В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 2010.

Transcript

1 ודים בוגיינקו תורגם ע"י מריה סבצ'וק משוואות פ ל

2 זהו תרגום מרוסית של הספר: В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, קובץ PDF של ההוצאה הראשונה ברוסית:

3 משוואת פ להיאמשוואהמהצורה משוואות דיאופנטיות בתחומיםשוניםשלמתמטיקה, במיוחדבגיאומטריהאלגבריתובתורתמספרים, אנחנו פוגשיםמשוואותששניאגפיםשלהןמהוויםפולינומים, והפתרוןאמורלהיותמספר שלם. משוואותכאלהנקראות משוואותדיאופנטיות. קיימיםסוגיםשלמשוואות דיאופנטיותשנפטריםבקלותבאמצעותכליםאלמנטריים, וישכאלהשפתרונם דורשיםשימושבתיאוריותמתמטיותמודרניות. אחתהדוגמאותלמשוואותכאלה המשוואותהמפורסמותשל פרמא a + b = z, > שהאנושות ניסתה לפתור במשך יותר משלושה מאות שנים, ורק לפני כמה שנים מתמטיקאי אנגלי אנדרו ויילס הצליח להוכיח שהמשוואות אינן פתירות במספרים שלמיםחיוביים. מהי משוואת פל? x my = () כאשר m הוא מספר טבעי שאינו ריבוע שלם. סוג זה של משוואות דיאופנטיות ריבועיותקשור להרבהבעיותחשובותשלתורתהמספרים. פתרוןשלמשוואותפל הואבעיהלאקלה, אךפתירהבאמצעותכלים אלמנטריים. מטרתנוהסופית היא תיאור מלא שלפתרונות המשוואותהאלה. תוךכדינפגושכמה מושגיםומשפטיםשממבט ראשוןלאודווקאנראים קשוריםלמשוואותפל. לרובםישחשיבותבפניעצמם, ולא רקככליםלפתרוןשלמשוואותפל. בהתחלה נבין איך פותרים משוואות דיאופנטיות לינאריות. פורמלית, לא נשתמש בתוצאותאלה עבורהפתרון שלהבעיה העקרית. אבלזהיכוללשמשאותנו כאימון מסוייםלפני התמודדותעםהחומר היותרמסובך שיבוא בהמשך. החלקהחשובשל פתרון משוואותדיאופנטיותלינאריותהוא אלגוריתםאוקלידסשמיועדלמציאתמחלק משותףמקסימלישלמספריםשלמים. כאןנגלה, שפעולותחשבוןמוגדרותלארקעל 3

4 מספרים, אלא גם על אובייקטים מתמטיים אקזוטיים יותר, כגון, למשל, נקודות המישור. בדרךנצטרךגםאתלמהשלמינקובסקיעלגוףקמור עובדהגיאומטרית יפה, שבאופן מפתיע מופיעהבפתרוןשלהרבהבעיותמתורתהמספרים. ולבסוף, נכיר את בסיסים של תורת השברים המשולבים שיעזרו לנו למצוא את פתרונות של משוואותפל. באופןכזה, תוך כדיהתקדמותלעברהמטרהשלנו, נגעבכמהנושאיםמתמטיים. לא נתמקדבהםבמיוחד, אבל לכמהמהםנוסיףבעיותלפתרוןעצמי. רובהבעיותהאלה לא ממשקשורותלנושא העיקרישלהספר, אבלבכמהמקריםמשתמשיםבתוצאות שלהםבהוכחות בהמשך. בסוףהספרישנםפתרונות והערותעבורכלהבעיות. קודם כל, נטען שתי הערות. דבר ראשון, לכל m למשוואה () יש לפחות שתי =y. ±=x, נקראלפתרונותאלה טריוויאליים. דברשני, מכיווןשבעת פתרונות: 0 שינוי סימן של x או y החלק השמאלי של משוואה () לא ישתנה, אנו יכולים להסתפקבמציאשל פתרונותאי-שלילייםבלבד (המיליםאחרות, פתרונותבהם x ו- y אי-שליליים). במסגרתפתרוןשל משוואתפלנרצהלענותעלשלוששאלותהבאות: האםקייםפתרוןלאטריוויאלי? אםכן, איךלמצואאותו? איךלתאראתקבוצהשלכלהפתרונות? ( ( (3 יותר נוח לענות על השאלות האלה בסדר אחר. אנחנו נתחיל דווקא מהשאלה האחרונה: בהנחה שכברמצאנופתרוןאחד, נראהאיךלמצואאתכלהפתרונות (ונגלה שישאינסוףכאלה). אחריזהנעבורלשאלהראשונה, ספציפית, נוכיחכילמשוואתפל תמידישפתרוןלאטריוויאלי. ולבסוף, נראהאיךלמצואאתהפתרוןהזה. נשיםלב, כיהגבלהעלהפרמטרm הינההגבלהטבעית. אםm הואריבועשלם, אז למשוואה () אין פתרונות לא טריוויאליים. אכן, הפרש של שני ריבועים (החלק השמאלישלהמשוואה) יכוללהיות, רקאםראשוןמהםשווהלאחד, ושני לאפס. 4

5 x y = דוגמא: משוואה בהתחלה נפתור משוואת פל עבור =m. חישוב לא מסובך מראה כי אם זוג (y (,x גםהואפתרון. אכן, הינו פתרון של השמוואה לעיל, אז הזוג (3x+ 4 y, x+ 3 y) (3x 4 y) (x 3 y) + + = = (9x + 4xy+ 6 y ) (4x + xy+ 9 y ) = x y, x y לכן, אם = אזגם = y).(3x+ 4 y) (x+ 3 x אנחנו יכוליםלקבלסדרה 0 =, y0 זאת אומרת שבהנתןהפתרון הטריוויאלי = 0 אינסופית של פתרונות (לא טריוויאליים) ) y, ( כך שכל אחד מהזוגות מתקבל x i i,( xi, y כאשר i) = f ( xi, y מהזוג הקודם על ידי נוסחת נסיגה ( i x+. f ( x, y) = (3x+ 4 y, הנה כמה איברים ראשונים של הסדרה: 3 y).(3, ), (7, ), (99, 70), (577, 408) ( x i מכסהאתכל הפתרונותהאי-שליליים. זה יסיים את, y i נוכיחעכשיושהסדרה ) התיאורשל הפתרונותשלהמשוואה. אתהפתרונות האי-שליליים של משוואת פלאפשר לסדרבצורה טבעית. בשבילזה x y נתבונן בקבוצת נקודות על מישור קרטזי שמקיימות את הנוסחה = ונמצאותברביעהראשון שלהמישור. קבוצהשלכל הנקודות האלה הינה גרף של הפונקציה x =y שמוגדרתעבורx (ראהאיור ). נגיד שנקודה על הגרף הזה גדולה, אם היא רחוקה מנקודה (0,). בגללשהפונקציהאי-שליליתועולה, משתי נקודות "היותר גדולה" שגם תהיה זאת, איור 5

6 ש( קואורדינטת ה-, x גם קואורדינטת ה- y שלה יהיו יותר גדולות. הפתרונות האי- שליליים של משוואת פל הם בדיוק הנקודות השלמות על הגרף. לכן אי-שוויון ( x'', y '') ו- ( x', y ') עבור שני פתרונות אי-שליליים שונים ( x', y') <( x'', y '') אומר כי ההעתקה כי x' < x'' שקול ל-.( y ' < y '' הינה f מונוטונית עבור הסדר שהוגדר לעיל. (אנחנו יכולים לדמיין את f המונוטוניותגםבצורההבאה: אםנפעילאתפונקציה עלשתינקודות, אזתוצאה שלהנקודה שנמצאתיותרלמעלהומימינהגם היאתהיהיותרלמעלהומימינה.) אכן, x' ו- '' y y ' < נובע בברור עבור '' y x', y ', x'', אי-שליליים מהאי-שוויונות x'' < וגם '' y 3 x' + 4 y ' > 3 x'' + 4. x' + 3 y ' > x'' + 3 y '' לה העתקה הפוכה שגם היא מונוטונית. כל העתקה מונותונית ההעתקה ההפוכה ל- f. g( x, y) = (3x 4 y, 3y x) לפתרון. נניח עכשיו כי קיים פתרון סדרה g ברור שגם ( x', y ') y למשוואה = x יש היא מעבירה כל פתרון של המשוואה ( x i, y i ) שבנינו. שני פתרונות של הסדרה: שוויון y i עוליםלאינסוף, הפתרון x i ו- בגללש-.( xi, y i ) < ( x', y') < ( x i +, y i + ) זה את ההתעקה המונוטונית g פעם אחרי פעם ) y,( x, y ) < g ( x ', y ') < ( x, כאשר ששונה מכל איבר של ( x', y ') אם נפעיל i i g ( x', y') i 0 0 אבל לא קשה לוודא כי אין למשוואה פתרונות בין פעמים, נמצא בין אי- על נקבל הוא גם פתרון של המשוואה. ל- 0) (, שהתקבלה מראה כי כל פתרון אי-שלילי של המשוואה שייך לסדרה.(3, ).( x, y ) i i הסתירה באופן דומה אפשר לתאר גם פתרונות של משוואות פל אחרות. בשביל זה מספיק למצואפונקציהדומהלהעתקה f עבורערךשרירותישלפרמטר m. ההעתקההזאת אמורה להעביר כל פתרון אי-שלילי של משוואת פל לפתרון אי-שלילי נוסף, והיא חייבת להיותמונוטוניתעלקבוצתהפתרונותהאי-שליליים. לפנישנתחיל עםפתרוןשל משוואותפלבמקרההכללי, נביןאיךפותריםסוגיותר פשוטשלמשוואותדיאופנטיות משוואותדיאופנטיותלינאריות. 6

