Γενικά τι είναι σύστημα - Ορισμός. Τρόποι σύνδεσης συστημάτων.. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κατηγορίες των συστημάτων ανάλογα με τον αριθμό και το είδος των επιτρεπομένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των συστημάτων, όπως γραμμικό σύστημα, αιτιάτο σύστημα, αντιστρέψιμο σύστημα, ευστάθες σύστημα, στατικό - δυναμικό σύστημα και σύστημα χρονικά αναλλοίωτο.
Μεγέθη τα οποία περιγράφουν τη συμπεριφορά των συστημάτων, όπως η κρουστική απόκριση, η συνάρτηση μεταφοράς και η απόκριση συχνότητας. Φυσική σημασία των παραπάνω μεγεθών. Προσδιοσμός της εξόδου ενός συστήματος, όταν είναι γνωστή η είσοδο και η κρουστική απόκρισή του. Μελέτη απλών ηλεκτρονικών και μηχανικών συστήματων. Εισαγωγή στα συστήματα -
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Σεραφείμ Καραμπογιάς Ως σύστημα ορίζουμε την οντότητα εκείνη η οποία επενεργώντας σε ένα σήμα x( έχει σαν αποτέλεσμα ένα άλλο σήμα y(. Η δράση ενός συστήματος περιγράφεται σχηματικά x( Είσοδος S Έξοδος y( Σχηματική περιγραφή του συστήματος S. x( είναι το σήμα εισόδου ή απλά η είσοδος του συστήματος και y( η έξοδος του συστήματος. Ένα σύστημα μπορεί να θεωρηθεί ως ένας μετασχηματισμός μεταξύ σημάτων y( S{ x( } Με άλλα λόγια η λειτουργία ενός συστήματος παριστάνεται γραφικά εκφράζοντας το σήμα εξόδου ως συνάρτηση του σήματος εισόδου. Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται χαρακτηριστική συνάρτηση όταν εκφράζεται στο πεδίο του χρόνου, ενώ όταν ορίζεται στο πεδίο συχνοτήτων ως συνάρτηση μεταφοράς. Εισαγωγή στα συστήματα -3
Ο παραπάνω ορισμός είναι γενικός και μπορεί να περιγράψει πολλά φυσικά συστήματα όπως Ηλεκτρικά κυκλώματα. Μηχανικά συστήματα (η κίνηση ενός κινητού, ενός ρομποτικού βραχίονα. Ένα επικοινωνιακό κανάλι. Υπολογιστές. Ανάλογα με τον αριθμό και το είδος και τη φύση των επιτρεπομένων εισόδωνεξόδων τα συστήματα διακρίνονται: Συστήματα μιας εισόδου μιας εξόδου (single-inpu single-oupu SISO. Πολυκαναλικά συστήματα (single-inpu muli-oupu SIMO, MISO και MIMO. Συστήματα συνεχούς χρόνου ή διακριτού χρόνου. αναλογικά συστήματα - Συστήματα Εισαγωγή στα συστήματα -4
Ηλεκτρικά κυκλώματα Ηλεκτρικά στοιχεία Σεραφείμ Καραμπογιάς Τα ηλεκτρικά κυκλώματα αποτελούνται από ηλεκτρικά στοιχεία, τα οποία συνδέονται μεταξύ τους σχηματίζουν τη δομή εκείνη, η οποία υλοποιεί μία συγκεκριμένη επεξεργασία πάνω στα σήματα εισόδου (διέγερση για να παραχθούν τα σήματα εξόδου (αποκρίσεις. Ηλεκτρικό στοιχείο κάθε φυσικό στοιχείο το οποίο έχει την ιδιότητα να καταναλώνει, να αποθηκεύει ή να προσφέρει ηλεκτρική ενέργεια. Τα ηλεκτρικά στοιχεία διακρίνονται σε παθητικά και ενεργά. Ως παθητικά θεωρούνται τα στοιχεία που όταν διαρρέονται από ηλεκτρικό ρεύμα καταναλώνουν ή αποθηκεύουν ενέργεια. Ως ενεργά θεωρούνται εκείνα που προσφέρουν ενέργεια, δηλαδή λειτουργούν ως πηγές ηλεκτρικής ενέργειας. Τα βασικά παθητικά ηλεκτρικά στοιχεία είναι η αντίσταση, η αυτεπαγωγή και η χωρητικότητα, ενώ τα βασικά ενεργά ηλεκτρικά στοιχεία είναι οι πηγές τάσης και η πηγές έντασης ρεύματος. Εισαγωγή στα συστήματα -5
