Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 8: Προσεγγιστική Λύση Γραμμικών Συστημάτων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
¾ ý ý ¾½ ¾½½ ¾½½ ¹ ½ ÐÒÖ Ý Øѵ ѹ Ò¹ Ü 1 Ü 2 Ü Ò 11 Ü 1 + 12 Ü 2 + + 1Ò Ü Ò = 1 21 Ü 1 + 22 Ü 2 + + 2Ò Ü Ò = 2 ¾½½ ¹ ½µ Ñ1 Ü 1 + Ñ2 Ü 2 + + ÑÒ Ü Ò = Ñ = 1 2 Ñ = 1 2 Ò = 1 2 Ñ ý = 0 = 1 2 Ñ (211 1) Ü 1 = Ü 2 = = Ü Ò = 0 = 1 2 Ñ ½
¾ ý (211 1) 11 12 1Ò 21 22 2Ò Ñ1 Ñ2 ÑÒ } {{ } Ü 1 1 Ü 2 2 = Ü Ò Ñ }{{} Ü }{{} Ü Ü = ¾½½ ¹ ¾µ R Ñ Ò C Ñ Ò Ñ ý (211 2) C R ¾½¾ (211 2) Öص ØÖØÚµ ½ý Ò 0 ¾ ½ ý ¾ ¾¾
¾¾ ¾¾½ ÖÑÖ 0 1 (211 2) Ü = Á {}}{ 1 Ü = 1 Á Ü = 1 Á Ò Ü = 1 ¾¾½ ¹ ½µ (221 1) Ü 1 Ü 2 Ü Ò Ü = ; = 1 2 Ò ¾¾½ ¹ ¾µ ¹ ÖÑÖ ÖÓÙÒ¹ Ó«ÖÖÓÖ µ ¾¾½ ¹ ½ ô 3Ü 1 + 6Ü 2 11Ü 3 = 5 3Ü 1 4Ü 2 + 6Ü 3 = 2 4Ü 1 8Ü 2 + 13Ü 3 = 4 3 6 11 3 4 6 4 8 13 Ü 1 Ü 2 Ü 3 = 5 2 4
ý ý = 10 1 = 04 10 08 15 05 15 08 0 06 (221 1) Ü 1 Ü 2 Ü 3 = 04 10 08 15 05 15 08 0 06 5 2 4 = 72 25 64 (221 2) 1 = 5 6 11 2 4 6 4 8 13 = 72 2 = 3 5 11 3 2 6 4 4 13 = 25 3 = 3 6 5 3 4 2 4 8 4 = 64 ¾¾¾ Ù Ù ÔÚÓØÒµ ØÔ µ ½ ô (211 1) 11 0 11 ÔÚÓص Ü 1 2 3 Ò¹ ø ý
Ñ 21 = 21 11 Ñ 31 = 31 11 Ñ Ò1 = Ò1 11 Ñ 1 = 2 3 Ò Ù 1 11 Ü 1 + 12 Ü 2 + + 1Ò Ü Ò = 1 (1) 22 Ü 2 + + (1) 2Ò Ü Ò = (1) 2 ¾¾¾ ¹ ½µ (1) Ò2 Ü 2 + + (1) ÒÒÜ Ò = (1) Ò () () = 1 2 Ò 1 ¹ ¾ ø (222 1) (1) 22 0 Ü 2 3 Ò¹ Ñ 32 = (1) 32 (1) 22 Ñ Ò2 = (1) Ò2 (1) 22
