγματος εναλλάσσεται μεταξύ μεγάλων περιόδων που μεταφέρει μόνο κλήσεις στενής ζώνης και μεγάλων περιόδων που μεταφέρει μόνο κλήσεις ευρείας ζώνης. Αντανακλώντας αυτή την έμφυτη αστάθεια, η προσέγγιση μειωμένου φορτίου δίνει μια λύση με περίπου 00% απώλεια των κλήσεων στενής ζώνης και μια λύση με περίπου 00% απώλεια των κλήσεων ευρείας ζώνης. 9
Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστημίου Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 2
Σημειώματα 22
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση.00. 23
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Μιχαήλ Λογοθέτης. «Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης. Προσέγγιση μειωμένου φορτίου». Έκδοση:.0. Πάτρα 205. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/ee772/ 24
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] http://creativecommons.org/licenses/by nc sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 25
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 26
Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση του ακόλουθου έργου: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες/Πίνακες [] Μιχαήλ Λογοθέτης, Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως και Εφαρμογές, 2 η έκδοση, Παπασωτηρίου, 202 27