. טכניקה אלגברית חד-איבר (חזרה) ביטויים מהסוג: 5a,b (-)bc,-a 7,y המהווים מכפלה של מספרים, אותיות (משתנים) וחזקות, מכונים חד-איבר. גם מספר, משתנה או חזקה בודדים מכונים חד-איבר. לדוגמה, כל אחד מהביטויים 4,,,-7 הוא חד-איבר. כאשר בחד-איבר מופיעים כמה מספרים או משתנים מאותו סוג, אפשר לפשט אותו בעזרת כללי החילוף והפילוג של כפל, לדוגמה: b (-)bc = (-) b bc = -6b 4 c בסופו של דבר, מקבלים חד-איבר בצורה של מקדם מספרי וחזקות של משתנים. בצורה כזאת, המכונה צורה תקנית, אפשר להציג כל חד-איבר. המקדם של חד-איבר a הוא, ושל -ab המקדם הוא -, מכיוון ש- בחד-איבר a = a ו- -ab = - ab 7a y סכום מעריכי כל חזקות המשתנים זה לסכום 6. שווה ל- קוראים חזקה של חד-איבר. חזקת חד-איבר, שהוא מספר בלבד (ללא משתנה), היא אפס. לדוגמה: חזקה של חד-איבר 9b- 4 c היא 7, חזקה של חד-איבר 5 שווה ל- 5. תרגילים האם הביטוי הוא חד-איבר?.4 y -0.7y a (-0.8) + ה) ו) a b ז) (+y) ח) -m ט) -n י) 0.6 י" 0.6 + 0.4 י" הציגו את החד-איבר שלפניכם בצורה תקנית: 8.abc 5a ו) ה) m n*4.5n מ צאו את ערכו של החד-איבר: 6c (-0.8)c y(-.7)y -8ab(-.5)b ז) a ( - 7 ) a,5 כאשר = 0.5-0.5y 4, כאשר - = y... טכניקה אלגברית 9
, y כאשר -0. =, y =,-9 5 y כאשר - =, y = 6, כאשר ה),.7m כאשר = 0.4 m ו) - =, y = 4 y רוחב המלבן שווה ל- m ס "מ, ואורכו גדול פי- 5. מצאו את שטח המלבן. מצאו את נפח התיבה שרוחבה a ס"מ, אורכה גדול פי- מהרוחב, וגובהה גדול פי- מהאורך. מה החזקה של החד-איבר שלפניכם? -7 5 y 6 0.abc 0.8mn k -6m 7 ה).4.5.6. כפל של חד-איבר בחד-איבר. חזקה של חד-איבר (חזרה) כאשר כופלים חד-איבר בחד-איבר אחר, משתמשים בכללי כפל של חזקות בעלי בסיסים שווים ובכלל החזקה של חזקה. התוצאה שתתקבל היא חד-איבר בצורה 4.4a b -5a bc תקנית. דוגמה מצאו את המכפלה של ו- נרכיב את המכפלה: נכפיל את המקדמים ואת החזקות בעלי הבסיסים השווים:.-5y -5a bc 4a b 4 = (-5 4)(a a )(bb 4 )c = -0a 4 b 5 c 4 y,- y דוגמה מצאו את המכפלה של שלושה חד-איברים: ו- - y 4 y (-5y) = - 4(-5)( )(yy y) = 0 6 y 4.-a b דוגמה מצאו חזקה שלישית של חד-איבר: (-a b) = (-) (a ) b = -8a 6 b.- y דוגמה 4 מצאו חזקה רביעית של חד-איבר: (- y ) 4 = (-) 4 ( ) 4 (y ) 4 = y 8 פשטו את הביטוי: 4 4 7y 9 ab * y 5 (-6y ab -8 5 ה) ) תרגילים ) -0.6a b (-0ab ו) - 5 m n 4 *5m n. טכניקה אלגברית 0
מצאו את המכפלה של: -y 0.. -,4y ו- a 5 b ו- -ab c 0. y - y ו- -y ו-,0 y ה) 0.6a b ד ( b -0.6ab,a 5 ו- פשטו את הביטויים:. y) 4 (- ) (-a 4 b (4m) ) ( ) (0.00 ח) m) 5 (- y ז) c) (-a b ו) 5 (-) ה ( איזה חד-איבר צריך להעלות בריבוע כדי שיתקבל:. 4? 6 y,000,000m 8 49m n 4 m 8 5. איזה חד-איבר צריך להעלות בחזקה שלישית כדי שיתקבל: 6 y,000,000m 8-7 6 b 9? 000 y 6 רב-איבר. כינוס איברים דומים (חזרה). ביטוי שמהווה סכום של חד-איברים מכונה רב-איבר. לדוגמה: 4 y 5y + הוא רב-איבר. חד-איברים שמהם מורכב רב-איבר מכונים איברים של רב-איבר. כך, האיברים של הרב-איבר שבדוגמה הם:, 5y,4 y ו-.- אם רב-איבר מכיל שני איברים הוא מכונה דו-איבר, אם הוא מכיל שלושה איברים תלת-איבר או טרינום. כאשר האיברים נבדלים רק במקדם מספרי, הם נקראים איברים דומים. במילים אחרות: לאיברים דומים יש אותם המשתנים (אותיות) שמופיעים באותן חזקות. פעולת החיבור של איברים דומים ברב-איבר נקראת כינוס איברים דומים. דוגמה: כנסו איברים דומים ברב-איבר 7 b.5a b + + 4ab a פתרון 5a b + + 4ab a b 7 = ( 5a b a b) + 4ab + ( 7) = = a b + 4ab 5. ברב-איבר שבתוצאה אין איברים דומים. חזקה של רב-איבר היא החזקה הגבוהה ביותר בין החזקות של כל האיברים של הרב-איבר. טכניקה אלגברית
.0 הינן 5, 8y + 6 y חזקות האיברים של רב-איבר 9 ו- דוגמה לכן, החזקה של רב-איבר זה היא 5. כדי למצוא את החזקה של רב-איבר כלשהו, צריך לכנס קודם איברים דומים. דוגמה מצאו את החזקה של רב-איבר: a 4 + 8ab a 4 a 4 + 5b a 4 + 8ab a 4 a 4 + 5b = 8ab + 5b תחילה נכנס איברים דומים: שווה ל-. לכן, החזקה של הרב-איבר המקורי היא. ab 7ab + 7a a +a -7-a +a -a-80 תרגילים החזקה של רב-איבר 8ab + 5b כנסו איברים דומים: 0 8y y 4 5 +7 8 4 + 5 כנסו איברים דומים: ab - b - 6ab + a b - 5ab + b a a a 4 a + a + a 4 + y 6-4y - 6y 6 + 4y -y 5-9 ab c + abc 4a b c + ab c b a c ba ג ( ב ( ג ( ה) a + a b + ab + b - ab + b a + 5ba. מה החזקה של רב-איבר? 8 4 y + 5 y 6-5.4 חיבור וחיסור רב-איברים רב-איבר הוא סכום של כמה חד-איברים, לכן אם נחבר אליו רב-איבר אחר נקבל.- 6 + 8 גם רב-איבר. דוגמה לרב-איבר - 9 7 5 + נחבר רב-איבר אחר: נרכיב את הסכום, נפתח סוגריים ונכנס איברים דומים: (5 + 7 9) + (- 6 + 8) = 5 + 7 9-6 + 8 = = + - טכניקה אלגברית..
בדומה לכך אפשר להחסיר רב-איבר אחד מאחר: נרשום את ההפרש, נפתח סוגריים ונכנס איברים דומים, כמו בדוגמה: ( +5 -+8) ( -7- ) = +5 -+8 - +7+ = 5 +6+9 לפעמים יש צורך הפוך: להציג רב-איבר בצורה של סכום או הפרש של רב- איברים. במקרים אלה יש לזכור את כלל פתיחת הסוגריים, כאשר לפניהם סימנים b) y + b = + (-y + או y + b = - (y - b) פלוס או מינוס, כמו בדוגמאות: תרגילים.-7.a -4a- a + b b a נתונים שני רב-איברים: 5+5a- a מצאו את סכומם; ו- מצאו את ההפרש בין הראשון והשני; מצאו את ההפרש בין השני והראשון. מצאו את הסכום וההפרש של הביטויים: a b a b a + b ו- ו- ו- a b ו- a b -a b הראו שהביטוי: ) ( - y) + (y z) + (z שווה ל- 0; ) (a -5ab) - (7-ab) + (ab-a שווה ל- מצאו רב-איבר כזה, שאם נציבו במקום M, השוויון יהפוך לזהות:? M + (5 - y) = 6 + 9y - y M (4ab b ) = a 7ab + 8b 5 9 (4c 4-7c + 6) M = 0 ב ( ג ( סכום של איזה רב-איבר עם שווה ל- 5 + 6 8 0....4.5 טכניקה אלגברית
הראו שהסכום: של שלושה מספרים טבעיים עוקבים מתחלק ב- ; של ארבעה מספרים טבעיים עוקבים אינו מתחלק ב- 4..6 + 4 n,7n צריך להשתמש בכללי הפילוג.5 כפל חד-איבר ברב-איבר כדי להכפיל חד-איבר 9n ברב-איבר והכפלשל חזקות: כלומר : 9n (7n n + 4) = 9n 7n 9n n + 9n 4 = 6n 5 7n 4 + 6n את המכפלה של חד-איבר ברב-איבר תמיד אפשר להציג בצורה של רב-איבר. כדי לעשות זאת, צריך להכפיל את הרב-איבר בכל איבר של הרב-איבר ולחבר את התוצאות..4a - a+ ) -a ( ברב-איבר דוגמה מצאו מכפלה של חד-איבר -a (4a a +) = -a 4a - a (-a) - a = -a 5 + a a ( + 8) = ( + 8) דוגמה פשטו את הביטוי: 6 בכפל של חד-איבר ברב-איבר משתמשים כדי לפתור משוואות בשברים אלגבריים, כמו בדוגמה שלפניכם: - 9 - +5 דוגמה פתרו משוואה: = 6 ( - 9-9 מכפילים את שני האגפים במכנה המשותף: - +5 6 )*8 = *8 +5 *8 - *8 = 6 6 (-) - (+5) = 6 4---5 = 6 = 5 טכניקה אלגברית 4
תרגילים הפכו את המכפלה לרב-איבר (פתחו סוגריים): ) (-a +a-a )(-a ) ab(a ab + b ).5a b(4a ab + 0.b ) - y( y - y. - c (.d - 6c) - 5 a y 5 ( 5ay - a y - 5 6 a ) רשמו בצורה של רב-איבר: 7 (.4 -.5y) ab ( a - 4 ab + 4 5 ) b. היעזרו בשרטוט כדי להסביר את המשמעות הגאומטרית של הנוסחה a(b+c) = ab+ac עבור ערכים חיוביים של הפרמטרים. הראו שהביטוי ( + ) - ( + ) + ( - + ) מקבל אותו ערך עבור כל ערך של. הראו שערך הביטוי ) + 4 (-6) ( הערכים האפשריים של. הינו שלילי עבור כל..4.5 4y - + 5 a + 0 5 - - 4 ח ( פתרו את המשוואה: - 7y - 5 6 ב ( = = - + 0 7 5-6y = 0 + y 8 = 0 ו ( m + + = m 4 6-6 - m 5 + a y 4 - - y 5 - a 5 = - a = + 0 6 + p - 4 - p + 6 6 - = 0 ה) ז) היקף המשולש הוא 44 ס"מ. אחת מצלעותיו קטנה מהשנייה ב- 4 ס"מ, וגדולה פי- מהצלע השלישית. מצאו את צלעות המשולש..6.7 טכניקה אלגברית 5
8. אצן, שמהירותו הממוצעת היא בדרך כלל 50 מ' לדקה, הגביר בריצתו האחרונה את מהירותו הממוצעת ל- 00 לכן לדקה. מ' עבר את המסלול בזמן יותר קצר בדקה אחת. מה אורך המסלול?.6 הוצאת גורם משותף מסוגריים במקרים רבים: בפתרון משוואות, פעולות עם שברים אלגבריים ועוד, כדאי להחליף רב-איבר במכפלה של כמה (שביניהם יכולים להיות גם חד-איברים). פעולה זאת מכונה פירוק רב-איבר לגורמים. לדוגמה, נתבונן ברב-איבר 6a. b + 5b כל אחד מאיבריו אפשר להציג כמכפלת שני גורמים, שאחד מהם שווה ל- b: 6a b + 5b = b a + b 5b את התוצאה אפשר להציג, על-פי כלל הפילוג של כפל, כמכפלת שני גורמים: :5b אחד מהם הוא הגורם המשותף b והשני הסכום של a ו - b a + b 5b = b (a + 5b) 6a b + 5b = b (a + 5b) כלומר: שיטה זו של פירוק לגורמים מכונה הוצאת הגורם המשותף מהסוגריים. פעולה זו מאפשרת חישוב פשוט יותר: במקום שלוש פעולות (שתי פעולות כפל וחיבור התוצאות) נשארו שתיים (תחילה חיבור, אחר-כך כפל). כמו כן, חוק הפילוג מתקיים גם עבור ביטויים אלגבריים המכילים יותר משני איברים. ab + ac ad = a(b + c d) דוגמה כאן הצלחנו לפרק את הרב-איבר ab + ac ad מכיוון שלכל האיברים גורם משותף a. כמובן, גם מספר יכול להופיע כגורם משותף בביטוי אלגברי, כמו בדוגמה: 9a 8b = 9 a - 9 b = 9 (a b) עוד דוגמאות של הוצאת גורם משותף מהסוגריים: a b + 4bc = b a + b 4c = b(a + 4c ) 6ab + b bc = b a + b b 4c = b(a + 4c) טכניקה אלגברית 6
דוגמה לסיכום, אם בכל איברי הרב-איבר יש גורם משותף (מספר או חד-איבר אלגברי), אזי אפשר להוציאו מחוץ לסוגריים. פרקו לגורמים את הרב-איבר כאשר מקדמי האיברים הם מספרים טבעיים, 4.8 y y לאתר את יש המחלק המשותף הגדול ביותר של המקדמים כדי למצוא גורם משותף, וכן את החזקה עם המעריך הקטן ביותר בין חזקות האיברים בעלי בסיס זהה. ברב-איבר 8 y 4 y המספרים ו- 8; ביותר. לכן הגורם המשותף הוא y ו- החזקות.7 y המספר 7 הוא המחלק המשותף הגדול ביותר של הינן החזקות עם המעריכים הקטנים נוציא אותו מהסוגריים: 8 y 4 y = 7 y 4y - 7 y = 7 y (4y ) האיברים שבסוגריים התקבלו לאחר חילוק האיברים 7 y 4y ו- 7 y בגורם המשותף.7 y דוגמה פרקו לגורמים את 4 הרב-איבר.-5 y 0 y + 45 y איברי הרב-איבר הזה מכילים גורמים משותפים שונים: -5,y,y, ברב-איבר שבו המקדמים הם מספרים שלמים, בוחרים גורם משותף כך, ועוד. שלאיברים שיישארו בסוגריים לא יהיה גורם אלגברי משותף, ולמקדמים לא יהיה מחלק משותף. מקדמי הרב-איבר -5 y 0 y + 45 4 y הם: 0,5 ו-.45 המחלק הגדול ביותר שלהם שווה ל- 5. כל האיברים מכילים את המשתנים ו- y, כאשר מופיע בחזקות, ו- 4, לכן אפשר להוציא מהסוגריים את. המשתנה y מופיע בחזקות, ו-. לכן אפשר להוציא מהסוגריים את y. ובכן, אפשר להוציא מהסוגריים את אם נוציא, לדוגמה, את 5-, y נקבל: החד-איבר.-5 y או 5 y -5 y 0 y + 45 4 y = -5 y(y + y - ) לפעמים הגורם המשותף הוא דו-איבר, למשל: a(b + ) + b(b + ) = (b + )(a + b) טכניקה אלגברית 7