7 משוואות דיאופנטיות לינאריות משוואהדיאופנטיתלינארית היאמשוואהדיאופנטיתמהצורה ax+ by= c () b ו- a כאשר - זמנית. ובנוסף מספרים שלמים, לא יכולים להיות שווים ל- 0 בו- c ו- b, a בהתחלהנענהעלהשאלה, האםישלמשוואה דיאופנטיתלינאריתלפחותפתרוןאחד. נסמןכ- d המחלקהמשותףהמקסימלישל a ו- b. אם c לאמתחלקב- d, ברורכי אין פתרונות, כי במקרה הזה החלק השמאלי של ביטוי () מתחלק ב- d, והחלק הימיני לא.. c= נניחעכשיוש- kd כיישפתרוןלמשוואה במקרה הזה פתרון קיים. כדי להוכיח את זה, מספיק להראות ax+ by= d (3) אכן, אם נכפיל את הפתרון (כלומר, כל אחד ממספרים x ו- ( y ב- k, נקבל את משוואה (). אחת השיטות למציאת פתרון למשוואה (3) מבוסס על אלגוריתם אוקלידס. אלגוריתם אוקלידס אלגוריתם אוקלידסמיועדלמציאתמחלק משותףמקסימלישלשנימספריםטבעיים. - r מנה, ו- - (כאשר a= b+ הוא מבוסס על העובדה הפשוטה הבאה: אם r שארית של חילוק של a ב-,(b אז r). gcd( a, b) = gcd( b, אכן, מנוסחא של חילוקעם שאריתנובעכיכלמחלקמשותףשלמספרים b ו- r מחלקגםאת a, וגם כל מחלק משותף של a ו- b מחלק גם את r. לכן קבוצות מחלקים משותפים של זוגותמספרים b) ( a, ו-( r ( b, שוות, ולכןגםמחלקיםמשותפיםמקסימלייםשלהם שווים. 7

8 מימוששל אלגוריתםאוקלידס הינוסדרהשל פעולותחילוק. בהתחלהמחלקיםאת המספרהיותרגדול במספרהיותרקטן. בכלשלבהבא מחלקיםאתהמחלקמהשלב הקודם בשאריתשלהשלבהקודם. ממשיכים באופןכזהעדשמגיעים לשאריתשווה ל- 0. זהחייב לקרותאחרימספרסופישלמהלכים, בגללששאריות קט נותממשכל הזמן. השארית הלא אפסית האחרונה תהיה המחלק המשותף המקסימלי של שני המספריםהמקוריים. שלבים של אלגוריתם אוקלידס שהפעלנו על זוג (b (,a אפשר לרשום בצורה הבאה: a= b + r b= r + r r = r + r r = r + r 3 r = r + r r = r +. d = gcd( a, b) = gcd( b, r ) =... = gcd( r, r ) = r (4) אזי m + - ו- m. הוכחכיאם הינם זרים. שני מספרים שלמים אי-שליליים, אז מספרים ו- + עכשיו נראה איך למצוא את פתרון של משוואה (3) בהינתן סדרת השוויונות (4). r מהשוויוןהקודם, d = r מהשוויוןהאחרון. נציבלתוךביטוישקיבלנואת נחלץ וככההלה. כשנסייםאתהתהליך, נקבלביטוישל d כחלקשמאלישלמשוואה (3). =78y. +355x בהתחלה נמצא מחלק משותף בעזרתאלגוריתםאוקלידס: בתור דוגמא נתבונן במשוואה מקסימלישלמספרים 355 ו- 78 קטעי הטקסטעםשניקוויםאנכיים אלהבעיותלפתרוןעצמי. הבעיותהקשות ביורמסומנותבכוכבית. 8

9 355= = = = = 3 + 3= + = לכן, = 78) gcd(355,. נעתיקאתהשוויוניםשקיבלנובצורההבאה: 43= = = = = 8 3 = 3 עכשיונעבורעלסדרתהשוויונותבסדרהפוך: = 3 = 3 (= 8 3 ) = = (35 8 4) 3 8= = = 35 3 (43 35 ) 3= = = (78 43 ) = = 78 6 ( ) 9= = x = 9, y= מצאנו פתרון: 3 נשארלנולענותעלשאלההבאה: איךבהינתןפתרוןאחדשלמשוואהלינארית אפשרלמצואאתכלהפתרונותשלה? נראהאתזהעלהדוגמההבאה. נתונה 9

10 3x+ 5y= דוגמא: משוואה אנחנויכוליםדי מהרלמצואאחדפתרונותעלידילעבורעלכלהמספריםלפיסדר: (. x= 44, y= 3 יתןפתרוןאחר: (שימושבאלגוריתםאוקלידס. x= 4, y= נצייר במערכת צירים גרף של המשוואה קבוצת נקודות שמקיימות את y) ( x, המשוואה. הגרףהזההינוקוישר (ראהאיור ), נסמןאותוב- l. עלהישרהזהצריך למצוא את כל הנקודות עם קואורדינטות שלמות (לשם פשטות נקרא להם נקודות שלמות). מהציור רואים כי נקודות (,4) ו-( 5, ( שייכות לישר l ואין נקודות שלמותנוספות בקטעשמחבראותן. כמובן, גרף לאיכוללהוותהוכחהלעובדהזאת, אבל ההוכחה עצמה לא הרבה יותר מסובכת. כדי להראות שזה נכון, אפשר פשוט לעבורעל כל ה- Y -יםבקטעולהראותשה- X -יםהמתאימיםאינםשלמים. איור 0

11 נשים לב כי אם זוג פתרון: ) y ( x, הינו פתרון למשוואה, 0 0 3) + y ( x 5, גם אז זוג ( x 5) + 5( y + 3) = 3x 5+ 5y + 5= 3x + 5y = אנחנו רואים שהעתקה ( x, y) ( x 5, y+ 3) (5) מקיימת שני תנאים הבאים: א. ב. שומרתעלישרl (ההעתקהמהווההזזה מעבירהנקודותשלמותלנקודותשלמות לאורך הישר הזה) לכן כל פתרון היא מעבירה לפתרון. אם נפעיל את ההעתקה על (5) פתרון שכבר מצאנו, נוסיף ל- x כלומר,, 5 ול- y נוסיף 3, נקבל פתרון נוסף, וככה הלה. נקודות שמתאימות לכל הפתרונות האלה נמצאות על ישר l במרחקיםשוויםזו מזו (ראה איור ). ברורכי אפשרלנוע גם בכיווןההפוך. באופןכזה, מצאנוסדרהאינסופיתשלפתרונות x= 4 5 t, y= + 3t כאשר t הוא מספר שלם כלשהו. נוכיח עכשיו שכל הפתרונות של המשוואה הם + t, (4 5 ו- מהצורה הזאת. נניח בשלילה כי על ישר l בין נקודות (t 3 t+ 5( t+ ), + 3( (4 ישנקודהשלמה. נפעילמספרפעמיםהזזה (5) במקרה )) ונקבל כי בקטע בין נקודות >t, 0 במקרה או ההזזה ההפוכה <t, 0 (4, ) (, 5) גםישנקודהשלמה. סתירה. בזאת מצאנו את כל הפתרונות של המשוואה והוכחנו כי אין לה פתרונות נוספים. ו-

