ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟ ΣΕΝΑΡΙΟ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΝΑ ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΗΝ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ GEOGEBRA ΟΝΟΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ: ΞΕΝΑΡΙΟΥ ΚΑΛΛΙΟΠΗ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟ ΣΕΝΑΡΙΟ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΝΑ ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΗΝ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ GEOGEBRA ΟΝΟΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ: ΞΕΝΑΡΙΟΥ ΚΑΛΛΙΟΠΗ Γνωστική περιοχή: Γεωμετρία Γ Γυμνασίου Ομοιότητα πολυγώνων και ομοιότητα τριγώνων: Παραλληλία, Αναλογίες Γεωμετρικών μεγεθών, Ποσοστά και δεκαδικοί, Περίμετρος και Εμβαδόν Θέμα : Η ενσωμάτωση στοιχείων δυναμικής γεωμετρίας και στοιχείων πολιτισμού (σύγχρονη τεχνολογία, ιστορία και τέχνη)στη διδακτική ενότητα της ομοιότητας. Τεχνολογικά Εργαλεία: Το σενάριο έχει διεξαχθεί με τη χρήση του Geogebra αλλά μπορούν να κατασκευαστούν αντίστοιχα αρχεία και με τη βοήθεια του Gabri ή με τη βοήθεια του Sketchpad. Σκεπτικό Βασική Ιδέα Η αξιοποίηση των εργαλείων δυναμικής γεωμετρίας ώστε η τάξη των μαθηματικών να μετατραπεί σε ένα ερευνητικό εργαστήριο και η διδασκαλία της ομοιότητας να ανοίξει ένα παράθυρο στον κόσμο. Προβλήματα μάθησης και διδασκαλίας του θέματος με τον παραδοσιακό τρόπο. Με τον παραδοσιακό τρόπο διδασκαλίας η μετάβαση από την έννοια της ισότητας στην έννοια της ομοιότητας συνήθως δεν γίνεται ομαλά καθώς οι μαθητές δεν είναι σε θέση να κατανοήσουν τα στοιχεία εκείνα τα οποία δίνουν τη δυνατότητα διατήρησης της μορφής φόρμας ενός σχήματος με ταυτόχρονη αλλαγή των διαστάσεων του. Επιπλέον δυσκολεύονται να χρησιμοποιήσουν μαθηματικές γνώσεις που ήδη διαθέτουν μέσα από τη καθημερινή τους εμπειρία στην κατανόηση των εννοιών αυτών. Επίσης οι μαθητές δυσκολεύονται να κατανοήσουν διαισθητικά την αναγκαιότητα μιας συνθήκης καθώς δεν έχουν τη δυνατότητα μέσω πειραματισμού και επαναλαμβανόμενης βιωματικής εμπειρίας να οδηγηθούν μόνοι τους σε τέτοιου

είδους συμπεράσματα. Επιπλέον ο αποδεικτικός συλλογισμός που χρησιμοποιεί το σχολικό βιβλίο για να διαφοροποιήσει την περίπτωση των τριγώνων από την περίπτωση των πολυγώνων είναι εκτός ύλης καθώς στηρίζεται σε προηγούμενες αδίδακτες παραγράφους όπως η ομοιοθεσία και το θεώρημα του Θαλή. Η διδασκαλία των εφαρμογών και των προβλημάτων με τον παραδοσιακό τρόπο συνήθως στηρίζεται πάνω σε αληθοφανή και όχι αληθινά προβλήματα με αποτέλεσμα οι μαθητές να μην αναγνωρίζουν στα μαθηματικά τη δύναμη του νοητικού εργαλείου που τους βοηθάει στην επίλυση ποικίλων προβλημάτων. Ένα άλλο πρόβλημα είναι ότι τόσο ο λόγος των περιμέτρων όσο και ο λόγος των εμβαδών σε όμοια σχήματα κατά τον παραδοσιακό τρόπο διδασκαλίας παρουσιάζονται με τη μορφή κανόνων που οι μαθητές πρέπει να αποστηθίσουν, χωρίς να υπάρχει η δυνατότητα του πειραματισμού που οδηγεί στην ανακάλυψη της σχέσης με το λόγο ομοιότητας Τέλος με τον παραδοσιακό τρόπο η ολοκλήρωση κάποιας γνωστικής ενότητας (όπως πχ. η έννοια της ομοιότητας) ολοκληρώνεται με μια σειρά ασκήσεων υψηλότερου επιπέδου, οι οποίες όμως συνήθως δεν δίνουν στους μαθητές την αίσθηση της επέκτασης της μαθηματικής δραστηριότητας τόσο σε άλλους χώρους (πέρα από το αντικείμενο των μαθηματικών) ούτε σε περαιτέρω ζητήματα που αφορούν τις προεκτάσεις του μαθηματικού συλλογισμού που ήδη έχουν κατακτήσει Προστιθέμενη Αξία Το προτεινόμενο εκπαιδευτικό σενάριο δεν αποτελεί μόνο μια καινοτομία στο παραδοσιακό πλαίσιο της διδασκαλίας της συγκεκριμένης ενότητας των Μαθηματικών αλλά φιλοδοξεί να έχει και ευρύτερες επιρροές. Συγκεκριμένα: Όσον αφορά στη διδασκαλία της συγκεκριμένης ενότητας Με τη δημιουργία κατάλληλου υλικού δυναμικής γεωμετρίας το οποίο να ενσωματώνει τις εμπειρίες και τις γνώσεις τους σε σχέση με τη μεγέθυνση και τη σμίκρυνση σχημάτων, οι μαθητές οικοδομούν το νέο γνωστικό τους πλαίσιο ενσωματώνοντας και αυτοί με τη σειρά τους μια θεωρητική βάση που προκύπτει από την παρατήρηση πολλαπλών αναπαραστάσεων και τον πειραματισμό και τους βοηθά να προχωρήσουν στην πρόβλεψη.

