ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΘΕΜΑ 1 Και στα δυο εκκρεμή του διπλανού σχήματος οι μάζες των σφαιρικών σωμάτων που είναι αναρτημένες στο κάτω άκρο κάθε νήματος είναι ίσες με Μ = 0,500 kg. Στο αριστερό εκκρεμές η μάζα είναι σχεδόν σημειακή και το νήμα είναι αβαρές με μήκος L = 1,00 m. Στο δεξιό εκκρεμές η μάζα Μ κατανέμεται σε σφαιρικό φλοιό ακτίνας R = L/2 και το νήμα είναι αβαρές με μήκος L/2. Να υπολογίσετε τη συχνότητα ταλάντωσης των δυο εκκρεμών. (g = 9,80 m/s 2 ). ΘΕΜΑ 2 Ένα μικρό αυτοκίνητο έχει μάζα 1200 kg. Υποθέστε ότι το αυτοκίνητο έχει ένα ελατήριο σε κάθε τροχό, και ότι τα ελατήρια είναι πανομοιότυπα, και η μάζα είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη πάνω στα τέσσερα ελατήρια. α. Ποια είναι η σταθερά ελατηρίου των τεσσάρων ελατηρίων αν το άδειο αυτοκίνητο ταλαντώνεται 2,0 φορές κάθε δευτερόλεπτο; β. Ποια θα είναι η συχνότητα ταλάντωσης του αυτοκινήτου ενώ μεταφέρει τέσσερα άτομα με μάζα 70 kg το καθένα; γ. Πόσο συμπιέστηκαν τα ελατήρια των αμορτισέρ όταν οι τέσσερεις (4) επιβάτες κάθισαν μέσα στο αυτοκίνητο; (g = 9,80 m/s 2 ). ΘΕΜΑ 3 Ένα σώμα που έχει μάζα m είναι προσαρμοσμένο στο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου, του οποίου η σταθερά είναι k, και ταλαντώνεται με πλάτος Α. Την χρονική στιγμή που το σώμα βρίσκεται στη θέση x = A, ένα άλλο σώμα με μάζα m/2 πέφτει κατακόρυφα προς το σώμα με τη μάζα m και προσκολλάται σε αυτό. Μετά την αύξηση της μάζας του αρχικού σώματος κατά m/2, να υπολογίσετε το ποσοστό μεταβολής: Του πλάτους της ταλάντωσης Της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης. Της περιόδου της ταλάντωσης. Της αρχικής φάσης της ταλάντωσης. ΘΕΜΑ 4 Τη χρονική στιγμή t = 0 s ένας αρμονικός ταλαντωτής είναι σε απόσταση x > 0 από τη θέση ισορροπίας, έχει θετική ταχύτητα υ και η δυναμική του ενέργεια είναι τριπλάσια της κινητικής του ενέργειας. Να υπολογίσετε τη σταθερά φάσης φ 0 του ταλαντωτή όταν: α) Η εξίσωση κίνησης ενός αρμονικού ταλαντωτή είναι: x = A sin(ωt + φ 0 ). β) Η εξίσωση κίνησης ενός αρμονικού ταλαντωτή είναι: x = A cos(ωt + φ 0 ).

ΘΕΜΑ 5 Ένας μηχανισμός αποτελείται από μια ομογενής ράβδος, η οποία έχει μήκος l=1,00 m και μάζα m=1,500 kg, η οποία περιστρέφεται ελεύθερα και χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο αυτής. Όταν η ράβδος είναι στη κατακόρυφη θέση, το κάτω άκρο αυτής προσαρμόζεται σε οριζόντιο ελατήριο που έχει σταθερά k όπως δείχνει το διπλανό σχήμα. Στην κατακόρυφη θέση της ράβδου, το ελατήριο είναι απαραμόρφωτο. Όταν η ράβδος εκτραπεί από την κατακόρυφο κατά γωνία θ<15 0 και αφεθεί ελεύθερη να αποδείξετε ότι αυτή θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε τη συχνότητα και να υπολογίσετε την κατάλληλη τιμή της σταθερά k του ελατηρίου ώστε η ράβδος να ταλαντώνεται με συχνότητα f = 1,20 Hz. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι: I cm = ml2 12. (g = 9,80 m/s2 ) m k ΘΕΜΑ 6 Δυο ακριβώς ίδιοι τροχοί δύνανται να l περιστρέφονται με πολύ γωνιακή ταχύτητα γύρω από οριζόντιους άξονες οι οποίοι βρίσκονται πάνω στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και απέχουν μεταξύ τους απόσταση l = 1,00 m. Πάνω στους τροχούς, οι οποίοι περιστρέφονται με ίδιες γωνιακές ταχύτητες όπως δείχνει το σχήμα, τοποθετείται μια ράβδος της οποίας η μάζα είναι m = 1,00 kg. (α) Να αποδείξετε ότι η ράβδος που είναι πάνω στους τροχούς θα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. (β) Να υπολογίσετε τη συχνότητα της ταλάντωσης αυτής. (γ) Ποια θα είναι η κίνηση της ράβδου στην περίπτωση που η φορά περιστροφής των δυο τροχών είναι αντίθετη της φοράς που δείχνει το σχήμα της άσκησης. Δίνονται: Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ ράβδου και περιφέρειας τροχών μ = 0,35 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 9,80 m/s 2. ΘΕΜΑ 7 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ Σε μια οποιαδήποτε ταλάντωση με απόσβεση: (α) Να ορίσετε τη σταθερά χρόνου τ και να αποδείξετε ότι τ = m/b, όπου m και b είναι η μάζα του ταλαντωτή και η σταθερά απόσβεσης της ταλάντωσης, αντίστοιχα. (β) Να αποδείξετε ότι, ο λόγος των πλατών δυο τυχαίων διαδοχικών περιόδων είναι σταθερός. (γ) Να αποδείξετε ότι η γωνιακή συχνότητα ω του ταλαντωτή με απόσβεση είναι πρακτικά ίση με τη γωνιακή συχνότητα ω 0 του ταλαντωτή χωρίς απόσβεση. (δ) Να ορίσετε το συντελεστή ποιότητας Q της ταλάντωσης με απόσβεση και αποδείξετε ότι: Q = ωτ ω 0 τ Για τα ερωτήματα (β), (γ) και (δ) δίνονται η περίοδος T 0 της ταλάντωσης χωρίς απόσβεση, η περίοδος T της ταλάντωση με απόσβεση, όπου T 0 T και η σταθερά χρόνου τ στην περίπτωση της ταλάντωσης με απόσβεση.

