Μέθοδος Στατικής Ανελαστικής Ανάλυσης Τριδιάστατων µη Κανονικών Φορέων από Οπλισµένο Σκυρόδεµα

Μέθοδος Στατικής Ανελαστικής Ανάλυσης Τριδιάστατων µη Κανονικών Φορέων από Οπλισµένο Σκυρόδεµα Χ.. Μπίσµπος Αναπληρωτής Καθηγητής. Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, ΑΠΘ. Α.Θ. Αµπατζής Υποψ. ιδάκτορας Πολιτικός Μηχανικός. Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, ΑΠΘ. Λέξεις κλειδιά: Ανελαστική Ανάλυση, µη κανονικά χωρικά Πλαίσια Σκυροδέµατος, Κριτήρια Αστοχίας, Οριακή Ανάλυση, Ανάλυση Προσαρµογής, Μαθηµατική Βελτιστοποίηση ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Η στατική ανελαστική (υπερωθητική) ανάλυση αποτελεί µια δόκιµη µέθοδο αποτίµησης των απαιτήσεων αντοχής κατασκευών υπό σεισµό. Για τη µελέτη της συµπεριφοράς µη κανονικών κτιρίων υπό την επίδραση σεισµικών δυνάµεων είναι αναγκαίο να ληφθεί υπόψη η επιρροή περισσότερων ιδιοµορφών (εκτός της δεσπόζουσας) στην ανελαστική απόκριση. Σε προηγούµενες εργασίες προτάθηκε από τους συγγραφείς µια µέθοδος ιδιοµορφικής υπερωθητικής ανάλυσης για επίπεδα µεταλλικά µη κανονικά πλαίσια, η οποία χρησιµοποιεί έννοιες και εργαλεία της υπολογιστικής πλαστικότητας και ιδιαίτερα το σύνορο προσαρµογής, που είναι ένα πολυδιάστατο κριτήριο αστοχίας (κατάρρευσης) του όλου φορέα. Η παρούσα εργασία αφορά σε µια σχετικώς απλοποιηµένη µορφή της µεθοδολογίας αυτής και την εφαρµογή της σε χωρικά πλαίσια από οπλισµένο σκυρόδεµα. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η εκµετάλλευση των ανελαστικών περιθωρίων αντοχής των φορέων αποτελεί σύγχρονη τάση του αντισεισµικού σχεδιασµού. Οι σχετικοί κανονισµοί όπως π.χ. ο Ευρωκώδικας 8 προβλέπουν είτε την βηµατική χρονική ανελαστική ανάλυση είτε εναλλακτικά τη στατική ανελαστική (υπερωθητική) ανάλυση (Nonlinear static procedure NSP). Για κανονικά κτίρια, η τελευταία γίνεται µε βάση την ισοδύναµη σεισµική φόρτιση που αντιστοιχεί στη δεσπόζουσα ιδιοµορφή σε κάθε κατεύθυνση. Ένα σηµαντικό πρόβληµα, µε το οποίο ασχολήθηκαν πολλοί ερευνητές (βλ. π.χ. Kappos 2005 και τις εκεί αναφορές), αφορά στην εκτίµηση της επιρροής των ανώτερων ιδιοµορφών σε φορείς µε µη-κανονικότητες είτε κατά το ύψος είτε κατά την κάτοψη. Μεταξύ άλλων, µια διαδεδοµένη τεχνική είναι η ιδιοµορφική υπερωθητική ανάλυση (modal pushover analysis MPA, που οφείλεται στους Chopra & Goel 2002. H MPA προβλέπει α) χωριστές υπερωθητικές αναλύσεις για κάθε σηµαντική ιδιοµορφή και β) εκτίµηση της ανελαστικής απόκρισης µε τον κανόνα SRSS. Μεταξύ άλλων δυνατοτήτων, ένα καταρχήν εύλογο πλαίσιο διατύπωσης µιας µεθοδολογίας στατικής ανελαστικής ανάλυσης µη κανονικών φορέων συνίσταται α) στην αναζήτηση κρίσιµων γραµµικών συνδυασµών των ισοδύναµων σεισµικών φορτίων που αντιστοιχούν στις σηµαντικές ιδιοµορφές και β) στην εκτέλεση τυπικών υπερωθητικών αναλύσεων για τους συνδυασµούς αυτούς. Προφανώς, κάθε γραµµικός συνδυασµός των ανωτέρω φορτίων αποτελεί µια κατεύθυνση στον αντίστοιχο υπόχωρο των φορτιστικών διανυσµάτων. Ας υποθέσουµε πως είναι διαθέσιµο ένα γενικευµένο κριτήριο αστοχίας του όλου φορέα, το οποίο είναι διατυπωµένο στον ανωτέρω υπόχωρο µε την µορφή µιας επιφάνειας (σύνορου αστοχίας) που περιέχει την αρχή των αξόνων (το αφόρτιστο σηµείο). Τότε, οι κατευθύνσεις, οι οποίες ορίζονται 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 1