.a (b דוגמה 4 פרקו לגורמים את הביטוי c) c) + 7(b בסכום אלגברי זה כל מחובר מכיל גורם (c b). נוציא אותו מהסוגריים: a (b c) + 7(b c) = (b c)(a + 7) דוגמה 5 הגורמים ו- הפכו למכפלה את הסכום ).a( y) + b(y שונים זה מזה בסימן בלבד. נוציא מהסוגריים (y ) a( y) + b(y ) = a( y) + b(-)( - y) = = a( y) - b( - y) = ( y)(a b) ( y) השניים את (-), ונקבל: אפשר לכתוב גם קצר יותר: a( y) + b(y ) = a( y) - b( - y) = ( y)(a b) + = 0 ובכן, במקרים מסוימים אפשר להשתמש בשוויון: (a b) = - (b a) + = 0 דוגמה 6 פתרו את המשוואה: באגף שמאל נוציא מהסוגריים את הגורם המשותף : = 0 או ( + ) = 0 + = 0 = -.5 תשובה: -.5 = = 0, תרגילים הוציאו את הגורם המשותף מחוץ לסוגריים: 6a + 8 4 a m + n. a 7b + 4 + 6 b 9a +. 9 y + 5z -0 + 5y 75z. y y + cd + bc a ay. 6pk p z yz bd b 9mn + 9n.4 טכניקה אלגברית 8
y y a 4 b + ab a 4 - a a 4 + a.5 0 y + 4 y 9a b ab.6 y 4-4 y + 6 y 4a b + 6a b + 6ab 4.7 y + z ab ac + a.8 4b + 8ab a b 6a a + ba פרקו לגורמים: b(a + 5) c(a + 5) n) a(m + n) + b(m +.9 (y ) + b(y ) 5) (b a(b 5) n(m ) + 5m(m ) b) a(a b) + b(a.0 7a(c d) b(c d) y) 5a( + y) 4b( + a ( + y) + b ( + y) y) a ( - y) + b ( -. (a + b ) + y(a + b ) ) a( + y ) b( + y a(b c) c(c b) a) c(a b) + b(b. b( y) (y ) ) ( y) + b(y 6(a ) + a( a) y) 7(y ) a(. a (m - ) + b( m) a) b (a ) - c( ( y) + y(y ) ( y) b) a(b c) + d(b c) 7(c.4 a(b ) + ( b) b( b) a) (a ) + y( a) + ( מצאו את ערך הביטוי:.5 a),7(a 5) b(5 כאשר =,a b = a),a(a b) + b(b כאשר = 6.,a b =. y),( + y) y( + y) + 7( + כאשר = 4, y = 5 ),(y - ) y( - y) - 4(y - כאשר =, y = -6 טכניקה אלגברית 9
פרקו לגורמים: 5(a b) (a + b)(b a) y) ( + y)( - y) - ( +.6 a(a b) (b a) y) ( + y) ( + a ( + a) + a ( + a) ) ( ( ).7 5p (p + q) 5p(p + q) m(n m) 9m (m n) ג ( 5 + = 0 + = 0 פתרו את המשוואות: = 0 ה) ( ) ( ) = 0 4 7 = 0 ו) = 0 ) ( ) ( תשובות הדרכה: חזרו על ההגדרה של חד-איבר. הדרכה: ח שבו את המקדם ואת החזקות של כל משתנה... מצאו את ערכו של החד-איבר: 0.65-0.8 ה) 0.4 ו) 8 8a סמ"ר cm.5 (5m ).4. 6 הדרכה: חזקת החד-איבר שווה לסכום מעריכי החזקות של כל הכופלים....8 8 8 y 4 הדרכה: חזרו על כללי הכפל של חד-איבר בחד-איבר. 4 y 4 -a 6 b 4 c טכניקה אלגברית -. 4 y. -0.6a 5 b 6 6 ה) 6-0.6a 5 b 6 ד ( -8a b 6 6m 9 6. ה ( -4 ו) a 6 b 4 c ז) - 0 y 5 m 5 ח) 0.00000 6. 4 y 6,000m 9 7mn m 4. 5 y 4 00m 6 - b 0y 0..
.. 0 y 5ab + 7a -5 4 +7 a- 97 a - a -. ab +a b +b a a + a 4-4y 6 -y 5-8 ab c 6a b c + ab c ba ה) a + 8a b + 4ab + b - ab 8..4., הדרכה: השתמשו בכללי החיבור והחיסור של רב-איברים.. הדרכה: פתחו סוגריים וכנסו איברים דומים. 4. הדרכה: חלצו M מהביטויים..5 + 9-5 + + 7-5 + + 6 5-5 + + 5-4 - 6. הדרכה: סמנו מספר ראשון ב- n, בטאו באמצעותו את המספרים האחרים, רשמו את סכומם וכנסו איברים דומים..5. הדרכה: השתמשו בכללי הכפל של חד-איבר ברב-איבר, פתחו סוגריים וכנסו איברים דומים.. הדרכה: השתמשו בכללי הכפל של חד-איבר ברב-איבר, פתחו סוגריים וכנסו איברים דומים. 4., 5. הדרכה: פתחו סוגריים ופשטו את הביטוי. 6..5 5- ה) 5- ו).5 ז) 7.4 ח) 500.8 מ'. 0,6.7 ו-.8.6 4. - הדרכה: החליפו סימן בתוך ומחוץ לאחד מזוגות הסוגריים..5-0 6 0 6 6 7. הדרכה: הוציאו מהסוגריים את הדו-איבר כגורם משותף..8 = = 0, - = = 0, - = = 0, 5 = 0, =, = = 0, = = 0, = 7 4 ה) ו) טכניקה אלגברית
משוואות ומערכות משוואות ממעלה ראשונה (חזרה) המשוואה ושורשיה. אריזה מהודרת של עט-עיפרון עולה. 7 דוגמה האריזה עצמה זולה מהעט ב-. 5 כמה עולה עט-עיפרון?. ) (5 אז האריזה עולה, נסמן את מחיר העט ב- = 7 (5 ). + על-פי נתוני הבעיה, מחיר העט והאריזה יחד הוא: 5 = 7 נפתח סוגריים: נוסיף לכל צד של השוויון 5 (או במילים אחרות, נעביר 5 לאגף ימין): 5 = 7 +5 = = ולבסוף נחלץ : האות מסמנת את המספר הנעלם, או בקיצור, את = 7 (5 ) + בשוויון הנעלם. שוויון, המכיל את הנעלם המסומן באות, מכונה משוואה. הביטוי הנמצא לשמאל הסימן "=" מכונה אגף שמאל של המשוואה, הביטוי מימין לסימן השוויון מכונה אגף ימין. כל מחובר באגף שמאל או ימין מכונה איבר המשוואה..7, 5 במשוואה = 7 5 אגף שמאל הוא: אגף ימין: כאשר =, אגף שמאל של המשוואה שווה ל- 7, מכיוון ש- = 7 5 ; אגף ימין גם הוא שווה ל- 7. ובכן, כאשר = המשוואה הופכת לשוויון. מספר מכונה שורש המשוואה. את הערך הנעלם אשר הופך את המשוואה לשוויון מכנים שורש המשוואה. לדוגמה, מספר הוא שורש המשוואה, + = 5 מכיוון שהביטוי = 5 + הוא שוויון אמת. למשוואה יכולים להיות שניים, שלושה ויותר שורשים. למשל: ( )( ) = 0 משוואה ממעלה ראשונה
למשוואה זו שני שורשים: ו-, מכיוון שגם כאשר =, המשוואה הופכת לשוויון שמאל. למשוואה: שלושה שורשים: וגם כאשר = = 0 0; אולם אף ערך אחר של ( )( + 4)( 5) = 0.5 ו- -4, אינו מאפס את אגף למשוואה יכולים להיות אינסוף שורשים. לדוגמה, כל הוא שורש המשוואה ), ( = מכיוון שאגף שמאל שווה לאגף ימין עבור כל ערך של. יש משוואות שאין לדוגמה, למשוואה להן שורשים. + + 5 = אין שורשים, מכיוון שעבור כל ערך של אגף שמאל גדול יותר מאגף ימין. לפתור משוואה משמע למצוא את כל שורשיה או לקבוע שהם אינם קיימים. הוא =. במקרים פשוטים אפשר לנחש את שורש המשוואה. לדוגמה, אפשר לנחש ששורש המשוואה = + אולם, הניחוש אפשרי רק במשוואות פשוטות ביותר. למשל, קשה מאוד לנחש, שהמשוואה - = - 7 - + - 0 הופכת לשוויון כאשר = 7. לכן חשוב ללמוד כיצד לפתור משוואות מכל סוג שהוא. לאחר תרגום משפת דיבור של בני אדם לשפת המתמטיקה, בעיות מעשיות רבות מתוארות במשוואה מסוג: כאשר () a = b a ו- b הם מספרים נתונים, ו- הוא נעלם. משוואה מסוג זה לדוגמה, המשוואות מכונה משוואה - 6 5 + 4( + ) פשוטה או ממעלה ראשונה. 5 = -,- =, = משוואה ממעלה ראשונה הינן משוואות ממעלה ראשונה.
תרגילים רשמו בצורה של שוויון: המספר 4 גדול ב- 8 ממספר ; המספר 56 גדול פי- מה מספר 4; חצי סכום המספרים ו- 5 שווה למכפלתם.. איזה מהמספרים: או (-) הוא שורש המשוואה?. + = 6-6 = 5-8 = + 4 + 5 4-4 =? איזה ערך של הופך את המשוואה לשוויון? - = 5 + = 0 5 = 6 8 = 7 האם בין המספרים -, נמצא שורש המשוואה?,0 ( + ) = 4 +? 5( + ) - 4 = 4-4( ) = = 0 6 7( + ) -..4 5. הרכיבו משוואה, שאחד משורשיה הוא מספר: -4 0 5 4 = + a מצאו מספר a כזה, שלמשוואה יהיה שורש: = 0. = - = = ב דקו, האם למשוואה יש שורשים עבור ערך של a נתון? + 5, + a = כאשר = ;a, + = + a כאשר = 4 a. עבור איזה ערך של a למשוואה יש שורשים? ר שמו את המשפט בצורת השוויון, ומצאו, שעבורו השוויון מתקיים: ;75 מהווה 8% המספר מהמספר מספר 5 מהווה 5% מהמספר. משוואה ממעלה ראשונה 4.6.7.8
9. מ צאו, המקיים את השוויון: ( ) = 0 = 0 ) ( ( )( + )( ) = 0 = 0 4) )( ( + מ צאו את כל הערכים של, שעבורם מתקיים השוויון: = 0 = = =.0 פת רון משוואות ממעלה ראשונה עם נעלם אחד (חזרה). פת רון משוואות ממעלה ראשונה עם נעלם אחד מבוסס על תכונות השוויונות. נזכירכם:. השוויון ממשיך להתקיים אם מוסיפים לשני האגפים או מחסירים משני האגפים אותו מספר: אם a, = b ו- m- מספר כלשהו, a + m = b + m אז: a m = b m 7 = 7 דוגמה 7 + = 7 + 7 = 7. אם מכפילים או מחלקים את שני אגפי השוויון בּמספר, שאינו שווה לאפס, אז השוויון ממשיך להתקיים: אם a = b ו- 0 m, אז: a m = b m a:m = b:m דוגמה 7 = 7 7 = 7 7: = 7: מהתכונה הראשונה נובע, שמותר להעביר מחובר מאגף לאגף, אם משנים את סימן ;a = b + m המחובר לנגדי: נניח ש- נוסיף לשני האגפים של השוויון את המספר (m-): משוואה ממעלה ראשונה 5
a + (-m) = b + m + (-m) a m = b כלומר, m הועבר מאגף ימין לאגף שמאל עם סימן "מינוס". 5.9 = פ תרו את המשוואה: דוגמה אם שורש המשוואה, אז המשוואה הופכת לשוויון. נשתמש בתכונות השוויונות: נעביר איבר 5 לאגף שמאל עם סימן "מינוס", ואיבר- לאגף ימין עם סימן "פלוס"..9 5 = - נקבל את השוויון:,4 = נכנס איברים דומים: נחלק את שני האגפים ב- 4, ונמצא. = : המסקנה: אם למשוואה יש שורש, הוא שווה ל-. אולם, ישנה אפשרות, שלמשוואה אין שורשים; במקרה זה המספר איננו שורש המשוואה. כדי לבדוק זאת, יש להציב את התוצאה = במשוואה המקורית ולבצע.5 = 5 = 4 חישובים: = 4 7 = ;9 המשוואה הפכה לשוויון, לכן = הוא אכן שורש המשוואה. פתרון בעיה זו התבסס על תכונות המשוואות, הדומות לתכונות השוויונים: מותר להעביר כל איבר במשוואה מאגף אחד תכונה לשני, כאשר משנים את סימן האיבר לנגדי. את שני אגפי המשוואה מותר להכפיל או לחלק. תכונה בּ מספר, שאינו שווה לאפס. באמצעות התכונות הנ"ל פותרים את המשוואה במעלה ראשונה באופן הזה: ואיברים מעבירים איברים המכילים את הנעלם לאגף שמאל, שאינם מכילים נעלם לאגף ימין; מכנסים איברים דומים; מחלקים את שני אגפי המשוואה בּמקדם האיבר המכיל את הנעלם (אם הוא אינו שווה לאפס). ) + 4(.( + ) ( + ) = 5 פּ תרו את המשוואה: דוגמה משוואה ממעלה ראשונה 6
נפשט את שני האגפים: נפתח סוגריים ונכנס איברים דומים. כתוצאה נקבל: + 6 6 = 5 4 4 - = -4 + 4 = = = תשובה: = הערה: במשוואה שאינה מכילה שברים עם נעלם במכנה אין צורך להציב את השורש שנמצא במשוואה ולבדוק את השוויון! 5 דוגמה 4 פּ תרו את המשוואה: - - = + - 5 6 נכפיל את שני אגפי המשוואה במכנה המשותף של כל השברים, כלומר 6, ונקבל משוואה ללא שברים: 5 *6 - - - 5 *6 = *6 + 6 *6 5 ( ) = 6 + ( 5) נפתח סוגריים ונכנס איברים דומים: 5 + 6 = 6 + 5 + 6 = + = -5 = - 5 = - 5 תשובה: בדוגמאות הנ"ל לכל משוואה היה שורש אחד. אולם יכול לקרות, שלמשוואה עם נעלם אחד ממעלה ראשונה אין שורשים בכלל, או שכל ערך של נעלם הינו שורש המשוואה. לדוגמה: דוגמה 5 פ תרו את המשוואה: ).( + ) = ( נפשט את שני האגפים: + = + + = + = נעביר איברים: 0 = נכנס איברים דומים: למשוואה זו אין שורשים, מכיוון שאגף השמאל 0 שווה לאפס עבור כל ערך של, ולכן אינו שווה ל-. תשובה: אין שורשים. משוואה ממעלה ראשונה 7
