در مدلسازی محلی میدان گرانی زمین

بررسی عملکرد انواع مختلف توابع پایهی شعاعی کروی در مدلسازی محلی میدان گرانی زمین چکیده 2 1 عبدالرضا صفری محبوبه محمدیوسفی بهلولی احمدی 3 آناهیتا شهبازی تاریخ دریافت مقاله: 94/05/26 تاریخ پذیرش مقاله: 94/08/08 ********* میدان ثقل جهانی معموال توسط توابع پایهی هارمونیک کروی تا درجه معینی از قدرت تفکیک طیفی و مکانی مدل میشود. توزیع غیریکنواخت و کیفیت متفاوت دادهها این توابع را در مدلسازی محلی میدان ثقل محدود میکند. این توابع بیشتر خاصیت جهانی میدان ثقل را نمایش میدهند و برای نمایش فرکانسهای پایین میدان ثقل مناسب هستند. در کاربردهای محلی توابع پایهی شعاعی بر روی سطح کره با برخورداری از خاصیت محمل شبه محلی میتوانند به عنوان جایگزین مناسبی برای هارمونیکهای کروی استفاده شده و میدان گرانی زمین را تا درجهی باالیی از قدرت تفکیک طیفی و مکانی تقریب زنند. این مدلهای محلی معموال دقت بهتری در محل مورد نظر نسبت به مدلهای جهانی دارند. توابع پایهی شعاعی کروی معموال بر روی کره متعامد نیستند که این امر منجر به پیچیدگی بیشتر مسئله میشود. در این مقاله عملکرد انواع مختلف توابع پایهی شعاعی کروی شامل کرنل جرم نقطهای چندقطبی شعاعی کرنل پواسن و ویولت پواسن در مدلسازی محلی میدان ثقل زمین با استفاده از دادههای شتاب گرانی در منطقهی فارس ساحلی مقایسه شده است. برای حل مسئلهی معکوس غیرخطی مدلسازی میدان گرانی زمین با استفاده از توابع پایهی شعاعی کروی تکنیک "کمترین مربعات" به کار رفته است. بدین منظور الگوریتم بهینهسازی لونبرگ-مارکواردت طی یک پروسهی تکراری با مینیمم کردن اختالف بین مقادیر مشاهداتی و مقادیر مدل شده پارامترهای مدلسازی را تخمین میزند. این پارامترها شامل تعداد مکان عمق و ضرایب مقیاس توابع پایه شعاعی هستند. به منظور افزایش کارایی عددی الگوریتم لونبرگ- مارکواردت در حل مسئلهی مدلسازی میدانگرانی مقدار اولیهی پارامتر پایدارسازی از طریق رابطهای بر مبنای ژاکوبین تابع هدف تعیین و روشی برای به هنگامسازی این پارامتر ارائه شده است. نتایج این تحقیق نشان میدهد که در صورت انتخاب عمق مناسب توابع پایه دقت مدلسازی محلی میدان گرانی برای انواع توابع پایهی شعاعی مورد بررسی تقریبا یکسان خواهد بود. واژههای کلیدی:میدان ثقل تابع پایهی شعاعی کروی الگوریتم لونبرگ- مارکواردت روش کمترین مربعات. ********* 1- دانشجوی کارشناسی ارشد دانشگاه تهران mmyusefi@ut.ac.ir 2- دانشیار گروه ژئودزی دانشکده مهندسی نقشهبرداری و اطالعات مکانی دانشگاه تهران asafari@ut.ac.ir 3- دانشجوی کارشناسی ارشد دانشگاه تهران ana.shahbazi@ut.ac.ir

فصلنامه علمی - پژوهشي اطالعات جغرافيايي ( ) دوره 25 شماره 100 زمستان 95 Scientific - Research Quarterly of Geographical Data (SEPEHR) Vo.25,No.100, Winter 2017 / 62 1- مقدمه یکی از مهمترین اهداف ژئودزی تعیین ژئوئید به عنوان یک سطح هم پتانسیل منطبق بر سطح آبهای آزاد زمین است. بنابر قانون مشهور انتگرال نیوتن پتانسیل ثقل زمین در فضای خارج از سطح آن میتواند توسط بینهایت عنصر جرمی در درون زمین تولید شود که الزمهی استفاده از این رابطه معلوم بودن توزیع جرم در هر یک از نقاط زمین است. اگرچه برآورد دقیق توزیع جرم زمین امری غیرممکن است اما میتوان با استفاده از کمیتهای قابل مشاهدهی میدانگرانی زمین نظیر آنومالی جاذبه کمیتهای غیرقابل مشاهده میدان گرانی را برآورد نمود که از آن به عنوان مسئله معکوس در ژئودزی نام برده میشود )لمن 1993; کلیسنس و همکاران 2001(. میدان جاذبهی جهانی به طور وسیع توسط توابع پایهی هارمونیک کروی مدلسازی میشود )پاولیس و همکاران 2012(. هارمونیکهای کروی توابعی متعامد برروی سطح کره هستند. این توابع برای مدلسازیهای جهانی بسیار مناسب میباشند و با دادههای جهانی و همگنسازگاری بیشتری دارند و نمیتوان از آنها برای بهبود محلی میدان گرانی زمین استفاده نمود )اسچمیدات و همکاران 2007; ایکر 2008; بنتل و همکاران 2013(. برای مدلسازی محلی میدان گرانی روشهای مختلفی موجود است که از بین آنها استفاده از توابع پایه شعاعی کروی )SRBF( 1 به دلیل ویژگیهای منحصر به فرد آنها به روشی رایج در مدلسازی محلی تبدیل شده است. توابع پایهی شعاعی دارای محمل شبهمحلی 2 هستند و ویژگی بارز آنها این است که با فاصله از مبداء به سرعت کاهش مییابند و به همین دلیل برای کاربردهای محلی مناسب میباشند )لین و همکاران 2014(. از بین انواع مختلف کرنلهای توابع پایهی شعاعی