ý 2 11 Ü 1 + 12 Ü 2 + 13 Ü 3 + + 1Ò Ü Ò = 1 (1) 22 Ü 2 + (1) 23 Ü 3 + + (1) 2Ò Ü Ò = (1) 2 (2) 33 Ü 3 + + (2) 3Ò Ü Ò = (2) 3 (2) Ò3 Ü 3 + + (2) ÒÒÜ Ò = (2) Ò ¾¾¾ ¹ ¾µ Ò 1 (211 1) 11 Ü 1 + 12 Ü 2 + 13 Ü 3 + + 1Ò Ü Ò = 1 (1) 22 Ü 2 + (1) 23 Ü 3 + + (1) 2Ò Ü Ò = (1) 2 (2) 33 Ü 3 + + (2) 3Ò Ü Ò = (2) 3 ¾¾¾ ¹ µ (Ò 1) ÒÒ Ü Ò = (Ò 1) Ò (222 3) (222 3) Ù 11 Ü 1 + Ù 12 Ü 2 + Ù 13 Ü 3 + + Ù 1Ò Ü Ò = 1 Ù 22 Ü 2 + Ù 23 Ü 3 + + Ù 2Ò Ü Ò = 2 Ù 33 Ü 3 + + Ù 3Ò Ü Ò = 3 Ù ÒÒ Ü Ò = Ò
Ù 11 Ù 12 Ù 1Ò Ù 22 Ù 2Ò Ü 1 Ü 2 = 1 2 Ù ÒÒ Ü Ò Ò ÍÜ = Í R Ò Ò ¾¾¾ ¹ µ Í (222 4) ÛÖ Ù ØØÙØÓÒµ Ü Ò = Ò Ù ÒÒ Ü Ò 1 = [ Ò 1 Ù Ò 1 Ò Ü Ò ] Ù Ò 1 Ò 1 Ü 1 = 1 Ò Ù 1 Ü Ù11 =2 ¾¾¾ ¹ µ ¾¾¾ ¹ ½ ô 2Ü 1 + 2Ü 2 + 4Ü 3 = 6 Ü 1 + 2Ü 2 3Ü 3 = 3 ¾¾¾ ¹ µ Ü 1 + 2Ü 2 Ü 3 = 5 Ù ½Ó Ü 1 2 3 ¾ = ¾ Ñ 21 ½; Ñ 21 = 12 = Ñ 31 ½; Ñ 31 = 12
ý 1 2Ü 1 + 2Ü 2 + 4Ü 3 = 6 3Ü 2 Ü 3 = 6 Ü 2 3Ü 3 = 2 1 ¾Ó ý Ü 2 3 = Ñ 32 ¾; Ñ 32 = 13 2 2Ü 1 + 2Ü 2 + 4Ü 3 = 6 3Ü 2 Ü 3 = 6 8 3 Ü 3 = 0 ¾¾¾ ¹ µ 2 (222 7) 3 1 Ü 3 = 0 Ü 2 = 2 Ü 1 = 1 ¾ ¾ ½ ø (211 2) ¹ ØÖØÚ ÑØÓ µ ô (211 2) Ü = ¾ ½ ¹ ½µ
Ò 0 ³ (11 2) 1 (231 1) Ü 1 Ü 2 Ü Ò (11 3) ý Ü 1 Ü +1 ( ) 1 = 1 Ü 1 = 0 1 Ü Ü +1 = (Ü ) ; = 1 2 Ò = 0 1 ¾ ½ ¹ ¾µ Ü 1 Ü 2 Ü Ò ô Ü +1 = [ Ü 1 Ü 2 Ü Ò] Ì (231 1) (231 1) (231 2) ø ½ ¹ ½ ¹ (231 2) ¹ ¾ ¾ ÂÓ ÂÓ (231 2) 11 Ü 1 + 12 Ü 2 + + 1Ò Ü Ò = 1 21 Ü 1 + 22 Ü 2 + + 2Ò Ü Ò = 2 ¾ ¾ ¹ ½µ Ò1 Ü 1 + Ò2 Ü 2 + + ÑÒ Ü Ò = Ò