פ תרו את המשוואה: ) + = 5.( + = 5 5 = 5 דוגמה 6 נפשט את המשוואה: השוויון האחרון מתקיים עבור כל ערך של, משמע, כל ערך של הינו שורש המשוואה. תרגילים. פ תרו את המשוואה (בעל-פה): +8 = = 5 +. =.7 = 0.75 0.5. פ תרו את המשוואה (בעל-פה): 8 = - 9 = 0-5 = - 5 = 0 0 ד 4 ) - 4 = = פ תרו את המשוואה ( ): = 9 = - 7 5. -0 = 0.5 0.7 = 49. = -.69 = 6 0..4 7 +8 = = 9-5.5 4 + 4 = + 5 5 = 0 - = 5 7) + ( 5 + = 9 8) + (7 8 5y) 8y 9 (4y 5) = y (4 + + 9 79) (0 + y 4 + 8y + 8 = = 7 6) + 7( 5( ) ( 7) + -6 = y) (y 4) + 0(5 y) (4 = 9 4z) 5(8z ) 7(4z + ) + 8(7 = 5 4) 0( ) (5 + ) + 5( משוואה ממעלה ראשונה 8.6.7
4 + 7 5 - - 7 4 + - + 7 + = 0 5-5 - ד ( 0.7 +.98 = 0.7.76 0.8y 7.4 = 0.05y 5.7 5(5 ).7 + 0. = 6.5 0.5 ב ( ד ( 0.6 0.6 = 0.(0.4 -.) - 7 9 + 4-5 7 - + 5 = - - = - 4 8 4 4-9 - 5 = - 8 - + 5 - - 4-5 - = 4 הראו שלמשוואה אין שורשים: 8 0 = + 5 6 6 5 7 = 4 5 + 4 +4 + - - - 7 + 5 = + 5 + = 5 + 5 5 4 פ תרו את המשוואה והוכיחו שכל מהווה שורש המשוואה:.7.4.9.6 5 = 6 + y + y 4 = 4 = 0 4 + = 9 6 + 9 7 + 6 9 + 4 5 = 8 + 7 9 + 5 6(. 0.5). = 5.9-8(. + 0.5) 6.6 =.8 + 6% הרכיבו משוואה ופ תרו אותה: אם להקטין מספר אם להגדיל מספר ב- ב- אז ייצא מספר 0% אז ייצא מספר 8 - y 6 7 = - 5 + 5 = 8-4 5 = 9 + + 4 9 + 5-4y = y + 6.8.9.0....4 משוואה ממעלה ראשונה 9
מכפלת המספרים 4 ו- גדולה פי- מסכום המספרים ו-..08 7.6 = 5.8 פ תרו את המשוואה, אם המספרים a ו- b אינם שווים לאפס: סכום המספרים 7 ו- קטן פי- מרבע המספר. פ תרו משוואה בהתבסס על תכונות היחס: 0.07.5 =.6 0.09 =.7 = 0. 6.8.8 0. + b = a 4 ) a( b = - b ו) = - a ה) a = b = 0.48 = 0.0 = a = b ) (b = a 4 פתרו את המשוואה: =.5 ה) =.5 ו) 5 =.5.5.6.7 מערכת המשוואות ממעלה ראשונה. תלמיד בחר שני מספרים ואמר, שסכומם שווה ל- 0 והפרשם שווה ל- 4. דוגמה האם אפשר על-פי הנתונים האלה לנחש מה המספרים? y. ואת השני באות נסמן את המספר ראשון באות על-פי נתוני הבעיה אפשר לרשום: () + y = 0 () y = 4 אם שני הביטויים הם שוויונות אמת, אז אפשר לחבר אותם (כלומר לחבר ביניהם את אגפי שמאל וימין בהתאם). ( + y) + ( y) = 0 + 4 נקבל שוויון אמת: = 4 = 7 נפתח סוגריים ונקבל: כעת נחסיר מהשוויון () את השוויון (): ( + y) - ( y) = 0 4 y = 6 y = = y. = 7, תשובה: משוואה ממעלה ראשונה 0
בשוויונות () ו- (), האותיות מסמנות את הנעלמים, וכך השוויונות הופכות למשוואות; בשתי המשוואות הופך את המשוואות למערכת: אותן האותיות מסמנות את אותם הנעלמים, () וזה מכיוון שבשתי המשוואות שני הנעלמים מופיעים במעלה ראשונה, מכנים את המערכת מערכת של שתי משוואות ממעלה ראשונה. עוד דוגמה של מערכת עם שני נעלמים: נוודא ששני המספרים לזוג המספרים (4) = ו- y = -5 (; -5) קוראים הופכים כל משוואה לשוויון: פתרון המערכת (4). פ תרון מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים כאלה, שהופכים את כל המשוואה של המערכת לשוויון. הוא זוג מספרים לפתור מערכת משוואות משמע למצוא את כל הפתרונות או לקבוע שלמערכת אין פתרונות. ככלל, מערכת של שתי משוואות משני נעלמים נרשמת כך: y ו- כאשר c,b,a,c,b,a הם מספרים נתונים, ו- ו- y נעלמים. לדוגמה, במערכת (): + y = 0 - y = 4 ( + y) = + y 5 + y = 0 ( - 5) = * + *(-5) 5* + *(-5) = 0 a + b y = c a + b y = c.c = 4,b = -,a =,c = 0,b =,a = של משוואה ממעלה ראשונה
במשוואה תרגילים ממעלה ראשונה עם שני נעלמים יש לבטא תחילה ואחר-כך את את.y =, + 0.5y = 6 : y = - + 7y = y באמצעות באמצעות y, = 5 y + 5 y = 6 מצאו ערך של (בעל-פה) המהווה שורש המשוואה כאשר האם זוג המספרים = 40, y = 0 הינו פתרון המערכת + y = 60 - y = 0 y =, = 4 (בעל-פה) המערכת בדקו, האם זוג המספרים הוא פ תרון?.5 - y = 5-6y = 4 + y = 6 + y = 4 נתונה מערכת המשוואות: איזה משני זוגות המספרים מהווה את פתרון המערכת: - = y? =, = 0, y = נתונה מערכת המשוואות: + y = - - y = 5 איזה משני זוגות המספרים מהווה את פתרון המערכת: -6 = y? = 6, = 0, y = 0 חברו מערכת של שתי משוואות ממעלה ראשונה משני נעלמים, שפתרונה זוג = 7, y = 5 המספרים האלה: - = y = 4,....4.5.6.7 משוואה ממעלה ראשונה
8. נתונה מערכת משוואות: - y = c + 4y = c ידוע שזוג המספרים = y =,5 מהווים את פתרון המערכת. a - y = + by = 9 מצאו את c ו-.c נתונה מערכת משוואות: ידוע שזוג המספרים - = y =, הם פ תרון המערכת. מצאו את הערכים של a ו- b..9? - y = 4 - y = האם למערכת המשוואות יש פתרון: נחשו שני פתרונות של המערכת: + y = 5 + y = -.0. u + v = 0 u*v = u + v = 7 u*v =.4 שיטת ההצבה () דוגמה נעביר את פ תרו את מערכת המשוואות: + y = 5 + y = 4 מאגף שמאל לאגף ימין של המשוואה השנייה: () y = 4, במשוואה הראשונה נציב במקום y את ביטויו באמצעות כפי שקיבלנו מהמשוואה השנייה: + (4 ) = 5 + 8 4 = 5 נפתח סוגריים: נכנס איברים דומים: - = - משוואה ממעלה ראשונה
= ונקבל : נציב ערך של במשוואה,() ונמצא את : y y = 4 - = נציב את ערכי הנעלמים במערכת המקורית, פתרונה: + * = 5 * + = 4 ונוודא שהם אכן מהווים את ובכן, זוג המספרים =, y = הוא אכן פתרון המערכת (). השיטה שבה השתמשנו כדי לפתור את מערכת המשוואות () מכונה שיטת ההצבה. על-פי שיטה זו: באחת ממשוואות המערכת (לא משנה, איזו) מבטאים נעלם אחד באמצעות הנעלם השני, לדוגמה, מבטאים y באמצעות ; מציבים את הביטוי שהתקבל במשוואה השנייה, ומקבלים משוואה עם נעלם אחד (בדוגמה הנ"ל הנעלם הוא- ); פותרים את המשוואה ומוצאים את הנעלם (); מציבים את הערך של שמצאנו בביטוי של y, ומוצאים את y. דוגמה פתרו מערכת המשוואות: - y = 6 5 + y = -5 מהמשוואה הראשונה מוצאים: -y = 6 6 - y = - y = -8 + מציבים במשוואה השנייה: פותרים את המשוואה: 5 + *( -8 + ) = -5 5-4 + 9 9 = -5 = 9 = משוואה ממעלה ראשונה 4
y = -8 + מציבים את התוצאה ( = ) בביטוי של y: ומקבלים: -5 = * -8 + = y. תשובה: -5 = y. =, 6 + y = - y = - + y = - y = -8 פת דוגמה רו את מערכת המשוואות: נפשט את משוואות המערכת: מהמשוואה הראשונה מחלצים את : = y מציבים את הביטוי של במשוואה השנייה: ( y) y = -8 פותרים את המשוואה: 4 4y y = -8 7y = 4 y = 6 = y מציבים את הערך של y בביטוי ומוצאים את :. = - 6 = 0 תשובה: = 6 y. = 0, תרגילים. בטאו כל נעלם באמצעות נעלם אחר בכל משוואה: y = 5 y = 0 = 7 y + 5y = + y = 7 = y + ה) ו) פ תרו את מערכת המשוואות: משוואה ממעלה ראשונה 5
y = - 5-4y = 8 = 4 y 5 + ג ( = + y = + y - y = 9. - 5y = 8 = -y y = - 4 ו ( 8 = 5 - y ה) - y = y = - 5 + y = 5 - y = - y = 7 - y = - + 5y = 7 - y = 4. = 5y - + 8y = - ה) ו) - y = 0 - y = 5 y - = 5 5 + y = + y = + y = 8 5 + y = 5 4 - y = 0.5.4-5y 4 = - 5 6 + 7y 8 = 6 5 + y 5 = -4 - y 6 = 6 + y 9 - y 6 - - y = - + y ( - y) + 5 = ( - ) 4 - ( + y) = 4 - y - 5(0.y - ) = ( + ) + y 4( - y) -( + y) = - ( + y) 0 + 5( - 5y) = 6( - 4y) + (y + 5) = -5 - (y - ) (y - ) - (5y + ) = 5( - ) 7-6( + y) = ( - ) + y = -0 ב ( משוואה ממעלה ראשונה 6 + y + y - - y = 8 + - y 4 =.5.6
7 - y + = 6 - y ( - y) - = 5y - 8 4 ( - 7) = (y - ) + - y = 5-4y - = 0 + y - 8 = 0 5y - - 6 = 0 + 4y - 7 = 0.7 7 - y = - -8 + 5y =.5 7y - = - + 4y = 4.5-5y + y - = 7 - y 7-8y + = 4 5 ה) שיטת החיבור ו).5 דוגמה ו- אם פ תרו את מערכת המשוואות ממעלה ראשונה: 7 - y = 7 () 5 + y = y הם פתרונות המערכת, אזי המשוואות הופכות לשוויונות, ומותר + 7 y = 7 + 5 + y = = 60 y - 7 + y = - 5 + 5y = + + y 4 לחבר את האגפים התואמים:. = 5 מכאן מקבלים: נציב את הערך של באחת ממשוואות המערכת, לדוגמה, במשוואה הראשונה, 7 5 y = 7 5 -y = 7 -y = -8 y = 4 ונפתור אותה לגבי y: משוואה ממעלה ראשונה 7
נוודא שהערכים שמצאנו הם אכן פתרון המערכת: 7*5 - *4 = 7 5*5 + *4 = שני השוויונות נכונים. תשובה:. = 5, y = 4 השיטה שהשתמשנו בה מכונה שיטת החיבור האלגברי. כדי לבטל מהנעלמים, מחברים או מחסרים אגפים תואמים של משוואות המערכת. אחד דוגמה פ תרו את מערכת המשוואות: נחסיר משוואה שנייה מהראשונה: 5 + y = 9 5-4y = 8-5 + y = 9 + 5-4y = 8 7y = מכאן מקבלים: = y. נציב ערך זה של y במשוואה השנייה: 5 + = 9 פותרים לגבי : 5 + 9 = 9 5 = 0 = 4 תשובה: = y. = 4, מהדוגמאות הנ"ל רואים ששיטת החיבור האלגברי מתאימה למערכת שבהּ מקדמי אחד מהנעלמים שווים או נגדיים בסימנם בשתי המשוואות. אולם, גם אם תנאי זה אינו מתקיים, אפשר להשתמש בשיטת החיבור האלגברי, אם להכפיל את שתי המשוואות בגורמים המתאימים, המשווים את מקדמי אחד מהנעלמים. + y = 0 5 + y = דוגמה פ תרו מערכת המשוואות: משוואה ממעלה ראשונה 8
נכפיל את שני האגפים של המשוואה הראשונה ב-, של המשוואה השנייה - ב-, ונחסיר מהמשוואה השנייה את הראשונה: + y = 0 9 + 6y = 0 5 + y = 0 + 6y = 4-0 + 6y = 4 9 + 6y = 0 = -6 נציב ערך של במשוואה הראשונה: (-6) + y = 0-8 + y = 0 y = 8 y = 4 תשובה: = 4 y. = -6, ובכן, כדי לפתור מערכת של משוואות ממעלה ראשונה בשיטת החיבור האלגברי, יש לפעול כך: להשוות ערכים מוחלטים של מקדמי אחד הנעלמים באמצעות כפל בגורמים מתאימים; לחבר או להחסיר את המשוואות ולמצוא נעלם אחד; להציב את הנעלם שנמצא באחת מהמשוואות של המערכת המקורית, ולמצוא את הנעלם השני. דוגמה 4 פ תרו את מערכת המשוואות: 4 - y = 4 + y = - נשאיר את המשוואה הראשונה ללא שינוי ונכפיל את השנייה ב- 4: 4 - y = 4 + y = - 4 4 + 8y = -8 4 - y = 4 4 + 8y = -8 נחסיר מהמשוואה השנייה את הראשונה: משוואה ממעלה ראשונה 9
- 4 + 8y = -8 4 - y = 4 y = - y = - : במשוואה השנייה ונמצא את y = - + (-) = - 4 = - =. =, y = - נציב תשובה: תרגילים פ תרו את המערכת על-פי שיטת החיבור האלגברי: 5 - y = 6 7 +y = 6 + y = - y = 9. + y = 7 4 + 7y = 40 y - = -4 + 9y = 4-5y = 4-5y = 7 y - = 6 + 5y = y - = 9 + 4y = 4-5y = - + y = 8 4 + y = -5 5 + y = - 4 + y = -4 6 + 5y = -7 5 + 6y = 0 7 = 9y + 4y = 4 5 + y = 66.. 4 + y 4 = 6 + y = - y = 4 + y = 8.4 משוואה ממעלה ראשונה 40
5 - - y 5 = y - + y = - y - 4 = 0 5 + y + = 0 7 - y + = 0 4-5y + 7 = 0 ב ( + - y 4 = y - + y = + 5y - 7 = 0 - y = - 6 + y + = 0 - y + 5 = 0.5 - y = ( - ) - = y - 5( + ) = y + 6 ( - ) = y - 6.6 7( + y) - 5( + y) = 6 ( + y) - ( + y) = -6 4( - ) - (y + ) = ( + ) - ( - y) = 5 + y + y 4.5 - y - y + + - y - y - = 6 = - - - y 4 + y + = 4 = 6 + y - = + 4 = משוואה ממעלה ראשונה - y = 5 + y = 0 ( + )(y + 5) = ( + )(y + 8) ( - )(5y + 7) = (5-6)(y + ) ( + 5)(y - ) = ( + )(y - ) ( - 4)(y + 7) = ( - )(y + 4) ( + 4)(6 - y) = ( + )(9 - y) ( - )( - 5y) = (5 - )( - y) ( + 7)( - y) = ( + )(4 - y) ( - )( - y) = ( - )(9 - y) 4.7.8