میتوان به کرنل جرم نقطهای چندقطبی شعاعی کرنل پواسن وویولت پواسن اشاره کرد که دارای کاربردهای گستردهای در زمینهی مدلسازی میدانگرانی زمین هستند. به هنگام مدلسازی میدانگرانی زمین بااستفاده از توابع پایهی شعاعی الزم است که نوع کرنل پارامترهای این توابع شامل موقعیت مراکز عمق و ضرایب مقیاس آنها و تعداد توابع مورد نیاز در مدلسازی را تعیین نمود)ویتور 2009(. دقت وصحت مدلهای محاسبه شده بااستفاده از توابع پایهی شعاعی به نحوهی انتخاب این عوامل بستگی دارد )ویتور 2009 (. از جمله کارهای انجام گرفته در زمینه تعیین پارامترهای توابع پایه شعاعی میتوان به موارد زیر اشاره نمود: هکنین )1981( و ورمیر )1982 1984( 1983 با قرار دادن توابع پایه در موقعیت نقاط مشاهده شبکهی توابع پایهی شعاعی را تشکیل دادند. مارچنکو )1998( در زیر هر یک از نقاط مشاهده یک تابع پایهی شعاعی قرارداد و مختصات 3 مسطحاتی آنها را با استفاده از الگوریتم چندقطبی دنبالهای بهینهسازی کرد. مارچنکو و همکاران )2001( موقعیت مراکز هرتابع پایه را به ازای یک زیرمجموعه از نقاط مشاهده تعیین کردند که به موجب آن تعداد توابع پایه مورد نیاز برای مدلسازی کاهش یافت. ایکر و همکاران )2004( با مثلثبندی یک بیست وجهی موقعیت مراکز توابع پایه را تثبیت کردند. اشمیت وهمکاران )2004( شبکهی توابع پایهی شعاع کروی را به صورت منظم و برمبنای نظریهی انتگرال عددی توابع کروی تعیین کردند. هکنین )1981( عمق توابع پایه را به صورت تجربی بر اساس فواصل دادهها از یکدیگر و ماتریس کوواریانس وابستهی آنومالی جاذبه تعیین کرد. بارتلمس )1986( ازیک روش بهینهسازی غیرخطی برای تعیین عمق توابع پایهی شعاعی برمبنای اطالعات موجود در دادهها استفاده کرد. مارچنکو )1998( پهنای باند هر یک از توابع پایه را به این صورت تعیین کرد که ماتریس کوواریانس سیگنال در همسایگی دادهها بر شکل تابع پایه منطبق شود. کلیس و ویتور )2007( الگوریتمی را برای دادههای ناهمگن ارائه دادند که درآن عمق توابع پایهی شعاعی به روش اتوماتیک 3- Sequential Multi-pole Algorithm 1-Spherical Radial Basis Function 2-Quasi-local support

) ( جغرافيايي اطالعات پژوهشي - علمی فصلنامه 63 /... شعاعی پایه توابع مختلف انواع عملکرد بررسی آنها نویز نظرگرفتن در با و دادهها توزیع از تابعی صورت به Generalized روش از الگوریتم این در آنها میشوند. انتخاب شعاعی پایهی توابع عمق تعیین برای Cross Validation ازمشاهدات یکی بار هر آنها منظور بدین نمودند. استفاده این حضور بدون را مدلسازی مجهوالت و کرده حذف را به پارامترها این از بااستفاده سپس کردند. برآورد مشاهده به را بهینه عمق و پرداختند شده حذف مشاهدهی برآورد شده حذف مشاهدات بازیابی در خطا مقدار مینیمم ازای نمودند. انتخاب شعاعی پایهی توابع از مختلفی انواع از تاکنون اگرچه مقایسهای اما است شده استفاده ثقل میدان مدلسازی برای آنها نوع بهترین انتخاب و کرنلها این عملکرد بررسی برای کرنلهای انواع عملکرد تحقیق دراین است. نگرفته انجام در ثقل میدان محلی درمدلسازی شعاعی پایه توابع جاذبی شتاب دادههای از استفاده با ساحلی فارس منطقهی برای قرارگرفتهاست. بررسی مورد منطقه این در موجود الگوریتم از شعاعی پایهی توابع مجهول پارامترهای تعیین همواره شدهاست. استفاده لونبرگ-مارکواردت پایدارسازی الگوریتم یک عنوان به مارکواردت لونبرگ- الگوریتم از به و غیرخطی مربعات کمترین مسائل حل در بهینهسازی شعاعی پایهی توابع مجهول پارامترهای دریافتن خاص طور همکاران و 2009 وایگلت همکاران و )آنتونی است شده استفاده الگوریتم این 2014(. تنزر و فروغی 2013 همکاران و صفری 2010 1 گرادیان کاهش مینیممسازی روش دو از ترکیبی واقع در انواع عملکرد بررسی بر عالوه میباشد. گوس-نیوتن و عددی کارایی افزایش منظور به شعاعی پایهی توابع مختلف مدلسازی مسئلهی حل در مارکواردت لونبرگ- الگوریتم تعیین برای رابطهای ارائهی با را الگوریتم این میدانگرانی برای روشی پیشنهاد و پایدارسازی پارامتر اولیهی مقدار بخشهای در که میدهیم بهبود پارامتر این هنگامسازی به میشود. داده توضیح آنها مورد در مفصل طور به بعدی بخش 2 در است. شده سازماندهی بخش 6 در مقاله این آن کرنلهای انواع و شده تعریف شعاعی پایهی توابع زمین میدانگرانی 3 دربخش گرفتهاند. قرار بررسی مورد مسئله حل روش و مطرح شعاعی پایهی توابع برحسب پایدارسازی الگوریتم 4 بخش است. شده داده توضیح دربخش است. قرارداده موردبررسی را لونبرگ-مارکواردت ازانواع بااستفاده زمین میدانگرانی