ΘΕΜΑ 8 b Στο διπλανό σχήμα η μάζα m = 40 kg δύναται να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές. Η σταθερά του ελατηρίου είναι k = 700 N/m και ο μηχανισμός απόσβεσης που m βρίσκεται πάνω από το ελατήριο έχει σταθερά απόσβεσης b = 60 Ns/m. Η μάζα m συμπιέζει το ελατήριο και αφήνεται k ελεύθερη. Να διερευνήσετε το είδος της κίνησης που θα κάνει η μάζα m. α. Αν η μάζα m εκτελεί ταλάντωση με απόσβεση, τότε να υπολογίσετε την ακριβή συχνότητα της ταλάντωσης καθώς και τη σταθερά χρόνου τ της απόσβεσης. β. Ποια πρέπει να είναι η τιμή της σταθεράς απόσβεσης b ώστε η διάταξη που απεικονίζεται στο διπλανό να είναι σε κατάσταση κρίσιμης απόσβεσης; ΘΕΜΑ 9 Καλείστε ως μηχανικοί να υπολογίσετε το ιξώδες ενός τύπου λαδιού με την εξής μέθοδο: Το ιξώδες ενός ρευστού μπορεί να μετρηθεί χρησιμοποιώντας ένα ταλαντωτή ο οποίος ταλαντώνεται μέσα στο συγκεκριμένο ρευστό. Υποθέστε ότι ο ταλαντωτής που θα χρησιμοποιήσετε είναι μια χαλύβδινη σφαίρα που έχει ακτίνα r = 6,00 cm και η οποία είναι προσαρμοσμένη στο άκρο ενός ελατηρίου που έχει σταθερά k = 10,0 N/cm και η οποία βρίσκεται εξ ολοκλήρου μέσα στο λάδι που σας έχουν δώσει. Εκτρέπετε τη σφαίρα από τη θέση ισορροπία, εκτείνοντας ή συμπιέζοντας το ελατήριο κατά διάστημα Α 0 και στη συνέχεια αφήνετε το σύστημα ελατηρίου χαλύβδινης σφαίρας να ταλαντωθεί ελεύθερα. Μετά από χρονικό διάστημα οχτώ περιόδων ταλάντωσης (t = 8T) παρατηρείτε ότι το πλάτος Α ταλάντωσης της χαλύβδινης σφαίρας έχει μειωθεί στο 50% του αρχικού πλάτους Α 0. Με βάση τα δεδομένα αυτά να υπολογίσετε: α. Το ιξώδες του λαδιού που σας έδωσαν. β. Τον παράγοντα Q (ποιότητα συντονισμού) του ταλαντωτή που χρησιμοποιήσατε. Δίνονται επίσης: Η ταχύτητα υ της ταλαντευόμενης σφαίρας μέσα σε ρευστό είναι σχετικά μικρή, οπότε η οπισθέλκουσα δύναμη (δύναμη εσωτερικής τριβής) που ασκεί το ρευστό πάνω στη σφαίρα είναι ανάλογη με την ταχύτητα υ: F d =6πηrυ (νόμος του Stokes), όπου η είναι το ιξώδες του ρευστού και r είναι η ακτίνα της σφαίρας. Η πυκνότητα του χάλυβα: ρ=7,80 g/cm 3. ΘΕΜΑ 10 Οι σεισμολόγοι και οι γεωφυσικοί έχουν προσδιορίσει ότι αν η γη δονηθεί, τότε η ταλάντωση που διεγείρεται έχει περίοδο συντονισμού T=42 min και συντελεστή ποιότητας συντονισμού Q=350. Μετά από ένα δυνατό σεισμό, η γη θα συνεχίσει να δονείται για αρκετές ημέρες. α. Να υπολογίσετε το ποσοστό ΔΕ/Ε της ενέργειας της ταλάντωσης που χάνεται σε χρονικό διάστημα μιας πλήρους ταλάντωσης, δηλαδή σε χρονικό διάστημα μιας περιόδου T. β. Να υπολογίσετε τη σταθερά χρόνου τ της ταλάντωσης της γης και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι μετά από n περιόδους η ενέργεια Ε n της ταλάντωσης της γης δίνεται από τη σχέση E n =(0,982) n E 0, όπου Ε 0 είναι η αρχική ενέργεια του σεισμού. γ. Αν η αρχική ενέργεια που εκλύεται από τη σεισμική δόνηση είναι E 0, πόση θα είναι η ενέργεια της σεισμικής ταλάντωσης μετά από μια (1) ημέρα;

Μετατόπιση x (m) ΘΕΜΑ 11 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΔΙΕΓΕΡΣΗ (α) Να ορίσετε το συντελεστή ποιότητα Q σε μια ταλάντωση με απόσβεση και διέγερση και να αποδείξετε ότι Q = ω 0 τ, όπου τ είναι η σταθερά χρόνου. (β) Να διερευνήσετε το φαινόμενο του συντονισμού σε ταλαντωτή που βρίσκεται στην κατάσταση κρίσιμης απόσβεσης. Ο ταλαντωτής αποτελείται από ελατήριο που έχει σταθερά k και στο άκρο του είναι προσαρμοσμένη μάζα m. Ο ταλαντωτής ταλαντώνεται σε περιβάλλον το οποίο του προσδίδει σταθερά απόσβεσης b και διεγείρεται με την περιοδική δύναμη F = F 0 sin(ωt) ΘΕΜΑ 12 Το Σχήμα 1 αναπαριστά ένα σεισμογράφο. Αυτός αποτελείται από μια μάζα m = 10 kg η οποία δύναται να κινείται οριζόντια χωρίς τριβές