.6 שיטת ההשוואה לפי שיטה זו, מבטאים את אחד מהנעלמים באמצעות הנעלם השני בשתי המשוואות, ומשווים את אגפי הימין (המכילים רק נעלם אחד). 5 = -8y - 9 = -5y + דוגמה פ תרו את המערכת: 5 + 8y = -9 + 5y = נפתור שתי המשוואות לגבי : נשווה את אגפי הימין של שתי המשוואות, ונקבל משוואה עם נעלם אחד: נפתור אותה: (-8y 9) = 5 (-5y + ) -4y 57 = -5y + 5 y = 7 באחד הביטויים של ונחשב את הנעלם השני: = -8y - 9 5.5-4y = 4.5 + 8y = 9-8y = 4 9 + 6y = 7. = -79, y = 7 נציב y תשובה: תרגילים פ תרו את המערכת על-פי שיטת ההשוואה: = -5*7 + = = -5y + -8y - 9 5-5y + = -79 a + b = 0 a - b = -5 6-5y = 8 5-7y = 0.. משוואה ממעלה ראשונה 4
פ תרון מערכת המשוואות בשיטה גרפית המשוואה שמכילה שני נעלמים מבטאת את הקשר ביניהם בשפה מתמטית. לדוגמה, אם מייצג את מספר שעות הנסיעה של רכב, הנוסע במהירות 60 קמ"ש, ו- y את המרחק בקילומטרים שאותו עבר הרכב בזמן זה, אז המשוואה y = 60 מבטאת את הקשר שבין המרחק לזמן. כפי שראינו בסעיף הקודם, גם כאשר הקשר הוא מורכב יותר, אפשר לבטא נעלם אחד באמצעות הנעלם השני. לדוגמה, מהמשוואה = 0 5y 5 + אפשר לבטא y באמצעות.y = : צורה זו של המשוואה היא הצורה של פונקציה, שמייחסת ערך מסוים של y לכל ערך של. אחד מייצוגיה של פונקציה הוא הייצוג הגרפי, שבו לכל זוג ערכים של (y,) מתאימה נקודה בעלת הקואורדינטות של (y,) במערכת צירים. אוסףכל הנקודות (y,) מהווה גרף של הפונקציה. במקרה של משוואה ממעלה ראשונה הגרף הוא קו ישר. כדי לשרטט ישר, מספיק לחשב קואורדינטות של שתי נקודות כלשהן, שדרכן הוא עובר. () לדוגמה, נעיין במשוואה - = y () y = + נבטא y באמצעות : זוהי פונקציה קווית,y() שהגרף שלה הוא ישר. נבחר (שרירותית) שתי נקודות: :y נחשב את ערכי הפונקציה. = - ו- = 0 y = + 0 0 - :(-, 0) גרף הפונקציה הוא ישר העובר דרך הנקודות (,0) ו- פתרון גרפי של מערכת משוואות ממעלה ראשונה 4
(-, 0) y y = + (0, ) -4 - - - - 4 - - אפשר להוכיח שגרף של כל משוואה ממעלה ראשונה a + by = c הוא ישר. כעת נשרטט באותה מערכת הצירים את הגרף המתאר את המשוואה () + y = 4 y = - + 4 נבטא את y באמצעות : נחשב קואורדינטות של שתי נקודות y = - + 4 כלשהן, לדוגמה: = 0 ו- = : 4 0 0 נשרטט את הגרף: y (0, 4) 4 y = - + 4-4 - - - - 4 (, 0) - 44 פתרון גרפי של מערכת משוואות ממעלה ראשונה
נמצא את השיעורים (y,) של נקודת המפגש של שני הגרפים. מכיוון שנקודת המפגש שייכת בו-זמנית לשני הישרים, אז המספרים ו- y הם פתרונות המערכת של שתי המשוואות: - y = - + y = 4 נפתור את המערכת (למשל, בשיטת החיבור) ונקבל: =, y. = ובכן, הישרים - = y ו- + y = 4 נפגשים בנקודה (,). את שיעורי נקודת המפגש אפשר למצוא גם באמצעות הגרף. במקרה זה אומרים שה פ תרון נמצא בדרך גרפית. כדי לעשות זאת צריך: לשרטט גרפים של כל אחת ממשוואות המערכת במדויק; למצוא את שיעורי נקודת המפגש (אם הגרפים אכן נפגשים). יש לזכור שהפ תרון הגרפי, לעומת הפ תרון האלגברי, הוא פתרון מקורב; חשיבותו בנוחיות וביכולת בדיקה מהירה של הפתרון האלגברי. y 4-4 - - - - 4 - דוגמה מצאו את הקואורדינטות של נקודת המפגש של שני ישרים: + y = 0 ו- 7 6y = 0 פתרון גרפי של מערכת משוואות ממעלה ראשונה 45
7-6y = 0 + y = 0 7-6y = 0 + 7-6y = 0 + y = 0 6 + 6y = 0 נפתור את המערכת: נשתמש בשיטת החיבור האלגברי: 70 = 0 = 7 y = (7/6) 0 7/ 7* 7-6y = 0, - 6y = 0, y = ( תשובה: 7 ), נבדוק את תשובה באמצעות הפת רון הגרפי. 0 בונים את גרף המשוואה = 0 6y 7. נפתור לגבי. y = 7 :y 6 y (, 7/) נחשב שיעורי שתי נקודות כלשהן: נשרטט את הנקודות במערכת צירים ונעביר ונעביר דרכן את הישר: ( 0, 0) - - - - בונים את גרף המשוואה השנייה: = 0 y. + נחשב את שיעורי שתי הנקודות על הגרף: נציב במשוואה = 0 ונקבל: = 0,y ;y = 5 עבור הנקודה השנייה נציב = 0,y ונקבל: = 0,. = 0 Ó 0.48 פתרון גרפי של מערכת משוואות ממעלה ראשונה 46
y נשרטט את הנקודות במערכת צירים (0,5) 5 ונעביר גרף: y 4 5 0 0 0.48 / - - - /7 (0.48, 0) רואים, ששיעוריה של נקודת המפגש הם כמו שמצאנו בפתרון האלגברי:.y = 0.5, 0.48 קיימות שלוש אפשרויות למיקום היחסי של שני ישרים במישור: הישרים נפגשים, כלומר קיימת נקודה משותפת אחת. במקרה זה למערכת המשוואות, המתוארת על-ידי שני הישרים, קיים פתרון יחיד. הישרים מקבילים, כלומר הם לא נפגשים; במקרה זה למערכת המשוואות אין פתרון. שני הישרים מתלכדים. במקרה זה למערכת אינסוף פתרונות. דוגמה פתרו את מערכת המשוואות: + y = 6 + 4y = 8 נכפיל את המשוואה הראשונה ב- : + 4y = + 4y = 8,y אגפי השמאל של שתי המשוואות שווים עבור כל הערכים האפשריים של ו- ואגפי ימין אינם שווים; לכן למערכת אין פ תרון. תשובה: אין פתרון. פתרון גרפי של מערכת משוואות ממעלה ראשונה 47
נוודא שתוצאה זו מתקבלת גם בפת רון הגרפי:. + y = 6 נבנה גרף של המשוואה הראשונה: y 0 0 6 y נחשב את שיעורי שתי הנקודות: = 0 y = 6 y = y = 0 = 6 נשרטט גרף: + y = 6-4 5 6 - y 0 - נבנה גרף של המשוואה השנייה: = 8 4y. + נחשב את שיעורי שתי הנקודות: = 0 4y = 8 y = 0 y = 0 = 8 = 4 4 נשרטט גרף במערכת הצירים שבה שרטטנו את הגרף הראשון: y + y = 6 - - 4 5 6 + 4y = 8 - רואים, שהישרים אכן מקבילים, כלומר למערכת אין פתרונות. פתרון גרפי של מערכת משוואות ממעלה ראשונה 48
הוכיחו שהישרים = y ו- = 6 6y מתלכדים. 6y = 6 דוגמה מכיוון שהמשוואה המשוואה מתקבלת על-ידי הכפלת שני האגפים של y, ל- ב-, שתיהן מבטאות את אותו הקשר שבין y = והגרפים שלהן זהים, כלומר אותו הישר. נשרטט אותו: נחשב את שיעורי שתי נקודות כלשהן. נבחר נקודות "נוחות" (כאלו, שאחד = 0 -y = y = - y = 0 = = 0-6y = 6 y = - y = 0 = 6 = מהשיעוריםשווה לאפס):. y =. 6y = 6 y - 0 0 כצפוי, שיעורי שתי הנקודות עבור שני הישרים הן שוות. נשרטט גרף של המשוואות: y - - - 6y = 6 - - y = 4 5 6 משמעות המסקנה היא שלמערכת: - y = - 6y = 6 (,y) יש אינסוף פתרונות: השיעורים מהווים את פ תרון המערכת. של כל נקודה השייכת לישר 49 פתרון גרפי של מערכת משוואות ממעלה ראשונה y =
מי צודק? שני תלמידים שקראו את הפרק שסיימתם זה עתה, טענו שהבינו את העיקר. תלמיד אמר: "עכשיו הבנתי מדוע למערכת של שתי משוואות ממעלה ראשונה עם שני נעלמים יש במקרה הכללי פיתרון אחד. זה בגלל ששני ישרים נפגשים בנקודה אחת". תלמידה אמרה: "ואני זה עתה הבנתי מדוע שני ישרים נפגשים בנקודה אחת! זה בגלל שלמערכת של שתי משוואת ממעלה ראשונה עם שני נעלמים יש פ תרון אחד." מי צודק? תרגילים מ צאו את שיעורי נקודות המפגש של הישרים עם הצירים ו- y: הערה: y + 5 = 0 y + = 0 + y = 5 + y = להזכירכם, שיעור- של כל נקודה השייכת לציר- y שווה ל- 0; שיעור- y של כל נקודה השייכת לציר שווה ל- 0.. בנו את גרף המשוואה: + 5 y = -4 = 7 y + ה) = 0 6 y = y + = 0 7 4y ו) = 0 0 + 5. בנו גרפים של המשוואות y = + ו- מצאו את שיעורי נקודת המפגש של הגרפים. בדקו, האם הצבת השיעורים-. + y = y ו- פ תרו את מערכות המשוואות בשיטה הגרפית (4 5): הופכת את המשוואות לשוויונות. y = - y - = -4 y = 4 - y = y = 4 y - = y = - y = -..4 פתרון גרפי של מערכת משוואות ממעלה ראשונה 50
+ y = - y = ב ( + y = 5 - y = 5. + y = 6 + y = 7 + y = 5 - y = 5 + y = + y = -6 4 + = 6 + y = 4 מצאו את שיעורי נקודת המפגש של הישרים: + y = 8 - y = + y = y - = 4.6 7. הראו שלמערכתאין פ תרון: + y = 6 = - y y = 6 - y = 8. הראו שלמערכת אינסוף פתרונות: - y = - y = 6 + y = 0 + y = 0 הראו בדרך גרפית, שלמערכת פ תרון יחיד:.9 + y = 7 - y = + y = - y = חברו מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים ממעלה ראשונה, אשר פתרונה שיעורי נקודת המפגש של גרף המשוואה = 7 y 4 + חברו מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים ממעלה ראשונה, אשר פתרונה שיעורי נקודת המפגש של גרף המשוואה = 7y 5 - עם ציר.O עם ציר.O.0. חברו משוואה עם שני נעלמים ממעלה ראשונה, אשר יחד עם המשוואה = 4 y תהווה מערכת בעלת: אף פת רון. פתרון יחיד אינסוף פת רונות. פתרון גרפי של מערכת משוואות ממעלה ראשונה 5
תשובות.. הדרכה: הציבו את המספר הנבדק במשוואה. 0. 8-4 7 4. הדרכה: פתרו את המשוואה. הדרכה: הציבו במשוואה את השורש הנתון ופתרו אותה לגבי a. הדרכה: הציבו במשוואה את הערך הנתון של a, ופתרו אותה לגבי., -, =, = - -, 4 0, 0, =, = - 0, = 0 א. ( 45 0 5 5-6- 7.- 70 5 4 7 7 0 7 0 4 5 5 0.5 0.05- - 46 4 5 4.5- - - 4 7 -.6.7.9.0..0-46 0-5. 5 7 6 0. - הדרכה: פשטו את המשוואות וקבלו משוואה ממעלה ראשונה. 8-7 4. 0 8 5.5 8.4 0.0 0. - a a + b ה) ו) a - a - 4 b +.6 + b b b a b a.7 -.5.5, -, -0.4 0.4, 0.0, -0.0 0.575, -0.575-0. 0., ה) ו) =, = -..4.5.6.7.8.9 פתרון גרפי של מערכת משוואות ממעלה ראשונה 5
א... דוגמה: y = 5 -, = 5 y = 5. 5-6 ה. דרכה: ישנן שתי דרכים לפ תרון: לפתור את המערכת או להציב כל זוג ולבדוק. הדרכה: חברו שני ביטויים אלגבריים, שהופכים לשוויונות כאשר מציבים בהם את ערכי ו- y הנתונים. הדרכה: הציבו את הנתונים במערכת. אין אין הדרכה: הציבו את הנתונים במערכת וקבלו מערכת לגבי המקדמים a ו- b. הדרכה: נחשו בעצמכם. (.7.8.9.0. = y = 5, - y= =, = y = 4, - = ה) = ו) - = y =,, y = - 7 4, y = = y =, -0 = y = -7, =, y = 5 6 = - 65 ו) = 5, y = 5 ה) =, y = 94 9, y = - = 6 y = 0, = 5, y = 5 =, y = 4 = - 8 9, y = - 05 9 = - = y =,, y = - 7 = - 5 7, y = 7 = 0 y = 0, = y = 5, = 6 y = 8, = 4 y = 5, = 5 y = 5, = 8.5, y =.79 =, y = - - = y = 5, = y = -, 7 7 ה) ו) 4 =, y = 0 =, y =.4...4.5.6.7 פתרון גרפי של מערכת משוואות ממעלה ראשונה 5
= -, y = 6 - = y =, = 4 y =, = y =, = y = -, - = y = -4,.5 = y = 4,. - = y =,. = -, y = 0 = 9, y = 7 =, y = 6 =, y = -. =, y = 7 = 5, y = = 4, y = 4 = 9 y = 8,.4 =, y = 5 = -, y = = y =, =, y = - 7 6.5 = -6, y = 0 =, y = - = -, y = = y =,.6 = 4, y = -6 = 4, y = - = y = 5, = 7, y = 7 (.4, 0), (0, 6) =, y = 0 (0.5, 0), (0, ) =, y = 0.75 = 7, y = 5 ה) = 9 y =, = y =, = 4, y = 5 =, y = 6 = y =, = y = -, (-, 0), (0, ) - = y =, - = y =, -4 = y =, = 7, y = 8 = 5, y = 8 =, y = a = -5, b = 5 = 7, y = 4.6 (-5, 0), (0, 5) =, y = 4 =, y = = 9, y = 7 4 7. 8..6.. 4. 5. 6. פתרון גרפי של מערכת משוואות ממעלה ראשונה 54