محلی مدلسازی به 5 خلیجفارس منطقهی در کروی شعاعی پایهی توابع مختلف 6 بخش شدهاست. پرداخته آنها از حاصل نتایج مقایسهی و میپردازد. نتیجهگیری و بحث به شعاعی پایهی توابع 2. میدان مدلسازی در طورگستره به شعاعی پایه توابع از دوخاصیت هر شعاعی پایه توابع میشود. استفاده زمین ثقل محمل که حالتی در میباشند. دارا را محلی و 2 جهانی محمل هیچگونه توابع این است جهانی نوع از شعاعی پایه توابع محلی خاصیت ولی ندارند کروی هارمونیک توابع با تفاوتی سیستمهای عددی پیچیدگی کاهش به منجر آنها بودن میشود)ویتور 2009 (. مشاهداتی معادالت شعاعی پایهی توابع از استفاده با ثقل میدان مدلسازی در انتخاب 3 به میدان از دقیق تقریب یک به دستیابی منظور به است: نیاز توابع این مورد در حوزه در شعاعی پایهی توابع ازکرنلهای هرکدام کرنل: نوع روند بر میتوانند که دارند متفاوت رفتاری طیفی و مکانی بگذارند. تأثیر توابع این از استفاده با ثقل میدان مدلسازی شعاعی پایه توابع باند پهنای شعاعی: پایه توابع باند پهنای مکان حیطهی در توابع این رفتار درتعریف عامل مهمترین میدانگرانی از دقیق تقریب یک به دستیابی منظور به است. تعیین پایه تابع هر برای بهینه باند پهنای که است الزم به منجر که است ممکن کوچک بسیار باند پهنای شود. سیستم یک و مشاهده نقاط در میدانگرانی دقیق تقریب از غیر نقاطی در جواب ولی شود 3 وضع خوش معادالت از باشد. داشته پایینی کیفیت درونیابی( )نقاط مشاهده نقاط 2- Global support 3- Well-posed 1- Steepest decent

95 زمستان 100 شماره دوره 25 ) ( جغرافيايي اطالعات پژوهشي - علمی فصلنامه Scientific - Research Quarterly of Geographical Data (SEPEHR) Vo.25,No.100, Winter 2017 / 64 معادالت سیستم یک بزرگ بسیار باند پهنای انتخاب طرفی سیگنال تغییرات است ممکن که میدهد نتیجه را 1 وضع بد )ویتور 2009 (. ندهد نشان خوبی به را توابع تعداد با مرتبط RBFها شبکه طراحی شبکه: طراحی همچنین و پارامترها تخمین در استفاده مورد شعاعی پایه انتخاب دو کلی درحالت میباشد. آنها افقی موقعیت میباشد: موجود شبکه طراحی برای محتمل گرید یک برروی پایه توابع قرارگیری پراکنده صورت به پایه توابع قرارگیری فاصلهی از تابعی صورت به کروی شعاعی پایه تابع منظور به 2012(. )ایکر میشود تعریف نقطه دو بین کروی هب R شعاع با مرجع کرهی ابتدا شعاعی پایه تابع تعریف 2007(: همکاران و )کلیس میشود زیرتعریف صورت σ = + + = )1( در که نقطه دو گرفتن نظر در با واقع کره این داخل فضای در y و مرجع کرهی بیرون فضای ارزیابی نقطهی به نسبت y مرکز به شعاعی پایه تابع شدهاند 2007(: همکاران و )کلیس میشود محاسبه )2( رابطهی طریق از )2( زا لژاندر چندجملهایهای بیانگر )2( رابطهی در پایه توابع کرنل نوع دهندهی نشان نیز Ψ هستند. l درجه مشخص را توابع این مکانی و طیفی ویژگیهای که است طیفی درحوزه شعاعی پایه تابع رفتار دیگر بیان به میکند. آن لژاندر ضرایب و پایه تابع کرنل انتخاب به مکانی و کرنل پایهشعاعی تابع کرنل نوع سادهترین دارد. بستگی تعریف زیر صورت به آن تحلیلی فرم که است نقطهای جرم 1986(: بارتلمس 1990 1989 1984 ورمیر 1981 )هکینن میشود Ψ = )3( به نقطهای جرم کرنل لژاندر ضرایب ترتیب بدین 2007(: همکاران و )کلیس خواهندبود زیر صورت مرکز از پایه تابع شعاعی فاصله به تنها کرنل طیفی رفتار ) ( پایه تابع باند پهنای که دارد بستگی مرجع کرهی آن عمق همارز شعاعی پایه تابع باند پهنای میشود. نامیده کرهی سطح از پایه تابع بین فاصلهی صورت به که است با: است برابر و میشود تعریف مرجع = )5( میباشد. بیرهامر کرهی زیر عمق d )5( رابطهی در میکند عمل 2 گذر پایین فیلتر یک مانند نقطهای جرم کرنل کرنل حساسیت کم عمقهای در پایه توابع قرارگیری و افزایش کروی هارمونیکهای باالتر درجات به نسبت را 2009(. )ویتور میدهد پایهی توابع از دیگری نوع شعاعی چندقطبیهای نقطهای جرم کرنل از مشتقگیری با که هستند شعاعی نخستین که توابع این تحلیلی شکل میآیند. دست به مدلسازی برای )2001( وهمکاران مارچنکو توسط بار زیر صورت به قرارگرفت استفاده مورد زمین میدانگرانی )ویتور 2009 (: است )6( شعاعی چندقطبی مرتبهی بیانگر n )6( رابطهی در مرتبهی و تابع عمق به شعاعی قطبی چند شکل است. یک ویژگیهای شعاعی قطبی چند دارد.کرنل بستگی آن آن لژاندر ضرایب که آنجا از اما دارد را محدود باند فیلتر نیست محدود باند توابع نوع از نمیشوند صفر هیچگاه صورت به شعاعی چندقطبی لژاندر ضرایب 2009(. )ویتور 2007(: همکاران و )کلیس میشوند تعریف زیر )7( شعاعی پایه توابع ازانواع دیگر یکی پواسن ویولت )2003( همکاران و هالچسیندر توسط بار نخستین که است شد)ویتور 2009 (: معرفی Ψ = ψ = π 2- Low-pass filter ψ = + + π = )8( )9( ψ = + 1- Ill-posed )4(