½¼ ý 1 Ü 1 2 Ü 2 Ò¹ Ü Ò (232 1) Ü 1 = 1 [ 12 Ü 2 + 13 Ü 3 + + 1Ò Ü Ò ] + 1 11 11 Ü 2 = 1 [ 21 Ü 1 + 23 Ü 3 + + 2Ò Ü Ò ] + 2 22 22 = Ü Ò = 1 ÒÒ [ Ò1 Ü 1 + Ò2 Ü 2 + + Ò Ò 1 Ü Ò 1 ] + Ò ÒÒ 11 ÒÒ 0 ý Ü (+1) = ( Ü () ) ; = 0 1 ; = 1 2 Ò Ü (+1) 1 = 1 [ 12 Ü () 2 + 13 Ü () ] 3 + + 1Ò Ü () Ò + 1 11 11 Ü (+1) 2 = 1 [ 21 Ü () 1 + 23 Ü () ] 3 + + 2Ò Ü () Ò + 2 22 22 ¾ ¾ ¹ ¾µ Ü (+1) Ò = 1 [ Ò1 Ü () 1 + Ò2 Ü () 2 + + Ò Ò 1 Ü () ] Ò 1 + Ò ÒÒ ÒÒ (232 2) ÂÓ ý ¾ ¾ ¹ ½ ( + 1) + 1 +1
½½ ý ¾ ¾ ¹ ½ ÂÓµ Ü = R Ò Ò [ Ü (0) = Ü (0) ] Ì 1 Ü(0) 2 Ü(0) Ò Æ = 1 2 Æ = 1 2 Ò Ü (+1) 1 Ò = Ü () Ü () =1 =+1 Ü Ü (0) Ü = [Ü 1 Ü 2 Ü Ò ] Ì ËÌÇÈ Ü (0) = Ü ýþ
½¾ ý ¾ ¾ ¹ ½ Ü 0 Ü (0) 1 Ü(0) 2 Ü(0) Ò Ü (0) 1 = 0 Ü (0) 2 = 0 Ü (0) Ò = 0 ¾ ¾ ¹ ½ ô 5Ü 1 2Ü 2 + 3Ü 3 = 1 3Ü 1 + 9Ü 2 + Ü 3 = 5 Ü 1 Ü 2 7Ü 3 = 15 ¾ ¾ ¹ µ Ü 1 = 1 Ü 2 = 0 Ü 3 = 2 (232 1) Ü 1 = 1 5 [2 Ü 2 3 Ü 3 ] 1 5 Ü 2 = 1 9 [3 Ü 1 Ü 3 ] 5 9 Ü 3 = 1 7 [ Ü 1 + Ü 2 ] 15 7 (232 2) Ü (+1) 1 = 1 [ 2 Ü () ] 2 3 Ü() 3 1 5 5 Ü (+1) 2 = 1 [ 3 Ü () ] 1 9 Ü() 3 5 9 Ü (+1) 3 = 1 [ Ü () ] 1 7 + Ü() 2 15 7 ; = 0 1 ¾ ¾ ¹ µ (232 4) ¾ ¾ ¹ ½ Ü (0) 1 = 0 Ü (0) 2 = 0 Ü (0) 3 = 0
½ = 0 Ü (0+1) 1 = Ü (1) 1 = 1 [ 2 Ü (0) 2 3 Ü (0) ] 3 1 5 5 = 1 5 = 02 Ü (0+1) 2 = Ü (1) 2 = 1 [ 3 Ü (0) 1 Ü (0) ] 3 5 9 9 = 5 9 = 0555556 Ü (0+1) 3 = Ü (1) 3 = 1 [ Ü (0) 1 + Ü (0) ] 2 15 7 7 = 15 7 = 2142857 = 1 Ü (1+1) 1 = Ü (2) 1 = 1 [ 2 Ü (1) 2 3 Ü (1) ] 3 1 5 5 = 1 [2 ( 0555) 3 ( 2142)] 02 = 0863492 5 Ü (1+1) 2 = Ü (2) 2 = 1 [ 3 Ü (1) 1 Ü (1) ] 3 5 9 9 = 1 [3 02 ( 2142)] 0555 = 0384127 9 Ü (1+1) 3 = Ü (2) 3 = 1 [ Ü (1) 1 + Ü (1) 2 ] 15 7 7 = 1 [ 02+( 0555)] 2142857 = 2034921 7 ø = 2 3 12 ¾ ¾ ¹ ½ 12 5 1 2 6 3 ÅÌÀÅÌÁ ¾ ¾ ¹ ½ ¾ ¾ ¹ ½ ÂÓµ Ò ½¾ Ü ¼ Ý ¼ Þ ¼ ½Ý Þ ¾ Ý ¹ Þµ» ¹ ½» ¾Ü Þ Ü ¹ Þµ» ¹»