4 משוואות ממעלה שנייה (חזרה) 4. המשוואה הריבועית ושורשיה דוגמה בסיס המלבן גדול מגובהו ב- 0 ס"מ; שטחו של המלבן שווה ל- 4 סמ"ר. מצאו את גובה המלבן. נסמן את גובה המלבן ב-, אז הבסיס שווה ל (0 + ) ס"מ. שטח המלבן שווה למכפלה: (0 + ( סמ"ר. ( + 0) = 4 על-פי הנתון: + 0 = 4 נפתח סוגריים: נעביר את המספר 4 לאגף שמאל, ונקבל: + 0 4 = 0 זוהי משוואה שבהּ החזקה הגבוהה של הנעלם שווה ל ; היא מכונה משוואה ממעלה שנייה, או משוואה ריבועית (מכיוון שכל הבעיות על שטח הריבוע או המלבן מובילות למשוואה ממעלה שנייה). למשוואה האחרונה שני שורשים: - = ו- =. כדי לבדוק זאת נציב אותם במשוואה, ונוודא שאכן מקבלים שוויון: (-) + 0 (-) 4 = 44 0 4 = 0 () + 0 4 = 4 + 0 4 = 0 מכיוון שאורך של קטע אינו שלילי, אחד מהשורשים, - = והתשובה היא: =. אינו מתאים, אולם, בפתרון שהוצג למעלה לא פירטנו, כיצד פתרנו את המשוואה, כלומר, כיצד מצאנו את ערכי השורשים? דרך הפת רון של משוואה ריבועית תלויה בערכי המקדמים. במקרה הכללי (כאשר כל המקדמים אינם שווים לאפס) אפשר לרשום את המשוואה הריבועית באופן הזה: a + b + c = 0 כאשר למספרים b a, ו- c קוראים מקדמי המשוואה. משוואה ריבועית 55
במשוואה שקיבלנו ערכי המקדמים היו: =,a.c = -4,b = 0 למקדם c קוראים האיבר החופשי (מכיוון שהוא אינו "קשור" לנעלם. כאשר אחד או שניים מהמקדמים b ו- c שווים לאפס, המשוואה מכונה "לא מלאה". עוד דוגמאות למשוואה הריבועית: + = 0 5t 0t + = 0 5 = 0 = 0 במקרים רבים, משוואה ריבועית בצורה הרגילה = 0 c a + b + מתקבלת לאחר פעולות אלגבריות, כגון: כינוס איברים דומים והעברת האיברים לאגף אחד של המשוואה. למשוואה ריבועית יכולים שני להיות שורשים, שורש אחד או אף שורש אחד, בהתאם לערכי המקדמים. דוגמה פתרו את המשוואה:. = 64 נעביר את המספר 64 לאגף שמאל ונקבל משוואה ריבועית לא מלאה: מקדמיה הם:. 64 = 0.c = -64,b = 0,a = נפרק את אגף שמאל לגורמים אלגבריים באמצעות הנוסחה להפרש הריבועים: מכיוון ש- a b = (a + b)(a b) = 8 64 נקבל: 64 = 0 8 = 0 ( + 8) ( 8) = 0 כעת נשתמש בתכונה בסיסית של מכפלת מספר הגורמים: מכפלה של מספר גורמים שווה לאפס רק כאשר אחד או כמה מהגורמים שווים לאפס. כאשר מדובר במשוואה, המשוואה הופכת לשוויון, כלומר אנו מחפשים את כל ערכי הנעלם שעבורם אנו משווים לאפס כל גורם אלגברי, שמכפלתם שווה משוואה ריבועית 56
לאפס, וכך מקבלים מספר משוואות ממעלה ראשונה, המשוואה הריבועית המקורית. שפתרונם מהווים שורשי ( + 8) ( 8) = 0-8 = 0 + 8 = 0 בדוגמה הנ"ל קיבלנו: נשווה לאפס כל אחד מהגורמים: = -8, = 8 נפתור את המשוואות: = -8 תשובה: = 8, שימו לב: אחד מהשורשים הוא שורש ריבועי מהמספר 64:, והשני המספר הנגדי: - 64 =. 64 = בדרך כלל מאחדים את שתי הנוסחאות באחת:, = Û 64 את התשובה לבעיה אפשר לרשום גם כך: = ± 8,. המשוואה = 64 הינה מקרה פרטי של המשוואה, = d אשר אליה אפשר להביא כל משוואה ריבועית., כאשר d הוא מספר חיובי (0 > d), יש למשוואה = d שני שורשים: = - d, = d ;, = Û 4 = Û 9 לדוגמה: שורשי המשוואה = 4 הם: 9 למשוואה = שני שורשים: ;, = Û למשוואה = 8 השורשים הם:, = Û 8 = Û *4 = Û 4* = Û (0 = d), אזי למשוואה שורש כאשר במשוואה = d אגף ימין שווה לאפס אחד: = 0., = 0 אולם, מכיוון שאפשר לרשום אותה בצורה אפשר, בהתאם לתכונת המכפלה, לטעון שלמשוואה זו שני שורשים שווים: = 0,. משוואה ריבועית 57
אין שורשים, מכיוון שריבוע של מספר ממשי כאשר < 0,d למשוואה = d אינו יכול להיות מספר שלילי. לדוגמה, למשוואה - 5 = אין שורשים. תרגילים (בעל-פה) - אילו מהמשוואות הבאות הן ריבועיות? = 0 7 + 4 5 - = 0 4 + = 0 8 + -7 - = 0 4 + 7 - = 0 ה) = 0 6-4 + ה) ו) (בעל-פה) - מנו את המקדמים והאיבר החופשי של המשוואה הריבועית: = 0 7 + 4 5 - = 0 4 + + - + = 0 8 + -7 - = 0 - - = 0 a = -, b = 0, c = 9 a =, b = 0, c = 0 ( )( ) = 7( ) = ( + )( ) = 6 = 0 ו) + 5 = 0 רשמו משוואה ריבועית אם מקדמיה ידועים: = 4 c a =, b =, = 0 c a =, b = -5, רשמו את המשוואה בצורה של משוואה ריבועית: ( ) = 4 ( 5) = ( + ) א ילו מהמספרים הם שורשי המשוואה? + - 6 = 0 -, -, 0, = 0 0 - = 0 - ( + )( - ) = = 0 ) + )( ( ה) = 0 4 + 5 ו) (בעל-פה) - כמה שורשים למשוואה = 6? מצאו אותם. = 9 (בעל-פה) - פתרו את המשוואה: = ה) = 00 ו) משוואה ריבועית 58 = 5....4.5.6.7
= 7 9 = ה) ו) = 6 49 = 5 מצאו את שורשי המשוואה: = 9 6 = 4.8 פתרו את המשוואה: = 0 49 = 0 - = 0 + = 0 ו) ה) = 0 9 + 5 = 0 פתרו משוואה ריבועית על-ידי פירוק האגף השמאלי לגורמים: + 5 = 0 + 6 + 9 = 0 = 0.464 0.0 = 0 = 0 + ה) = 0 4 + 4 ו) - = 0 = 0 5 - מצאו את שורשי המשוואה בעזרת המחשבון: = 7. = ה) = 0 975 ו) = 675 פתרו את המשוואה: ( - )( + + 4) ( 8) = 0 ( + )( - + ) ( + 4) = 0 = ו- הראו שלמשוואות = 4 אותם השורשים. מצאו מספר חיובי b המשוואה שתיווצר: כזה, שאגף שמאל יהווה ריבוע הסכום או ההפרש, ופתרו את b + 9 = 0 = 0 b + + + + = 0 + b + 4 = 0 = 0 b - 8 + פתרו את המשוואה: = 0 + 4 + הראו שאם המספר - 0 שורש המשוואה = 0 c,a + b + כאשר 0 c,.c אזי המספר הוא שורש המשוואה = 0 a + b + 0.9.0....4.5.6 משוואה ריבועית 59
4. משוואה ריבועית חלקית משוואה ריבועית = 0 c a + b + מכונה בלתי שלמה, אם לפחות אחד משני שווה לאפס. כלומר, למשוואה ריבועית חלקית משתייכת b או c מקדמיה המשוואה מאחת הצורות האלה: () a = 0 () c 0,a + b + c = 0 ().b 0,a + b = 0 a אינו שווה לאפס (אחרת המשוואה לא המקדם שימו לב: במשוואות () () תהיה ממעלה שנייה!). נזכירכם, כיצד פותרים משוואה ריבועית חלקית. פ דוגמה תרו את המשוואה: 5 = 0 נחלק שני האגפים של המשוואה ב- 5, ונקבל: מכאן מקבלים את התשובה: דוגמה פתרו את המשוואה: = 0-7 = 0 = 0 נחלק את שני האגפים של המשוואה ב-, ונקבל: נעביר 9 לאגף ימין, ונקבל: מכאן מקבלים את התשובה: דוגמה פתרו משוואה:, - 9 = 0. = 9, = ± + 7 = 0 נעביר 7 לאגף ימין, נחלק את שני האגפים ב- ונקבל: = - 7 למשוואה זו אין שורשים, מכיוון שריבוע של כל מספר אינו יכול להיות שלילי:. 0 משוואה ריבועית 60
.- + 5 = 0 דוגמה 4 את נפרק מהסוגריים: פתרו את המשוואה: אגף שמאל לגורמים אלגבריים על-ידי הוצאת הגורם המשותף (- + 5) = 0 מכאן, על-פי התכונה הבסיסית של המכפלה, מקבלים את שני השורשים: 5 = 5-7 = 0 - + 5 = 0, = 0 = 5 פתרו את המשוואה תרגילים = 0 :(-5) = 0 ה) = 0 64 4 - ו) 0.0 = 4 = 8 9 ז) = 8 4 ח). 5 = + 5 = 0 = 0 7. 9 + = 0 ה) = 0 9 - ו) 4 = 0.6-6 = 0 5-6 = 0 = 0 69 4 -. = 5 ה) = 8 ו) = 5 9 - = 5 = 9-4 4 ב ( ד ( 4 - = 5 = - 5 5.4 7-5 = 4 + 7 + 6 = 8 5.5 5 + 9 = 7 + 0 0 + 7 = + 8 7-5 ו - + 7 4 עבור אילו ערכים של ו- ערכי השברים שווים? משוואה ריבועית 6 + 5 4 -.6
( 5) = (08 5) ( 7)( + ) + ( )( + 5) = 0 ( + )( ) ( )( 5) = 9 ( 8) (4 6) + (5 )(5 + ) = 96 S) שטח, R רדיוס המעגל). 000 מ"ר (היעזרו במחשבון). + +.a 0 פתרו את המשוואה: ריבוע של המספר שווה למספר עצמו מוכפל. מצאו את המספר. מריבוע המספר החסירו 4 וקיבלו אפס. מצאו את המספר. כמה פתרונות לבעיה זו? שטח העיגול מחושב על-פי הנוסחה S = πr מצאו את קוטר במת הקרקס ששטחה שווה ל- פתרו את המשוואה: - 9 = 0 0 = - 4. פתרון משוואה ריבועית מלאה (חזרה) נוסחת השורשים של משוואה ריבועית מלאה: = 0 c,a + b + כאשר.7.8.9.0. (), = -b Û b - 4ac a היא:.6 + -, = - Û - 4*6*(-) *6 דוגמה פתרו את המשוואה: משוואה ריבועית 6 = 0 ערכי המקדמים: - = c a = 6, b =, = - Û 49 נשתמש בנוסחת השורשים: = - Û 7
= - + 7 =, = - - 7 = - מכאן מקבלים את ערכי השורשים: =, = - תשובה:.4-4 + = 0 דוגמה ערכי המקדמים: פתרו את המשוואה: a = 4, b = -4, c = על-פי הנוסחה () מחשבים את השורשים:, = 4 Û 4-4*4* = 4 Û 0 = *4 8 תשובה: = הערה: במשוואה זו שני השורשים שווים.. - 4 + 5 = 0, = 4 Û 4-4**5 *4 דוגמה פתרו את המשוואה: ערכי המקדמים: = 5 c a =, b = -4, על-פי הנוסחה () מחשבים את השורשים: = 4 Û - 4 8 מכיוון ששורש ריבועי ממספר שלילי אינו קיים, למשוואה אין שורשים. שלוש הבעיות האחרונות מדגימות את הקשר שבין ערך הביטוי b 4ac לבין מספר השורשים של המשוואה: כאשר > 0 4ac,b למשוואה שני שורשים כאשר = 0 4ac,b למשוואה שורש אחד כאשר < 0 4ac,b למשוואה אין שורשים לביטוי b 4ac קוראים דיסקרימיננטה* ומסמנים אותה באות D: D = b 4ac * מהמילה הלועזית - Discriminate להבדיל משוואה ריבועית 6
באמצעות הדיסקרימיננטה אפשר לרשום את נוסחת השורשים של משוואה (), = -b Û D a ריבועית בצורה הזאת: את הפ תרון של משוואה ריבועית כדאי להתחיל מחישוב הדיסקרימיננטה: אם ערכהּ שלילי 0) <,(D למשוואה אין שורשים, ואין טעם להשתמש בנוסחת השורשים; אם = 0 D, למשוואה שורש אחד: = = -b a דוגמה 4 פתרו את המשוואה: = 0 4 +. + D = b 4ac = - 4 4 = 9 - < 0,(b = m) ערכי המקדמים: = 4 c ;a =, b =, b חישוב הדיסקרימיננטה: תשובה: למשוואה אין שורשים. דוגמה 5 הראו שכאשר המקדם הריבועית אשפר לחשב על-פי הנוסחה: זוגי אזי את שורשי המשוואה (), וצמצמנו את D = (m) 4ac = 4m 4ac = 4(m ac), = -m Û 4(m - ac) a, = -m Û m - ac a a*b = a* b. - = -m Û m - ac a חישוב הדיסקרימיננטה: מציבים בנוסחת השורשים: כאן השתמשנו בנוסחה של שורש המכפלה: 4 + = 0 הגורם המשותף. דוגמה 6 פתרו את המשוואה: משוואה ריבועית 64 = -m Û m - ac a ערכי המקדמים: = c.a =, b = -4,
מכיוון שהמקדם b הוא זוגי ((-) = b), אפשר להשתמש בנוסחה (), כאשר, = Û 4 - = Û :m = - תשובה: =, = תרגילים. מצאו את ערך הדיסקרימיננטה עבור המקדמים הנתונים: a =, b = -0., c = -0.0-4 = c a =, b =, = 800 c a = -, b = 5, -45 = c a = 7, b = -6, פתרו את המשוואה הריבועית: = 0 + - = 0 + + = 0 + 7 - = 0 + 5 + ו) = 0 6 + 4 - ה) = 0 6 + + מצאו את כל הערכים של- שעבורם הביטוי מתאפס: - 4 + - 4 7 - - 5 + ו) + 0 + ה) - 4 + - + ח) + 4 - - ז) + - + פתרו את המשוואה הריבועית: = 0 + 8 6 - = 0 + 6 9 - = 0 + 6 + = 0 4 + 8 49 +...4 - + = 0 = 0 + +.5 - + 0 = 0 = 0 + 5 + מצאו, כמה שורשים למשוואה, בלי לפתור אותה: = 0 8-7 - = 0 7-5 + = 0 + 6 9 - = 0 + 4 4 + משוואה ריבועית 65.6