) ( جغرافيايي اطالعات پژوهشي - علمی فصلنامه 65 /... شعاعی پایه توابع مختلف انواع عملکرد بررسی + ψ = π )10( میدهد نشان طیفی درحوزه پواسن ویولت کرنل بررسی مرتبههای اما دارد تغییرعمق با معادل اثری n مرتبه تغییر که پایین مرتبههای به نسبت شدیدتری شیب پواسن ویولت باالتر نوع نیز پواسن کرنل )ویتور 2009 (. دارند مشابه درعمقهای پواسن ویولت معادل که است شعاعی پایه توابع از دیگری بیان زیر تحلیلی رابطهی از استفاده با و میباشد صفر مرتبه همکاران 2008 (: و )کلیس میشود )11( ویژگیهای شعاعی چندقطبی کرنل مانند پواسن کرنل کرنل به متناظر لژاندر ضرایب دارد. را محدود باند فیلتر همکاران 2007 (: و )کلیس میشوند تعریف زیر صورت به پواسن )12( شعاعی پایهی توابع حسب بر زمین گرانی میدان 3. زمین سطح خارج فضای در زمین ثقل پتانسیل آنومالی رونگه- قضیهی اساس بر که است منظم و هارمونیک تابع یک پایهی توابع از خطی ترکیبی حسب بر را آن میتوان کراراپ )مارچنکو 1998 (. داد غیرمتعامدنمایش دربیرونکرهیبیرهامربه بهبیاندیگر آنومالیپتانسیلثقلT توابع از محدودی تعداد از خطی ترکیبی توسط میتواند شعاعR پایهیشعاعیکرویکهتوابعیغیرمتعامدهستند بهصورتزیر )ویتور 2009 (: شود بیان )13( ثقل پتانسیل آنومالی ارزیابی نقطهی )13( رابطهی در پایهی توابع بسط مقیاس ضرایب شعاعی پایهی تابع مرکز نیوتن جهانی ثابت حاصلضرب و پایه توابع تعداد شعاعی محلی مدلسازی از هدف ترتیب بدین است. زمین جرم در پایه توابع مقیاس ضرایب و عمقها مراکز تعیین ثقل میدان خطی تابکهای از مشخصی تعداد از استفاده با شعاعی و جاذبه نوسان جاذبه آنومالی میباشد. زمین گرانی میدان زمین گرانی میدان خطی تابکهای جمله از ارتفاعی آنومالی مورد میدان محلی مدلسازیهای در کرات به که هستند داده نشان زیر روابط در ترتیب به و میگیرند قرار استفاده 1980(: )موریتز شدهاند = )14( δ = )15( ζ = γ )16( نقطه زمین سطح روی بر نقطهای باال روابط در میباشد. نرمال جاذبه γ و تلوروئید سطح روی بر آن متناظر آنومالی مشاهدات از تنها تحقیق این در اینکه به توجه با در شده استفاده گرانی میدان محلی مدلسازی برای جاذبه تابعک نوع این برای تنها مشاهداتی معادالت سیستم ادامه توابع حسب بر جاذبه آنومالی عملگر میشود. سازماندهی : )ویتور 2009 ( میشود تعریف زیر صورت به شعاعی پایه = α ψ = )17( در که است جاذبه آنومالی )17( رابطهی در جاذبه آنومالی عملگر و میشود ارزیابی نقطهی میشود: تعریف زیر رابطهی از استفاده با که میباشد = Ψ Ψ )18( بر را مشاهداتی معادالت سیستم میتوان ترتیب بدین )18( رابطهی از استفاده با جاذبه آنومالی مشاهدات حسب داد. تشکیل = )19( شامل مشاهدات بردار l 19( )رابطه باال رابطهی در X و ضرایب ماتریس A جاذبه شتاب آنومالی مشاهدات پایهی توابع مقیاس ضرایب شامل مدلسازی مجهوالت بردار ) λϕ شعاعی) پایه توابع مراکز موقعیت و α( ( شعاعی استفاده با مشاهداتی معادالت سیستم ماتریسی شکل است. میشود: داده نمایش )20( دستگاه از ψ = π + ψ = π = αψ =

95 زمستان 100 شماره دوره 25 ) ( جغرافيايي اطالعات پژوهشي - علمی فصلنامه Scientific - Research Quarterly of Geographical Data (SEPEHR) Vo.25,No.100, Winter 2017 / 66 )20( α مشاهدات از استفاده با مدلسازی مجهوالت تعیین در غیرخطی معکوس مسئلهی یک عنوان به جاذبه آنومالی مجهوالت آوردن بدست برای که میشود شناخته ژئودزی یکی است. نیاز غیرخطی پایدارسازی روش یک به مسئله الگوریتم غیرخطی پایدارسازی روشهای پرکاربردترین از دربارهی بعدی بخش در که میباشد مارکواردت لونبرگ- شدهاست. داده توضیح تفصیل به الگوریتم این پایدارسازی و معکوس مسئله حل 4. پرکاربردترین از یکی مارکواردت لونبرگ- الگوریتم معکوس مسائل حل برای پایدارسازی الگوریتمهای و نیوتن روش بین روشی الگوریتم این است. غیرخطی یافتن الگوریتم این از هدف است. نزولی گرادیان روش است غیرخطی مربعات کمترین سازی مینیمم مسائل جواب زیر رابطه طریق از تکراری صورت به مسئله این جواب و 2011(: )تیاگی میشود محاسبه )21( = + µ مجهول پارامترهای بردار X k )21( رابطهی در ماتریس تکرار امین k در پارامترها تغییرات بردار ژاکوبین هسین ماتریس تابعکهای بین تفاضل صورت به که باقیماندهها بردار پارامتر µ و میشود تعریف شده برآورد و شده مشاهده این به پایدارسازی پارامتر تعیین نحوهی