από την αρχή των αξόνων και τα πλησιέστερα προς αυτήν σηµεία του συνόρου αστοχίας, συνιστούν κρίσιµους δρόµους φόρτισης και ορίζουν κρίσιµους συνδυασµούς των ισοδύναµων σεισµικών φορτίων. Η τυπική υπερωθητική ανάλυση κανονικών φορέων µπορεί να ειδωθεί ως η µονοδιάστατη υπό µονοτονική φόρτιση απλοποίηση της ανωτέρω µεθοδολογίας. Στα πλαίσια αυτά προτάθηκε από τους συγγραφείς (Αmpatzis & Bisbos 2005a, 2005b) µια µέθοδος υπερωθητικής ανάλυσης για επίπεδους µη-κανονικούς µεταλλικούς φορείς µε βάση τις άµεσες µεθόδους της υπολογιστικής πλαστικότητας (direct methods of computational plasticity), όπως π.χ. αυτές εκτίθενται στους Cohn & Maier 1979. Eιδικότερα, η µέθοδος αυτή, που κλήθηκε LISA-NSP, χρησιµοποιεί την οριακή ανάλυση (limit analysis LA) και την ανάλυση προσαρµογής (shakedown analysis SA). Η οριακή ανάλυση χρησιµοποιείται ήδη στον αντισεισµικό σχεδιασµό των µεταλλικών κατασκευών (βλ. π.χ. Mazzolani & Piluso 1996 και Bruneau e.a. 1998). Κεντρικό εργαλείο της µεθόδου LISA-NSP είναι η υιοθέτηση του σύνορου προσαρµογής (shakedown locus) ως του επιθυµητού πολυδιάστατου κριτήριου αστοχίας του όλου φορέα. Το σύνορο προσαρµογής κατασκευάζεται ως σύστηµα γραµµικών ανισοτήτων και προσδιορίζονται οι µέγιστες εγγεγραµµένες σφαίρες. Τα σηµεία επαφής τους µε το σύνορο προσαρµογής ορίζουν τους κρίσιµους δρόµους. Στην παρούσα εργασία διερευνάται µια σχετικά απλοποιηµένη µορφή της αρχικής µεθοδολογίας και η εφαρµογή της σε χωρικά πλαίσια από οπλισµένο σκυρόδεµα. Η ανελαστική απόκριση του πλαισίου αποδίδεται µε πλαστικές αρθρώσεις σε κατάλληλες θέσεις του φορέα. Τα αντίστοιχα τοπικά κριτήρια αστοχίας των διατοµών (αλληλεπίδραση Ν-M Y -M Z ) χρησιµοποιούνται γραµµικοποιηµένα. Η υπολογιστική υλοποίηση της γενίκευσης της µεθοδολογίας από επίπεδα σε χωρικά πλαίσια απαίτησε την εφαρµογή ιδιαίτερων τεχνικών της υπολογιστικής γεωµετρίας που κατασκευάζουν το κυρτό περίβληµα (convex hull) συνόλου σηµείων σε χώρους περισσοτέρων των δύο διαστάσεων. Οι ανωτέρω άµεσες µέθοδοι της πλαστικότητας στηρίζονται σήµερα στην σύζευξη γραµµικού λογισµικού FEM µε λογισµικό µαθηµατικής βελτιστοποίησης. Αντίστοιχα, οι µικραυξητικές µέθοδοι όπως αυτές που χρησιµοποιούνται στα πλαίσια τυπικών υπερωθητικών αναλύσεων απαιτούν τη χρήση κατάλληλου µη-γραµµικού λογισµικού FEM. Στην αριθµητική εφαρµογή χρησιµοποιήθηκε ερευνητικός γραµµικός κώδικας FEM µε δυνατότητα στερεού διαφράγµατος (master joint technique) και τρίκοµβα στοιχεία ράβδου Timoshenko. Κάθε στοιχείο ράβδου έχει δύο σηµεία Gauss, όπου τοποθετήθηκαν αντίστοιχες πλαστικές αρθρώσεις σύµφωνα µε δοκιµασµένες τεχνικές της υπολογιστικής πλαστικότητας. Ως λογισµικό βελτιστοποίησης χρησιµοποιήθηκε το πακέτο Sedumi (Sturm 2002). 2 ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΟ ΣΥΝΟΡΟ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ Υπό ορισµένες προϋποθέσεις διαθέσιµης πλαστιµότητας τα τοπικά κριτήρια αστοχίας καθίστανται κριτήρια διαρροής και έχουν εφαρµογή τα θεωρήµατα κάτω και άνω φράγµατος και οι αντίστοιχες τεχνικές οριακής ανάλυσης και ανάλυσης προσαρµογής. Στην γενική περίπτωση εφαρµόζονται οι συγγενείς τεχνικές εκτίµησης της ολικής φέρουσας ικανότητας φορέων βλ. Sacchi-Landrani & Salencon 1993 οι οποίες οδηγούν σε µαθηµατικώς ταυτόσηµα προβλήµατα. Ένα τοπικό κριτήριο αστοχίας γενικού τύπου µπορεί να γραφεί συµβολικά ως εξής: S R (1) όπου S είναι η τοπική ένταση και R είναι η τοπική αντοχή. Το κριτήριο µπορεί να είναι µονοδιάστατο (π.χ. M Sd M Rd ) είτε πολυδιάστατο, όπως οι καµπύλες αλληλεπίδρaσης Μ-Ν. Τα τοπικά κριτήρια µπορούν να διατυπωθούν είτε σε επίπεδο διατοµής είτε και σε επίπεδο σηµείου, 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 2

