أ جامعة حلب كلية العلوم قسم اإلحصاء الرياضي إيجاد أقل مخاطر ممكنة في نموذج انحدار كوك س Fndng the Least Possble Hazards n Cox Regresson Model األطروحة التي أعدت للحصول على درجة الدكتو اره في اإلحصاء الرياضي إعداد: معن التنجي بإش ارف: األستاذ الدكتور خضر الكريدي أستاذ في قسم اإلحصاء كلية العلوم األستاذ الدكتور محمد دباس الحميد أستاذ في كلية المعلوماتية جامعة حلب 4102
ب Unversty of Aleppo Faculty of Scences Department of Statstcs Fndng the Least Possble Hazards n Cox Regresson Model Thess submtted to get the PhD Degree n Mathematcal Statstcs Prepared by: Maen Alteng Supervsed by: Dr. Khudr Al-kred Department of Mathematcal Statstcs, Faculty of Scence, Unversty of Aleppo Dr. Mohammad Dabbas Al-hamd Department of Basc Scences, Faculty of Informatcs, Unversty of Aleppo 4102
ج بسم اهلل الرحمن الرحيم )) إن قامت الساعة و في يد أحدكم فسيلة, فإن استطاع أن ال تقوم حتى يغرسها فليغرسها (( رواه البخاري وأحمد إهداء إلى: أمي وأبي... وزوجتي... وأبنائي وأخواتي... وأهل زوجتي شكر وتقدير أتوجه بجزيل الشكر والعرفان ألستاذي المشرف الدكتور خضر الكريدي الذي شرفني بتعليمي وتوجيهي ابتداء من مقاعد الدراسة في الجامعة, ثم اإلشراف علي في رسالة الماجستير, وانتهاء بأطروحة الدكتوراه التي تكرم علي فيها بعلمه ووقته وخبراته... وأتوجه بجزيل الشكر للدكتور محمد دباس الحميد على توجيهاته القيمة ومتابعته للبحث وال يسعنا إال أن نشكر الدكتور نصر الدين عيد رئيس قسم اإلحصاء األسبق على ما أحدثه في القسم من نهضة علمية جريئة في البحث العلمي واستقطاب الباحثين في المؤتمرات واألنشطة العلمية والتدريبية ولمن تحمل بعده أعباء المسؤولية الكبيرة الدكتور سعد الدين العبد اهلل له منا كل الشكر والتقدير
د الملخص إن أهم ما يجعل نموذج كوكس شائع االستخدام في تحليل الحياة هو إمكانية االستفادة منه من خالل تقدير جزء من وسطائه فقط, لنحصل على نموذج نصف وسيطي, والذي يفيد في معرفة درجة وشكل تأثير كل متغير مستقل في المخاطرة, وذلك باستخدام مقد ارت المعقولية الجزئية. لكن من المالحظ أن هذه المقد ارت المستخدمة في النموذج حتى تاريخ البحث تستخدم ت ارتيب البيانات فقط دون النظر إلى قيمها الفعلية والفروقات بينها. لذلك فإن االعتماد على مقد ارت المعقولية الجزئية في مثل هذا النموذج الهام قد يؤدي إلى نتائج ال تمثل البينات, فضال عن حرمان الباحث من تطبيقات هامة نظ ار لعدم تقدير كامل النموذج مثل التنبؤ والتحكم بالمخاطر. لذا كان اهتمامنا في تقدير كامل النموذج من خالل تقدير الجزء األول من النموذج المتمثل بدالة المخاطر األساسية والتي درسنا إمكانية توافقها مع أربعة نماذج حياة شائعة متنوعة االتجاهات ما بين ثابت بالنسبة لألسي, ومتناقص بالنسبة للمنطقي اللوغارتمي, ومت ازيد بالنسبة لكومبيرتز, ومتنوع االتجاهات )وفقا لقيم المعامالت( بالنسبة لوايبل. ثم درسنا مقد ارت المعقولية العظمى التامة ألول مرة لنموذج كوكس للمخاطر النسبية ودرسنا معها االستدالل اإلحصائي لهذه المقد ارت الجديدة. ومستخدمين لغة البرمجة اإلحصائية R في برمجة خوارزميات الطرق المعروضة. وهذه المقد ارت الجديدة قد مكنتنا من استخدام كامل نموذج كوكس في تطبيقات هامة مثل التنبؤ. إضافة إلى تطبيق جديد وهو التحكم بالمخاطر من خالل تغيير قيم المتغي ارت المستقلة مع افت ارض وجود قيود على تغيير هذه المتغي ارت المستقلة باالستفادة من طرق البرمجة الرياضية. وطبقنا النتائج النظرية التي وصلنا إليها في تطبيقين من الواقع, األول هو د ارسة حالة مرض "اللوكيما" والذي سبق د ارسته لكن باستخدام النموذج نصف الوسيطي وقارن ا النتائج لهذه الد ارسة السابقة مع النتائج التي حصلنا عليها. إضافة إلى د ارسة حالة الشركات الصناعية في البورصة السعودية, حيث درسنا تأثير هيكلة أرس المال على مخاطر انخفاض أسعار أسهمها. وقدمنا مقترحا حول أفضل هيكلة ممكنة ل أرس المال التي تجعل المخاطر أصغر ما يمكن وفقا لشروط موصى بها. الكلمات المفتاحيةة: نمااذج الحيااة الوسايطية, التقادير الالوسايطي لدالاة الحيااة, اختباا ارت جاودة التوافاق, نماوذج كاوكس للمخاطر النسبية, مقد ارت المعقولية العظمى الجزئية, مقد ارت المعقولية العظمى التامة, البرمجة الرياضية.
ه Abstract Cox proportonal hazard regresson s the most common model n survval analyss snce t can be used by estmatng some of ts parameters only, to get fnally a sem-parametrc model, whch can help to dentfy the shape and degree of effect of each ndependent varable on the hazard. Ths sem-parametrc model can be derved by partal maxmum lkelhood estmaton. But we notced that these partal estmators that have been used n ths model untl now, use the orders of data only wth gnorng the exact values and dfferences among them. Thus, dependng on partal estmators n such mportant model mght lead to estmated model that doesn t ft the data, n addton to the losng of mportant applcatons of the model such as predctng and controllng hazards. Thus, the researcher nterested n estmatng the full model by estmatng the baselne hazard functon whch he supposed t mght ft one of the four common dfferent hazard trends models: constant n Exponental, decreasng n Loglogstcs, ncreasng n Gompertz, and varous trends (accordng to parameters values) n Webull. Then he studed the full maxmum lkelhood estmators for the frst tme for Cox Proportonal Hazard Regresson Model, and studed the nferental statstcs for these new estmators. He used also the programmng language R to program the algorthms of methods. These new estmators lead to get use the full model n mportant applcatons such as predctng. In addton to a new applcaton, whch s controllng the hazard by changng the ndependent varables values supposng that we have constrants on changng the values of ndependent varables by usng the mathematcal programmng methods. Fnally, the researcher appled the theoretcal results n two applcatons from actual lfe, the frst one s about the "Lukma" whch was prevously studed but by usng the sem-parametrc model and compared these results wth the new results derved n ths research. In addton to analyze the case of manufacturng companes n Saud stock, n whch he studed the effect of captal structure on the rsk of market value decrement. And presented a recommendaton about the optmal captal structure that mnmze the rsk n lght of some advsed condtons. Keywords: parametrc survval models, non-parametrc estmaton of survval functon, goodness of ft tests, cox proportonal hazard model, partal maxmum lkelhood estmators, full maxmum lkelhood estmators, mathematcal programmng.
و تصريح قبل أن يسبق لم كوك س( انحدار نموذج في ممكنة مخاطر أقل )إيجاد بعنوان البحث هذا بأن أصرح أخرى. شهادة على للحصول حاليا مقدم هو وال شهادة, أية على للحصول المرشح معن التنجي Declaraton I hereby certfy that ths work has not been accepted for any degree or t s not submtted to any other degree. Canddate Maen Alteng
ز شهادة نشهد بأن العمل المقدم في هذه الرسالة هو نتيجة بحث علمي قام به المرشح األستاذ بإش ارف التنجي معن خضر الكريدي الدكتور األستاذ في قسم اإلحصاء من كلية العلوم بجامعة حلب, واألستاذ الدكتور محمد دباس الحميد األستاذ في المعلوماتية كلية بجامعة حلب. إن أية م ارجع أخرى ذكرت في هذا العمل موثقة في نص الرسالة وحسب ورودها في النص. المرشح المشرف المشارك المشرف الرئيس معن التنجي الحميد دباس محمد أ.د. الكريدي خضر أ.د. Testmony We wtness that the descrbed work n ths treatse s the result of scentfc search conducted by the canddate Maen Alteng under the supervson of Dr. Khudr Al-kred professor at the department of Mathematcal Statstcs, Faculty of Scence, Unversty of Aleppo, and Dr. Mohammad Dabbas Alhamd professor at Faculty of Informatcs, Unversty of Aleppo. Any other references mentoned n ths work are documented n the text of the treatse. Canddate Maen Alteng Assstant supervsor Dr. Mohammad Dabbas Al-hamd Man supervsor Dr. Khudr Al-kred
ح األبحاث المنشورة: 0. د ارسة مقد ارت العقولية العظمى لبعض نماذج المخاطرة ماع بياناات مرتقباة مان اليماين, مجلاة بحاوث 2013.78 كوكس للمخاطر النسبية وتقييم جاودة توافاق النماوذج جامعة حلب - سلسلة العلوم األساسية. العدد 4. د ارسة مقد ارت المعقولية العظمى التامة لنموذج,مجلة بحوث جامعة حلب - سلسلة العلوم األساسية. العدد 9102 29. 3. استخدام نموذج كوكس للمخاطر النسبية فاي اقتا ارح أفضال هيكال لا أرس الماال يقلال مخااطر انخفااض القيمة السوقية للسهم, مجلة بحوث جامعة حلب - سلسلة العلوم األساسية. العدد 9102 22. - بالمخااطر التنباؤ باساتخدام كاوكس نماوذج للمخااطر النسابية, مجلاة بحاوث جامعاة حلاب سلسالة.2 العلوم األساسية. العدد 9102 22.
0 المحتويات: إطار البحث... 2-1 مقدمة:... 2 السابقة:... 3 البحث:... 5 2- الد ارسات 3- مبر ارت -4 مشكلة البحث:... 6 5- أهداف البحث:... 7 6- أهمية البحث:... 7 المخاطر... 8 دالة تقدير األول الفصل 9... المخاطرة نماذج األول: المبحث الوسيطية الدوال التي تصف زمن الحياة:... 9 التوزيع األس ي :Exponental Dstrbuton... 12 التوزيع المنطقي اللوغاريتمي :Log-Logstc... 16 1.1 2.1 3.1 توزيع كومبيرتز :Gompertz Model... 19 5.1 توزيع وايبل :Webull Model... 21 4.1 22... Censored Data البيانات الثاني: المبحث المرتقبة 1.2 طبيعة بيانات الحياة:... 24 التقدير الوسيطي في حالة البيانات المرتقبة التقدير الالوسيطي للبيانات المرتقبة: يمينيا:... 26 39... :Nonparametrc Estmaton for Censored Data 2.2 3.2 22... الثالث: المبحث اليمين من مرتقبة لبيانات التوافق جودة اختبا ارت 1.3 اختبار كاي مربع...:Ch Square Test 44 2.3 اختبار سميرنوف كلماغوروف :Smrnov-Kolmogorov Test... 47 للمخاطر كوكس نموذج الثاني: الفصل النسبية... 29
1 للمخاطر كوكس نموذج مقد ارت د ارسة األول: المبحث النسبية... 05 1.1 صيغة نموذج انحدار كوكس للمخاطر النسبية:... 55 2.1 تقدير معامالت نموذج كوكس للمخاطر النسبية مع بيانات مرتقبة من اليمين:... 51 3.1 التقدير المجالي لوسطاء النموذج:... 56 النموذج...08 مالءمة تقييم الثاني: المبحث اختبار معنوية النموذج:... 55 تحليل بواقي النموذج:... 59 1.2 2.2 تطبيق...:)5( 65 الثالث: المبحث استخدامات نموذج كوكس... 66 1.3 التنبؤ بزمن اقت ارب وقوع الحدث:... 66 تطبيق...:)9( 67 2.3 التحكم بالمخاطر من خالل المتغي ارت المستقلة:... 65 05... للمخاطر كوكس نموذج تطبيقات بعض الثالث الفصل النسبية الرياضية...07 البرمجة في مقدمة األول: المبحث 1.1.3 نماذج البرمجة الرياضية:... 71 2.1.3 حل مسائل البرمجة الرياضية:... 72 تطبيقات الثاني: المبحث اقتصادية للمخاطر كوكس لنموذج النسبية... 00 1.2 التحليل الكمي لمخاطر االستثمار في األسهم... 75 تطبيق :)15(... 77 89 النتائج والتوصيات:... النتائج:...89 التوصيات:... 97 99...References
2 إطار البحث 7- مقدمة: تم عرض نموذج كوكس ألول مرة عاام 1973 من العالم كوكس الساااااااااااااتخدامت في تحليل التجارب الطبية من خالل نمذجة تأثير عدد الموثوقية الهندسية وتحليل المخاطر المالية [1]. من العوامل واالعتبا ارت الطبية على مخاطر حيوية ما. وتوسااااااع الحقا ليشاااااامل تحليل إن أهم ما جعل هذا النموذج شااائع االسااتخدام في تحليل الحياة هو إمكانية االسااتنادة منت من خالل تقدير جزء من وسااطائت فقطن لنحصاال على نموذج نصااف وساايطي )Sem-parametrc( والذي ينيد في معرفة درجة وشكل تأثير كل متغي ر مستقل في المخاطرة. :[2] تعطى صيغة نموذج انحدار كوكس للمخاطر النسبية بالشكل التالي ρ h(t, X) = h 0 (t). exp ( β X ) (1) =1 أن: علما predctors المتغي ارت المستقلة )المنسرة( X = (X 1, X 2,, X ρ ) ) ρ β = (β 1, β 2,, β معامالت النموذج دالة المخاطر األساسية )وهي دالة وسيطية تأخذ شكل إحدى التوزيعات االحتمالية غير السالبة( h 0 (t) ماا يمي ز هااذا النموذج هو أن تقادير معااامالتاات يمكن أن يتم فقط اعتمااادا على المتغي ارت المساااااااااااااتقلااة بغض النظر عن شاكل الدالة (t) hن 0 أي يمكننا معرفة مقدار تأثير كل في المخاطر مساتقل متغي ر حتى وان كان شاكل الاادالااة الوسااااااااااااايطيااة (t) h 0 مجهوال. وفي حااال كونهااا مجهولااة يسااااااااااااامى هااذا النموذج بااأناات نصاااااااااااااف وسااااااااااااايطي وفي هاذا الحاالاة يتم تقادير معاامالت النموذج اعتماادا على طريقاة المعقوليااة, Sem-parametrc Model العظمى الجزئية [3] Estmaton.Partal Maxmum Lkelhood
3 2- الد ارسات السابقة: سنركز في الد ارسات السابقة على أو ارق بحثية تضمنت استخدام نموذج كوكس نصف الوسيطي في أحدث األبحاث العلميةن إضافة إلى طروحات في تطوير مختلنة مقدر المعقولية الجزئية ومحاوالت االستنادة من نموذج كوكس للمخاطر النسبية في استخدامات جديدة: د ارسة للدكتور [4].D OAKES بعنوان: Survval Tmes: Aspect of Partal Lkelhood مجلة بحوث Internatonal Statstcal Revew عام 1951 العدد.49-1 ناقش مقد ارت المعقولية العظمى الجزئية وقارنها مع منهجية مقد ارت المعقولية العظمى التامةن حيث عرض فيت لوغاريتم دالة المعقولية بشكلها العامن ثم عرض مقد ارت المعقولية الجزئية والمنافع التطبيقية الناتجة عن هذا التقديرن وبين أن مقد ارت المعقولية الجزئية هي أفضل المتاح حتى تاريخ بحثت. د ارسة الستشاري المصرف النيد ارلي األمريكي [5] G. WHALEN بعنوان: A Proportonal Hazards Model of Bank Falure: An Examnaton of Its Usefulness as an Early Warnng Tool مجلة Economc Revew العدد 91 عام 1991-2 استخدم فيها نموذج كوكس لتصنيف عينة من المصارف األمريكية في ثالثة تصنينات مرتبة: ذات الحالة المالية الجيدةن الحالة غير الجيدةن والحالة الخطرةن كبديل عن أسلوب تحليل التمايز. وقدر في هذا البحث كامل نموذج كوكسن لكن قدر دالة المخاطر األساسية على حدان وقدر معامالت النموذج المرتبطة بالمتغي ارت المستقلة على حدا باستخدام مقد ارت المعقولية الجزئية. ثم عوض الدالتين المقدرتين في صيغة نموذج كوكس. 24 ثم حسب قيمة دالة الحياة لنموذج كوكس بعد شه ار من اللحظة الحالية واعتمد على هذا القيم الناتجة في تصنيف مصارف العينة. د ارسة أج ارها الباحث [6].M Zhou بعنوان: The Cox Proportnal Hazard Regresson Model wth a Partaly Known Baselne نشر في المؤتمر الدولي لإلحصاء شنغهاي الصين خالل النترة 19-15 تموز 2554-3 طرح فيت مقد ارت المقولية الجزئية مع معرفة بعض المعلومات عن دالة المخاطر األساسية مثل معرفة المتوسطن أو معرفة االتجاان والذي سيساهم في د ارسة استداللية حول معامالت النموذج تتضمن معلومات منصلة أكثر مقارنة مع النموذج نصف الوسيطي التام. د ارسة للباحثين: D. V. D. Poel و [7] P. Larvere بعنوان: Customer Attrton Analyss for Fnancal Servces Usng Proportanl Hazard Models -4
4 2554 مجلة Europan Journal of Operatonal Research العدد 157 عام استخدم فيت نموذج كوكس للمخاطر النسبية في تحليل العوامل التي تدفع عمالء "شركة الخدمات المالية األوروبية" ترك التعامل مع الشركةن حيث اعتبر الحدث المدروس هو ترك الخدمة المالية. واقتصر البحث على د ارسة عدد من المتغي ارت المستقلة على مخاطر ترك التعامل مع الشركة حيث اعتمد الباحثين في د ارستهم على النموذج نصف الوسيطي. :[8] د ارسة لنريق من الباحثين يضم 14 باحثا: R. T. Chlebowsk و.J.E Manson وغيرهم بعنوان Estrogen Plus Progestn and Breast Cancer Incdence and Mortalty n the Women s Health Intatve Observatonal Study مجلة بحوث Journal of Natonal Canser Insttute العدد 155 عام 2513-5 أجروا د ارسة حول سرطان الثدي عند النساء لعينة حجمها 414449 ام أرة تمت متابعته ن لمدة سنتينن واستخدموا مع هذا الد ارسة الهامة والضخمة نموذج كوكس نصف الوسيطي أيضان حيث استنادوا منت في د ارسة تأثير عدد العوامل على حدث الشناء من اإلصابة. د ارسة للباحث ين [9] بعنوان: G. F. Nane و H. P. Lopuhaä Shape Constraned Non-parametrc Estmators of the Baselne Dstrbuton n Cox Proportonal Hazards Model مجلة بحوث Scandnavan Journal of Statstcs العدد 45 عام 2513-6 حيث عرضوا فيت إمكانية االستنادة أكثر من نموذج كوكس من خالل تقدير دالة المخاطر األساسية بطرق ال وسيطيةن وعرضوا طريقتين في التقديرن إحداهما لدالة المخاطر األساسية المت ازيدة وأخرى للمتناقصة. خالصة الد ارسات السابقة: تبين الد ارسات السابقة أن: اقتصر الباحثون في استخداماتهم للنموذج على د ارسة العوامل المؤثرة على المخاطر والتي ال تتطلب سوى تقدير الوسطاء β باستخدام مقد ارت المعقولية الجزئية وذلك حتى في د ارسات حديثة وضخمة ومكلنة نسبيا. الد ارسات التي استخدمت نموذج كوكس في التنبؤ فقد قدرت كل حد في النموذج على حدا ولم تستخدم دالة المخاطر األساسية في تقدير الوسطاء β. علما أن د ارسة دالة المخاطر األساسية لم يتضمن اختبار جودة توافق الدالة المقدرةن إنما تم التقييم بالطرق البيانية. محاوالت تطوير تقدير النموذج اقتصرت على محاولة الحصول على معلومات أكثر حول دالة المخاطرة األساسية دون تقديرها مباشرة وتقييم التقدير.
5 وبالتالي فإن الباحث سيدرس أوال الشكل نصف الوسيطي للنموذج والمستخدم حتى تاريخ البحثن ليدرس بعدها إمكانية تقدير كامل النموذج ومدى فائدة الحصول على النموذج الوسيطي. 9- مبر ارت البحث: لنعد إلى العالقة )1(: h(t, X) = h 0 (t). exp ( β X ) ρ =1 بأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين نحصل على: ρ ln[h(t, X)] = ln[h 0 (t)] + β X (2) =1 h 0 (t) وبتقديرنا لكل من المعامالت β ودالة المخاطرة الوسيطية نحصل على النموذج المقد ر: ρ ln[ĥ(t, X)] = ln[ĥ 0 (t)] + β X (3) =1 إن وصولنا لهذا الشكل النهائي ينيد في معرفة متغي ر تأثير كل درجة وشكل مستقل على المخاطرةن واألهم هو (t) ĥ 0 نستطيع β معرفة قيم X التي تجعل المخاطرة أصغر ما يمكن. عند معرفة قيم المقد ارت والدالة المقدرة ln[ĥ(t, X)] بسهولة تحديد قيم X التي تجعل أصغر ما يمكن. لكن غالبا ما تعترضنا إحدى المشاكل اآلتية: صعوبة تقدير الدالة الوسيطية (t) ĥ 0 في حالة وجود البيانات والتي المرتقبةن كثي ار ما يتجنب الباحثون -1 الخوض في تقديرها بسبب أن ذلك يتطلب د ارسة عدة نماذج وسيطية لها واختبار جودة توافقها أيضا مع البيانات. والذي يحول دون حساب قيمة المخاطرة الكلية (X ĥ(t, لعنصر ما في لحظة زمنية محددة. لم يتم حتى اآلن تقدير معامالت نموذج كوكس باستخدام المعقولية العظمى التامة والتي تستخدم كامل -2 المعلوماتن في حين أن التقدير المستخدم حتى اآلن هو مقدر المعقولية الجزئية والتي ال تستخدم إال ت ارتيب البيانات دون النظر إلى قيمها والنروقات بينها. 3- وجود شروط مقيدة )أو شروط من األفضل أخذها بعين االعتبار في الحالة المدروسة( مثل:
6 g ( X) 0 g ( X) 0 g ( X) 0 (4) ĥ(t, X) تجعل تحديد قيم X بحيث تكون دالة المخاطرة أصغر ما يمكن مسألة معق دةن األمر الذي يحرمنا من تطبيق هام لهذا النموذج. توضيح: بنرض أن لدينا مسألة مرضى السرطانن ونريد تقليل عدد الخاليا السرطانية قدر المستطاع ألحد مرضى السرطان من خالل استخدام المعالجات المناسبة لت )عالج ج ارحين كيميائين إشعاعي(ن والنظام الغذائي ) ρ.x = (X 1, X 2,, X غالبا ما المناسب. ولننرض أن متحوالت المعالجات )المتغي ارت تعترض األطباء عدد من القيودن مثل: المستقلة( هي: قيد العمر: هناك بعض المعالجات ال تتناسب مع عمرا الوضع المادي: ال يجب أن ال تتجاوز تكلنة العالج مع النظام الغذائي الخاص بت مبلغا معينا كل معالجة يناسبها نظام غذائي خاص وغير ذلك من القيود التي تجعل تحديد قيم X بحيث تكون المخاطرة أقل ما يمكن أم ار معقدا. 2- مشكلة البحث: ρ لنعد اآلن إلى النموذج المقدر )3( مع جملة القيود )4(: Mn ln[ĥ(t, X)] = ln[ĥ 0 (t)] + β X g ( X) 0 g ( X) 0 (4) g ( X) 0 =1 إن الحصاااول على كامل النموذج يساااامس لنا باساااتخدام النموذج في التنبؤن إضااااافة إلى التحكم بالمخاطر من خالل ln[ĥ(t, X)] تحديد قيم X بحيث تكون أصاااااااااااغر ما يمكن وضااااااااااامن الشاااااااااااروط ) 4 (ن والذي يتطلب تقدير كامل ĥ 0 (t) النموذج والمتضاامن أيضااا تقدير دالة المخاطرة وساايطيا والتأكد من توافقها مع البياناتن إضااافة إلى د ارسااة توافق نموذج كوكس أيضا مت البيانات.