12 פתרון כללי של משוואה דיאופנטית לינארית b ו- a נעבורעכשיולמקרהכללי. נתבונןבגרפיםשלמשוואות () c פרמטרשעוברעלכלהמספריםהשלמים. התמונה שנקבל היא משפחה אינסופית של l. c נשים לב כי כל נקודה ישרים מקבילים שלמה שייכת בדיוק לישר אחד מהמשפחה (ראהאיור 3 ). עבור קבועים, ו- נגדירבמישורכרטזי "חיבורשלנקודות": ( x, y ) + ( x, y ) = ( x + x, y + y ) הפעולההזאתמוגדרתגםעל תת-קבוצהשל נקודותשלמות. לפעולהזאתיש המחשהגיאומטריתטבעית: חיבורשל וקטוריםעם התחלהבראשיתהציריםוסוףבנקודותהנ"ל. בדומהלחיבוררגיל, ישלפעולההזאת גםהפעולהההפוכה: חיסור. נשים לב לתכונה הבאה של אם שתי נקודות נמצאות על ישרים החיבור:,l l m ו- l, והפשר עלישר סכוםשלהןנמצאעלישר m + מאוד, לכן נשאיר אותה בתור תרגיל. שנמצאת על ישר נוסיף את איור 3 אז.lm בדיקהשלהתכונההיאקלה מהתכונה הזאת נובע כי אם לנקודה שלמה l, 0 נקבל את l c כל אחת מהנקודות שמצאות על ישר l. c במילים אחרות, כדי למצוא את כל הפתרונות של הנקודות השלמות של ישר משוואה (), צריך למצואפתרון אחד פרטי ואז להוסיףלואת הפתרון הכללישל המשוואה ax + by= 0 (6) נשאר לפתור את המשוואה הזאת. נגדיר שוב b). d = gcd( a, אז נגדיר d,, a= a ' ו- = ') b. gcd( a ', אזמשוואה (6) תקבלצורה b= b' d

13 a ' x = b' y, x= b' t x a' a' בגללש- x. y= a ' t וגם מתחלק ב-' b זר ל-' b, ואז מכאן מתחלק ב-' b. () נסכם את כל מה שקיבלנו. c מתחלקב- (b, gcd(,a אם פתרון. לא אם אין אז למשוואה אזלמשוואה () ישאינסוףפתרונות, וכולם b a x= x0 + t, y= y0 t, d d, gcd( a, כןמתחלקב-( b c מהצורה: - ( x, y ) 0 0 ו- פתרון פרטי,, d כאשר t הוא מספר שלם שרירותי, (b = gcd(,a שאותואפשרלמצואבעזרתאלגוריתםאוקלידס. גרף של משוואת פל x my = נצייר גרף דבר ראשון, של משוואת פל. היפרבולה (ראה אייור 4) עם אסימפטוטות x ±=y. כדי לוודא שזה נכון, נפרק m את החלק השמאלי של המשוואה לגורמים: הינו גרף של המשוואה, = x my = ( x m y)( x+ m y) ונכניס מערכת צירים חדשה: נעביר ציר x Oy' וציר, y= לאורך הישר Ox' m x לאורך הישר =y. במערכת הצרים m 'y Ox' משוואה של העקום שלנו יראה. x' בצורה "רגילה": y ' = cost איור 4 (, 0) לכל m היפרבולה עוברת דרך נקודה וסימטרית יחסית לשני הצירים. 3

14 l x my = יחד עם ההיפרבולה המשוואות נתבונן בסדרת העקומים שמוגדרים על ידי x my = (7) l 0.(5 השלמים עובר על כל המספרים כאשר העקומים כאשר (ראה איור איור 5 y =± x m הינם היפרבולות, ו- l 0 זה זוג של הישרים משותפות של כל משפחה הזאת של עקומים). (שמהוות אסימפטוטות בגלל שלכל נקודה שלמה הגודל l 0 x my מהווה מספר שלם, כל נקודה שלמה l. בגללש- m אינוריבועשלם, על (זוגהאסימפטוטות) נופלתעלאחדמהישרים ישרקראשיתהצירים, וכלשארנקודותשלמותנמצאותעלההיפרבולות. לכל היפרבולה l יש היפרבולה צמודה.l אם נבחר על אחת ההיפרבולות שתי נקודותסימטריות לגביראשיתהצירים, אזעלההיפרבולההצמודהלהאפשרלבחור זוגנוסףשל נקודות סימטריות לגבי ראשית הצירים, כך שארבעת הנקודדותהאלה 4

15 יהווקודקודיםשלמקביליתעםצדדיםמקביליםלאסימפטוטות. לשתיזוגותכאלהשל נקודות נקרה צמודים זה לזה. אכן, אם במערכת צירים המוגדרת על ידי שתי,( x האסימפטוטותלזוגשל נקודותסימטריותישקואורדינטות ') y ( x', ו- ') y ', אזזוג הנקודותהצמודלהבמערכת ציריםהזאתהואזוגהבא שלנקודותסימטריות:.( x', ו-(' y ( x', y ') כפל נקודות כשדיברנועל משוואות דיאופנטיות לינאריות, הגדרנו "חיבור" של נקודותהמישור, והפעולההזאתעזרהלנולהבין איךבנוייםהפתרונותשלהמשוואותהאלה. עכשיו אנחנו נגדיר פעולה נוספת על נקודות המישור. נקרא לפעולה הזאת "כפל", והיא תעזור לנולפתוראת משוואתפל. יותר מדוייק, אנחנונגדיר לא פעולה אחת, אלא משפחה אינסופית של פעולות (שתלויות בפרמטר m שיש עליו מגבלה שאינו ריבועשלם כמובמשוואותפל). הנההגדרהשלכפלנקודות: ( x, y ) ( x, y ) = ( x x + my y, x y + x y ) (8) הפעולה שהגדרנו מקיימת אותם תנאיים כמו הכפל הרגיל: קומוטטיביות, אסוציאטיביות ודיסטריבוטיביות ביחס לחיבור נקודות שהגדרנו קודם. את התכונות האלהאפשר לבדוקבדרךישירה, אך לאנמהרלהתחיל לרשוםשורותארוכותשל חישובים. הוכחות ללא שום חישובים יבואו בהמשך, אחרי שנבין את הפרשנות האלגבריתשלהכפלשלנו.,l k אזמכפלתן,l ונקודה y) ( x, שייכתלעקום ( x, y שייכתלעקום אםנקודה ) l. אכן, + k y) ( x, y ) ( x, שייכתלעקום ( x x + my y ) m( x y + y x ) = = x x + mx x y y + m y y mx y mx x y y my x = = ( x my )( x my ) = k 5

16 .l במילים נקבל נקודות שנמצאות על,l בפרט, אם נכפיל נקודות שנמצאות על אחרות, מכפלה של פתרונות של משוואת פל הינה גם פתרון. כפל בפתרוןהאי-שליליהטריוויאלילאיתן לנו פתרונות נוספים, כי הנקודה (0,) משחקתפהתפקידשל "אחד": אם נכפיל בה נקודה מסויימת, נקבל אותהנקודהבחזרה. פתרון כללי של משוואת פל אםלמשוואתפליש לפחותפתרוןלא טריוויאליאחד, אזאםנכפילאותואינסוף איור 6 פעמים בעצמו, נקבל אינסוף פתרונות. יחדעםזאת, אתכלהפתרונותאפשרלמצואבצורהדומהלאיךשעשינואתזהבמקרה שלm=. תוךכדי תנועהמנקודה (0,) ימינהעלפניגרףשלמשוואה (ראהאיור 6), אנחנומוצאים אתהפתרון (הלאטריוויאלי) הראשון. נקרהלפתרוןזה בסיסי. משפט. כל פתרונות לא טריוויאליים פעמים) שלהפתרוןהבסיסיבעצמו. (מספר של משוואת פל מתקבלים מכפל הוכחה. נתבונן בסדרה שמתקבלים מהפתרון הבסיסי... ), y ( x, y ), ( x, y ),... ( x, של פתרונות ) y ( x, על ידי כפל בעצמו. + + נניח שבגרף המשוואה קייםפתרוןנוסף שנמצאביןשניאיבריה: ) y ( x, ו-(.( x, y אםנכפילאותו ב- ) y ( x,, נקבל פתרון חדש של המשוואה שנמצא בין ) y ( x, ל- ) y.( x, אכן, כפלב-( ( x, y הינו פעולההפוכהלכפלב-(.( x, y אםנחזור עלהפעולה פעמים, נקבל פתרון שנמצא בין (0,) ל-( ). x, y זה סותראתזה ש-( ( x, y הינההפתרוןהבסיסי. 6

17 עכשיונעבורלהוכחת קיוםשל פתרוןלאטרוויאלי למשוואתפלכלשהי. בשבילזה נצטרך להגדיר חילוק של נקודות פעולה הפוכה לכפל. אבל לפני נראה שתי פרשנויותשלכפלנקודות: גיאומטריתואלגברית. 0 0 סיבוב היפרבולי יהי ) y ( x, פתרוןלאטריוואלימסוייםשלמשוואתפל. נתבונןבהעתקהשמעביר כל נקודה שרירות לנקודה y) ( x, כפל בפתרון לא טריוויאלי של משוואת פל.( x x+ my y, x y+ y x) ההעתקה הזאת מעבירה כל נקודה על היפרבולה l לנקודה נוספת עליה, כלומר אתכל היפרבולה מהמשפחההיא מזיזה לאורך עצמה (ולכןהיאנקראת סיבובהיפרבולי). תוךכדיהפעולהנקודותשלמותעוברות לנקודות שלמות. כיוונים בהם מוזזות ההיפרבולות 7 ) y ( x, חיובי). שהפתרון הבסיסי (מנחים מצויינים באיור 0 0 איור 7 7