όπως π.χ. τα διδιάστατα κριτήρια που οφείλονται στον Kupfer. Αν η ένταση στην διατοµή j ορίζεται από το τοπικό διάνυσµα εντατικών µεγεθών s j, τότε ένα γραµµικοποιηµένο τοπικό πολυδιάστατο κριτήριο αστοχίας περιγράφεται από το εξής σύστηµα γραµµικών ανισοτήτων: N j T s j k j (2) όπου τo διάνυσµα k j µε διάσταση n(k j ) περιέχει παραµέτρους τοπικής αντοχής και οι στήλες του µητρώου N j ορίζουν κατευθύνσεις, κάθετες προς τα επιµέρους τµήµατα του τοπικού σύνορου αστοχίας. Η (2) ορίζει την περιοχή, εντός της οποίας η τοπική ένταση µπορεί να µεταβάλλεται ελεύθερα. Έστω τώρα ένας διακριτοποιηµένος φορέας από σκυρόδεµα µε n(u) ελεύθερους βαθµούς ελευθερίας και συνολικά n(g) σηµεία Gauss (διατοµές ελέγχου της έντασης). Ο φορέας υποβάλλεται σε α) µια µόνιµη δράση E 0 που παρίσταται από το φορτιστικό δίανυσµα f 0 και β) µια µονοτονικά επιβαλλόµενη µεταβλητή δράση E 1 που παρίσταται από το φορτιστικό διάνυσµα λf 1. Οι φορτίσεις f 0 και f 1 παράγουν αντίστοιχα στη διατοµή j τις ελαστικές εντάσεις s j (0) και s j (1). Το πρόβληµα οριακής ανάλυσης συνίσταται στο εξής πρόβληµα µαθηµατικής βελτιστοποίησης µε αγνώστους τον συντελεστή ασφάλειας α και τις κατάλοιπες (residual) τάσεις ρ j : P LMT : maximize α υπό τις συνθήκες: n(g) H j ρ j = 0 (3a) (3b) N j T t j (1) k j, t j (1) = α s j (1) + s j (0) + ρ j, j =1,..., n(g) (3c) όπου τα µητρώα H j συναποτελούν το µητρώο ισορροπίας Η του φορέα. Η σύθηκη (3b) του µηδενικού υπόχωρου (null space condition) εξασφαλίζει πως η ένταση ρ είναι αυτοϊσορροπούµενη (1) (αυτένταση). Η πλαστικότητα διορθώνει την ελαστική ένταση (αs j + s (0) j ) προσθέτοντας την αυτένταση ρ j. Στο P LMT αναζητείται ο µέγιστος συντελεστής της µονοτονικά επιβαλλόµενης µεταβλητής φόρτισης λ. Αν η δράση E 1 ανακυκλίζεται κατά άγνωστο τρόπο µεταξύ των τιµών 0 και λf 1, προκύπτει το αντίστοιχο πρόβληµα µονοπαραµετρικής ανακυκλιζόµενης φόρτισης: P ΕS1 : maximize α υπό τις συνθήκες: n(g) H j ρ j = 0 (4a) (4b) N T j t (1) j k j, (1) t j = α s (1) j + s (0) j + ρ j, j =1,..., n(g) (4c) N T j t (2) j k j, t (2) j = s (0) j + ρ j, j =1,..., n(g) (4d) To πρόβληµα P ΕS1 είναι ειδική περίπτωση του κατωτέρω προβλήµατος ελαστικής προσαρµογής P ESD για n(v) κορυφές µεταβλητής φόρτισης (ισχύει n(v) = 1 στο P LMT και n(v) = 2 στο P ΕS1 ): P ESD : maximize α υπό τις συνθήκες: n(g) H j ρ j = 0 N j T t j (i) k j, t j (i) = α s j (i) + s j (0) (5a) (5b) + ρ j, j =1,..., n(g), i= 1,..., n(v) (5c) Οι κορυφές µεταβλητής φόρτισης ορίζουν την περιοχή L, µέσα στην οποία µεταβάλλεται ελεύθερα (µη µονοτονικά) το διάνυσµα της συνισταµένης µεταβλητής φόρτισης. Ο συντελεστής ασφάλειας α ορίζει την µέγιστη περιοχή αl, µέσα στην οποία η µεταβλητή φόρτιση µπορεί να µεταβάλλεται 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 3

ελεύθερα χωρίς να παραβιάζονται τα τοπικά κριτήρια αστοχίας. Αν π.χ. o φορέας υπόκειται σε m ανεξάρτητες µεταβλητές δράσεις και καθεµιά από αυτές παράγει µια φόρτιση E k της µορφής: E k : f k = A k p k, A k L A k A k U, k = 1,..., m (6) τότε οι 2 m συνδυασµοί των ακραίων τιµών των συντελεστών µορφής ορίζουν n(v) = 2 m κορυφές ελαστικής φόρτισης. Στο πρόβληµα P LMT η περιοχή L εκφυλίζεται σε σηµείο, δηλαδή n(v)=1. Αν αγνοηθεί η συνθήκη (5b), το πρόβληµα P ESD µεταπίπτει στο πρόβληµα εναλλασσόµενης πλαστικοποίησης (alternating plasticity problem). Το τελευταίο πρόβληµα αφορά αποκλειστικά τις µεταβλητές δράσεις και ο αντίστοιχος συντελεστής ασφάλειας δεν επηρεάζεται από την µόνιµη δράση. Το σύνορο προσαρµογής κατασκευάζεται από µια σειρά αναλύσεων µονοπαραµετρικής ανακυκλιζόµενης φόρτισης. Σε κάθε ανάλυση µόνο µια δράση επιτρέπεται να µεταβάλλεται, ενώ οι m 1 υπόλοιπες θεωρούνται συµβολές στην µόνιµη δράση. Η µόνιµη δράση δηλαδή θεωρείται πως περιγράφεται από ένα υποκατάστατο διάνυσµα της µορφής: f (0) subst. = f (0) + m 1 Σ a k f k (7) µε προσωρινά σταθερούς συντελεστές µορφής a k µεταξύ των ορίων της (6). Ο υπολογισµός επαναλαµβάνεται n(a) φορές, θεωρώντας κάθε φορά ελεύθερη καθεµιά από τις δράσεις διαδοχικά και λαµβάνοντας άλλους συνδυασµούς σταθερών τιµών a k. Το αποτέλεσµα είναι n(a) σύνολα m τιµών των φορτιστικών συντελεστών δηλαδή