Επίσης μέσω των δυνατοτήτων του δυναμικού χειρισμού του λογισμικού μπορούν να οδηγηθούν σε μια σύγκρουση μεταξύ των υποθέσεων τους και των αποτελεσμάτων του πειραματισμού σ ότι αφορά τις αναγκαίες συνθήκες ομοιότητας πολυγώνων. Επιπλέον στην περίπτωση των αναγκαίων συνθηκών ομοιότητας τριγώνων ο πειραματισμός μπορεί να ενισχυθεί από το στοιχείο της έκπληξης καθώς οι μαθητές αντιλαμβανόμενοι τη μείωση των αναγκαίων συνθηκών αναζητούν την αιτία του φαινόμενου. Ακόμα με τη βοήθεια του λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας μπορούν ακολουθώντας το απόσπασμα του Πλουτάρχου να προσεγγίσουν τις «πραγματικές συνθήκες»του νοητικού πειράματος του Θαλή. Με τον τρόπο αυτό τα σύγχρονα τεχνολογικά εργαλεία παρουσιάζουν με τον πιο εποικοδομητικό τρόπο την απλότητα των μέσων αλλά και τη δυνατότητα των νοητικών εργαλείων των μαθηματικών. Εκτός όμως από το γεγονός ότι μέσω του δυναμικού χειρισμού του προγράμματος οι μαθητές μπορούν να μπουν σε μια διερευνητική διαδικασία μετρήσεων, υπολογισμών και κάνοντας «πειραματικά μαθηματικά» να καταλήξουν στη διατύπωση εικασιών που καλούνται να επαληθεύσουν και να οδηγηθούν σε κανόνες, άλλες διασυνδέσεις όπως η αναζήτηση στο διαδίκτυο θα μπορούσε να προσφέρει κάποιο υλικό το οποίο με κάποια γρήγορη μετάφραση να αποτελέσει μια σκαλωσιά για τη σύνδεση των μαθηματικών εννοιών που έχουν κατακτήσει οι μαθητές με νέες μαθηματικές έννοιες που συναντάμε και σε άλλους χώρους όπως αυτός της τέχνης. Με τον τρόπο αυτό το υλικό προσφέρει μια νέα αφόρμηση για περαιτέρω διερεύνηση της μαθηματικής δραστηριότητας μέσα από την πρόκληση νέων ενδιαφερόντων, τα οποία μπορούν να υποστηριχθούν μέσα από τις δυνατότητες προγραμμάτων δυναμικής γεωμετρίας. Όσον αφορά στις ευρύτερες επιρροές Το παρόν σενάριο φιλοδοξεί να συμβάλει στην αλλαγή - βελτίωση της στάσης των μαθητών απέναντι στα Μαθηματικά και στη διαδικασία προσέγγισής τους. Οι μαθητές αναμένεται να συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηματικά μπορούν να αποτελέσουν αντικείμενο διερεύνησης και μάλιστα κάθε μαθητής μπορεί να δοκιμάσει στο πλαίσιο αυτό τις δικές του ιδέες και να καταλήξει στα δικά του συμπεράσματα τα οποία πρέπει να έχουν την ανάλογη κοινωνική αποδοχή (στο πλαίσιο της τάξης) και την επιστημονική τεκμηρίωση. Η χρήση των τεχνολογικών

εργαλείων διευκολύνει σημαντικά προς αυτή τη κατεύθυνση. Η εργασία των μαθητών σε ομάδες και η στενή, συνεχής και συγκροτημένη συνεργασία μεταξύ των μαθητών της κάθε ομάδας συμβάλει στην αλλαγή της στάσης τους απέναντι στη μάθηση. Ο εκπαιδευτικός που θα εντάξει στην διδασκαλία του το προτεινόμενο σενάριο θα έχει την ευκαιρία να δοκιμάσει σύγχρονες διδακτικές και παιδαγωγικές μεθόδους οι οποίες θα συμβάλουν στην βελτίωση της στάσης του απέναντι στη καθημερινή σχολική διαδικασία. Θα διδάξει σημαντικές έννοιες των Μαθηματικών στο πλαίσιο του σεναρίου το οποίο προβλέπει ατμόσφαιρα ερευνητικού εργαστηρίου. Η συμβολή του σ' αυτό απαιτεί αλλαγή του ρόλου του και από παραδοσιακός καθηγητής μετωπικών διδασκαλιών και αυθεντία της γνώσης, καλείται να γίνει συνεργάτης των μαθητών του, σημείο αναφοράς της τάξης του ως προς την καθοδήγηση της έρευνας και την επιστημονική εγκυρότητα των συμπερασμάτων των μαθητών αλλά και ερευνητής ο ίδιος. Σ' ένα σχολείο στο οποίο εφαρμόζονται εκπαιδευτικά σενάρια όπως το προτεινόμενο απαιτείται απ' όλη τη σχολική κοινότητα μια ευρύτερη αποδοχή της αλλαγής των ρόλων των μαθητών και των εκπαιδευτικών. Η διεύθυνση του σχολείου θα πρέπει να γνωρίζει ότι η εφαρμογή σύγχρονων μεθόδων διδασκαλίας με την βοήθεια της Ψηφιακής Τεχνολογίας απαιτεί μια άλλη στάση απέναντι στη λειτουργία του σχολείου. Αυτό πρέπει κατά κάποιο τρόπο να διασφαλιστεί και οι μαθητές να ενθαρρυνθούν σε κάθε προσπάθεια χρήσης των τεχνολογικών μέσων προς την κατεύθυνση της μάθησης και της διδασκαλίας. Έτσι βελτιώνεται η σχολική ζωή και το σχολείο αποκτά ένα πιο συγκεκριμένο ρόλο στο πλαίσιο της κοινωνίας. Η εφαρμογή του προτεινόμενου εκπαιδευτικού σεναρίου αναμένεται να συμβάλει προς αυτή τη κατεύθυνση. Πλαίσιο Εφαρμογής Σε ποιους απευθύνεται Το σενάριο απευθύνεται σε μαθητές της Γ γυμνασίου Χρόνος υλοποίησης Για την εφαρμογή του σεναρίου απαιτήθηκαν 5 διδακτικές ώρες. Ανάλογα όμως με τη προσέγγιση του εκπαιδευτικού εκτιμάται ότι μπορεί να χρειαστούν 4-6 ώρες.

Χώρος υλοποίησης Το σενάριο υλοποιήθηκε εξ ολοκλήρου στο εργαστήριο υπολογιστών του Γυμνασίου Καπανδριτίου Αττικής. Ωστόσο αν ο εκπαιδευτικός επιθυμεί μπορεί να το διδάξει σε διαδραστικό πίνακα με τη βοήθεια NETBOOK αλλά θα χρειαστεί να έχει δώσει στους μαθητές τα χρησιμοποιούμενα αρχεία. Προαπαιτούμενες γνώσεις Οι μαθητές πρέπει να γνωρίζουν: Στοιχειώδη χειρισμό του προγράμματος Geogebra Τις έννοιες της μεγέθυνσης και της σμίκρυνσης Τη σχέση δεκαδικών και ποσοστών Την έννοια του λόγου ευθυγράμμων τμημάτων Τα περί γωνιών δύο παραλλήλων ευθειών που τέμνονται από τρίτη. Τις έννοιες της περιμέτρου και του εμβαδού Απαιτούμενα βοηθητικά εργαλεία Στους μαθητές δόθηκαν κατάλληλα φύλλα εργασίας τα οποία είχε εκπονήσει η διδάσκουσα και αναλυτικές προφορικές οδηγίες για την υλοποίηση του σεναρίου. Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης Οι μαθητές εργαζόμενοι σε ομάδες και καθοδηγούμενοι από τα 5 φύλλα εργασίας, κλήθηκαν να κατασκευάσουν και να εξερευνήσουν συγκεκριμένα σχήματα και να απαντήσουν σε συγκεκριμένες ερωτήσεις. Η διερεύνηση έγινε συνεργατικά και τα φύλλα εργασίας άφηναν μια αρκετά μεγάλη ελευθερία στους μαθητές ώστε να θέτουν τα δικά τους ερωτήματα και να απαντούν σ αυτά. Στη διάρκεια της υλοποίησης του σεναρίου η εκπαιδευτικός έλεγχε τα συμπεράσματα των ομάδων, βοηθούσε τις ομάδες που ζητούσαν υποστήριξη ώστε να τους ενθαρρύνει να συνεχίσουν την διερεύνηση, συνεργαζόταν με τους μαθητές, τους καθοδηγούσε ώστε να αντιλαμβάνονται καλύτερα τα αποτελέσματά τους και συντόνιζε την εργασία του τμήματος. Στόχοι Ένας από τους βασικούς στόχους του σεναρίου, ο οποίος και επετεύχθει, ήταν οι μαθητές να μάθουν να ανακαλύπτουν τη γνώση συνεργατικά και με τη βοήθεια των