7 )4( X نالحظ أن [(X ln[ĥ(t, هي دالاة خطياة باالمتغي ارت ن فاإذا كاانات القيود عباارة عن جمال خطياة فإن هذا المساااااااااألة تؤول إلى مساااااااااألة برمجة خطيةن أما إذا كانت جملة القيود تحتوي عبارة واحدة على األقل غير خطيةن فإن هذا المسألة تؤول إلى مسألة برمجة غير خطيةن وطريقة حلها تتوقف بناء على شكل جملة المعادالت )4( الناتجة. 0- أهداف البحث: د ارسة تقدير دالة المخاطر األساسية (t) h 0 وذلك بنرض أن البيانات تحتوي بيانات مرتقبة من اليمين -1 Data( Rght (ن Censored ود ارسة جودة توافق الدالة. د ارسة مقد ارت المعقولية العظمى التامة لنموذج كوكس للمخاطر النسبية. تبيان استخدام ط ارئق البرمجة الرياضية في جعل دالة المخاطرة المقدرة (X ĥ(t, أصغر ما يمكن اعتمادا -2-3 X على X بنرض وجود قيود على المتغي ارت بالتطبيق على بيانات من الواقع. 6- أهمية البحث: يعتبر نموذج كوكس للمخاطر النسبية بأنت النموذج األكثر استخداما الرياضي في تحليل البيانات المرتقبة من اليمينن ويكاد ال يخلو بحث إحصائي تطبيقي لقضية تتضمن بيانات مرتقبة من اليمين واال ويستخدم فيت نموذج كوكس [10]. وتبرز أهمية النموذج مع إمكانية استخدامت مع أية حالة تتضمن ترقبا لوقوع حدث قيد االهتمام. فقد تعدى استخدامت في القضايا الطبية إلى التطبيقات المالية والتسويقية. وما يميز أيضا هذا النموذج هو أنت ال يضع أية افت ارضات حول المتغي ارت المستقلة أو توزيع البواقي كما هو الحال في النماذج متعددة المتغي ارت التقليدية كالنموذج الخطي المتعدد Multple Lnear Regresson وتحليل التمايز Dscrmnant Analyss والتي تضع.[11] عددا كبي ار من النرضيات المتعلقة بالبواقي والمتغي ارت المستقلة وعالقتها بالمتغير التابع ولكن طريقة التقدير المتاحة منذ وضعت عام 1973 حتى اآلن هي طريقة التقدير نصف الوسيطية والتي تحرم الباحث من تطبيقات هامة للنموذجن كالتنبؤ و التحكم بالمخاطر. فضال عن ظهور نتائج قد ال تمثل البيانات. وبالتالي فإن تمكنا مقد ارت من تطوير النموذج سيساهم في د ارسة البيانات المرتقبة من اليمين من خالل: الحصاااااااااااول على نموذج أكثر تمثيال للبيانات اعتمادا على مقد ارت المعقولية العظمى مقارنة مع المقد ارت -1 التقليدية غير الوساااااايطية وهي مقد ارت المعقولية الجزئيةن وبالتالي تمنس الباحثين ثقة أكبر في النتائج التي يحصلون عليها من النموذجن خصوصا مع استخدام تقنيات تقييم النماذج واختبا ارت جودة التوافق.
8 الحصاااااااااااول على كامل النموذج يمكن الباحثين من اساااااااااااتخدام في التنبؤ بزمن وقوع الحدث اقت ارب )إنذار -2 بالخطر(. الحصااااول على كامل النموذج يمكن الباحثين من اسااااتخدام النموذج في التحكم بالمخاطر وجعلها أصااااغر -3 ما يمكن. الفصل األول تقدير دالة المخاطر Chapter 1: Estmatng the Hazard Functon نهتم في هذا النصل بد ارسة تقدير دالة المخاطر األساسية (t) h 0 والتي تشكل الحد األول من نموذج كوكس والمرتبطة بالزمن فقطن والتي يشكل تقديرها الخطوة األولى والتي ال ب د منها للوصول إلى مقد ارت المعقولية العظمى التامة لنموذج كوكس. تدرس هذا الدالة تغي ر مخاطر وقوع الحدث مع تغي ر الزمن. ومن الناحية الرياضيةن تدرس هذا الدالة سلوك متغي ر الزمن العشوائي T والذي يجب لذلك أن يكون متغي ار عشوائيا غير سالب. وبالتالي فإن أي نموذج [0, ) احتمالي معرف على المجال غير السالب يمكن أن يكون ممثال لشكل دالة المخاطر األساسية. نعرض في المبحث األول أربعة نماذج احتمالية غير سالبة تشمل أشكاال مختلنة لتغير المخاطر مع الزمنن والتي تمثل األشكال الوسيطية المتوقعة لدالة المخاطر األساسيةن ودرسنا في المبحث الثاني تقدير هذا النماذج الوسيطية األربعة مع بيانات مرتقبة من اليمينن إضافة إلى تقدير دالة المخاطر المشاهدة للعينة والممثلة للتقدير الالوسيطي لدالة المخاطر األساسية. وفي المبحث الثالث تم باستخدام اختبا ارت جودة التوافق. اختبار توافق دالتي المخاطر الوسيطية والمشاهدة
9 المبحث األول: نماذج المخاطرة الوسيطية سنستعرض في هذا المبحث أربعة نماذج احتمالية معر فة على المجال غير السالب (,0] وتستخدم في تحليل المخاطر. تميزت هذا النماذج األربعة التي اخترناها في كونها تغطي ما أمكن من أشكال دالة المخاطر ما بين ثابت ومت ازيد ومتناقص كما سنبين الحقا. الدوال 7.7 التي تصف زمن الحياة: سننترض على مدى هذا العمل أن T متغي ر عشوائي مستمر غير سالب يمثل زمن االنتظار )زمن الحياة( منذ لحظة زمنية م ارقبة العنصر حتى وقوع الحدث المدروس. دالة 7.7.7 التوزيع االحتمالية ودالة الحياة: يمكن أن يوصف المتغير العشوائي T غير السالب بدالة التوزيع االحتمالية التي تعرف بالشكل: F(t) = P(T < t), t 0 (1.1) تعطي هذا الدالة احتمال أال يتجاوز زمن حياة عنصر ما من المجتمع الزمن tن أو احتمال أن يموت العنصر في النترة الزمنية (t,0]. وحيث ما وردت عبارة "دالة التوزيع" في هذا البحثن فإننا نقصد بت "دالة التوزيع االحتمالية". ويمكن أيضا وصف زمن الحياة T بدالة الحياة التي تعرف بالشكل: S(t) = P{T t} = 1 - F(t); t 0 (2.1) وتعطي هذا الدالة احتمال أن يتجاوز زمن حياة عنصر ما من المجتمع اللحظة الزمنية tن أو احتمال أن ال يموت.[0,t] العنصر في النترة الزمنية الزمني وبما نستعمل دالة الكثافة لوصف زمن الحياة أيضا والتي هي مشتق دالة التوزيع: f ( t ) F( t ) S ( t )...(3.1) أننا فرضنا أن T متغي ر عشوائي مستمر غير سالب فإننا نستطيع أن نكتب: t F ( t ) f ( u ). du...(4.1) 0 S ( t ) f ( u ). du...(5.1) t وجرت العادة باستخدام دالة الحياة في تحليل الحياة على الرغم من أن دالة الت وزيع هي األكثر شيوعا في مجاالت أخرى في اإلحصاء.[12] يالحظ بأن دالة الحياة لها الخواص اآلتية [13]:
10 > 0 t ن أي إن: S ( t ) S ( t ), 0... (6.1) دالة غير مت ازيدة من أجل كل F(t) S(t) = 1- ومنت نحصل على: d S () t f ( t ) 0, t 0... (7.1) dt والتي تنتج من كون : فإن جميع العناصر المدروسة هي على قيد الحياةن ويعبر عن ذلك بالعالقة: S (0) 1... (8.1) في لحظة الصنرن عندما يتناهى الزمن إلى الالنهايةن فإن كل العناصر سوف تموت )يتحقق الحدث المدروس(: lm St ( ) 0... (9.1) t 2.7.7 المخاطرة دالة :Hazard Functon t مع العلم تعرف دالة h(t) المخاطرة على أنها االحتمال بأن يموت الشرطي عنصر ما في اللحظة الزمنية أن :[14] هذا العنصر ما ازل على قيد الحياة حتى هذا اللحظة الزمنية t ن وتعطى بالصيغة P ( t T t t T t ) ht ( ) lm t 0 t P ( t T t t, T t ) f ( t ) lm...(10.1) t 0 P ( T t ). t S ( t ) وباعتبار أن -f(t) هو مشتق S(t) )الخاصة 7.1( فإننا نستطيع كتابة دالة المخاطر بالشكل: d h( t ) ln S ( t ) dt بمكاملة الطرفين على النترة الزمنية [t,0] نجد: t 0 h( u ) du ln S ( t ) t h ( u ). du 0 S ( t ) e... (11.1) نسمي المقدار: t H ( t ) h( u ). du... (12.1) 0
11 بدالة المخاطر المتصاااااااااااااعدة Cumulatveن Hazard Functon وهي تمثل مجموعة المخاطر التي يواجهها.t 5 عنصر ما من المجتمع المدروس من اللحظة الزمنية وحتى اللحظة )9.1( 9.7.7 متوسط زمن الحياة :Expected Lfetme باإلشارة با لمتوسط زمن الحياة )أو القيمة المتوقعة لا T( فإن المتوسط يعر ف بالشكل: )8.1( E ( T ) t. f ( t ). dt 0 S(t) وباالستنادة من كون -f(t) إج ارء هذا التكامل لنحصل على: هو مشتق وباالستنادة من خواص دالة الحياة فإنت يمكننا و t 0 E ( T ) S ( t ). dt...(13.1) 0 لننرض اآلن أن عنص ار ما بقي على قيد الحياة حتى اللحظة الزمنية المتوقع لت أي بمعنى آخر ما هي قيمة التوقع: ن فما هو زمن الحياة المتبقي E T t T t 0 0 أي لنوجد صيغة التكامل اآلتي: E T t T t t d P T t t T t t d P T t t T t 0 0 0 0 0 0 0 0 إن دالة التوزيع لزمن الحياة المتبقي تع ين من خالل العالقة اآلتية: P t 0 T t 0 t F ( t 0 t ) F ( t 0) P T t 0 t T t 0 P T t S ( t ) 0 0 d F ( t 0 t ) F ( t 0) f ( t 0 t ) dt S ( t ) S ( t ) 0 0 0 0 0 St ( 0) 0 ومنت دالة الكثافة لزمن الحياة المتبقي تكون: وعليت فإن زمن الحياة المتبقي المتوقع يكون: 1 E T t T t t f ( t t ) dt...(14.1) بعض نماذج الحياة الوسيطية الشائعة: t [0, ) 2.7.7 إن أي توزيع معرف على النترة الزمنية : يمكن أن يخدمنا كتوزيع لزمن الحياةن كما يمكننا االستنادة t e y وذلك بوضع أيضا والذي يكافئ من بعض التوزيعات المعر فة على النترة الزمنية ) y ),. y lnt
12 y (, ) الزمنيااة ( tن,0] الجاادول فااإن المتغير على سبيل المثال بنرض أن Y متغي ر عشوائي طبيعي معرف على النترة الزمنية T يخضاااااااااااااع للتوزيع الطبيعي اللوغاااريتمي المعرف على النترة جدول )7.7(: بعض نماذج الحياة e اآلتي يتضمن أهم توزيعات الحياة وأشهرها [13]: Y دالة الحياة الوسطاء 0 R, 0 0, 0 0, 0 0, R e t lnt 1 1 ( t / ) e e ( t ) 1 e t 1 التوزيع االحتمالي األسي الطبيعي اللوغاريتمي المنطقي اللوغاريتمي وايبل كومبيرتز سنهتم في النق ارت الالحقة بتوزيعات الحياة: األس ي والمنطقي اللوغاريتمي وكومبيرتز وتوزيع وايبلن باعتبارهم إحدى أهم التوزيعات االحتمالية وأشهرها الممثلة لزمن الحياة. إضافة إلى تنوع اتجاهات دوال المخاطرة بين النماذج ما بين ثابت بالنسبة لألس ين ومتناقص بالنسبة للمنطقي اللوغارتمين ومت ازيد بالنسبة لكومبيرتزن ومتنوع االتجاهات )وفقا لقيم الوسطاء( بالنسبة لوايبل. 2.7 األس ي التوزيع :Exponental Dstrbuton التوزيع األساااااااااااااي هو من أبساااااااااااااط التوزيعاات الممثلاة ألعمار الحياةن ولت معامل واحدن لكن لت تطبيقات عديدة كما سنرى. 7.2.7 دالة التوزيع والكثافة: t e, t 0 f() t 0, t 0 [12]: دالة الكثافة االحتمالية (15.1a) علما أن: > 0 λ هو معامل التوزيع األسي. t 1 e, t 0 Ft () 0, t 0 (15.1b) دالة التوزيع االحتمالية: الشكل اآلتي يبين دالة الكثافة لألس ي بقيم مختلنة للوسيط:
f(t) 13 الشكل )7.7(: دالة الكثافة لألس ي بقيم مختلنة للوسيط 0.3 دالة الكثافة للتوزيع األسي 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0.25 0.1 0 0 5 10 15 20 25 30 t 0 العزوم للتوزيع األس ي : Moments r r t r r! ET t e. dt ET, r 1,2,...... (16.1) r مقاييس النزعة المركزية [12]: 2.2.7 9.2.7 :Expectaton التوقع ln(2) ET 1 بتعويض = 1 r في العالقة (16.1( نجد أن التوقع: Ft () 1 2 الوسط :Medan نحصل على وسط التوزيع بحل المعادلة: لنجد أن الوسط يساوي 2.2.7 مقاييس التشتت: V ( T ) E ( T ET ) 2 E ( T ET ) sk 3 V ( T ) 3 2 1 2 التباينVarance : الاللتواء :Skewness
14 أي أن التوزيع غير متناظر بالنسبة إلى المتوسط وهو ملتو نحو اليمين. :Exponental Survval Functon المخاطرة دالة الخاضعة األس ي للتوزيع 0.2.7 تعطى دالة الحياة للتوزيع األس ي بالشكل: t S ( t ) e, t 0 17.1 [0,t] أي إن e t تمثل احتمال أن يبقى أي في المجتمع عنصااار على قيد الحياة طوال النترة الزمنية على األقل. دالة المخاطرة الخاضعة للتوزيع األسي: بالعودة إلى العالقة )15.1( نجد: ht ( ), 18.1 أي أن دالة المخاطرة للتوزيع األساااااااااااااي ثابتة من أجل كل tن 0 ويمثل λ هنا معدل وقوع الحدث في كل لحظة زمنية. ولذلك من البديهي أن نتوقع عدم موافقة التوزيع األسااااااااي للحاالت التي يكون فيها معدل المخاطر متغي ار مع الزمنن مثل تعطل اآللة التي يزداد احتمال تعطلها مع الزمن. لكن في بعض الحاالت يمكن أن يكون مع دل الموت فيها ثابتان على ساااااااااابيل المثال معدل الموت )الكساااااااااار( لألواني الزجاجية يعتبر ثابتان ألن مع دل ا نظر موت اآلنية )كسرها( ثابتن أي ال عالقة لت بمرور الزمن. وهذا ماينسر كون التوزيع األس ي عديم الذاكرة والتي يعبر عنها بالعالقة: P T s t T s P T t ; s, t 0 ويبرهن أن أي حاادث معاادل وقوعاات ثاااباات مع الزمن فااإن الزمن المنتظر حتى وقوع الحاادث للمرة األولى يخضع للتوزيع [14]. أيضا األس ي المخطط البياني اآلتي لدالة الحياة بقيمتين مختلنتين للوسيط:
h(t) S(t) 15 بقيمتين األسية الحياة مختلنتين للوسيط الشكل )2.7(: دالة منحني دالة الحياة للتوزيع األسي 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.25 0.1 0 0 5 10 15 20 25 30 t يتضاس من المخطط أن المسااحة تحت المنحني S(t) تزداد مع انحناض قيمة الوسيط λ وذلك ما ينسر أن λ يمثل معدل الموت. والمخطط اآلتي لدالة بقيمتين األس ي للتوزيع الموت مختلنتين للوسيط: الشكل )9.7(: دالة الموت للتوزيع األس ي بقيمتين مختلفتين للوسيط دالة الموت للتوزيع األسي 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0.25 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t
16 :Log-Logstc التوزيع المنطقي اللوغاريتمي 9.7 المنطقي التوزيع اللوغاريتمي هو توزيع احتمالي لمتغير عشوائي غير سالب يستعمل في تحليل الحياة كنموذج وسيطي ألزمنة األحداث التي يرتنع معدل وقوعها في البداية ثم ينخنض المعد ل الحقان على سبيل المثال: زمن الموت من السرطان بعد تطبيق المعالجة. يستعمل أيضا هذا التوزيع في د ارسة تدفق المياا مثل النيضانات وانهيار السدود ن ولت استعماالت عديدة في االقتصادن منها توزيع دخل النرد [15]. 7.9.7 دالة الكثافة ودالة التوزيع [15]: t 1 تعطى دالة الكثافة بالشكل: f ( t ), t 0, 0, 0... (19.1) 2 1 t تقارن األشكال البيانية اآلتية دالة الكثافة من أجل قيم مختلنة للوسطاء, α للوسيط مختلنة قيم أجل من الكثافة لدالة البيانية الشكل )2.7(: األشكال alpha=3, Beta=2 alpha=1, Beta=2 f(t) 0.00 0.06 0.12 f(t) 0.0 0.4 0.8 1.2 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 alpha=15, t Beta=2 alpha=5, t Beta=2 f(t) 0.000 0.003 f(t) 0.00 0.02 0.04 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 t t
17 نالحظ أنت بتثبيت قيمة الوسايط 2 وتغيير قيمة الوساايط فإن شاكل تابع الكثافة يحافظ على ننسااتن لكن تتغير مقاييس المحور العمودي ن لذلك يسمى الوسيط المقياس. معامل 5.1( ن اآلن بتثبيت قيمة الوساااااايط وتغيير قيمة الوساااااايط تغي ر نالحظ شااااااكل دالة الكثافة )الشااااااكل لذلك يسمى الوسيط الشكل. معامل الشكل )0.7(: األشكال البيانية لدالة الكثافة من أجل قيم مختلنة للوسيط β alpha=2, Beta=5 alpha=2, Beta=2 0 5 15 25 0 5 10 15 20 25 t alpha=2, Beta=11 0.00 0.15 0.30 0 5 10 15 20 25 alpha=2, Beta=10 f(t) 0.0e+00 2.5e+07 f(t) 0 1500000 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 t دالة التوزيع: t F ( t ), t 0, 0, 0... (20.1) t 2.9.7 دالة الحياة ودالة المخاطرة [15]: 1 S ( t ) 1 ( t / ), t 0, 0, 0... (21.1) دالة الحياة: المخاطرة: دالة
18 1 t ht ( ), 1 t t 0, 0, 0... (22.1) يوضس الشكل )6.1( مختلنة قيم أجل من المخاطرة دالة شكل للوسطاء: الشكل )6.7(: األشكال البيانية لدالة المخاطرة من أجل قيم مختلنة للوسطاء alpha=1, Beta=2 alpha=1, Beta=1 h(t) 0.0 1.0 2.0 h(t) 0.0 0.4 0.8 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 t t alpha=1, Beta=10 alpha=1, Beta=5 h(t) 0e+00 4e+09 0 5 10 15 20 25 h(t) 0 500 1500 0 5 10 15 20 25 أن دالة يتضس المخاطر للتوزيع المنطقي اللوغاريتمي ترتنع ارتناعا كبي ار في البداية ثم تنخنض تدريجيا t مع مرور الزمن. 2.9.7 بعض الصفات العددية للتوزيع [16]: التوقع: b b ; E T, 0, 1 sn( b)... (23.1) الوسط: التباين:
19 2b sn 2b b sn 2 2 ( ), 0, 2 2 V T b... (24.1) 2.7 توزيع كومبيرتز :Gompertz Model يعتبر هذا النموذج إحدى النماذج شائعة االستخدام في تحليل الحياة نظ ار للمرونة التي يتمتع بها التوزيعن حيث يمكن أن تأخذ دالة الكثافة أشكاال مختلنة وفقا الختالف قيم الوسطاء. يوافق هذا النموذج العديد من الظواهر.[17] الحيويةن كما وجد أنت يوافق زمن االحتناظ بالزبائن 7.2.7 دالتا الكثافة والتوزيع [18]: f(t) = ab e bt e a e aebt, t 0, a > 0, b > 0 (25.1) تعطى دالة الكثافة االحتمالية بالشكل: b ويسمى الوسيط a بوسيط الشكلن أما فيسمى بوسيط المقياس. F(t) = 1 e aebt, t > 0 (26.1) أما دالة التوزيع فلها الشكل اآلتي: يوضس الشكل )7.1( شكل دالة الكثافة لتوزيع كومبيرتز من أجل قيم مختلنة للوسطاء: الشكل )0.7(: األشكال البيانية لدالة الكثافة من أجل قيم مختلنة للوسطاء 1.5 f(t) 0.6 f(t) 1 0.4 0.5 0.2 0 0 2 4 6 0 0 2 4 6 a = 1.5, b = 0.7 ب a = 1.5, b = 0.3 أ
20 f(t) f(t) 1.5 0.6 a 1 1 0.5 0-0.5 0 2 4 6 a = 1.2, b = 1 د a = 0.2, b = 1 ج من المالحظ أن دالة الكثافة هي دالة متناقصة دائمة عندما > 1 a )الشكل 1.7 أ و ب(ن بينما عندما 0.4 0.2 0 0 2 4 6 فإن دالة الكثافة تت ازيد حتى ذروتها ثم تعود للتناقص )كما في الشكل 7.1 -ج( 2.2.7 الخواص العددية للتوزيع [18]: يعطى التوقع الرياضي بالشكل: التوزيع لهذا E(T) = 1 b ea E( a) (28.1) E(z) = e u du u z علما أن: والتباين: V(T) = ( 1 b )2 e a { 2a 3 F 3 (1,1,1; 2,2,2, ; a) + γ 2 + ( π2 ) + 2γ ln(a) + 6 [ln(a)]2 e a [E( a)] 2 } (29.1) γ = ψ(1) = 0.5777215 3F3 (1,1,1; 2,2,2, ; z) = [ 1 k=0 (k + 1) 3] ( 1) k ( zk k! ) medan = ( 1 ) ln [( 1) ln(0.5) + 1] (30.1) b a علما أن γ و كذلك: هو ثابت أولر: أما الوسط فيأخذ القيمة: دالتا الحياة 9.2.7 والمخاطرة: تعطى دالة الحياة لتوزيع كومبيرتز بالشكل:
21 S(t) = e aebt, t > 0 (31.1) h(t) = ab e bt e a, t > 0 (31.1) أما دالة المخاطرة فلها الشكل اآلتي: يوضس الشكل 5.1 اآلتي التمثيل البياني لدالة المخاطرة من أجل قيم مختلنة للوسطاء : الشكل )8.7(: التمثيل البياني لدالة المخاطرة من أجل قيم مختلنة للوسطاء h(t) 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 a = 1, b = 0.5 ب a سيؤدي إلى ارتناع المخاطر بمعدل أعلى مع مرور الزمن. 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 a = 0.5, b = 0.5 أ من الواضس أن ارتناع قيمة الوسيط 0.7 توزيع وايبل :Webull Model يتميز هذا التوزيع عن التوزيعات السابقة في أن دالة المخاطر تختلف ما بين مت ازيدة ومتناقصة وثابتة وفقا الختالف قيم الوسطاء. 7.0.7 دالتا الكثافة والتوزيع [13]: تأخذ دالة كثافتت الشكل اآلتي: f(t) = k λ (t λ )k 1 e (t λ )k, t > 0 (32.1) k يسمى الوسيط λ بوسيط المقياسن أما الوسيط فيسمى بوسيط الشكل. F(t) = 1 e (t λ )k, t > 0 (33.1) أما دالة التوزيع فتأخذ الشكل اآلتي: يوضس الشكل )9.1( اآلتي التمثيل البياني لدالة الكثافة من أجل قيم مختلنة للوسطاء:
22 الشكل )9.7(: التمثيل البياني لدالة الكثافة من أجل قيم مختلنة للوسطاء k = 1, λ = 1 k = 0.5, λ = 1 k = 1.5, λ = 1 نالحظ أن ارتناع قيمة الوسيط k يزيد من مساحة منحني دالة الكثافة. 2.0.7 الصفات العددية للتوزيع [13]: تعطى عموما العزوم االبتدائية من المرتبة s بالشكل: E(T s ) = λ s Γ (1 + s k ) (34.1) أما التوقع فهو: E(T) = λ Γ (1 + 1 k ) (35.1) ويعطى التباين بالصيغة: V(T) = λ 2 [Γ (1 + 2 ) k Γ2 (1 + 1 )] (36.1) k 9.0.7 دالتا الحياة والمخاطرة: تعطى دالة الحياة بالشكل اآلتي: S(t) = e (t λ )k, t > 0 (37.1)
23 أما دالة المخاطرة فلها الشكل: h(t) = k λ (t λ )k 1, t > 0 (38.1) من المالحظ أن تغي ارت دالة المخاطرة تتعلق بقيمة الشكل: معامل عندما < 1 k تكون دالة المخاطر متناقصة مع الزمن عندما = 1 k تكون دالة المخاطر ثابتة مع الزمن عندما > 1 k تكون دالة المخاطر مت ازيدة مع الزمن )15.1( ويوضس ذلك االختالف الشكل اآلتي والذي يبين أشكال لدالة المخاطرة من أجل قيم مختلنة للوسطاء: الشكل )75.7(: أشكال لدالة المخاطرة من أجل قيم مختلنة للوسطاء k = 1, λ = 1 k = 0.5, λ = 1 k = 1.5, λ = 1 2.0.7 االستخدامات الشائعة للتوزيع [19]: في الهندسة الصناعية لتمثيل أزمنة التصنيع وأزمنة التسليم في تنب ؤات الطقس كتوزع سرعات الرياح في نمذجة مبالغ التأمين التي تدفعها شركات التأمين للمؤماانين
24 المبحث الثاني: البيانات المرتقبة Censored Data تعتبر البيانات االعتيادية المكتملة حالة خاصة من البيانات المرتقبةن حيث أن البيانات المرتقبة تتضمن بيانات معلومة جزئيا وبيانات مكتملة. وظهور هذا النوع الخاص من البيانات يتطلب أيضا طرقا خاصة في التحليل. 7.2 طبيعة بيانات الحياة: مفهوم 7.7.2 زمن الحياة: من المنطقي أن ننكر بزمن الحياة على أنت طول فترة العمر حتى الموتن لكن ما سنناقشت في تحليل الحياة هو الزمن المنتظر حتى وقوع حدث ما محددن باإلضافة إلى الموتن هذا الحدث من الممكن أن يكون ظاهرة قيد االهتمام في تحليل الحياةن [20]: على سبيل المثال نكس المريض )عودة المرض إليت( منذ إج ارء العمل الج ارحي. الموت لسبب خاص منذ لحظة الوالدة. العودة إلى التدخين منذ اإلقالع عنت. ارتكاب جريمة لشخص موضوع تحت الم ارقبة منذ خروجت من السجن. إلغاء العميل لخدمة ما كان يستعملها )خدمة ما في الهاتف المحمول مثال( منذ اشت اركت. وصول سيارة اإلسعاف ( أو اإلطناء( إلى المصاب ( أو مكان اشتعال الحريق(. في األمثلة الخمسة األولى طول الزمن المنتظر حتى وقوع الحدث أفضلن في حين أنت في األخير نجد أن االنتطار. فترة قصر هو المنضل وطرق تحليل الحياة يمكن أن تطبق على أي من هذا األمثلة. وللتسهيلن سنشير دائما باصطالح "الموت" إلى الحدث المنتظر وقوعتن و با "زمن الحياة" إلى الزمن المستغرق حتى وقوع الحدث المنتظرن وتعبير "العنصر ما ازل على قيد الحياة" يعني أن العنصر لم يتعرض بعد للحدث المدروس. مالذي يجعل د ارسة مثل هذا النوع من البيانات ممي أز ألسباب عديدة يعتبر تحليل مثل هذا النوع من البيانات معق دا وممي ازن ذلك أنت كثي ار ما تعترضنا إحدى األمور اآلتية في التجارب: الحدث قيد الد ارسة هو الموتن لكن في زمن إج ارء التحليلن هناك عدد من العناصر المدروسة ما ازلت على قيد الحياة. انقطع المريض عن م ارجعة المستشنى بعد إج ارء العملية لت.
