ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΟΥ 2 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΟΥ 2 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ"

Εἰρήνη Κητώ Μάγκας
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 1) Έστω ημιευθεία Αx με άκρο το σημείο Α. Δείξτε ότι αν ΑΕ > ΑΒ τότε το Β είναι μεταξύ των Α και Ε. Και αντίστροφα, αν Β είναι ανάμεσα στο Α και το Ε τότε ισχύει η προηγούμενη σχέση. (Με αναγωγή σε άτοπο). α β γ ) Έστω τρία ευθύγραμμα τμήματα α<β<γ. Να δείξετε ότι: α γ. ) Είναι γνωστό ότι οι διχοτόμοι κατακορυφή γωνιών βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Το αντίστροφο είναι αληθές; Δικαιολογείστε. 4) Δείξτε ότι οι διχοτόμοι των τεσσάρων γωνιών που σχηματίζουν δύο ευθείες τεμνόμενες σε σημείο Ο είναι μεταξύ τους κάθετες. 5) Mία αίθουσα σχήματος τετραγώνου έχει μια κολώνα στη μέση όπως δείχνει το διπλανό σχήμα. Προβολέας Μ κινείται στο εσωτερικό της πλευράς ΔΓ ρίχνοντας φώς στο εσωτερικό της αίθουσας. Μπορείτε να πείτε σε ποιά θέση του προβολέα Μ το μήκος της σκιάς ΚΛ που ρίχνει η κολώνα στην απένατι πλευρά ΑΒ θα είναι μικρότερη και πότε μεγαλύτερη; 6) Η ΜΝ στο διπλανό σχήμα είναι ευθεία. Οι γωνίες α, β και γ ικανοποιούν τις σχέσεις α : β = 1 : και γ : β = : 1. Να βρείτε τη γωνά β. 7) Δίδονται επι του επιπέδου σημεία ανα τρία μη κείμενα επι ευθείας και έτσι ώστε οι ευθείες που προκύπτουν αν συνδέσουμε τα σημεία αυτά ανα δύο καθ όλους τους δυνατούς τρόπους να είναι n τον αριθμό. Να βρείτε το πλήθος των σημείων. 8) Ένα πλέγμα σχηματίζεται από m οριζόντιες και n κάθετες ευθείες. Πόσα σημεία έχει το πλέγμα; 9) Να κατασκευάσετε δύο ίσες οξείες γωνίες με κοινή κορυφή. Ταξινομείστε τις περιπτώσεις πρώτα βάσει της θέσης των πλευρών τους και έπειτα βάση των διχοτόμων ή της θέσης του φορέα των διχοτόμων τους. 10) Να δείξετε ότι η διχοτόμος ΟΓ μια γωνίας ΑΟΒ σχηματίζει με μια ημιευθεία ΟΜ που βρίσκεται εκτός (ή εντός) της γωνίας ΑΟΒ, μια γωνία ίση με το ημιάθροισμα (ή την ημιδιαφορά) των γωνιών, τις οποίες σχηματίζει η ημιευθεία ΟΜ με κάθε πλευρά της γωνίας ΑΟΒ. C:\Users\Zenon\Documents\zenon\education\A_lyc\GEOMETRIE\oChapter\ασκησεις_επανάληψης.docx Σελίδα 1

2 11) Δίδεται ορθή γωνία xoy. Αν η Οx είναι διχοτόμος μιας γωνίας ΑΟΒ και η Oy η διχοτόμος μιας άλλης γωνίας ΓΟΔ να αποδειχθεί ότι η γωνία ΑΟΓ και ΒΟΔ είναι παραπληρωματικές. 1) Δύο γωνίες έχουν κοινή κορυφή, κοινή πλευρά, δεν είναι διαδοχικές και έχουν διαφορά 90 ο. Να δείξετε ότι η γωνία των διχοτόμων είναι το ½ της ορθής γωνίας. 1) Να βρεθεί ο ελάχιστος και ο μέγιστος αριθμός των χωρίων που σχηματίζονται από 6 ευθείες του επιπέδου. C:\Users\Zenon\Documents\zenon\education\A_lyc\GEOMETRIE\oChapter\ασκησεις_επανάληψης.docx Σελίδα