است. پایدارسازی کاهش مرحلهای در خروجی خطای اگر که است صورت یابد میدهند کاهش ثابت ضریب یک از استفاده با را خطای اگر برعکس و یابد کاهش نزولی گرادیان اثر تا اثر افزایش منظور به یابد افزایش مرحلهای در خروجی میدهند. افزایش ثابت ضریب همان با را نزولی گرادیان صورت به مجهوالت جدید مقادیر تکرار از مرحله هر در میشوند: محاسبه زیر )22( لونبرگ- الگوریتم عددی کارایی افزایش منظور به پارامتر اولیهی مقدار تعیین برای رابطهای مارکواردت شد. گرفته نظر در آن بههنگامسازی برای روشی و پایدارسازی پایدارسازی پارامتر اولیهی مقدار تعیین برای شده ارائه رابطهی مقادیر ازای به مجهوالت ژاکوبین ماتریس ارزیابی اساس بر هب 2013(. )گاوین است شعاعی پایهی توابع پارامترهای اولیهی لونبرگ-مارکواردت الگوریتم عددی کارایی افزایش منظور اولیهی مقدار تعیین برای مناسب رابطهای ارائهی با الگوریتم این داده بهبود آن هنگامسازی به برای روشی و پایدارسازی پارامتر استفاده با میتوان را پایدارسازی پارامتر اولیهی مقدار میشود. 2013(. )گاوین کرد تعیین )23( رابطهی از )23( فوق رابطهی در و مجهوالت اولیهی مقادیر ازای به µ = شده ارزیابی ژاکوبین ماتریس ثابت ضریب یک پارامتر مقدار مارکواردت لونبرگ- الگوریتم در است. دلخواه مشاهداتی معادالت سیستم رفتار بر مرحله هر در پایدارسازی میتواند پایدارسازی پارامتر نامناسب انتخاب میگذارد. تأثیر مطلق مینیمم جواب به همگرایی سرعت کاهش موجب سیستم ناپایداری یا و نسبی مینیمم جواب به همگرایی دلیل همین به 2004(. )آراندا گردد مشاهداتی معادالت پارامتر هنگامسازی به برای مناسب روشی تحقیق این در صورت به ρ پارامتر روش این در میشود. ارائه پایدارسازی )گاوین 2013 ( میشود گرفته درنظر ثابت عدد یک = + + ( ( )) ρ )24( = α کاهش تکرار یک در خروجی خطای که صورتی در )24( رابطه در آمده دست به مقدار جایگزین P پارامتر یابد λ φ φ ϕ φ φ = φ φ α φ φ λ ϕ

) ( جغرافيايي اطالعات پژوهشي - علمی فصلنامه 67 /... شعاعی پایه توابع مختلف انواع عملکرد بررسی رابطهی از استفاده با ) µ پایدارسازی) پارامتر و میشود )گاوین 2013 (. میشود هنگام به )25( µ = µ + )25( رابطهی از استفاده با تکرار هر در )25( رابطهی در میشود)گاوین 2013 (. تعریف زیر = σ )26( مجموع و باقیماندهها مربعات مجموع )26( رابطهی در زیر صورت به که است باقیماندهها و پارامترها تغییرات میشود)گاوین 2013 (. تعریف )27( پارامتر تکرار یک در خروجی خطای افزایش صورت در )گاوین 2013 ( میشود هنگام به زیر ترتیب به پایدارسازی µ = µρ و + ρ = αρ )28( + ساحلی فارس منطقهی موردی: مطالعه 5. شعاعی پایهی توابع مختلف انواع کارایی بررسی منظور به فارس منطقهی زمین گرانی میدان محلی مدلسازی در کروی < λ < ساحلیدرمحدودهیطولجغرافیایی گرفته نظر در < ϕ جغرافیایی عرض و شتاب مشاهدات شامل منطقه این دادههای مجموعه شد. به نقطه 106 تعداد آنها بین از که است نقطه 6350 در گرانی نقطهی 4 از این بر عالوه شد. انتخاب کنترل نقطهی عنوان کنترل نقاط عنوان به منطقه این در موجود GPS/Leveling شده محاسبه ژئوئید مدلهای دقت ارزیابی برای ارتفاعی تغییرات شد. استفاده شعاعی پایهی توابع مختلف انواع با به ساحلی فارس منطقهی گرانی شتاب تغییرات و ارتفاعی ابتدا است. شده داده نمایش )2( و )1( نگارههای در ترتیب جاذبه شتاب مشاهدات از نرمال گرانی شتاب کردن کم با منطقه این کنترل نقاط و مشاهداتی نقاط در جاذبه آنومالی رابطهی از نرمال گرانی شتاب محاسبهی برای آمد. بدست تغییرات شد. استفاده 1967( موریز و )هکینن پزتی سومیگالیانا- نمایش )3( نگاره در بررسی مورد منطقهی در جاذبه آنومالی اعمال با جاذبه آنومالی مشاهدات سپس است. شده داده آزاد هوای جاذبهی آنومالی دادههای به آزاد هوای تصحیح می زیر صورت به آزاد هوای تصحیح رابطهی شدند. تبدیل )صفری 2011 (. باشد )29( )29( رابطهی در میباشد. P نقطه اورتومتریک ارتفاع هوای جاذبهی آنومالی مشاهدات محلیسازی برای با میدان جهانی اثر محلی کاربردهای برای نیاز مورد آزاد از 360 مرتبه و درجه تا کروی هارمونیکهای از استفاده ضرایب که است ذکر به الزم شد. حذف مشاهدات روی به EGM2008 مدل از استفاده با کروی هارمونیکهای هوای جاذبه آنومالی مشاهدات ترتیب بدین آمد. دست در گرانی میدان محلی مدلسازی برای باقیمانده آزاد در آن تغییرات که آمد دست به ساحلی فارس منطقهی است. شده داده نشان )4( نگاره = پایهی توابع انواع از یک هر پارمترهای تعیین برای منظم گرید شبکهی یک در پایه تابع ابتدا شعاعی صورت به توابع این