μέσα σε ένα κουτί το οποίο είναι πακτωμένο σε σταθερή οριζόντια επιφάνεια. Η μάζα m είναι προσαρμοσμένη στο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου με σταθερά k ενώ η άλλη άκρη του ελατηρίου είναι στερεωμένη πάνω στο κουτί. Το σύστημα μάζα ελατήριο φέρει ένα αποσβεστικό μηχανισμό που έχει συντελεστή απόσβεσης b. Κατά τη διάρκεια μιας σεισμικής δόνησης, το κουτί συμμετέχει στην παλινδρομική κίνηση της επιφάνειας της γης και ταλαντώνεται με πλάτος Α 01 ενώ, λόγω αδράνειας, το σύστημα «μάζα ελατήριο» που βρίσκεται μέσα στο κουτί θα εκτελεί και αυτό ταλάντωση με πλάτος Α 0. Ένας τέτοιος σεισμογράφος είναι τοποθετημένος στην στέγη μιας πολυκατοικίας. Σε μια σεισμική δόνηση, στη διάρκεια της οποίας η πολυκατοικία ταλαντώθηκε οριζόντια, ο σεισμογράφος κατέγραψε το σεισμογράφημα που φαίνεται στο Σχήμα 2. Στο σεισμογράφημα καταγράφεται το τελευταίο ένα δευτερόλεπτο της σεισμικής δόνησης καθώς και η ταλάντωση με απόσβεση του σεισμογράφου μετά τη σεισμική δόνηση. k m b t (s) Σχήμα 1 Σχήμα 2 Με τη βοήθεια των στοιχείων που προκύπτουν από το σεισμογράφημα, να υπολογίσετε: (α) Τη σταθερά χρόνου τ και το συντελεστή απόσβεση b της ταλάντωσης του σεισμογράφου. Να χρησιμοποιήσετε μόνο το τμήμα της ταλάντωσης με απόσβεση (t 1s). (β) Τη σταθερά k του ελατηρίου του σεισμογράφου καθώς και τη φυσική συχνότητα (ιδιοσυχνότητα) f 0 του συστήματος «μάζα ελατήριο». Να χρησιμοποιήσετε μόνο το τμήμα της ταλάντωσης με απόσβεση (t 1s). (γ) Τη συχνότητα f της σεισμικής δόνησης καθώς και τη μέγιστη οριζόντια μετατόπιση Α 01 της στέγης της πολυκατοικίας. Να χρησιμοποιήσετε μόνο το τμήμα της ταλάντωσης της σεισμικής δόνησης (t 1s). ΘΕΜΑ 13 Σε ένα οικογενειακό αυτοκίνητο που έχει μάζα M = 1000 kg επιβαίνουν τέσσερεις (4) επιβάτες (μαζί με τον οδηγό) οι οποίοι έχουν συνολική μάζα m = 220 kg. Το αυτοκίνητο αυτό μαζί με τους επιβάτες πρέπει να κινηθεί σε δρόμο με «σαμαράκια» τα οποία έχουν ύψος Η max = 10,0 cm και απέχουν μεταξύ τους απόσταση L = 4,00 m. Να υπολογίσετε την επιτρεπτή ταχύτητα υ 0 του

συγκεκριμένου αυτοκινήτου ώστε αυτό να κινηθεί με ασφάλεια στο δρόμο με τα «σαμαράκια». Δίνονται οι εξής πληροφορίες: Το βάρος του αυτοκινήτου και των επιβατών ισοκατανέμονται στους τέσσερεις τροχούς. Όταν καθίσουν και οι τέσσερεις επιβάτες στο αυτοκίνητο, το κάθε ένα από τα τέσσερα ελατήρια των αντίστοιχων αμορτισέρ συμπιέζεται κατά διάστημα h = 1,00 cm. Τα αμορτισέρ του αυτοκινήτου ρυθμίζονται έτσι ώστε το σύστημα «αυτοκίνητο ελατήρια αμορτισέρ» να είναι σε κατάσταση κρίσιμης απόσβεσης. Ασφαλής είναι η κίνηση του αυτοκινήτου όταν η παραμόρφωση (συμπίεση ή τέντωμα) των ελατηρίων των αμορτισέρ δεν ξεπερνούν την τιμή h max = 5,50 cm. Υπόδειξη: Η εξωτερική διέγερση, που προέρχεται από τα «σαμαράκια» επηρεάζει πρώτα τους δυο εμπρός τροχούς και μετά από μικρό χρονικό διάστημα επηρεάζει και του δυο πίσω τροχούς. Η λύση του προβλήματος να βασισθεί στη εξωτερική διέγερση των δυο εμπρός τροχών. ΘΕΜΑ 14 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Ειδικοί προσπαθούν να εντοπίσουν κοιτάσματα πετρελαίου. Χρησιμοποιούν εκρηκτικά για την παραγωγή δυνατών ήχων, στη συνέχεια συλλαμβάνουν την ηχώ από τα υπόγεια κοιτάσματα πετρελαίου. Οι γεωλόγοι πιστεύουν ότι υπάρχει πετρέλαιο κάτω από h 1 τον πυθμένα μιας λίμνης η οποία έχει βάθος h 1 = 500 m. Είναι γνωστό ότι η λίμνη βρίσκεται σε λεκάνη από γρανίτη. Τη χρονική στιγμή t = 0 s, οι γεωλόγοι πραγματοποιούν μια ελεγχόμενη έκρηξη στην επιφάνεια της λίμνης και τα ειδικά μικρόφωνα που έχουν στην h 2 επιφάνεια της λίμνης καταγράφουν τρία σήματα με χρονικές καθυστερήσεις t 1 = 0,68 s, t 2 = 0,94 s και t 3 = 1,23 s (βλέπε το h 3 παρακάτω διάγραμμα), τα οποία εκτιμούν ότι προέρχονται από την ανάκλαση των ηχητικών κυμάτων της έκρηξης στον πυθμένα της λίμνης, στην οροφή μιας υποτιθέμενης κοιλότητας και στον πυθμένα της κοιλότητας, αντίστοιχα. α) Να ελέγξετε ότι το πρώτο σήμα, που καταγράφηκε μετά την έκρηξη, προέρχεται πράγματι από τον πυθμένα της λίμνης. β) Να υπολογίσετε το πάχος h 2 του γρανίτη που πρέπει τρυπήσουν τα γεωτρύπανα για να φθάσουν στην κοιλότητα. γ) Το ύψος h 3 της κοιλότητας. 