προτεινόμενων εργαλείων να διερευνούν με δυναμικό τρόπο τα γεωμετρικά σχήματα ώστε να κάνουν υποθέσεις και εικασίες τις οποίες να επαληθεύουν για να καταλήγουν σε συμπεράσματα στα υπό διερεύνηση θέματα. Πιο συγκεκριμένα μετά την ολοκλήρωση του σεναρίου: Οι μαθητές ενεπλάκησαν με την έννοια και τα χαρακτηριστικά της ομοιότητας και μπόρεσαν να διακρίνουν τις διαφορές και τις ομοιότητες των εννοιών ισότητα και ομοιότητα ευθυγράμμων σχημάτων. Οι μαθητές διερεύνησαν τα στοιχεία που παραμένουν σταθερά και αυτά που μεταβάλλονται κατά την παραγωγή όμοιων σχημάτων Οι μαθητές μπόρεσαν να συνδέσουν το ποσοστό σμίκρυνσης ή μεγέθυνσης ενός σχήματος με τον αντίστοιχο λόγο των ομολόγων πλευρών και το λόγο ομοιότητας. Οι μαθητές διερεύνησαν τις αναγκαίες συνθήκες ομοιότητας στην περίπτωση των πολυγώνων και των τριγώνων. Οι μαθητές μελέτησαν τον τρόπο με τον οποίο ο Θαλής μέτρησε το ύψος της πυραμίδας του Χέοπα με τη βοήθεια όμοιων τριγώνων. Οι μαθητές εξέτασαν τη σχέση μεταξύ των μεγεθών δύο τριγώνων (γωνιών, πλευρών, περιμέτρων και εμβαδών) ενός αρχικού και αυτού που ορίζεται από σημεία στις πλευρές του που ορίζουν τμήματα ανάλογα. Οι μαθητές εφάρμοσαν τα συμπεράσματά τους για τις ιδιότητες του ευθ. τμήματος που ενώνει τα μέσα πλευρών τριγώνου για να οδηγηθούν στην μελέτη στοιχείων αυτοόμοιων σχημάτων και ακολουθιών στις τιμές των περιμέτρων και των εμβαδών. Ανάλυση του σεναρίου Ροή εφαρμογής παρεμβάσεων

Παρέμβαση 1: Η έννοια της ομοιότητας Η υλοποίηση της παρέμβασης έγινε στο εργαστήριο πληροφορικής του σχολείου το οποίο περιλαμβάνει 11 υπολογιστές και έναν κεντρικό υπολογιστή με προβολέα. Οι μαθητές δούλεψαν στο εργαστήριο πληροφορικής σε ομάδες των 2 με σκοπό έρθουν σε επαφή με την έννοια της ομοιότητας πολυγώνων χρησιμοποιώντας γνώσεις που έχουν από την καθημερινότητά τους όπως η χρήση ενός φωτοτυπικού μηχανήματος. Στους μαθητές δόθηκε έτοιμο αρχείο του Geogebra με τίτλο «Η έννοια της ομοιότητας» και οι ομάδες δούλεψαν πάνω στο φύλλο εργασίας 7 το οποίο παρουσιάζεται στη συνέχεια. Φάση 1: Οι μαθητές αρχικά (δραστηριότητα1 ) μετακινώντας ένα δρομέα με την ονομασία λ, προσπάθησαν να εντοπίσουν τις τιμές για τις οποίες μπορούν να παράγουν μεγέθυνση, σμίκρυνση ή ακριβές αντίγραφο ενός σχήματος και έτσι εξοικειώθηκαν με τη διάκριση μεταξύ ισότητας και ομοιότητας αλλά και την ταύτισή τους στην περίπτωση που το λ είναι 1. Στη συνέχεια ο μέχρι τότε άγνωστης προέλευσης δρομέας απέκτησε υπόσταση (δραστηριότητα 2) καθώς συνδέθηκε με το ποσοστό που τους ήταν οικείο και σαν εικόνα και σαν έννοια κατά τη χρήση του φωτοτυπικού μηχανήματος

Φάση 2: Στη φάση αυτή οι μαθητές κλήθηκαν να παρατηρήσουν τα μεγέθη που διατηρούνται σταθερά ή μεταβάλλονται κατά την παραγωγή ενός όμοιου σχήματος και να εικάσουν τη σχέση της μεταβολής των πλευρών με το λ (λόγο ομοιότητας)(δραστηριότητα3). Προς επιβεβαίωση των εικασιών τους κλήθηκαν να μελετήσουν τους λόγους των πλευρών για μια τιμή του λ δικής τους επιλογής και τα αποτελέσματα συζητήθηκαν στην τάξη. Σαν τελευταία δραστηριότητα (δραστηριότητα 4) δόθηκε στους μαθητές το πρόβλημα περιγραφής ενός νέου σχήματος με λόγο ομοιότητας 4, για τον οποίο δεν είχαν τη δυνατότητα να πειραματιστούν με το δρομέα. Η παρέμβαση, η οποία φάνηκε πολύ ενδιαφέρουσα στους μαθητές, έκλεισε με τη διατύπωση συμπερασμάτων που αφορούσαν τον ορισμό του πότε δύο πολύγωνα λέγονται όμοια και τις παρατηρήσεις τους σχετικά με το γεγονός ότι αν δύο πολύγωνα είναι όμοια τότε έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις πλευρές τους ανάλογες.