Αντίσταση Σεραφείμ Καραμπογιάς Το πιο απλό ηλεκτρικό στοιχείο είναι η ηλεκτρική αντίσταση ή απλά αντίσταση. Σε μία αντίσταση για κάθε χρονική στιγμή η διαφορά δυναμικού (αιτία υ R ( που εφαρμόζεται στους ακροδέκτες της και η ένταση του ρεύματος που τη διαρρέει (αποτέλεσμα i(, ικανοποιούν τον νόμο του Ohm. R ( R i ( i ( R( R i ( κλίση = R R ( Χαρακτηριστική τάσης ρεύματος Η σταθερά R ονομάζεται αντίσταση μετριέται σε Ohm (Ω και το αντίστροφό της G = / R είναι η αγωγιμότητα και μετριέται σε Siemens. Οι αντιστάσεις μετατρέπουν την ηλεκτρική ενέργεια σε θερμότητα φαινόμενο Joule. Οι αντιστάσεις είναι παθητικά στοιχεία, διότι όταν διαρρέονται από ηλεκτρικό ρεύμα καταναλώνουν ισχύ. Η καταναλισκόμενη στιγμιαία ισχύς είναι P R ( i( ( R Ri R ( ( R Εισαγωγή στα συστήματα -6
Το πηνίο Σε ένα πηνίο η διαφορά δυναμικού υ L ( (στιγμιαία που δημιουργείται στα άκρα του είναι ανάλογη με το ρυθμό μεταβολής της έντασης του ρεύματος που το διαρρέει. L ( L i ( ( L L d i( d όπου L είναι ο συντελεστής αυτεπαγωγής και μετριέται σε Henry (H. Τα πηνία έχουν την ικανότητα να αποθηκεύουν ενέργεια υπό μορφή μαγνητικής ενέργειας στο μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται στο πηνίο. Η στιγμιαία ισχύς είναι Η σχέση που συνδέει το στιγμιαίο ρεύμα συναρτήσει της στιγμιαίας τάσης στο πηνίο είναι i( L ( d d i ( P L ( L d ( d όπου i( - είναι η αρχική τιμή ( = του ρεύματος του πηνίου (αρχική συνθήκη. L L ( d i( ( d L Εισαγωγή στα συστήματα -7
Ο πυκνωτής Σε ένα πυκνωτή η ένταση του ρεύματος i( (στιγμιαία που διαρρέει είναι ανάλογη με το ρυθμό μεταβολής της τάσης που εμφανίζεται στα άκρα του υ C (. C ( Οι πυκνωτές έχουν την ικανότητα να αποθηκεύουν ενέργεια υπό μορφή ηλεκτρικής ενέργειας στο ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργείται μεταξύ των οπλισμών του. Η στιγμιαία ισχύς είναι Η σχέση που συνδέει τη τάση του πυκνωτή σε συνάρτηση με την ένταση ρεύματος είναι C i ( dc i( C ( d όπου C είναι η χωρητικότητα του και μετριέται σε Farad (F, και ισούται με το λόγο του φορτίου Q C του πυκνωτή προς την τάση του V C C ( i( d C P C ( Q C V C C ( d όπου υ C ( - είναι η αρχική τιμή ( = της τάσης του πυκνωτή (αρχική συνθήκη. C C i( d i d C i( d C ( i( d Εισαγωγή στα συστήματα -8
