ορίσουμε το Μετασχηματισμό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηματισμό Laplace (MML) και να περιγράψουμε τις βασικές διαφορές τους.

Transcript

1 Όταν θα έχουμε τελειώσει το κεφάλαιο αυτό θα μπορούμε να: υπολογίσουμε το μετασχηματισμό aplac στοιχειωδών σημάτων. αναφέρουμε τις ιδιότητες του μετασχηματισμού aplac. 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ορίσουμε το Μετασχηματισμό aplac M και το Μονόπλευρο Μετασχηματισμό aplac MM και να περιγράψουμε τις βασικές διαφορές τους. περιγράψουμε τι είναι συνάρτηση μεταφοράς συστήματος και εξηγήσουμε έννοιες όπως περιοχή σύγκλισης, πόλος και μηδενικό. διατυπώσουμε τη σχέση που υπάρχει μεταξύ μετασχηματισμού Fourir και μετασχηματισμού aplac.

2 Μετασχηματισμός aplac 6- υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο μετασχηματισμό aplac μιας συνάρτησης, χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση αντιστροφής επιλύουμε γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με αρχικές συνθήκες με τη βοήθεια του μονόπλευρου μετασχηματισμού aplac. υπολογίζουμε τη συνάρτηση μεταφοράς ενός ΓΧΑ συστήματος με τη βοήθεια της διαφορικής εξίσωσης, η οποία συνδέει την είσοδο και την έξοδο του συστήματος. υπολογίζουμε την έξοδο ενός συστήματος, το οποίο δε βρίσκεται απαραίτητα σε κατάσταση ηρεμίας, όταν γνωρίζουμε την είσοδό του και τη διαφορική εξίσωση η οποία συνδέει την είσοδο και την έξοδο του συστήματος. προσδιορίζουμε τη συμπεριφορά ενός συστήματος από τη θέση των πόλων της συνάρτησης μεταφοράς του στο μιγαδικό επίπεδο.

3 Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Ο Mετασχηματισμός aplac αντιστοιχεί στο σήμα συνεχούς χρόνου x τη συνάρτηση x X x d O Μετασχηματισμός aplac X του σήματος x είναι μιγαδική συνάρτηση, της μιγαδικής μεταβλητής = σ + jω. m j Το μιγαδικό επίπεδο Μετασχηματισμός aplac 6-3

4 Να υπολογιστεί ο Mετασχηματισμός aplac του αιτιατού εκθετικού σήματος: a x u όπου α μιγαδικός αριθμός Απάντηση X a με περιοχή σύγκλισης { } { a} x m Το αιτιατού εκθετικού όταν [a] >. {a} Μετασχηματισμός aplac 6-4

5 Να υπολογιστεί ο Mετασχηματισμός aplac του αυστηρά μη αιτιατού εκθετικού σήματος Απάντηση a x u X a με περιοχή σύγκλισης { } { a} x m Το αυστηρά μη αιτιατού εκθετικού όταν [a] <. {a} Μετασχηματισμός aplac 6-5

6 Να υπολογιστεί ο Mετασχηματισμός aplac του σήματος x u u Απάντηση u u 3 3 με περιοχή σύγκλισης { } x m Μετασχηματισμός aplac 6-6

7 Να υπολογιστεί ο Mετασχηματισμός aplac του σήματος x x b x b b Απάντηση m b b b b b με περιοχή σύγκλισης b { } b b b Μετασχηματισμός aplac 6-7

8 Να υπολογιστεί ο Mετασχηματισμός aplac του σήματος a x u x Απάντηση X a u a με περιοχή σύγκλισης { } { a} Αν α = έχουμε: u με περιοχή σύγκλισης Μετασχηματισμός aplac 6-8

9 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplac Γραμμικότητα a x b x a X b X Με περιοχή σύγκλισης τουλάχιστον Μετατόπιση στο χρόνο x X με την ίδια Π Σ Μετατόπιση στη μιγαδική συχνότητα x X με Π Σ { } Μετασχηματισμός aplac 6-9