פתרו את המשוואה הריבועית: = 0 + 6 7 - = 0 4 + 9 + ה) = 0 9 + 4 + + 5 6 = = 7 ) ( ה) + 8 ( + ) = = 0 +4 5 - = 0 5 + 0 4 - ו) = 0 4 - - 5 + = 6 = 56 ) + ( ו) ) ( ) = 0.5(8 +.7.8 = + + מצאו את הערכים שני שורשים שונים אין שורשים כאלה, שעבורם למשוואה יש שורש אחד - 7 : - + q = 0 q שני שורשים שונים פתרו את המשוואות באמצעות הנוסחה (4): שורש אחד 4 + 4 - = 0 5-6 + 5 = 0 5-8 - 4 = 0 = 0 + 6 8 - פ תחו את נוסחת שורשי המשוואה = 0 c, + m + + 0 + 4 = 0-50 + 49 = 0 ופתרו באמצעותה את המשוואה: = 0 0 + - = + 7 4 + + - - = - 6 - - 7 = 0. 4 0 4 6 מצאו את כל הערכים,a אשר עבורם למשוואה = 0 + :a + + 0-4 = 0.9.0....p הראו, שלמשוואה = 0 - p + שני שורשים שונים עבור כל הערכים של-.4,a 0 הראו, שלמשוואה = 0 a,a + b - שני שורשים שונים עבור כל הערכים.5 של- b. משוואה ריבועית 66
4.4 פתרון מערכת המשוואות ממעלה שנייה בדומה למערכת משוואות ממעלה ראשונה, מערכת משוואות ממעלה שנייה מופיעה במהלך פתרון הבעיות המכילות שני נעלמים או יותר. אם לפחות אחד מהנעלמים מופיע במשוואה בחזקה שנייה מערכת המשוואות מכונה מערכת ממעלה שנייה. (ב"ריבוע"), אזי שיטות הפת רון של מערכת ממעלה שנייה דומות לפתרון מערכות ממעלה ראשונה; אולם בנוסף לשיטות ההצבה, ההשוואה והחיבור האלגברי לעתים קרובות מגדירים ביטוי מסוים כנעלם חדש, פותרים מערכת לגביו ומשתמשים בפתרון שנמצא כמשוואה נוספת למערכת המקורית. להלן דוגמאות הפתרון של מערכות ממעלה שנייה. דוגמה מצאו את הניצבים. היתר של משולש ישר-זווית שווה ל- ס"מ ושטחו שווה ל- 0 סמ"ר. נסמן את הניצבים ב- ו- y. נשתמש במפשט פיתגורס ובנוסחת השטח של משולש ישר-זווית, ונרשום את נתוני הבעיה באמצעות מערכת המשוואות. נכפיל את שני האגפים של המשוואה השנייה ב- 4 ונחבר את המשוואות: + y = 69 + y = 69 + y + y = 89 + *y = 0 *y = 0 4 נשתמש בנוסחת ריבוע הסכום: (a + b) = a + ab + b ונקבל מהמשוואה האחרונה : ( + y) = 89 מכיוון ש- ו- y מסמנים את צלעות המשולש, הם מספרים חיובים:. + y = 7 + y = Û 89 = Û7 קיבלנו משוואה נוספת למערכת המקורית. נבטא ממנה y באמצעות ונציב את התוצאה במשוואה השנייה של המערכת המקורית (שיטת ההצבה ): y = 7 7 = 60 (7 - ) = 0-7 + 60 = 0 משוואה ריבועית 67
פותרים את המשוואה הריבועית: =. = 5, מציבים את ערכי ה- שנמצאו בנוסחה y = 7 ומוצאים את ערכי ה- y: y = 5, y = בשני המקרים אחד מהניצבים שווה ל- 5 ס "מ, והשני ל - ס"מ. תשובה: 5 ס "מ, ס"מ. דוגמה פתרו את מערכת המשוואות, כאשר אחת מהמשוואות היא משוואה ריבועית, ושנייה ממעלה ראשונה: + 4y - y = -9 - y - 6 = 0 נפתור את המערכת בשיטת ההצבה: y = - 6 + 4( 6) ( 6) = -9 נבטא y מהמשוואה השנייה באמצעות : ונציב במשוואה הראשונה: מפשטים ופותרים: 5-48 + 4 = 0 =, = 4 5 מציבים את ערכי ה- בנוסחה 6 y = ומקבלים את ערכי - y: y = -, y = 99 5 (, -), תשובה: ( 4 5, 99 5 ) פתרו את מערכת המשוואות, כאשר אחת מהמשוואות היא משוואה דוגמה ריבועית, ושנייה ממעלה ראשונה: גם את המערכת הזאת אפשר לפתור בשיטת ההצבה, יותר! נשתמש בנוסחה של הפרש הריבועים: אולם ישנה דרך פשוטה - y = 6 - y = משוואה ריבועית 68
a - b = (a - b)(a + b) ( - y)( + y) = 6 ונרשום את המשוואה הראשונה כך: נשים לב, שהביטוי בסוגריים (y ) מופיע במשוואה השנייה, ונציב את ערכו: ( + y) = 6 + y = 8. y = + y = 8 - y =, = 5 ובכן, קיבלנו מערכת חדשה: נפתור אותה בשיטת החיבור, ונקבל מיד: תשובה: = y = 5, תרגילים פתרו את מערכת המשוואות (5 ): = - y y = + 6 y + = - 4y = - y - = + y = - y = + y = 4. - y - y = 9 - y = 7 + y = y - = 7. + y = 7 - y = + y = + y = 5 y = 7 + y = 8 + y = 5 y = 6. + y = -7 y = 0 + y = y = + y = - y = 5 - y = 7 - y = 4.4 משוואה ריבועית 69
- y = 8 - y = - y = 4 + y = 4 y = 0 +y = 9 + y = 7 y = 4.5 y = 5 + y = 6 y = + y = 0 סכום של שני מספרים שווה ל- 8, ומכפלתם ל- 65. מצאו את המספרים. ממוצע חשבוני של שני מספרים שווה ל- 0, וממוצע ההנדסי ל-. מצאו את המספרים. פתרו את מערכת המשוואות: - y = + y = 6 = y - + y = 7 y = -7 y - =.6.7.8 9. פתרו את מערכת המשוואות (9 ): - y = 46 y = 0 - y = y = 4 - y = y = ה) + y = 4 ו) - y = 0 4 + y = 0 + y = + y + y = - ( - y) = 4 + y = 6 - y - y = -7 + y - y = - y + y =.0 - y + y = y = 5 - y + = 0 + y - 4 = 0 - y = - y = 5 + y = 8 - y = 6. משוואה ריבועית 70
אורך הגדר סביב חלקת אדמה, שצורתה מלבן הוא ק"מ; שטחה - 60,000 מ"ר. מהם האורך והרוחב של החלקה? כאשר מחלקים מספר דו-ספרתי בסכום ספרותיו מקבלים 6 ושארית 4; כאשר מחלקים את המספר במכפלת ספרותיו, מקבלים ושארית 6. מצאו את המספר. פתרו את מערכת המשוואות: + y = 5 + y = 5 את המרחק מ- A ל- B בכיוון זרימת הנהר עוברת האונייה פי-.5 לאט יותר מהסירה, כאשר בכל שעה מפגרת האונייה אחר הסירה ב- ק"מ. 8 את הכיוון ההפוך, נגד הזרימה, עוברת הסירה במהירות הגדולה פי- מהאונייה. מצאו את המהירויות של שני כלי השייט במים עומדים. תשובות 4...5 הדרכה: חזרו על ההגדרה של משוואה ריבועית. + y = 5 - y + y = 9 הציבו את המספרים במשוואה, ובדקו האם היא הופכת לשוויון....4.5.6 = 4, = - 4 9. = 0 ה) אין פתרון..0 - = = 0, ו) הדרכה: השתמשו בנוסחה של ריבוע הסכום.. ה) = ± 98.67,. הדרכה: פתחו סוגריים וכנסו איברים דומים.. הדרכה: פתרו משוואה ריבועית, ובדקו האם הפתרונות מקיימים את המשוואה השנייה. 4. הדרכה: היעזרו בנוסחה של ריבוע הסכום או ההפרש. 5. פרקו את הטרינום לגורמים אלגבריים. 4.. ח) = ± 0, משוואה ריבועית 7
ו) אין פתרון., = Û 5 4. הדרכה: חלצו מהמשוואות את..5 = = 0, = 4 = 0, 5 = 0, = - - 5 = 0, = 5 = 0, = =0, = 4 6. 9 5.7 = ±8, = ±8, = ±, = ±, 85 6 = 0 = - 0,, - 50.48 0.4 7 = = -, = -, = = ו) -, = - ה) = 4, = = - - 4 =, =, = 4 = -, = - =, = = -5.54, = 0.54...8.9.0. 4.... = - - 7, = - + 7 = = -, ה) ו) ח) =, = - ז) - 4 = =, = = = = - = = - 6 7 4, = - Û 6 = =.4 = -, = 48 D = -6 D = -56 D = - -7 = D 0 - = = אין פתרונות אין פתרונות = -8, = 9 =, 5 = משוואה ריבועית 7 = - 6, =.5.6.7.8
, = 7 Û 7 7 = -, = - ה) ו) 0, = Û = -, = 7 = 7 = -8,.9 = - 7, = = 0.6 = -, q =. > 8 a.0 = -, = = -6, = -4 = -, 5 =. =-, y =- =, y =- =7, y = =-5, y = = 49 =, 4.4 =7, y =-5 =-, y =. =-4, y =6 =7, y = =4, y =- =7, y =0 =-, y =-4 =4, y = =7, y = =, y =7 =-, y =-5 =-5, y =- =-, y = = 4, y = 4 =, y =- =-, y = =, y = =, y = =, y = =, y = =, y = = 5, y = - = 4, y = - = 9, y = - 5 =-, y =-4 =4, y = (שימו לב: למערכת ארבעה פתרונות!) =-4, y =- 4 =, y 4 =4 =-, y =-5 =-5, y =- משוואה ריבועית 7 =5, y = 4 =, y 4 =5...4.5
א. =-, y =-5 =5, y = =-, y =- =, y = =-5, y =- 4 =, y 4 =5 =-, y =- 4 =, y 4 =.6 תשובה: 5, 7. הדרכה: ממוצע הנדסי של שני מספרים a ו- b שווה ל-. a*b תשובה:,4. 6 =7, y =- =-, y = = y = 5, 8. =-, y =7 =, y = = 5, y =. =, y = =-, y =- =, y = =4, y = =, y =4 ה) ו) =-, y =-4 =4, y = =, y = - = -, y =.9 = 0, y = =-, y =-5 =-5, y =- =5, y = 4 =, y 4 =5.0 =-4, y =- =, y =4 =, y =- =-, y = ( הדרכה: הגדירו משתנים חדשים:. u =, v = y תשובה: = 9 y = 5, הדרכה: הגדירו משתנים חדשים:. u =, v = y תשובה: = 4 y. = 9, תשובה: 00 מ', 00 מ'.. תשובה: 64. =, y = הדרכה: פרקו לגורמים את המשוואה השנייה. =, y = =5, y = הדרכה: פרקו לגורמים את המשוואה הראשונה. =, y =5..4 5. תשובה: 0 קמ"ש, קמ"ש. משוואה ריבועית 74
5 חיתוכים של ישרים ופרבולות 5. חיתוך של שני ישרים חיתוך של ישר עם צירי הקואורדינטות (סיכום) כדי למצוא את נקודת החיתוך של הישר עם ציר יש להציב במשוואת הישר = 0 y ולפתור אותה לגבי : a + by = c y = 0 a = c = c a כדי למצוא את נקודת החיתוך של הישר עם ציר y יש להציב במשוואת הישר = 0 ולפתור אותה לגבי : y a + by = c = 0 by = c y = c b במקרה הפרטי, כאשר משוואת הישר היא בצורה המפורשת y, = a + b נקודת החיתוך של הישר עם ציר- y היא: y = a + b = 0 y = b נקודת החיתוך של הישר עם ציר היא: y = a + b y = 0 a + b = 0 = - b a תרגילים 0?? y? 0 השלימו את טבלת הערכים ובנו גרפים של כל משוואה: = 4 y + = 6 y + = y = 6 y + ה) y = ו) ) ( y = מצאו את השיפוע ונקודת חיתוך עם ציר- y של הישר:.. - = y 4 + 5 y = 5 + 9 y = = 5 5y + חיתוכים של ישרים ופרבולות 75
חיתוך של שני ישרים (סיכום) 5. ישר מתואר על-ידי משוואה ממעלה ראשונה משני נעלמים, ו- y: a + by = c למשוואה זו אינסוף פתרונות: שיעורי כל נקודות הישר מהווים שורשי את המשוואה. -7 לדוגמה, שיעורי הנקודות ) (-6, ו- -) (0, הופכים את המשוואה - = 6y 5 + y (-6, ) 5 + 6y = - -6-5 -4 - - - O 4 - לשוויון: 5 (-6) + 6 = -0 + 8 = - = -6, y = 5 0 + 6 (-) = 0 - = - = 0, y = - שני ישרים מתוארים על-ידי מערכת של שתי משוואות משני נעלמים ממעלה ראשונה: (0,-) - - a + b y = c -4 a + b y = c כפי שלמדתם קודם, למערכת מסוג זה יכולים להיות פתרון אחד, אף פתרון או אינסוף פתרונות; המתאימים למשוואות אלה: ביטוי גרפי לאפשרויות אלה ניתן על-ידי מפגש הישרים כאשר הישרים נפגשים קיים פת רון אחד; כאשר הם מקבילים אין פתרונות למערכת; כאשר שני הישרים מתלכדים ישאינסוף פתרונות. y 4 y 4 y 4-4 - - - - 4-4 - - - - 4-4 - - - - 4 פת רון אחד אין פתרונות אינסוף פתרונות כאשר למערכת פתרון אחד, מ שמע ששני הישרים המתוארים על-ידי משוואות המערכת נפגשים, אזי שיעורי נקודת המפגש הופכים כל משוואה לשוויון. חיתוכים של ישרים ופרבולות 76
-4 השיטה הגרפית מאפשרת למצוא במהירות את שיעורי נקודת החיתוך של שני הישרים; לאומת זאת, השיטוה האלגברית מאפשרת למצוא את הפתרון המדויק של המערכת. דוגמה מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הישרים: -4 = y 7 + ו- = y. + y 7 6 5 4 - - - 4 - - נרשום את המערכת במסודר: 7 + y = -4 + y = נשתמש בשיטת החיבור: נכפיל את המשוואה השנייה ב-, ונחסיר אותה מהראשונה: 7 + y = -4 = -4 4 + y = = -6 = -. נציב במשוואה שנייה: (-) + y = y = 5 תשובה: נקודת המפגש: (5,-) בדיקה גרפית: נשרטט שני ישרים במערכת צירים, ונמצא את שיעורי נקודת החיתוך של שני הישרים: = 5 y. = -, תרגילים מצאו את נקודת החיתוך של שני הישרים: = y + = y + + y = y = - -4 = 4y 7 = 8 y + + y = -6 - + y = מצאו את נקודת חיתוך של הישרים: = 0 + y 4 + 5y + 6 = 0, + = 0 y + y 8 = 0, = 0 8 + 5y 4 y 6 = 0,4 + חיתוכים של ישרים ופרבולות 77..