اولیهی عمق سپس شدند. چیده اولیهی موقعیت تعیین با ترتیب بدین شد. مشخص تجربی طریق از آنها اولیهی مقیاس ضرایب RBFها عمق و مراکز از پس میشود. تعیین خطی مربعات کمترین سرشکنی پایهی توابع پارامترهای مجهوالت اولیهی مقادیر تعیین براساس مشاهداتی معادالت سیستم تشکیل با شعاعی استفاده با باقیمانده آزاد هوای جاذبهی آنومالی مشاهدات تکراری پروسهی یک طی مارکواردت لونبرگ الگوریتم از پارامترهای بهینهی مقادیر برآورد از پس شدند. بهینهسازی ویولت 2 مرتبه شعاعی چندقطبی نقطهای جرم کرنلهای آزاد هوای جاذبهی آنومالی پواسن کرنل و 2 مرتبه پواسن )5( نگاره در شد. محاسبه مشاهداتی نقاط در باقیمانده شده محاسبه باقیمانده آزاد هوای جاذبهی آنومالی تغییرات شعاعی پایهی تابع کرنل نوع 4 هر برای پیشنهادی روش به به سرشکنی باقیماندههای تعریف با است. شده داده نشان باقیماندهی آزاد هوای جاذبهی آنومالی بین تفاضل صورت

فصلنامه علمی - پژوهشي اطالعات جغرافيايي ( ) دوره 25 شماره 100 زمستان 95 Scientific - Research Quarterly of Geographical Data (SEPEHR) Vo.25,No.100, Winter 2017 / 68 نگاره 1 : تغییرات ارتفاعی منطقهی مورد بررسی )متر( نگاره 2: تغییرات شتاب گرانی مشاهده شده در منطقه مورد بررسی )میلیگال( نگاره 3: تغییرات آنومالی جاذبه در منطقه مورد بررسی )میلیگال( نگاره 4: تغییرات آنومالی جاذبهی هوای آزاد باقیمانده در منطقه مورد بررسی )میلیگال( مشاهده شده و مدلسازی شده با استفاده از توابع پایهی شعاعی تغییرات این باقیماندهها در نگاره )6( نشان داده شده است. در جدول )1( اطالعات آماری مربوط به هر یک از مدلهای محاسبه شده با استفاده از کرنل جرم نقطهای چندقطبی شعاعی مرتبه 2 ویولت پواسن مرتبه 2 و کرنل پواسن آورده شده است. مقایسهی نتایج حاصل از کرنلهای مختلف نشان میدهد که دقتهای به دست آمده برای هر کدام از کرنلها به یکدیگر بسیار نزدیک میباشند. با توجه به اینکه برای کرنلهای مختلف عمقهای متفاوتی انتخاب شده میتوان نتیجه گرفت که با انتخاب عمق مناسب برای هر کدام از این کرنلها به دقتهای مشابهی برای مدلسازی میدان گرانی زمین میرسیم. به منظور بررسی عملکرد کرنلهای مختلف توابع پایهی شعاعی در محاسبهی مدل ژئوئید دقت ارتفاعات ژئوئید در 4 نقطهی GPS/Leveling بررسی شد. ارتفاع ژئوئید این نقاط به این ترتیب محاسبه شدند که ابتدا آنومالی پتانسیل باقیمانده با حذف اثر جهانی میدان با استفاده از مدل EGM2008 تا درجه و مرتبهی 360 محاسبه شده و

) ( جغرافيايي اطالعات پژوهشي - علمی فصلنامه 69 /... شعاعی پایه توابع مختلف انواع عملکرد بررسی قطبی چند )2( نقطهای جرم کرنل )1( از استفاده با شده مدلسازی باقیمانده آزاد هوای جاذبهی آنومالی تغییرات 5: نگاره )میلیگال( پواسن کرنل )4( و 2 مرتبه پواسن ویولت )3( 2 مرتبه شعاعی از استفاده با نقاط این در باقیمانده پتانسیل آنومالی سپس آنومالی جمع با شد. برآورد شعاعی پایهی توابع پارامترهای هارمونیکهای از استفاده با شده محاسبه جهانی پتانسیل استفاده با شده محاسبه باقیماندهی پتانسیل آنومالی و کروی نرمال میدان در برنز فرمول از استفاده و شعاعی پایهی توابع از در ژئوئید شبه ارتفاع گرافاند 2001 ( و )اردالن سومیگلیانا-پزتی تصحیح اعمال با سپس آمد. دست به ارتفاعی کنترل نقاط این ارتفاع ژئوئید( شبه و ژئوئید سطوح بین )اختالف ژئوئید شبه ژئوئید شبه تصحیح رابطهی آمد. بدست نقاط این در ژئوئید 1998( کربای و )فدرستون میباشد زیر صورت به γ ζ اورتومتریک ارتفاع فوق H رابطهی در )30( )میلیگال( شعاعی پایهی توابع مختلف انواع از استفاده با باقیمانده آزاد هوای جاذبهی آنومالی مدلهای دقت جدول 1 : شعاعی پایهی تابع نوع نقطهای جرم کرنل 2 مرتبه شعاعی چندقطبی 2 مرتبه پواسن ویولت پواسن کرنل شعاعی پایهی توابع عمق )کیلومتر( شعاعی پایهی توابع تعداد آنومالی مینیمم است. سومیگلیانا-پزتی نرمال میدان γ و بوگه جاذبهی دست به ژئوئید ارتفاع اختالف به مربوط آماری اطالعات و شعاعی پایهی توابع کرنلهای انواع از استفاده با آمده در GPS/Leveling نقاط در شده مشاهده ژئوئید ارتفاع میدهد نشان آمده بدست نتایج است. شده ارائه )2( جدول در است. یکسان مختلف کرنلهای برای ژئوئید دقت که نوع 4 هر از استفاده با شده محاسبه ژئوئید مدل )7( نگاره است. شده داده نشان شعاعی پایهی تابع کرنل نتیجهگیری و بحث 6. ماکزیمم میانگین -1/96 10/83-10/54 18/75 انحراف معیار 1/56 1/45 1/89 1/42 0/0013 0/002-0/028 9/92 10/84 9/9.7676-9/57-13/10-10/68 18/75 19/15 18/83 پایهی توابع مختلف انواع عملکرد تحقیق این در استفاده با زمین گرانی میدان محلی مدلسازی در شعاعی مورد ساحلی فارس منطقهی در گرانی شتاب دادههای از