10 Κλιμάκωση στο χρόνο και στη συχνότητα x X { } Αν Με Π Σ τότε x a a X a Με Π Σ { } a a Παραγώγιση στη συχνότητα n x n d X n d με την ίδια Π Σ Μετασχηματισμός aplac 6-

11 Ολοκλήρωση στη συχνότητα x X d με την ίδια Π Σ Μετασχηματισμός aplac παραγώγου dx d X με την ίδια Π Σ Μετασχηματισμός aplac ολοκληρώματος x d X Με περιοχή σύγκλισης τουλάχιστον { } Μετασχηματισμός aplac 6-

12 Θεώρημα της συνέλιξης στο χρόνο y x x Y X X Με περιοχή σύγκλισης τουλάχιστον Μετασχηματισμός aplac 6-

13 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE x j j j X d Το ολοκλήρωμα έχει τη έννοια ότι η ολοκλήρωση εκτελείται πάνω στην ευθεία [] = σ, η οποία πρέπει να περιέχεται στο πεδίο σύγκλισης του X. Μετασχηματισμός aplac 6-3

14 Να υπολογιστεί ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplac της συνάρτησης X 3 7 με περιοχή σύγκλισης 4 3 Απάντηση a x u a X x u a x u x b X 3 7 X 3 a u x 3 { } { a} 3 a { } { a} X a { } { a} b X b { } b b Μετασχηματισμός aplac 6-4

15 Να υπολογιστεί ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplac της συνάρτησης 3 X με περιοχή σύγκλισης Απάντηση x a u a x u a x u x X b x X a X a { } { a} X a b u X { } { a} { } { a} b { } b b Μετασχηματισμός aplac 6-5

16 Να υπολογιστεί ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplac της συνάρτησης X με περιοχή σύγκλισης 4 3 Μιγαδικές ρίζες ρ = 3 j και ρ = + 3 j a x u X { } { a} a X / / a x u 3 j X3 j 3j { } 3 j { a} a a x u 3 j 3 j x u X u { } { a} a b x b x co X 3 b { } b u b Απάντηση Μετασχηματισμός aplac 6-6

17 } { } {, a a X u x a } {, U u a X x a } {, co u u u j j } { } {, co a a a u a 3 4 X 3 Μετασχηματισμός aplac co 3 u x 9 4 4

18 Απάντηση X co 3 u x Μετασχηματισμός aplac 6-8 Να υπολογιστεί ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplac της συνάρτησης X με περιοχή σύγκλισης

19 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Παραγώγιση στο χρόνο d x X x d x X X x d Μετασχηματισμός aplac παραγώγου dx d X Ολοκλήρωση στο χρόνο Μετασχηματισμός aplac ολοκληρώματος x d x d X x d X Θεώρημα αρχικής και τελικής τιμής x lim X lim x lim X Μετασχηματισμός aplac 6-9

20 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ APACE Επίλυση γραμμικής διαφορικής εξίσωσης με τη βοήθεια Μονόπλευρου Μετασχηματισμού aplac Η χρήση του μετασχηματισμού aplac στην ανάλυση ΓΧΑ συστημάτων Μετασχηματισμός aplac 6-

21 Να επιλυθεί η διαφορική εξίσωση με αρχικές συνθήκες: Παραγώγιση στο χρόνο d x 3x d x d u x και x d d x X x d Ολοκλήρωση στο χρόνο Απάντηση x d x d X X 3 3 x X 3 u Μετασχηματισμός aplac 6-

22 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ X H Y y x h d y xh x h Ένα γραμμικό χρονικά αναλλοίωτο σύστημα περιγράφεται πλήρως από την κρουστική του απόκριση h. Το σήμα εισόδου, x, και το σήμα εξόδου, y, ενός ΓΧΑ συστήματος συνδέονται με το ολοκλήρωμα της συνέλιξης. Τα σήματα εισόδου-εξόδου συσχετίζονται με τη διαφορική εξίσωσης. Το θεώρημα της Συνέλιξης. N a d y M b d x d d y y x h Y H X Μετασχηματισμός aplac 6-