m-διάστατα διανύσµατα a k, k=1,,n(a) τα οποία ορίζουν το σύνορο προσαρµογής στο χώρο των διανυσµάτων f k. Με δόκιµες µαθηµατικές τεχνικές αυτό το σύνολο των n(a) σηµείων µετατρέπεται σε σύστηµα γραµµικών ανισοτήτων της µορφής: C T a r (8) Η (8) αποτελεί ένα κριτήριο αστοχίας του όλου φορέα, ανάλογο των τοπικών κριτηρίων (2) και µπορούν να οριστούν ανάλογοι κρίσιµοι δρόµοι φόρτισης, δηλαδή κρίσιµοι γραµµικοί συνδυασµοί των διανυσµάτων f k. Αν αγνοηθεί η (4b), προκύπτει το σύνορο εναλλασσόµενης πλαστικοποίησης. Το σύνορο οριακής ανάλυσης (limit analysis locus) κατασκευάζεται λύνοντας αντίστοιχη σειρά προβληµάτων P LMT στη θέση των προβληµάτων P ES1. Το σύνορο της οριακής ανάλυσης δεν καλύπτει φαινόµενα εναλλασσόµενης πλαστικοποίησης και µπορεί να θεωρηθεί ως η ειδική περίπτωση κριτηρίου αστοχίας του φορέα υπό µονοτονική φόρτιση και µόνον. Το σύνορο προσαρµογής το οποίο αποτελεί υποσύνολο τόσο του συνόρου εναλλασσόµενης πλαστικοποίησης όσο και του συνόρου οριακής ανάλυσης θεωρείται γενικά ως το πλέον πρόσφορο κριτήριο αστοχίας του όλου φορέα. Σε ένα συναφές πλαίσιο οι Ohi & Ιto 2004 χρησιµοποίησαν µια ελλειψοειδή προσέγγιση του συνόρου της οριακής ανάλυσης ως γενικευµένο κριτήριο διαρροής του φορέα στον χώρο των ιδιοµορφικών διανυσµάτων για να κατασκευάσουν µια µέθοδο ανελαστικής βηµατικής χρονικής ανάλυσης στον υπόχωρο των σηµαντικών ιδιοµορφών, δηλαδή µια µη-γραµµική δυναµική µέθοδο χρονοϊστορίας µε εξαιρετικά µικρό αριθµό αγνώστων. Σηµειώνεται πως η τυπική υπερωθητική ανάλυση µπορεί να εκτελεστεί µε τη µορφή της οριακής υπερωθητικής ανάλυσης (limit pushover analysis LPA, βλ. Ampatzis & Bisbos 2005 ). Αντί του ανελαστικού βήµα-προς-βήµα υπολογισµού, η LPA εκτελεί καταρχήν µια οριακή ανάλυση, η οποία ορίζει τον διατιθέµενο συντελεστή ασφάλειας α U σε σχηµατισµό κινηµατικής αλυσίδας 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 4

(κατάρρευση) για το φορέα, υπό την ισοδύναµη σεισµική δύναµη για κάποιο συνδυασµό ιδιοµορφών (π.χ. την πρώτη). Στη συνέχεια, η εξέλιξη των ελαστικών και πλαστικών παραµορφώσεων µέχρι την κατάρρευση υπολογίζεται µε τεχνικές της οριακής ανάλυσης παραµορφώσεων (limit deformation analysis LDA, βλ. Cohn & Maier 1979), η οποία οδηγεί σε εύκολα επιλύσιµα προβλήµατα µαθηµατικής βελτιστοποίησης. 3 ΥΠΕΡΩΘΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΣΥΝΟΡΟ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ Στη συνέχεια περιγράφεται µια συνεπτυγµένη µορφή υπερωθητικής ανάλυσης µε βάση την οριακή ανάλυση και την ανάλυση προσαρµογής. Προκαταρκτικοί υπολογισµοί Τα κλασσικά αποτελέσµατα (φυσικές συχνότητες ω i και ιδιοµορφικά διανύσµατα φ i ) της γραµµικής ιδιοµορφικής ανάλυσης αποτελούν τα δεδοµένα. Η f (0) ορίζεται από τις µη-σεισµικές φορτίσεις (φορτίσεις βαρύτητας) του σεισµικού συνδυασµού. M είναι το µητρώο µάζας του φορέα και 1 είναι διάνυσµα µε µοναδιαίους όρους. Εκλέγονται n σηµαντικές ιδιοµορφές, οι οποίες ορίζουν τον ιδιοµορφικό υπόχωρο εργασίας. Έστω Sα i οι αντίστοιχες τιµές επιταχύνσεων από τα ανελαστικά φάσµατα σχεδιασµού. Για κάθε σηµαντική ιδιοµορφή υπολογίζονται οι ισοδύναµες ιδιοµορφικές δυνάµεις σεισµού του χωρικού πλαισίου από τη σχέση: f k = P k eff = Pˆ k eff Sα i, όπου Pˆ k eff = Γ k M φ k µε Γ k = φ k T M 1 / φ k T M φ k (5) Καθαυτό υπολογιστική διαδικασία 1. Κατασκευάζεται το σύνορο προσαρµογής (8) στον ιδιοµορφικό υπόχωρο εργασίας. 2. Καθορίζεται το πλησιέστερο-προς-την-αρχή σηµείο, δηλαδή η κρίσιµη κατεύθυνση θ crit (σηµείο επαφής του συνόρου προσαρµογής µε την µέγιστη εγγεγραµµένη σφαίρα). 