95 زمستان 100 شماره دوره 25 ) ( جغرافيايي اطالعات پژوهشي - علمی فصلنامه Scientific - Research Quarterly of Geographical Data (SEPEHR) Vo.25,No.100, Winter 2017 / 70 )متر( کروی شعاعی پایهی توابع مختلف انواع از استفاده با GPS/Levelling نقاط در ژئوئید دقت برآورد جدول 2 : شعاعی پایهی تابع نوع شعاعی پایهی توابع عمق )کیلومتر( شعاعی پایهی توابع تعداد مینیمم ماکزیمم میانگین معیار انحراف 0/127649 0/147805 0/33184 0/03672 18/75 نقطهای جرم کرنل 0/127650 0/147819 0/33185 0/03673 18/75 2 مرتبه شعاعی چندقطبی 0/127649 0/147832 0/33186 0/03674 19/15 2 مرتبه پواسن ویولت 0/127649 0/147818 0/33185 0/03673 18/83 پواسن کرنل 2 مرتبه شعاعی قطبی چند )2( نقطهای جرم کرنل )1( از استفاده با شده محاسبه سرشکنی باقیماندههای تغییرات 6: نگاره )میلیگال( پواسن کرنل )4( و 2 مرتبه پواسن ویولت )3( پواسن ویولت )3( 2 مرتبه شعاعی قطبی چند )2( نقطهای جرم کرنل )1( از استفاده با شده محاسبه ژئوئید مدل 7: نگاره )متر( پواسن کرنل )4( و 2 مرتبه

) ( جغرافيايي اطالعات پژوهشي - علمی فصلنامه 71 /... شعاعی پایه توابع مختلف انواع عملکرد بررسی شعاعی چندقطبی نقطهای جرم کرنل گرفت. قرار بررسی متداول انواع 2 مرتبه پواسن ویولت و پواسن کرنل 2 مرتبه هستند زمین گرانی میدان مدلسازی در شعاعی پایهی توابع گرفتند. قرار بررسی مورد تحقیق این در که شعاعی پایهی توابع کرنلهای این از یک هر برای مقیاس ضرایب و عمقها مراکز شامل توابع پارامترهای از استفاده با و مربعات کمترین روش به همزمان طور به پروسهی یک طی مارکواردت لونبرگ غیرخطی الگوریتم شدند. تعیین تکراری شعاعی پایهی توابع مختلف کرنلهای عملکرد مقایسه استفاده با زمین میدانگرانی محلی مدلسازی در که داد نشان برای مناسب عمق انتخاب صورت در شعاعی پایه توابع از مشابه دقتهای با مدلهایی به مختلف کرنلهای توابع این میشوند. منتج کنترل نقاط برای )2( جدول در آمده دست به نتایج این برای دقت مقادیر که میدهد نشان GPS/Levelling این که است متفاوت اعشار ششم و پنجم رقم در کرنلها میباشد. شده انجام کار صحت برای دلیلی زیر موارد به میتوان تحقیق این برجستهی نکات از کرد: اشاره و شعاعی پایهی توابع مختلف انواع عملکرد مقایسهی - زمین گرانی میدان محلی مدلسازی بر آنها تأثیر مدلسازی برای نیاز مورد شعاعی پایهی توابع تعداد کاهش - در موجود مشاهدات تعداد با مقایسه در زمین گرانی میدان منطقه شعاعی پایهی توابع مجهول پارامترهای همزمان حل - لونبرگ- غیرخطی پایدارسازی الگوریتم از استفاده با مارکواردت پارامتر اولیهی مقدار تعیین برای مناسب رابطهای ارائهی - مارکواردت لونبرگ- الگوریتم در پایدارسازی پارامتر سازی هنگام به برای مناسب روشی ارائهی - مبنای بر مارکواردت لونبرگ الگوریتم در پایدارسازی تکرار. هر در مدلسازی مجهول پارامترهای مقادیر مآخذ و منابع دانشگاه انتشارات فیزیکی ژئودزی )1390( ع صفری 1- تهران. مدلسازی )1392( م شریفی ا فروغی ع صفری 2- بررسی شعاعی پایه تابعهای از استفاده با گرانی میدان محلی فارس خلیج سواحل در گرانی میدان مدلسازی موردی: 33-48. )39(3 فضا و زمین فیزیک 3. Antoni M, Keller W, Weigelt M. (2009). Recovery of residual GRACE-observations by radial base functions. VII. Hotine-Marussi Symposium on Theoretical Geodesy. 4. Araneda, A. (2004). Variation of the Levenberg Marquardt method:an attemp to improve efficiency. Massachusette Institude of technology. 5. ArdalanA.A,GrafarendE.W. (2001). Ellipsoidal geoidal undulations (ellipsoidal Bruns formula). Journal of Geodesy, 75(9-10), 544-552. 6. Barthelmes.F. (1986). Untersuchungen zur Approximation des äußeren Gravitationsfeldes der Erde durch Punktmassen mit optimierten Positionen. Veroffentlichungen des Zentralinstituts Physik, 122. 7. BarthelmesF. (1988). Local gravity field approximation by point masses with optimized positions. Geodesy and Physics of the Earth. Proc: 6th international symposium. 8. Bentel K, Schmidt M, Gerlach C. (2012). Different radial basis functions and their applicability for regional gravity field representation on the sphere. Springer. 