23 Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς, H, ενός συστήματος μπορεί να βρεθεί, ως πηλίκο των μετασχηματισμών aplac εξόδου-εισόδου. X Y H N M a b H Και με τη βοήθεια της έχουμε d x d N d y d a b Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς, H, ενός ΓΧΑ συστήματος είναι μία ρητή συνάρτηση, δηλαδή, μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δύο πολυωνύμων της μεταβλητής. Σημειώνεται επίσης στον υπολογισμό της H ενός συστήματος δεν υπεισέρχονται οι αρχικές συνθήκες στις οποίες βρίσκεται πιθανόν το σύστημα. Η ευστάθεια και η αιτιότητα προσδιορίζουν την περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος. Υπενθυμίζεται ότι d x x X d y y Y d h h H Μετασχηματισμός aplac 6-3

24 Για το ηλεκτρικό κύκλωμα C σε σειρά A x C B y η διαφορική εξίσωση είναι d y a y b x d Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό aplac στα δύο μέλη της εξίσωσης έχουμε διαδοχικά d y d a y b x d y d a y bx d d x X Y ay b X a Y b X Y H X a a b u a H a a h b u Με περιοχή σύγκλισης Μετασχηματισμός aplac 6-4

25 Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς και η κρουστική απόκριση του κυκλώματος in V i Απάντηση Η διαφορική εξίσωση για το σύστημα είναι η συνάρτηση μεταφοράς είναι και η κρουστική απόκριση είναι H h d d / / in H u Μετασχηματισμός aplac 6-5

26 Αν το κύκλωμα αρχικά ηρεμεί, και στην είσοδό του, κατά τη χρονική στιγμή =, εφαρμόσουμε πηγή σταθερής τάσης V, να προσδιοριστεί η τάση υ στα άκρα της αντίστασης σε συνάρτηση με το χρόνο. V in i Η συνάρτηση μεταφοράς είναι H / / Απάντηση V H V Vu V u in V V V u Μετασχηματισμός aplac 6-6

27 V V Vu V u V u Αν η τάση στα άκρα της αντίστασης αρχικά είναι υ = και στην είσοδό του, κατά τη χρονική στιγμή =, εφαρμόσουμε πηγή σταθερής τάσης V =, να προσδιοριστεί η τάση υ στα άκρα της αντίστασης σε συνάρτηση με το χρόνο. V in i Η διαφορική εξίσωση για το σύστημα είναι Απάντηση Παραγώγιση στο χρόνο V V d x X x d Ολοκλήρωση στο χρόνο Λόγω της εισόδου υ in = V u Λόγω της αρχικής συνθήκης υ x d x d X u u V V u V d d in Μετασχηματισμός aplac 6-7

28 Αν έχουμε αρχικές συνθήκες τότε στη διαφορική εξίσωση N a d y M b d x d d συμπεριλαμβάνουμε τις αρχικές συνθήκες λόγω των ιδιοτήτων της παραγώγισης στο χρόνο και της ολοκλήρωσης στο χρόνο που έχει ο μονόπλευρος μετασχηματισμός aplac. Παραγώγιση στο χρόνο d x X x d Ολοκλήρωση στο χρόνο x d x d X και στην Y = H X εμφανίζεται και ένας επιπλέoν όρος ο οποίος προέρχεται από τις αρχικές συνθήκες. Σημειώνεται ότι η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος είναι ανεξάρτητη της εισόδου και των αρχικών συνθηκών και ότι εξαρτάται μόνο από τα στοιχεία του συστήματος. Μετασχηματισμός aplac 6-8

29 Να προσδιορισθεί η αρχική και η τελική τιμή του σήματος του αποίου ο μονόπλευρος μετασχηματισμός aplac είναι X 7 Εφαρμόζοντας το θεώρημα της αρχικής τιμής βρίσκουμε ότι 7 7 x lim lim 7 Εφαρμόζοντας το θεώρημα της τελικής τιμής βρίσκουμε ότι x lim 7 lim 7 5 Το σήμα x που έχει μονόπλευρο μετασχηματισμό aplac είναι x 5u u και επαληθεύουμε ότι x + = 7 και x = 5. Μετασχηματισμός aplac 6-9