18 כשדיברנו על משוואות דיאופנטיות לינאריות, שלמיםלאורךגרףשלמשוואה (ישר). תפקיד תואם היה להזזות לוקטורים האסימפטוטות? שאלה לבדיקת איךההעתקההנ"למשפיעה על הבנה.. עכשיו ברצנינו להציע סדרה של משוואות דיאופנטיות מסדר שני שקרובות למשוואות פל לפתרון עצמי. x, הוכח כי מספרים שלמים אי-שליליים y (כאשר הוא פרמטר שלם נתון) מקיימים את המשוואה הינם אם ורק אם x ו- y ϕ = 0, ϕ =, ϕ = m, ϕ = m, ϕ = m m, m.3 x mxy+ y = איברים עוקבים של הסדרה ϕ = m 3m +,... ϕk = mϕ k ϕk מספרים אי-רציונליים מדרגה שנייה y ו- x כאשר, x+ my נתבונןבקבוצה m] Z[ של מספרים מהצורה קשהלהביןכיסכום, הפרשומכפלהשל איברי שלמים. לא m] Z[ שייכיםל-[ m Z[ גםהם: ( x + my ) ± ( x + m y ) = ( x ± x ) + ( y ± y ) m ( x + my ) ( x + my ) = ( x x + my y ) + ( x y + x y ) m ( x, y) אנחנו רואים שאם נתאים לכל מספר מהצורה my +x נקודה במישור, נראהשפעולות חיבורוכפלעל המספריםתתאיםלחיבורוכפל עלנקודותשהגדרנו. בגללשכפלשל המספריםהואקומוטטיבי, אסוציאטיביודיסטריבוטיבי, תחונותאלה מתקיימותגםעבורנקודותהמישור. 8

19 נשים לב כי ההתאמה הזאת בין [m ]Z ועל: ערכית ונקודות שלמות של המישור היא חד-חד- הנחה שלשתי נקודות שונות ) y ( x, ו- ) y ( x, מתאים אותו מספר. זהלאיתכןכי x x m= y y, x + y m= x + y m ומכאן x+ y m Z[ m] גוררת שוויון אי-רציונלי. מספר m לכל ונורמה הצמוד המספר אפשר להגדיר את m), N( x+ y שהיא שווה גם = x my x+ y m = x y m למכפלהשלהמספרבצמוד. נשים לבשנורמהשלמספרשווהלמספרהיפרבולהעליה נופלתנקודההמתאימהלמספר. אתהעובדהשמכפלהשלשתי נקודותנמצאתעלהיפרבולהעםמספרששווהלמכפלה של מספרים של היפרבולות של הנקודות הנ"ל אפשר לנסח מחדש בצורה הבאה: נורמהשלמכפלהשווהלמכפלתהנורמות. במונחים אלה לפתור משוואת עם נורמה שווה לאחד. פלזהאותודברכמולמצואאתכלמספריםב-[ m ]Z Z[ מ-[ m x + y m x + y תוצאת חילוק של שני מספרים m ו- לאו דווקה x y x y x x ו- my y זה קורה רק במקרה ש- מתחלקים שייכתל-[ m ]Z. ב- ) y. N ( x + m אכן, x + y m ( x + y m)( x y m) = = x + y m ( x + y m)( x y m) xx my y x y x y = + N( x + y m) N( x + y m) m בפרט, כשנורמהשל הטענההבאה: מספר שווה ל- ±, אז כל המספרים מתחלקים בו. נצטרך את 9

20 ,Z[ m] x + y m x + y m יהיו למה. אם ו- וגם שייכים ל- ), y y (mod אז x x (mod ). = N( x + y m) מתחלקב-. x + y m x + y m 0(mod ). x my, x my = הוכחה. לפני הגדרת הנורמה, לכן מ- ), x x (mod לכן ). x x x (mod באופן דומה, נתון ש- ) y y (mod נובע ) (mod. my נחסירונקבל: y my 0(mod ) x x my y x my (9) חוץמזה, אםנקחאת שתיהקונגרואנציותמהנתוןונכפילאותן (אחתכמושהיוהשנייה ), x y x y (mod או, במיליםאחרות בסדרהפוך), נקבל x y x y 0(mod ) (0) x + y קונגרואנציות (9) ו-( 0 ) מראותכי m מתחלקב-. x + y m חילוק נקודות נחזור לנקודות השלמות הממוקמות על משפחת ההיפרבולות. התחלקות של מספרים ב-[ m ]Z, מיחס חח"ע ועל שגילינו בפרק הקודם. כל מה שנאמר על תקף גם עבור התחלקות של נקודות, נראה כי קיימת היפרבולה כתוצאה l שיש עליה שתי נקודות שמתחלקות אחת בשנייה. מספיק בשביל זה להראות כי על ההיפרבולה יש לפחות + נקודות שלמות. אכן, קיימות רק אפשרויות לזוג שאריות שקואורדינטותשלנקודהיכולותלתתבחילותב-. לכן, לפיעקרוןשובךיונים, בכל קבוצהשמכילה + נקודותשלמות, לשתיים מהנקודותהאלהגםקואורדינטתה-, x גםקואורדינטתה- y שוותמודולו. לפילמה, הנקודותהאלהמתחלקותאחת 0

21 l, במילים אחרות, להיות בשנייה. תוצאתהחילוקחייבת להיותשייכת להיפרבולה פתרוןשלמשוואתפל. בגללשהנקודותשנבחרושונותואי-שליליות, הפתרוןהזהלא טריוויאלי. נעזוב לרגעאת החלק האלגברי ונדבר עלכמה עובדות גיאומטריות יפות. אחרי זה נוכיח שעלאחתההיפרבולותישאינסוףנקודותשלמות. זהיסייםאתהוכחהשלקיום פתרוןלמשוואתפל. למה של מינקובסקי על גוף קמור אנחנו הולכים להוכיח שתי למות גיאומטריות מגניבות. הלמה הראשונה משחקת תפקידשלשלבבינייםבהוכחתהלמההשנייה. הלמההשנייהנקראתלמתמינקובסקי, והיאבצורהמפתיעה תהווההחלקהעקריבהוכחתקיוםשלפתרוןשלמשוואתפל. למה. תהיΦ צורה במישורעםשטחגדולמ-. אזי קיימותשתינקודותA ו- B השייכותל- Φ כךשווקטור AB (במיליםאחרות, אפשרלהזיזאתהצורהΦ לאורך וקטור שלםכךשהיאתחתוךאתהעותקשלעצמה). איור 8

22 הוכחה. נחתוך את המישורהקרטזי לריבועיםעם צלע על ידיישרים מקבילים לצירים (איור 8, א, ב). אתכלהריבועיםשישלהםלפחותנקודתחיתוךאחתעםΦ, נזיז כך שהם כולם יתלכדו. בשביל זה אחד מהריבועים נשאיר במקום, ושאר נזיז לאורך וקטוריםשלמיםכךשהם יכלכדועםהריבועהראשון. אחריזהכלהחתיכות של צורה Φ נמצאות בתוך ריבוע אחד. בגלל ששטח של Φ גדול מ-, חתיכות מסויימות נחתכות. תהי M נקודה משותפת איזושהישל שתיחתיכות שונות (ראה איור 8, ג). נעביראתכלהחתיכותלמקומותשלהן (עלידיההזזותההפוכות). נקודה M תעבורלנקודותבתוף Φ שמהוותקצוותשלוקטור שלם (ראהאיור 8, ד). למת מינקובסקי. תהי - Φ צורה במישור קרטזי, קמורה, בעלת סימטריה מרכזית (יחסית לראשיתהצירים), עםשטחגדולמ- 4. אזיהיאמכילה נקודהשלמהבנוסף לראשיתהצירים. הוכחה. נתבונן בהומותטיה עם מקדם ומרכז בראשית הצירים O. היא מעבירה את צורה Φ לצורה 'Φ שגם קמורה וסימטרית יחסיתל- O עםשטחגדולמ- (ראהאיור 9). מלמה, אפשר למצוא נקודות B Φ',A כך שוקטור AB שלם. תהי 'A נקודה סימטרית ל- A יחסית ל- O. מסימטריה של הצורה יחסית 'A. עכשיו, תהי לראשיתהציריםנובעכי 'Φ M אמצע של קטעB. 'A מהקמירות נובע כי איור 9.M Φ' מצדשני, OM = ( OA' + OB) = ( AO+ OB) = AB נתבונןבנקודה K כךש-. OK = OM בגללש- AB - OK = וקטורשלם, K היא נקודהשלמה, ובגללש-' M Φ, אזגם K Φ'. לכן K היאהנקודהשחיפשנו.

