ون 55 مجلة پژوهش سیستمهای بسذرهای دورة ششم شمارة دوازدهم زمستان 5931 تغییرات انرژی حالت پایه چارمونیم در فضای چکیده و ک ی ل غالمرضا برون خدیجه قاسمیان گروه فیزیک دانشکده علوم دانشگاه رازی کرمانشاه ایران تغییرات انرژی حالت پایه مزون چارمونیم براساس معادلة شرودینگر غیرنسبیتی و با استفاده از پتانسیلهای کرنل مارتین لگاریتمی با کمک نظریة اختالل و روش وردش در فضای بهدست آمده است. نشان داده شده که در اولین مرتبه اختالل تغییرات انرژی حالت پایه مزون چارمونیم در فضای با توان دوم پارامتر این فضا متناسب است. حد باالی پارامتر فضای مقادیری بین 0 / 933GeV تا 9 / 025GeV تخمین زده شده است. این مقادیر برای پارامتر با استفاده از دقیقترین دادههای آزمایشگاهی شکافتگی فوق ریز برای حالتهای اورتو و پارای طیف مزون چارمونیم محاسبه شده است. کلیدواژگان: پارامتر فضای معادله شرودینگر پتانسیل مدل غیرنسبیتی تابع موج شعاعی روش وردش چارمونیوم. مقدمه فضای یک ایده قدیمی است که اخیرا مورد توجه بسیاری قرار گرفته است ]9-5[. دلیل اصلی این توجه پیشرفتهای نظریه ریسمان است. نشان داده شده که بسیاری از اثرات ریسمان را بهوسیله کاهش مقیاس فضای بهحد TeV میتوان دید در صورتی که قبال تصور میشد در حد انرژیهای بزرگ دیده میشوند ]4[. بهطور کلی اعتقاد بر این است که اثرات قابل مشاهده فضای فقط در مقیاس طولی ریسمان میتواند مورد بررسی قرار گیرد. بنابراین مدل در فیزیک انرژی باال جایی که بهترین نظریهها مانند نظریة موفق عمل میکند. میدان نمیتواند پاسخگو باشد با استفاده از مطالعات پدیدار شناختی و آزمایشهای دقیق که در برخورد دهندههای ذرات انجام شده است حد مقداری بین ]9[ GeV تا ]1[ TeV را بهپارامتر فضای نسبت میدهند. مدل نوسانگر هماهنگ در فضای ]6[ حالتهای همدوس ]3[ جنبههای پدیدار شناختی فضای در طیف اتم هیدروژن ]2[ لمب ]5[ شیفت و همچنین طیف چارمونیم با استفاده از پتانسیل کرنل ]8[ تعداد بسیار کمی از مطالعاتی هستند که در این حوزه انجام شده است. در این مقاله برای پتانسیلهای ک لی بهفضای لگاریتمی و مارتین که وابسته هستند طیف چارمونیم بررسی شده است. در انجام محاسبات 1= c =ħ در نظرگرفته شده است. مدل وروش شناسی فضا-زمان میشود: که زیر تعریف بهوسیله رابطة [x i,x j]=iθ ij i,j=1,2,3 5 θ ij ماتریس ثابت پادمتقارن با بعد ] 2 طول [ میباشد. در صورتی مختصات زمانی با مختصات فضایی جابهجا میشود که مطمئن شویم مدل است یکانی فضای ضرب معمولی بهضرب مویال- سا ]5[. در تار تغییر میکند ]4[ با این حال یک روش جایگزین وجود یسنده مسئول: boroun@razi.ac.ir
تغییرات انرژی حالت پایه چارمونیم V(r)=- k 1 r +k 2r n n R 0 دو پارامتر ثابت هستند. قسمت اول 1 52 2 p و X که دارد بهاین صورت که بهویژه در مدل غیرنسبیتی از باز تعریف مختصات مکانی بهصورت زیر استفاده میکنیم. در فضای x i x i - 1 2 θ ijp j کوانتومی جابهجاگر تعریف شدهاند. با دقت در معادلة 5 در مییابیم که اگر پارامتر فضای را بهسمت صفر میل دهیم رابطة جابهجایی در فضای جابهجاگر بهدست میآید در واقع شکل ریاضی تغییر یافته عملگر مکان )معادله 2 ( این نتیجه را حاصل میکند بدین معنا که این فضا