Πηγή τάσης Ιδανική πηγή τάσης θεωρείται μία πηγή ηλεκτρικής ενέργειας που εμφανίζει σταθερή τιμή τάσης στα άκρα της, ανεξάρτητα από την ένταση του ρεύματος που την διαρρέει όταν συνδεθεί στα άκρα οποιουδήποτε ηλεκτρικού στοιχείου ή κυκλώματος. E Πηγή ρεύματος A B E A B e( A B Συμβολισμός ηλεκτρικών πηγών τάσης Στη πράξη η τάση στους ακροδέκτες υ πολ ( εξαρτάται από το ρεύμα που διαρρέει την πηγή πολ ( e( r όπου r s είναι η εσωτερική αντίσταση της πηγής. Ιδανική πηγή ρεύματος θεωρείται μία πηγή ηλεκτρικής ενέργειας που όταν συνδεθούν σε ένα οποιοδήποτε φορτίο, προκαλούν ροή ηλεκτρικού ρεύματος σταθερής έντασης. s i( A A A I B I B i( B Συμβολισμός ηλεκτρικών πηγών ρεύματος Εισαγωγή στα συστήματα -9
Παρατηρούμε ότι το σήμα εισόδου υ in ( και το σήμα εξόδου υ ο ( ενός κυκλώματος RC συνδέονται με την εξίσωση A in ( i ( C B o ( RC d d in Γενικά το σήμα εισόδου x( και το σήμα εξόδου y( ενός συστήματος συνδέονται με μία διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές οι οποίοι εξαρτώνται από τα επιμέρους στοιχεία του συστήματος. Η διαφορική αυτή εξίσωση έχει τη γενική μορφή N k a k d k y ( d k M k b k d k x( d k Η τάξη του συστήματος προσδιορίζεται από τη μεγαλύτερη παράγωγο της εξόδου, η οποία εμφανίζεται στη διαφορική εξίσωση. Εισαγωγή στα συστήματα -
ΣΥΝΔΕΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Η ανάλυση ενός πολύπλοκου συστήματος διευκολύνεται σημαντικά αν δούμε το σύστημα ως αποτέλεσμα διασύνδεσης λιγότερων πολύπλοκων συστημάτων. Σειριακή σύνδεση x( Είσοδος S w( Σεραφείμ Καραμπογιάς Έξοδος Η σχηματική αναπαράσταση δύο συστημάτων τα οποία έχουν συνδεθεί σειριακά. Μία σημαντική διαδικασία η οποία σχετίζεται με τη σειριακή σύνδεση είναι η αντιστροφή συστήματος. Παράλληλη σύνδεση S y( x( Είσοδος x ( w ( x( S S Έξοδος y( w ( Η σχηματική αναπαράσταση δύο συστημάτων τα οποία έχουν συνδεθεί παράλληλα. Εισαγωγή στα συστήματα -
Μεικτή σύνδεση συστημάτων x( w ( x( Είσοδος x( S w ( z( S 3 Έξοδος y( S Η σχηματική αναπαράσταση μεικτής σύνδεσης συστημάτων. Σύνδεση συστημάτων με ανατροφοδότηση - ανάδραση x( Είσοδος e( S Έξοδος y( z( S y( Η σχηματική αναπαράσταση σύνδεσης συστημάτων με ανατροφοδότηση. Εισαγωγή στα συστήματα -
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Κατάσταση ηρεμίας τη χρονική στιγμή. Σεραφείμ Καραμπογιάς Θα λέμε ότι ένα σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση ηρεμίας τη χρονική στιγμή, εάν αυτό δεν έχει υποστεί διέγερση από άλλο σήμα για κάθε χρονική στιγμή <. Από φυσική άποψη, ένα σύστημα που είναι σε κατάσταση ηρεμίας σε δεδομένη χρονική στιγμή, σημαίνει ότι δεν είχε αποθηκευμένη ενέργεια τη χρονική στιγμή =. C ( C Q( L ( L i L ( Οι πυκνωτές αποθηκεύουν ενέργεια υπό μορφή ηλεκτρικής ενέργειας στο ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργείται μεταξύ των οπλισμών του η στιγμιαία τιμή της οποίας είναι E ηλεκ ( C C ( Τα πηνία αποθηκεύουν ενέργεια υπό μορφή μαγνητικής ενέργειας στο μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται στο πηνίο η στιγμιαία τιμή της οποίας είναι E μαγ ( LiL ( Εισαγωγή στα συστήματα -3