+ y = 4 ו- y =. הראו ששלושת הישרים: = y, + נפגשים בנקודה אחת. מצאו שיעורי נקודת המפגש של התיכונים במשולש עם הקודקודים:.(, ),(, ),(, 0) רשמו את משוואת הישר המתואר על-ידי: נקודת החיתוך עם ציר- y; = 8 y: נקודת החיתוך עם ציר- ; = 4 : נקודת החיתוך עם ציר- y; = 6 y: נקודת החיתוך עם ציר-. = - :.5.4 AODH מצאו את משוואת הישר הכולל את קו האמצע של הטרפז בעל.6.H(5, ) D(7, 0) הקודקודים: ),A(4,,O(0, 0) ו- המרובע BECK הוא מעוין. שניים מקודקודיו הם: (5,)B ו- (-,7)C. מצאו את שיפוע האלכסון ;EK רשמו את משוואת הישר.EK רשמו את משוואת הישר המתואר בצורה שלפניכם: הישר עובר דרך הנקודה (8,5) והוא מקביל לציר-. ציר ה- עצמו. הישר עובר דרך הנקודה (9-,7) והוא מקביל לציר- y. ציר ה- y. רשמו את משוואת הישר המתואר כך: הישר עובר דרך הנקודה (,4) והוא מקביל לישר- :OM.7.8.9 y (4, ) - - O - - - 4 5 6 M(5, -) חיתוכים של ישרים ופרבולות 78
y (4, ) הישר עובר דרך הנקודה (,4) והוא מאונך לישר- :OM - - O - - 4 5 6 M(5, -) - y N(4, ) הישר עובר דרך הנקודה D והוא מאונך לצלע :AN D(-, 0) - - O - 4 5 6 - - -4-5 A( 0, - 5) -6 J(-, 4) y 4 הישר הוא אנך אמצעי לישר :JK - - O - 4 5 6 - - K(, - ) y 0. לפניכם "דיוקן" של חתולה. 5 4 מצאו את 4 הפונקציות הליניאריות המתארות את הקטעים שמהם מורכבת התמונה. - - 4 5 6 7 חיתוכים של ישרים ופרבולות 79
5. חיתוך פרבולה עם הצירים בקורס אלגברה של כיתה ט' למדתם, שהגרף של פונקציה ריבועית מכונה פרבולה, וצורתו ומקומו של הגרף במישור הצירים תלויים בערכי הפרמטרים b a, ו- c של הפונקציה.,y = a + b + c כך לדוגמה, אם הפונקציה רשומה בצורה - סימן אזי המקדם a קובע את כיוון ענפי הפרבולה, גודלו של a את "רוחבה" של הפרבולה, והמקדמים b ו- c קובעים את מקומו של הקודקוד. y = 0.( - ) + 4 y = -0.5(+) + מהשרטוט רואים גם, שיש מקרים, שענפי הפרבולה חותכים את צירי הקואורדינטות, וישי מקרים שהם אינם חותכים. כיצד לדעת זאת לפני שבונים גרף? אילו היינו יודעים את מקומן של נקודות החיתוך ושל קודקוד הפרבולה, היינו יכולים בנקל לשרטט את סקיצת הגרף. כיצד אפשר לחשב את שיעורי נקודות החיתוך? חיתוכים של ישרים ופרבולות 80
- נשתמש בעובדות, שלכל הנקודות השייכות לציר y שיעורי- שווים לאפס,,y ושלכל הנקודות השייכות לציר צריך אם לכן, במשוואת הפרבולה שיעורי- y שווים לאפס. למצוא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר נציב - - y (0, ) 5 4 - - 4.y ונפתור אותה לגבי, = 0 דוגמה מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר y. במשוואת הפונקציה: y = - + 5 + y = - + 5 + =0 y = y = נציב = 0 תשובה: לסיכום: כדי למצוא את נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר y הפרבולה יש להציב במשוואת.y ולפתור לגבי = 0 y = 0 אם ברצוננו למצוא את נקודות החיתוך של פרבולה עם ציר y, נציב במשוואת הפרבולה, ונפתור אותה לגבי. דוגמה מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה 4 y = - עם ציר. נציב = 0 y במשוואת הפונקציה: y = - - 4 y=0-4 = 0 = -, = 4 תשובה: 0) (4, 0), (-, לסיכום: כדי למצוא את נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר יש להציב במשוואת הפרבולה = 0 y ולפתור משוואה לגבי. חיתוכים של ישרים ופרבולות 8
בעיה: האם תמיד חותכת פרבולה את צירי הקואורדינטות? מעיון בגרפים שלפניכם אפשר להסיק שקיימים מקרים, כאשר אין נקודות חיתוך של ענפי הפרבולה עם הצירים. האומנם הסתכלות בגרף היא הוכחה מספקת לטענה מתמטית? אולי, אילו היינו מאריכים את הצירים ואת ענפי הפרבולות, היינו מגיעים לנקודות החיתוך? ננסה למצוא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה + 9 y = + בשיטה האלגברית; כדי למצוא נקודות חיתוך עם ציר,y נציב במשוואה = 0 : y = + 9 + =0 y = ההשערה שלנו לגבי אורך הצירים אכן נכונה: אילו היינו מאריכים את ציר ה- y, היינו מגיעים לנקודת החיתוך בין הגרף לציר זה. נמצא את נקודות החיתוך עם ציר. נציב = 0 :y y = + 9 + y=0 + 9 + = 0 נחשב דיסקרימיננטה: D = 9 4 = - המסקנה: למשוואה אין שורשים. זו הסיבה, שבגללה אין נקודות חיתוך של הפרבולה עם ציר : נקודות החיתוך עם ציר הן השורשים של המשוואה; העדר שורשים משמעו העדר נקודות חיתוך עם ציר. חיתוכים של ישרים ופרבולות 8
תרגילים. בשרטוט מוצג גרף של הפונקציה: y = + 4 + 4 מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה- y. מצאו את המרחק בין הנקודה C לראשית הצירים. מצאו את המרחק בין הנקודה A לראשית הצירים.. בשרטוט מוצג גרף של הפונקציה: y y = - + 6-5 4 מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הגרף - - - - - -4 A B 4 5 6 7 עם ציר ה-. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה- y. מצאו את המרחק בין הנקודה C לראשית הצירים; מצאו את המרחק בין הנקודות A ו- B. C -5-6 5.4 חיתוך של פרבולה עם ישר מכיוון שפרבולה מתארת בדרך גרפית משוואה ממעלה שנייה, וישר - את המשוואה ממעלה ראשונה, אזי החיתוך של שני הגרפים יתאר את פ תרון המערכת של שתי המשוואות: שיעורי ו- y של נקודות החיתוך יהפכו לשוויון כל משוואה של המערכת. שימוש בשיטה הגרפית הוא נוח במיוחד כאשר צריך לבדוק את עצם קיומו של פת רון המערכת, או את מספר השורשים. חיתוכים של ישרים ופרבולות 8
השיטה הגרפית מאפשרת פת רון מהיר, אולם מקורב; את הפ תרון המדויק אפשר לקבל באמצעות השיטה האלגברית בלבד. y = - + 5 y = - 8 דוגמה מצאו את מספר הפתרונות למערכת המשוואות: דרך y בדרך נפתור אלגברית; נשתמש בשיטת ההצבה: נציב מהמשוואה הראשונה במשוואה השנייה: ( + 5) = - 8 4 7 + 8 = 0 D = -9 < 0 למשוואה אין שורשים, ולמערכת אין פתרונות. דרך נשרטט גרפים של שתי המשוואות: של המשוואה הראשונה על-פי כמה נקודות, ושל השנייה על-פי שתי נקודות החיתוך עם הצירים: y = 0 = 8, = 0 y = -4 מהשרטוט רואים מיד, שהקווים לא נפגשים, כלומר, למערכת אין פתרונות.? y = - + 5 y = 0 + דוגמה כמה פתרונות למערכת המשוואות? דרך א' y הפתרון האלגברי (שיטת ההצבה: מציבים מהמשוואה הראשונה במשוואה השנייה): ( + 5) = 0 + 4 7 = 0 = 0, y = 5; = 7 4, y = 47 8 תשובה: למערכת שני פתרונות. חיתוכים של ישרים ופרבולות 84
דרך ב' נשרטט גרפים של שתי המשוואות: של המשוואה הראשונה על-פי כמה נקודות, ושל השנייה על-פי שתי נקודות החיתוך עם הצירים: y = 0 = -0, = 0 y = 5 מהשרטוט רואים שהגרפים נחתכים נקודות, כלומר, למערכתשני פתרונות. בשתי משתי הדוגמאות הנ"ל ראינו, שישר ופרבולה יכולים להיפגש בשתי נקודות, או לא להיפגש כלל. האם יכולים הם להיפגש בנקודה אחת? מסתבר, שכן! נסובב את קטע הישר העובר דרך הנקודות 0) (-0, ו- 5) (0, סביב הנקודה 0),(-0, עד שהקטע ישיק לפרבולה בנקודה אחת A. מצב זה מתאר מקרה שלמערכת המשוואות יש פתרון אחד. בהמשך הקורס נלמד, מקום ההשקה. כיצד לחשב את תרגילים מצאו, האם הפרבולה + 6 8 y = חותכת את הישר = 0 y, ואם כן באילו נקודות? פתרו את השאלה בשתי דרכים: בדרך אלגברית ובדרך גרפית. הראו שלישר = 4 y והפרבולה + 5 5 y = יש נקודה משותפת, ומצאו את שיעורי הנקודה. הראו שהפרבולה + 5 y = והישר = 0 + y + אינם נחתכים. פתרו את השאלה בדרך אלגברית ובדקו את הפת רון באמצאות גרף.... חיתוכים של ישרים ופרבולות 85
y + = 4 - + = 4 - y -0.5 + = 4 + y y = -4 פתרו בדרך גרפית את מערכת המשוואות: y + + = 0 - y = 0 y - = 6 y - = 0.4 5.5 חיתוך של שתי פרבולות כמו במקרה של חיתוך של פרבולה עם ישר, נקודות חיתוך, נקודה אחת, או אף נקודה. לשתי פרבולות יכולות להיות שתי מערכת המשוואות המתוארת בדרך גרפית על-ידי שתי פרבולות היא מערכת של שתי משוואות ממעלה שנייה, כל אחת. y = - 4 + דוגמה y = + 6 +7 פת רון המערכת הוא זוג מספרים,(,y) לשוויונות; בתיאור הגרפי, המערכת הוא זוג שיעורי ו- פתרון y של הנקודה A, המשותפת לשני הגרפים. כדי לפתור את המערכת, בשיטת ההצבה: של y בשתי המשוואות: נשתמש נשווה את הביטויים 4 + = + 6 + 7 0 = -6 = -, 5 נציב ערך של במשוואה הראשונה, ונקבל את y: y=( - 5 ) - 4*( - 5 ) + = 94 5 Ó.76 בדיקה באמצעות התיאור הגרפי של המערכת מאשרת את התוצאה. חיתוכים של ישרים ופרבולות 86
דוגמה כאשר ענפי הפרבולות מכוונים באופן נגדי (מה שקורה כאשר למקדמים של סימנים מנוגדים ), שיטת ההשוואה מביאה למשוואה ריבועית: y = - 4 + y = - - + 4 4 + = - - + 4 - = = 8 -(-) Û 8, = = Û 7 * מציבים במשוואה הראשונה, ומקבלים y: y, = Û 7 התיאור הגרפי של המערכת אכן מאמת את קיומם של שני פתרונות בצורה של שתי נקודות החיתוך A ו- B. קיימים גם מקרים, כאשר שתי הפרבולות "אינן מדברות" אחת עם השנייה: אין להן נקודות חיתוך משותפות, ולמערכת אין פתרונות. דוגמה מצאו את נקודות החיתוך בין הפרבולות: y = - 6 + 8 y = - - - נשתמש בשיטת ההשוואה: 6 + 8 = - - - 4 + = 0 = 6 88 < 0 למשוואה אין שורשים תשובה: למערכת אין פתרונות, ולפרבולות אין נקודות חיתוך. חיתוכים של ישרים ופרבולות 87
6 תכונות נוספות של גרפים הפונקציות תחומי חיוביות ושליליות של פונקציות תחום הערכים של, שעבורם הפונקציה היא חיובית, מכונה תחום חיוביות של הפונקציה. קל לאתר את תחומי החיוביות בהתבוננות בגרף הפונקציה: כל קטעי הגרף, הנמצאים מעל ציר-, שייכים לתחום החיוביות של הפונקציה. דוגמה נמצא את תחומי החיוביות של פונקציה קווית (ליניארית) מסוגים שונים: + 4 y = - 4 y = + 4 - y = - 4 - y = נשרטט גרפים של הפונקציות, נסמן בכל גרף את חצי המישור החיובי (הנמצא מעל ציר- ), ונאתר את קטעי הגרף הנמצאים אזור זה. y = - 4 y = + 4 y = - - 4 y = - + 4 תכונות נוספות של גרפים 88
לבסוף, נמצא את תחומי ה- של קטעי גרף אלה. תחום הערכים של, שעבורם הפונקציה היא שלילית, מכונה תחום שליליות של הפונקציה. כל קטעי הגרף, הנמצאים מתחת לציר-, שייכים לתחום השליליות של הפונקציה, כפי שאפשר לראות מהגרפים לעיל. בדומה לכך אפשר למצוא את תחומי החיוביות והשליליות של פונקציה ריבועית. + 4 - y = - דוגמאות + 4 y = - הערה את תחומי החיוביות והשליליות של פונקציות אפשר אלגברית, על-ידי פתרון של אי-שוויון מתאים. דוגמה מצאו תחום שליליות של הפונקציה: נרשום את אי-השוויון: פותרים אותו: דוגמה. y = + 4 + 4 < 0 < -4 < - מצאו את תחום החיוביות של הפונקציה: נרשום את אי-השוויון: נפרק טרינום לגורמים ונקבל: - 4 + למצוא גם.y = - 4 + > 0 ( -)( - ) > 0 בדרך על-מנת שמכפלת שני גורמים תהיה חיובית, שניהם צריכים להיות חיוביים, או שליליים. כך מקבלים שתי מערכות של אי-שוויונות: - < 0 - > 0 או - < 0 - > 0 פותרים אותן ומקבלים תשובה: או > < תכונות נוספות של גרפים 89