3. Υπολογίζονται οι κρίσιµες ισοδύναµες δυνάµεις σεισµού P crit ως άθροισµα των προβολών κατά την κρίσιµη κατεύθυνση των αντίστοιχων ισοδύναµων ιδιοµορφικών δυνάµεων eff σεισµού P k (cosγ k είναι τα αντίστοιχα συνηµίτονα κατεύθυνσης) : P crit = n proj ( P k eff ) = n cosγ k P k eff 4. Εκτελείται τέλος µια αντίστοιχη υπερωθητική ανάλυση, είτε µε χρήση κλασσικών βηµατικών τεχνικών είτε ως οριακή υπερωθητική ανάλυση (LPA). Σηµειώνεται πως στην αρχική διατύπωση της ανωτέρω µεθοδολογίας στους προκαταρκτικούς υπολογισµούς χρησιµοποιούνταν επιταχυνσιογραφήµατα είτε ανελαστικά φάσµατα σχεδιασµού και εκτελούνταν ιδιοµορφικές υπερωθητικές αναλύσεις για τον καθορισµό των P k eff. Αξίζει να αναφερθεί πως στην παρούσα µεθοδολογία το σύνορο προσαρµογής για µια άλλη σεισµική διέγερση προκύπτει µε απλή αλλαγή κλίµακας (scaling) του συνόλου σηµείων, που ορίζει το αρχικό σύνορο προσαρµογής. (6) 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 5

4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Η εφαρµογή αφορά σε µη-κανονικό τριώροφο χωρικό πλαίσιο από σκυρόδεµα. Ο πρώτος όροφος έχει ύψος 4m και οι υπόλοιποι 3m. Τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του πλασίου παρουσιάζονται στο Σχήµα 1. Η διατοµή των δοκών είναι πλακοδοκός 25x60x15 και οπλίζεται µε 4Φ14 στο άνοιγµα (κάτω ίνα), 4Φ16 στις στηρίξεις (άνω ίνα), 1Φ12 ανά παρειά και το ενεργό πλάτος της πλακοδοκού λαµβάνεται 0.8m. Τα υποστυλώµατα είναι διατοµής 40x40 και έχουν οπλισθεί µε 12Φ20. Το σκυρόδεµα είναι ποιότητας C20/25 (E=29 Gpa) και ο χάλυβας οπλισµού S500. Οι πλάκες κάθε ορόφου έχουν πάχος 15cm, το µόνιµο φορτίο επικάλυψης είναι 1.3kN/m 2 ενώ το ωφέλιµο 2.0kN/m 2. Επιπλέον στις δοκούς που υλοποιούν το κέλυφος του κτιρίου επικάθονται µπατικές τοιχοποιίες (3.6kN/m 2 ) και στις εσωτερικές δοκούς, δροµικές τοιχοποιίες (2.1kN/m 2 ). Στο δώµα υπάρχει περιµετρικά στηθαίο βάρους 3.6kN/m. Η κατασκευή σχεδιάστηκε για τους αντίστοιχους µη-σεισµικούς συνδυασµούς κατά τον ΕΚΟΣ 2000 και αντισεισµικά σύµφωνα µε τις διατάξεις του ΕΑΚ 2003. Για τη σεισµική απόκριση του κτιρίου ελήφθη σεισµική επιτάχυνση σχεδιασµού α=0.16g και κατηγορία εδάφους θεµελίωσης Β. Η κατασκευή, ως πλάστιµο πλαίσιο, χαρακτηρίζεται µε βάση τον κανονισµό από συντελεστή συµπεριφοράς q=3.5. Σχήµα 1. Μη κανονικό τριώροφο πλαίσιο από σκυρόδεµα Η προσοµοίωση έγινε µε ερευνητικό κώδικα FEM µε ισοπαραµετρικά τρίκοµβα (3D-beam) στοιχεία ράβδων στύλου και δοκού µε δύο σηµεία αριθµητικής ολοκλήρωσης (Gauss Points), όπου τοποθετήθηκαν πλαστικές αρθρώσεις. Απαιτήθηκε ερευνητικός κώδικας FEM µε δυνατότητα 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 6

εξαγωγής των µητρώων ισορροπίας H j, τα οποία δεν παρέχονται από εµπορικά προγράµµατα. Οι δοκοί κάθε ορόφου συµµετέχουν σε διαφράγµατα που θεωρούνται απαραµόρφωτοι δίσκοι. Ως σηµαντικές ιδιοµορφές ελήφθησαν οι πρώτες τρεις. Τα χαρακτηριστικά τους, που προέκυψαν από την ιδιοµορφική ανάλυση του πλαισίου, εµφανίζονται στον ακόλουθο Πίνακα 1. Πίνακας 1. Αποτελέσµατα ιδιοµορφικής ανάλυσης Ιδιοµορφή Ιδιοπερίοδος [Τ(s)] Αθροιστικά ενεργοποιούµενη µάζα [Μ%] V 1 V 2 R 3 1 0.452 91.6 0 29.7 2 0.338 91.6 87.2 83.1 3 0.240 91.6 92.1 94.9 Ως σεισµική διέγερση αναφοράς για τον υπολογισµό των ισοδύναµων σεισµικών φορτίων P k eff εφαρµόσθηκε το ανελαστικό φάσµα του ΕΑΚ (έδαφος B) µε επιτάχυνση εδάφους 0.16g. Οι σεισµικές δυνάµεις και ροπές που αντιστοιχούν σε κάθε ιδιοµορφή εφαρµόζονται στα κέντρα µάζας κάθε διαφράγµατος. Οι τιµές τους παρουσιάζονται στον επόµενο Πίνακα 2 : Πίνακας 2. Ιδιοµορφικές δυνάµεις σεισµού για τις 3 πρωτεύουσες ιδιοµορφές Mode 1 Mode 2 Mode 3 Όροφος U 1 U 2 R 3 U 1 U 2 R 3 U 1 U 2 R 3 1 77.80-0.03 0.66-0.36-0.29-0.15-4.77 16.87 813.77 2 100.73 0.19 2.62 178.17 212.57 98.84-1.02-41.86 999.79 3 57.02-0.18 0.86 227.79 217.09 64.46 0.11-134.05 320.54 Τα κριτήρια διαρροής για τα δοµικά στοιχεία