30 Παρατηρήσεις για το μετασχηματισμό aplac Η συνάρτηση μεταφοράς, H, ενός ΓΧΑ συστήματος είναι μία ρητή συνάρτηση, δηλαδή, μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δύο πολυωνύμων της μεταβλητής. D N H Για να είναι ένα σύστημα αιτιατό πρέπει η περιοχή σύγκλισης να είναι το δεξιό ημιεπίπεδο του μιγαδικού επιπέδου με σύνορο τη γραμμή που είναι κάθετη στον πραγματικό άξονα στη θέση {a } max. Αν ο βαθμός του πολυωνύμου του N είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το βαθμό του πολυωνύμου D, τότε, πριν αναλύσουμε σε απλά κλάσματα, πρέπει να κάνουμε τη διαίρεση N / D. D N c D N H u x c c c X H y c c y c H Για να είναι ένα σύστημα ΦΕΦΕ ευσταθές θα πρέπει ο βαθμός του πολυωνύμου N να είναι μικρότερος από το βαθμό του πολυωνύμου D. Μετασχηματισμός aplac 6-3

31 Ένα ΓΧΑ σύστημα είναι ΦΕΦΕ ευσταθές, αν η κρουστική απόκρισή του είναι απόλυτα ολοκληρώσιμη, δηλαδή, αν h d Στην περίπτωση αυτή υπάρχει ο MF και αυτό πραγματοποιείται όταν το πεδίο σύγκλισης του M περιέχει το φανταστικό άξονα. F x X j Για να είναι ένα σύστημα ΦΕΦΕ ευσταθές θα πρέπει o φανταστικός άξονας να περιέχεται στο πεδίο σύγκλισης του μετασχηματισμού aplac. Για να είναι ένα σύστημα ΦΕΦΕ ευσταθές θα πρέπει ο βαθμός του πολυωνύμου N να είναι μικρότερος από το βαθμό του πολυωνύμου D. Για να είναι ένα σύστημα αιτιατό πρέπει η περιοχή σύγκλισης να είναι το δεξιό ημιεπίπεδο του μιγαδικού επιπέδου με σύνορο τη γραμμή που είναι κάθετη στον πραγματικό άξονα στη θέση {a } max. H θέση των πόλων ενός σήματος στο μιγαδικό επίπεδο προσδιορίζει τη συμπεριφορά του σήματος. Μετασχηματισμός aplac 6-3

32 H θέση των πόλων ενός σήματος στο μιγαδικό επίπεδο προσδιορίζει τη συμπεριφορά του σήματος. Παρατηρήσεις για την περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού aplac Ευσταθές j Ασταθές x x x x x co3 x co3 u u u x 3 u X X X m m m m 3 j3 j 3 j j j 3 j Μετασχηματισμός aplac 6-3

33 Να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του ΓΧΑ συνάρτηση μεταφοράς Απάντηση: m H h u Αιτιατό σύστημα 3 3 Ευσταθές σύστημα h u 3 3 m 3 u συστήματος το οποίο έχει 3 Μη αιτιατό μη ευσταθές σύστημα h u 3 3 m Μετασχηματισμός aplac 6-33 u

34 in ou Συστήματα Αναλογικού Χρόνου C x X h H y Y Τα σήματα εισόδου-εξόδου συσχετίζονται με τη διαφορική εξίσωσης. dou d C ou in C N a d y d M b d x d Η συνάρτηση μεταφοράς του ΓΧΑ συστήματος είναι H C m Y X H { } C C C H N Η ευστάθεια και η αιτιατότητα προσδιορίζουν την περιοχή σύγκλισης M b a Μετασχηματισμός aplac 6-34

35 Στην περίπτωση που ο μετασχηματισμός aplac έχει πόλους στο φανταστικό άξονα, όπως το σήμα x co u X x m j j Το σήμα έχει και μετασχηματισμό Fourir και είναι j X Για την οριακή αυτή περίπτωση, στην οποία υπάρχουν πόλοι στο φανταστικό άξονα, είναι δυνατή η μετάβαση από το μετασχηματισμό aplac στο μετασχηματισμό Fourir. Μετασχηματισμός aplac 6-35