23 4. יש גן בצורת עיגול עם רדיוס של קילומטר אחד. בגן יש עצים שמושתלים בקודקודיםשלרשתריבועיתעםצלעשלמטראחד (כולל הקודקודיםשנמצאיםעל הקצהשלהגן). אם מרחקמקודקודשל הרשתעדקצהשל הגןקטןמרדיוסשלעץ מסויים, אזהעץחורגמגבולותהגן. הקודקודהיחידשלהרשתבואיןעץזהמרכזשל הגן. רדיוסשלכלעץשווהלמילימטראחד. הוכחשתצפיתממרכזהגןחסומהלגמרי, כלומר, כלקרןשיוצאתמשםחותךגזעאיזשהו.. a> ac b = 0, יהיו 5*. a, b, c מספרים שלמים, ונתון בנוסף כי למשוואה = cy ax + bxy+ ישפתרוןשלם. הוכח כי סיום של הוכחת קיום של פתרון לא טריוויאלי למשוואת פל מה שנותר לנו להוכיח זה שעל אחת ההיפרבולות מהמשפחה יש אינסוף נקודות שלמות. נניח בשלילהכיכלהיפרבולהמכילהרקמספרסופישלנקודותכאלה. נקח היפרבולה וההיפרבולה l N עם איור איור 0 מספר מספיק גדול (למה צריך להיות שווה, N l N נגלה בהמשך) הצמודהלה. בתוךהתחום החסוםעלידישתיההיפרבולותהאלהיש רקמספר סופישלנקודותשלמות. אכן, כלהנקודות האלהשייכותלמספרסופישל היפרבולותעםאינדקסיםבין N ל-, N ולפיהנחה, עלכלאחתמהןישרקמספר סופישלנקודותשלמות (כאןבאהבחשבון גםההיפרבולההמנובנת, ועליהישרק l 0 3

24 נקודהשלמה אחתשהיאראשיתהצרים). אסימפטוטותשל ההיפרבולותמחלקותאת המישורלארבעזוויות, וכלאחתמהנקודות, חוץמראשיתהצירים, נמצאתבתוךאחת מהזוויות הנ"ל. מכלאחת מהנקודותנעבירזוג קרנייםהמקבילים (וגםבאותוכיוון) שלצלעותשלהזוויתהמתאימה (ראהאיור 0). נקבל מספר סופי של זוויות כאלה. לכל אחת מהזוויות צלעותיה חותכות את אחד מארבעתהענפיםשל זוגההיפרבולות. מכאן, כלזווית מכסהעלההיפרבולותקבוצה חסומהשלנקודות. נבחרזוגשלנקודות סימטריותעלאחתההיפרבולותוהזוגהצמוד להעלההיפרבולה הצמודה (ראהעמוד 4), באופןכזהשאף אחתמהנקודותהאלה לא תכוסה על ידי שום זווית שציירנו.זה אכן אפשרי מספיק רק לבחור נקודות מספיקרחורות, כי הזוויותמכסותרק תחוםחסוםעלכלאחדהענפים. מקביליתעם קודקודים בנקודות האלה (ראה אייור ) לא מכילה נקודותשלמותחוץ מראשית הצירים, אחרתזוויתשציירנו מהנקודההזאתהייתהחותכת אתאחדהקודקודים של המקבילית. אבלאזאנחנומקבלים סתירהעםלמתמינקובסקי, כימקביליתהיאצורה קמורה עם סימטריה מרכזית, ואם נבחר N מספיק גדול, נוכל לקבל מקבילית עם שטחגדולמ- 4. נשאר להראותמהצריךלהיות N בשביל זה. נשיםלב, כישטח המקביליתתלוירק ב- N שהוא מספר ההיפרבולה, ולא בבחירה של נקודות עליה. אכן, שטח של מקבילים פרופורציונלי למכפלה של צלעותיה (מקדםהפרופורציהשווהלסינוס של זווית ביניהם ותלוי רק ב- m). אבל במערכת צירים שצירים שלה מקבילים איור לאסימפטוטות, צלעותהמקביליתשוותפעמיים קואורדינטת- x ופעמיים קואורדינטת- y של אחד הקודקודיו. וההיפרבולה (באותה מערכת הצירים) מוגדרת על ידי המשוואה הבאה: מכפלה של קואורדינטת- x וקואורדינטת- y שווה לקבוע. לכן, בבחירה שרירותית של הקודקודים על ההיפרבולות, שטחה של המקבילית גם יהיה קבוע. 4

25 נחזור למערכת הצירים ההתחלתית. מטרתנו לחשבאתשטחהשל המקבילית. לשם נוחותכדאילבחור אתהמקביליתשקודקודיההינםנקודותחיתוךשלההיפרבולותעם N הצירים (ראהאייור.( אלהנקודות 0), N ± ( ו-( ±.(0, המקבילית הזאת m N הינהמעויין, וקללמצואאתשטחה: = S. מהנתון 4 S> מקבלים. N > m m בזאת, סיימנואתההוכחהשלקיוםהפתרון. משפט. לכל משוואת פל קיים פתרון לא טריוויאלי. הערה. משפטשלקיום הפתרוןלמשוואתפלמהווהמקרה פרטישלמשפטדיריכלא עלמבנהשל חבורתהיחידותבחוגהמספריםהאלגברייםהשלמים. המשפטהזה (שלא רק הוכחה, אלא אף ניסוח שלו אינם אלמנטריים) הינו אחת מהתוצאות היפות של תורתהמספרים. ניסוחוהוכחהשלמשפטדיריכלא, שהינובפועלהכללהשלזהשיש פה, אפשרלמצואבספר []. הבנה. איפה בהוכחה של משפט אינו השתמשנו בזה ש- m 6. שאלה לבדיקת ריבוע שלם? איך למצוא פתרון למשוואת פל להוכחתקיוםפתרוןשלמשוואתפל שהביאנולעילישחסרוןמשמעותי: זאתהוכחה לא קונסטרוקטיבית. במילים אחרות, ההוכחה לא נותנת שום דרך למציאת פתרון. נשאלתהשאלה, איךלמצואפתרוןפרטי (רצויהפתרוןהבסיסי) שלמשוואתפל? יש דרךאחתשהיא "ראש בקיר": לעבורעלכלערכים שלמים אי-שלילייםשל y עד שמספר מתישהו. my + יהיהריבועשלם. האלגוריתםהזה בטוחיביאאותנולפתרוןהבסיסי אבל אין לנו שום הערכה כמה זמן הוא יעבוד. ואכן, האלגוריתםאינויעיל 5

26 במיוחד. יש ערכים של m די קטנים שעבורם ערכי x ו- y מייצגים הפתרון ש( הבסיסי) גדולים. למשל, עבור 09 =m הכיתובהעשרונישלמספר x מורכבמ- 5 ספרות, ושלמספר y מ- 4 ספרות. לכן שימושבאלגוריתם הזהאינו מעשיאפילו אםנשתמשבמחשב. בפתרוןשלמשוואותדיאופנטיות לינאריותנעזרנובאלגוריתםאוקלידסשנתןלנודרך יעילהלפתרון. באופןדומה, בשבילפתרוןשלמשוואותפלנעזרבשבריםמשולבים. שברים משולבים כלמספר αשאינושלםניתןלהציגבצורה α 0 α0+, α = כאשר α,α צריךלקחתאתהחלקהשלםשלמספר α 0 α. אכן, בתור > ההופכי לחלק שברי של α. היצוג הנ"ל הינו יחיד, כי מהתנאי מספר שלם, ו- α ובתור α > 0 < 0<, לכן α מספר הינו α החלקהשברישל α, ולכן - α 0 α יצא לא שלם, בסוף נקבל יצוג הבא של מספר :α אז גם אותו אפשר להציג בצורה המספר נובע החלקהשלםשל α. אם, α= a וככההלה. + α α = α + 0 a + a + + α () 6

