1. Γωνία Ο Δημήτρης ζωγράφισε ένα δέντρο στο δωμάτιο του. Το δέντρο απλώνει τα κλαδιά του στα δυο επίπεδα των τοίχων του δωματίου και στο επίπεδο της οροφής. Στη γωνία αυτή θα τοποθετήσει όλα τα παιχνίδια του. Μαθαίνουμε Επίπεδο είναι η επιφάνεια πάνω στην οποία εφαρμόζει παντού η ευθεία γραμμή. Συμβολίζεται με τρία σημεία ή ένα κεφαλαίο γράμμα. Διαβάζεται «επίπεδο Π» ή «επίπεδο ΑΒΓ». Ένα επίπεδο εκτείνεται απεριόριστα. Από τρία μη συνευθειακά σημεία διέρχεται ένα μοναδικόεπίπεδο. Από μια ευθεία διέρχονται άπειρα επίπεδα. Κάθε ευθεία ενός επιπέδου το χωρίζει σε δύο ημιεπίπεδα. Δύο ημιευθείες με κοινή αρχή χωρίζουν το επίπεδο σε δύο περιοχές. Καθεμιά από τις περιοχές αυτές μαζί με τις ημιευθείες ονομάζεται γωνία. Η κοινή αρχή Κ των ημιευθειών ονομάζεται κορυφή της γωνίας και οι ημιευθείες Οx και Ox ονομάζονται πλευρές της γωνίας. Ενότητα 1. Γεωμετρικά σχήματα μέτρηση μήκους, γωνίας Σελίδα 1
Γνωρίζουμε Η μέτρηση των γωνιών γίνεται με το μοιρογνωμόνιο (γεωμετρικό όργανο). Ο αριθμός που προκύπτει από τη μέτρηση ονομάζεται μέτρο γωνίας. Η μονάδα μέτρησης γωνίας είναι η μοίρα και συμβολίζεται με. Η μοίρα αντιστοιχεί στο τόξο που είναι ίσο με του κύκλου και υποδιαιρείται σε 60 λεπτά (60 ) και κάθε λεπτό σε 60δευτερόλεπτα (60 ). Ταξινόμηση γωνιών Ορθή γωνία λέγεται η γωνία που έχει μέτρο 90 ο. Οξεία γωνία λέγεται η γωνία που είναι μεγαλύτερη από 0 ο και μικρότερη των 90 ο. Αµβλεία γωνία λέγεται η γωνία που είναι μεγαλύτερη των 90 ο και μικρότερη των 180 ο. Ενότητα 1. Γεωμετρικά σχήματα μέτρηση μήκους, γωνίας Σελίδα 2
Συμβολισμός Γωνιών ή Μαθαίνουμε ακόμα τα παρακάτω είδη γωνιών : Μηδενική είναι η γωνία της οποίας οι πλευρές συμπίπτουν και το μέτρο της είναι ίσο με 0 ο. Ευθεία γωνία είναι η γωνία που έχει μέτρο ίσο με 180 ο. Πλήρης γωνία είναι η γωνία που έχει μέτρο ίσο με 360 ο. Κυρτή γωνία λέγεται κάθε γωνία που είναι μικρότερη των 180 ο. Μη κυρτή γωνία λέγεται κάθε γωνία που έχει μέτρο μεγαλύτερο των 180 ο και μικρότερο των 360 ο. Ενότητα 1. Γεωμετρικά σχήματα μέτρηση μήκους, γωνίας Σελίδα 3
Ίσες γωνίες είναι οι γωνίες που ταυτίζονται, όταν μετατοπιστούν κατάλληλα. Αν δύο γωνίες έχουν το ίδιο μέτρο είναι ίσες και αντίστροφα. Εφεξής γωνίες είναι δύο γωνίες που έχουν την ίδια κορυφή, μία κοινή πλευρά και δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο. Διαδοχικές γωνίες ονομάζονται περισσότερες από δύο γωνίες, που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και καθεμιά από αυτές είναι εφεξής γωνία με την προηγούμενη ή την επόμενή της. Παραδείγματα- Εφαρμογές 1. Να γίνει σύγκριση δύο γωνιών με ένα διαφανές χαρτί. Λύση 1 ο Βήμα : Αποτυπώνουμε τη γωνία στο διαφανές χαρτί. 2 Ο Βήμα : Τοποθετούμε το αποτύπωμα πάνω στη γωνία έτσι, ώστε το Ο να ταυτιστεί με το Κ και η πλευρά ΟΑ με τη ΚΛ. Τότε μία μόνο από τις παρακάτω τρεις περιπτώσεις μπορεί να εμφανιστεί. Ενότητα 1. Γεωμετρικά σχήματα μέτρηση μήκους, γωνίας Σελίδα 4