στα οποία αναµένεται και περιορίζεται ο σχηµατισµός πλαστικών αρθρώσεων φαίνονται ενδεικτικά στο Σχήµα 2. Οι δοκοί αναµένεται κατά παραδοχή να διαρρεύσουν µόνο σε κάµψη γύρω από τον ισχυρό τους άξονα λόγω παρουσίας των διαφραγµάτων στις στάθµες των ορόφων. Για τους στύλους κατασκευάζεται τριδιάστατη πολυεδρική επιφάνεια αστοχίας λαµβάνοντας υπόψιν αλληλεπίδραση διαξονικής κάµψης και αξονικής δύναµης, σύµφωνα µε τις οδηγίες του προτύπου ΑCI-318. Η επιφάνεια αυτή εξαρτάται από τις διαστάσεις και την όπλιση κάθε διατοµής του σκυροδέµατος. n N M p - M p + my mz α. β. Σχήµα 2. Κριτήρια διαρροής α. για στύλους και β. για δοκούς. Όπως αναφέρθηκε, οι επιλύσεις των µαθηµατικών προβληµάτων βελτιστοποίησης έγιναν µε το λογισµικό µαθηµατικού προγραµµατισµού Sedumi. Καταρχήν κατασκευάστηκε το σύνορο προσαρµογής (Σχ. 3) λύνοντας σειρά προβληµάτων P ES1, όπως περιγράψαµε στην Παράγραφο 2. Κάθε πρόβληµα P ES1 παρέχει ένα σηµείο του συνόρου προσαρµογής στον τριδιάστατο χώρο των ισοδύναµων σεισµικών φορτίων (3 σηµαντικές ιδιοµορφές). Με άλλα λόγια κάθε επιµέρους 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 7

ανάλυση προσαρµογής ορίζει µια τριάδα (α 1, α 2, α 3 ), που αντιστοιχεί στους συντελεστές µεγέθυνσης για κάθε ένα από τα τρία διανύσµατα δυνάµεων σεισµού. Το σύνολο των ανωτέρω τριάδων αποτελεί το πρωτογενές υλικό για την κατασκευή του συνόρου προσαρµογής, το οποίο προκύπτει ως το ελάχιστο κυρτό πολύεδρο που περιβάλλει τα ανωτέρω σηµεία, δηλαδή ως το κυρτό περίβληµα στη γλώσσα των µαθηµατικών. Από το σύνολο των σηµείων-τριάδων κατασκευάζεται η (8) ως το σύνολο των επιπέδων-εδρών (faces), που περιγράφουν εναλλακτικά το ανωτέρω κυρτό υπερπολύεδρο, µε χρήση του λογισµικού υπολογιστικής γεωµετρίας qhull που ενσωµατώνει τον αλγόριθµο Quickhull, βλ. Barber e.a. 1996. Σχήµα 3. Σύνορο προσαρµογής και τοµές του από τα επίπεδα των αξόνων. Η κατεύθυνση, η κάθετη προς κάθε επίπεδο-έδρα, ορίζει ένα γραµµικό συνδυασµό ισοδύναµων σεισµικών δυνάµεων, δηλαδή µια κατεύθυνση φόρτισης. Ως κρίσιµη κατέυθυνση φόρτισης 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 8

θεωρείται η ευθεία από την αρχή των αξόνων προς το σηµείο επαφής της µέγιστης εγγεγραµµένης σφαίρας στο υπερπολύεδρο. Στο Σχήµα 4 σηµειώνεται η κρίσιµη κατεύθυνση για το δεδοµένο πλαίσιο που ορίζεται από το µη µοναδιαίο διάνυσµα: d cr : [α 1, α 2, α 3 ] = [0.083, 0.959, -1.500] Σχήµα 4. Κρίσιµη κατεύθυνση (d cr ) στο χώρο των τριών ισοδύναµων δυνάµεων σεισµού. Ολοκληρώνοντας τη µεθοδολογία που διατυπώθηκε, προβάλλονται οι ισοδύναµες ιδιοµορφικές δυνάµεις σεισµού στην κρίσιµη κατεύθυνση d cr. Εκτελείται µια υπερωθητική ανάλυση µε φόρτιση τον γραµµικό συνδυασµό που καθορίζεται από την κρίσιµη κατεύθυνση που συνεχίζεται έως ότου το διάνυσµα φόρτισης αγγίξει εσωτερικά το σύνορο προσαρµογής. Το φορτίο αυτό, που ονοµάζεται φορτίο ελαστικής προσαρµογής, σηµειώνεται στα διαγράµµατα του Σχήµατος 5 ως F1 ESD, F 2 ESD, M 3 ESD. Στο Σχήµα 5.β φαίνεται η επιλογή του κόµβου του οποίου οι µετακινήσεις κατά τις ελευθερίες κίνησης U1, U2, R3 χρησιµοποιούνται για την κατασκευή των διαγραµµάτων P-δ των Σχηµάτων 5.α, 5.γ και 5.δ. Οι δυνάµεις F1, F2 και η ροπή Μ3 αφορούν στις συνολικές αντιδράσεις του πλαισίου στη βάση του. Σηµειώνεται ότι ο οριζόντιος κλάδος που εµφανίζεται στην κατάληξη των διαγραµµάτων οφείλεται στην παραδοχή τέλειας πλαστικής (µηκρατυνόµενης) συµπεριφοράς των πλαστικών αρθρώσεων. 5 ΣΧΟΛΙΑ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Παρουσιάστηκε µέθοδος υπερωθητικής ανάλυσης χωρικών πλαισίων από σκυρόδεµα που λαµβάνει υπόψη την επιρροή των ανώτερων ιδιοµορφών. Η µέθοδος βασίζεται στην αξιοποίηση άµεσων µεθόδων της υπολογιστικής πλαστικότητας οι οποίες συνδυάζουν την ανάλυση πεπερασµένων στοιχείων µε τεχνικές της µαθηµατικής βελτιστοποίησης. Η µέθοδος οδηγεί σε υπερωθητική ανάλυση για ένα κρίσιµο γραµµικό συνδυασµό των ισοδύναµων σεισµικών φορτίων που αντιστοιχούν στις σηµαντικές ιδιοµορφές. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 9