27 α מספרגדולמ-, לאו a, a,... a מספריםטבעיים, ו- a 0 מספרשלם, כאן דווקא שלם. עבור קבוע מראש, הייצוג הזה יחיד. יכול לקרות מצב שעבור α מסויים מספר יוצא שלם, והתהליךיסתיים. במקרהזה החלקהימיןשל הביטוי () αאינושלם, i אזנקבל הביטויהבא: נקראשברמשולבסופי. אםאףאחדמ- α = α + 0 a + a + () α, a, a,... 0 החלקהימנישל הביטויהזהנקראשבר נקראיםאיברים שלהשברהמשולב. המקדמים משולב אינסופי. 7. שברמשולבהינוסופיאםורקאםמספר α הינורציונלי. אם נאפשר לאיבר אחרון של שבר משולב להיות שווה ל-, אז יצוג של מספרים רציונליים בתור שבר משולב יפסיק להיות יחיד. לביטויים כאלה נקרא שברים משולבים סופיים מוכללים. כל מספר רציונלי אפשר לייצג בצורה של שבר משולב סופימוכללבדיוקבשתידרכים, ומתקייםכימספרקומותבשניהיצוגיםהאלהשונים ב-. הדרך הראשונההיא יצוגשלהמספרבצורה שלשברמשולב, והדרךהשנייה.( a a ב- + ) מתקבלתמהראשנהעלידיהחלפתאיבראחרון 8. אם סדרתהאיבריםשלשבר משולבהינהמחזורית, משוואהריבועיתעםמקדמיםשלמים. אזמספר α הינושורששל הערה. גם הטענה ההפוכה נכונה: אם α שורש אי-רציונלי של משוואה ריבועית במקדמים שלמים, אז סדרת האיברים של השבר המשולב שמייצג את α הינה מחזורית. אבלהוכחהשלהטענההזאתמשמעותיתיותרמסובכת. 7

28 י- כדישלביטוי ( ת) היהמשמעות, צריךלהגדירבצורהיותרברורהאתהחלקהימיני שלו. בשבילזה "נקטעאתהזנב" של השברהמשולב האינסופי ונקבלשברמשולב סופימוכלל: r = α + 0 a + a + + α השבר הזה מיצג איזשהו מספר רציונלי: נגדירבצורהכזאת, p ו- ) את r = p p שהשבר הינו מצומצם). נקרא לשבר הזה השבר המתקרב ה- של השבר המשולב (וגםשלמספר αשהשברהזהמייצג). שברמתקרבמוגדרעבורכל 0. נוכיחכי סדרתהשבריםהמתקרביםמתכנסת. אזנוכל באופןטבעילהגדיראתהחלק הימיני של ביטוי () כגבול של סדרת השברים המתקרבים. בשביל הוכחת קיום הגבול ננסח כמה טענות עזר. שתי הטענות הראשונות נביא כבעיות לפתרון עצמי. שתיהןנפתרותבקלותבאינדוקציה. מקיימות את כללי נסיגה הבאים: p ו- 9. הוכחכיסדרות p = p a + p = a (4) עולות ו- (עבור מונוטונית בערך מוחלט p נשים לב שכתוצאה מכך הסדרות ), ושואפותלאינסוף. 0. הוכחכילכל : 8

29 . p ( ) p = (5), m> זוגיו-. r < r m r < α אז, m> זוגיו- אם למה 3. וגם אז אי אם וגם. r > r m r > α הוכחה. נתבונןבפונקציההבאהבמשתנה : x f ( x) = α0+ a + a + + x (6) הפונקציה הינהמונוטוניתעולהעבור -ים זוגייםומונוטוניתיורדתעבור -יםאי- זוגיים. אכן, אפשר להציגאותהכהרכבהשלשתיפונקציות פעמים: פונקציהאחת היא לקחת הופכי, והפונקציה השנייה היא להוסיף קבוע. תוך כדי התהליך, לקיחת הופכיכלפעםהופכתאתהמונוטוניותלהפוכה, והוספתקבועשומרתעליה. נסמן: a m, = α + a + + a + + a m, m m a < a m,, a < α אזי של פונקציה נובע כי ו-. f ( a ) = r, f ( α ) = α, f ( a ) = r ממונוטוניות m עבור r < α, r < r,α r > עבור זוגי ו- r > r m f ( ) x אי-זוגי. 9

30 r r + למה 4. ההפרש שואף ל- 0. הוכחה. מנוסחא (5) נובע r p p p p r = = = (7) עכשיו הלמה נובעת מהמסקנה הבאה של נוסחא חסומה. משפט 3. סדרה סדרה :(4) לא עולה בצורה r מתכנסת למספר.α r הוכחה. לפילמה 3 תת-סדרהעם אינדקסיםאי-זוגייםמונוטוניתעולהוחסומהמלעיל (למשל, על ידי αאו על ידיכל איבר של סדרה עם אינדקס אי-זוגי). לפי משפט בולצנו-ויירשטרס, היאמתכנסתלמספרקטןאושווהל- α. באופןדומהתת-סדרהעם אינדקסים זוגיים מונוטוניתיורדת וחסמה מלרע, לכן היא מתכנסת למספרגדולאו שווהל- α. לפי למה 4 הפרששל שתי תתי-הסדרותיורד ל- 0, ולכןשני הגבולים שוויםל- α. זהאומרכיגבולשל שווהל- α. הערה. בנינושברמשולבבהינתןמספר α. אבלשברמשולבאינסופיאפשרלבנות a) 0 ושלמים. הערך של השבר מסדרה כלשהי של מספרים חיוביים (חוץ מאולי המשולבהינוגבולשלסדרתהשבריםהמתקרביםשלו. שברים מתקרבים כקירוב רציונלי של מספרים ממשים בגלל ש- α נמצא בין r r, ל- + נובע (7) מנוסחה. p α < במילים אחרות, השברים המתקרבים של מספר α הינם קירובים טובים שלו. המשפט הבא מראהכיבמובןמסוייםהטענהנכונהגםבכיווןהפוך: אםמספררציונלימקרבאת α בצורה טובה, אזהוא מהווה איזשהו שבר מתקרב של α. אבל צריך להגדיריותר 30

31 במדוייק מה זה "מקרב בצורה טובה": לטענהההפוכהפישתיים. מידה "כמה הקירוב טוב" שונה בין הטענה p, p α < p הינו שבר מתקרב של אז מקיים משפט 4. אםשברמצומצם α. מספר הוכחה. בהתחלהנתבונןבפונקציהשהוגדרהעלידינוסחא (6) ונביןאיךהיאתראה אםנביאאותהלצורהשלשבררגיל. לשםנוחותנחליףאינדקס ב- +. מנוסחא p+ pa+ + p a+. f+ ( בגלל שהמקדמים ) = = (4) מקבלים: a + a + + +,a + לא תלויים ב- כעל משתנה, ולכן אפשר להסתכל על p, p,, לכל : x f + px+ p ( x) = x+ (8) :( g + ( ) x f + לאקשהלמצואפונקציההפוכהל-( x ( (נסמן אותה g p x ( x) = x p (9) p עכשיו נתבונן בפירוק של מספר לשבר משולב סופי מוכלל: p = a + 0 a + a + + a 3

32 <,α אז p אזמשתיההצגותהאפשריות נבחראתזאתעם,α > p אם עם ואם זוגי, = α, בנוסף f + ( ω ) אז. ω= g + ( α ) אי-זוגי. יהי ω p α ( ) + = + = = > α p p ( ) p α α. ω>. מכאןנקבל: p = p השתמשנובנוסחא (5) ושוויון בסוף, נתבונןבמספר α ' = a + 0 a + a + + a + ω - a0, a איבריםראשוניםשל שברמשולבעבורמספר,... a בגללש- ω>, אז ' α (כי הראנו שהצגה של כל מספר בצורה () היא יחידה). זאת אומרת ש- ω). α ' = ( מצדשני, בחרנו ω כךש-( ω. α = ( לכן ' α. α = ומכאןנובע f + f + p - שבר מתקרב של כי.α בהוכחה הנ"ל יש פאר מסויים: אם αלא שייך אזמספר ω לאמוגדר. תשלימואתהפארהזה.. שאלה לבדיקת הבנה. לתחוםהגדרהשלפונקציה, g + מידענוסףעלשבריםמשולביםאפשרלמצוא בספרים [], [3] ו-[ 5 ]. 3

33 פתרון של משוואת פל מונה ומחנה של שבר מתקרב ( x, y) ( x, y) פתרון יהי משפט 5. הינו שבר מתקרב של אזי חיובי של משוואת פל.. מספר m. x+ y m> y לכן ו- m>, x הוכחה. בגללש- 0 <y > = = ( )( + ) > ( ) x my x y m x y m x y m y נחלקאת השוויון שקיבלנוב- : y בגללש-( y ( x, x. y m = y חיובישלמשוואתפל, החלק השמאלישלהביטויהינוחיוביוהשבר x y ממשפט 4, היאשברמתקרבשלמספרm. לסיכום, פתרונות חיוביים הינו פתרון מצומצם. לכן, של משוואות פל צריך לחפש רק בין הזהוגות שמורכבות ממונה ומחנה של שבר מתקרב של. m נשאלת השאלה, אילו בדיוק מהשברים המתקרביםהינםפתרונותשלהמשוואה. משפט 6 נותןתשובהלשאלהזאת. נביאאת המשפט ללא הוכחה. בניסוח של המשפט משתמשים בעובדה שאיברי שבר משולב עבור מספר משפט m - יהי.6 מהוויםסדרהמחזורית (ראההערהלשאלה 8). אורך המחזור של שבר משולב עבור מספר. m מונה ומחנה של שברמתקרבשלמספרm הינםפתרון למשוואתפלאםורקאםלאינדקסשלהיש צורהk (כלומרשווהל- מודולו ) ואי-זוגי. הוכחה של המשפט, וגם עובדות מעניינות נוספות מתורת המספרים תוכלו למצוא בספר [3]. על משוואות פל ועל משוואות דיאופנטיות אחרות אפשר לקרוא גם בספרים [4] ו-[ 6 ]. 33