Γραμμικότητα x ( Γραμμικό y( S x ( Γραμμικό x( y Sx ( ( a x b x ( y asx ( bsx ( ( Γραμμικό ( δηλαδή, η απόκριση του συστήματος σε μία είσοδο, που είναι ο γραμμικός συνδυασμός δύο σημάτων, ισούται με τον αντίστοιχο γραμμικό συνδυασμό των αποκρίσεων του συστήματος στο καθένα από τα σήματα αυτά. y( S a x ( b x( x bsx ( ( a y( b y( as a y b y ( ( Εισαγωγή στα συστήματα -4
Σχηματική περιγραφή της γραμμικότητας ενός συστήματος a x ( b x ( asx ( bsx ( a y ( b y ( y( S Είσοδοι x ( α a x ( a x( b x( Γραμμικό Έξοδος y ( S ax( bx( x ( b b x ( Είσοδοι x ( Γραμμικό α y( S x ( Έξοδος y ( a y( b y( x ( Γραμμικό b y( S x( as x bsx ( ( Εισαγωγή στα συστήματα -5
Χρονικά Αναλλοίωτα Συστήματα Ένα σύστημα λέγεται χρονικά αναλλοίωτο (ΧΑ (αμετάβλητο ανκαι μόνο αν χρονικές ολισθήσεις του σήματος εισόδου μεταφράζονται σε αντίστοιχες χρονικές ολισθήσεις στην έξοδο. x( y( Χρονικά αναλλοίωτο x ( Χρονικά αναλλοίωτο y ( Η είσοδος και η έξοδος ενός συστήματος χρονικά αναλλοιώτου. Εισαγωγή στα συστήματα -6
Εφαρμογή Με τη βοήθεια της ιδιότητας της γραμμικότητας βρίσκουμε πολλές φορές εύκολα την έξοδο ενός γραμμικού χρονικά αναλλοίωτου συστήματος x( y ( 4 Γ.Χ.Α. 4 x ( 4 Γ. Χ. Α. y ( ; x ( Γ. Χ. Α. y ( ; 3 Εισαγωγή στα συστήματα -7
x x Γ.Χ.Α. y Σεραφείμ Καραμπογιάς y x 3 4 x Γ.Χ.Α. y y 3 4 x 3 4 x Γ.Χ.Α. y y 3 4 x y 3 4 x Γ.Χ.Α. y 3 4 Εισαγωγή στα συστήματα -8
x x Γ.Χ.Α. y y x y 3 x Γ.Χ.Α. y 3 x 3 x Γ.Χ.Α. y y 3 x y 3 x Γ.Χ.Α. y 3 Εισαγωγή στα συστήματα -9
Αιτιότητα Ένα σύστημα είναι αιτιατό, όταν για κάθε σήμα το οποίο εφαρμόζεται στην είσοδό του η αντίστοιχη έξοδός του εξαρτάται μόνο από την παρούσα ή και τις προηγούμενες τιμές της εισόδου. Με άλλα λόγια, ένα σύστημα είναι αιτιατό, αν οι μεταβολές στην έξοδο (αποτέλεσμα του συστήματος, ποτέ δεν προηγούνται των μεταβολών που επιτελούνται στην είσοδο του συστήματος (αιτία. Αιτιατά : y( a x( y ( b x ( y( a x( a x( R ( R i ( R R ( E C ( i ( C Q( C ( C i ( d Μη Αιτιατό : y( a x( a x( Εισαγωγή στα συστήματα -
Αντιστρέψιμα και μη αντιστρέψιμα συστήματα Ένα σύστημα λέγεται αντιστρέψιμο, όταν η γνώση του σήματος εξόδου καθιστά εφικτό τον υπολογισμό του σήματος εισόδου. x ( y( cx ( x( y( Αντίστροφο σύστημα c x( x( y ( x ( Δεν αντιστρέφεται x (n y ( n x( k x(n y(n n k Αντίστροφο σύστημα x( n x( n Εισαγωγή στα συστήματα -
Η διαδικασία αντιστροφής ενός συστήματος S συνίσταται στον προσδιορισμό ενός συστήματος S το οποίο συνδεόμενο σε σειρά με το S, παρέχει στην έξοδό του το σήμα εισόδου του S. y ( x ( S y ( S S z ( x( Αντίστροφο σύστημα Μεταδιδόμενο σήμα x( Λαμβανόμενο σήμα y ( Κανάλι Δέκτης z ( x( Ο δέκτης αποτελεί τον αντιστροφέα του καναλιού. Ο σκοπός του δέκτη είναι η ανάκτηση του μεταδιδόμενου σήματος Εισαγωγή στα συστήματα -