α. β. γ. δ. Σχήµα 5. Υπερωθητικές αναλύσεις κατά την d cr έως το φορτίο ελαστικής προσαρµογής. Ο κρίσιµος αυτός συνδυασµός ορίζεται από τους κρίσιµους δρόµους στο σύνορο προσαρµογής, το οποίο αποτελεί ένα πολυδιάστατο κριτήριο κατάρρευσης του όλου φορέα. Η τυπική υπερωθητική ανάλυση αντιστοιχεί σε έλεγχο µονοδιάστατου κριτήριου κατάρρευσης υπό µονοτονική φόρτιση. Το σύνορο προσαρµογής επιλέχθηκε αντί του συνόρου οριακής ανάλυσης επειδή το πρώτο εµπεριέχει και φαινόµενα εναλλασσόµενης πλαστικοποίησης. Παρατηρείται πως ο προσδιορισµός των ανωτέρω κρίσιµων δρόµων δεν απαιτεί την επιλογή ενός χαρακτηριστικού σηµείου του φορέα (monitoring point). Όταν οι σηµαντικές ιδιοµορφές είναι το πολύ τρεις, το σύνορο προσαρµογής και οι αντίστοιχοι κρίσιµοι δρόµοι µπορούν να κατασκευαστούν µε στοιχειώδεις τεχνικές της αναλυτικής γεωµετρίας. Το ίδιο ισχύει και για την κατασκευή του συνόλου ανισοτήτων που αποδίδουν τα πολυδιάστατα κριτήρια αστοχίας των διατοµών των στύλων. Όταν όµως οι αντίστοιχες διαστάσεις υπερβαίνουν τις τρεις, απαιτείται χρήση προχωρηµένων τεχνικών της υπολογιστικής γεωµετρίας. Το λογισµικό Qhull στη σηµερινή του έκδοση καλύπτει περιπτώσεις µε άνω όριο τις εννέα διαστάσεις και συνεπώς καλύπτει τόσο τοπικά 6-διάστατα κριτήρια αστοχίας όσο και σύνορα προσαρµογής µε επαρκή αριθµό σηµαντικών ιδιοµορφών. Σε κάθε περίπτωση ο απαιτούµενος χρόνος Η/Υ παραµένει σε αποδεκτά όρια. Στη συγκεκριµένη εφαρµογή κάθε τοπικό κριτήριο αστοχίας διατοµής στύλου προσοµοιώθηκε µε 146 τριάδες Ν-Μ Y - 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 10

M Z. Για την κατασκευή του συνόρου προσαρµογής απαιτήθηκε η επίλυση 440 διαδοχικών προβληµάτων βελτιστοποίησης µε 3001 αγνώστους και 129839 παράπλευρες συνθήκες που οδήγησαν σε 440 αντίστοιχα σηµεία του υπόχωρου των τριών δεσποζουσών ιδιοµορφών. Ο συνολικός χρόνος ανάλυσης δεν ξεπέρασε τα 36 λεπτά (CPU time) σε υπολογιστική µονάδα που φέρει κεντρικό επεξεργαστή Intel 2.4GHz και µνήµη RAM 1Gb, υπο τα Windows XP. Τα προβλήµατα µαθηµατικής βελτιστοποίησης (3) (5) είναι προβλήµατα γραµµικού προγραµµατισµού (linear programming LP) επειδή τα κριτήρια αστοχίας (2) των διατοµών είναι γραµµικοποιηµένα. Στην αριθµητική εφαρµογή αξιοποιήθηκε το ελεύθερο λογισµικό SeDuMi που χρησιµοποιεί αλγόριθµους εσωτερικού σηµείου (interior point methods). Η επικοινωνία του κώδικα FEM µε το SeDuMi έγινε εξωτερικά µέσω αρχείων στον σκληρό δίσκο του Η/Υ. Εκτιµάται πως η αξιοποίηση αλγορίθµων τύπου Simplex στο εσωτερικό ενός ενιαιοποιηµένου λογισµικού που θα ενσωµατώνει το πρόβληµα µαθηµατικής βελτιστοποίησης στον κώδικα FEM θα προσφέρει σηµαντική επιτάχυνση των υπολογισµών. Μια άλλη προοπτική επιτάχυνσης των υπολογισµών είναι η προσέγγιση του κριτήριου αστοχίας των διατοµών των στύλων µε εσωτερικά (εγγεγραµµένα) και εξωτερικά (περιγεγραµµένα) ελλειψοειδή (external ellipsoid approximation techniques, βλ. Ben-Tal & Nemirovski 2001). Στην περίπτωση αυτή η διάσταση του προβλήµατος µαθηµατικής βελτιστοποίησης που πρέπει να επιλυθεί µειώνεται σηµαντικά και τα προβλήµατα (3) (5) καθίστανται προβλήµατα κωνικού προγραµµατισµού 2 ης τάξης (second order cone programming SOCP), για τα οποία υπάρχουν ταχύτατοι αλγόριθµοι, βλ. π.χ. Μittelmann 2003. Προβλήµατα οριακής ανάλυσης και ανάλυσης προσαρµογής µε χρήση τεχνικών SOCP για κατασκευές από χάλυβα υπό το κριτήριο von Mises µελετήθηκαν από τον Μακροδηµόπουλο 2001 και τους Bisbos e.a.2005 και για φορείς της Γεωτεχνικής Μηχανικής από τους Makrodimopoulos & Martin 2006. 