25 وقوع حدث عارض ما يحول دون معرفة زمن وقوع الحدث المدروس. على سبيل المثال في د ارسة صممت لمقارنة معالجتين على مرضى سرطان البروستاتن الحدث قيد الد ارسة هو الموت بسبب سرطان البروستات. قد يموت المريض بسبب غير مرتبط بالسرطانن كأن تحدث الوفاة بسبب حادث سيارة. إخ ارج بعض العناصر من الد ارسةن ألسباب خاصة تتعلق بهمن أو ألسباب تتعلق بشكل تصميم الد ارسة. في هذا الحالة كل ما نستطيع تسجيلت من المعلومات هو أن عددا من العناصر ما ازلت على قيد الحياة وأزمنة وقوع الحدث المدروس عليها ما ازلت مجهولةن إن مثل هذا النوع من البيانات غير المكتملة )والتي سنسميها مرتقبة( دفعنا إلى د ارسة "نظرية البيانات المرتقبة". وفيما يلي سنصطلس على أن: "فترة الد ارسة" هي النترة النظرية التي يحددها الباحث لمتابعة العناصر المدروسةن و"فترة المتابعة" هي النترة التي يبقى فيها العنصر م ارقبة تحت الباحثن والتي من الممكن أن تكون أصغر من فترة الد ارسة إذا انقطع عن المتابعة )على سبيل المثال توقف المريض عن م ارجعة المستشنىن أو أخرجهم الباحث من الد ارسة ألسبابت الخاصة(. أنواع 2.7.2 البيانات المرتقبة [20]: نساااجل لت زمن الموت إذا كان لدينا n عنصاا ارن نريد د ارسااة زمن الحياة لهمن عندما يحدث "الموت" للعنصااار رقم t. إذا بقينا منتظرين حتى يقع الحدث المدروس على كل العناصااار المدروساااةن فإننا نحصااال, =1, 2,, n في النهاية على أزمنة موت للجميع )بيانات مكتملة(:.t1, t 2,..., t n t e لننرض أن زمن االنتظار مثبت ومحدد مسبقا ن ولن ارقب أ يا t ن e من العناصر ستموت قبل مرور الزمن وأيها ستبقى على قيد الحياة بعدان إن مثل هذا النوع من البيانات يسمى بالبيانات المرتقبة من النوع األول. البيانات المرتقبة من النوع األول :Type I Censored Data لننرض أننا خالل فترة الد ارسة (0, t e ] قد الحظنا وقوع r قد حدث لت ا عنصر r الموت خالل فترة الد ارسة وأزمنة الموت الموافقة لها: حالة موت ( مع ) r = 0, 1,, n ن أي أن هناك, t1 ن t و هناك 2,..., t r n r ا عنصر ما ازلوا على قيد الحياة حتى انتهاء فترة الد ارسةن أي إن أزمنة موتها ما ازلت مجهولة. (0, t e ] نالحظ هنا أن طول فترة الد ارسة مثبت ومحدد مسبقا ن أي إن فترة الد ارسة هي النترة الزمنية: كما t e نالحظ أن r عشوائين نسمي هذا النوع من البيانات بالبيانات المرتقبة من النوع األول. وندعو البيانات التي ما ازلت على قيد الحياة حتى انتهاء فترة الد ارسة بأنها بيانات مرتقبة يمينيا Rghtن Censored Data وذلك ألن زمن االرتقاب لها مثبت وهو زمن انتهاء الد ارسةن وأزمنة موتهم المنتظر تقع على يمين الزمن t e ما ازل لكنت t e مجهوال.
26 وألساااااااااباب خاصاااااااااة فإن بعض العناصااااااااار تنقطع عن المتابعة خالل فترة الد ارساااااااااة المحددةن لذا فإن زمن ارتقابهم يبدأ من زمن عشااوائي وهو زمن انقطاعهم عن المتابعةن إن مثل هذا النوع من البيانات تساام ى مرتقبة من ولكن أسااااالوب تحليلها ال يختلف عن البيانات المرتقبة. اليمين عشووووائيا Rght Random Censored Data من اليمين. البيانات المرتقبة من النوع الثاني :Type II Censored Data لتكن أزمنة المرتقبة ا عنصر الموت المسجلة: r ن حيث t1, t2,..., t r تنتهي فترة الد ارسة في اللحظة الزمنية بالتحديد من البياناتن وهناك t e t r قيمة مثبتة ومحددة مسبقا. في النوع الثاني من البيانات أي تنتهي الد ارسة عندما يقع الحدث المدروس على r ا عنصر n - r في نهاية الد ارسة ما ازلت على قيد الحياة. ويكون في هذا الحالة زمن انتهاء التجربة عشوائيا. ونظ ار لكون البيانات المرتقبة يمينيا األكثر ظهو ار في التجارب العلميةن سنولي هذا النوع اهتماما خاصا في د ارستنا. التقدير الوسيطي في حالة البيانات المرتقبة يمينيا: 2.2 ساانعتمد في أساالوب التقدير على المعقولية العظمى. يتشااابت مبدأ التقدير في حالة كون البيانات مكتملة أو مرتقبةن لكن الذي يختلف عند وجود البيانات المرتقبة هو شااااااااكل دالة المعقولية الي تضاااااااااف إليت حدود خاصااااااااة بالبيانات المرتقبة مضااااروبة بحدود البيانات المكتملة. األمر الذي عادة ما يشااااكل صااااعوبة في اشااااتقاق دالة المعقولية جزئيا ومن ثم حساب قيم الوسطاء التي تجعل دالة المعقولية أكبر ما يمكن. سااندرس الحقا معامالت تقدير نماذج المخاطرة األربعة التي عرضاااناها سااابقا منترضاااين أن البيانات تتضااامن بيانات مرتقبة من اليمين. األس ي التوزيع معامل تقدير بناء على بيانات مرتقبة يمينية: 7.2.2 لنقم بتقدير األس ي التوزيع معامل اعتمادا على عينة حجمها nن و بافت ارض أن العينة تحوي بيانات من األنواع: بيانات مكتملة )عددها n C ) نرمز لهذا المجموعة با C -1 2- بيانات مرتقبة يمينيا ن نرمز لها با R ساااااااانقوم بتقدير معامل التوزيع باسااااااااتخدام دالة المعقوليةن لذا في البدء البد من تعريف الدالة المشاااااااااتركة لهذا العينة [21]:
27 الادالاة المشاااااااااااااتركاة لمجموعاة البيااناات المكتملاة هي: ) t ن C f(t حياث f () t للتوزيع األس ي )العالقة 14.1( الدالة المشااااااتركة لمجموعة البيانات المرتقبة يمينيا هي: هي دالاة الكثافة ) t C(T > t ن حيث t هو الزمن الذي يقع على يمينت زمن موت العنصر المرتقب. -1-2 L f ( t ). P( T t ) t C t R وبناء عليت تكون الدالة المشتركة لهذا العينة: (39.1) L f ( t). S( t) tc tr وهي الدالة المشتركة لعينة تحوي بيانات مرتقبة يمينيان وهي تقابل بالنسبة للتوزيع األسي: t L e. e t C t R n. e. e t. t. C t C tr ln L n.ln t t C t C t R ln L nc t t (41.1) (40.1) بأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين: باشتقاق الطرفين جزئيا بالنسبة للوسيط λ نحصل على: (42.1) t C t R ˆ t ln L بحل المعادلة: 0 نحصل على المقد ر المطلوب: n C t t (43.1) tc tr وهو مقد ر المعقولية العظمى لوسيط التوزيع األس ي بناء على عينة تحتوي بيانات مرتقبة يمينيا. نالحظ أنت في حالة كون البيانات كلها مكتملة )n n( C = فإن المقد ر يصبس: ˆ n t t C 1 (44.1) T حيث T هو المتوسط الحسابي ألزمنة العينة.
28 تطبيق )7(: [22] Caplehorn سنستخدم هذا النتائج في د ارسة طبية أج ارها على مجموعة من مرضى اللوكيميان بحيث أنت قام بتجربة معالجة جديدة مختلنة عن المعالجة النموذجية المعتادةن و ارقب تأثير هذا المعالجة بعد الشناء على 1 الشكل اآلتي : 35 االنتكاس حدوث )الحدث قيد الد ارسة( ولمدة شه ار. فكانت البيانات تأخذ جدول )2.7(: بيانات التجربة Subj t Censor Sex WBC Rx 1 35 1 1 4.26 0 2 34 1 1 4.35 0 3 32 1 1 9.03 0 42 1 0 1 148.41 1 أن: علما متغي ر t: هو الزمن باألشهر 1 5 متغي ر الترقب المنطقين ويساوي عندما يكون االنتكاس قد وقعن ويساوي عندما :Censor هو ال ن ازل في حالة ترقب لهذا العنصر. متغي ر :Sex هو الجنس وتم االصطالح على القيمتين )كطريقة تشنير لهذا المتحول( بحيث يأخذ القيمة 1 إذا كان ذك ارن و 5 إذا كان أنثى. متغي ر :WBC هو عدد الكريات الدم البيضاء في وحدة الدم متغي ر نوع المعالجةن حيث تم ترميز المعالجة الجديدة با 5 ن والمعالجة النموذجية با 1. :Rx هو معامالت تقدير هو حاليا بت سنهتم ما بناء األس ي التوزيع على األزمنة المرتقبة من اليمين. بالعودة إلى المقدر (43.1( نجد أن: ˆ tc nc t tr t ˆ 0.0555 30 291 250 وبالتالي فإن دالة الحياة األسية الموافقة لهذا البيانات هي: ودالة المخاطرة هي قيمة ثابتة : 0.0555 t S(t) = e 1 بيانات الد ارسة الكاملة في الملحق
29 h(t) = 0.0555 وتدل دالة المخاطرة على أنت في كل شهر سيحدث النكس لا %5.55 من المجتمع المدروسن بمعنى أن هناك مريضا سيحدث لت النكس في كل شهر وذلك اعتمادا على النموذج األسي. 2.331 = 42 %5.55 معامالت تقدير التوزيع المنطقي اللوغاريتمي بناء على عينة تحوي بيانات مرتقبة من اليمين: 2.2.7 n معامالت سنقد ر التوزيع بافت ارض أنت لدينا عينة حجمها تحتوي بيانات مرتقبة يمينيا عددها بتعويض صيغ rن L f ( t ). S( t ) t C t R t t 1 1 t C t C n c ( 1) 1 2 t tr 1 t C t R tc n t 2 دالة الكثافة والحياة للتوزيع ستكون الدالة المشتركة:. 1 ( t / ). 1 ( t / ) t 1 1 (45.1) ln L n. ln ln ( 1) ln t ( n. n ).ln C C C tc 2 ln 1 ln 1 t C t R (46.1) نالحظ من خالل تعقيد دالة المعقولية أنت ال يمكننا الوصول إلى حل تحليلي لمقد ارت المعقولية العظمى للوسطاءن تضمن اإلصدار 2.5.5 من الحزمة اإلحصائية R إج ارء لحساب مقد ر المعقولية لكن بناء على عينة تحوي بيانات مكتملة فقط وذلك باستخدام خوارزمية [23] Nelder-Mead Smplex [24] حيث تعتبر هذا الخوارزمية األكثر استخداما في حل مسائل األمثلية للصيغ غير الخطية المعقولية لعينة تحوي بيانات مرتقبة [ 25 ]ن لكن يمكن االستنادة من هذا اإلج ارء بحساب مقد ر ) Censor t, )ن بحيث تشير الثنائية إلى أن الزمن يمينيا أيضان وذلك بتسجيل البيانات وادخالها بالشكل: هو زمن مرتقب يمينيا للعنصر رقم ن وتشير الثنائية ( t إلى, 0) t ( t, 1). t أن الزمن رقم للعنصر الموت هو زمن بناء عليتن يمكن إعادة كتابة دالة المعقولية )45.1( بالشكل:
30 L f ( t ). S ( t ) t C t R n 1 1 1Censor L f ( t ). S ( t ) n t t 1 t t 1 1 1Censor t t 1 Censor 1Censor 1 n ln L ln. 1 ( t / ) 1. 1 ( t / ) Censor Censor 1 n 1 Censor.ln Censor.ln 1 ( t / ) 1 بأخذ لوغاريتم الطرفين: (47.1) من أجل كتابة البرنامج الموافق سنعرف أوال في لغة البرمجة R دالة المعقولية )47.1( في تابع )Functon(, نسميت log_logstc.mlk يتم فيت إعادة قيمة دالة المعقولية من أجل قيم مدخلة للوسطاء في البداية سيتم كتابة األزمنة في مصنوفة نسميها t من الحجم العمود األول يمثل t ن والثاني n 2 يمثل Censor ن يتضمن البرنامج رقم )1( في الملحق )4( والذي قمنا قمنا بكتابتت ق ارءة المتحول tن ثم تعريف optm التابع log_logstc.mlk ن ثم اإلج ارء الذي يخرج لنا قيم الوسطاء المقدرة. تطبيق )2(: رقم )1( لنقم اآلن بتقدير معامالت التوزيع المنطقي اللوغاريتمي على بيانات التطبيق )1(. بتننيذ البرنامج نجد مخرجاتت: $par [1] 0.08836426 0.66343361 $value [1] 116.3679
31 $counts functon gradent 139 NA $convergence [1] 0 = 0.66343 β α ن = 0.08836, وبلغت بمعنى أن معامالت النموذج المقدرة هي: قيمة سالب لوغاريتم دالة المعقولية عند انتهاء التك ارر ) 116.3679 (ن وتطلب الحل )139( تك ار ارن وتشير القيمة )5( في الخرج: إلى أن الحل قد تقاربن أي لم يعد يتجاوز النرق بين آخر الخطأ المسموح للحل تك اررين $convergence بت )وهو 8 10 1( والتي تمثل مستوى الدقة االفت ارضية لإلج ارء optmن ويمكن تعديلها وفقا للحالة المدروسة. لوغاريتم لتمثيل دالة المعقولية للتوزيع المنطقي اللوغاريتمي بيانيا نكتب: a<-seq(0.01,10,length=30) b<-a ML<-matrx(0,30,30) for( n 1:30) for(j n 1:30) ML[,j]<-log_logstc.mlk 2 (c(a[],b[j])) persp(a, b, ML, xlab="alpha", ylab="beta", zlab=" Lkelhood Functon", man="3d Graph for Log-logstc Log-Lkelhood", theta=-45, ph=45, col="yellow", tcktype ="detaled") يوضس الشكل اآلتي التمثيل اللبياني للوغاريتم دالة المعقولية للتوزيع المنطقي اللوغاريتمي: الشكل )77.7(: التمثيل البياني ثالثي األبعاد للوغاريتم دالة المعقولية للتوزيع المنطقي اللوغاريتمي 2 القيمة المعادة لهذا التابع هي (s) return
h(t) 32 0.66343 t S(t) = [1 + ( 0.08836 ) وبالتالي فإن دالة الحياة المقدرة هي: 1 ] وبالتعويض في دالة المخاطرة للتوزيع )العالقة 22.1( نجد: h(t) = (0.66343 0.08836 ) ( t )0.66343 1 0.08836 t 1 + ( )0.66343, t > 0 0.08836 والشكل اآلتي يوضس التمثيل البياني المخاطرة: لدالة الشكل )72.7(: التمثيل البياني لدالة المخاطرة للتوزيع المنطقي اللوغاريتمي Hazard Funcotn Graph for Log-logstcs 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 25 t
33 يتضاس من الشاكل أن خطر االنتكاس أول في مرتنعا جدا يكون خمساة أشهرن ثم يبقى مستق ار مع انخناض معد ل بسيط بعد مرور اشهر. عشرة معامالت تقدير توزيع كومبيرتز للبيانات المرتقبة اليمينية: 9.2.7 سنقدر أيضا معامالت هذا التوزيع بافت ارض أنت لدينا عينة حجمها n تحتوي بيانات مرتقبة يمينيا عددها rن بالعودة إلى العالقة (25.1( و) 31.1 ( ستكون الدالة المشتركة: L = f(t ) S(t ) (48.1) t C t R L = ab e bt e a e aebt e aebt (49.1) t C t R من الواضس هنا أيضا عدم إمكانية الوصول إلى حل تام لمقد ارت المعقولية العظمىن لذلك سنعتمد أيضا طريقة R المتبعة في اإلج ارء Optm في لغة البرمجة اإلحصائية والتي تنترض أن البيانات كلها Nelder Mead مكتملة. لذا سنعيد تعريف دالة المعقولية (48.1( بالشكل: n n L = [f(t )] 1 censor [S(t )] censor (50.1) =1 =1 1 علما أن: censor يأخذ القيمة عندما يكون العنصر المدروس لم يقع لت الحدث المدروس بعد )مرتقب يمينيا(ن أو القيمة 5 عندما يكون قد وقع لت الحدث المدروس. عندها تصبس دالة المعقولية )49.1( بالشكل اآلتي: بأخذ لوغاريتم الطرفين: n L = (ab e bt e a e aebt ) 1 censor e censor ae bt =1 n n ln L = (1 censor )[ln(ab) + bt + a ae bt ] censor ae bt (51.1) =1 =1 وهي دالة المعقولية العظمى لتوزيع كومبيرتز التي سنستخدمها في البرنامج. تطبيق )3(: سنقدر معامالت توزيع كومبيرتز وبننس الطريقة على بيانات التطبيق )1(. بتننيذ البرنامج رقم )2( نجد مخرجاتت: $par
34 [1] 0.1022375 0.1022397 $value [1] 130.2144 $counts functon gradent 143 NA $convergence [1] 0 â = 0.10224, b = 0.10224 تشااااااااااااير النتائج إلى أن مقد ارت معامالت التوزيع هي: وبلغت قيمة سااااااااااااالب 143 135.2144 لوغاريتم دالة المعقولية: عند هذا المقد ارتن وتطلب الوصااااااول إلى الحل تك ار ارن وتشااااااير القيمة 5 في )convergence$( إلى أن الحل متقارب. لوغاريتم ولرسم دالة المعقولية بيانيا نكتب: a<-seq(0.001,0.5,length=30) b<-a ML<-matrx(0,30,30) for( n 1:30) for(j n 1:30) ML[,j]<- gompertz.mlk3(c(a[],b[j])) persp(a, b, ML, xlab="a", ylab="b", zlab="l", man="3d Graph for Gompertz Log-Lkelhood", theta=185, ph=45, col="yellow", tcktype ="detaled") جعلنا القيمة المعادة للتابع: (s) return 3
h(t) 35 الشكل )79.7(: التمثيل البياني ثالثي األبعاد للوغاريتم دالة المعقولية لتوزيع كومبيرتز S(t) = e 0.10224e0.10224t وبالتالي فإن دالة الحياة المقدرة هي: وبالتعويض في دالة المخاطرة للتوزيع )العالقة 31.1( نجد: h(t) = 0.10224 0.10224 e 0.10224t e 0.10224, t > 0 والشكل اآلتي يوضس التمثيل البياني لدالة المخاطرة: الشكل )72.7(: التمثيل البياني لدالة المخاطر لتوزيع كومبيرتز Hazard Functon Graph for Gompertz 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 10 20 30 40 50 60 t
36 يتضس من الشكل أن خطر االنتكاس يرتنع تدريجيا وبشكل طنيف خصوصا في أول عشرين شهرن وهذا يعاكس الشكل )11.1( شكل دالة المخاطرة في التطبيق )2( مت ازيدة دائما مهما كانت قيم الوسطاء المقدرة. والسبب قد يعود إلى أن دالة المخاطر في توزيع كومبيرتز معامالت تقدير توزيع وايبل للبيانات المرتقبة من اليمين: 2.2.7 بدالة المعقولية لنبدأ التي تتضمن بيانات مرتقبة من اليمين: L = f(t ) S(t ) :)1.55( n t C t R ومن أجل االستنادة من لغة R سنعيد كتابتها كما هي موضحة في n L = [f(t )] 1 censor [S(t )] censor =1 =1 : )37.1( نعوض فيها كال من دالة الكثافة لوايبل (32.1( ودالة الحياة n n L = [ k λ (t =1 λ ) k 1 e ( t ln L = (1 censor ) ln [ k λ (t =1 λ ) k 1 censor ] k 1 λ ) e ( t λ ) k ] e censor ( t λ ) k t R n censor ( t =1 بأخذ لوغاريتم الطرفين ينتج: λ )k (52.1) k λ R البرنامج يقوم رقم )3( في الملحق )4( والمكتوب بلغة بإيجاد قيمتي التي تجعل و الوسيطين الدالة ln L أكبر ما يمكن. $par [1] 0.02924246 0.21955061 $value [1] 118.2131 $counts functon gradent 135 NA $convergence [1] 0 رقم )3( تطبيق )2(: بتننيذ البرنامج على بيانات التطبيق )1( نجد مخرجاتت:
37 λ = 0.02924, k = 0.21955 تشااااااير النتائج إلى أن مقد ارت التوزيع هي: وبلغت ن قيمة سااااااالب لوغاريتم 5 135 دالة المعقولية: 115.2131 عند هذا المقد ارتن وتطلب الوصاااااااااااول إلى الحل تك ار ارن وتشاااااااااااير القيمة في )convergence$( إلى أن الحل متقارب بحد خطأ مسموح بت: 8 10 1. لوغاريتم لرسم دالة المعقولية نكتب: a<-seq(0.001,0.5,length=30) b<-a ML<-matrx(0,30,30) for( n 1:30) for(j n 1:30) ML[,j]<- webul.mlk 4 (c(a[],b[j])) persp(a, b, ML, xlab="l", ylab="k", zlab="l", man="3d Graph for Webul log-lkelhood", theta=-85, ph=45, col="yellow", tcktype ="detaled") جعلنا القيمة المعادة للتابع: (s) return 4
38 الشكل )70.7(: التمثيل البياني ثالثي األبعاد للوغاريتم دالة المعقولية لتوزيع وايبل وبالتالي فإن دالة الحياة المقدرة هي: t S(t) = e ( 0.02924 )0.21955, t 0 وبالتعويض في دالة المخاطرة للتوزيع )العالقة 31.1( نجد: h(t) = 0.21955 0.02924 ( t 0.02924 )0.21955 1, t 0 (38.1) والشكل اآلتي يوضس التمثيل البياني لدالة المخاطرة:
h(t) 39 الشكل )76.7(: التمثيل البياني لدالة المخاطر لتوزيع وايبل 6 5 4 3 2 1 0 Webull Hazard Functon Graph 0 1 2 3 4 t نالحظ من الشكل أن دالة المخاطرة تشبت سلوك دالة المخاطرة المقدرة للتوزيع المنطقي اللوغارتمي )الشكل 11.1 (ن غير أن االرتناع الحاد في المخاطر في هذا النموذج هو في أول ثم يصبس الخطر شهرن مستق ار مع انخناض بسيط الحقا. 9.2 التقدير الالوسيطي للبيانات المرتقبة: :Nonparametrc Estmaton for Censored Data يتميز التقدير الوسيطي بأنت ينترض شكال محددا لدالة الحياةن ومن ثم نوجد أفضل قيمة ممكنة لوسطاء هذا الدالة. لذلك من الطبيعي تعد د أشكال دالة الحياة الوسيطية للعينة وفقا ألشكال التوزيعات االحتمالية التي نختارها. في حين أن التقدير الالوسيطي لدالة الحياة للعينة فمن المنترض أنت تقدير وحيد مشاهد للعينةن ويمثل أفضل تقدير مشاهد )أو ال وسيطي( لدالة الحياة للعينة. : 7.9.2 الدالة التجريبية Trval Functon إن أبسط صيغة لتقدير دالة الحياة ال وسيطيا هي دالة الحياة التجريبية [26]: حيث يشير t t Sˆ( t ) 1, t 0 n (53.1) t t إلى عدد العناصر التي تحقق الشرط:. t t لكن ماذا سيحدث لو كنا نحسب هذا التقدير مع وجود بيانات مرتقبة يمينيا على سبيل المثال أي مع وجود أزمنة موت مجهولة. الحل الوحيد هنا هو تجاهل القيم المرتقبة يمينيا وحساب قيم دالة الحياة عند األزمنة المكتملةن لكن
40 التقدير الناتج سيكون متحي از بسبب فقدان بعض المعلوماتن فكيف إذا كانت معظم البيانات مرتقبة يمينيان وهذا ما يحدث عادة في البحوث الطبية. 2.9.2 تقدير كابلن مايير لدالة الحياة :Kaplan Meer Estmator إن أهم ميزة لتقدير كابلن مايير لدالة الحياة هو إمكانية حسابت مع وجود بيانات مرتقبة يمينيان فكرة التقدير تعطى S ( t ) P T t ( ), ( 1) ( ) ( 1). ( 1) ( ) ( 1). ( 1), ( 2) ( ) ( 1). ( 1) ( 2)... (0) 0 هي أزمنة موت P T ن و t S ( ) ( ) P T t T t P T t T t P T t P T t T t P T t T t P T t T t P T t T t P T t t(0), t(1),..., t( r ) باالحتمال الشرطي [26]: (0) علما أن: 0 (0) 1 يعطى االحتمال الشرطي بالشكل: مرتبة تصاعديا. ) )t ن و n عدد العناصر n P T t T t ( ) ( 1) n d علما أن d هو عدد العناصر المتابعة حتى اللحظة الزمنية التي حدث لها الموت في اللحظة الزمنية والتي لم ا يحدث لها الموت بعد ( وتسمى عناصر الباقية تحت تحت خطر الموت(ن عندها KM ( ) ( 1) : t () t n t( ) يعطى تقدير كابلن مايير لدالة الحياة بالشكل: n d S ( t), t t t (54.1) t t t ( ) ( 1) ويعرف تباين هذا المقدر من أجل بالشكل: var (S KM (t)) = (S KM (t)) 2 d n (n d ) t () <t (54.1a) وباتالي فإن مجال α 1 ثقة للمقدر لت الشكل: S KM (t) ± t 1 /2 var (S KM (t)) (54.1b) α علما أن 2/ 1 t هي القيمة الحرجة لتوزيع ستيودنت عند مستوى داللة 10+ على سبيل المثالن لتكن 10+, 12 9+, 5+, 9, 3, لدينا البيانات اآلتية: ن حيث نقصد مثال با بزمن ارتقاب يمينين أما 12 فنقصد بها أنها زمن مكتمل. يعطى تقدير كابلن مايير بالجدول:
41 t( ) جدول )3.1(: قيم تقدير كابلن ميير n d SKM () t 5 6 5 1 t 0 3 6 1 5 / 6 0t 3 9 4 1 5 3 5 6 4 8 3t 9 12 1 1 5 t 12 قيمة دالة الحياة تغي ر أن نالحظ يحدث فقط عند أزمنة الموتن أما األزمنة المرتقبة يمينيا فإنها ال من قيمة تغ ير دالة الحياة ألن زمن الموت الحقيقي ما ازل مجهوال )منتظ ار(. تطبيق )0(: lbrary(splnes) lbrary(survval) سنقوم بإيجاد تقدير كابلن ميير للبيانات في التطبيق )1( مستخدمين أيضا لغة البرمجة R: t <- read.table("d:/rdata/luk.txt", header=t) tme <- t[,1] censor <- t[,2] luksurv <- Surv(tme, censor==0) luksurv [1] 35+ 34+ 32+ 32+ 25+ 23 22 20+ 19+ 17+ 16 13 11+ 10+ 10 9+ 7 6+ 6 6 6 23 22 17 15 12 12 11 11 8 8 8 8 5 5 4 4 3 2 2 1 1 توضس مجموعة البيانات هذا أزمنة وقوع الحدثن وتشير اإلشار + إلى أن هذا الزمن يمثل زمن االرتقاب يمينيا. lukft <- survft(luksurv~1) summary(lukft) Call: survft(formula = luksurv ~ 1)
42 tme n.rsk n.event survval std.err lower 95% CI upper 95% CI 1 42 2 0.952 0.0329 0.8901 1.000 2 40 2 0.905 0.0453 0.8202 0.998 3 38 1 0.881 0.0500 0.7883 0.985 4 37 2 0.833 0.0575 0.7279 0.954 5 35 2 0.786 0.0633 0.6709 0.920 6 33 3 0.714 0.0697 0.5899 0.865 7 29 1 0.690 0.0715 0.5628 0.845 8 28 4 0.591 0.0764 0.4588 0.762 10 23 1 0.565 0.0773 0.4325 0.739 11 21 2 0.512 0.0788 0.3783 0.692 12 18 2 0.455 0.0796 0.3227 0.641 13 16 1 0.426 0.0795 0.2958 0.615 15 15 1 0.398 0.0791 0.2694 0.588 16 14 1 0.369 0.0784 0.2437 0.560 17 13 1 0.341 0.0774 0.2186 0.532 22 9 2 0.265 0.0765 0.1507 0.467 23 7 2 0.189 0.0710 0.0909 0.395 أما هذا الجدول فمخرجاتت هي: :tme أزمنة وقوع الحدث n :n.rsk قيم d :n.event قيم :survval قيم تقدير كابلن ميير لدالة الحياة :std.err الخطأ المعياري لكل تقدير :lower 95% CI الحد السنلي لمجال %95 ثقة للتقدير :upper 95% CI الحد العلوي لمجال %95 ثقة للتقدير :)17.1 بتننيذ التعليمة اآلتية يقوم برنامج R برسم دالة كابلن ميير )الشكل plot(lukft, xlab="t", ylab="k-m S(t)")
43 شكل )17.1(: التمثيل البياني لتقدير كابلن ميير حيث تشااااااير اإلشااااااارة + على الرساااااام إلى زمن وقوع الموتن أما الخط المنقط فيشااااااير إلى مجال الثقة للتقدير عند مستوى داللة α.