1 0,5 t 1 =0,68s t 2 =0,94s t 2 =1,23s 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 t (s) Ταχύτητα ήχου: μέσα στο νερό υ ν = 1,48 km/s, μέσα στο γρανίτη υ γ = 6,00 km/s και μέσα στο κοίτασμα πετρελαίου υ π = 2,40 km/s. ΘΕΜΑ 15 Έχετε αναλάβει να εκτελέσετε μια εργασία στον πυθμένα ενός πηγαδιού που έχει βάθος Η = 50 m. Στον πυθμένα του πηγαδιού κατεβήκατε με τη βοήθεια ενός σκοινιού του οποίου η γραμμική πυκνότητα μάζας είναι μ = 0,835 kg/m. Ο πιο εύκολος τρόπος να επικοινωνήσετε με το συνεργάτη σας, οποίος βρίσκεται στο στόμιο του πηγαδιού, είναι να ταλαντώσετε οριζόντια το κάτω άκρο του

κατακόρυφου σκοινιού, οπότε ένα εγκάρσιο κύμα διαδίδεται κατακόρυφα προς τα πάνω κατά μήκος του σκοινιού. Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα που χρειάζεται η διαταραχή, που προκαλέσατε στο κάτω άκρο του σκοινιού, να φθάσει αυτή στο στόμιο του πηγαδιού. ΘΕΜΑ 16 Η ένταση του ήχου που παράγεται από ένα κρουστικό μηχάνημα είναι Ι 1 = 1,0 W/m 2 σε απόσταση r 1 = 0,50 m από αυτό. Πρόκειται για ένα πολύ δυνατό ήχο ικανό να προκαλέσει μόνιμη βλάβη αν ο χειριστής του κρουστικού μηχανήματος δεν φορά ωτασπίδες. (α) Να υπολογίσετε την ολική ακουστική ισχύ που παράγει το κρουστικό μηχάνημα. (β) Σε πόση απόσταση από το κρουστικό μηχάνημα θα πρέπει να βρίσκεται ο χειριστής του μηχανήματος ώστε αυτός να μπορεί να εργάζεται στην 8ωρη βάρδια του χωρίς κίνδυνο να υποστεί μόνιμη ακουστική βλάβη. Σύμφωνα με την εργατική νομοθεσία, ένα εργασιακό περιβάλλον είναι ασφαλές, όσον αφορά τον ηχητικό θόρυβο, όταν η στάθμη του ηχητικού θορύβου είναι μικρότερη ή ίση από τα 87 db για 8ωη καθημερινή εργασία. ΘΕΜΑ 17 Η ένταση του ήχου που παράγει μια σειρήνα προειδοποίησης ενός τυφώνα είναι I 1 = 0,10 W/m 2 σε απόσταση r 1 = 50 m από τη σειρήνα. (α) Να υπολογίσετε την ηχητική ισχύ που εκπέμπει η σειρήνα. (β) Η πιο χαμηλή ένταση που είναι πιθανόν να ακουστεί πάνω από το υπόβαθρο του θορύβου είναι Ι min 1 μw/m 2. Να υπολογίσετε τη μέγιστη απόσταση στην οποία θα ακουστεί η σειρήνα. ΘΕΜΑ 18 Σημειακή ηχητική πηγή εκπέμπει ηχητικό κύμα ομοιόμορφα προς όλες τις κατευθύνσεις με σταθερή ισχύ. Με την προϋπόθεση ότι το μέσο διάδοσης είναι ομογενές και ισοτροπικό, να υπολογίσετε κατά πόσα db ελαττώνεται η στάθμη του ήχου όταν απομακρύνεστε από μια απόσταση r 1 από την πηγή σε μια άλλη απόσταση r 2 = 3r 1. ΘΕΜΑ 19 Το τσουνάμι που δημιουργήθηκε από ένα υποθαλάσσιο σεισμό έφθασε στις ακτές της θάλασσας αφού διήνυσε ένα διάστημα L = 5450 km. Στο τσουνάμι αυτό τα κύματα απείχαν το ένα από το άλλο απόσταση λ = 60,0 km η οποία αντιστοιχεί στο μήκος κύματος του τσουνάμι. Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα που χρειάστηκε το συγκεκριμένο τσουνάμι να διανύσει την οριζόντια απόσταση από το επίκεντρο του σεισμού μέχρι τις ακτές τις θάλασσας δεδομένου ότι, το επίκεντρο του σεισμού ήταν σε περιοχή όπου το βάθος της θάλασσας ήταν Η 0 = 10 km και ότι το βάθος της θάλασσας μειώνεται ομαλά μέχρι τις ακτές. Δίνεται επίσης ότι, το κριτήριο μεγάλου ή μικρού βάθους θάλασσας, σε σχέση με το μήκος κύματος του τσουνάμι, είναι Η > λ/10 και Η < λ/10, αντίστοιχα.