A Στατικά Συστήματα ή συστήματα χωρίς μνήμη Ένα σύστημα χαρακτηρίζεται ως στατικό σύστημα ή σύστημα χωρίς μνήμη όταν για κάθε σήμα εισόδου η αντίστοιχη έξοδος για κάθε χρονική στιγμή, εξαρτάται μόνο από την τιμή της εισόδου την ίδια χρονική στιγμή. x( χωρίς μνήμη Η είσοδος και η έξοδος συστήματος χωρίς μνήμη. Δυναμικά Συστήματα ή συστήματα με μνήμη Σεραφείμ Καραμπογιάς y( B x( A με μνήμη Η είσοδος και η έξοδος συστήματος με μνήμη. y( Εισαγωγή στα συστήματα -3
Ευστάθεια Σεραφείμ Καραμπογιάς Μία από τις σημαντικότερες έννοιες στην θεωρία συστημάτων είναι αυτή της ευστάθειας. x( x( y( y( Στο σύστημα το σφαιρίδιο ισορροπεί και αν εφαρμοστεί μία μικρή οριζόντια δύναμη για μικρό χρονικό διάστημα θα μετακινηθεί λίγο και θα επανέλθει στην αρχική του θέση μετά από κάποιες ταλαντώσεις (το σύστημα θεωρείται πραγματικό και παρουσιάζει τριβές. Πρόκειται για ένα ευσταθές σύστημα. Στο σύστημα το σφαιρίδιο ισορροπεί αλλά αν μετακινηθεί λίγο λόγω μικρής και περιορισμένης διάρκειας οριζόντιας δύναμης, θα κυλίσει προς τα κάτω και δεν πρόκειται ποτέ να επανέλθει στην αρχική του θέση, κατάσταση που εκφράζει ότι το σύστημα είναι ασταθές. Παρατηρήστε ότι η απόκριση, η κατακόρυφη θέση, θα αυξάνει με το χρόνο χωρίς περιορισμό. x( Στο σύστημα μία μικρή και περιορισμένης διάρκειας οριζόντια δύναμη θα μετακινήσει λίγο το σφαιρίδιο, το οποίο θα παραμείνει εκεί που θα πάει, όπου έχει την ίδια απόκριση (κατακόρυφη θέση. Η κατάσταση αυτή αδιάφορης ισορροπίας, εκφράζει την οριακή ευστάθεια. Εισαγωγή στα συστήματα -4
Ευστάθεια Σεραφείμ Καραμπογιάς Ένα σύστημα λέγετε ότι είναι ΦΕΦΕ ευσταθές (ευστάθεια Φραγμένης Εισόδου Φραγμένης Εξόδου (Bounded Inpu Bounded Oupu (BIBO sable αν και μόνον αν για κάθε φραγμένη είσοδο η έξοδός του παραμένει φραγμένη. Φραγμένη Φραγμένη εισόδος Ευσταθές έξοδος σύστημα x( M y( M ευσταθές. Φραγμένη εισόδος x( M Μη ευσταθές σύστημα μη ευσταθές. Μη φραγμένη έξοδος Εισαγωγή στα συστήματα -5
ζουμε την έξοδο ενός γραμμικού χρονικά αναλλοίωτου συστήματος, αν γνωρίζουμε α το σήμα εισόδου του συστήματος και x( ΓΧΑ y( Σχέση μεταξύ Εισόδου - Εξόδου συστήματος Στην ενότητα αυτή θα διατυπώσουμε τη σχέση με τη βοήθεια της οποίας προσδιορίβ την απόκριση του συστήματος (το σήμα εξόδου, όταν αυτό διεγείρεται από τη δ( ( ΓΧΑ h( S ( S ( Ορίζουμε ως κρουστική απόκριση του συστήματος την έξοδο του συστήματος όταν το σήμα εισόδου είναι η κρουστική συνάρτηση Εισαγωγή στα συστήματα -6
Το ολοκλήρωμα της συνέλιξης (συγκερασμού. x( ΓΧΑ h( h ( h ( y( Το σήμα εξόδου του συστήματος δίνεται από τη σχέση y ( x( h ( Η σχέση αυτή είναι γνωστή ως ολοκλήρωμα της συνέλιξης, και συμβολίζεται ως y( h( x( d Το ολοκλήρωμα της συνέλιξης γράφεται και ως y ( h( x( d Εισαγωγή στα συστήματα -7