3 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1. () Είναι προφανές από τον ορισμό σελ. 1 του βιβλίου. () Υποθέτουμε ότι τρία διαφορετικά σημεία Α, Β και Ε είναι πάνω σε ημιευθεία με αρχή το Α. Έστω το σημείο Β είναι ανάμεσα στο Α και Ε. a. Αν ΑΕ < ΑΒ τότε το Ε είναι ανάμεσα στο Α και Β. Ατοπο b. Αν ΑΕ = ΑΒ τοτε το Ε συμπίπτει με το Β. c. Άρα ΑΕ > ΑΒ. α β γ. Θα δείξω πρώτα ότι α (1) Η σχέση είναι ισοδύναμη (αφου α,β,γ θετικοί αριθμοί) με την α<α+β+γ ή α < β+γ. Αν η τελευταία είναι αληθής τότε είναι και η αρχική (1). α α β γ Πράγματι: τοοποίοείναι αληθές αφού και συνεπώς α β γ Επομένως και η (1) είναι αληθής. Ομοίως δείχνω ότι α β γ γ (). α β γ γ το οποίοείναι αληθές αφού και συνεπώς: α β γ Επομένως και η () είναι αληθής. α γ β γ α β α γ α β γ α β γ α β γ Άρα, α γ.. Όχι γενικά. Το παράδειγμα στο σχήμα είναι αρκετό. Η δ είναι διχοτόμος της xoy και της x Oy αλλά δεν είναι οι γωνίες κατακορυφή αφού οι πλευρές τους Οx, Ox και Oy, Oy, δεν είναι αντικείμενες ημιευθείες. C:\Users\Zenon\Documents\zenon\education\A_lyc\GEOMETRIE\oChapter\ασκησεις_επανάληψης.docx Σελίδα

4 4. Οι διχοτόμοι των γωνιών α και γ καθώς και οι διχοτόμοι των β και δ είναι ανικείμενες ημιευθείες. Αλλα η διχοτόμος τα και σ είναι διχοτόμοι διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών, άρα είναι μεταξύ τους κάθετες Από τη πρώτη σχέση έχουμε ότι: α = β (1) Από τη δεύτερη : γ = β (). Άρα: γ = 6 α () Αλλά α + β + γ = 180 ο α + α + 6 α = 180 ο 9 α = 180 ο α = 0 ο. Επομένως α = 0 ο, β = α = 40 ο, γ = 6 α = 10 ο. 7. Ας ξεκινήσουμε να δούμε τι σχέση έχουν τα σημεία στο επίπεδο και οι ευθείες που τα ενώνουν # Σημείων Ι ν #Ευθειών λ ν Ι = λ = Ι 4 = 4 λ 4 = λ + Ι = + Ι 5 = 5 λ 5 = λ 4 + Ι 4 = Ι 6 = 6 λ 6 = λ 4 + Ι 5 = Ι 7 = 7 λ 7 = λ 6 + Ι 6 = Ι 8 = 8 λ 8 = λ 7 + Ι 7 = C:\Users\Zenon\Documents\zenon\education\A_lyc\GEOMETRIE\oChapter\ασκησεις_επανάληψης.docx Σελίδα 4