ΘΕΜΑ 20 ΗΧΟΔΟΣΙΜΕΤΡΙΑ Σε ένα εργασιακό περιβάλλον λειτουργούν τρία (3) πανομοιότυπα μηχανήματα το κάθε ένα από τα οποία παράγει θόρυβο με ηχοστάθμη L = 85 db. Στην περίπτωση που λειτουργούν ταυτόχρονα και τα τρία μηχανήματα: (α) Να υπολογίσετε τη συνολική ηχοστάθμη L eq του θορύβου που παράγουν και τα τρία μηχανήματα μαζί. (β) Αν και τα τρία αυτά μηχανήματα λειτουργούν ταυτόχρονα σε καθημερινή βάση, τότε να υπολογίσετε το μέγιστο ημερήσιο επιτρεπτό χρονικό διάστημα στο οποίο θα μπορούσε να εργαστεί ένας εργαζόμενος χωρίς να κινδυνεύει η ακοή του. ΘΕΜΑ 21 Ένας εργαζόμενο κάνει 6ωρη συνεχόμενη βάρδια σε θορυβώδες περιβάλλον με σταθερή ηχοστάθμη L. Το ηχοδοσίμετρο που διαθέτει καταγράφει ηχοδόση D(%) = 46% σε χρονικό διάστημα T = 2,5 h. Να υπολογίσετε: (α) Τη συνολική ηχοδόση D tot (%) που θα δεχθεί ο εργαζόμενος με την ολοκλήρωση της 6ωρης βάρδιας του. (β) Την ηχοστάθμη L του θορύβου που υπάρχει μέσα στο εργασιακό περιβάλλον. ΘΕΜΑ 22 Είστε επιβλέπων μηχανικός σε μια γραμμή παραγωγής η οποία περιλαμβάνει δυο (2) διακριτές εργασιακές μονάδες στις οποίες οι ηχοστάθες θορύβου είναι αντίστοιχα L 1 = 90 db και L 2 = 88 db. Οι εργαζόμενοι υποχρεούνται να μοιράσουν το ημερήσιο ωράριό τους ισόχρονα σε κάθε μια από τις μονάδες αυτές. Εσείς ως μηχανικός καλείστε να υπολογίσετε το μέγιστο επιτρεπτό ωράριο κάθε εργαζόμενου σε ημερήσια βάση. ΘΕΜΑ 23 Σε μια βιομηχανία οι εργαζόμενοι υποχρεούνται να εργάζονται καθημερινά 7 ώρες κάτω από τις εξής συνθήκες: Στις 4 πρώτες ώρες σε περιβάλλον με ηχοστάθμη θορύβου L 1 = 88 db και στις επόμενες 3 ώρες σε περιβάλλον με ηχοστάθμη θορύβου L 2 = 86 db. Να υπολογίσετε τη συνολική ημερήσια ηχοδόση θορύβου που δέχεται κάθε εργαζόμενος. ΘΕΜΑ 24 ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ Χορδή κιθάρας μήκους 80cm και γραμμικής πυκνότητας 1,00 g/m τεντώνεται με δύναμη 200 N. Η χορδή κρούεται και πάλλεται στη θεμελιώδη συχνότητά της. Να υπολογίσετε το μήκος κύματος του ηχητικού κύματος που φτάνει στο αφτί ενός παρατηρητή όταν η θερμοκρασία του αέρα είναι 20 ο C. ΘΕΜΑ 25 Σωλήνας μουσικού οργάνου με ανοιχτό/ανοιχτό άκρο έχει μήκος 78,0 cm. Σωλήνας με ανοιχτό/κλειστό άκρο έχει θεμελιώδη συχνότητα ίση με τη δεύτερη αρμονική του σωλήνα με ανοιχτό/ανοιχτό άκρο. Να υπολογίσετε το μήκος του σωλήνα με ανοιχτό/κλειστό άκρο.