36 Μετασχηματισμός aplac 6-36 N a j b X X N b j X X Η συνάρτηση X γράφεται ως άθροισμα δύο συναρτήσεων της μεταβλητής, όπου η μία είναι αναλυτική στο φανταστικό άξονα και η άλλη περιέχει τους πόλους, δηλαδή και ο μετασχηματισμός Fourir βρίσκεται από τη σχέση δηλαδή στη συνάρτηση X = jω προσθέτουμε τους κατάλληλους όρους κρουστικών συναρτήσεων

37 Εφαρμογή Το σύστημα με κρουστική απόκριση έχει μετασχηματισμό aplac H 4 4 h u με διάγραμμα πόλων μηδενικών και πεδίο σύγκλισης Ο μετασχηματισμός aplac γράφεται ως H H a b N j H 4 N j b X X 4 4 m Από την οποία μεταβαίνουμε στο μετασχηματισμό Fourir H H j j j 4 ή ισοδύναμα ως H j j 4 Μετασχηματισμός aplac 6-37

38 Βαθυπερατά συστήματα πρώτης τάξης. Τα βαθυπερατά ΓΧΑ σύστημα πρώτης τάξης περιγράφονται από τη διαφορική εξίσωση dy a y b x d Η συνάρτηση μεταφοράς των βαθυπερατών ΓΧΑ συστημάτων πρώτης τάξης έχει τη μορφή H b H a Η απόκριση συχνότητας των βαθυπερατών ΓΧΑ συστημάτων πρώτης τάξης έχει τη μορφή b H j j a c j c c Απόκριση πλάτους βαθυπερατού συστήματος πρώτης τάξης Μετασχηματισμός aplac 6-38

39 Υψιπερατά συστήματα πρώτης τάξης. Τα υψιπερατά ΓΧΑ σύστημα πρώτης τάξης περιγράφονται από τη διαφορική εξίσωση d y d x a y b d d Η συνάρτηση μεταφοράς των υψιπερατών ΓΧΑ συστημάτων πρώτης τάξης έχει τη μορφή H H j b a b j a Η απόκριση συχνότητας των υψιπερατών ΓΧΑ συστημάτων πρώτης τάξης έχει τη μορφή H c j c c Απόκριση πλάτους υψιπερατού συστήματος πρώτης τάξης Μετασχηματισμός aplac 6-39

40 α Το ωμικό στοιχείο εμφανίζει αντίσταση και η ένταση ρεύματος που τη διαρρέει βρίσκεται σε συμφωνία φάσης με την τάση στα άκρα της. i i i β Το πηνίο εμφανίζει επαγωγική αντίσταση η εμπέδηση Z = jω και η ένταση του ρεύματος που το διαρρέει õóôåñåß ôçò ôüóçò στα άκρα του êáôü ð/. i i i Z γ Ο πυκνωτής εμφανίζει χωρητική αντίσταση /Cω και η ένταση του ρεύματος που το διαρρέει βρίσκεται σε διαφορά φάσης π/ με την τάση στα άκρα του Z C = / jcω. C C i C i i Μετασχηματισμός aplac 6-4 C Z C

41 Μετασχηματισμός aplac 6-4 U in I H C j j H Z C Z C i in δ Η σύνθετη αντίσταση κυκλώματος είναι Ζω = Uω / Ιω. Άσκηση Να βρεθεί η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος C σε σειρά C j j j j jc C j