½ ý ¾ ¾ ¹ ½ ¾ ¾ ¹ ½ ÂÓ Ü () 1 Ü () 2 Ü () 3 ½ ¹¼¾¼¼ ¼¼¼ ¹¼ ¹¾½¾ ¾ ¼ ¾ ¹¼ ½¾ ¹¾¼¾ ¼ ¼¼½ ¹¼¼ ¾ ¹½ ¾ ½¼ ¼ ¹¼¼¼¼ ¼½ ¹¾¼¼¼ ¼¼ ½½ ¼ ¹¼¼¼¼ ¼¾¼ ¹¾¼¼¼ ¼¼¼ ½¾ ¼ ¾ ¹ ¼½¾ 10 6 ¹¾¼¼¼ ¼¼¼ Ü Ý ¹ ¹Ü ݵ» ¹ ½» Óܽ ½Ý Þ Ý½ ¾Ü Þ Þ½ Ü Ý ÈÖÒØ Æܽ Æݽ ÆÞ½ Ü Ü½ Ý Ý½ Þ Þ½ ß ½ ÒÐ ¾ Ù ¹ËÐ Ù ¹ËÐ (232 2) Ü (+1) 1 = 1 [ 12 Ü () 2 + 13 Ü () ] 3 + + 1Ò Ü () Ò + 1 11 11 Ü (+1) 2 = 1 [ 21 Ü () 1 + 23 Ü () ] 3 + + 2Ò Ü () Ò + 2 22 22 Ü (+1) Ò = 1 [ Ò1 Ü () 1 + Ò2 Ü () 2 + + Ò Ò 1 Ü () ] Ò 1 + Ò ÒÒ ÒÒ
½ Ü 1 (+1) Ü 2 (+1) = 1 [ 12 Ü () 2 + 13 Ü () ] 3 + + 1Ò Ü () Ò + 1 11 11 = 1 [ 21 Ü (+1) 1 + 23 Ü () ] 3 + + 2Ò Ü () Ò + 2 22 22 Ü (+1) 3 = 1 33 [ 21 Ü 1 (+1) + 22 Ü 2 (+1) + + 2Ò Ü () Ò ] + 2 22 ¾ ¹ ½µ Ü Ò 1 (+1) = 1 [ Ò 11 Ü (+1) 1 + Ò 12 Ü (+1) 2 + Ò 1 Ò 1 ] + Ò Ò 2 Ü (+1) Ò 2 + Ò Ò Ü () Ò + Ò ÒÒ Ü (+1) Ò = 1 ÒÒ [ Ò1 Ü 1 (+1) + Ò2 Ü 2 (+1) + + Ò Ò 1 Ü Ò 1 (+1) ] + Ò ÒÒ ý ¾ ¹ ½ ¾ ¹ ½ ô (232 3) ¾ ¾ ¹ ½ 5Ü 1 2Ü 2 + 3Ü 3 = 1 3Ü 1 + 9Ü 2 + Ü 3 = 5 ¾ ¹ ¾µ Ü 1 Ü 2 7Ü 3 = 15 Ü 1 = 1 Ü 2 = 0 Ü 3 = 2
½ ý ý ¾ ¹ ½ Ù ¹Ëе Ü = R Ò Ò [ Ü (0) = Ü (0) ] Ì 1 Ü(0) 2 Ü(0) Ò Æ = 1 2 Æ = 1 2 Ò Ü (+1) 1 Ò = Ü (+1) Ü () + =1 =1 Ü Ü (0) Ü = [Ü1 Ü 2 Ü Ò ] Ì ËÌÇÈ Ü (0) = Ü ýþ (232 4) (233 1) Ù ¹ËÐ (233 2) Ü 1 (+1) Ü 2 (+1) [ 2 Ü () 2 ] 3 Ü() 3 1 5 = 1 5 = 1 [ 3 Ü (+1) 1 Ü () ] 3 5 9 9 Ü (+1) 3 = 1 [ ] Ü (+1) (+1) 1 + Ü 2 15 ; = 0 1 7 7 ¾ ¹ µ ô ³ ¾ ¾ ¹ ½ (233 3) Ü (0) 1 = 0 Ü (0) 2 = 0 Ü (0) 3 = 0 = 0 Ü (0+1) 1 = Ü (1) 1 = 1 [ 2 Ü (0) 2 3 Ü (0) ] 3 1 5 5 = 1 5 = 02 Ü (0+1) 2 = Ü (1) 2 = 1 [ 9 3 Ü 1 (1) Ü (0) 3 ] 5 9
½ = 1 9 [3 02 0] 5 9 = 0622222 Ü (0+1) 3 = Ü (1) 3 = 1 [ ] Ü (1) (1) 1 + Ü 2 15 7 7 = 1 7 [ 02+( 0622)] 15 7 = 2082540 = 1 Ü (1+1) 1 = Ü (2) 1 = 1 [ 2 Ü (1) 2 3 Ü (1) ] 3 1 5 5 Ü (1+1) 2 = Ü (2) 2 = 1 [ 9 = 1 [2 ( 0622) 3 ( 2082)] 02 = 0800635 5 3 Ü 1 (2) Ü (1) 3 ] 5 9 = 1 [3 0800 ( 2082)] 0555 = 0057284 9 Ü (1+1) 3 = Ü (2) 3 = 1 [ ] Ü (2) (2) 1 + Ü 2 15 7 7 = 1 [ 0800+( 0557)] 2142857 = 2020297 7 ø = 2 3 7 ¾ ¹ ½ Ü 1 = 1 Ü 2 = 0 Ü 3 = 2 7 6 ÂÓ ¾ ¾ ¹ ½ 12 5 1 2 6 3 ÅÌÀÅÌÁ ¾ ¹ ½ ¾ ¹ ½ Ù ¹Ëе Ò Ü ¼ Ý ¼ Þ ¼ ½Ý Þ ¾ Ý ¹ Þµ» ¹ ½» ¾Ü Þ Ü ¹ Þµ» ¹»
½ ý ¾ ¹ ½ ¾ ¾ ¹ ½ Ù ¹ ËÐ Ü () 1 Ü () 2 Ü () 3 ½ ¹¼¾¼¼ ¼¼¼ ¹¼¾¾ ¾¾¾ ¹¾¼¾ ¼ ¾ ¼¼¼ ¹¼¼ ¹¾¼¾¼ ¾ ¼ ¾ ¹¼¼¼½ ¾ ¹¾¼¼½ ½¼¼¼ ¾ ¼¼¼¼ ¾¾ ¹½ ½¼¼¼ ¼ ¼¼¼¼ ¼ ½ ¹½ ½ ½¼¼¼ ¼¼ ½¾ ¼½ 10 6 ¹½ ½¼¼¼ ¼¼¼ ¹½ ¾ 10 8 ¹¾¼¼¼ ¼¼¼ Ü Ý ¹ ¹Ü ݵ» ¹ ½» Óܽ ½Ý Þ Ý½ ¾Ü½ Þ Þ½ ܽ ݽ ÈÖÒØ Æܽ Æݽ ÆÞ½ Ü Ü½ Ý Ý½ Þ Þ½ ß ½ ÒÐ ¾ (232 2) (233 1) ¹ Ó Ù ¹ËÐ (232 1) ý ¾ ¹ ½ ô Ü 1 5Ü 2 = 4 7Ü 1 Ü 2 = 6 Ü 1 = Ü 2 = 1 ¾ ¹ ½µ
½ ¾ ¹ ½ ¾ ¹ ½ (234 2) ÂÓ Ù ¹ËÐ ÂÓ Ù ¹ËÐ Ü () 1 Ü () 2 Ü () 1 Ü () 2 ½ ¹¼¼¼ ¹¼¼¼ ¹¼¼¼ ¹ ¼¼¼ ¾ ¹ ¼¼¼ ¹ ¼¼¼ ¹½¼¼¼ ¹½¾¾¼¼¼ ¹½¼¼¼ ¹¾¼¼¼ ¹½¾¼¼¼ ¹¾ ¹½¾¼¼¼ ¹½¾¼¼¼ ¹¾½ ¹½¼¼¾ ¹½¾¼¼¼ ¹¼¼¼ ¹¼ ½¾ ¹¾¾½ ¹¾ ¹¾ ¹¾½ ¹ ¼¼½¾ ÂÓ Ù ¹ËÐ Ü (+1) 1 = 5Ü () 2 4 Ü (+1) 2 = 7Ü () 1 6 Ü (+1) 1 = 5Ü () 2 4 Ü (+1) 2 = 7Ü (+1) 1 6 ¾ ¹ ¾µ = 0 1 (234 2) Ü (0) 1 = 0 Ü (0) 2 = 0 ¾ ¹ ½ Ù ¹ËÐ ý ¾ ¹ ½ ý R Ò Ò Ü = þ