h( x ( Παρατηρούμε ότι σε ένα ΓΧΑ σύστημα αρκεί η γνώση μιας μόνο συνάρτησης, της h(, για να περιγραφεί πλήρως η σχέση μεταξύ του σήματος εισόδου x( και του σήματος εξόδου y( του συστήματος με τη βοήθεια του ολοκληρώματος της συνέλιξης. y( h( x( x( Η πράξη η οποία συνδυάζει δύο σήματα x( και h( για το σχηματισμό του σήματος y( καλείται συνέλιξη. Αν το σύστημα είναι αιτιατό τότε το σήμα εξόδου του συστήματος δίνεται από την Αν το σήμα εισόδου είναι αιτιατό σήμα, τότε το σήμα εξόδου δίνεται από την y( h( x( x( y( h( x( x( y( h( d h ( d h( d Εισαγωγή στα συστήματα -8
Ένα ΓΧΑ σύστημα είναι ΦΕΦΕ ολοκληρώσιμη, δηλαδή, αν h( ευσταθές, αν η κρουστική του απόκριση είναι απόλυτα h( Το σήμα εισόδου είναι φραγμένο, δηλαδή είναι y ( x( h( d x ( d y( y( x( h M x ( h( M h( d y ( M h( d x( ( d d και επειδή η κρουστική του απόκριση είναι απόλυτα ολοκληρώσιμη έπεται ότι και το σήμα εξόδου του συστήματος είναι επίσης φραγμένο, οπότε το σύστημα είναι ΦΕΦΕ ευσταθές. M Εισαγωγή στα συστήματα -9
Το σύστημα το οποίο περιγράφεται από τη σχέση σήματος εισόδου σήματος εξόδου y ( T T x ( d αναφέρεται ως σύστημα μέσης τιμής. Να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του συστήματος. x( T h( x( ( y( h( h( T T h( T T T T ( d d u( T u( u( T T ( u( T d u( d ( d d u( T T T Εισαγωγή στα συστήματα -3
Το σύστημα το οποίο περιγράφεται από τη σχέση σήματος εισόδου σήματος εξόδου αναφέρεται ως σύστημα μέσης τιμής. y ( T T x ( d Να εξετάσετε, αν το σύστημα είναι γραμμικό. Έστω y ( T T x d ( και y ( T T x d ( η απόκριση του συστήματος στο γραμμικό συνδυασμό των δύο σημάτων x ( και x ( είναι y( a T T T T a x x ( d ( x d ( T T x d ( y( a y ( y( παρατηρούμε ότι η y( ισούται με τον αντίστοιχο γραμμικό συνδυασμό των αποκρίσεων του συστήματος στο καθένα από τα σήματα αυτά, επομένως το σύστημα είναι γραμμικό. Εισαγωγή στα συστήματα -3
Το σύστημα το οποίο περιγράφεται από τη σχέση σήματος εισόδου σήματος εξόδου αναφέρεται ως σύστημα μέσης τιμής. y ( T T x ( d Να εξετάσετε, αν το σύστημα είναι χρονικά αναλλοίωτο. Έστω y ( T T x ( d η έξοδος του συστήματος για σήμα εισόδου x(. Η απόκριση του συστήματος σε χρονική ολίσθηση του σήματος x( είναι y S x( ( T T x d ( T T x ( d y ( παρατηρούμε ότι χρονική ολίσθηση του σήματος εισόδου προκαλεί αντίστοιχη χρονική ολίσθηση στο σήμα εξόδου, επομένως το σύστημα είναι χρονικά αναλλοίωτο Το σύστημα είναι αιτιατό αφού η έξοδός του εξαρτάται μόνο από την παρούσα και προηγού- μενες τιμές της εισόδου του. Εισαγωγή στα συστήματα -3
Ιδιότητες της Συνέλιξης Σεραφείμ Καραμπογιάς Αντιμεταθετική ιδιότητα: h ( x ( w( h ( h ( h ( h ( h ( y( x( h ( z( h ( y( Η φυσική σημασία της αντιμεταθετικής ιδιότητας της συνέλιξης Προσεταιριστική ιδιότητα h w( h ( x( h h ( ( x( x ( h w( ( h ( y( x ( h h ( y( ( Η φυσική σημασία της προσεταιριστικής ιδιότητας της συνέλιξης Εισαγωγή στα συστήματα -33
Επιμεριστική ιδιότητα h ( x( ( x( h ( h w ( x ( h ( w ( y( h ( h ( x( x ( h ( h ( y( Ταυτοτική ιδιότητα Η φυσική σημασία της επιμεριστικής ιδιότητας της συνέλιξης x ( h( y ( ( h( h ( x ( ( h( y( h( x ( ( h( y ( h( h * ( h( γενικά x ( ( * ( x( Εισαγωγή στα συστήματα -34