نf 44 الثالث: المبحث اختبا ارت جودة التوافق لبيانات مرتقبة من اليمين Goodness of Ft Tests for Rght Censored Data سااابقا عرضانا بعض النماذج الوسايطية الحياة كالتوزيع لزمن االحتمالية والتوزيع األسااي المنطقي اللوغاريتمي. كما قمنا بعرض طريقتين لتقدير دالة الحياة المشاهدة للعينة )الدالة التجريبية كابلن مايير أو وفقا لنوع البيانات(. فيما يلي سااااااااانهتم بتحديد مدى توافق دالة الحياة المشااااااااااهدة للعينة مع النموذج الوسااااااااايطي أي المنترض. بمعنى آخر سااانقرر فيما إذا كان النموذج الوسااايطي المنترض هو توزيع يوافق هذا البيانات أم الن ويمكن صاااياغة ذلك بالنرضية: H: 0 المجتمع المدروس يخضع للتوزيع الوسيطي المنترض H: 1 المجتمع المدروس ال يخضع للتوزيع الوسيطي المنترض من أشهر االختبا ارت المستعملة في اختبار هذا النرضية هما : كاي مربع و سميرنوف كلماكوروف. 7.9 اختبار كاي مربع :Ch Square Test لنأخذ أوال حالة كون البيانات كلها مكتملةن لننرض أنت تحققت f 1 حالة موت في اللحظة الزمنية (1) tن و وتحققت f2 حالة موت في اللحظة الزمنية t (2) ن وهكذا إلى أن وقعت f k حالة موت في اللحظة الزمنية t (k) ˆ 1, ˆ 2,..., ˆk f f f مربع بالشكل [27]: الق ارر: هي التك ار ارت النظرية المتوقعة )بناء على نقبل بالنرضية االبتدائية عندما f fˆ 2 التوزيع الوسيطي k 2 (55.1) 1 fˆ 2 2, ونرفضها خالف ذلكن حيث ن ولتكن المنترض(ن يعطى إحصاء كاي 2, هي القيمة الحرجة عند مستوى و. درجة حريةن داللة k 1 في حالة البيانات المستمرة يؤخذ عادة اإلحصاء المع دل: 2 C k 1 fˆ f fˆ 0.5 2 (56.1) إال أنت في حالة وجود البيانات المرتقبة فإننا ال نستطيع حساب كل قيم ال يمكننا حساب وبالتالي Pena [28] اإلحصاء )55.1(. أجريت بحوث عديدة على يد كثير من العلماء أمثال Lemeshko و
ب 45 - لتعميم اإلحصاء )55.1( على البيانات المرتقبة من اليمين أو إحصاء اختبار سميرنوف كلماغوروفن [29] f هو نقترحت ما االستنادة من تقدير كابلن مايير في حساب قيم على اعتبار أن تقدير كابلن مايير هو تقدير دالة الحياة المشاهدة لعينة تحتوي بيانات مرتقبة من اليمين. بمالحظة أن: f ( 1) S t ( ) n S t( 1) S t( ) S t (57.1). علما أن S هو توزيع العينة الوسيطين حيث أن é ù t, t ê ë ( ) ( - 1) û فإنت بمجرد إيجاد دالة الحياة المشاهدة للعينة St تمثل نسبة البيانات الواقعة في النترة الزمنية فإننا نستطيع حساب قيم التك ار ارت f اعتمادا على العالقة ) 57.1 (ن وبمالحظة أن تقدير كابلن مايير يمثل دالة الحياة المشاهدةن وذلك بسبب أن التقدير هو أفضل تقدير لتوزيع العينةن إذ يبرهن بأن هذا التقدير هو تقدير المعقولية العظمى الالوسيطي لتوزيع العينة في fˆk حالة البيانات المرتقبة يمينيا [30] [31]. وبالتالي سنعتمد على تقدير كابلن ميير في حساب التك ار ارت النظرية تطبيق )6(: قبل إج ارء اختبار كاي مربعن من المنيد مقارنة الشكل البياني لكل دالة حياة وسيطية مقدرة مع تقدير كابلن مييرن -2-1 2.2 يوضس الشكل اآلتي )15.1( تلك المقارنة لدوال الحياة األربعة النظرية المقدرة في النقرة )التطبيقات 3.2 4-3( مع الدالة المشاهدة للعينة لكابلن ميير المقدرة في النقرة )التطبيق 5(. حيث يشير الخط المنكسر إلى دالة الحياة لكابلن مييرن في حين يشير الخط المنحني إلى دالة الحياة الوسيطية: : مقارنة دالة الحياة لوايبل مع المشاهدة الشكل )78.7( أ : مقارنة دالة الحياة األسية مع المشاهدة الشكل )78.7( K-M S(t) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 K-M S(t) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 5 10 15 20 25 30 35 t 0 5 10 15 20 25 30 35 t
ج 46 مع المشاهدة الشكل )78.7( د : مقارنة دالة الحياة لكومبيرتز مع المشاهدة : دالة حياة المنطقي اللوغارتمي الشكل )78.7( K-M S(t) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 K-M S(t) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 5 10 15 20 25 30 35 0 5 10 15 20 25 30 35 t t من الواضااس من األشااكال البيانية أن النموذج األسااي هو األكثر توافقا مع الدالة المشاااهدة مقارنة مع بقية النماذجن يليات نموذج كومبيرتز في التوافقن في حين نالحظ ابتعاااد نموذجي وايباال والمنطقي اللوغااريتمي عن شاااااااااااااكال دالااة الحياة المشااهدة. لكن ال يكني الحكم على التوافق من خالل مقارنة األشاكال البيانية. لذلك سانساتخدم اآلن اختبار مربع كاي الختبار جودة توافق دالة الحياة الوسيطية المقدرة لكل نموذج مع تقدير كابلن ميير. نذكر بأن نماذج الحياة المقدرة كانت: النموذج األسي المنطقي اللوغارتمي كومبيرتز جدول )2.7(: صيغ دوال الحياة المقدرة دالة الحياة المقدرة 0.0555 t S(t) = e 0.66343 t S(t) = [1 + ( 0.08836 ) S(t) = e 0.10224e0.10224t 1 ] S(t) = e ( t وايبل )0.21955 0.02924 بتننيذ اختبار كاي مربع مستخدمين برنامج R نجد النتائج: جدول )0.7(: نتائج اختبار كاي مربع النموذج درجات الحرية إحصاء االختبار القيمة الحرجة الق ارر األسي 6.8400 يوافق المنطقي اللوغارتمي 15.2118 ال يوافق 12.3380 22 كومبيرتز 3.2708 يوافق وايبل 10 1 11 ال يوافق أي أننا في كل التوزيع األس ي وكومبيرتز فإننا نقبل النرضية االبتدائية القائلة بتوافق النموذجين: النموذج الوسيطي المقدرن والنموذج المشاهد )كابلن ميير(. لكن يالحظ أن توزيع كومبيرتز هو أكثر توافقا مع البيانات من التوزيع
نF 47 األس ي نظ ار ألن إحصاء االختبار لهذا التوزيع أصغر من إحصاء االختبار للتوزيع األسي. بمعنى أن احتمال قبول النرضية االبتدائية بالنسبة لتوزيع كومبيرتز هو أكبر من احتمال قبولها بالنسبة للتوزيع األس ي باالعتماد على اختبار كاي مربع. :Smrnov-Kolmogorov Test اختبار سميرنوف كلماغوروف 2.9 t() لننرض مرة أخرى أن البيانات كلها مكتملةن f تمثل عدد حاالت الموت التي وقعت في اللحظة الزمنية مع ن.=1,2,,k من المعروف أن دالة التوزيع التجريبية للعينة تعطى بالشكل: F k 1 n f j, 1,2,..., k, n f j1 1 (58.1) ˆ 1, ˆ 2,..., ˆk ولتكن F F F قيم تابع التوزيع الموافقة لألزمنة الوسيطي المرتبة: t, t,..., t k على الترتيبن (1) (2) ( ) عندئذ يعطى إحصاء كلماغوروف سميرنوف بالصيغة [32]: علما أن: D max max D, max D (59.1) ˆ D F, F D F F ˆ 1 5 نحصل على القيمة الحرجة من الجداول اإلحصائية ن وفي حال n كبيرة كناية فيمكننا حساب القيمة الحرجة :[27] مباشرة من خالل العالقة اآلتية D, n ln( / 2) 2n (60.1) لكن بالتأكيد عند وجود بيانات مرتقبة فإننا لن نعتمد على دالة التوزيع التجريبية )58.1( في حساب إنما سنعتمد على دالة الحياة الالوسيطية لكابلن مايير. تطبيق )0(: لنعد اختبار جودة التوافق الذي أجريناا في التطبيق الساااابق )6( لكن باساااتخدام اختبار ساااميرنوف كلماغوروفن :α = 0.05 )60.1( علما أن القيمة الحرجة تم حسابها باستخدام العالقة عند مستوى داللة 5 يتضمن الملحق 3 الجداول اإلحصائية الخاصة باختبار سميرنوف - كلماغوروف
48 جدول )6.7(: نتائج اختبار سميرنوف كلماغوروف الق ارر القيمة الحرجة إحصاء االختبار النموذج يوافق 0.090012 األسي المنطقي اللوغارتمي 0.839909 ال يوافق 0.138102 ال يوافق كومبيرتز 0.253612 ال يوافق 4.426819 وايبل ينتج أن التوزيع األساااااااااااااي هو الوحيااد الموافق للبيااانااات من بين التوزيعااات األربعااة المطروحااة وذلااك اعتمااادا على اختبار سميرنوف كلماغوروف. وبالتالي سااانعتبر أن النموذج الوسااايطي الموافق للعينة هو النموذج األساااي كونت يوافق العينة اعتمادا على كل من اختباري كاي مربع وسااميرنوف-كلماغوروفن فضااال عن أن الشااكل البياني لدالة الحياة األسااية هو األكثر أ. تقاربا مع دالة الحياة المشاهدة كما وضحت )15.1( الشكل
49 الفصل الثاني: نموذج كوكس للمخاطر النسبية Cox Proportnal Hazard Model مع ظهور البيانات المرتقبة في التجربةن فإن النماذج التقليدية مثل نموذج االنحدار الخطي واالنحدار اللوجستي ال يمكن استخدامها مع البيانات المرتقبة. يعتبر نموذج كوكس للمخاطر النسبية من أشهر النماذج التي تدرس البيانات المرتقبة والى جانبت نموذج أزمنة الموت المعجلة Models(.)Accelerated Falure Tme نموذج يتميز أزمنة الموت المعجلة بأنت نموذج وسيطي وال يمكن االستنادة منت إال عند تقديرا بالكامل. في حين أن نموذج كوكس للمخاطر النسبية فيمكن االستنادة منت جزئيا بتقدير جزء فقط من وسطائتن وهذا ما جعلت شائع االستخدام. حيث يتكون نموذج كوكس من جزئينن الجزء األول يصف تغي ر المخاطر مع الزمنن والجزء الثاني يصف تغ ير المخاطر تغي ر مع المتغي ارت المستقلة. وحتى اللحظة يقتصر الباحثون عموما على تقدير الجزء الثاني من نموذج كوكس.[10] والمتضمن لوصف المخاطر مع تغي ر تغي ر المتغي ارت المستقلة يستعرض النصل الثاني مقد ارت نموذج كوكس التقليدية والمتمثلة بمقد ارت المعقولية الجزئية والتي تسمس بتقدير الجزء الثاني فقط من النموذج المتضمن لوصف المخاطر مع تغي ر تغي ر المتغي ارت المستقلة. ويدرس أيضا مقد ارت جديدة مقترحة من مقد ارت وهي قبلنا المعقولية العظمى التامة والتي تسمس بتقدير كامل النموذج.
50 المبحث األول: كوكس نموذج مقد ارت د ارسة للمخاطر النسبية 7.7 صيغة نموذج انحدار كوكس للمخاطر النسبية: والتي تسمى بدالة المخاطرة تعر ف صيغة النموذج بالشكل [33]: h(t, X) = h 0 (t, α). exp(β T X) (1.2) علما أن: h 0,t) (α هي مصنوفة معامالت تتعلق بدالة المخاطرة الوسيطية α األساسية.Baselne Hazard Functon هي مصنوفة معامالت نموذج االنحدار. β هي مصنوفة Covarates المتغي ارت المستقلة المتوقع تأثيرها على دالة X = (X 1, X 2,, X ρ ) المخاطرة X).h(t, ومن المالحظ أن: الحد α) h 0 (t, يتعلق بالزمن فقط وال يتعلق بالمتغي ارت المستقلةن ويصف هذا الحد المخاطر مع تغي ر الزمن. تغي ر وعلى العكسن يتعلق الحد (X exp(β T بالمتغي ارت المستقلة وال يتعلق بالزمنن ويصف هذا الحد تغي ر المخاطر مع تغي ر قيم المتغي ارت المستقلة. أهم ما يميز هذا النموذج هو إمكانية تقدير الوسطاء β دون االضط ارر إلى تحديد شكل الدالة األساسية الوسيطية (α h 0,t) باستخدام طريقة دالة المعقولية الجزئية. بمعنى أننا نستطيع معرفة تأثير كل متغي ر مستقل على دالة المخاطرة دون تحديد شكل الدالة (α h. 0,t) بنرض أن لدينا نموذج كوكس بمتحول مستقل وحيد X. ولنأخذ عنصرين مدروسين بقيمتين مختلنتين :X للمتحول x 1, x 2 h(t, x 1 ) h(t, x 2 ) = h 0 (t, α). exp(βx 1 ) h 0 (t, α). exp(βx 2 ) = exp(βx 1 ) exp(βx 2 ) = exp[β (x 1 x 2 )] (2.2) بعبارة أخرىن يمثل المقدار )] 2 exp[β (x 1 x عن الزمن. ونقول أن مخاطر العنصر األول ( 1 )x هي )] 2 exp[β (x 1 x نسبة مخاطر العنصر األول إلى الثاني وهو كما نالحظ مستقل مرة مخاطر العنصر الثاني ( 2 x(.
51 )2.2( 1 وبنرض أن النرق x 1 x 2 يساوي عندها تصبس العالقة بالشكل: أو: بمعنى h(t, x 1 ) h(t, x 2 ) = eβ ln [ h(t, x 1 ) ] = β (3.2) h(t, x 2 ) β أن تنسااير الوساايط يمكن أن تنساااااااااار على أنها مقدار الزيادة في لوغاريتم نساااااااااابة المخاطرة. ولكن يتم عادة h(t,x 1 ) h(t,x 2 ) e β من خالل الدالة األساااية β والتي تساامى بنسااابة المخاطرة للمتغير X Hazard Rato حيث X تعبر عن مقادار التغير في المخااطر الاذي يحادثات زياادة قيماة المتغير المساااااااااااااتقال بمقدار 1. وفي الحالة العامة e β k, k = 1,2, ρ ومع وجود ρ متغير مستقل في النموذجن فإن نسبة المخاطرة ت ااااااق أر بالشكل: تزداد المخاطر.[33] 1 مرة عند زيادة قيمة المتغير المستقل X k قيم مع تثبيت بمقدار بقية المتغي ارت المستقلة e β k )11.1( أما إذا أردنا معرفة صيغة دالة الحياة لنموذج كوكس للمخاطر النسبية وباالستنادة من العالقة نكتب: S(t, X) = exp [ h(τ, X)dτ] t 0 t = exp [ h 0 (τ, α). exp(β T X) dτ ] 0 t exp(β T X) = {exp [ h 0 (τ, α) dτ ]} 0 S(t, X) = S 0 (t, α) exp(βt X) (4.2).exp(β T X) بمعنى أن دالة الحياة لنموذج كوكس للمخاطر النسبية هي دالة قوة بالمقدار كوكس نموذج معامالت تقدير للمخاطر النسبية مع بيانات مرتقبة من اليمين: 2.7 سنعتمد أيضا في تقدير الوسطاء على طريقة المعقولية العظمىن لذا سننطلق من الدالة المشتركة للبيانات المرتقبة: n L = [f(t, X)] 1 censor [S(t, X)] censor =1 علماا أن: censor ياأخاذ القيماة 1 عنادماا يكون العنصااااااااااااار المادروس رقم )مرتقب يمينيا(ن أو القيمة 5 عندما يكون قد وقع لت الحدث المدروس. لماا يقع لات الحادث المادروس بعاد
52 n S(t) = f(t) h(t) وباالستنادة من كون: نكتب: L = [S(t, X)h(t, X)] 1 censor [S(t, X)] censor =1 n L = h(t, X) 1 censor S(t, X) 1 censor S(t, X) censor =1 n L = h(t, X) 1 censor S(t, X) (5.2) n =1 وبتعويض صيغة دالة المخاطرة )1.2( وصيغة دالة الحياة )4.2( تصبس: L = [h 0 (t, α). exp(β T X)] 1 censor S 0 (t, α) exp(βt X) =1 n بأخذ لوغاريتم الطرفين: ln L = {(1 censor ) ln[h 0 (t, α). exp(β T X)] + exp(β T X) ln[s 0 (t, α)]} =1 n ln L = {(1 censor ) ln[h 0 (t, α)] + (1 censor )β T X =1 + exp(β T X) ln[s 0 (t, α)]} (6.2) كما يتضس من العالقة األخيرة عدم إمكانية إيجاد تقدير قيم الوسطاء β دون التحديد المسبق لدالة المخاطرة األساسية α).h 0 (t, ناقشانا في النصال األول إمكانية الوصول إلى نموذج احتمالي موافق لدالة المخاطرةن والتي تضمنت إيجاد للوساااطاء α مقد ارت المعقولية العظمى بناء على بيانات مرتقبة من اليمين ألربعة نماذج مخاطرة وسااايطية شاااائعة )األسين المنطقي اللوغاريتمين كومبيرتزن وايبل(..h 0 (t, α) β سااانهتم في البداية بتقدير قيم الوساااطاء بغض النظر عن شاااكل الدالة ويساااتخدم عادة لهذا الغرض دالة المعقولية الجزئية Partalن Lkelhood Functon وتعتبر طريقة ال وساااااااايطية في التقدير. فهي تعتمد على تر اتيب األزمنة ال على قيم اآلزمنة النعليةن وهذا إحدى أهم عيوب مقد ارت المعقولية الجزئية.