ΘΕΜΑ 26 Σύρμα μήκους L s = 25,0 cm και γραμμικής πυκνότητας μ = 20,0 g/m τοποθετείται παράλληλα με το ανοιχτό μέρος ενός ανοιχτού/κλειστού σωλήνα ο οποίος έχει μήκος L t = 85,0 cm, όπως δείχνει το L t =0,85m μ=20 g/m=0,020 kg/m L s =0,25m διπλανό σχήμα. Αν το σύρμα πάλλεται στη θεμελιώδη συχνότητα, το ηχητικό κύμα που παράγεται θα διεγείρει το δεύτερο τρόπο ταλάντωση του ανοιχτού/κλειστού σωλήνα. Να υπολογίσετε τη δύναμη που τεντώνει το σύρμα. ΘΕΜΑ 27 Οι υπέρηχοι χρησιμοποιούνται ευρέως σε διάφορες τεχνολογικές εφαρμογές. Μια από τις εφαρμογές αυτές είναι η μέτρηση της μέγιστης ταχύτητας καθώς και του πλάτους ταλάντωσης ενός παλλόμενου μηχανικού συστήματος. (α) Να θεωρήσετε ότι ένα αντικείμενο κινείται με ταχύτητα υ 0 πλησιάζοντας ένα παρατηρητή ο οποίος έχει στη διάθεσή του μια ακίνητη ηχητική πηγή που εκπέμπει κύματα με συχνότητα f 0. Να αποδείξετε ότι το κύμα που ανακλάται και επιστρέφει πίσω στον παρατηρητή έχει συχνότητα μετατόπισης Doppler: f echo = ( υ + υ 0 υ υ 0 ) f 0 όπου υ είναι η ταχύτητα του ήχου στον αέρα. (β) Να υποθέσετε ότι η ταχύτητα του αντικειμένου είναι πολλές φορές μικρότερη από την ταχύτητα του ήχου στον αέρα (υ 0 << υ). Στην περίπτωση αυτή, το κύμα που εκπέμπει η ηχητική πηγή με συχνότητα f 0 και το κύμα που επιστρέφει στον παρατηρητή με συχνότητα f echo συμβάλλουν και δημιουργούν ένα διακρότημα συχνότητα f beat, το οποίο ανιχνεύεται με ένα μικρόφωνο. Να χρησιμοποιήσετε τη διωνυμική προσέγγιση καθώς και άλλες κατάλληλες προσεγγίσεις για να αποδείξετε ότι η συχνότητα διακροτήματος είναι ίση με: f beat = 2υ 0 υ f 0 (γ) Η ανάκλαση ηχητικών κυμάτων συχνότητας f 0 = 50,0 khz στην επιφάνεια ενός παλλόμενου εμβόλου, το οποίο εκτελεί απλή αρμονική κίνηση με πλάτος Α = 5,00 cm, παράγει διακρότητα του οποίου η μέγιστη συχνότητα είναι f beat,max = 1,50 khz. Να υπολογίσετε τη μέγιστη ταχύτητα υ max καθώς και τη συχνότητα f της ταλάντωσης του εμβόλου. ΘΕΜΑ 28 Όταν ένα κύμα διαδίδεται από ένα μέσο διάδοσης 1 σε ένα μέσο διάδοσης 2, στη διαχωριστική επιφάνεια των δυο μέσων το κύμα εν μέρει ανακλάται στο μέσο 1 και εν μέρει περνά στο μέσο 2. Οι συντελεστές ανακλαστικότητας r και διαπερατότητας t δίνονται από τις σχέσεις: r = υ 2 υ 1 υ 1 + υ 2 t = 2υ 2 υ 1 + υ 2 όπου υ 1 και υ 2 είναι οι ταχύτητες του κύματος στο μέσο 1 και στο μέσο 2, αντίστοιχα. (α) Να εκφράσετε τις παραμέτρους r και t συναρτήσει των μηκών κύματος λ 1 και λ 2 που έχει το κύμα μέσα στο μέσο ένα και στο μέσο δυο, αντίστοιχα. (β) Να εκφράσετε τις παραμέτρους r και t συναρτήσει των γραμμικών πυκνοτήτων μάζας μ 1 και μ 2 στην περίπτωση που το μέσο διάδοσης 1 είναι χορδή με γραμμική πυκνότητα μάζας μ 1 και το

μέσο διάδοσης 2 είναι χορδή με γραμμική πυκνότητα μάζας μ 2 και οι δυο χορδές είναι ενωμένες σε σειρά και τεντώνονται με δύναμη F. Να προσδιορίσετε τη διαφορά φάσης μεταξύ του κύματος που προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια των δυο μέσων διάδοσης και του κύματος που ανακλάται πίσω στο μέσο διάδοσης 1 στις περιπτώσεις που μ 1 < μ 2 και μ 1 > μ 2. (γ) Των θερμοκρασιών Τ 1 και Τ 2 στην περίπτωση που το μέσο διάδοσης 1 είναι αέρας θερμοκρασίας Τ 1 και το μέσο διάδοσης 2 είναι αέρας θερμοκρασίας Τ 2. Να προσδιορίσετε τη διαφορά φάσης μεταξύ του κύματος που προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια των δυο μέσων διάδοσης και του κύματος που ανακλάται πίσω στο μέσο διάδοσης 1 στις περιπτώσεις που Τ 1 < Τ 2 και Τ 1 > Τ 2. ΘΕΜΑ 29 ΟΠΤΙΚΗ Όταν ένα κύμα οπτικό διαδίδεται από ένα μέσο διάδοσης 1, που έχει δείκτη διάθλασης n 1, σε ένα μέσο διάδοσης 2, που έχει δείκτη διάθλασης n 2, στη διαχωριστική επιφάνεια των δυο μέσων το κύμα εν μέρει ανακλάται στο μέσο 1 και εν μέρει περνά στο μέσο 2. Οι συντελεστές ανακλαστικότητας r και διαπερατότητας t δίνονται από τις σχέσεις: r = υ 2 υ 1 υ 1 + υ 2 t = 2υ 2 υ 1 + υ 2 όπου υ 1 και υ 2 είναι οι ταχύτητες του οπτικού κύματος στο