تعمیمی از فضای جابهجاگر است و فرمولبندی ارائه شده برای این فضا در قیاس کامل با فضای جابهجاپذیر است. با معرفی تابع موج شعاعی Ψ(r )= r ψ(r ) معادله شرودینگر استاندارد برای حالت مقید چارمونیم بهاین صورت است: ( d2 L(L+1) +2μ [E-V(r )- dr2 2 2μr ]) ψ(r )=0 9 که در این معادلة μ و E بهترتیب جرم و ویژه مقدار انرژی هستند. L (L+1) زاویهای مداری میباشد. ویژه مقدار عملگر تکانه V(r ) پتانسیل پتانسیل برهمکنش ناشناخته است. بردار با استفاده از جاگذاری معادلة 2 بهدست میآید: هنوز یک. r = 3 i=1 x i2 در پتانسیل( V(r V(r ) V(r)+θ.L V(r) r + (θ p ) 2 2 2 V(r) r 2 + 4 که ) 3 θ.برای θ)= 1 θ, 2 θ, حالت پایه جمله دوم حذف میشود بنابراین اثر معادلة 5 برروی پتانسیل بهصورت توان دوم پارامتر فضای ظاهر میشود. حال میکنیم: V(r) پتانسیل را بهصورت معادلZ زیر معرفی که در آن k 1 و k 2 این پتانسیل )پتانسیل کولنی( رفتار کوارک و پاد کوارک را در فواصل کوتاه بین کوارکی )آزادی مجانبی( و قسمت دوم این معادله رفتار بین کوارکی را در فواصل دورتر )محبوسیت( توصیف میکند. این شکل تابعی که برای پتانسیل داده شده است سه نوع پتانسیل مهم پدیدار شناختی کوارکونیم که در این کار استفاده شده را پوشش میدهد. مقادیر ثابت پارامترهای معادلة 1 برای سه نوع پتانسیل در جدول 5 داده شده است. هب دلیل اینکه پتانسیلهای ذکر شده در حد غیرنسبیتی برای بررسی هادرونها موفق عمل میکنند و همچنین حالت مقید مزونی مورد بررسی )چارمونیم( از کوارک سنگین چارم تشکیل شده که در این حالت سرعت کوارکها غیر نسبیتی است از مدل غیر نسبیتی استفاده شده است. شاید بتوان این دلیل را اضافه نمود که غیرنسبیتی راحتتر از مدل نسبیتی است. جدول 5. پارامترها بهازای پتانسیلهای مختلف. نوع پتانسیل کرنل ک لی مارتین k 1 k 2 n -k 4 3 α s1 kkα s 0 /5 k00 /1 کار با مدل پتانسیل لگاریتمی که بهصورت (r) V(r) ~ln میباشد از دیگر پتانسیلها جدا شده است. با جاگذاری معادلة 1 در معادله 4 هامیلتونی اختاللی برحسب معادلة 6 بهدست میآید: بهصورت θ 2 H(θ)=(θ p) 2 ( - k 1 r + n (n -1) k 2 2r 2-n) 6 برای پتانسیل لگاریتمی نیز داریم: H(θ)~- (θ p)2 r 2 3
59 مجلة پژوهش سیستمهای بسذرهای دورة ششم شمارة دوازدهم زمستان 5931 حال برای بهدست آوردن طیف انرژی حالت مقید چارمونیم معادلههای میکنیم و صرفنظر پارامتر(. از را در معادلة 9 6 و 3 جایگزین جمالت اختاللی باالتر از مرتبه θ 2 میشود )بهدلیل کوچک بودن مقدار این در این محاسبات از که استفاده شده تابع موج شعاعی 5=b و 5 2 / 5 9 / 1 ψ(r)~exp(αr b ) بهنام پارامتر مدل میباشد. α نیز پارامتر وردش است و از مینیمم کردن انرژی حالت پایه بهدست میآید ]3[. مقدارهای عددی این پارامتر برای پتانسیلهای ذکر شده در جدول 2 آورده شده است. برای تغییرات انرژی برحسب پارامتر θ 2 از میکنیم. استفاده بهدست خواهیم آورد: بهدست آوردن نظریه اختالل با فرض اینکه (θ,0,0)= θ میباشد E NC = - k 1θ 2 r 3 >+ n k 2θ 2 r 2-n > 8 p 2 =p 2 2 θ میباشد. فرض میشود x +p y در این معادله خیلی کوچک است و با یک تقریب خوب میتوان نوشت.p 2 ~2/3p 2 برای پتانسیل لگاریتمی مقدار انرژی اختاللی