Παρέμβαση 2: Συνθήκες ομοιότητας Η υλοποίηση της παρέμβασης έγινε στο εργαστήριο πληροφορικής του σχολείου το οποίο περιλαμβάνει 11 υπολογιστές και έναν κεντρικό υπολογιστή με προβολέα. Οι μαθητές δούλεψαν στο εργαστήριο πληροφορικής σε ομάδες των 2 για να διαπιστώσουν τις αναγκαίες συνθήκες ομοιότητας στην περίπτωση των πολυγώνων και στην περίπτωση των τριγώνων. Στους μαθητές δόθηκε έτοιμο αρχείο του Geogebra με τίτλο «Συνθήκες ομοιότητας» και οι ομάδες δούλεψαν πάνω στο φύλλο εργασίας 8 το οποίο παρουσιάζεται στη συνέχεια Φάση 1: Στη φάση αυτή (δραστηριότητα 1 του φυλλαδίου αλλά και του αρχείου ) οι μαθητές βρέθηκαν μπροστά σε δύο τετράπλευρα για τα οποία κλήθηκαν να αποφασίσουν αν είναι όμοια ή όχι. Το γεγονός της παρόμοιας μορφής και των ίσων γωνιών «παρέσυρε» την πλειοψηφία των μαθητών να απαντήσουν ότι το δεύτερο τετράπλευρο είναι σμίκρυνση του πρώτου και επομένως είναι όμοια. Μόνο ένας ή δύο μαθητές σε κάθε τμήμα είπαν ότι «κάτι δεν πήγαινε καλά» σ αυτήν την σμίκρυνση αφού μία πλευρά του μικρότερου σχήματος ήταν μεγαλύτερη από την

πλευρά του αρχικού σχήματος. Η θέση αυτή έκανε και τους υπόλοιπους να προβληματιστούν. Στο σημείο αυτό οι μαθητές κλήθηκαν να ενεργοποιήσουν κάποιες επιπλέον δυνατότητες του αρχείου όπως ο δρομέας ομοιότητας λ ο οποίος ήταν συνδεδεμένος με την δημιουργία όμοιου σχήματος με το συγκεκριμένο λόγο ομοιότητας. Δοκιμάζοντας διαφορετικές τιμές του λ οι μαθητές κατέληξαν ότι το μικρότερο πολύγωνο τελικά δεν ήταν σμίκρυνση του μεγάλου γιατί παρά το γεγονός ότι είχε ίσες γωνίες δεν «ταίριαζαν» οι πλευρές. Η δεύτερη δυνατότητα που κλήθηκαν να ενεργοποιήσουν οι μαθητές ήταν αυτή της εμφάνισης του λόγου των αντιστοίχων πλευρών μεταξύ του αρχικού και του τελικού σχήματος που επιβεβαίωσε με τον καλύτερο τρόπο ότι τα πολύγωνα δεν είναι όμοια αφού αλλιώς θα έπρεπε να έχουν τις πλευρές τους ανάλογες. Η φάση αυτή έκλεισε με τη διατύπωση των αναγκαίων συνθηκών ώστε δύο πολύγωνα να είναι όμοια αλλά και με ερωτήσεις (δραστηριότητα 1α) σχετικά με παραδείγματα πολυγώνων που έχουν ίσες γωνίες ή ανάλογες πλευρές αλλά δεν είναι όμοια. Φάση 2:

Στη φάση αυτή οι μαθητές κλήθηκαν να πραγματοποιήσουν το ίδιο «πείραμα», αυτή τη φορά όμως με δύο τρίγωνα που είχαν τις γωνίες τους ίσες. Λόγω της προηγούμενης εμπειρίας οι μαθητές αρχικά στάθηκαν δισταχτικοί στο να αποφανθούν αν τα τρίγωνα έχοντας τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες ήταν όμοια. Χρειάστηκε να πειραματιστούν αρκετά μετακινώντας όχι μόνο το δρομέα αλλά και τις κορυφές των τριγώνων ώστε να διαπιστώσουν ότι η αναγκαία συνθήκη περιοριζόταν μόνο στην ισότητα των γωνιών η οποία έδινε πάντα όμοια τρίγωνα με ανάλογες πλευρές όπως φάνηκε από την ενεργοποίηση των αντίστοιχων δυνατοτήτων. Η παρέμβαση ολοκληρώθηκε με τη διατύπωση αναγκαίων συνθηκών ομοιότητας για τα τρίγωνα. Παρέμβαση 3: Η μέτρηση του Θαλή Η υλοποίηση της παρέμβασης έγινε στο εργαστήριο πληροφορικής του σχολείου το οποίο περιλαμβάνει 11 υπολογιστές και έναν κεντρικό υπολογιστή με προβολέα. Οι μαθητές δούλεψαν στο εργαστήριο πληροφορικής σε ομάδες των 2 ατόμων πάνω στην προσομοίωση της μέτρησης της πυραμίδας του Χέοπα από το Θαλή το Μιλήσιο έτσι όπως παρουσιάζεται σε απόσπασμα του Πλουτάρχου που υπάρχει στο σχολικό βιβλίο. Στους μαθητές δόθηκε έτοιμο αρχείο του Geogebra με τίτλο «Θαλής» και οι ομάδες δούλεψαν πάνω στο φύλλο εργασίας 9 το οποίο παρουσιάζεται στη συνέχεια Φάση 1: Στη φάση αυτή παρουσιάστηκε στους μαθητές το έτοιμο αρχείο του Geogebra με την ονομασία «Θαλής» στην οποίο οι μαθητές είχαν τη δυνατότητα να δουν τη δυναμική μορφή του ιστορικού σημειώματος το οποίο παρουσιάζεται στο σχολικό τους βιβλίο σελ 224. Αφού τους παρουσιάστηκε το χρονικό και ιστορικό πλαίσιο του προβλήματος οι μαθητές κλήθηκαν με κατάλληλη μετακίνηση των δρομέων (που σχετίζονταν με τη θέση και τη σκιά του ήλιου) να προσεγγίσουν τις συνθήκες που περιγράφονται στο απόσπασμα του Πλούταρχου στο σχετικό ιστορικό σημείωμα. Στη συνέχεια κλήθηκαν να «μεταφράσουν» το σχετικό απόσπασμα χρησιμοποιώντας τις δικές τους γνώσεις από τη θεωρία των ομοίων τριγώνων. Αν και ο ενθουσιασμός τους από τις δυνατότητες αναπαράστασης του προβλήματος από το λογισμικό ήταν μεγάλος, η «αποκωδικοποίηση» του αποσπάσματος χρειάστηκε την παρέμβαση της διδάσκουσας για να ολοκληρωθεί. Ο εντοπισμός των όμοιων τριγώνων έγινε με