μέσο 1 και στο μέσο 2, αντίστοιχα. (α) Να εκφράσετε τις παραμέτρους r και t συναρτήσει των δεικτών διάθλασης n 1 και n 2 του μέσου διάδοσης 1 και του μέσου διάδοσης 2, αντίστοιχα. (β) Να προσδιορίσετε τη διαφορά φάσης του κύματος που προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια και του κύματος που ανακλάται πίσω στο μέσο διάδοσης 1 στις περιπτώσεις που n 1 > n 2 και n 1 < n 2. (γ) Να προσδιορίσετε τη διαφορά φάσης του κύματος που προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια και του κύματος που περνά στο μέσο διάδοσης 2 στις περιπτώσεις που n 1 > n 2 και n 1 < n 2. ΘΕΜΑ 30 Σε ένα πείραμα συμβολής φωτός από δυο σχισμές χρησιμοποιείται LASER HeNe το οποίο εκπέμπει φωτεινή δέσμη μήκους κύματος λ = 633 nm. Κατά τη διάρκεια του πειράματος, στη μια σχισμή τοποθετείται ένα λεπτό γυαλί του οποίου ο δείχτης διάθλασης είναι n = 1,50. Με την προσθήκη του λεπτού γυαλιού στη μια σχισμή η εικόνα της συμβολής μετατοπίζεται τόσο, ώστε στο κεντρικό σημείο συμβολής να υπάρχει πλέον ο κροσσός συμβολής που αντιστοιχεί στον ακέραιο αριθμό m=10. Να υπολογίσετε το πάχος του γυαλιού. δ d L Α(y 0 ) θ 10 d θ 0 L P(y 10 ) A(y 10 )

ΘΕΜΑ 31 Σε όλα τα σφαιρικά κύματα, είτε αυτά είναι ηχητικά είτε ηλεκτρομαγνητικά ή οπτικά, η ένταση του κύματος είναι αντίστροφα ανάλογη με την απόσταση r από την πηγή του κύματος. Επίσης σε όλα τα κύματα, η ένταση του κύματος είναι ανάλογη με το τετράγωνο του πλάτους Α 0 του μεγέθους που ταλαντώνεται. Στην περίπτωση ενός οπτικού κύματος, το μέγεθος που ταλαντώνεται είναι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου η οποία μεταβάλλεται αρμονικά με πλάτος Α 0 = Ε 0, όπου Ε 0 είναι το πλάτος ταλάντωση του ηλεκτρικού πεδίου. Με βάση τα δεδομένα αυτά, να αποδείξετε ότι το πλάτος ταλάντωση Ε 0 της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου, το οποίο διαδίδεται σφαιρικά μέσα σε ομογενές και ισοτροπικό μέσο, είναι αντίστροφα ανάλογο με την απόσταση r από την οπτική πηγή. ΘΕΜΑ 32 (α) Να ορίσετε το δείκτη διάθλασης ενός υλικού. (β) Τι λέει η αρχή του Fermat; (γ) Να αποδείξετε ότι στην ανάκλαση μιας φωτεινής δέσμη πάνω σε μια κατοπτρική επιφάνειας η γωνία πρόσπτωσης θ π και η γωνία ανάκλασης θ α είναι ίσε μεταξύ τους (θ π = θ α ). (δ) Να αποδείξετε ότι στη διάθλαση που υφίσταται μια φωτεινή δέσμη, όταν αυτή περνά από ένα μέσο διάδοσης που έχει δείκτη διάθλασης n 1 σε να άλλο μέσο διάδοσης που έχει δείκτη διάθλασης n 2, ισχύει η εξίσωση n 1 sin(θ 1 ) = n 2 sin(θ 2 ) (νόμος του Malus). ΘΕΜΑ 33 (α) Τι είναι το φαινόμενο της ολικής εσωτερικής ανάκλασης και κάτω από ποιες συνθήκες λαμβάνει χώρα το φαινόμενο αυτό. Να προσδιορίσετε την εξίσωση με την οποία προσδιορίζεται η οριακή γωνία πρόσπτωση θ c πέρα από την οποία εμφανίζεται το φαινόμενο της ολικής εσωτερικής ανάκλασης. (β) Η πιο σημαντική εφαρμογή του φαινομένου της ολικής εσωτερικής ανάκλασης είναι οι οπτικές ίνες που χρησιμοποιούνται στις τηλεπικοινωνίες. Μια οπτική ίνα αποτελείται από τον πυρήνα, ο οποίος έχει ακτίνα R 1 και δείκτη διάθλασης n 1 = 1,58 και από τον μανδύα, ο οποίος έχει ακτίνα R 2 και δείκτη διάθλασης n 2 = 1,54 και ο οποίος περιβάλλει τον πυρήνα. Να υπολογίσετε το μέγιστο γωνιακό άνοιγμα α max το οποίο θα πρέπει να έχει η δέσμη φωτός η οποία όταν εισέρχεται στον πυρήνα της οπτικής ίνας, η δέσμη αυτή να διαδίδεται αποκλειστικά και μόνο μέσα στον πυρήνα χωρίς να διαθλάται μέρος αυτής στο μανδύα (βλέπε παρακάτω σχήμα). Γωνιακό άνοιγμα α max Μανδύας, n 2 = 1,54 LASER Συγκλίνων φακός Δυο ακραίες ακτίνες του LASER Πυρήνας, n 1 = 1,58 Υπόδειξη: Να λάβετε υπόψη σας τη διάθλαση των οπτικών ακτίνων που εισέρχονται στον πυρήνα της οπτικής ίνας. Οι δυο ακραίες ακτίνες της δέσμης LASER που έχουν σχεδιαστεί θα πρέπει να προσπίπτουν στη διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ πυρήνα και μανδύα με γωνία θ θ c, όπου θ c είναι γωνία ολικής εσωτερικής ανάκλασης.