34 שיטתהשברים המשולביםהינהמספיק יעילהבשבילחיפוש פתרונותלמשוואותפל. למשל, במקרהשלm=6, שהוא הכי "כבד" לחישובביןכל הערכים >m, 00 הפתרוןנמצא כברבצעד. חישובכזההיהאפשרי לביצועידניכברלמתמטיקאים בזמנים העתיקים. והיום שימוש במחשב הופך אותו לתרגיל קל. נקבל. y= , x= משוואות קשורות למשוואות פל מצאנו תשובות לשלושת השאלות שנשאלו בתחילת הספר (ראה עמוד 3) לגבי משוואותפל. חובהלצייןכיממשלאלכל משוואותדיאופנטיות ישתשובות כל-כך ממצאותלשאלותכאלה, אפילואם המשוואותהןפשוטותמאוד. לחילופין, קיוםשל התשובותזהיותרצירוףמקריםקסום, מאשרכלל. בתור דוגמאנתבונןבמשוואהשדומהמאודלמשוואתפל: x my = r (0) כאןהחלפנואת בחלקימיןשלהשוויוןבמספרשלםכלשהו 0 rשונה מ- 0. לפתור משוואה כזאת (קשורה למשוואה פל) זה למצוא כל נקודות שלמות על היפרבולהשרירותית באיור 5 (עמוד 3 ). ברורכיאושלמשוואה (0) איןפתרון, או שיש לה אינסוף פתרונות. אכן, אם קיים פתרון אחד, אז אם נכפיל אותו בכל הפתרונותשלמשוואתפלהמתאימה, נקבלאתכלהפתרונותשלהמשוואה הקשורה. הםיהיו אינסוף, ותהיההתאמה חד-חד-ערכיתועלבינםלביןפתרונותשלמשוואתפל מתאימה. עדיין אין תשובה לשאלה עבור אילו זוגות של m ו- r למשוואה (0) יש לפחות פתרון אחד. בשונה מהמקרה הפרטי של =r, פתרון כללי לא תמיד קיים. אחד התנאים לקיום של הפתרון ברור: זו השאלה האם אפשר לפתור משוואה m) x r(mod (במיליםאחרות, r אמורלהיות שאריתריבועיתמודולוm ). אבל התנאי הזה אינומספיק. קיימות דוגמאותכאשר r הינושארית ריבועיתמודולו m, אבללמשוואה (0) איןפתרון. 34

35 המקרה המעניין ביותר הוא כאשרr=. אז יש לנו משוואה מהסוג: x my = () משוואהכזאתנקראת משוואתפלשלילית. נניחיש אפשרלבחור אתהפתרוןהחיובי המינימלי. לה פתרון. אז מכל הפתרונות שלה. הוכחכיכלהפתרונותהחיוביים שלהמשוואההינםחזקותאי-זוגיותשלהפתרון הבסיסישל המשוואה, וכל הפתרונותהחיוביים של משוואתפל המתאימה חזקות זוגיות שלו. קל לראותכימשפט 5 נשארבתוקףגםעבור משוואותפל שליליות. 6 אפשרלהרחיבבצורההבאה: ואת משפט משפט 6 '. יהי - אורךהמחזורשל סדרתהאיבריםשלשבר משולבעבורמספר. m מונהומחנהשלשברמתקרבשלm מהוויםפתרוןלמשוואה x my = () אםורקאם האינדקסשלהשברשווהל- מודולו. בנוסף, אםהאינדקסהואאי- זוגי, אנחנו מקבלים פתרון של משוואת פל, ואם הוא אי-זוגי, מקבלים פתרון של משוואתפל שלילית. כתוצאהאנחנומקבליםכיתנאיהכרחיומספיק לקיום פתרוןשלמשוואתפלשלילית: אורך מחזור של שבר משולב עבורm הינו אי-זוגי. נשים לב כי התנאי ההכרחי שהזכרנוקודם (מספר אמורלהיותשאריתריבועיתמודולו m) שקוללכךשלכל +4l, ושתיים נכנסלתוך פרוקשל מחלקים ראשוניים אי-זוגיים של m יש צורה mלראשונייםלאיותרמפעםאחת. הנהכמהערכיםראשוניםשלm, עבורםהתנאי מתקיים, אך למשוואת פל השלילית אין פתרון:,34.,46,78,94,05 בסוף הספרהביאנוטבלהשלפתרונותחיובייםמינימלייםשלמשוואה () עבור m קטנים. 35

36 הסטורית סקירה משוואותשהיוםקוראיםלהם משוואותפלנמצאוכברבעבודותשלמתמטיקאייםשל יוון עתיקהוהודועתיקה. בעבודותשל מתמטיקאיהודישלמאה XII בשםב הס ק רה יששיטהלפתרוןשלמשוואותאלה, שנקראת השיטההציקלית. בפרט, בעזרתהשיטה הואמצאפתרוןעבור 6=m (ראהעמוד 3). אבלבזמנים ההםעודלאהיהמדובר עללהוכיחשהשיטהתמידמביאלפתרון. באמצע מאה XVII מתמטיקאי צרפתי מפורסםפייר פרמאניסחאת הבעיה בצורה כללית. הנההניסוחשלומאחדהמכתבים: לכלמספר שאינוריבוע קייםאינסוףריבועים, שאםנכפולכלאחדמהםבמספר ההואונוסיף, אזהתשובהגםתהיהריבוע. פרמא טען כי הוא יודע להוכיחאת זה. אבל התוצאה הזאת לא פורסמה, כמו רוב העבודותשלו. לכןההוכחהשל פרמאלאהגיעעדעלינו, ואפילולאידוע, האםהיא הייתהנכונה. שנימתמטיקאייםאנגליים, ג'וןואליסוויליאםבראונקר מצאודרךנוספתלפתרוןשל המשוואות, שונהמהשיטההציקלית. אבלגםהםלאהוכיחוכי השיטהתמידמביאה לפתרון. יתכן שהם אפילו לא חשבו על זה שהוכחה כזאת נחוצה. ורק בסוף מאה XVIII מתמטיקאיצרפתיז'וסףלואילגרנז' הוכיחאתהטענהממכתבשלפרמא. לאונהרדאוילר בטעותכתבשההוכחהשייכתלג'וןפל. מאזלמשוואותקוראיםעלשם פל, למרות שהוא כמעט ולא קשור אליהם. בעצם, טעויות כאלה בהסטוריה של מתמטיקה לאכל-כךנדירות. לפעמיםלמשוואותפלקוראיםגם "משוואותפרמאלא מוגדרות", אךהשם "משוואותפל" היוםנפוץהרבהיותר. בסוף מאה XIX מתמטיקאי ופיזיקאי גרמני מבריק הרמן מינקובסקי פיתח תורה שנקראתגיאומטרייתהמספרים, בהמשתמשיםשיטות גיאומטריותעבורפתרוןבעיות שלתורת המספרים. האובייקטים העיקרייםבהםהואהתמקדאלהסריגים מרחביים. בעזרתם מינקובסקי קיבל הרבה תוצאות חדשות בתורת המספרים והוכיח הרבה 36

37 משפטים ידועים. בפרט, ההוכחת קיום של פתרון למשוואת פל שהביאנו בספר מבוססתעלרעיונותגיאומטרייםשלמינקובסקי. אתם יכולים למצוא מידע יותר מפורט על הסטוריה של משוואות פל ועל אלגוריתמים שונים של הפתרון בספר.[6] x my = טבלה של פתרונות חיוביים מינימליים של משוואות לכל בטבלה m 50 שאינו ריבוע בעמודה השנייה ציינו שלם הביאנו פתרון חיובי מינימלי של המשוואה - אורך של מחזור של שבר משולב עבור. x my = מספרm. בעמודהשלישיתישמספר r שהינו או, כתלותבסימןשלהביטוי בתוךערךמוחלטבחלקשמאלישלהמשוואה. במקרהשלr=, כדילקבלפתרון חיובימינימלישלמשוואתפל, צריךמהזוג y) ( x, ליצורזוג xy).( x + my, m r x y 37