¾¼ ý ÂÓ Ù ¹ËÐ ¾ ¹ ½ ô = ( ) Ò ØÖØÐÝ ÓÒÐÐÝ ÓÑÒÒص = 12 Ò 4 2 1 = 1 6 2 = 1 2 5 11 12 13 21 22 23 31 32 33 11 = 4 12 + 13 = 2+1 = 3 22 = 6 21 + 23 = 1+2 = 3 33 = 5 31 + 32 = 1+ 2 = 3 (234 1) = 1 5 7 1 ø 7Ü 1 Ü 2 = 6 Ü 1 5Ü 2 = 4 ¾ ¹ µ ÂÓ Ù ¹ËÐ Ü (+1) 1 = 1 7 Ü() 2 + 6 7 Ü (+1) 2 = 1 5 Ü() 1 + 4 5 Ü (+1) 1 1 = 7 Ü() 2 + 6 7 ¾ ¹ µ Ü (+1) 2 = 1 5 Ü(+1) 1 + 4 5 = 0 1 Ü (0) 1 = 0 Ü (0) 2 = 0 ¾ ¹ ¾
¾½ ¾ ¹ ¾ ¾ ¹ ½ (234 4) ÂÓ Ù ¹ËÐ ÂÓ Ù ¹ËÐ Ü () 1 Ü () 2 Ü () 1 Ü () 2 ½ ¼ ¼¼¼ ¼ ¼½ ¾ ¼½ ¼½ ¼ ¼ ¼ ¼ ½¼¼¼ ½¼¼¼ ¼ ¼ ½¼¼¼ ½¼¼¼ ½¼¼¼ ½¼¼¼ ½¼¼¼ ½¼¼¼ ¾ ¹ ½ ¾ ¹ ½ 4Ü 1 + 5Ü 2 = 1 Ü 1 + 2Ü 2 = 3 Ü (0) 1 = Ü (0) 2 = 0 Ü 1 = Ü 2 = 1 ÂÓ Ù ¹ËÐ µ Ù ¹ËÐ ÂÓ µ Ù ¹ËÐ ÂÓ
¾¾ ý µ Ù ¹ËÐ ÂÓ ý ½ ÂÓ Ù ¹ËÐ ) 3Ü 1 Ü 2 = 2 Ü 1 + 4Ü 2 = 5 ) 4Ü 1 + 2Ü 2 = 6 3Ü 1 5Ü 2 = 1 2Ü 1 Ü 2 = 2 ) Ü 1 3Ü 2 + Ü 3 = 2 Ü 1 + Ü 2 3Ü 3 = 6 4Ü 1 + Ü 2 + Ü 3 = 5 Ú) Ü 1 7Ü 2 + 2Ü 3 = 2 3Ü 1 + 4Ü 3 = 11 Ü (+1) Ü () 10 3 ¾ ø ¾ ¹ ½ ) Ü 1 2Ü 2 = 1 2Ü 1 + Ü 2 = 3 ) Ü 1 + 4Ü 2 = 1 3Ü 1 2Ü 2 = 2
¾ ) 2Ü 1 3Ü 2 = 7 Ü 1 + 3Ü 2 10Ü 3 = 9 3Ü 1 + Ü 3 = 13 Ú) Ü 1 + 3Ü 2 Ü 3 = 5 3Ü 1 Ü 2 = 5 Ü 2 + 2Ü 3 = 1 4Ü 1 + 5Ü 2 = 1 ) Ü 1 + 2Ü 2 = 3 ) 4Ü 1 + 2Ü 2 2Ü 3 = 0 Ü 1 3Ü 2 Ü 3 = 7 3Ü 1 Ü 2 + 4Ü 3 = 5 ¾ ¹ ½ ÂÓ Ù ¹ËÐ ÅÌÄ ¾ ¾ ¹ ½ ¾ ¹ ½ ý ý ¹ÑÐ ÖØ Ó ØØÖ ÍÊÄ ØØÔ»»Ù Ö ØØÖ»ÖØ Ó»