42 Το κυκλωματικό σύμβολο το οποίο χρησιμοποιούμε για την αναπαράσταση του τελεστικού ενισχυτή είναι Σύμβολο τελεστικού ενισχυτή 3 Ο τελεστικός ενισχυτής είναι φτιαγμένος για να αισθάνεται τη διαφορά δυναμικού μεταξύ των σημάτων τάσης που εφαρμόζονται στους ακροδέκτες εισόδου του υ υ και εμφανίζει τη διαφορά πολλαπλασιασμένη επί Α στην έξοδό Όταν αναφερόμαστε για τάση σε κάποιο ακροδέκτη εννοούμε τη διαφορά δυναμικού μεταξύ του ακροδέκτη και της γης. V 4 5 V 3 Τροφοδοσία τελεστικού ενισχυτή 4 5 Τελεστικός ενισχυτής 3 A A o Ο τελεστικός ενισχυτής είναι ενισχυτής διαφορικής εισόδου μονής εξόδου diffrnial inpu ingl oupu. Το κέδρος Α ονομάζεται διαφορικό κέρδος ή κέρδος ανοικτού κυκλώματος Μετασχηματισμός aplac 6-4

43 Εφαρμογές Αντιστρεπτός ενισχυτής τάσης Invring amplifir I G O I O A A A A 3 A A A A Στο παράδειγμα αρνητικής ανάδρασης αρχίσαμε με ένα τελεστικό ενισχυτή που έχει πολύ μεγάλο κέρδος Α και εφαρμόζοντας αρνητική ανάδραση αποκτήσαμε ένα κέρδος κλειστού βρόχου / που είναι σταθερό, προβλέψιμο και με όση ακρίβεια θέλουμε, επιλέγοντας παθητικά στοιχεία ανάλογης ακρίβειας. Προσφορά κέρδους και αύξηση ακρίβειας. Μετασχηματισμός aplac 6-43

44 Εφαρμογές Αντιστρεπτός ολοκληρωτής V I i Z i Z V O Η αναστρέφουσα συνδεσμολογία με γενικευμένες σύνθετες αντιστάσεις στην ανάδραση και την είσοδο. I i i C C Αναστρέφων ολοκληρωτής Millr. 3 3 O Το κέρδος κλειστού βρόχου, η ποιο σωστά, η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου, είναι V V O I Z Z Για την ιδική περίπτωση όπου Z = και Z = /C, η συνάρτηση μεταφοράς είναι V V O i C και η απόκριση συχνότητας είναι V V O i j C Η τάση εξόδου υ Ο είναι το ολοκλήρωμα της υ I, δηλαδή, O I C d Μετασχηματισμός aplac 6-44

45 Εφαρμογές Αντιστρεπτός διαφοριστής V I i Z i Z V O Η αναστρέφουσα συνδεσμολογία με γενικευμένες σύνθετες αντιστάσεις στην ανάδραση και την είσοδο. I i C i Αναστρέφων διαφοριστής. 3 3 O Το κέρδος κλειστού βρόχου, η ποιο σωστά, η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου, είναι V V O I Z Z Για την ιδική περίπτωση όπου Z = και Z = /C, η συνάρτηση μεταφοράς είναι V V O i C και η απόκριση συχνότητας είναι V V O i j C Η τάση εξόδου υ Ο είναι το ολοκλήρωμα της υ I, δηλαδή, O C di d Μετασχηματισμός aplac 6-45

46 Εφαρμογές Αθροιστής με βάρη n i i i n n i i f 3 O Η τάση εξόδου υ Ο είναι O f f,..., f n n Αθροιστής με βάρη. Παρατηρούμε ότι η τάση εξόδου είναι ίση με το σταθμισμένο άθροισμα των τάσεων εισόδου, με βάρη ίσα με το λόγο f /, =,,, n. Μετασχηματισμός aplac 6-46

47 Βασικά στοιχεία υλοποίησης συστημάτων αναλογικού χρόνου x x 3 x x x x y Αθροιστής 3 3 x a a x x y Πολλαπλασιαστής a x a x d x C y Ολοκληρωτής a C Μετασχηματισμός aplac 6-47

48 a Σύστημα πρώτης τάξης με πόλους και μηδενικά Η διαφορική εξίσωση και η συνάρτηση μεταφοράς για σύστημα πρώτης τάξης με πόλους και μηδενικά είναι d y y a b x b d η διαφορική εξίσωση γράφεται ως έτσι έχουμε την υλοποίηση x y a y d b x d b a b x b dx d H b a b x d b x a b a x a y d b x d b x a y Άμεσο σχήμα I b -a x d b x d a y d y d Μετασχηματισμός aplac 6-48