38

39

40

41

42

43 ספרות [] В. И Арнольд, Цепные дроби. (серия «Библиотека Математическое просвещение», вып. 4) М. : МЦНМО (I Russia). [] Z. I. Borevich, I. R. Shafarevich. Number theory. Academic Press (Origially published i Russia). [3] Daveport, H. The Higher Arithmetic. Cambridge Uiversity Press. 98. [4] Gelfod A.O. The solutio of euatios i itegers. Freema. 96. (Origially published i Russia). [5] A.Ya. Khichi. Cotiued Fractios. Uiversity of Chicago Press (Origially published i Russia). [6] H. M. Edwards. Fermat's Last Theorem: A Geetic Itroductio to Algebraic Number Theory. Spriger

44 תשובות, פתרונות והערות לתרגילים. m מהשוויון >. ללא הגבלת הכלליות נניח m + = ( )( + )( + )... ( + ) + + m + נובע כישארית של חלוקת מספר שווהל-. לכן במספר. x + y m 0 0. m gcd( +, + ) = gcd( +, ) = =x מופעלת על האסימפטוטה y m עם מקדם הומותטיה כתוצאה מכך כל הנקודות של האסימפטוטה מתרחקות מראשית הצירים. באופן דומה,, x y m 0 0 x = y m. על האסימפטוטה מופעלת הומוטתיה עם מקדם וכל הנקודותשלהמתקרבות לראשיתהצירים. ראשיתהציריםעצמה (נקודתחיתוךשל האסימפטוטות) הינהנקודהיחידהשנשארתבמקום. 3. לגרף של המשוואה הנ"ל יש שלוש אפשרויות: אליפסה (כאשרm= ), זוג קוויום מקבילים ) =m), או היפרבולה ) 3 m). ראה את הגרפים עבור m=,, 3 באיור 3. איור 3 נתבונן בשתי טרנספורמציות של מישור המוגדרות על ידי הנוסחאות mx. g( x, y) = ( אפשר לבדוק כי כל אחת y, x) ו- f ( x, y) = ( y, my x) מהטרנספורמציות מעבירה פתרון של המשוואה לפתרון נוסף, וגם הן הפוכות אחת 44

45 ( ϕk הינם פתרונותשלהמשוואה. נראהכי, ϕ לשנייה. בפרט, זהאומרכיזוגות ( + k >x 0 הםכולםמהצורההזאת. נניחבשלילה כיישפתרון פתרונותשמקיימים: y.( ϕk נפעילעליו, ϕ k + ) ו- ( ϕk, ϕk נוסף, והואנמצאעל הגרףביןשניפתרונות: ) טרנספורמציה k g בתחום הזה אין פתרונות. ונקבל פתרון שנמצא בין 0), ( ל-(.(0, כי מקבלים סתירה, 4. ניקח בתור יחידת מדידהאת מטר שהוא המרחק בין העצים הסמוכים. נסמן רדיוסשלהגןב- R=000, ורדיוסשלעץאחדב =r. איור 5 איור 4 נבחרכיווןמסויים. נסמןב-' R "מספרקצת יותר גדול מ- " R בהמשך נפרט על זה. נבנה מלבןשמרכזומתלכדעםמרכזהגן, כך שאחתהצלעות שלומקבילה לכיווןשבחרנו ואורכה 'R, ואורכה של הצלע השנייה שווה ל- r (ראה איור 4). שטחו של R' 4 ומתקיים המלבןשווהל- r 4Rr=. 4 R' r> מלמת מינקובסקי, 4 בתוךהמלבן ישקודקודשל הרשתשיסתיר את תצפיתבכיווןשבחרנו. נותר להוכיח כי הקודקוד הנ"ל לא נמצא מחוץ לגן. בשביל זה נתבונן בחלק של המלבן ששנמצא מחוץ למעגלברדיוס R (ראהאיור 5). ריבוע שלמרחקמכל נקודה בתחוםזה עדמרכז הגןגדולמ- R ולאעובראת 'R. אפשר לבחור 'R מספיק קטן, כך שיתקיים + r + R. R ' + r < לכןריבוע שלמרחקמנקודה כלשהי בתחוםעד מרכזהמעגלהואשבר. אבל ריבועשלמרחק ביןכלשתי נקודותשלמותזהמספרשלם. לכןבתחוםזה איןנקודותשלמות. 45

46 .5 כאשר המשוואה נתבונן בעקום שמוגדר על ידי, ax + bxy+ cy = λ 4 λ π < <. העקוםהזההואאליפסהשחצאיציריםשלהשוויםל- d, = λ a+ c± a+ c ( ) 4 שטח של האליפסה שווה ל- נקודה שלמה אמור להיות שלם,. πd d מלמתמינקובסקי, בתוךהאליפסהיש πλ = > 4 ) y ( x, ששונה מראשית הצירים. 0 0 ערך של חיוביוקטןמ- λ, לכןהואשווהל-. ax + bx y + cy אם m הוא ריבוע שלם, אז קיימות נקודות שלמות שונות מראשית הצירים שנמצאותעלאסימפטוטותשלהיפרבולות. למרותזאת, בסיוםשלההוכחההשתמשנו בעובדה שכל הנקודות השלמות חוץ מראשית הצירים נמצאות (ממש) בתוך אחת מארבעת הזוויותשנוצרותעלידיהאסימפטוטות. 7. אם שברמשולבהואסופי, אפשר להפוךאותולשבררגל, שזהשקוללמספר רציונלי..α > a 0 מספרשלם, בכיווןהפוך, יהימספררציונלי αכךש- a0+, α = α אזי אם,α = p אז שארית של חילוק של a 0 היא מנה של חילוק של, ב- p ו-,α = r r כאשר. ב- p המחנים שלהםיורדת. לכןסדרה α i סדרת לכן α i היא סופית. היא מורכבת ממספרים רציונליים שסדרת 46

47 . a k = a l a אם סדרת הינה מחזורית, אז קיימים אינדקסים k ו- l כך ש- g l הןהפונקציותהרציונליותהמוגדרותעלידי g k ו-, gk כאשר ( α) = gl מכאן α) ( נוסחאות (9). אחריזהמביאיםאתהמשוואה שקיבלנולצורהסטנדרטיתשלמשוואה ריבועית. 9. בסיס האינדוקציה. בדיקהישירהששוויונים (4) מתקיימיםעבור =. צעד האינדוקציה. לפיהנחתאינדוקציה, עבור מתקיים: p p a + p. = a + p. לכן, + +,a נקבל a + a +.8 אםנציבלחלקהימנישלהשוויון במקום p p a p + + p a + p + p a + + a+ pa+ + p = = = + a a a a a + + p הוכחנוכיהשברים שמקבליםמנוסחאותנסיגה (4) שוותלשבריםהמתקרבים. נשאר להוכיחכיהשבריםהאלהמצומצמים. זהנובעמפתרוןשלשאלה 0 שמופיע בהמשך (מותר להשתמש בו כאן, כי ההוכחה שם לא משתמשת בזה ש- ו- p ו- זרים). p אם נניח של- לחלק גם את מספר אז הוא חייב יש מחלק משותף,. p לכןהמחלקהמשופתההיחידשלהםזה. ( ) p = 0. בסיס האינדוקציה. בדיקהישירהשלמקרה =: מציבים. p = a, =, p = a a +, = a p, ואתהנוסחאהראשונהב- נכפילאתהנוסחאהראשונהמ-( 4 ) ב- נקבל ונחסר אותן. ). p p = ( p p מכאןנובע צעד האינדוקציה

48 ,α = p. x= p g + ( ).פונקציה x הטענה של המשפט בהחלט נכונה. אז רואים כי אבל אם מוגדרת רק עבור ( x, y ) 0 0.יהי הפתרון החיובי המינימלי של משוואה (). (משמעות של +x0 הוא מינימלי.) אזיכל הפתרונות y0 "מינימלי" כאןזה שערך של הביטוי m של המשוואה הם חזקות של הפתרון המינימלי. אכן, יהי (y (,x פתרון חיובי ( x, y). u= x+ y m, u = x + y m, נסמן שרירותי. שעבורו של ) y,( x, אזקיים אם הפתרון אינו חזקה u ונקבל: 0 u<. u < נכפילאתהביטוב- u ,uu. נשיםלבכיאזקייםפתרוןחיובילמשוואה () המתאיםל- < uu < u והואקטןמ-(,( x, y בסתירהלמינימליותשל ) y.( x, אם ) y ( x, הינו פתרוןשלמשוואתפל, אזגםכל החזקותשלוהםפתרונותשל המשוואה, ולכן אין למשוואה פתרונות שליליים. לחילופין, אם ) y ( x, הואפתרון שלילי, אז החזקותהזוגיותשלוהןפתרונותשלמשוואתפל, והחזקותהשליליות הן הפתרונותהשליליים. 48