6 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Οι συγγραφείς εκφράζουν τις ευχαριστίες τους προς το κοινωφελές Ίδρυµα Α.Σ. Ωνάσης για την µεταπτυχιακή υποτροφία εκπόνησης διδακτορικού, η οποία χορηγήθηκε στον δεύτερο συγγραφέα και επέτρεψε την υλοποίηση της παρούσας έρευνας. ΑΝΑΦΟΡΕΣ ACI Committee 318. 2002. Building code requirements for structural concrete. ACI 318-02, American Concrete Institute. Ampatzis, A.T. & Bisbos, C.D. 2005a On a shakedown-based approach to the inelastic analysis of vertically irregular steel moment frames under seismic loads, 4 rth EWICS Proceedings, 4rth European Workshop on the Behaviour of Irregular and Complex Structures, Thessaloniki. Αµπατζής, Α. & Mπίσµπος, Χ. 2005b Αποτίµηση των σεισµικών απαιτήσεων αντοχής για συνδέσµους εκκεντρότητας µέσω τεχνικών ανάλυσης προσαρµογής, Πρακτικά 5 ου Εθνικού Συνέδριου Μεταλλικών Κατασκευών, Τοµ. Ι, 236-243, Ξάνθη. Barber, C.B., Dobkin, D.P. & Huhdanpaa, H.T. 1996 The Quickhull algorithm for convex hulls, Association for Computing Machinery (ACM) Trans. on Mathematical Software, vol. 22, pp.469-483. Software available at http://www.qhull.org Ben-Tal, A. & Nemirovski, A. Lectures on Modern Convex Optimization. Analysis, Algorithms and Engineering Applications. Society for Industrial & Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia. Bruneau, M., Uang, C.M. & Whittaker, A. 1998. Ductile Design of Steel Structures, McGraw- 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 11

Hill, New-York. Bisbos, C.D., Makrodimopoulos A. & Pardalos P.M. 2005. Second-order cone programming approaches to static shakedown analysis in steel plasticity, Optimization Methods & Software, vol.20, 25-52. Chopra, A. K. & Goel, R. K. 2002. A modal pushover analysis procedure for estimating seismic demands for buildings, Earthquake Eng. and Structural. Dyn., 31,, pp. 561 Cohn, M.Z. & Maier, G. (Eds) 1979. Engineering plasticity by mathematical programming, Pergamon Press, New York. European Committee for Standardization (CEN), 2003. Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance. Part 1: General rules, seismic actions and rules for buildings. Final Draft pren 1998-1, Brussels, E.U. Ito, T. & Ohi, K. 2004. A simple proposal for seismic demand evaluation of steel framed structures based on simplified safety domain, Paper No. 346, Proc., 13 th WCEE, Vancouver, Canada. Kappos, A.J. 2005 (Ed.) Proceedings (CD-ROM), 4rth European Workshop on the Behaviour of Irregular and Complex Structures (4 rth EWICS) Thessaloniki, Greece. Μακροδηµόπουλος Α.: Συµβολή στην αριθµητική πραγµάτευση των φαινοµένων προσαρµογής (shakedown) των µεταλλικών κατασκευών υπό συνθήκες επίπεδης και αξονοσυµµετρικής έντασης, ιδακτορική διατριβή, Α.Π.Θ., 2001. Makrodimopoulos, A. & Martin, C. 2006, Lower bound limit analysis of cohesive-frictional materials using second-order cone programming, Int. J. for Numerical Methods in Engineering, vol. 66, 604-634. Mazzolani, F. M. & Piluso, V. 1996. Theory and Design of Seismic Resistant Steel Frames, E & FN Spon, London. Mittelmann, H.D. 2003, An independent benchmarking of SDP and SOCP solvers, Mathematical Programming, vol. 95, 407-430. Sacchi-Landriani, G. & Salencon, J. (Eds.) 1993, Evaluation of global bearing capacities, Springer, Vienna. Sturm, J.F. 2002. Implementation of interior point methods for mixed semidefinite and secondorder cone optimization problems Optimization Methods and Software, 17, 1105-1154. Software SeDuMi available at http://sedumi.mcmaster.ca 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 12