49 x b a y Άμεσο σχήμα I b -a H H Λόγω της αντιμεταθετικής ιδιότητας της συνέλιξης μπορούμε να εναλλάξουμε τη σειρά σύνδεσης των συστημάτων και έτσι έχουμε τη συνδεσμολογία x a b y -a b H H από την οποία έχουμε υλοποίηση x a b y Άμεσο σχήμα I I -a b Μετασχηματισμός aplac 6-49

50 a y a dy d a d y d b x b dx d b d x d H b a b b a a x H b a H y b -a b -a Άμεσο σχήμα I x H a H b y -a b Άμεσο σχήμα II -a b Μετασχηματισμός aplac 6-5

51 Δίνεται το κύκλωμα του Σχήματος. Αρχικά ο διακόπτης βρίσκεται σε επαφή στη θέση και το σύστημα έχει αποκατασταθεί. Τη χρονική στιγμή =, την οποία θεωρούμε ως αρχή μετρήσεως του χρόνου, ο διακόπτης έρχεται σε επαφή στη θέση. Να υπολογιστεί η ένταση του ρεύματος i, από την οποία διαρρέεται το κύκλωμα, ως συνάρτηση του χρόνου. in 4V i H Απάντηση I i u Μετασχηματισμός aplac 6-5

52 Στο κύκλωμα του Σχήματος ο διακόπτης Δ κλείνει τη χρονική στιγμή =. Η είσοδος του κυκλώματος υ in έχει τη μορφή που φαίνεται στο Σχήμα. Αν ο πυκνωτής είναι αρχικά αφόρτιστος, να υπολογιστεί η ένταση του ρεύματος i, από την οποία διαρρέεται το κύκλωμα σε συνάρτηση με το χρόνο. in M V c i in CF c Απάντηση i 5 u u Μετασχηματισμός aplac 6-5

53 Για το κύκλωμα C που περιγράφεται στο Σχήμα α Να προσδιοριστεί η γραμμική διαφορική εξίσωση η οποία συνδέει την είσοδο του κυκλώματος υ in και την έξοδό του υ o. β Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς και η κρουστική απόκριση του συστήματος. Είναι το σύστημα ευσταθές; γ Αν η είσοδος του κυκλώματος είναι υ in = 3 u, με τη βοήθεια του ΜΜ να υπολογίσετε την έξοδο υ o για >, όταν οι αρχικές συνθήκες είναι υ o - = και dυ o /d = =. A i 3 B in C 5, F o H Μετασχηματισμός aplac 6-53

54 Απάντηση u u u γ Η έξοδος του συστήματος είναι H h u και η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι H C C 3 β Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι C C d d d d in α Η γραμμική διαφορική εξίσωση είναι Μετασχηματισμός aplac 6-54

55 Με τη βοήθεια του Μετασχηματισμού aplac να υπολογιστεί η έξοδος ενός ΓΧΑ συστήματος που έχει κρουστική απόκριση x = u u όταν η είσοδός του είναι το σήμα: h = u u Απάντηση y u u u 3 u 3 Μετασχηματισμός aplac 6-55

56 y u u u 3 u 3,, 3, 3, αλλιώς x y h 3 Μετασχηματισμός aplac 6-56

57 Τέλος Ενότητας

58 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους. Μετασχηματισμός aplac 6-58

59 Σημειώματα

60 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση.. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση διαθέσιμη εδώ. Μετασχηματισμός aplac 6-6

61 Σημείωμα Αναφοράς Copyrigh Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Σεραφείμ Καραμπογιάς 5.. «Σήματα και Συστήματα. Μετασχηματισμός aplac.». Έκδοση:.. Αθήνα 5. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: hp://opncour.uoa.gr/cour/di45/. Μετασχηματισμός aplac 6-6

62 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Craiv Common Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] hp://craivcommon.org/licn/by-nc-a/4./ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος π.χ. διαφημίσεις από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Μετασχηματισμός aplac 6-6

63 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων εφόσον υπάρχει μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. Μετασχηματισμός aplac 6-63