ΘΕΜΑ 34 Να προσδιορίσετε το ελάχιστο δυνατό πάχος ενός αντιανακλαστικού λεπτού οπτικού υμενίου από φθοριούχο μαγνήσιο (MgF 2 ) το οποίο έχει τοποθετηθεί πάνω στην επιφάνεια μιας επίπεδης γυάλινης πλάκας στην περίπτωση που το υμένιο αυτό ανακλά στον αέρα μόνο το μήκος το κύματος λ = 550 nm. Δίνονται: οι δείκτες διάθλασης του γυαλιού n g = 1,52 του φθοριούχου μαγνησίου n f =1,38. ΘΕΜΑ 35 Μια στρατιωτική υπηρεσία σας ζήτησε να διερευνήσετε αν είναι δυνατόν τα αεροπλάνα της πολεμικής αεροπορίας να καταστούν αόρατα στα radar τα οποία εκπέμπουν κύματα με μήκος κύματος λ=2,5 cm. Εσείς ως καλός γνώστης της φυσικής των λεπτών υμενίων, σκεφτήκατε αμέσως ότι το ζητούμενο θα μπορούσε να υλοποιηθεί αν η επιφάνεια κάθε αεροπλάνου επικαλυπτότανε με ένα λεπτό στρώμα από ένα πολυμερές υλικό. Αν ο δείκτης διάθλασης του πολυμερούς υλικού είναι n = 1,60, τότε να υπολογίσετε το απαιτούμενο ελάχιστο πάχος του πολυμερούς υλικού που πρέπει να επικαλύψει την επιφάνεια του αεροπλάνου για να καταστεί αυτό αόρατο στα radar. ΘΕΜΑ 36 Τα φωτοβολταϊκά στοιχεία που είναι κατασκευασμένα από άμορφο πυρίτιο είναι σχεδιασμένα έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται η ανάκλαση της ηλιακής ακτινοβολίας από αυτά. Για το σκοπό αυτό, η επιφάνεια των φωτοβολταϊκών στοιχείων επικαλύπτεται με λεπτό στρώμα οξειδίου του πυριτίου. Να υπολογίσετε το ελάχιστο πάχος αυτού του λεπτού στρώματος δεδομένου ότι το μέσο μήκος κύματος της ηλιακής ακτινοβολίας είναι περίπου λ = 550 nm. Δίνονται: δείκτης διάθλασης άμορφου πυριτίου n si = 4,05 και δείκτης διάθλασης οξειδίου του πυριτίου n sio =2,39. ΘΕΜΑ 37 Μια κυκλική πετρελαιοκηλίδα που έχει ακτίνα R = 10,50 km καλύπτει την επιφάνεια της θάλασσας. Η υπηρεσία προστασία του περιβάλλοντος σας ζήτησε να υπολογίσετε την ποσότητα πετρελαίου σε κυβικά μέτρα (σε m 3 ) της πετρελαιοκηλίδας. Μετά από μελέτη σκεφτήκατε ότι το στρώμα της πετρελαιοκηλίδας θα μπορούσε να θεωρηθεί ως ένα λεπτό υμένιο και ότι θα είναι δυνατή η μέτρηση του πάχους της συμβολομετρικά. Για το λόγο αυτό ναυλώσατε ένα ελικόπτερο και έχοντας στη διάθεσή σας ένα φασματόμετρο κατευθυνθήκατε πάνω από την πετρελαιοκηλίδα. Μεταβάλλοντας το μήκος κύματος του φασματόμετρου διαπιστώσατε ότι το πρώτο μέγιστο που καταγράφει αυτό είναι στο μήκος κύματος λ=550 nm. Από τη βιβλιογραφία βρήκατε ότι οι δείκτες διάθλασης του πετρελαίου και του θαλασσινού νερού είναι n π = 1,25 και n θ = 1,34, αντίστοιχα. Ποιος είναι ο όγκος του πετρελαίου που υπάρχει στην πετρελαιοκηλίδα; ΘΕΜΑ 38 (α) Όταν σε ένα πολωτή πέσει πολωμένο φως του οποίου η έντασης είναι I 0 και του οποίου το επίπεδο διάδοσης σχηματίζει γωνία φ με τη χαρακτηριστική διεύθυνση του πολωτή, τότε να αποδείξετε ότι η ένταση Ι του φωτός που εξέρχεται από τον πολωτή είναι ανάλογη με το τετράγωνο του συνημίτονου της γωνίας φ. Συγκεκριμένα, Ι = Ι 0 cos 2 φ (νόμο του Malus). (β) Έχοντας ως δεδομένο το νόμο του Malus, να αποδείξετε ότι στην περίπτωση που σε ένα πολωτή προσπίπτει φυσικό φως με ένταση I 0, τότε η ένταση του πολωμένου φωτός που εξέρχεται από τον πολωτή θα είναι ίση με Ι 0 /2.

(γ) Σε ένα πολωτή προσπίπτει φυσικό φως του οποίου η ένταση είναι I 0 = 355 W/m 2. Το εξερχόμενο από τον πολωτή πολωμένο φως προσπίπτει σε ένα αναλυτή του οποίου η χαρακτηριστική διεύθυνση σχηματίζει γωνία φ με τη χαρακτηριστική διεύθυνση του πολωτή. Πόση πρέπει να είναι η γωνία φ ώστε η ένταση του φωτός που εξέρχεται από τον αναλυτή να είναι ίση με Ι = 255 W/m 2 ; ΘΕΜΑ 39 Μια δέσμη φυσικού φωτός προσπίπτει με γωνία πρόσπτωση θ στη διαχωριστική επιφάνεια δυο διαφανών υλικών με δείκτες διάθλασης n 1 και n 2. Η δέσμη αυτή του φωτός ανακλάται με γωνία ανάκλασης θ (γωνία πρόσπτωσης ίση με γωνία ανάκλασης). Στην κατάσταση αυτή: (α) Τι αντιπροσωπεύει η γωνία Brewster θ B ; Με άλλα λόγια, όταν η γωνία πρόσπτωσης στη διαχωριστική επιφάνεια των δυο διαφανών υλικών είναι ίση με τη γωνία Brewster (θ = θ Β ) ποιες είναι οι ιδιότητες της ανακλώμενης και τις διαθλώμενης δέσμης φωτός; (β) Στην κατάσταση που περιγράφει το ερώτημα (α) να προσδιορίσετε την εξίσωση με την οποία γίνεται ο υπολογισμός της γωνίας θ Β συναρτήσει των δεικτών διάθλασης n 1 και n 2.