5 Ι 9 = 9 λ 9 = λ 8 + Ι 8 = Ι 10 = 10 λ 10 = λ 9 + Ι 9 = Στον παραπάνω πίνακα βλέπουμε με έναν πρόχειρο υπολογισμό, το σύνολο των σημείων και τις ευθείες που τα συνδέουν. Όταν έχουμε σημεία έχουμε και λ = ευθείες. Αν προσθέσουμε ένα τέταρτο σημείο, τότε θα προστεθούν στις προηγούμενες λ = ευθείες άλλες τόσες ευθείες όσες είναι τα προηγούμενα σημεία. Άρα, γενικά αν έχουμε I ν σημεία, τότε το σύνολο των ευθειών θα είναι ( Ι ν ). Για παράδειγμα αν έχουμε 1 ευθείες τότε το σύνολο των σημείων θα είναι ο τελευταίος ακέραιος ν έτσι ώστε η διαφορά 1 ( ν) =0, δηλαδή 6, αφού 1 ( ) =0. Αργότερα στην άλγεβρα θα δούμε έναν αποτελεσματικότερο τρόπο υπολογισμού με τη βήθεια των αριθμητικών προόδων. 8. Κάθε οριζόντια γραμμή περιέχει n σημεία (=με τα σημεία τομής με τις n κάθετες ευθείες). Αλλά υπάρχουν m τέτοιες ευθείες, άρα έχουμε n n n... n mnσημεία m έ 9. Η απάντηση στο σχήμα: C:\Users\Zenon\Documents\zenon\education\A_lyc\GEOMETRIE\oChapter\ασκησεις_επανάληψης.docx Σελίδα 5

6 10. A ΓOM AOM A ΓOM BOM ( ) AOM BOM ΓOM AOM BOM ΓOM Ομοίως, όταν ο ΟΜ είναι εσωτερική στην γωνία ΑΟΒ. 11. Θα δείξω ότι: ΑΟΓ + ΒΟΔ = ορθές. AOΓ BOΓ xob BOΔ BOΓ ΓOy ( ) AOΓ ΒΟΔ ΒΟΓ xob ΓOy xob BOΓ ΓOy C:\Users\Zenon\Documents\zenon\education\A_lyc\GEOMETRIE\oChapter\ασκησεις_επανάληψης.docx Σελίδα 6

7 1. Οδ και Οδ είναι οι διχοτόμοι των γωνιών ΑΟΒ και ΑΟΔ αντίστοιχα. Επίσης από υπόθεση ΑΟΔ ΑΟΒ = 1 ορθή AOΔ AOB 1 άρα, δοδ = ½ ορθές AOΔ ΑΟΒ 1 1. Αν οι ευθείες δεν τέμνονται μεταξύ τους, τότε έχουυμε τον ελάχιστο αριθμό. Τότε αν όλες ταυτίζονται έχουμε μόνο χωρία, αν είναι παράλληλες τότε έχουμε 5 χωρία, τα οποία θα είναι και ο ελάχιστος αριθμός αν οι ευθείες δεν είναι στην τετριμένη θέση δηλ. δεν ταυτίζονται. Αν ο αριθμός των ευθειών είναι περισσότερες των τριών, τότε έχουμε το μέγιστο αριθμό χωρίων μόνον αν οι ευθείες τέμνοναι όλες μεταξύ τους αν δύο. Αρχίζουμε με ευθείες οι οποίες σχηματίζουν 4 επίπεδα χωρία, άρα Α =4. Αν προσθέσουμε μια ευθεία στο σχήμα με τις τρείς ευθείες, τότε ο αριθμός των επιπέδων χωρίων θα είναι 4, ο συνολικός Α = Α + 4. Αν προσθέσουμε ακόμα μία τότε θα είναι ο προηγούμενος Α και τα 5 χωρία. Γενικά θα είναι Α n = Α n-1 + n. Επομένως αν n = 6 θα έχουμε Α 6 = Α = (A ) + 6 = [(A + 4 ) + 5 ] + 6 =( { [A + ] + 4} + 5)+6= =. C:\Users\Zenon\Documents\zenon\education\A_lyc\GEOMETRIE\oChapter\ασκησεις_επανάληψης.docx Σελίδα 7

Σχετικά έγγραφα

Δύο ημιευθείες OX, OY με κοινό άκρο O, χωρίζουν το επίπεδο σε δύο μέρη και ορίζουν μία κυρτή γωνία ή απλά γωνία και μία μη κυρτή γωνία.

ΜΑΘΗΜΑ 2 Δύο ημιευθείες OX, OY με κοινό άκρο O, χωρίζουν το επίπεδο σε δύο μέρη και ορίζουν μία κυρτή γωνία ή απλά γωνία και μία μη κυρτή γωνία. Κυρτή γωνία ή απλά γωνία λέγεται το σχήμα που συμβολίζουμε