در فضای بهصورت معادلة 3 میباشد: E NC = kθ2 r 2 > 3 نتایج و بحث مقادیر ثابت مربوط بهپتانسیلهای مختلف در جدول 9 آورده شده است در این جدول منظور از m c α s کوارک افسون و جرم ثابت جفتشدگی قوی میباشد. با استفاده از روابط 8 و 3 میتوان مقدار انرژی اختاللی در فضای را محاسبه نمود. این مقدار انرژی تابعی درجه دو از پارامتر فضای است برای بهدست آوردن مقدار عددی این پارامتر مقدار انرژی بهدست آمده با مقدار عددی شکافتگی فوق ریز مقایسه میشود ]8[ بهاین صورت که مقدار انرژی بهدست آمده باید کوچکتر یا مساوی با مقدار شکافتگی فوق ریز باشد. شکافتگی جرمی بین حالتهای اورتو و پارا فرمولبندی شود: بهصورت رابطة زیر M( 3 1 S)-M( 0 1 S)= 32πα s ψ(0) 2 50 9m i m j مقدار آزمایشگاهی رابطة 50 برای دو حالت اورتو و پارای مزون چارمونیم ]50[ 556±5/0MeV میباشد. مقادیر عددی که برای پارامتر وردش و پارامتر فضای -2 θ~λ NC برای چهار نوع پتانسیل مختلف محاسبه شده در جدول 2 آورده شده است. جدول 2. پارامترها برای پتانسیلهای مختلف. پتانسیل کرنل b پتانسیل ک لی پتانسیل مارتین پتانسیل لگاریتمی α 0 / 893 0 / 254 0 / 456 0 / 112 0 / 569 0 / 200 0 / 539 0 / 563 0 / 806 0 / 256 0 / 403 0 / 103 0 / 345 0 / 589 0 / 965 0 / 416 E NC (GeV)/θ 2 521 9 / 503 58 / 10 94 / 28 0 / 506 25 0 / 531 0 / 123 0 / 303 0 / 096 0 / 535 0 / 955 5 / 249 0 / 044 0 / 220 0 / 983 Λ NC (GeV) 0 / 933 0 / 333 0 / 693 0 / 143]8[ 2 / 92 5 / 53 5 / 33 1 4 9 / 02 4 5 / 36 5 / 24 2 / 83 5 / 35 5 / 66
تغییرات انرژی حالت پایه چارمونیم 54 جدول 9. مقادیر ثابت برای پتانسیلهای مختلف. پتانسیل ک لی مارتین لگاریتمی کرنل K 0 / 31 6 / 838 0 / 399 0 / 584GeV 2 α s 0 / 465 - - 0 / 93 m c (GeV) 3 5 / 80 0 5 / 84 نتایج برای پارامتر فضای بیشتر مقادیری بین 0 / 33 GeV تا 2 / 92GeV دارد که این مقادیر برای مدل غیر نسبیتی ساده بهدست آمدهاند. مقادیری که تاکنون برای پارامتر فضای در کارهای انجام شده بهدست آمده نشان میدهد که نمیتوان یک مقدار عددی از قبل تعریف شده و مشخص بهاین پارامتر نسبت داد که بتوان نتایج حاصله را با آن مقدار مقایسه کرد. بههمین دلیل نمیتوان با قطعیت راجع بهنتایج حاصله برای این پارامتر بحث کرد اما از این نظر که مقادیر بهدست آمده این مقاله در برای پتانسیلهای مختلف نزدیک بهمقدارهای محاسبه شده در کارهای دیگر است میتوان گفت ] 52 و 8 55 [ منطقی نتایج هستند. بهعنوان مثال مقداری که برای پتانسیل کرنل با پارامتر 5=b / 9 بهدست آوردهایم با سه نمونه از کارهایی که توسط دیگران انجام شده است در جدول 4 مقایسه شده است. نتایجی که برای دیگر پتانسیلها بهدست آمده است )جدول 2 ( نیز نمیتواند دور از واقعیت باشد زیرا همانگونه که با دقت درنتایج بهدست آمده در ]8 55[ مالحظه میشود و همچنین فقدان مرجع مقایسة عددی دقیق اختالف مقداری کمی که در نتایج حاصل شده است معقول بهنظر میرسد. جدول 4. مقایسه بین نتایج بهدست آمده برحسب.GeV مقداری که ما بهدست آوردهایم مقدار بهدست آمده ]52[ مقدار بهدست آمده ]55[ مقدار بهدست آمده ]8[ مرجعها [1] M. Chaichian, M.M. Sheikh-jabbari, A. tureanu, Hydrogen atom spectrum and the lamb shift in noncommutative qed, Physical Review Letters 86 (2001) 2716-2719. [2] K. Gnatenko, V. Thachuk, Hydrogen atom in rotationally invariant noncommutative space, Physics Letters A 378 (2014) 3509-3515. [3] A. Prakash, A. Mitra, P.k. Das, e + e μ + μ Scattering in the noncommutative standard Model, Physical Review D 82 (2010) 055020-055033. [4] N. Seiberg, E. Witten, String theory and noncommutative geometry, Journal of high Energy Physics 9909 (1999) 1299 1305. [5] B. Mira, M. Dehghani, noncommutative geometry and classical orbits of particles in a central force potential, communications in Theoretical Physics 42 (2004)183-184. [6] A. Parmeggiani, noncommutative harmonic oscillators and related problems, Milan Journal of Mathematics 82 (2014) 343-387. [7] J. BenGeloun, F.G. Schultz, Coherent states in noncommutative quantum mechanics, Journal of Mathematical Physics 50 (2009) 343-387. [8] A.Al- Jamel, Heavy quarkonia with Cornell potential on noncommutative space, Journal of Theoretical and Appliedphysics 5 (2011) 21-24. [9] G.R. Boroun, H. Abdolmalki, Variational and exact solutions of the wave function at origin (WFO) for heavy quark onium by using a global potential, Physica Scripta 80 (2009) 065003-065008. [10] K. Olive, P. Data, Review of Particle Physics, Chinese Physics C 38 (2014) 090001-091677. [11] M. Moumni et al, Lyman- alpha spectroscopy in non-commutative space- time, International Journal of Modern Physics: Conference Series 1 (2010) 1-5. [12] A. Stern, Particle-like solutions to classical noncommutative gauge theory, Physical Review D 78 (2008) 065006-065027. 0 / 143 0 / 602 0 / 56 0 / 463
Journal of Research on Many-body Systems, Volume 6, Number 12, Winter 2017 80 Abstract Ground state energy shift of charmonium on noncommutative space Gholam Reza Boroun, Khadijeh Ghasemian Department of Physics, Faculty of Science, Razi University, Kermanshah, Iran A nonrelativistic model was used to determine the energy shift of low lying states of meson charmonium with respect to the Cornell, Martin, logarithm and global potentials. It is shown that at the lowest order of perturbation, the ground state acquires an energy shift that is proportional to the inverse square of the noncommutative length scale. We estimated an upper bound on noncommutative scale of order 0.397_ 3.021GeV, by using the recent most accurate experimental data on ortho and paracharmonium meson spectra. Keyword: Noncommutative space parameter, Schro dinger equation, Potential, Nonrelativistic model, Trial wave function, Variational method, Charmonium Corresponding Author: boroun@razi.ac.ir