53 t(1), t(2),..., t ن بالشاااااااكل: ) ( r 7.2.7 مقد ارت المعقولية الجزئية: تعتمد هذا الطريقة على ترتيب أزمنة الموت تحت خطر الموت في اللحظة : t وسااااااانعرف مجموعة العناصااااااار التي R(t) بمعنى أن هذا المجموعة تتضاامن العناصاار التي ل ما يحدث لها الموت t () حتى اللحظة t. وسااننترض في البداية أنت في كل لحظة هناك عنصااار واحد فقط وقع لت الحدث المدروس. وساانعرف من أجل كل لحظة () t زمنية االحتمال الشرطي: h(t (), x k ) t () بأن يقع الحدث المدروس على العنصر k رقم في اللحظة الزمنية وهو R(t () ) أن هنااك علماا ماا من المجموعاة ا عنصااااااااااااار قاد وقع عليات الحادث في هاذا اللحظاةن ويمثال احتماال وهو ) l h(t (), x l R(t () ) h 0 (t (), α). exp(β T x k ) اجتماع أحداث وقوع الحدث المدروس على كل عنصر h(t (), x k ) h(t (), x l ) l R(t () ) x k1 x k2 x k = [ ] x kp h 0 (t (), α). exp(β T x l ) l R(t () ) r = L = h(t (), x k ) h(t (), x l ) =1 r l R(t () ) L = exp(βt x k ) exp(β T x l ) k=1 t () l R(t () ) يعطى هذا االحتمال الشرطي بالشكل: علما أن: وهذا االحتمال يمكن كتابتت بالشكل: exp(β T x k ) exp(β T x l ) l R(t () ) عندها تعرف دالة المعقولية الجزئية بالشكل [34]: (7.2) تمثل هذا دالة المعقولية الجزئية فرضية تحت أنت في كل لحظة عنصر هناك واحد فقط وقع لت الحدث t () D(t () ) المدروس. العامة فإن هناك الحالة أما في من العناصر مجموعة قد وقع لها الحدث في اللحظة r )7.2( بشكلها العام [34]: L = k D(t exp(βt () ) x k ) k=1 [ exp(β T x l ) l R(t () ) ] D(t ()) عندها تصبس دالة المعقولية (8.2)
54 D(t () ) علما أن: ) () D(t هي عدد عناصر المجموعة ن أي هي تمثل عدد العناصر التي وقع لها الحدث في اللحظة () t. Breslow تسمى الصيغة )5.2( بطريقة في حساب دالة المعقولية الجزئية. تستخدم الطرق العددية عادة إليجاد القيم التقريبية لمقد ارت هذا الوسطاء )سواء للدالة 7.2 أو 5.2( وأكثر هذا الطرق العددية شيوعا هي Newton Raphson والتي تتقارب )غالبا( للحل المقبول. وتستخدم هذا الطريقة.[34] في معظم الحزم اإلحصائية بما فيهم R أهم ميزة لهذا الطريقة هي كونها ال تعتمد على شكل الدالة (α h 0,t) وال تشترط أية افت ارضات حول شكلها. وهذا ما جعل طريقة المعقولية الجزئية شائعةن أو هي الوحيدة المستخدمة حتى اآلن في نموذج كوكسن α وذلك بسبب صعوبة تقدير الدالة (α h 0,t) حيث أنت ال يكني إيجاد مقد ارت المعقولية العظمى للوسطاء بناء على إحدى التوزيعات االحتمالية الشائعة ومن ثم استخدامها كدالة معتمدة في نموذج كوكسن إنما ينبغي أوال التأكد من أنها مقبولة االستخدام من خالل اختبا ارت جودة التوافق. لكن بالمقابل فمن المالحظ أن لمقد ارت المعقولية الجزئية عددا من العيوب: t(1), t(2),..., t( r) النروقات بين األزمنة ال تؤثر على شكل النموذج المقدر مهما اختلنت النروقاتن إذ.1 أن الطريقة تعتمد على ت ارتيب األزمنة فقط. وهذا يسبب خسارة كمية من المعلومات قد يكون لها مدلول مهم من الناحية التطبيقية. ال تعتمد الطريقة أيضا على القيم النعلية لألزمنة t, t,..., t n 1 2 وبالتالي فإن النموذج المقدر ال يتأثر أيضا بالقيم النعلية لألزمنةن إنما يتأثر فقط بت ارتيب القيم وت ارفق وقوع األحداث مع بعضها. وهذا أيضا.2 يسبب خسارة كم هائل من المعلومات قد تظهر نتائج ال تمثل البيانات. 3. ال يمتلك النموذج نصف الوسيطي الم ازيا التي يتمتع بها النموذج الوسيطي الكامل كالتنبؤ والتحكم بالمخاطر كما سيتم توضيحت الحقا..h 0 (t, α) لذا سنقوم الحقا بتقدير كوكس نموذج معامالت منترضين أننا توصلنا إلى النموذج الموافق للدالة مقد ارت 2.2.7 المعقولية العظمى: : )6.2( لنعد إلى لوغاريتم دالة المعقولية n ln L = {(1 censor ) ln[h 0 (t, α)] + (1 censor )β T x =1 + exp(β T x ) ln[s 0 (t, α)]}
55 وبنرض أننا توصلنا للنموذج المقد ر الموافق للدالة (α h 0 t), وهي (α ĥ 0 t), علما أن α هي مصنوفة القيم المقدرة للوسطاء α ن وبالتالي فإن النموذج المقد ر الموافق للدالة (α S 0 t), سنشير لت أيضا با (α S 0(t, عندئذ سيصبس لوغاريتم دالة المعقولية: n data ln L = {(1 censor ) ln[ĥ 0 (t, α ) ] + (1 censor )β T x =1 + exp(β T x ) ln[s 0(t, α )]} (9.2) البرنامج رقم )4( الموضاااااس في الملحق )4( والذي قمنا بكتابتت وقوم بق ارءة مصااااانوفة البيانات التي سيتم ق ارءتها من المستند النصي بالشكل: t(1) censor(1) x(1,1) x(1,2) x(1, ρ) t(2) censor(2) x(2,1) x(2,2) x(2, ρ) data = [ ] (10.2) t(n) censor(n) x(n, 1) x(n, 2) x(n, ρ) من المالحظ اآلن أن هذا المق در المقترح لت الم ازيا اآلتية: يعتمد هذا المقدر على كامل معلومات األزمنةن أي دون إهمال قيمها النعلية والنروقات بينها على عكس.1 مقدر المعقولية الجزئين األمر الذي يعطى مؤش ار على أن النموذج المقدر أكثر توفيقا وتمثيال للبيانات كونت يستخدم كمية معلومات أكبر. نستطيع االستنادة من نموذج كوكس الناتج في التنبؤ الموت بأزمنة نظ ار الكتمال حدي النموذجن على.2 عكس مقدر المعقولية الجزئي الذي تقتصر فائدتت على تحديد شكل تأثير كل مستقل. متغي ر 3. كما نستطيع التحكم بكمية المخاطر من خالل تحديد قيم المتغي ارت المستقلة بحيث تكون قيمة دالة المخاطر أصغر ما يمكنن وهذا التحكم يشترط فيت اكتمال النموذج المق در بحديت. بالمقابل لكن يالحظ أن لهذا المقدر نقطا تستدعي الوقوف عندها قد تكون سلبية إن لم يتم تجاوزها: يتأثر هذا المقدر بشكل دالة المخاطرة األساسيةن فالمقد ر قد يختلف وفقا لشكل دالة المخاطر األساسية -1 قد ال واألهم أننا المقدرةن نتوصل للنموذج المقدر األمثلن أي األكثر توافقا للبيانات نظ ار للتنوع الكبير في نماذج الحياةن فضال عن تنوع ط ارئق اختبا ارت جودة التوافقن لذا فإننا إن تجاوزنا خطأ النروقات بين النموذج المقدر والمشاهد بنرض أن هذا الخطأ ضمن الحد المسموح بت )وفقا الختبا ارت جودة التوافق( فإن هذا الخطأ على صغرا سيضاف إلى خطأ تقدير معامالت النموذج β والذي سيسبب ت اركما في أخطاء التقدير. في هذا الحالة ينضل زيادة دقة اختبا ارت جودة التوافق من خالل زيادة مساحة منطقة الرفض وذلك بتقليل قيمة مستوى داللة االختبار α قدر المستطاع.
56 2- الوقت والجهد اإلضافي الذي يتطلبت الوصول إلى دالة المخاطر األساسيةن وخاصة عندما ال توافق البيانات النماذج األربعة الشائعة التي طرحناها في النصل األولن عندها سنضطر إلى البحث عن نماذج حياة أخرى يتوقع موافقتها لليبانات. في الحاسوب. لكن لم تعد عملية الحسابات المجهدة أم ار يعتد بت نظ ار إلمكانية برمجتها 9.7 التقدير المجالي لوسطاء النموذج: ماا توصااااااااااااالناا إليات في النقرة الساااااااااااااابقاة هو تقادير معاامالت النموذج تقادي ار نقطياا اعتماادا على مقاد ارت المعقولياة الجزئيةن ثم العظمى المعقولية العظمى التامة. سنبحث اآلن في المجالي التقدير للوسيط. مقد ارت يبرهن بأن المعقولية العظمى تخضاااااااع عموما للتوزيع الطبيعين إضاااااااافة إلى أن مقد ارت المعقولية العظمى الجزئية تخضع أيضا للتوزيع الطبيعي [ 35 ]ن أي أن مصنوفة المقد ارت: β k1 β k2 β = [ ] β kρ تخضع للتوزيع الطبيعي من النموذج: β ~N (β, I 1 (β )) I(β ) = Fsher Informaton وتعرف بالشكل: 2 ln L(β ) 2 ln L(β ) β 12 β 1 β 2 2 ln L(β ) 2 ln L(β ) β 2 β 1 2 ln L(β ) ( β ρ β 1 β 2 β 2 علما أن I(β ) هي مصوفة معلومات فيشر 2 ln L(β ) β 1 β ρ 2 ln L(β ) β ρ2 ) (11.2) :β بمعنى أن مقلوب مصنوفة (β ) I 1 معلومات فيشر تقابل مصنوفة التباينات المشتركة للوسطاء المقدرة σ 2 1 σ 2 12 σ 2 1ρ I 1 (β ) = σ 2 21 σ 2 2 (12.2) σ ( 2 ρ1 σ 2ρ ) ) V(β k σ 2 kk = تباين المقد ر β kن و ) β r σ 2 kr = cov(β k, هو التباين المشاااااااااااترك للمقدرين.)k r( حيث أن: β k, β r
57 β k وبالتالي فإن مجال (α 1) ثقة للوسيط المقدر هو:.α علما أن β k ± z α 1 σ kk (13.2) 2 1 z هو القيمة الحرجة للتوزيع الطبيعي المعياري عند مستوى داللة α 2 لحساب األخطاء المعيارية للمقد ارت بلغة R سنكتب: MLE <- optm(c(0,0,0), coxbeta.mlk, method="nelder-mead", hessan=t) Ibeta <- solve(mle$hessan) se<-sqrt(dag(ibeta)) solve حيث أن MLE$hessan هي مصانوفة معلومات فيشرن والتابع المصنوفة هذا مقلوب يعيد إلى ويسندها المصنوفة.Ibeta
58 المبحث الثاني: تقييم مالءمة النموذج نهتم في تقييم مالءمة النموذج باإلجابة على األسئلة: هل يمثل هذا النموذج البيانات بنرض أن لاااديناااا نموذجين مختلنين بطريقاااة التقااادير )كاااالمعقولياااة العظمى التااااماااةن والمعقولياااة العظمى -1-2 الجزئية(ن فأي النموذجين أكثر توافقا مع البيانات هل كل المتغي ارت المستقلة هامة ومؤثرة في المتغير التابع -3 يجيبنا على السؤالين والثاني األول اختبا ارت جودة التوافقن بينما يجيبنا على السؤال الثالث اختبار النرضيات. اختبار 7.2 معنوية النموذج: تهدف د ارساااااااااااة معنوية النموذج إلى اإلجابة عن الساااااااااااؤال: هل المتحول المساااااااااااتقل لت تأثير معنوي على هذا هام المتحول التابعن يمكن صياغة هذا السؤال بالنرضية: نقبل النرضية االبتدائية عند تحقق: H 0 : β = 0 H A : β 0 (14.2) β 1 = β 2 = = β ρ = 0 ونرفض النرضية االبتدائية عند عدم تحقق مساواة واحدة على األقل. واختبار نسبة المعقولية. كما يتم عادة اختبار معنوية كل معامل على حدان أي سنختبر النرضيات: H 0 : β k = 0 H A : β k 0 (15.2) إحدى الطريقتين: اختبار Wald وتستخدم عادة الختبار النرضية )14.2 و 15.2( 7.7.2 اختبار :Wald يعطى إحصاء هذا االختبار بالشكل [20]: يخضع المتحول β 2 z 2 = V (β ) = β 2. I(β ) z 2 النرضية )17.2( نستخدم اإلحصاء: علما أن لتوزيع كاي مربع بدرجة حرية )1(. حيث يختبر هذا اإلحصاء النرضية ) 16.2 (ن أما الختبار β 2 β 2 z 2 k k = V(β k) = k 2 σ (16.2) k σ k 2 هو التباين المعرف في )13.2(.
59 وهذا اإلحصاء يخضع أيضا لتوزيع كاي مربع بدرجة حرية )1(. 2.7.2 اختبار نسبة المعقولية: L(0) يعطى إحصاء االختبار لنسبة المعقولية بالشكل [36]: G = 2[ln L (β ) ln L (0)] (17.2) علمااا أن L(β ) هي دالااة المعقولياة في حااالااة تضااااااااااااامين كال المقاد ارتن بينمااا هي دالاة المعقولياة باادون تضمين المقد ارت )أي تضمين المصنوفة الصنرية بدال عنها(.. β ويبرهن أن هذا اإلحصاء يخضع لتوزيع كاي مربع بدرجة حرية ρ حيث أن ρ تمثل عدد معامالت المصنوفة كما يتضااااس من شااااكل إحصاااااء االختبارن فإن االختبار يقوم على مقارنة الدالتين L(β ) ن (0)L وتحديد إن كان هناك فرق معنوي بين الدالتينن بمعنى هل أحدث إضااااااافة مصاااااانوفة المقد ارت β معنويا لذلك يعطى الشكل العام لإلحصاء )19.2( علما أن: بالشكل [36]: G = 2[ln L (β ) ln L (β )] (18.2) β = (β 1, β 2,, β q) ; 1 q p بمعنى أننا هنا نختبر: هل كان إلضافة المقد ارت الا p-q المتبقية أث ار معنويا على دالة المعقولية إلى دالة المعقولية تغي ار 2.2 تحليل بواقي النموذج: من المعروف أن بواقي نموذج االنحاادار الخطي هي النرق بين القيمااة المشاااااااااااااااهاادة والقيمااة المتنبااأة اعتمااادا على النموذج المقدرن ولكن مع وجود البيانات المرتقبة مع نموذج كوكس فمن غير الممكن إج ارء المقارنة بين القيمتين. تم تطوير بواق خاصة بنموذج كوكس من قبل [37] Cox & Snell والتي تعطى بالصيغة: r = exp(β x ) H 0(t ) = H (t ) = ln S (t ) (19.2) يبرهن بأن S(t) r = ln يخضع للتوزيع األس ي بوسيط = 1 λ.[37] وبالتالي إذا كان النموذج المقدر يوافق البيانات فهذا يعني بالمقابل أن المتغير S (t) ln يسلك ننس سلوك λ = 1 ln S (t) المتغير S(t) ln وبالتالي يجب أن يخضع البواقي متغي ر إلى التوزيع بوسيط األس ي في حالة توافق النموذج مع البيانات. يمكن التحقق من توافق البواقي مع التوزيع األس ي بإحدى طرق اختبا ارت جودة التوافق المعروضة سابقا في المبحث الثالث النصل األولن وهما اختباري كلماغوروف-سميرنوف وكاي مربع. فإذا تبين أن البواقي توافق األس ي التوزيع بوسيط )1( فإننا نقبل بالنرضية االبتدائية القائلة بتوافق نموذج كوكس مع البياناتن واال نقبل بالنرضية البديلة القائلة بعدم التوافق.
60 تطبيق )8(: لنقم بتقدير معامالت نموذج كوكس اعتمادا على مقد ارت المعقولية الجزئية لبيانات التطبيق )1( باستخذام لغة البرمجة R. بتعريف المتغي ارت في R كما هو موضحة في الجدول )2.1( في التطبيق )1( ن ومن ثم استدعاء إج ارء نموذج كوكس للمخاطر النسبية coxph نجد المخرجات اآلتية: lukcox<-coxph(luksurv ~ gender + WBC + Rx, method="breslow", ovaran) summary(lukcox) Call: coxph(formula = luksurv ~ gender + WBC + Rx, data = ovaran, method = "breslow") n= 42, number of events= 30 coef exp(coef) se(coef) z Pr(> z ) gender 0.014754 1.014864 0.465248 0.032 0.97470 WBC 0.041112 1.041968 0.008845 4.648 3.35e-06 *** Rx 1.374765 3.954149 0.448046 3.068 0.00215 ** --- Sgnf. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 يتضس من المخرجات ما يلي: exp(coef) exp(-coef) lower.95 upper.95 gender 1.015 0.9854 0.4077 2.526 WBC 1.042 0.9597 1.0241 1.060 Rx 3.954 0.2529 1.6431 9.515 β 1 = 0.0148 الجنس معاااامااال gender هو: معيااااري بخطاااأ 0.46525 ن ويتضاااااااااااااس من قيماااة )Wald أن احتماالياة هاذا المعاامال sg. )المحساااااااااااااوب اعتماادا على اختباار غير المعامل هذا متغير 6 6 االحتمالية هي احتمال نقبل بالنرضية البديلةن واال فإننا نقبل باالبتدائية. القبول الخاطئ للنرضية البديلة. فإذا كان هذا الخطأ ا صغير كناية )يؤخذ بأقل من 5.55 عادة( وتعتبر قيمة المعنوية شائعة االستخدام حديثا خصوصا في الب ارمج اإلحصائية نظ ار سهولة ق ارءتها دون الحاجة لق ارءة القيم الحرجة ومقارنتها مع إحصاء االختبار والعودة لقاعدة اتخاذ الق ارر. ويرمز للمعنوية عادة sg.( أو )P-value
61 معنوي عناد مساااااااااااااتوى 5.55 داللاة )إذ تبلغ احتمااليتات 5.97 (ن بمعنى أنات ال يوجاد تااأثير معنوي [38] %95 e β 1 = 1.015 للجنس على مخاطر االنتكاس. ووجد أن نسبة المخاطرة هي: ومجال للنسبة ثقة هو: 1.060] [0.4077, والتي تعني أن زيااادة قيمااة متغير الجنس بمقاادار واحااد سااااااااااااايؤدي إلى زيااادة 5 1 المخاطر 1.515 مرة. وبما أننا رمزنا لقيم هذا المتحول بااا للذكر و لألنثى في عملية اإلدخالن فهذا 1.515 يعني أن الذكور أكثر تعرضاااا للمخاطر باااااااااااااااا 1.515 مرة من اإلناث. لكن بالمقابل فإن النسااابة قريبة جدا من الواحد وبالتالي تأثير الجنس على المخاطر طنيف جدا. β 2 = 0.0411 WBC معاامل كريات الدم البيضااااااااااااااء هو: بخطأ معياري 5.55554 ن ويتضاااااااااااااس من 5.55 متغير أن المعامل هذا احتمالية كريات الدم البيضاااااء معنوي عند مسااااتوى داللة )إذ تبلغ احتماليتت %95. e β 2 = 1.042 5.555553 (ن وتبين نسااااااااااااابااااااة المخاااااااطرة ومجااااااال هو: للنسااااااااااااابااااااة ثقااااااة والتي تعني [2.526,1.0241] أن زيادة قيمة متغير كريات الدم البيضاااااااااء بمقدار واحد ساااااااايؤدي إلى زيادة المخاطر 1.542 مرة. β 3 = 1.3748 Rx معامل المعالجة الجديدة هو: بخطأ معياري 0.44805 ن ويتضاااااااااااااس من احتمالية 5.553( وبلغت 5.55 الوساايط هذا متغير أن المعامل هذا معنوي عند مسااتوى داللة )إذ تبلغ احتماليتت %95 نسااااابة المخاطرة = 3.954 β 3.e ومجال هو: للنساااااابة ثقة [9.515, 1.6431 ]ن وبما أننا رمزنا 1 للمعالجة الجديدة باااااااااااااااا 5 والمعالجة النموذجية باااااااااااااااا فهذا يعني أن اساااتخدام المعالجة النموذجية سااايزيد المخاطر 3.954 مرة مقارنة مع استخدام المعالجة الجديدة. وبالتالي فإن النموذج المقدر اعتمادا على مقد ارت المعقولية الجزئية هو: ĥ(t, X) = ĥ 0 (t, α ). exp(0.0148 Gender + 0.0411 WBC + 1.3748 Rx ) وبتعويض صيغة دالة المخاطرة األسية التي تم تقديرها في التطبيق )1( والتي تبين في التطبيقين )6( و )7( أنها األفضل توافقا مع العينة مقارنة مع بقية نماذج الحياة الوسيطية. ليصبس النموذج المقد ر: ĥ(t, X) = 0.0555. exp(0.0148 Gender + 0.0411 WBC + 1.3748 Rx ) (20.2) 2.2.1 مقد ارت اآلن إليجاد المعقولية العظمى التامة للنموذجن سنقوم بتننيذ البرنامج الموضس في النقرة )11.2( لكن مع إضافة hessan=t الوسيط والذي نطلب فيت من البرنامج طباعة المصنوفة وهي مصنوفة معلومات فيشرن إضافة إلى التباينات المشتركة: لتظهر النتائج كمايلي: optm(c(0,0,0), coxbeta.mlk, method="nelder-mead", hessan=t)
62 $par [1] -0.68086661 0.01829019 0.39450108 $value [1] 106.7158 $counts functon gradent 178 NA $convergence [1] 0 $hessan [,1] [,2] [,3] [1,] 14.000281 498.2483 5.355273 [2,] 498.248349 70836.7145 732.518052 [3,] 5.355273 732.5181 20.997765 β 1 = 0.6809, β 2 = 0.0184, β 3 = 0.3945 تبين المخرجات مايلي: المعامالت المقدرة هي: 175 وبلغت القيمة المطلقة لدالة المعقولية 106.7158 عند انتهاء الحل وتطلب الوصول إلى الحل تك ارر وقد تقارب الحل. ومصنوفة معلومات فيشر هي: 14.0003 498.2483 5.3553 I(β ) = ( 498.2483 70836.7145 732.5181 ) (21.2) 5.355273 732.5181 20.997765 وللحصول على مصنوفة األخطاء المعيارية )القطر الرئيسي في المصنوفة 12.2( باستخدام لغة R نكتب: MLE <- optm(c(0,0,0), coxbeta.mlk, method="nelder- Mead", hessan=t) Ibeta <- solve(mle$hessan) se<-sqrt(dag(ibeta)) se [1] 0.308714698 0.005156689 0.272986547 S (β 1) = 0.3087, S (β 2) = 0.0052r, S (β 3) = 0.2730 وبالتالي فإن:
63 15.2( ستكون: Wald وبالتالي فإن قيم إحصاء )اإلحصاء wald.stat <- (MLE$par/se)^2 wald.stat [1] 4.864178 12.580408 2.088401 وهذا اإلحصاءات تخضع لتوزيع كاي مربع بدرجة حرية واحدة. وبالتالي القيمة الحرجة عند مستوى داللة 5.55 هي: 3.841459 ن وبالتالي نستنتج أن: -5.651 الجنس معنوي متغي ر معامل ويسااوي )إذ نرفض النرضاية االبتدائية القائلة بأن المعامل يسااوي [- β 1 ± 1.96 S (β 1) الصاااااانر(ن بخطأ معياري %95 5.359 ن ومجال للمعامل ثقة ساااااايكون: وهو: %95 ن ونسااااااااابة المخاطرة هي: = 0.506 β 1 e وبالتالي فإن مجال ثقة لنسااااااااابة 1.286, -0.076] 1 المخااطرة هو [0.927, 0.276 ]ن وبماا أنناا أعطيناا القيمة لكون المريض ذك ارن و 5 لكونت أنثىن فهذا 5.556 يعني أن مخاطر االنتكاس عند الذكور أقل با مرة من اإلناث. 5.515 5.55 متغي ر معامل كريات الدم البيضاااااااااء معنوي عند مساااااااااتوى داللة ويسااااااااااوي بخطأ معياري 1.515 [0.0082, 0.0284] 5.555 ن ومجاال %95 ثقاة للمعاامال هو: ن ونساااااااااااااباة المخااطرة هي: [1.008, 1.029] ومجال %95 ثقة لنسابة المخاطر هو وبالتالي فإن زيادة نساابة كريات الدم البيضاااء 1.515 يزيد من بمقدار واحد مخاطر االنتكاس مرة. معامل المعالجة الجديدة غير معنوي عند مسااتوى داللة 5.55 )كون إحصاااء االختبار أصااغر من القيمة %95 الحرجة( 5.395 ويساااااوي ومجال للمعامل: ثقة [0.9296, 0.1406 -]ن ونسااااابة المخاطرة هي: [2.533, 0.869 ]ن ومجال %95 ثقة لنسااابة المخاطرة هي: وبما أننا رمزنا للمعالجة الجديدة با 1.454 فهذا يعني أن اسااااااااااتخدام المعالجة النموذجية ساااااااااايزيد من المخاطر 1.454 مرة مقارنة مع اسااااااااااتخدام 5 المعالجة الجديدة. في المحصلةن فإن نموذج كوكس المقدر بناء على طريقة المعقولية العظمى هو: ĥ(t, X) = ĥ 0 (t, α ). exp( 0.6809 Gender + 0.0184 WBC + 0.3945 Rx ) وبتعويض دالة المخاطرة األسية المقدرة يصبس: ĥ(t, X) = 0.0555. exp( 0.6809 Gender + 0.0184 WBC + 0.3945 Rx ) (22.2) وهو النموذج المعنوي المقاادر بناااء على مقااد ارت المعقوليااة العظمى التااامااة. وهو مختلف كليااا عن النموذج المقاادر بناء على المقد ارت الجزئية: ĥ(t, X) = 0.0555. exp(0.0148 Gender + 0.0411 WBC + 1.3748 Rx )
64 فكون النموذجين قااد أعطيااا نتااائج مختلنااةن فهااذا يساااااااااااااتاادعي البحااث في االختالف وتقييم كاال نموذج وتقرير أي النموذجين أكثر توافقا مع البيانات مساااااتخدمين أسااااااليب التقييم التي عرضااااات ساااااابقا وهي اختبار نسااااابة المعقولية وتحليل البواقي. اختبار نسبة المعقولية: يحسب إحصاء االختبار للنموذج المقدر بناء على المعقولية التامة بالشكل: 2*(coxbeta.mlk(betaFull)-coxbeta.mlk(c(0,0,0))) [1] 02.10009 علما أن betafull هي مصنوفة المعامالت المقدرة بناء على المعقولية التامة. أما إحصاء االختبار للنموذج المقدر بناء على المعقولية الجزئية فهو: 2*(coxbeta.mlk(betaPartal)-coxbeta.mlk(c(0,0,0))) [1] -594.7609 علما أن betapartal هي مصنوفة المعامالت المقدرة بناء على المعقولية الجزئية. نالحظ من قيمة اإلحصاااء األول )25.15559( أنت أكبر من القيمة الحرجة لكاي مربع عند مسااتوى داللة 5.55 و 3 درجات حرية )عدد معامالت المصااااااااااانوفة ) β وهي: 7.5147 ن وبالتالي فإننا نرفض النرضاااااااااااية االبتدائية القائلة بأن دالتي المعقولية L( full ˆ L( متسااااااااويتين معنويا عند مساااااااتوى داللة 5.55. أي أن هناك فرقا معنوياا بين الادالتينن وباالتاالي فاإن إضاااااااااااااافاة مقاد ارت المعقولياة العظمى لادالاة المعقولياة قاد أحدث فرقا عند معنويا. مستوى داللة 5.55 بينما نالحظ أن إحصااااء االختبار الثاني )594.7659-( أصاااغر بكثير من القيمة الحرجة 7.5147 أي L( L( partal ˆ متساااااااويتان معنويا عند مسااااااتوى نقبل هنا النرضااااااية االبتدائية القائلة بأن دالتي المعقولية داللة 5.55 ن وبالتالي فإن إضافة مقد ارت المعقولية الجزئية لم يحدث فرقا معنويا لدالة المعقولية. تحليل البواقي: سنقوم بحساب قيم بواقي Cox & Snell لنموذج كوكس والمتمثلة بالمتغير ) r = ln S (t من نموذجي لكل كوكس المقدرين بالمعقولية العظمى الجزئية والمعقولية العظمى التامة. 7- د ارسة بواقي نموذج كوكس المقدر بالمعقولية العظمى الجزئية: بتننيذ اختبار كلماغوروف-سميرنوف على بواقي النموذج من خالل اختبار توزع متغي ر البواقي rp للتوزيع األس ي باستخدام اإلج ارء الجاهز الختبار سميرنوف-كلماغوروف في لغة R لنجد المخرجات ks.test بوسيط )1( ks.test(rp,"pexp",1) One-sample Kolmogorov-Smrnov test اآلتية:
65 data: rp D = 0.3675, p-value = 0.0003851 alternatve hypothess: two-sded توضس احتمالية االختبار 0.0003851 والتي تصغر مستوى الداللة 5.55 أن البواقي ال توافق التوزيع األس ي بوسيط )1( عند مستوى داللة 5.55 اعتمادا على اختبار كلماغوروف-سميرنوف. 2- د ارسة بواقي نموذج كوكس المقدر بالمعقولية العظمى التامة: R rf بتننيذ اختبار كلماغوروف - سميرنوف على بواقي هذا النموذج باستخدام لغة نجد المخرجات اآلتية: ks.test(rf,"pexp",1) One-sample Kolmogorov-Smrnov test data: rf D = 0.2251, p-value = 0.08126 alternatve hypothess: two-sded توضاااااااااس قيمة احتمالية االختبار 0.08126 والتي تكبر مساااااااااتوى الداللة 5.55 أننا نقبل النرضاااااااااية االبتدائية القائلة بتوافق البواقي مع التوزيع األسااااااااي بوساااااااايط ) 1 (ن وبالتالي فإن النموذج يوافق البيانات اعتمادا على د ارسااااااااة بواقي.Cox & Snell الخالصة: بالعودة للنموذج المقدر باستخدام نموذج المعقولية الجزئية )27.2( والمعقولية التامة )35.2(: Full ĥ(t, X) = 0.0555. exp( 0.6809 Gender + 0.0184 WBC + 0.3945 Rx ) Partal ĥ(t, X) = 0.0555. exp(0.0148 Gender + 0.0411 WBC + 1.3748 Rx ) نجااد أننااا أمااام نموذجين مختلنين كليااان واألهم هو أن المعااالجااة الجاادياادة تبين أن لهااا تااأثي ار معنوياااا في مقاااد ارت المعقولياة الجزئياةن بينما تبين من خالل مقد ارت المعقولية العظمى التامة أنت لم يكن لها تاثير معنوي اعتمادا على اختبااار.Wald وبيناات اختبااا ارت جودة التوافق أن النموذج المقترح متوافق مع البياااناااتن بينمااا نموذج المعقوليااة غير متوافق الجزئياة مع البيااناات. كال هاذا يادفعناا إلى القول باأن نموذج المعقولياة الجزئياة غير مالئم على األقال في هذا التطبيق. في المحصااالةن فإن النتائج التطبيقية تؤكد ما تمت مناقشاااتت على أن نموذج مقد ارت المعقولية العظمى هو أقرب للتوافق مع البيانات مقارنة مع نموذج مقد ارت المعقولية الجزئية.