μεγαλύτερη ευκολία αλλά ακολούθησε μια εκτεταμένη συζήτηση με θέμα το γιατί η σκιά της πυραμίδας έπρεπε να μετρηθεί από το ίχνος του ύψους. Φάση 2: Στη φάση αυτή οι μαθητές χρησιμοποιώντας τις δυνατότητες του λογισμικού κατάφεραν υπολογίζοντας, το ύψους και το μήκος της ράβδου αλλά και το μήκος της προαναφερόμενης σκιάς της πυραμίδας να υπολογίσουν το ακριβές ύψος της την εποχή του Θαλή. Στη συζήτηση που ακολούθησε με θέμα «πως ο Θαλής μέτρησε την απόσταση από το ίχνος του ύψους μέχρι την πλευρά της πυραμίδας» αφού το εσωτερικό της πυραμίδας δεν ήταν προσβάσιμο, μόνο ελάχιστοι μαθητές χρησιμοποιώντας τις υποδείξεις του φύλλου εργασίας κατάφεραν να επισημάνουν την απάντηση. Παρέμβαση 4: Λόγοι περιμέτρων και εμβαδών Η υλοποίηση της παρέμβασης έγινε στο εργαστήριο πληροφορικής του σχολείου το οποίο περιλαμβάνει 11 υπολογιστές και έναν κεντρικό υπολογιστή με προβολέα. Οι μαθητές δούλεψαν στο εργαστήριο πληροφορικής σε ομάδες των 2 για να

ανακαλύψουν τη σχέση που συνδέει τους λόγους των περιμέτρων και τους λόγους των εμβαδών με το λόγο ομοιότητας. Στους μαθητές δόθηκε έτοιμο αρχείο του Geogebra με τίτλο «Λόγοι περιμέτρων και Εμβαδών» και οι ομάδες δούλεψαν πάνω στη δραστηριότητα 1 με τη βοήθεια του φύλλου εργασίας 10 το οποίο παρουσιάζεται στη συνέχεια. Φάση 1: Στη φάση αυτή παρουσιάστηκε στους μαθητές η δραστηριότητα 1 του συγκεκριμένου αρχείου όπου οι μαθητές είχαν τη δυνατότητα να μελετήσουν τη σχέση δύο τριγώνων, στα οποία είχαν τη δυνατότητα να μεταβάλλουν τις διαστάσεις του δευτέρου μέσω της μετακίνησης κάποιας παραλλήλου στη βάση του πρώτου. Αρχικά οι μαθητές κλήθηκαν να δικαιολογήσουν τη σχέση των δύο τριγώνων ανεξάρτητα από τις θέσεις της παραλλήλου διαπιστώνοντας έτσι τη δυνατότητα που παρέχει η αποδεικτική διαδικασία να λειτουργεί με βάση το οικοδόμημα των σχέσεων και όχι των αριθμητικών δεδομένων.

Φάση 2: Στη φάση αυτή οι μαθητές πειραματίστηκαν και 3 διαφορετικές θέσεις της παραλλήλου (και επομένως της βάσης του δεύτερου τριγώνου) στο να υπολογίσουν το λόγο των πλευρών, το λόγο ομοιότητας αλλά και το λόγο των περιμέτρων και το λόγο των εμβαδών. Καθώς ο υπολογισμός των λόγων έγινε στην δεκαδική τους μορφή, η εικασία του της σχέσης που συνδέει το λόγο των εμβαδών με το λόγο των πλευρών δεν έγινε στο πρώτο βήμα (η αριθμητική σχέση δεν ήταν προφανής) αλλά στο δεύτερο βήμα του πειραματισμού όπου ο λόγος ομοιότητας ήταν 0.5 και ο λόγος των εμβαδών 0.25. Οπότε τόσο η πρώτη όσο και η τρίτη περίπτωση χρησιμοποιήθηκαν για την επαλήθευση της εικασίας και την εξαγωγή των σχετικών συμπερασμάτων Παρέμβαση 4: Με αφορμή την ομοιότητα στο έργο του M.C. Escher Η υλοποίηση της παρέμβασης έγινε στο εργαστήριο πληροφορικής του σχολείου το οποίο περιλαμβάνει 11 υπολογιστές και έναν κεντρικό υπολογιστή με προβολέα. Στόχος της συγκεκριμένης παρέμβασης ήταν οι μαθητές να συνδέουν τις γνώσεις που είχαν αποκομίσει στις προηγούμενες δραστηριότητες με το χώρο της τέχνης και μέσω αυτού να προχωρήσουν τους μαθηματικούς συλλογισμούς τους σε περαιτέρω χώρους προβληματισμού όπως η έννοια της αυτομοιότητας. Αρχικά παρακολουθήσαμε και συζητήσαμε με τους μαθητές το περιεχόμενο της παρουσίασης «Ιδέες από τον Escher» που βασίστηκε σε υλικό της ιστοσελίδας: http://britton.disted.camosun.bc.ca/geometry/mules.ppt και στη συνέχεια δόθηκε στους μαθητές έτοιμο αρχείο του Geogebra με τίτλο «Λόγοι περιμέτρων και Εμβαδών» και οι μαθητές δούλεψαν σε ομάδες των 2 πάνω στη δραστηριότητα 2 με τη βοήθεια του φύλλου εργασίας 11 το οποίο παρουσιάζεται στη συνέχεια. Φάση 1: Αρχικά ζητήθηκε από τους μαθητές να ανοίξουν στους υπολογιστές τους την παρουσίαση «Ιδέες από τον Escher» ενώ ταυτόχρονα η ίδια παρουσίαση προβαλλόταν στο βιντεοπροβολέα του εργαστηρίου. Η ροή της παρουσίασης ήταν

ελεγχόμενη ώστε να υπάρχει δυνατότητα σχολιασμού των διαφανειών. Η παρουσίαση είχε τρία μέρη: α) εντοπίζοντας την ομοιότητα και την αυτοομοιότητα σε έναν πίνακα του Εscher b) σχεδιάζοντας έναν πίνακα όπως ο Escher και γ)η αυτοομοιότητα και το άπειρο.

Τόσο η παρουσίαση όσο και η όλη συζήτηση φάνηκε ότι κέντρισε πολύ το ενδιαφέρον των μαθητών. Φάση 2: Στη φάση αυτή με αφορμή τη συζήτηση που είχε προηγηθεί οι μαθητές κλήθηκαν να δουλέψουν πάνω στη δραστηριότητα 2 του αρχείου «Λόγοι περιμέτρων και εμβαδών» στην οποία παρουσιάζεται μια σειρά τριγώνων που οι κορυφές κάθε τριγώνου αποτελούν μέσα των πλευρών του τριγώνου που τα περιέχει. Στόχος της δραστηριότητας ήταν αφού οι μαθητές δικαιολογήσουν τη σχέση ομοιότητας των παρουσιαζόμενων τριγώνων να εικάσουν τόσο τη σχέση των περιμέτρων τους όσο και τη σχέση των εμβαδών τους. Τα δεδομένα που αφορούσαν το εμβαδό του αρχικού τριγώνου (ανάλογα με τη μορφή που θα του έδιναν μέσα από την κίνηση των κορυφών του) όσο και το εμβαδό του τρίτου σε σειρά τριγώνου αποτέλεσαν τη βάση για την επαλήθευση των εικασιών τους και την πρόβλεψη των αντίστοιχων μεγεθών για μια σειρά τριγώνων παραγομένων με τον ίδιο τρόπο.