þ ½ þ ½µ ý ý ý ÁËÆ ß¼ß¾ß¼¾¾ß ¾ ý ¾¼½½µ ý ý ÁËÆ ß¼ß ½ßß ý ¾¼¼¾µ ý ý ý ÁËÆ ¼ß ½ß ß»ß¼ß ½ß ß ØÓÒ ½¼µ Ë ÆÙÑÖÐ ÅØÓ ÌØ ÏÓÖ ¾Ò ÔÖÒØÒ Ï ¹ ÒØÓÒ ÅØ Ó ÑÖ ÖÓÒ ØÒ Á Æ Ò ËÑÒÝÝÚ ½µ à ÀÒÓÓ Ó Åع ÑØ Ö ÆÛ ÓÖ ËÔÖÒÖ¹ÎÖÐ ÙÖÒ ÊÖ Ä Ò Ö Â ÓÙÐ ¾¼¼¼µ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ Ø µ ÖÓÓ»ÓÐ ÁËÆ ß¼ß ß ¾½ß¾ ÓÒØ Ë ÖÐ ÓÓÖ ½½µ ÐÑÒØÖÝ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ Ò ÐÓÖØÑ ÔÔÖÓ Ö µ ÅÖÛ¹ÀÐÐ ÓÓ ÓÑÔÒÝ ÁËÆ ß¼ß¼ß¼½¾ß ÓÒ ËÙѳ ÇÙØÐÒ ß ÅØÑØ ¾¼¼µ ÁËÆ ß¼ß½ß¼¼¼ß ÃÒÐÐ ØÒ ÓÒ ½µ Ò ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ ¾Ò µ ÂÓÒ ÏÐÝ ² ËÓÒ ÁËÆ ¼ß½ß¼¼¾ ß¾ ½¼ ÄÖ Â«ÖÝ Â ¾¼¼µ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ Ò ËÒØ ÓÑÔÙع ØÓÒ ÓÒ Ï ÐÝ ÁËÆ ß¼ß¾¼½ß ß ¾
¾ ý ½½ ËØÞÑÒ Å ¾¼¼¾µ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ ÅØÑØÐ ÁÒØÖÓÙ¹ ØÓÒ ÐÖÒÓÒ ÈÖ ÇÜÓÖ ÁËÆ ß¼ß½ß¼¾ß½ ½¾ ËÐ Ò ÅÝÖ ¾¼¼ µ Ò ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ ÑÖ ÍÒÚÖ ØÝ ÈÖ ÁËÆ ß¼ß¾½ß¼¼ß ½ ËØÓÖ ÂÓ ÙÐÖ ÊÓÐÒ ¾¼¼¾µ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ ÆÙÑÖÐ Òй Ý Ö µ ËÔÖÒÖ ÁËÆ ß¼ß ß¾ß ½ ÎÖ Ê ½¾µ ÅØÖÜ ÁØÖØÚ ÒÐÝ ÒÐÛÓÓ Ð«Æ ÈÖÒعÀÐÐ ½ ÓÙÒ ½½µ ÁØÖØÚ ËÓÐÙØÓÒ Ó ÄÖ ÄÒÖ ËÝ ØÑ ÆÛ ÓÖ Ñ ÈÖ ØØÔ»»ÒÛÔÓÖ»Û»ÅÒ È ØØÔ»»ÕÛÓÖÐÔÑÒØÖÙ»ÒÜØÑ ØØÔ»»ÑØÛÓÖÐÛÓÐÖÑÓÑ» ØØÔ»»ÓÑ ÔÖÒÖ»
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, 2014. Αθανάσιος Μπράτσος. «Μαθηματικά ΙΙΙ. Ενότητα 8: Προσεγγιστική Λύση Γραμμικών Συστημάτων». Έκδοση: 1.0. Αθήνα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 2