66 المبحث الثالث: استخدامات نموذج كوكس ينتج عن تقدير كامل نموذج كوكس للمخاطر النسبية باستخدام مقد ارت المعقولية العظمى استخدامات هامة جديدةن وهي التنبؤ بزمن اقت ارب وقوع الحدثن والتحكم بالمخاطر قدر المستطاع من خالل تغيير قيم المتغي ارت المستقلة. التنبؤ بزمن اقت ارب وقوع الحدث: 7.9 التنبؤ بزمن اقت ارب وقوع الحدث هو تقدير قيمة الزمن الذي يرتنع عندا احتمال وقوع الحدث للعنصر k والذي يأخذ الشعاع قيمة x. k يعتبر التنبؤ باستخدام نموذج كوكس مسألة جديدةن إذ أن تحديد لحظة وقوع الحدث اقت ارب يتطلب تقدير كامل النموذج. ولم يسبق حتى تاريخ البحث أن استخدمت صيغة نموذج كوكس للمخاطر النسبية في التنبؤ نظ ار ألن استخدام صيغة نموذج كوكس يتطلب تقديرها بالكامل وتقييم جودة توافقها. k t تحديد قيمة هو مسألة التنبؤ معالجة في نقترحت ما التي يكون عندها احتمال على قيد العنصر بقاء t الحياة حتى اللحظة الزمنية t يساوي القيمة االحتمالية γ. بالصيغة الرياضيةن ما هي قيمة التي تحقق المعادلة: S (t, x k ) = γ أو: S 0(t, α ) exp(β T X) = γ (23.2) t فالزمن γ = 0 k γ يمثل االحتمال حيث احتمال بقاء العنصر على قيد الحياة حتى اللحظة tن فإذا وضعنا يمثل زمن الموت. ومعلوم أن دالة الحياة ال تساوي نظريا الصنر التامن لكنها تتناها إلى الصنر عندما يتناهى زمن الحياة إلى الالنهاية )الخاصة 9.1 النصل األول(. لكن من الناحية التطبيقية يمكن وضع دالة الحياة مساوية لقيمة احتمالية صغيرة 5.1 مثل تمثل احتمال اقت ارب العنصر المدروس من الموت. وبالتالي إذا أردنا حساب الزمن الذي ستصل إليت دالة الحياة إلى قيمة )γ( احتمالية علينا حل المعادلة: f(t, x k ) = S 0(t, α ) exp(β T X) γ = 0 (24.2).t بالنسبة لا tن وهذا المعادلة يتطلب حلها عدديا بالنسبة للزمن من الطرق العددية المقترحة هي طريقة نيوتن التك اررية, n t 0, t 1,, t تتقارب من,r بحيث أن Newtonن وتقوم هذا الطريقة على أن المتتالية: : [39] S (r, x k ) مع 0 r قابل لالشتقاق عند S (t, x k ) t n = t n 1 f (t n 1, x k ) f(t n 1, x k ) (25.2) ويشترط لتقارب الحل أن يكون التك ارر األول متقاربا[ 39 ].
67 وفي حال صعوبة أو عدم إمكانية الحصول على الصيغة التامة للمشتقن يمكننا تقريب المشتق األول للتابع بالصيغة: وهذا التقريب لقيمة المشتق يسمى بطريقة القواطع f (t n, x k ) = f(t n, x k ) f(t n 1, x k ) t n t n 1 (26.2) Secant Method في حساب المشتق األول..[39] ويمكن برمجة هذا الطريقة بلغة R كما هو موضس في البرنامج رقم )5( في الملحق )4( تطبيق )9(: لنقم بتحديد الزمن الذي تكون عندا قيمة دالة الحياة قيمة احتمالية صغيرة 5.1 ن أي الزمن الذي سيصل احتمال وقوع الحدث فيت إلى 5.9 ألحد وذلك العناصر المدروسة في التطبيق )1(. ولتكن على سبيل المثال العنصر اآلتي: جدول )9.2(: بيانات أحد عناصر التجربة في التطبيق )1( t Censor Sex WBC Rx 23 0 1 7.17 1 وجدنا سابقا أن نموذج كوكس المعنوي المقدر الموافق لهذا البيانات وفقا لطريقة المعقولية العظمى التامة )22.2( h ˆ( t, X) 0.0555exp 0.6809Gender 0.0184 WBC 0.3945 Rx هو: ودالة الحياة لكوكس المقابلة لهذا النموذج هي: S (t, x k ) = S 0(t k, α ) exp(β T X k ) S (t, x k ) = exp[ 0.0555. exp( 0.6809 Gender k + 0.0184 WBC k + 0.3945Rx k ) t] fd f وبالتالي إليجاد زمن وقوع الحدث للعنصر رقم k طريقة نيوتن باستخدام يتوجب أوال تعريف التوابع و :γ = 0.1 المستخدمة في البرنامج 5# بعد وضع f = functon(t) { return (exp(-0.0555*exp(- 0.6809*Gender+0.0184*WBC+0.3945*Rx)*t) -0.1) } fd = functon(t) {
68 return (1/(-0.0555*exp(- 0.6809*Gender+0.0184*WBC+0.3945*Rx))*exp(-0.0555*exp(- 0.6809*Gender+0.0184*WBC+0.3945*Rx)*t)) } f = functon(t) { return (exp(-0.002447*exp(3.605547*ca[k]- 2.63566*e[k]+2.373871*cl[k])*t) -0.9) } fd = functon(t) { return (1/(-0.002447*exp(3.605547*ca[k]- 2.63566*e[k]+2.373871*cl[k]))*exp(- 0.002447*exp(3.605547*ca[k]- 2.63566*e[k]+2.373871*cl[k])*t)) } علما أن المشتق األول لدالة الحياة لنموذج كوكس هو: 1 S (t, x k ) = 0.0555. exp( 0.6809 Gender + 0.0184 WBC + 0.3945Rx) exp[ 0.0555. exp( 0.6809 Gender + 0.0184 WBC + 0.3945Rx) t] بتطبيق البرنامج 5# على بيانات العنصر المدروس نجد المخرجات: Gender<- 1 WBC<- 7.17 Rx<- 1 nr(5,1000,0.001) $t1 [1] 23.56711 $check [1] 0.0009995167 أي عند اللحظة الزمنية 23.56711 سيصل احتمال وقوع الحدث للعنصر المدروس إلى 5.9 بخطأ في تقدير الزمن ال يتجاوز 0.001 من اللحظة زمنية )واللحظة الزمنية في الد ارسة شهر(. censor=0 بالنظر إلى بيانات العنصر نجد أن أي أن الحدث في اللحظة لهذا العنصر قد وقع 02 ن الزمنية وبالتالي حصلنا على نتيجة تنبؤ جيدة. التحكم بالمخاطر من خالل المتغي ارت المستقلة: 2.9 بالعودة لنموذج كوكس المقدر وفقا لطريقة المعقولية العظمى التامة )22.2(: ĥ(t, X) = 0.0555. exp( 0.6809 Gender + 0.0184 WBC + 0.3945 Rx )
69 1 Gender ĥ(t, X) : نالحظ أن قيماة المخااطر في اللحظة t تقل مع جعل قيمة الثنائي المتغير يأخذ القيمة )الاذكور(ن مقاارناة مع أخاذهاا للقيماة 5 )اإلناااث( وبااالتاالي تقال مخاااطر االنتكاااس عموماا عناد الاذكورن وتزياد عناد (X, ĥ(tن اإلنااث. وكاذلاك باالنساااااااااااااباة WBC للمتغير فنالحظ أنات باانخنااض قيمتات تنخنض معات قيماة المخااطر إضااافة إلى أن المتغير مع تخنيض قيمتت تنخنض المخاطرن وبالتالي للحصاااول على أقل مخاطر ممكنة يجب أن يأخذ شعاع المتغي ارت المستقلة Rx) (Gender, WBC, القيمة (1,0,0). وهنا تطرح التساؤالت: عنااااااد التعاااااااماااااال مع إحاااااادى وحاااااادات العينااااااة والتي يااااااأخااااااذ شاااااااااااااعاااااااع متحوالتهااااااا المساااااااااااااتقلااااااة القيم متغي ارت فهناك قد يستطيع الباحث التحكم فيها مثل كريات الدم البيضاء (Gender k, WBC k, Rx k ) بحياث يخنض كمياة كرياات الادم البيضااااااااااااااء في الادم لادرجاة مقبولاة طبياا. وهناك مثل متغي ارت WBC k الجنس Gender k ال يستطيع الباحث التغيير فيها ألحد المرضى بغرض تخنيض المخاطر. كما قد تظهر بعض القيود في إمكانية التغيير في قيم المتغي ارت المساااااتقلةن وهي في مثالنا هنا أن كريات الدم البيضاااااااااااء يجب أن ال تقل عن حد معينن سااااااااااواء من الناحية الطبية عمومان أو أن هذا المريض لت أوضاع خاصة ما. ومع وجود متحوالت مستقلة أكثر قد تظهر لدينا قيود أكثر تعقيدا. وعمومان فعندما نتوصل إلى تقدير نموذج كوكس: ĥ(t, X) = ĥ 0 (t). exp ( β X ) ρ =1 فإنت قد تظهر لدينا قيود على تغيير المتغي ارت المستقلة: g ( X) 0 g ( X) 0 g ( X) 0 قد تجعل من المعقد تحديد قيم المتغي ارت المستقلة التي تجعل قيمة المخاطر أصغر ما يمكن. مثل هذا المسألة تحل عادة باستخدام طرق البرمجة الرياضيةن والتي سنستعرضها في النصل التالي.
70 بعض الثالث الفصل تطبيقات نموذج كوكس للمخاطر النسبية Chapter 3: Some Applcatons of Cox Proportonal Hazard Model يعتبر نموذج انحدار كوكس للمخاطر النساااابية النموذج األكثر اسااااتخداما في مجاالت التحليل اإلحصااااائي للبحوث الطبياة في حاال ظهور ارتقاب في حاالت العينة.Censorng على خالف النماذج التقليدية مثل نموذج االنحدار الخطي المتعدد Regresson( )Multple Lnear واالنحدار المنطقي Regresson( )Logstcs واللذين ينترضان اكتمال كافة المعلومات. اقتصااااااااااارت نموذج تطبيقات معظم كوكس للمخاطر النسااااااااااابية على التطبيقات الطبية [ 40 ]ن وهذا ما دفع الباحثين إلى ربط اسااااااام النموذج بكلمة "hazard" والتي تعني لغويا بالمخاطر الصاااااااحية والجيولوجيةن على خالف كلماة "rsk" والتي تعني المخااطر عموماا. لكن نموذج كوكس من النااحياة النظرياة يمكنناا اساااااااااااااتخادامات ألياة حالة.)1.1.2 تطبيقية تتضمن أزمنة م ارقبة وقوع حدث )كاألمثلة التي عرضت سابقا في النقرة سااانعمد لذا إلى طرح تطبيق نموذج كوكس للمخاطر النسااابية في قضاااية ماليةن ومضااامنا أيضاااا وجود قيود على قيم المتغي ارت المسااااتقلة مت ارفقة مع دالة النموذج. لذا ال بد من عرض سااااريع لمبادب البرمجة الرياضااااية وأهم طرق حل مسائلها باستخدام البرمجيات الجاهزة.
71 المبحث األول: مقدمة في البرمجة الرياضية البرمجة نماذج الرياضية: 7.7.9 إن مسااألة البرمجة الرياضااية تعني البحث عن القيمة المثلى )صااغرى أو عظمى( لتابع جبري يضاام عدة متغي ارت. تخضااااااع هذا المتغي ارت لمجموعة من القيود تأخذ صاااااايغة متساااااااويات أو مت ارجحات. ونعبر عن ذلك كلت بالشااااااكل اآلتي [41]: Mn f(x) or Max f(x) Subject to: g (X), =, d ; = 1,2,, m (1.3) X 0 X R n علما أن: X شعاع مركباتت ) n (x 1, x 2,, x وهذا المركبات هي مجاهيل المسألة. التابع f(x) هو التابع الذي نرغب بإيجاد قيمتت المثلى )العظمى أو الصغرى( ويدعى الهدف. بتابع مجموعة المت ارجحات أو المساويات وهي توابع معرفة في g (X) 0 ; = 1,2,, m.x 0 النضاء R n وتدعى قيود المسألةن إضافة إلى قيد عدم السلبية نسمي مجموعة األشعة X R n والتي تحقق جميع قيود المسألة بالحلول الممكنة. ونسمي المنطقة التي تحوي مجموعة الحلول الممكنة بمنطقة اإلمكانيات. نسمي الشعاع X R n الذي يحقق جميع قيود المسألة ويبلغ التابع فيت قيمتت المثلى بالحل األمثل. إن حل مسألة البرمجة الرياضية يتطلب إذا إيجاد الشعاع X R n قيمتت المثلى. الذي يحقق جميع القيود ويبلغ تابع الهدف وتأخذ النماذج الرياضية أشكاال مختلنةن ونميز على وجت الخصوص ما يأتي [41]: 1. النماذج الخطية :Lnear Models يكون النموذج )1.3( خطيا إذا كان كل من f(x) و (X) g من أجل كل =,1,2, m خطية في حد ذاتها. وعادة ما يتم صياغتها بالشكل المعياري اآلتي:
72 n a j x j j=1 n Max f(x) = C j x j j=1 Subject to: b j ; = 1,2,, m x j 0 ; j = 1,2,, n (2.3) وبالطبع فإنت باإلمكان وضع أي مسألة برمجة خطية بشكلها المعياري. النماذج غير الخطية :Nonlnear Model إن أي نموذج رياضي يكون غير خط ي إذا كان تابع.2 ي. الهدف أو إحدى قيودا غير خط النماذج التربيعية :Quadratc Models وهي حالة خاصة من النماذج غير الخطية والتي تكون فيها.3 جميع القيود خطيةن النماذج الديناميكة لكن تابع الهدف يأخذ الصيغة التربيعية. :Dynamc Models وهي نماذج رياضية تأخذ عادة الصيغة اآلتية: Optmze Z = f 1 (x 1 ) + f 2 (x 2 ) + f n (x n ) Subject to: n a j x j 0 ; = 1,2,, m j=1 x j 0 ; j = 1,2,, n (3.3).4 2.7.9 حل مسائل البرمجة الرياضية: هذا النقرة في نهتم بعرض البرمجيات الجاهزة في معالجة مسااااااااااااائل البرمجة الرياضااااااااااااية مع عرض للطرق العلمية R المساااااااااااااتخاااااادمااااااة في هااااااذا البرمجيااااااات البرنااااااامج مثاااااال اإلحصاااااااااااااااااااائي المعتمااااااد من قباااااال مؤساااااااااااااساااااااااااااااااااة AIMMS وبااارنااااااااماااج MS Excel وبااارنااااااااماااج 7 The R Foundaton for Statstcal Computng ن المتخصاص بحل مسائل البرمجة الرياضية. تختلف طرق حل مسائل البرمجة الرياضية وفقا للتصنيف المذكور في النقرة 1.1.3 غير أن البرمجيات الجاهزة مثل R تعتمد طرقا عدديا عامة تحل مساااااااائل البرمجة الرياضاااااااية ساااااااواء كانت خطية أو غير خطيةن Nelder-Mead مثل طريقة المتضاااااامنة في برنامج R ضااااااامن اإلج ارء Optm إذا كان النموذج الرياضاااااااي بدون قيودن أو اإلج ارء constroptm إذا كان النموذج مع قيود خطية وبشاااااااروط مقيدةن 7 وهي مؤسسة علمية غير ربحيةن مقرها الرئيسي في فيينا عاصمة النمسان يضم أعضاؤها 255 من أساتذة الجامعة والباحثين من مختلف أنحاء العالمن وتتعاون معها وتدعمها عش ارت المؤسسات العلمية واالستشارية والجامعات. www.r-project.org/foundaton
73 فإن كانت القيود غير خطية فحل هذا المسااألة غير متوفر حتى اآلن في برنامج Rن في هذا الحالة يمكن اسااتخدام برنامج AIMMS المتخصص بذلك. ويتوقف استخدام البرنامج الممناسب وفقا للحالة التطبيقية. أوال - برنامج R: R بيئة هي لغة R برمجة منتوحة المصدر تستخدم للتحليل اإلحصائي والرياضي والرسم البياني. يستخدم برنامج عددا من الطرق العددية الحديثة لحل مسائل البرمجة الرياضية الخطية وغير الخطية بالمتضمنة في اإلج ارء Optm R هذا في حالة عدم وجود قيود في النموذجن أما في حالة وجود قيود خطية في النموذج فتتضمن لغة إج ارء constroptm والذي يستخدم طريقتين فقط من الطرق المتضمنة في اإلج ارء Optm في حل النماذج التي تتضمن تابع هدف خطي أو غير خطي لكن مع قيود خطية [42] وهما: طريقة :"Nelder-Mead" وهي الطريقة االفت ارضااااااية التي يسااااااتخدامها برنامج R في حال عدم تحديد -7 [43] طريقة ما. وهي طريقة عرضاااااااااات أول مرة من قبل Nelder & Mead وتعتمد فقط على م ارقبة تغي ر قيماة تااابع الهادفن تتميز بااأنهاا طريقاة صاااااااااااااالحاة مع أي تااابع هادف حتى مع التوابع غير القااابلااة لالشااااااتقاقن وال يقيد اسااااااتخدامها أية شاااااارطن سااااااوى أن يكون التابع مسااااااتم ار ويوجد حل وحيد في منطقة البحث. 2- طريقووووة :"BFGS" وهي طريقااااااة لكوشاااااااااااااي نيوتن )وتعرف أيضااااااااااااااااااا بخوارزميااااااة المتحول المتريااااااة Broyden, Fletcher, Goldfarb تم نشااارها أول مرة من قبل )Varable Metrc Algorthm( وتعتمد هذا الطريقة بناء سطس متعدد األبعاد لتابع الهدف الذي نريد أمثلتت. [44] and Shanno غير أن هذا الطريقة تتطلب تحديد قيم ابتدائية موفقة لحل البرنامجن وتكمن الصعوبة في أن هذا القيم a j االبتدائية يجب أن تحقق الشرط اآلتي [42]: a 11 a 1n b 1 0 [ ] [x 1 (0) x n (0)] [ ] [ ] (4.3) a m1 a m n a m 0 علما أن المعامالت a j و b j موضحة في النموذج ) 3.3 (ن فإذا كانت مصنوفة المعامالت مصنوفة مربعة يمكن تحديد القيم االبتدائية التي تحقق المعادلة )4.3( بالحل اآلتي: x 1 (0) a 11 a 1n [ ] [ ] x n (0) a m1 a m n 1 b 1 [ ] (5.3) a m فإن كان الحل غير موجودن أو أن مصنوفة المعامالت a j مصنوفة غير مربعة فقد يتعذر الوصول إلى constroptm قيم ابتدائية تحقق الشرط )4.3( وبالتالي عدم إمكانية االستنادة من اإلج ارء في حل النماذج الرياضية.
74 :MS Excel برنامج ثانيا - يتضااااااامن برنامج إكسااااااال في أدواتت الملحقة األداة Solver التي تقوم بحل مساااااااائل البرمجة الرياضاااااااية لتابع هدف خطي أو غير خطي لكن بشرط كون القيود خطية. MS Excel تتميز األداة Solver باسااااتخدامها للخوارزمية الرياضااااية المناساااابة للحالة المعروضااااةن فإذا MS Excel Solver كاان لاديناا متغيرين فقط في النموذجن تساااااااااااااتخادم األداة طريقاة الحل البياني. فإذا كان عدد المتغي ارت ثالثة فأكثر وكانت الساألة برمجة خطية تستخدم األداة MS Excel Solver خوارزميات السمبلكس في حال المساااااااااااااألاة. أماا إذا كاانات دالاة الهادف غير خطياة فتساااااااااااااتخادم األداة طريقاة خوارزمية إنقاص تابع الغ اردينت Generalzed Reduced Gradent (GRG2) Algorthm وتعتمااد هااذا الطريقااة مباادأ التجربااة والخطااأ.[45] )Tral and Error( :)Advanced Interactve Multdmensonal Modelng System( AIMMS برنامج ثالثا - وهو نظام برمجي صمم لنمذجة وحل مسائل األمثلية الضخمة والمعقدة [46]. ويتألف من لغة نمذجة جبرية.Integrated Development Envronment وبيئة تطوير متكاملة Algebracن Modelng Language ويربط برنامج AIMMS مع عدد من حزم الخوارزميات وطرق الحل والتي تغطي مختلف حاالت مسائل البرمجة الرياضية التي ظهرت في المسائل التطبيقية.