Τα εργαλεία που χρησιμοποιήθηκαν Αν και αρκετοί μαθητές λόγω των προηγούμενων παρεμβάσεων έχουν εξοικειωθεί αρκετά με το λογισμικό, επειδή το συγκεκριμένο σενάριο εστιάστηκε κυρίως στην παρατήρηση και τον πειραματισμό η χρήση των εργαλείων του λογισμικού από τους μαθητές περιορίστηκε σε μετακίνηση δρομέων και στις μετρήσεις ευθ. τμημάτων, περιμέτρων, εμβαδών και γωνιών. Πολλές όμως από τις κατασκευές του σεναρίου αν υπήρχε μεγαλύτερη άνεση χρόνου θα μπορούσαν να γίνουν από μαθητές (πχ. κατασκευή παραλλήλων, τριγώνων, μέσων πλευρών κτλ.) Επεκτάσεις 1)Εκτός από τη λειτουργία του φωτοτυπικού θα μπορούσε να γίνει χρήση κι άλλων παραδειγμάτων που να ενσωματώνουν τις εμπειρίες και τις προϋπάρχουσες γνώσεις των μαθητών για την εισαγωγή τους στην έννοια της ομοιότητας.

2)Στη διερεύνηση των αναγκαίων συνθηκών ομοιότητας τριγώνων θα μπορούσαν να παρουσιαστούν και αντίστοιχες πειραματικές δραστηριότητες που να καταλήγουν στην αναγκαία συνθήκη των αναλόγων πλευρών 3)Εκτός από τη μέτρηση του Θαλή θα μπορούσε να γίνει προσομοίωση κι άλλων ιστορικών θεμάτων ή αληθινών προβλημάτων που αφορούν το πρόβλημα της ομοιότητας και επιδέχονται δυναμικό χειρισμό. 4)Στην παρέμβαση για το λόγο των περιμέτρων και των εμβαδών -αν και η συγκεκριμένη παρέμβαση θεωρήθηκε ως αρκετά επιτυχής από τους μαθητές καθώς τους ενέπλεκε σε μεγάλο βαθμό στην ανακάλυψη των σχετικών κανόνων - εν τούτοις πρότειναν την έναρξη της διαδικασίας πειραματισμού μέσα από απλά σχήματα (πχ. τετράγωνα ή παραλληλόγραμμα)στα οποία η διαδικασία υπολογισμού του εμβαδού θα ήταν εύκολη ώστε η διατύπωση της εικασίας σχετικά με το λόγο των εμβαδών θα ήταν πιο προφανής. Οπότε πιθανόν η συγκεκριμένη παρέμβαση θα μπορούσε να έχει δύο διαφορετικές περιπτώσεις (πολύγωνα και τρίγωνα). 5)Μια από τις επεκτάσεις που συζητήθηκε στην τάξη μετά την παρέμβαση της αυτοομοιότητας αφορούσε την παραγωγή τετραγώνων στα οποία το εμβαδό του καθενός θα ήταν το μισό από το εμβαδό του προηγούμενου σενάριο που παραπέμπει στο σχετικό διάλογο του Σωκράτη. Αξιολόγηση Ως προς τις επιδιώξεις του σεναρίου Αξιοσημείωτο ήταν ότι το συγκεκριμένο σενάριο ενεργοποίησε αρκετούς μαθητές οι οποίοι συνήθως έχουν χαμηλό επίπεδο ενδιαφέροντος για τα μαθηματικά ή αντιμετωπίζουν αρκετές μαθησιακές δυσκολίες. Τους ενίσχυσε την αυτοπεποίθηση ως προς την κατανόηση του αντικειμένου και έφερε καλύτερα γνωστικά αποτελέσματα όπως φάνηκε σε κάποια γραπτή δοκιμασία που ακολούθησε. Ως προς τα εργαλεία Οι απαιτήσεις όσον αφορά τα εργαλεία του λογισμικού δεν ήταν αρκετά μεγάλες (το κατασκευαστικό βάρος είχε πέσει κυρίως στην εκπαιδευτικό) με στόχο να δοθεί

μεγαλύτερο βάρος στην παρατήρηση και στον πειραματισμό ώστε να εμπλακούν όσο το δυνατό περισσότερο μαθητές με μειωμένες κατασκευαστικές ικανότητες. Πέραν αυτού όπως παρατήρησαν οι μαθητές κάποιες δραστηριότητες όπως η δραστηριότητα 1 του αρχείου συνθήκες ομοιότητας χρήζουν βελτιώσεων. Ως προς τη διαδικασία υλοποίησης Επειδή κάθε μια από τις παρεμβάσεις του σεναρίου υλοποιήθηκε σε 1 έως 4 τμήματα αναλόγως των δυνατοτήτων του εργαστηρίου (2 φορές οι υπολογιστές παρουσίασαν κάποιο τεχνικό πρόβλημα ), η βελτίωση τόσο στην καθοδήγηση όσο και στις οδηγίες των φύλλων εργασίας ήταν μια συνηθισμένη διαδικασία. Τα φ.ε. που παρουσιάζονται βρίσκονται στην τελική μορφή που απέκτησαν. Ως προς την προσαρμογή και την επεκτασιμότητα Μερικοί από τους στόχους τόσο της παραγωγής όσο και της εφαρμογής του συγκεκριμένου σεναρίου ήταν 1)η ευκολία υλοποίησης του σε ένα σχολικό περιβάλλον ενός δημόσιου σχολείου με δυνατότητα χρήσης του εργαστηρίου υπολογιστών 2) η προσαρμογή του στην διδακτική ατζέντα του εκπαιδευτικού (ώστε να ακολουθεί τη διδακτέα ύλη χωρίς να περιορίζεται σε αυτήν) 3) η αποδοχή του από την κουλτούρα της σχολικής τάξης έτσι ώστε να μην φανεί βαρετό ή κουραστικό Η εφαρμογή του σε πολλά τμήματα ήταν μια πολύ θετική εμπειρία και συνέβαλε στη βελτίωσή του αλλά πιθανές επεκτάσεις του και ανταλλαγές εμπειριών με άλλους συναδέλφους θα ήταν πολύ σημαντικές.