9. Claessens S.J, Featherstone W.E, Barthelmes F. (2001). Experiences with point-mass gravity field modelling in the Perth region, Western Australia. Geomatics Research Australasia, 53-86. 10. Eicker.A,Mayer-Gürr.T,Ilk.K.H. (2004). Global gravity field solutions from GRACE SST data and regional refinements by GOCE SGG observations. Proceedings IAG international symposium gravity.porto, Portugal: geoid and space missions. 11. Featherstone.W,Kirby.J. (1998). Estimates of the separation between the Geoid and the Quasi-Geoid over austrolia. Geomatics Research Australasia, 79-90. 12. Gavin.H. (2011). The Levenberg-Marquardt method

فصلنامه علمی - پژوهشي اطالعات جغرافيايي ( ) دوره 25 شماره 100 زمستان 95 Scientific - Research Quarterly of Geographical Data (SEPEHR) Vo.25,No.100, Winter 2017 / 72 estimation of a multi-resolution representation of the gravity field based on spherical harmonics and wavelets. Journal of geodynamics, 39(5), 512-526. 26. Schmidt M, Fabert O, Shum C.k, Han.S.C. (2004). Gravity field determination using multiresolution techniques. GOCE User Workshop: GOCE, The Geoid and Oceanography. Proc: ESA. 27. Schmidt M, Fengler M, Mayer-Gürr T. (2007). Regional gravity modeling in terms of spherical base functions. Journal of Geodesy, 17-38. 28. Vermeer M. (1982). The use of mass point models for describing the Finnish gravity field. Gävle. Sweden: 9th meeting of the Nordic Geodetic Commission. 29. Vermeer M. (1983). A new SEASAT altimetric geoid for the Baltic. 30. Vermeer M. (1984). Geoid studies on Finland and the Baltic. 31. Vermeer M. (1995). Mass point geopotential modelling using fast spectral techniques; historical overview, toolbox description, numerical experiment. Manuscr. Geod, 20, 362-378. 32. Wittwer TB. (2009). regional gravity field modelling with radial basis functions. TU Delft: Doctoral dissertation. for nonlinear least squares curve-fitting problems. Duke University: Department of Civil and Environmental Engineering. 13. Heikkinen.M. (1981). Solving the shape of the earth by using digital density models. Rep. Finnish Geod, 81. 14. Heiskanen WA, Moritz M. (1967). Physical geodesy. Bulletin Géodésique, 86(1), 491-492. 15. Klees R, Wittwer T. (2007). A data-adaptive design of a spherical basis function network for gravity field modelling. Dynamic Planet, 322-328. 16. Klees R, Wittwer T. (2007). Local gravity field modelling with multi-pole wavelets. Dynamic Planet, 303-308. 17. Klees.R, Tenzer. R, Prutkin.I, Wittwer.T. (2008). A data-driven approach to local gravity field modelling using spherical radial basis functions. Journal of Geodesy, 457-471. 18. Lehmann R. (1993). The method of free-positioned point masses'geoid studies on the Gulf of Bothnia. Bulletin géodésique, 31-40. 19. Lin M, Denker H, Müller J. (2015). Regional Gravity Field Modeling by Radially Radially Optimized Point Masses: Case Studies with Synthetic Data. Springer, 1-7. 20. M.Schmidt,M.Fengler,T.Mayer-Gürr. (2007). Regional gravity modeling in terms of spherical base functions. Journal of Geodesy, 17-38. 21. Marchenko A.N, Barthelmes F, Meyer U, Schwintzer.P. (2002). Efficient regional geoid computations from airborne and surface gravimetry data: a case study. Springer Berlin Heidelberg, 223-228. 22. Marchenko A.N. (1998). Parameterization of the Earth's Gravity field, point and line singularities. Astronomical and Geodetic Society. 23. Marchenko AN, Barthelmes F, Meyer U, Schwintzer P. (2001). Regional geoid determination: an application to airborne gravity data in the Skagerrak. Geoforschungszentrum, 50. 24. Pavlis N.K, Holmes S.A, Kenyon S.C, Factor J.K. (2012). development and evaluation of the Earth Gravitational Model 2008 (EGM2008). Journal of Geophysical Research: Solid Earth, 118(B4). 25. Schmidt M, Fabert O, Shum C.K. (2005). On the