75 المبحث الثاني: تطبيقات اقتصادية لنموذج كوكس للمخاطر النسبية نموذج كوكس يدرس عموما العوامل المؤثرة في زمن وقوع حدث مان والحدث الذي قد نهتم بد ارستت في القطاع االقتصادي قد يكون: حدث اإلفالس للشركات التعثر المالي للمقترضين بدءا من تأسيسها بدءا من تاريخ االقت ارض وصول قيمة سهم إلى مقدار معين بدءا من تاريخ ش ارئت توقف العميل عن تجديد االشت ارك بخدمة سنوية محددة بدءا من أول اشت ارك لت سنستعرض الحقا تطبيقا ماليا يتضمن استخدام دالة كوكس كمقياس جديد مقترح لقياس مخاطر االستثمار في المالية. األسهم التحليل الكمي لمخاطر االستثمار األسهم في 7.2 8 Market Value تعرف مخاطر االستمثار في السهم على أنها مخاطر االنخناض في القيمة السوقية للسهم الناتجة عن عدد من تغي ر عوامل السوق التي قد ترتبط بأسباب خارجية أو بالشركة. متعلقة داخلية وعادة ما تقاس هذا المخاطر كميا من خالل إحدى مقاييس التشتت حول متوسط القيمة السوقية للسهمن نذكر من هذا المقاييس [47]: االنح ارف المعياري The Standard Devaton ن ويأخذ الصيغة: -1 σ(x) = E[X E(X)] 2 (6.3) علما أن X هو القيمة السوقية للسهمن و E(X) هو القيمة المتوقعة للقيمة السوقية والذي يتم تقديرا عادة بالمتوسط الحسابي X ن ويعاب على هذا المقياس بأنت يرتنع مع أي تغي ر يحصل في القيمة للسهم السوقية سواء كان تغي ار إيجابيا أو سلبيا. 2- االنح ارف المعياري النصفي السفلي :The Lower Sem Standard Devaton ويختلف عن السابق بأن المعيار قيمة المقياس ترتنع فقط عندما تنخنض القيمة السوقية للسهم ويأخذ الصيغة: σ (X) = E [(X E(X)) ] 2 (7.3) علما أن: a} (a) = mn{0, 8 تعرف القيمة السااااوقية للسااااهم على أنها أعلى سااااعر يمكن أن يدفعت الشاااااري ويرضااااى بت البائع في جلسااااة تداول منتوحة وحرة. [51]
76 وعموما فإن مقاييس المخاطر المالية المستخدمة تصب في ننس التصنيف وهو مقاييس التشتت والتي تعبر عن مدى التذبذب أو مدى االنخناضن وتتصف هذا المقاييس بتجاهلها لعنصر الزمنن بمعنى أن هذا المقاييس ال تزودنا بالمعلومات اآلتية: احتمال انخناض القيمة السوقية للسهم دون مستوى معين قيد االهتمام في زمن محدد. -1 التنبؤ بزمن اقت ارب وقوع حدث االنخناض عن حد معين. -2 فكثي ار ما نصادف سهمين مختلنين لكل منهما ننس فرص الزمن لكن االنخناضن المتوقع لالنخناض غير متوفرن المعلومة التي يحتاجها 9 المستثمرون عمومان والمضاربون خصوصا. ما نقترحت هو استخدام دالة انحدار كوكس للمخاطر النسبية كمقياس جديد لمخاطر االستثمار في األسهمن والذي يقيس احتمال انخناض القيمة السوقية للسهم عن حد معين: ρ h(t, X) = h 0 (t). exp ( β X ) (8.3) =1 علما أن: الحدث قيد الد ارسة: هو انخناض القيمة السوقية للسهم عن حد معين )أو خسارتها لنسبة مئوية معينة من قيمتها السوقية عند ش ارئها( h(t, X) المتحوالت المستقلة: هي عوامل تساهم في المخاطر النسبية )اإلجمالية( بدرجات مختلنة في حين تمثل المعامالت β, = 1,2,, ρ شكل ودرجة تأثير كل متغير مستقل في المخاطر. مجموعة المتغي ارت المستقلة يمكن أن تكون: عوامل داخلية مرتبطة بالشركة مثل هيكل أرس المالن أو مؤش ارت الربحية. o عوامل o خارجية قد ترتبط بعوامل االقتصاد الكلي أو بظروف السوق مثل التضخم والناتج المحلي 10 اإلجمالي GDP ويعتبر تحديد المتغي ارت المستقلة المدخلة في المعادلة أم ار مرتبطا بآ ارء االقتصاديين في تحديد العوامل المتوقع تأثيرها على القيمة السوقية للسهم. قد فبعضهم يجد أن مؤش ارت الربحية مثل العائد على حقوق الملكية لها أكبر أثر على القيمة السوقية للسهم كونت األكثر تعبي ار عن الهدف الرئيسي للشركات وهو تعظيم ثروة ROE 9 10 يشاااتري المساااتثمر األسااااهم ليحتنظ بها على المدى البعيد بهدف الحصااااول على أرباحها السااانويةن في حين أن المضااااارب يشاتري األساهم ليعيد بيعها في أقل من سانة بهدف االسااتنادة من فروقات األساعارن لذا فتحديد زمن اقت ارب االنخناض يهمت جدا [51] وهي إجمالي القيمة المالية لجميع المنتجات والخدمات المنتجة داخل حدود البلد وضمن فترة زمنية محددة [51]
77 المالك [48] ن أو تأثير عدد من النسب المالية وخصائص الشركة كحجمها [ 49 ]ن أو تاثير هيكل أرس المال على القيمة السوقية [ 50 ]ن سنستعرض الحقا تطبيقا ندرس فيت تأثير هيكل أرس المال على القيمة السوقية للسهم. تطبيق )01(: Captal Structure لنأخذ حالة الشركات الصناعية في البورصة السعوديةن ولندرس تأثير هيكل أرس المال في نهاية عام 2511 على مخاطر انخناض القيمة السوقية للسهم في العام 2512. تضم البورصة السعودية 27 شركة 11 صناعية ن الحدث قيد االهتمام هو انخناض القيمة السوقية للسهم خالل العام 2512 ا مقدار يزيد عن %15 عن قيمتت السوقية في بداية عام 2512. تتضااااااااااااامن المي ازنيااة العااامااة للشاااااااااااااركااة Balance Sheet معلومااات ماااليااة حول تصااااااااااااانينين مختلنين ماان أرس الااماااااااال فااي جااااااااناابااياان ماان الاامااعاالااومااااااااتن الااجااااااااناااااااب األول هااو الاااللااتاا ازماااااااات وحااقااوق الااماالااكااياااااااة Total ويمثال الطرف األول من المي ازنياةن والجااناب الثااني هو Labltes and Shareholders' Equty.[51] إجمالي أصول الشركة.Total Assets وهذا ويجب أن تتساوى قيمتي كل جانب من جانبي المي ازنية كما ويقسم كل جانب من جانبي المي ازنية كما يلي: االلت ازمات وحقوق الملكية ويمثل الطرف األول من المي ازنيةن ويقسم وفقا لاللت ازمات إلى [51]:.1 حقوق الملكية Equty وهي األموال التي يملكها المساهمون..a االلت ازمات Labltes وتقسم أيضا إلى صننين:.b Current Labltes االلت ازمات. قصيرة المدى )متداولة( االلت ازمات Long-term Lablty. بعيدة المدى أصول الشركة ويمثل الطرف الثاني من المي ازنية ويقسم وفقا إلمكانيية تحويل أصول الشركة إلى.2 سيولة مالية )Lqudty( إلى: أصول ثابتة Fxed Assets )كاألبنية والمكنات(.a أصول متداولة Current Assets )كالبضائع ومواد الخام(.b 11 الموقع الرسامي للبورصاة الساعودية. www.tadawul.com حيث تم اختيار مثال الشاركات الصاناعية في هذا البحث نظ ار ألنها تتضامن توزيعا واضاحا للنسااب المالية مقارنة مع المؤساسااات الخدمية أو المالية والتي قد تصال فيها نساابة حقوق الملكية مثال إلى أقل من %3 من إجمالي أصاول الشاركة. وتم اختيار البورصاة الساعودية نظ ار لكونها تضام عددا كبي ار من الشركات الصناعية مقارنة مع نظي ارتها في بقية البورصات العربية.
78 شكل )7.2(: المي ازنية العمومية االلت ازمات وحقوق الملكية األصول حقوق الملكية االلت ازمات أصول متداولة أصول ثابتة االلت ازمات المتداولة االلت ازمات بعيدة المدى وبالتالي فإن متغي ارت الد ارسة هي: %15 متغير الزمن t: وهو رقم أول جلسة تداول تنخنض فيها القيمة السوقية بمقدار عن القيمة السوقية 255 في أول جلسة من العام 2512 ن فإن انتهى العام المالي )والذي مدتت جلسة تداول في البورصة السعودية( ولم ينخنض فإن هذا الزمن يأخذ القيمة 285 متغير االرتقاب البولياني c: ويأخذ القيمة 1 إذا لم ينخنض قيمة السهم عن مقدار %15 حتى نهاية فترة 5 255 المتابعة في العام 2512 )وهي جلسة تداول تمثل فترة المتابعة(ن ويأخذ القيمة انخنض عن إذا هذا المقدار خالل هذا العام. Er = Equty / Assets قيمة نسبة حقوق الملكية إلى األصول قيمة CLr = Current Lablty / Assets المتداولة إلى الديون قيمة نسبة األصول قيمة CAr = Current Assets / Assets قيمة نسبة األصول المتداولة إلى األصول قيمة لم تتضمن متغي ارت البحث متغي ر نسبة الديون بعيدة المدى إلى األصول ألنت يمكن الحصول على هذا النسبة من خالل المقدار: 1-Er-CLrن أما متغي ر نسبة األصول الثابتة إلى األصول يمكن الحصول عليها من المقدار.1-CAr فإن شكل وبالتالي البيانات 12 سيكون موضحا بالجدول اآلتي : 12 يتضمن الملحق كامل بيانات الد ارسة
79 جدول )2.2(: بيانات الشركات المدروسة CAr CLr Er c رقم الشركة t 0.11 0.86 0.28 1 285 1 0.29 0.60 0.44 1 285 2.................. 0.22 0.20 0.84 0 25 27 المطلوب هو د ارسة تأثير هيكل أرس المال )النسب السابقة( على مخاطر االنخناض في قيمة السهم انخناضا يزيد عن %15 خالل مدة المتابعةن ومن ثم تقديم مقترح لهيكلة أرس المال بحيث تخن ض المخاطر قدر اإلمكانن وذلك ضمن شروط خاصة يريدها المدير المالي في شركة مان ولتكن: بقاء النسب الجديدة لمكونات أرس المال ضمن المعايير الموصى بها عالميا Benchmarks من قبل -1 الباحثين ومؤسسات التقييم المالي وهي [52]: 1 Current Assets / Current Lablty 1.5 (9.3a) 0.3 Equty / Assets 0.7 ال تتجاوز إجمالي ديون الشركة )المتداولة وطويلة األمد( إجمالي األصول المتداولة: -2 Lablty Current Assets (9.3b) 3- شروط أساسية مرتبطة بالمتغي ارت وهي: وغير سالبة بالنسبة للمتغيرين ن Equty كون المتغي ارت موجبة تماما بالنسبة للمتغير a. :Current Lablty و Current Assets Equty > 0 & Current Lablty 0 & Current Assets 0 (9.3c) Assets Current Lablty مجموع المتغيرين Equty و ال يتجاوز المتغير )إجمالي.b األصول(: Equty + Current Lablty Assets (9.3d) نهدف أوال إلى تقدير نموذج كوكس للمخاطر النسبية: h(t, X) = h 0 (t). exp(β 1 CAr + β 2 Er + β 3 CLr) (10.3) وكما أشرنا سابقان للحصول على مقد ارت المعقولية العظمى التامة لوسطاء النموذج ال بد أوال من تقدير دالة المخاطر األساسية (t) hن 0 تعتمد منهجية التقدير على إيجاد مقد ارت المعقولية العظمى لنماذج المخاطرة الوسيطية األربعة:
80 األس ي والمنطقي اللوغاريتمي وكومبيرتز ونموذج وايبلن ومن ثم تحديد النموذج الموافق للبيانات وفقا الختبا ارت جودة التوافق. بحساب مقدر المعقولية العظمى لوسيط النموذج األس ي المبين بالعالقة (43.1): ˆ t C t R nc t t 15 0.002447 6130 وبتننيذ الب ارمج 1 و 2 و 3 على هذا البيانات نجد النماذج المقدرة وفقا لطريقة المعقولية العظمى موضحة بالجدول :3.2 جدول 9.2: نماذج الحياة المقدرة النموذج األسي المنطقي اللوغارتمي كومبيرتز دالة الحياة المقدرة 0.002447 t S (t) = e 0.21218 t S (t) = [1 + ( 0.02826 ) 1 ] 0.01442256e0.01442377 t S (t) = e وايبل S (t) = e ( t 0.01280053 )0.09610564 اآلن لد ارسة جودة توافق كل نموذج مع البيانات سنقوم أيضا بإيجاد دالة الحياة للعينة باستخدام تقدير كابلن مييرن لتظهر النتائج اآلتية: tme n.rsk n.event survval std.err lower 95% CI upper 95% CI 25 27 1 0.963 0.0363 0.894 1.000 130 26 2 0.889 0.0605 0.778 1.000 150 24 1 0.852 0.0684 0.728 0.997 168 23 1 0.815 0.0748 0.681 0.975 179 22 1 0.778 0.0800 0.636 0.952 185 21 1 0.741 0.0843 0.593 0.926 186 20 1 0.704 0.0879 0.551 0.899 195 19 2 0.630 0.0929 0.471 0.841 210 17 1 0.593 0.0946 0.433 0.810 218 16 1 0.556 0.0956 0.396 0.778 225 15 1 0.519 0.0962 0.361 0.746 240 14 1 0.481 0.0962 0.326 0.712 274 13 1 0.444 0.0956 0.292 0.678
81 نالحظ أنت لدينا 13 تغي ر نقطة في قيمة دالة الحياة للعينة عند كل زمن وقوع للحدث. يوضس الجدول 3.3 نتائج اختبار كاي مربع لجودة التوافق علما أن القيمة الحرجة حسبت عند :5.55 12=13-1 ومستوى داللة حرية درجة جدول 9.9: اختبار كاي مربع لجودة التوافق النموذج إحصاء االختبار القيمة الحرجة الق ارر األسي 11 يوافق 21 ال يوافق المنطقي اللوغارتمي 255 ال يوافق كومبيرتز 2 10 11 ال يوافق وايبل 141 والجدول 3.4 اآلتي يوضس نتائج اختبار كلماغوروف سميرنوف لجودة التوافق: جدول 9.2: اختبار كلماغوروف سميرنوف لجودة التوافق النموذج إحصاء االختبار القيمة الحرجة األسي 5.2315 الق ارر يوافق المنطقي اللوغارتمي 0.2614 5.7965 ال يوافق ال يوافق كومبيرتز 0.9560 ال يوافق وايبل 0.6131 يتضس من االختبارين السابقين أن النموذج األس ي هو النموذج الموافق للبيانات بناء على اختباري كاي مربع وسميرنوف كلماغوروف. وبالتالي األس ي النموذج سنعتمد اآلتي موافقا للبيانات: 0.002447 t S (t) = e ĥ(t) = 0.002447, t > 0 (11.3) ودالة المخاطرة : والذي يعني أن انخناض السهم متوقع في أي جلسة تداول وال ترتبط مخاطر االنخناض بتاريخ الجلسةن لكن االنخناض يرتبط بعوامل أخرى غير الزمن قد تتعلق بأداء الشركة أو نظامها المالي على سبيل المثال. بتعويض دالة المخاطرة األساسية المقدرة )11.3( في نموذج كوكس )15.3( ومن 4 ثم تطبيق البرنامج coxbeta.mlk ليصبس بالشكل: بعد تخصيص بالتابع المقدر األس ي النموذج
82 coxbeta.mlk <- functon(beta) { s <- 0 for ( n 1:n){ sumbeta <- 0 } for (j n 1:p) sumbeta <- sumbeta + beta[j]*x[, j] s <- s+ (1-censor[])*log(0.002447)+ (1- censor[])* sumbeta +exp(sumbeta)*log(exp(- 0.002447*t[])) } return(-s) بتننيذ البرنامج 4 نجد المخرجات اآلتية: $par [,1] [1,] 3.605547 [2,] -2.635660 [3,] 2.373871 $value [1] 107.4415 $counts functon gradent 112 NA $convergence [1] 0 110 توضاااااااس قيمة المخرج $convergence=0 بأن الحل قد تقارب بعد تك ارر الحل مرة ووصااااااالت $par 107.4415 قيمااة سااااااااااااااالااب لوغاااريتم دالااة المعقوليااة إلى وبتعويض قيم المعااامالت المقاادرة في المعادلة )11.3( إضااافة إلى دالة المخاطر األساااسااية المقدرة )12.3( نحصاال على نموذج كوكس المقدر اآلتي:
83 ĥ(t, X) = 0.002447. exp( 3.6055 CAr 2.6357 Er + 2.3739 CLr ) (12.3) اآلن لد ارسة معنوية المعامالت المقدرة سنستخدم اختبار Wald لتظهر قيم إحصاء االختبار لكل معامل: [1] 3.159343 4.141013 3.527576 بمقارنة هذا القيم مع القيمة الحرجة لتوزيع كاي مربع عند درجة حرية واحدة ومستوى داللة 5.55 وهي: 3.5415 نجد أن معامل Er متغي ر هو الوحيد الذي يحقق النرضية البديلة القائلة بعدم مساواتت للصنرن لكن إذا اعتمدنا 5.1 مستوى داللة يعطي مساحة أقل في قبول النرضية وهو االبتدائية تصبس القيمة الحرجة عند مستوى داللة تساوي 2.7555 وتصبس بالتالي قيم إحصاء االختبار للمعامالت كلها أكبر من القيمة الحرجة وبالتالي 5.1 المعامالت كلها معنوية عند مستوى داللة 5.1 بحساب نسب المخاطر لكل معامل ينتج ما يلي: = 36.80 ( exp(3.6055 ن نساابة المخاطر لمتغير نساابة األصااول المتداولة إلى األصااول CAr هي بمعنى أن زيادة قيمة هذا المتغير بمقدار )1( ساتزيد المخاطر 36 مرةن واذا ق أرنا ذلك كنسبة مئويةن فإن 5.36 زيادة متغير األصول المتداولة إلى األصول بنسبة %1 سيزيد ذلك من مخاطر االنخناض = 0.07 ( exp( 2.6357 ن وتعني نسبة المخاطر لمتغير نسبة حقوق الملكية إلى األصول Er هي 5.557 %1 أن زيادة حقوق الملكية في األصول بنسبة سيخن ض ذلك من مخاطر االنخناض مرة. = 10.74 ) exp(2.3739 ن نسبة المخاطر لمتغير نسبة الالت ازمات المتداولة إلى األصول CLr هي 5.11 %1 أن وتعني زيادة الالت ازمات المتداولة في األصااول بنسااابة سااايزيد ذلك من مخاطر االنخناض مرة. إذا أخدنا على سابيل المثال الشااركة Co. Natonal Metal Manufacturng and Castng لها البيانات اآلتية: والتي CAr Er CLr 0.236173 0.419647066 0.546895 فإن قيمة المخاطر في أي جلسة تداول علما أن سهم الشركة لم ينخنض حتى هذا الجلسة ستكون: ĥ(t, X) = 0.002447. exp( 3.6055 0.236173 2.6357 0.4196 + 2.3739 0.5469 ) = 0.0070 (13.3) ويعني ذلك بأن احتمال انخناض القيمة السااوقية للشااركة المدروساااة للسااهم هو حوالي %5.7 في أي جلساااة تداول %15 حتى هذا الجلسة. أن علما القيمة السوقية السهم لم يسبق لها أن انخنض بأكثر من
84 أما احتمال عدم انخناض السهم خالل العام فنحصل عليت من خالل دالة الحياة وهي: S (285) = S 0(285) exp(β T X) = 0.1380 %15 والتي تعني أن احتمال اسااتق ارر السااهم على سااعرا حتى آخر العام المالي بحيث ال ينخنض أكبر من بنساابة طوال العام هو حوالي %13.5 ومجموع مخاطر االنخناض المت اركمة حتى آخر جلسااااااااااااة تداول مدروسااااااااااااة في العام 2512 وهي اللحظة H (285) = ln S (285) = 1.9805 = 285 t فهو: %195 والتي تعني أن هذا الساااااهم ساااااينخنض بنسااااابة أكبر من %15 خالل العام المالي باحتمال والتي تعني أن السهم ال بد وأن ينخنض خالل هذا العام. تقييم النموذج: أوال - اختبار نسبة المعقولية: الختبار جودة توافق النموذج باستخدام اختبار نسبة المعقولية نكتب: betafull <- MLE$par 2*(coxbeta.mlk(betaFull)-coxbeta.mlk(c(0,0,0))) [1] 7.652155 نالحظ من قيمة اإلحصاء )7.6522( أنت درجة حرية وهي: أصغر من القيمة الحرجة لكاي مربع عند مستوى داللة 5.55 وبالتالي فإننا 7.5147 نقبل النرضية االبتدائية القائلة بأن دالتي المعقولية و) 3 ( L( ˆ L( متساويتين معنويا عند مستوى داللة 5.55 ن لكن بالنظر إلى القيمة الحرجة عند مستوى داللة يعطي مساحة أقل 6.2514 في قبول النرضية االبتدائية وهي 5.1 نجد أن القيمة الحرجة تساوي وبالتالي نجد أن إحصاء االختبار أكبر من القيمة الحرجة عند مستوى داللة. 5.1 أي أن هناك فرقا معنويا بين الدالتينن وبالتالي فإن إضافة مقد ارت. المعقولية العظمى لدالة المعقولية قد أحدث فرقا معنويا عند مستوى داللة 5.1 ثانيا تحليل البواقي:
85 - سندرس مدى موافقة بواقي cox & Snell للنموذج األس ي بوسيط 1 من خالل إج ارء اختبار كلماغوروف r سميرنوف على بواقي النموذج من خالل اختبار توزع متغي ر البواقي للتوزيع األس ي بوسيط )1( باستخدام R اإلج ارء ks.test الختبار سميرنوف-كلماغوروف في لغة لنجد المخرجات اآلتية: ks.test(r,"pexp",1) One-sample Kolmogorov-Smrnov test data: r D = 0.2745, p-value = 0.1724 alternatve hypothess: two-sded توضس قيمة احتمالية االختبار 0.1724 أكبر أنها من مستوى الداللة 5.55 ن وبالتالي فالبواقي تخضع للتوزيع عند مستوى داللة بوسيط األس ي 1 5.55 ن وبالتالي فإن النموذج يوافق البيانات اعتمادا على د ارسة بواقي.Cox & Snell التنبؤ بزمن اقت ارب االنخفاض: نهدف اآلن إلى حساب قيمة الزمن t بحيث تبلغ قيمة دالة الحياة عندا 5.1 ن بتعويض = 0.1 γ إضافة إلى التوابع و وتننيذ البرنامج 5# في النقرة النصل الثاني نجد المخرجات: 1.3 fd f nr(25,1000,0.00001) $t1 [1] 262.9433 $check [1] 9.999635e-06 263 %15 تعني النتائج أن الشركة المدروسة سينخنض قيمة سهمها دون عن بداية العام في جلسة التداول رقم باحتمال %95. التحكم بالمخاطر: بالعودة إلى نموذج كوكس المقدر )12.3(: ĥ(t, X) = 0.002447. exp( 3.6055 CAr 2.6357 Er + 2.3739 CLr )
86 إذا أردنا إعطاء أفضل هيكلة ل أرس المال تخنض المخاطر إلى أقل حد ممكن فإننا ببساطة سنعطي أكبر قيمة CLr CAr ممكنة للمتغير المستقل Er وهي 1 ن وأقل قيمة ممكنة للمتغيرين وهي و 5 ن وعندها ستصبس قيمة دالة المخاطر هي: ĥ(t, X) = 0.002447. exp( 3.6055 0 2.6357 1 + 2.3739 0 ) = 0.0002 5.5569 وبمقارنتت مع دالة المخاطر عند شركة Natonal Metal Manufacturng and Castng وهي نجد أن جعل كامل مصدر تمويل الشركة من حقوق ملكلية المساهمين Equty سيخنض مخاطر االنخناض بنسبة.%97 اآلن سنقوم بتقديم مقترح حول هيكلة جديدة ل أرس المال لهذا الشركة ضمن الشروط )9.3( تهدف هذا المقترحات إلى تقليل مخاطر انخناض سعر السهم قدر المستطاع. أوال سنقوم بصياغة نموذج كوكس المقد ر )13.3( بشكلت الخطي بالنسبة للمتحوالت المستقلة: ln ĥ(t, X) = ln 0.00244 + 3.6055 CAr 2.6357 Er + 2.3739 CLr (14.3) بالعودة إلى صيغ الشروط )9.3a(: الشرط األول يمكن صياغتت بالشكل: أو: وهذا الشرط يكافئ المت ارجحتين: 1 Current Assets / Current Lablty 1.5 0.3 Equty / Assets 0.7 1 Current Assets / Assets Current Lablty / Assets 1 CAr / CLr 1.5 -CAr + CLr 0 CAr - 1.5CLr 0 1.5 أما الشرط الثاني فهو يكافئ المت ارجحتين: Er 0.7 & -Er -0.3 Lablty Current Assets أو: Assets Assets - Equty Current والشرط )9.3b) : أو: 1-Er CAr والذي تكافئ المت ارجحة: -1 Er -CAr
87 يضاف إليهم الشروط )9.3c( : Equty > 0 & Current Lablty 0 & Current Assets 0 أو: 0 CAr Er > 0 & CLr 0 & إضافة إلى )9.3d(: الشرط Equty + Current Lablty Assets أو: 1 CLr Er + ومنت يمكن تشكيل نموذج مسألة خطية لهذا الحالة بالشكل: mn ln ĥ(t, X) = ln 0.00244 + 2.7462CAr 2.5070 Er + 2.1537 CLr Subject to: -CAr + CLr 0 CAr - 1.5CLr 0 Er 0.7 -Er -0.3 -CAr Er -1 -CLr 0 -CAr 0 Er + CLr 1 (15.3) -Er -0.3 علما أن الشرط < 0 -Er موجود ضمنيا في الشرط بحل مسألة البرمجة الخطية باستخدام برنامج إكسل )األداة )Solver تظهر قيم متغي ارت المسألة التي تجعل قيمة لوغاريتم دالة المخاطر (X ln ĥ(t, اصغر ما يمكن بالشكل: CAr Er CLr 0.3 0.7 0.2 والتي تعني أن أفضاال نظام هيكلة ل أرس المال يجعل المخاطر أقل ما يمكن هو بجعل %75 من مصااادر التمويل هي من حقوق المسااااااااااااااااااااهمين %25 Equtyن وجعاااااال من مصاااااااااااااااااااادر التموياااااال هي الااااااديون المتااااااداولااااااة.Current Assets Currentن Lablty وجعل %35 من األصول هي أصول متداولة باالعودة إلى حاالاة الشاااااااااااااركاة المادروساااااااااااااة نجد قيمة دالة المخاطر عند تعويض قيم المتغي ارت في الجدول عند الزمن السابق 285=t تصبس: ĥ(285, x) = 0.0018
88 5.5569 وبمقاارناة قيماة المخااطر الجاديادة 5.5515 مع قيماة المخاطر الساااااااااااااابقة نالحظ أن اساااااااااااااتخدام الهيكلة %73.6 المقترحة ل أرس المال وضاااااامن الشااااااروط الموصااااااى بها أن من المتوقع تخنض المخاطر بمقدار بالنساااااابة للشاااااااااااركة المدروساااااااااااة. Co Natonalن Metal Manufacturng and Castng وبحسااااااااااااب قيمة المخاطر المتصاعدة حتى الزمن 255 نجدا: H (285, x) = 0.5226 1.9554 5.5226 وبمقارنة المخاطر المت اركمة الجديدة مع مثيلتها قبل تعويض نظام الهيكلة القترح نجد أن. نظام هيكلة ر أس المال المقترح يخنض المخاطر أيضا بننس النسبة %73.6 الخالصة: وضاااس هذا التطبيق إمكانية اساااتخدام نموذج كوكس للمخاطر النسااابية كمؤشااار جديد في قياس مخاطر االساااتثمار في األسااااااهمن ويسااااااتخدم النموذج حديثا في عدد من التطبيقات االقتصاااااااديةن نذكر منها د ارسااااااة مخاطر حصااااااول مشااااااكل تقنية في خدمة الصااااايرفة اإللكترونية عبر الخلوي [ 53 ]ن ود ارساااااة مخاطر تقاعد الموظنين في الشاااااركات [55] نتيجة ظروف خاصااااة بالشااااركة وطريقة المعاملة [ 54 ]ن ود ارسااااة وثوقية سااااماعات أجهزة الخلوي وغيرها من األمثلة. حياث أكثر ماا يجذب الباحثين الساااااااااااااتخدام نموذج كوكس هو توفر إج ارءات لحساااااااااااااابت في معظم الب ارمج اإلحصااائية مثل SPSS, R فضااال عن أن اسااتخدامت ال يتطلب شااروطا خاصااة كما في النموذج الخطي وتحليل التمايز واللذي يشااااااااااااترطان اسااااااااااااتقالل البواقي والتوزع الطبيعي لها وغيرها من الشااااااااااااروط التي تتطلب من الباحث الخوض في تناصاايل مجهدة ومتداخلة. لذا من الطبيعي أن يصاابس هذا النموذج شااائعا بين الباحثين. لذلك نقف لم عناد حادود التطوير النظري لهاذا النموذج الهاامن لكن اهتم في تقديم منهجية متكاملة تتضااااااااااااامن الد ارساااااااااااااة النظرية المعم قة وتطوير ب ارمج مكتوبة بلغة مجانية شائعة مثل R وجاهزة للتطبيق المباشر مع أي بيانات حالة مدروسة.