R i ( C y ( x ( RC dy d y x Η σχέση μεταξύ του σήματος εισόδου x( και του σήματος εξόδου y( ενός συστήματος περιγράφεται από μία διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές. N k a k k d y ( k d M k b k k d x( k d Η κρουστική απόκριση h( είναι η έξοδος του συστήματος, όταν αυτό διεγείρεται από τη συνάρτηση δ(. h( ( h( Η σχέση μεταξύ του σήματος εισόδου x( και του σήματος εξόδου y( του συστήματος περιγράφεται με το ολοκλήρωμα της συνέλιξης. y ( x ( h( x( h ( d h( x( d Εισαγωγή στα συστήματα -35
Το ολοκλήρωμα της συνέλιξης παράδειγμα x( x( u( u( Γ. Χ. Α. σύστημα x (, h(, αλλιώς h( y( y( y( x( h( d h(,, αλλιώς h( Εισαγωγή στα συστήματα -36
x( u( u( x( Σεραφείμ Καραμπογιάς x( y ( h ( d h( h( (,, αλλιώς x ( h( y( 4 3 3 4 Εισαγωγή στα συστήματα -37
x( u( u( x( Σεραφείμ Καραμπογιάς x( y ( h ( d h( h( (,, αλλιώς x ( h( 4 3 3 4 Εισαγωγή στα συστήματα -38
x( y(,, αλλιώς x ( h( d h( (,, αλλιώς d d d d y(, x( h( 4 3 3 4 Εισαγωγή στα συστήματα -39
x( u( u( x( Σεραφείμ Καραμπογιάς x( y ( h ( d h( h( (,, αλλιώς x ( h( 4 3 3 4 Εισαγωγή στα συστήματα -4
x(,, αλλιώς h( (,, αλλιώς y( x ( h( d d d d d y(, x( h( 4 3 3 4 Εισαγωγή στα συστήματα -4
x( u( u( x( Σεραφείμ Καραμπογιάς x( y ( h ( d 3 h( h( (,, αλλιώς 3 x ( h( 3 4 3 3 4 Εισαγωγή στα συστήματα -4
x(,, αλλιώς h( (,, αλλιώς y( x ( h( d d y( d ( 3, d ( 3 d ( x( h( 3 4 3 3 4 Εισαγωγή στα συστήματα -43
x( u( u( x( Σεραφείμ Καραμπογιάς x( y ( h ( d 3 h( h( (,, αλλιώς 3 4 x ( h( y(, 3 4 3 3 4 Εισαγωγή στα συστήματα -44
h x( y ( 3 4 h x( y( d 3 4 x( h y( d 3 4 3 x( h y( d ( 3 3 4 Εισαγωγή στα συστήματα -45
Το ολοκλήρωμα της συνέλιξης παράδειγμα x( x( u( u( Γ. Χ. Α. σύστημα x (, h(, αλλιώς y( y( y( 3 x( h( d h( y(,,, 3, 3 (, 3 Εισαγωγή στα συστήματα -46
Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων σε Εκθετικές Εισόδους x ( Ae s H(s h( y( H ( sa e s Με τη βοήθεια του ολοκληρώματος της συνέλιξης η έξοδος του συστήματος είναι y( h ( x( d s s h( A e e d s ( h Ae ( d Ae s s y ( Ae H ( s s h( e d Δηλαδή για την ειδική κατηγορία σημάτων x(=ae s το σήμα εξόδου του συστήματος υπολογίζεται εύκολα από την y( = H(s x(. Η συνάρτηση H ( s h( e s d είναι ο Μετασχηματισμός Laplace της h(. Η συνάρτηση H(s ονομάζεται Συνάρτηση Μεταφοράς του Συστήματος. Εισαγωγή στα συστήματα -47
x ( Ae s H(s y ( H( sa e s H(s s j s h( e d H( j h( e d Η συνάρτηση H(ω είναι ο Μετασχηματισμός Fourier της h( και αποτελεί την Απόκριση συχνότητας του συστήματος. x ( A e j H( y ( H ( A e j x ( Ae j H( y ( H ( A e j Εισαγωγή στα συστήματα -48
x ( Ae j H( y ( H ( A e j Η απόκρισης συχνότητας είναι μιγαδική συνάρτηση της συχνότητας ω και γενικά έχει τη μορφή Επομένως H Απόκριση συχνότητας H j H e arg y( H( argh( e j A e j H( j argh ( A e x ( Acos Απόκριση πλάτους Απόκριση φάσης H( y( H( Acos arg H ( Εισαγωγή στα συστήματα -49