תרגילים. מצאו, באמצעות הגרפים, את תחומי החיוביות של הפונקציות: y = - y = - + y = - y y 4 y - - - - 4 - - -4 - - - - - 4 5 - - - - - 4 - y = - + 5 + 6 y = - + 6-9 y = - 6 + 5 y 7 6 5 4 - - 4 - y y - 4 5 - - - -4-5 -6 5 4-4 5 - - - -4 ו) ה) מצאו, באמצעות הגרפים, את תחומי השליליות של הפונקציות: y = y = - + y = - +. y - - - - 4 - - תכונות נוספות של גרפים 90
y = - 4 (+) + y = - 4 (-) - y = 4 (+) + ה) תחומי העלייה והירידה ו) תחום הערכים של, שבו ערכי הפונקציה y הולכים וגד לים כאשר גדלים ערכי-, מכונה תחום העלייה של הפונקציה,y() ואילו תחום הערכים של, שבו ערכי הפונקציה y הולכים וקט נים כאשר ערכי גד לים, מכונה תחום הירידה. כך, בשרטוט א), ערכי הפונקציה גדלים מ- - = y עד ל- + = y כאשר ערכי גדלים מ- - = עד ל- +4 =. לכן בתחום A < < B הפונקציה עולה, ואילו בשרטוט ב), בקטע AB הפונקציה יורדת. לכך בדומה קובעים את תחומי העלייה והירידה של פונקציה ריבועית: מהגרף רואים שבתחום A < < B הפונקציה יורדת, B < < C ובתחום הפונקציה עולה. תכונות נוספות של גרפים 9
y = -0.(-) +4 הערה פונקציה קווית או יורדת בכל התחום y = a + b עולה < < -, בהתאם חיובי, הוא a כאשר a: לסימן המקדם הפונקציה עולה, וכאשר הוא שלילי, הפונקציה יורדת. תחומי בפונקציה ריבועית, לעומת זאת, יורדת בכל תחום + -0.5 y = העלייה והירידה מתקיימים יחד תמיד, והם מתחלפים בנקודת הקודקוד של הפרבולה. בדוגמה שבגרף משמאל, הפונקציה הקווית (מכיוון שהמקדם < 0-0.5 =,(a ואילו הפונקציה הריבועית ) + 4-0.( y = עולה בתחום < < - ויורדת בתחום < <. הערה אין קשר בין תחומי העלייה הירידה ותחומי החיוביות או או השליליות של הפונקציה: בתחום לרדת יכולה הפונקציה בתחום לעלות או החיוביות להיות שלילית בתחום השליליות, העלייה, חיובית בתחום הירידה וכד'. מצאו, עבור אילו ערכים של שתי דוגמה הפונקציות: אותו תחום עלייה; אותו תחום ירידה; אותו תחום חיוביות; אותו תחום שליליות? הפונקציה הקווית יורדת בכל תחום המספרים; לכן לא קיים תחום שבו שתי הפונקציות עולות. תכונות נוספות של גרפים 9
הפרבולה יורדת בתחום < < B ;- לכן, זה התחום שבו שתי הפונקציות יורדות: (B, -). הפונקציה הקווית חיובית בתחום (D, -); הפונקציה הריבועית חיובית בשני תחומים: (A, -) ו- (,C). לכן, תחומי החיוביות המשותפים הם: (A, -) ו- (D,C). הפונקציה הקווית היא שלילית בתחום (,D). בתחום זה הפונקציה הריבועית היא שלילית. לכן, אין תחום שבו שתי הפונקציות הן שליליות. תרגילים y = - מצאו, באמצעות הגרפים, את תחומי הירידה של הפונקציות: y = - + 4 y = - 5. y = -0.(-) + 4 y = -0.(+) y = 0.5(-) + ה) תכונות נוספות של גרפים ו) 9
y = -0. - מצאו, באמצעות הגרפים, את תחומי העלייה של הפונקציות: y = - 4 y = 5 y 5 4 y.4 - - - - 4 5 - - -4 - - - - 4 5 y = + y = - y y = + - 5 - - - - - - - -4 ה) השוואת הערכים של שתי פונקציות לעתים קרובות אנו צריכים להשוות ערכים של שתי פונקציות חלוּ פין, ל או, למצוא המשתנה, שעבורו ערכי הפונקציות שוות. ערך את לדוגמה זורקים חפץ מגג בניין, שגובהו 00 מ', במהירות התחלתית של 5 מטר לשנייה, ובאותו רגע משגרים לקראתו חץ מגובה של מטר ו) 0 במהירות של 0 יפגע החץ בחפץ? מטר לשנייה. כעבור כמה זמן נסמן את הזמן באות t ואת הגובה ב- H. מכיוון שלכל ערך של t מתאים ערך אחד של H, מסיקים, כי H היא פונקציה של H. = H(t) t: תכונות נוספות של גרפים 94
מקורס הפיזיקה יודעים ש- H(t) עבור שני הגופים אפשר לרשום: היא פונקציה ריבועית. H(t) = -5t -5t + 00,h(t) = -5t + 0t + 0 כאשר H מסמן את גובהו של החפץ שהושלך כלפי מטה, ו- - h את גובה החץ. הגרף שלמעלה מתאר את ערכי הגובה של שני הגופים שנמדדו בפועל; קו רציף שעובר דרך הנקודות המדודות מתאר את גרף הפונקציות המתאימות. אפשר לראות, שעד לרגע t. sec גובהו של החפץ גדול מזה של החץ (h H), > ולאחר המפגש גובהו של החפץ נמוך יותר. את ערכו המדויק של רגע המפגש הפונקציות: ופתרון המשוואה: דרך אחרת למציאת זמן -5t -5t + 00 = -5t + 0t + 0 t אפשר למצוא על-ידי השוואת ערכי -5t + 00 = 0t + 0 80 = 5t t =.9 sec המפגש היא לשרטט גרפים של שתי הפונקציות באותה מערכת הצירים: שיעור (t) של נקודת המפגש של הגרפים שווה זמן המפגש, ושיעור y (H) יתאר את גובה נקודת המפגש. מהגרפים רואים שעבור ערכי הזמן הקטנים מזמן המפגש (B t) < ערכי הפונקציה H(t) (גובה החפץ) גדולים מערכי הפונקציה h(t) (גובה החץ): H(t) > h(t), t < B ואילו לאחר המפגש (B t) > המצב יתהפך:.H(t) < h(t), t > B תכונות נוספות של גרפים 95
סיכום כדי למצוא את נקודת החיתוך של שני גרפים, יש להשוות את הפונקציות המתארות את הגרפים, ולפתור את המשוואה שתתקבל. כדי למצוא את התחומים שבהם הערכים של פונקציה אחת גדולים (או קטנים) מערכי הפונקציה השנייה g()),(f() < = > יש לשרטט קווי עזר אנכיים משני צדי נקודות החיתוך עד למפגש עם הגרפים של שתי הפונקציות, ולהשוות את ערכי הפונקציות. לפניכם גרפים של שתי פונקציות: דוגמה f() = ( - ) g() = + 4 מצאו את נקודות החיתוך של שני הגרפים; א. עבור אילו ערכים של מתקיים g()?f() < ב. f() = g() א. ( - ) = + 4, - 4 + 4 = + 4, - 5 = 0, = 0, = 5 f(0) = 4, f(5) = 9 9) (5, = B A = (0, 4), תשובה: מהשוואת הגרפים רואים שהתחום שבו ערכי הפונקציה f() קטנים מערכי ב. הפונקציה g() נמצא בין שתי נקודות החיתוך (בתחום זה קו הגרף של f() נמצא "מתחת" לקו הגרף של.(g() < 5 0 < תשובה: דוגמה נתונה פרבולה.y = - 8 + 5 הישר = y.b ו- A א. ב. חותך את הפרבולה בשתי נקודות: נקודה D היא קודקוד הפרבולה. מצאו את שיעורי הנקודות A ו- B. מצאו את שטח המשולש.ABD תכונות נוספות של גרפים 96
א. נשווה את משוואות הפרבולה והישר ונפתור את המשוואה: - 8 + 5 =, - 8 + = 0, =, = 6 A = (, ), B = (6, ) ב. מכיוון שהישר AB הוא אופקי (מקביל לציר- ), מסיקים כי ציר הסימטריה של הפרבולה CD עובר דרך אמצע הקטע.AB לכן שיעור- של הנקודה D שווה ל- D = A + B = + 6 = 4 נציב ערך זה במשוואת הפרבולה ונמצא את שיעור ה- y של הקודקוד D: גובה המשולש ABD שווה ל- y D = 4-8 4 + 5 = - y C - y D = - (-) = 4 שטח המשולש ABD שווה לחצי המכפלה של הבסיס (AB) בגובה : CD S ABD = AB*CD = (6 - )*4 = 8 דוגמה נתונות משוואות של שתי פרבולות: ו- y y = -0.5 = -0. + + 0. + 5 א. התאימו לכל גרף את הפונקציה המתאימה לו; ב. בהסתמך על הגרפים, מצאו בקירוב את שיעורי הקודקודים של הפרבולות; ג. האם לשתי הפרבולות יש נקודות משותפות בכל תחום המספרים? א. שיעור- y נקודת החיתוך של הגרף עם ציר y שווה לערך הפונקציה בנקודה = 0 ; נציב במשוואות הפרבולות = 0 ונקבל: = 5 (0).y (0) =,y לכן לפרבולה I מתאימה פונקציה,y ולפרבולה - II פונקציה.y ב. הקודקוד נמצא על קו סימטריה של פרבולה, כלומר במרחק שווה משני ענפי הפרבולה בכיוון האופקי. נעביר ישר כלשהו המקביל לציר- שחותך את הפרבולה, ונמצא את אמצע הקטע של ישר זה הנמצא בין הענפים. שיעור- של נקודת האמצע שווה לשיעור- של קודקוד הפרבולה. תכונות נוספות של גרפים 97
כך נקבל את שיעורי הקודקוד O של הפרבולה I: O.6, y O = 5 פרבולה II סימטרית יחסית לציר- y, לכן שיעורי הקודקוד שלה: (,0) ג. כדי למצאו נקודות משותפות, נשווה את שתי הפונקציות: -0.5 + 0. + 5 = -0. + נעביר איברים לאגף שמאל ונקבל משוואה ריבועית: -0.05 + 0. + = 0 נכפיל את שני האגפים ב- (00-): 5-0 - 00 = 0-4 - 50 = 0 נחלק ב- 5: נמצא את הדיסקרימיננטה של המשוואה: > 0 6 = 4 50 = 6 + D מכיוון שהדיסקרמיננטה היא חיובית, למשוואה יש פתרונות, לכן התשובה: לשתי הפרבולות יש נקודות משותפות. דוגמה 4 נתונות משוואות של שתי פרבולות: y y = = - + 6 + ו- 4 +5 הסבירו מדוע לשתי הפרבולות אין נקודות משותפות בכל תחום המספרים. נשווה את שתי הפונקציות: + 4 +5 = - + 6 - + 5 = 0 נחשב את הדיסקרימיננטה: < 0-56 = 4 5 (-) - = D לכן למשוואה אין פתרונות, כלומר, לשתי הפרבולות אין נקודות משופות. תרגילים שתי מכוניות יצאו בו זמנית לדרך: אחת יצאה מחיפה ונוסעת לכיוון תל-אביב.5 במהירות 80 קמ"ש, והשנייה יצאה מתל-אביב לכיוון חיפה, ומהירותה - 90 קמ"ש. נסמן את זמן הנסיעה ב- t ואת המרחק של כל מכונית מתל-אביב ב- ו- בהתאם. משוואות התנועה של שתי המכוניות הינן: = 0-80t תכונות נוספות של גרפים ו-. = 95t 98
מצאו באמצעות הגרפים של הפונקציות תחומי הזמן שבהם את (t) (t) ו- מתקיים: (t) (t) < א. (t) (t) > (t) (t) = מה מסמן רגע הזמן שעבורו (t)? (t) = נתונים גרפים של שתי הפונקציות : f() = - 6 + 7 g() = - + 6-6 שבהם שתי מצאו את תחומי ה- א. הפונקציות עולות; שבהם שתי מצאו את תחומי ה- ב. הפונקציות יורדות; g() ;f() > מצאו את תחומי ה- שבהם מתקיים: ג. g().f() < מצאו את תחומי ה- שבהם מתקיים: ד..6 תכונות נוספות של גרפים 99
תשובות 5. y = y = 5 y = 5 = y. y 5. 4) (0, -) (5,. ) (0, (, - ). -) (, 4) (, 0) (-,. הדרכה: מצאו את נקודת החיתוך של שניים מבין שלושת הישרים, ובדקו האם היא שייכת גם לישר השלישי. A 4. הדרכה: א. העתיקו השרטוט למחברת. ב. ח שבו את שיעורי נקודת האמצע M של הצלע.BC B ג. השתמשו במשפט על נקודת החיתוך של תיכונים במשולש: היא מחלקת כל תיכון ביחס של ::.AO:OM = : תשובה: C O M O (, ) 5. הדרכה: שרטטו את הישר במערכת צירים על-פי הנתונים. הדרכה: שרטטו את הטרפז במערכת צירים על-פי הנתונים, ומצאו את שיעורי נקודות האמצע של הצלעות. הדרכה: א. שרטטו את קודקודי המעוין במערכת צירים על-פי הנתונים, ונחשו מהם הקטעים BC ו- EK ב.. מצאו את משוואת הישר EK על-פי נוסחת הישר העובר דרך שתי נקודות. הדרכה: תחילה מ צאו את שיפוע הישר OM (שעובר דרך שתי נקודות נתונות: ראשית הצירים והנקודה M). השתמשו בעובדה ששני הישרים מקבילים. הדרכה: תחילה מ צאו את שיפוע הישר OM (שעובר דרך שתי נקודות נתונות: ראשית הצירים והנקודה M). השתמשו בעובדה ששני הישרים מאונכים..6.7.9 תכונות נוספות של גרפים 00
5. 4 y = 4 - =. 4-5 = y 5 = 5 =,. =, y = -. 5.4 (6, 4),. ( 8, 6 9 ). y 4. -4 - - - - - 4 5 6 7 8 9 0 =-5, y =-5 - -4 =, y =-8-5 -6-7 -8-9 -0 =0, y =4 =, y = תכונות נוספות של גרפים 0