Φύλλα Εργασίας ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ- ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 7 Θέμα : Η έννοια της ομοιότητας Όμοια πολύγωνα ΤΑ ΜΕΛΗ ΤΗΣ ΟΜΑΔΑΣ: Δραστηριότητα 1 1. Ανοίξτε το αρχείο ΕΝΝΟΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ.ggb. Στο αρχείο αυτό θα μελετήσουμε τη λειτουργία ενός φωτοτυπικού μηχανήματος. 2. Μετακινήστε το δρομέα λ (λόγοςομοιότητας), ο οποίος βρίσκεται πάνω στο φωτοτυπικό μηχάνημα. Για ποιες τιμές του λ(λόγου ομοιότητας), η φωτοτυπία μας θα είναι: a. Ακριβές αντίγραφο (ίσο) με το αρχικό μας σχήμα;. b. Σμίκρυνση του αρχικού σχήματος;.. c. Μεγέθυνση του αρχικού σχήματος; d. Όμοιο σχήμα αλλά όχι ίσο με το αρχικό;.. Δραστηριότητα 2 1. Εμφανίστε το ποσοστό μεταβολής του σχήματος κάνοντας στο κουτάκι ΠΟΣΟΣΤΟ στο κάτω δεξιά μέρος της επιφάνειας εργασίας και στη συνέχεια μετακινήστε το δρομέα λ.. 2.Για ποια τιμή του λόγου ομοιότητας, το ποσοστό είναι i. 150% λ= ii. 100 % λ=. iii. 75% λ= Τι συμβαίνει στη φωτοτυπία μας σε κάθε μια από αυτές τις περιπτώσεις; 3.Ποιο θα είναι το ποσοστό και ο αντίστοιχος λόγος ομοιότητας, όταν θέλουμε η φωτοτυπία μας i. Να αυξηθεί κατά 80% ποσοστό= λ= ii. Να μειωθεί κατά 30% ποσοστό= λ= Δραστηριότητα 3 1. Ποια στοιχεία του αρχικού σχήματος πιστεύετε ότι μεταβάλλονται και ποια διατηρούνται σταθερά στη φωτοτυπία μας, όταν μεταβάλλεται το λ;

Ελέγξτε τις απαντήσεις σας εμφανίζοντας τα μέτρα των γωνιών και τα μήκη των πλευρών (κάνοντας στα κουτάκια ΓΩΝΙΕΣ και ΜΗΚΗ ΠΛΕΥΡΩΝ ) στο κάτω δεξιά μέρος της επιφάνειας εργασίας και στη συνέχεια κινώντας το δρομέα λ. 2. Παρατηρήστε τις τιμές των στοιχείων των σχημάτων a. για λ=0.5 b. για λ=1 c. για λ=2 d. για λ=3 Τι σχέση πιστεύετε ότι έχουν οι τιμές του λόγου ομοιότητας με τις τιμές των στοιχείων που μεταβάλλονται στο σχήμα; 3. Για όποια τιμή του λ επιθυμείτε, συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: Α Β = Β Γ = Γ Δ = Δ Α = ΑΒ= ΒΓ= ΓΔ= ΔΑ= Α Β /ΑΒ= Β Γ /ΒΓ= Γ Δ /ΓΔ= Δ Α /ΔΑ= Τι παρατηρείτε;... 4. Μπορείτε στο παραπάνω πρόβλημα να προβλέψετε τα στοιχεία της φωτοτυπίας αν σας δίνεται ότι λ = 4; a. Α =.Β =.. Γ =.. Δ = b.α Β =. Β Γ = Γ Δ = Δ Α =.. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ: Δυο πολύγωνα λέγονται όμοια όταν Αν δύο πολύγωνα είναι όμοια τότε έχουν: 1) 2)

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ- ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 8 Θέμα : Συνθήκες Ομοιότητας ΤΑ ΜΕΛΗ ΤΗΣ ΟΜΑΔΑΣ: Στο φάκελο ΌΜΟΙΑ ανοίξτε το αρχείο ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ.ggb. Στο αρχείο αυτό θα μελετήσουμε πότε δύο πολύγωνα και πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια. Επιλέξτε αρχικά τη δραστηριότητα 1. Δραστηριότητα 1 1. Στη δραστηριότητα αυτή βλέπετε δύο τετράπλευρα. 2. Τι παρατηρείτε ως προς τα στοιχεία τους; a. Από τα στοιχεία που σας δίνονται πιστεύετε ότι τα τετράπλευρα αυτά είναι όμοια;. b. Αν ναι, με τι λόγο ομοιότητας λ;. c. Αν όχι, δικαιολογήστε την απάντησή σας... 3. Ενεργοποιήστε το δρομέα λόγου ομοιότητας και ελέξτε την απάντησή σας 4. Τι συμπεραίνετε για τους λόγους των αντίστοιχων πλευρών τους; 5. Ενεργοποιήστε τους λόγους πλευρών και ελέξτε την απάντησή σας 6. Τι συμπεραίνετε ότι πρέπει να ισχύει ώστε δύο πολύγωνα να είναι όμοια; Απενεργοποιήστε το δρομέα λόγου ομοιότητας και τους λόγους πλευρών και κλείστε τη δραστηριότητα1. Δραστηριότητα 1a. Είναι ένα τετράγωνο και ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο πάντα όμοια;.. Είναι ένα τετράγωνο και ένας ρόμβος πάντα όμοια ;. Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας.

Ανοίξτε τη δραστηριότητα 2 Δραστηριότητα 2 1. Στη δραστηριότητα αυτή βλέπετε δύο τρίγωνα 2. Τι παρατηρείτε ως προς τα στοιχεία τους; i. Από τα στοιχεία που σας δίνονται πιστεύετε ότι τα τρίγωνα αυτά είναι όμοια;. b. Αν ναι, με τι λόγο ομοιότητας λ;. c. Αν όχι, δικαιολογήστε την απάντησή σας... 3. Ενεργοποιήστε το δρομέα λόγου ομοιότητας και ελέξτε την απάντησή σας 4. Τι συμπεραίνετε για τους λόγους των αντίστοιχων πλευρών τους; 5. Ενεργοποιήστε τους λόγους πλευρών και ελέξτε την απάντησή σας 6. Τι συμπεραίνετε ότι πρέπει να ισχύει ώστε δύο τρίγωνα να είναι όμοια; Απενεργοποιήστε το δρομέα λόγου ομοιότητας και τους λόγους πλευρών και κλείστε τη δραστηριότητα 2.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ- ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 9 Θέμα : Η Μέτρηση του Θαλή ΤΑ ΜΕΛΗ ΤΗΣ ΟΜΑΔΑΣ: Στο φάκελο ΌΜΟΙΑ ανοίξτε το αρχείο ΘΑΛΗΣ.ggb. Στο αρχείο αυτό θα μελετήσουμε τι και με ποιον τρόπο ο Θαλής πραγματοποίησε ένα πολύ σημαντικό επίτευγμα. Δραστηριότητα 1. Απενεργοποιήστε τον τίτλο και ενεργοποιήστε το πρόβλημα του Θαλή 2. Μετακινώντας με τη βοήθεια των δρομέων τη θέση του Ήλιου, προσπαθήστε να δημιουργήσετε τις συνθήκες του προβλήματος όπως περιγράφονται στο απόσπασμα του Πλούταρχου (δηλαδή το ραβδί να στηθεί εκεί που τελειώνει η σκιά της πυραμίδας) 3. Εντοπίστε για ποια τρίγωνα μιλάει ο Πλούταρχος στο απόσπασμά του 4. Γιατί τα τρίγωνα αυτά είναι όμοια; 5. Υπολογίστε τη σκιά της πυραμίδας (προσοχή! η σκιά της πυραμίδας θα πρέπει να υπολογιστεί από το ίχνος του ύψους της και γι αυτό θα πρέπει να λάβετε υπόψη ότι αφού η βάση της πυραμίδας είναι τετράγωνη, το ίχνος του ύψους θα βρίσκεται στο κέντρο συμμετρίας του τετραγώνου!!)) Άρα η σκιά της πυραμίδας είναι. 6. Υπολογίστε τη σκιά της ράβδου 7. Υπολογίστε το ύψος της πυραμίδας χρησιμοποιώντας τις γνώσεις σας για τα όμοια τρίγωνα, τα μήκη των δύο σκιών και το μήκος της ράβδου 8. Πόσο ήταν το ύψος της πυραμίδας του Χέοπα όταν το υπολόγισε ο Θαλής; 9. Πως μέτρησε ο Θαλής το μήκος της σκιάς στο εσωτερικό της πυραμίδας; 10. Πληροφοριακά αναφέρουμε ότι σήμερα το ύψος είναι μικρότερο λόγω της καθίζησης του εδάφους και των φθορών του μνημείου. Περισσότερα στοιχεία στο wikipedia.gr