2. Να βρείτε το μέτρο της γωνίας με τη βοήθεια μοιρογνωμονίου. Λύση: Βήμα 1: Τοποθετούμε το κέντρο του μοιρογνωμονίου στην κορυφή A της γωνίας. Βήμα 2: Περιστρέφουμε το μοιρογνωμόνιο και τοποθετούμε την ένδειξη 0 στη μια πλευρά AB της γωνίας. Βήμα 3: Διαβάζουμε την κλίμακα στην οποία ο αριθμός 0 βρίσκεται στη μια πλευρά της γωνίας. Η γωνία ΒΑΓ έχει μέτρο 50 ο μοίρες, δηλαδή Ενότητα 1. Γεωμετρικά σχήματα μέτρηση μήκους, γωνίας Σελίδα 5
3. Να γίνουν οι παρακάτω γωνίες εφεξής Λύση Αποτυπώνουμε τη μία γωνία σε διαφανές χαρτί και τη μεταφέρουμε κατάλληλα έτσι, ώστε να γίνει εφεξής με την άλλη. 4. Να βρεθεί η γωνία πού είναι άθροισμα δύο γωνιών Λύση Με το διαφανές χαρτί, όπως κάναμε και προηγουμένως, φέρνουμε τις δύο γωνίες και σε θέση τέτοια, ώστε να γίνουν εφεξής. Τότε οι μη κοινές πλευρές ΟΑ και ΟΔ σχηματίζουν μια νέα γωνία την, για την οποία διαπιστώνουμε, με το μοιρογνωμόνιο, ότι έχει μέτρο +, δηλαδή είναι το άθροισμα των μέτρων ( και ) των δύο γωνιών. Ενότητα 1. Γεωμετρικά σχήματα μέτρηση μήκους, γωνίας Σελίδα 6
5. Να βρεθεί το άθροισμα δύο γωνιών με μέτρα 50 ο και 82 ο. Λύση Έστω οι γωνίες x x και y y µε µέτρα = 50 ο και = 82 ο αντίστοιχα. Η γωνία x y που έχει άνοιγµα: είναι το άθροισµα των γωνιών αυτών. Ασκήσεις 1. Να ονομάσετε την παρακάτω γωνία με τρείς διαφορετικούς τρόπους. 2. Να ονομάσεις με τρία γράμματα τις γωνίες που σημειώνονται στο σχήμα: Ενότητα 1. Γεωμετρικά σχήματα μέτρηση μήκους, γωνίας Σελίδα 7
3. Να γραμμοσκιάσεις και να ονομάσεις τη γωνία στην οποία ανήκει το σημείο Α. 4. Στο διπλανό σχήμα να ονομάσετε: (α) Τρεις γωνίες. (β) Τρία ευθύγραμμα τμήματα. 5. Να γράψετε το είδος της κάθε γωνίας στον πιο κάτω πίνακα. 6. Να βρείτε με το μοιρογνωμόνιό σας το μέτρο της γωνίας σε καθεμιά από τις πιο κάτω περιπτώσεις. Ενότητα 1. Γεωμετρικά σχήματα μέτρηση μήκους, γωνίας Σελίδα 8
7. Α. Να σχεδιάσετε τις παρακάτω γωνίες Β. Να γράψετε ποιες από τις παραπάνω γωνίες είναι κυρτές και ποιες μη κυρτές. 8. Να συγκρίνεις τις γωνίες και να τις γράψεις κατά σειρά από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη. 10. Ένας καθηγητής σχεδίασε τις πιο κάτω γωνίες και ρώτησε κατά πόσο υπάρχει ζεύγος εφεξής γωνιών. Ο Παναγιώτης απάντησε ότι το ζεύγος γωνιών είναι εφεξής γωνίες ενώ ο Γιώργος απάντησε ότι εφεξής γωνίες, είναι το ζεύγος. Ο καθηγητής διαφώνησε και με τους δύο. Να εξηγήσετε, γιατί ο καθηγητής διαφώνησε. Ενότητα 1. Γεωμετρικά σχήματα μέτρηση μήκους, γωνίας Σελίδα 9
11. Να κατασκευάσετε γωνία = 65 ο και την εφεξής της. =25 ο. 12. Η Αντωνία πρόσθεσε τα πιο κάτω ζεύγη κυρτών γωνιών: Κατέληξε στο συμπέρασμα ότι «Το άθροισμα δύο κυρτών γωνιών είναι μη κυρτή γωνία». Να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα, για να δείξετε ότι το συμπέρασμα της Αντωνίας είναι λανθασμένο. 13. Ποια είναι η γωνία που σχηµατίζεται µεταξύ του ωροδείκτη και του λεπτοδείκτη σε ένα ρολόι, όταν η ώρα είναι: (α) 3:00 (β) 12:00 (γ) 6:30 Ενότητα 1. Γεωμετρικά σχήματα μέτρηση μήκους, γωνίας Σελίδα 10