y Σεραφείμ Καραμπογιάς ( Aσυν f A A Η έξοδος του συστήματος όταν f = 5 Hz. x ( Aσυν f 4 A A T H ( f arg H ( f f y ( Aσυν f 4 A A A Το σήμα εισόδου x(. f A Η έξοδος του συστήματος όταν f = Hz. A y( συν f A A A A Η έξοδος του συστήματος όταν f = 5 Hz. Εισαγωγή στα συστήματα -5
Ιδανικά φίλτρα H ( f H ( f Ζώνη διέλευσης f c Ζώνη αποκοπής f Ζώνη αποκοπής f c f Ζώνη διέλευσης Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο Ιδανικό υψιπερατό φίλτρο H ( f H ( f Ζώνη αποκοπής f Ζώνη διέλευσης f f Ζώνη αποκοπής Ζώνη διέλευσης f Ζώνη αποκοπής f f Ζώνη διέλευσης Ιδανικό ζωνοπερατό φίλτρο Ιδανικό ζωνοφρακτικό φίλτρο Εισαγωγή στα συστήματα -5
Εισαγωγή στα συστήματα -5 Σεραφείμ Καραμπογιάς j e x ( j e H y ( ( H( Στο επόμενο κεφάλαιο θα αναπτύξουμε και θα μελετήσουμε τρόπους ανάλυσης ενός σήματος σε σήματα απλής συχνότητας. Μια τέτοια προσέγγιση μας διευκολύνει ώστε να υπολογίσουμε την έξοδο ενός συστήματος, το οποίο διεγείρεται από ένα σύνθετο σήμα. j e x ( j e H y ( ( H( Αν εκμεταλλευτούμε την γραμμικότητα του συστήματος έχουμε ( ( ( x a x a x j j e H a e H a y a y a y ( ( ( ( ( H( Γενικά έχουμε k k j a k e x ( k k j k e k H a y ( ( H(
Στο χώρο των n-διαστάσεων κάθε διάνυσμα παριστάνεται ως n a a i e i i Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων ορίζεται από τη σχέση T a, b a b a b n i Για μια ορθοκανονική βάση διανυσμάτων οι συντεταγμένες (α, α,, α n, ενός διανύσματος a, είναι οι προβολές του a σε κάθε ένα από τα διανύσματα βάσης και προσδιορίζονται από τη σχέση a i a, e i i,,, n Το μέτρο (norm ή μήκος ενός διανύσματος, ορίζεται από τη σχέση a a, a i i n a i i Ένα σύνολο διανυσμάτων (a, a,, a n καλείται ορθοκανονικό όταν a a k, m k m,, k k m m x( n Σεραφείμ Καραμπογιάς x n ( x x(, ( x( ( d n n b a n n, ( k m k m x ( d b * (, y( x( y a x ( x (, x ( b a x( d Εισαγωγή στα συστήματα -53
Τέλος Ενότητας Σεραφείμ Καραμπογιάς
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους. Εισαγωγή στα συστήματα -55
Σημειώματα Σεραφείμ Καραμπογιάς
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση.. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση διαθέσιμη εδώ. Εισαγωγή στα συστήματα -57
Σημείωμα Αναφοράς Copyrigh Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Σεραφείμ Καραμπογιάς 5. Σεραφείμ Καραμπογιάς. «Σήματα και Συστήματα. Εισαγωγή στα Συστήματα.». Έκδοση:.. Αθήνα 5. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: hp://opencourses.uoa.gr/courses/di45/. Εισαγωγή στα συστήματα -58
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creaive Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] hp://creaivecommons.org/licenses/by-nc-sa/4./ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Εισαγωγή στα συστήματα -59
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. Εισαγωγή στα συστήματα -6