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ- ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 10 Θέμα : Περίμετροι και Εμβαδά Όμοιων πολυγώνων (I) ΤΑ ΜΕΛΗ ΤΗΣ ΟΜΑΔΑΣ: Στο φάκελο ΌΜΟΙΑ ανοίξτε το αρχείο ΛΟΓΟΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΩΝ.ggb. Στο αρχείο αυτό θα μελετήσουμε τις περιμέτρους και τα εμβαδά όμοιων σχημάτων και συγκεκριμένα όμοιων τριγώνων. Επιλέξτε τη δραστηριότητα 1. Δραστηριότητα 1. Στη δραστηριότητα αυτή βλέπετε το τρίγωνο ΑΒΓ και μία ευθεία ε η οποία μπορεί να μετακινείται παράλληλα στη βάση του, όταν μετακινούμε το σημείο της Δ πάνω στην ΑΒ. Για κάθε θέση του Δ η ευθεία ε τέμνει την πλευρά ΑΓ του αρχικού τριγώνου στο σημείο Ε, σχηματίζοντας έτσι ένα νέο τρίγωνο, το ΒΔΕ. 2. Κατά τη μετακίνηση της ευθείας ε, ποια στοιχεία των δύο τριγώνων παραμένουν σταθερά και ποια μεταβάλλονται; 3. Τι σχέση πιστεύετε ότι έχουν τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΔΕ ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 4. Μετακινώντας το σημείο Δ ώστε να ταυτίζεται κάθε φορά με κάποιο σημείο της πλευράς ΑΒ συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα. (Μπορείτε να ενεργοποιήσετε το κουμπί που εμφανίζει τα μήκη των πλευρών). Θέση Δ ΒΔ/ΑΒ ΒΕ/ΒΓ ΔΕ/ΑΓ λ Π(ΕΒΔ)/Π(ΑΒΓ) Ε (ΕΒΔ)/Ε(ΑΒΓ) Δ=Θ Δ=Ζ Δ= Η 5. Μπορείτε να βρείτε τη σχέση που έχει ο λόγος των περιμέτρων με το λόγο ομοιότητας; 6. Μπορείτε να βρείτε τη σχέση που έχει ο λόγος των εμβαδών με το λόγο ομοιότητας; Κλείστε τη δραστηριότητα1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ- ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 11 Θέμα : Περίμετροι και Εμβαδά Όμοιων πολυγώνων (ΙΙ) - Αυτοομοιότητα ΤΑ ΜΕΛΗ ΤΗΣ ΟΜΑΔΑΣ: Στο μάθημα αυτό θα μελετήσουμε πως ο ζωγράφος Escher χρησιμοποίησε την έννοια της ομοιότητας στα έργα του, θα συζητήσουμε την έννοια της αυτοομοιότητας και στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με τη δραστηριότητα 2 στα φάκελο ΌΜΟΙΑ, αρχείο ΛΟΓΟΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΩΝ.ggb. Δραστηριότητα 1 Στο φάκελο ΟΜΟΙΑ ανοίξτε και παρακολουθήστε την παρουσίαση «Ιδέες από τον Escher» Στη συνέχεια κλείστε την παρουσίαση αυτή και ανοίξτε στο φάκελο στα φάκελο ΌΜΟΙΑ, αρχείο ΛΟΓΟΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΩΝ.ggb. τη δραστηριότητα 2. Δραστηριότητα 2 Υπενθύμιση : Το ευθ. τμήμα που ενώνει τα μέσα των πλευρών ενός τριγώνου Στη δραστηριότητα αυτή βλέπετε το τρίγωνο ΙΚΛ, το τρίγωνο ΜΝΞ που σχηματίζεται από τα μέσα του ΙΚΛ και το τρίγωνο ΟΠΡ που σχηματίζεται από τα μέσα του ΙΚΛ. 1) Τι σχέση έχουν μεταξύ τους τα τρίγωνα ΙΚΛ και ΜΝΞ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας (υπόδειξη: υπολογίστε τις πλευρές ΜΝ, ΝΞ, ΜΞ και παρατηρείστε τους λόγους των αντιστοίχων πλευρών των δύο τριγώνων ). 2) Ποιος είναι ο λόγος των περιμέτρων τους ;. 3) Ποιος είναι ο λόγος των εμβαδών τους ;. 4) Τι σχέση έχουν μεταξύ τους τα τρίγωνα ΜΝΞ και ΟΠΡ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας

5) Ποιος είναι ο λόγος των περιμέτρων τους ; 6) Ποιος είναι ο λόγος των εμβαδών τους ;. 7) Τι σχέση έχουν μεταξύ τους τα ΙΚΛ και ΟΠΡ; 8) Ποιος είναι ο λόγος των περιμέτρων τους ; 9) Ποιος είναι ο λόγος των εμβαδών τους ;. 10) Μπορείτε να προβλέψετε την περίμετρο και εμβαδό του τριγώνου που έχει κορυφές τα μέσα του ΟΠΡ; 11) Μπορείτε να προβλέψετε την περίμετρο και το εμβαδό των επόμενων 4 τριγώνων που το καθένα να έχει κορυφές τα μέσα των πλευρών του προηγούμενου;.. Κλείστε τη δραστηριότητα2.