89 النتائج والتوصيات: النتائج: تشاااامل نماذج المخاطر األساااااسااااية األربعة التي درسااااناها )األسااااي المنطقي اللوغاريتمي- كومبيرتز -1 وايبال( معظم حااالت شاااااااااااااكل دالة المخاطرة ما بين الثابت والمتناقص والمت ازيد. لذا من المتوقع أن توافق الحالة التطبيقية المدروسة إحدى هذا النماذج الشائعة. 2- ال ينترض التقدير الالوساااااااايطي لدالة الحياة كابلن ميير شااااااااكال محددا لدالة المخاطرة مثلما هو الحال في النماذج الوسايطية األربعة المعروضاةن لكنت يعتبر أفضال تقدير مشااهد ووحيد لدالة الحياة للعينة في حالة وجود البيانات المرتقبة من اليمينن وان وجدت طريقة أخرى في التقدير الالوساااااااااايطي فسااااااااااوف تؤدي إلى ننس الدالة المشاهدة مع وجود اختالف بسيط في األرقام قد يظهر نتيجة اختالف طرق الحساب. قادمنا 3- منهجية جديدة في اختبار جودة توافق نماذج المخاطر الوسااااااااااااايطية المقدرةن من خالل مقارنة تقدير كابلن ميير مع التقدير الوسيطي لدالة الحياة مستخدمين اختباري كلماغوروف سميرنوف وكاي مربع. تبين أن النموذج نصااااااااااف الوساااااااااايطي المقدر باسااااااااااتخدام مقد ارت المعقولية العظمى الجزئيةن لت عدد من -4 العيوب: t(1), t(2),..., t( r) النروقاات بين األزمناة ال تؤثر على شاااااااااااااكال النموذج المقادر مهماا اختلنات.a النروقاااتن إذ أن الطريقااة تعتمااد على ت ارتيااب األزمنااة فقط. وهااذا يسااااااااااااابااب خسااااااااااااااارة كميااة من المعلومات قد يكون لها مدلول مهم من الناحية التطبيقية. ال تعتمد الطريقة أيضااا على القيم النعلية لألزمنة t, t,..., t n 1 2 وبالتالي فإن النموذج المقدر ال يتااأثر أيضااااااااااااااا بااالقيم النعليااة لألزمنااةن إنمااا يتااأثر فقط بت ارتيااب القيم وت ارفق وقوع األحااداث مع.b بعضاها. وهذا أيضاا يسابب خساارة كم هائل من المعلومات قد تسابب هذا الخساارة نتائج ال تمثل البيانات. c. ال يمتلك النموذج نصاااااااااف الوسااااااااايطي الم ازيا التي يتمتع بها النموذج الوسااااااااايطي الكامل كالتنبؤ والتحكم بالمخاطر. تبين أن مقدر المعقولية العظمى التامة يتمتع بالم ازيا اآلتية: -5
90 يعتماد هاذا المقادر على كاامال األزمناةن أي دون إهمال قيمها النعلية والنروقات بينها على عكس.a مقدر المعقولية الجزئين األمر الذي يعطى مؤشااااااااااا ار على أن النموذج المقدر أكثر توفيقا وتمثيال للبيانات كونت يستخدم كمية معلومات أكبر. نساتطيع االساتنادة من نموذج كوكس الناتج في التنبؤ بأزمنة النشل نظ ار الكتمال حدي النموذجن.b على عكس مقادر المعقولياة الجزئي الاذي تقتصااااااااااااار فائدتت على تحديد شاااااااااااااكل تأثير كل متغي ر مستقل. كما نساااااتطيع التحكم بكمية المخاطر من خالل تحديد قيم المتغي ارت المساااااتقلة بحيث تكون قيمة.c دالة المخاطر أصغر ما يمكن. وهذا التحكم يشترط فيت اكتمال النموذج المقدر بحديت. لكن تبين بالمقابل أن لهذا المقدر الجديد نقطا تستدعي الوقوف عندها ينبغي معالجتها: -6 a. يتأثر هذا المقدر بشااااكل دالة المخاطرة األساااااساااايةن فالمقدر قد يختلف وفقا لشااااكل دالة المخاطر االساااااااسااااااية المقدرةن واألهم أننا قد ال نتوصاااااال للنموذج المقدر األمثلن أي األكثر توافقا للبيانات نظ ار للتنوع الكبير في نماذج الحياةن فضااااال عن تنوع ط ارئق اختبا ارت جودة التوافقن لذا فإننا إن تجاوزنا لخطأ النروقات بين النموذج المقدر والمشاهد بنرض أن هذا الخطأ ضمن الحد المسموح بات )وفقا الختبا ارت جودة التوافق( فإن هذا الخطأ على صاااااااااااااغرا سااااااااااااايضااااااااااااااف إلى خطأ تقدير معامالت النموذج β والذي ساايساابب ت اركما في أخطاء التقدير. في هذا الحالة ينضااال زيادة دقة اختبا ارت جودة التوافق من خالل زيادة مسااااااااحة منطقة الرفض وذلك بتقليل قيمة مساااااااتوى داللة االختبار α قدر المستطاع. b. الوقت والجهد اإلضاااافي الذي يتطلبت الوصاااول إلى دالة المخاطر األسااااسااايةن وخاصاااة عندما ال توافق البيانات النماذج األربعة الشااااائعة التي طرحناها في النصاااال األولن عندها ساااانضااااطر إلى البحاث عن نمااذج حياة أخرى يتوقع موافقتها لليبانات. لكن مع البرمجيات المكتوبة الجاهزة التي تم تقديمها في البحث فمن المنترض أن هذا المشكلة قد تم تجاوزها. تبين في د ارسة حالة "اللوكيما" أن النموذج نصف الوسيطي الذي قااااااااااا در حدا المرتبط بالمتغي ارت المستقلة -7 بالمعقولية العظمى الجزئية ال يوافق البيانات المدروساااة باساااتخدام اختبار نسااابة المعقولية وتحليل البواقي. في حين تبين أن النموذج الجديد المقترح يوافق البيانات اعتمادا على هذين االختبارين لجودة التوافق. اعتمادت المنهجياة الجاديادة في التنبؤ على النموذج الجادياد المقادر بااساااااااااااااتخادام المعقولياة العظمى التااماة -5 بااالعتمااد على خوارزمياة نيوتن التك اررياة المكتوباة بلغاة Rن والتي تنياد في تقادير الزمن الاذي يقترب فيات الحدث من الوقوعن والتي تنيد في إعطاء إنذار مبكر باقت ارب الخطر.
91 اساااااااااااااتنادنا 9- من تقدير كامل النموذج في إمكانية التحكم بقيم المتغي ارت المساااااااااااااتقلة في تقليل المخاطر قدر المسااااتطاعن وعالجنا مشااااكلة وجود قيود على تغيير قيم المتغي ارت المسااااتقلة باسااااتخدام البرمجة الرياضااااية التي تعطي النتائج األمثلية. تبين في 15- د ارساااة حالة الشاااركات الصاااناعية في البورصاااة الساااعودية أن زيادة حقوق ملكية المسااااهمين على حسااااب الديون سااايخنض من مخاطر االنخناض في القيمة الساااوقية للساااهم. وتبين هيكلة نظام أفضااال أن %75 بجعل هو يمكن ما أقل المخاطر يجعل المال ل أرس حقوق من هي التمويل مصادر من المساهمين %35 Current Lablty وجعل Equtyن %25 مصاااااادر من المتداولة الديون هي التمويل وجعل ن Natonal Metal.Current Assets متداولة أصاول هي األصاول من وتبين عند د ارساة حالة شاركة Manufacturng and Castng أن اتباع نظام هيكلة أرس المال المقترح ضاامن الشااروط الموصااى بها. سيخنض من مخاطر انخناض سهم هذا الشركة بنسبة %73.6 التوصيات: 1- عرضنا م ازيا مقد ارت المعقولية العظمى التامة من كونها تستعمل كمية معلومات أكبر مقارنة مع الجزئيةن إضافة إلى تطبيقات هامة تتطلب تقدير كامل النموذجن وتبين في التطبيق العددي هذا التناضل أيضا كطريقة مقارنة تجريبية. لكن من الهام أيضا متابعة هذا البحث من خالل المقارنة النظرية بين المقدرين والحسم بأفضلية مقدر المعقولية التام. 2- ما ازلت مشكلة الوصول إلى أفضل توزيع احتمالي لعينة من المجتمع قضية قائمة. فقد طرحنا في البحث أربعة نماذج مختلنة لدالة المخاطرة توافق حاالت مختلنة من اتجاهات هذا الدالةن وتبين أن التوزيع األس ي هو أكثر توزيع وافق التطبيقين المدروسين. لكن من الوارد أن يكون هناك توزيع آخر أكثر توافقا مع هذا البيانات المدروسة لم يتم تضمينت في البحثن ولكن حتى لو وجد توزيع آخر أكثر توافقا مع البيانات المدروسة فليس من الضروري أن يكون التوزيع األمثلي على اإلطالق. عالوة على ذلكن ليس من الضروري أن نجد توزيعا احتماليا من التوزيعات التي توصل إليها العلماء حتى اآلن يصل إلى درجة التوافق األمثلين بمعنى أنت من الوارد أن نجد توزيعا آخر لم ا يتم اكتشافت بعد يكون أكثر توافقا مع البيانات المدروسة. ويضاف إلى هذا المشكلة اختيار طريقة اختبار جودة التوافق المالئمةن فمن المعلوم أننا قد نجد توزيعا موافقا للبيانات اعتمادا على اختبار معينن ونجدا غير موافقا لذات البيانات اعتمادا على اختبار آخر. لذلك نوصي بما يلي: a. العمل على تطوير منهج علمي للوصول إلى التوزيع االحتمالي األمثلي لبيانات مدروسة باالستنادة من خوارزميات البرمجة الرياضية.
92 b. تطوير نظام خبير Model( )Expert يختار طريقة اختبار جودة التوافق األنسب للحالة تمكنا المدروسة بناء على د ارسة مقارنة بين طرق االختبار ينتج عنها عدد من المعايير الالزمة لبناء النظام الخبير. 3- من إيجاد أقل مخاطر ممكنة في نموذج انحدار كوكس على الرغم من وجود شروط مقيدة على تغيير قيم المتغي ارت المستقلة باستخدام البرمجة الرياضية. باإلمكان أيضا تطبيق ننس المنهجية في إيجاد أقل مخاطر ممكنة في نماذج أخرى انحدار مع وجود القيود على تغيير قيم المتغي ارت المستقلة. R نوصي بإضافة الب ارمج التي تمت كتابتها في البحث بلغة البرمجة إلى مكتبة تحليل الحياة في هذا -4 اللغة (Survval) ليتسنى للباحثين متابعة هذا البحث ومناقشة وتقييم نتائجت على حاالت مدروسة أخرى. [59] [58] [57] [56]
93 References [1] W. R. Lane, S. W. Looney and J. W. Wansl, "An Applcaton of the Cox Proportonal Hazards Model to Bank Falure," Journal of Bankng & Fnance, vol. 10, no. 4, p. 511 531, 1996. [2] A. Basu and W. G. Mannng, "Comparng alternatve models: log vs Cox proportonal hazard?," Health Economcs, vol. 13, no. 8, 2004. [3] D. V. Nguyen and D. M. Rocke, "Partal least squares proportonal hazard regresson for applcaton to DNA mcroarray survval data," Bonformatcs-Oxford Unversty, vol. 18, no. 12, pp. 1625-1632, 2002. [4] D. Oakes, "Survval Tmes: Aspect of Partal Lkelhood," Internatonal Statstcal Revew, vol. 49, no. 3, 1981. [5] G. Whalen, "A proportonal hazards model of bank falure: an examnaton of ts usefulness as an early warnng tool," Economc Revew, vol. 91, no. 1, pp. 21-31, 1991. [6] M. Zhou, "The Cox Proportnal Hazard Regresson Model wth a Partaly Known Baselne," n The nternatonal conference of Statstcs, Shangha, Chna, July 18 19, 2004. [7] D. V. d. Poel and P. Larvrere, "Customer Attrton Analyss for Fnancal Servces usng Proportanl Hazard Models," Europan Journal of Operatonal Research - 157, pp. 196-117, 2004. [8] R. T. Chlebowsk, J. E. Manson, G. L. Anderson,. J. A. Cauley, A. K. Aragak, M. L. Stefanck,. D. S. Lane, K. C. Johnson, J. Wactawsk-Wende,. C. Chen,. L. Q, S. Yasmeen, P. A. Newcomb and R. L. Prentce, "Estrogen Plus Progestn and Breast Cancer Incdence and Mortalty n the Women s Health Intatve Observatonal Study," Journal of Natonal Canser Insttute - Oxford Unversty, vol. 105, no. 8, pp. 526-535, 2013. [9] H. P. LOPUHAÄ and G. F. NANE, "Shape Constraned Non-parametrc Estmators of the Baselne Dstrbuton n Cox Proportonal Hazards Model," Scandnavan Journal of Statstcs, vol. 40, no. 3, p. 619 646, 2013. [10] J. Q, Comparson of Proportonal Hazards and Accelerated Falure Tme Models - Master Thess, Unversty of Saskatchewan, 2009.
94 [11] A. C. RENCHER, Methods of Multvarate Analyss - 2nd ed., JOHN WILEY & SONS, 2002. [12]. D. G.,. K. M. KLEINBAUM, Survval Analyss A Self-Learnng Text, 2 ed., Sprnger, 2005. [13] D. MACHIN, B. C. YIN and. K. P. MAHESH, Survval Analyss A Practcal Approach, 2 ed., John Wley & Sons, 2006. [14] S. SELVIN, Survval Analyss for Epdemologc and Medcal Research, Cambrdge Unversty Press, 2008. [15] S. BENNETT, "Log-Logstc Regresson Models for Survval Data," Appled Statstcs Journal, vol. 32, pp. 165-171, 1983. [16]. M. A. P. A. FRANCO, "Log Logstc Model for Survval Tme wth Covarates," Bometrka Journal, vol. 71, no. 3, pp. 621-623, 1984. [17] A. C. Bemmaor and N. Glady, "Modelng Purchasng Behavor Wth Sudden 'Death': A Flexble Customer Lfetme Mode," Management Scence, 2011. [18] P. D. Allson, Survval Analyss Usng the SAS System: A Practcal Gude, Cary, NC: SAS Insttute Inc, 1995. [19] N. L. Johnson, S. Kotz and N. Balakrshnan, Contnuous unvarate dstrbutons. Vol. 1, Wley Seres n Probablty and Mathematcal Statstcs: Appled Probablty and Statstcs (2nd ed.), New York: John Wley & Sons, 1994. [20] J. P. KLEIN and M. L. MOESCHBERGER, Survval Analyss Technques for Censored and Truncated Data, 2nd ed., Sprnger, 2003. معن التنجي,اختبا ارت جودة التوافق لبعض التوزيعات االحتمالية وتطبيقاتها في مجال الصاحة -رساالة ماجستير, [21] حلب :جامعة حلب.2010, [22] J. Caplehorn, "Methadone Dosage and Retenton of Patents n Mantenance Treatment," Medcal Journal n Austrrala, vol. 154, p. 195 199, 1991. [23] T. MARA and. J. S. KIM, Survval Analyss Usng S, Analyss of Tme-to-Event Data, Lbrary of Congress Catalogng-n-Publcaton Data by CHAPMAN & HALL/CRC, 2004. [24]. R. S. MARCO, Maxmum Lkelhood Programmng n R, Department of Poltcal Scence, Unversty of North Carolna, Chapel Hll, 2006.
95 [25] S. Snger and J. Nelder, "Nelder-Mead algorthm," Scholarpeda, vol. 4, no. 7, 2009. [26]. E. L. KAPLAN and P. MEIER, "No-nparametrc Estmaton from Incomplete Observatons," vol. 53, 1958. [27]. H. JERROLD, Bostatstcal Analyss 4th ed., Department of Bologcal Scences. Northern Illnos Unversty. Prentce Hall. U.S., 1999. [28] LEMESHKO, CHIMITOVA,. B. LEMESHKO and. E. CHIMITOVA, "Investgaton of the estmates propertes and goodness-of-ft test statstcs from censored samples wth computer modelng technque," 2004. [29]. A. PENA, Goodness of Ft Tests wth Rght-Censored Data., Unversty of South Carolna. Department of Statstcs. Supported by NIH Grant, 2003. [30] V. PATILEA and J. ROLIN, "Product-Lmt Estmators of the Survval Functon wth Twce Censored Data," The Annals of Statstcs, Insttute of Mathematcal Statstcs, vol. 34, no. 2, p. 925 938, 2006. [31] A. REBECCA, M. BETENSKY and FINKELSTEIN, "A Non-Parametrc Maxmum Lkelhood Estmator for Bvarate Interval Censored Data," Statstcs n Medcne Journal, vol. 18, pp. 3089-3100, 1999. [32] N. SMIRNOV, "Tables for estmatng the goodness of ft of emprcal dstrbutons," Ann. Math. Statst, vol. 19, p. Ann. Math. Statst, 1948. [33] D. R. Cox, "Regresson Models and Lfe-Tables," Journal of the Royal Statstcal Socety, vol. 34, p. 187 220, 1972. [34] T. Therneau and P. Grambsch, Modelng Survval Data: extendng the Cox, Sprnger, 2000. [35]. D. R. Cox, "Partal lkelhood," Bometrka, vol. 62, pp. 269-276, 1975. [36]. J. P. Huelsenbeck and K. A. Crandall, "Phylogeny Estmaton and Hypothess Testng Usng Maxmum Lkelhood," Annual Revew of Ecology and Systematcs, vol. 28, 1997. [37] D. R. Cox and E. J. Snell, "A general de nton of resduals wth dscusson," Journal of the Royal Statstcal Socety, vol. 30, pp. 248-275, 1968. [38] S. L. Chow, "Statstcal Sgnfcance: Ratonale, Valdty and Utlty (Introducng Statstcal Methods)," vol. 1, 1996. [39] K. Lange, Appled Probablty, vol. 10, Sprnger, 2003.
96 [40] D. W. Hosmer and S. Lemeshow, Appled Survval Analyss: Regresson Modelng of Tme to Event Data, New York: John Wley and Sons Inc, 1999. [41] د. محمد دباس الحميد,البرمجة الرياضية,منشو ارت جامعة حلب - كلية الهندسة المعلوماتية. 2010 [42] The R Development Core Team, R: A Language and Envronment for Statstcal Computng, USA: R Foundaton for Statstcal Computng., 2010. [43] J. Nelder and R. Mead, "A smplex method for functon mnmzaton," Computer Journal, 7, p. 308 313, 1965. [44] R. Fletcher, "A New Approach to Varable Metrc Algorthms," Computer Journal 13, p. 317 322, 1970. [45] J. Walkenbach, Excel 2002 Formula, New York: M&T Books - An Imprt f Hungry Mnds, 2002. [46] M. Roelofs and J. Bsschop, AIMMS The User s Gude, The Netherlands: Paragon Decson Technology Inc., 2011. [47] D. R. V. Deventer, K. Ima and M. Mesler, Advanced fnancal rsk management: tools and technques for ntegrated credt rsk and nterest rate rsk management, New York: John Wley & Sons, 2013. [48] M. A. M. Kabajeh, S. M. A. AL Nu amat and F. N. Dahmash, "The Relatonshp between the ROA, ROE and ROI Ratos wth Jordanan Insurance Publc Companes Market Share Prces," vol. 2, no. 11, 2012. [49] D. Martan and R. Kharurzka, "The effect of fnancal ratos, frm sze, and cash flow from operatng actvtes n the nterm report to the stock return," vol. 8, no. 6, 2009. [50] A. Chowdhury and S. P. Chowdhury, "Impact of captal structure on frm s value: Evdence from Bangladesh," vol. 3, no. 3, 2010. [51] D. Whtehurst, Fundamentals of Corporate Fnance, New York: The McGraw Hll Companes, Inc., 2003. [52] "Annual Statement Studes - Fnancal Rato Benchmark," Rsk Management Assocaton, Phladelpha, USA, 2012. [53] C.-r. Wu, The study of moble commerce and operatonal effcency-an applcaton of Cox proportonal hazard model - Master's Thess, Natonal Central Unversty Lbrary Systems, 2011.
97 [54] W. Xu, Q. Pan and J. L. Gastwrth, "Cox proportonal hazards models wth fralty for negatvely correlated employment processes," Computatonal Statstcs & Data Analyss, vol. 70, 2014. [55] A. Twar and D. Roy, "Estmaton of relablty of moble handsets usng Coxproportonal hazard model," Mcroelectroncs Relablty, vol. 53, no. 3, 2013. [56] د.خضر الكريدي, د. محمد دباس الحميدن معن التنجي" د ارسة مقد ارت المعقولية العظمى التامة لنموذج كوكس.92 للمخاطر النسبية وتقييم جودة توافق النموذج ", مجلة بحوث جامعة حلب - سلسلة العلوم األساسية. العدد 2513 د.خضر الكريدي, د. محمد دباس الحميدن معن التنجي" د ارسة مقد ارت المعقولية العظمى التامة لنموذج كوكس [57] للمخاطر النسبية وتقييم جودة توافق النموذج ", مجلة بحوث جامعة حلب 2513 - سلسلة العلوم األساسية. العدد 92. د.خضر الكريدي, د. محمد دباس الحميدن معن التنجي" استخدام نموذج كوكس للمخاطر النسبية في اقت ارح [58] أفضل هيكل ل أرس المال يقلل مخاطر انخناض القيمة السوقية للسهم ", مجلة بحوث جامعة حلب األساسية. العدد 2514. 93. - سلسلة العلوم د.خضر الكريدي, د. محمد دباس الحميدن معن التنجي "التنبؤ بالمخاطر باستخدام نموذج كوكس للمخاطر [59] النسبيةن" مجلة بحوث جامعة حلب - سلسلة العلوم األساسيةن 92 ن 2514.
1 الملحق )1(: بيانات د ارسة مرضى "اللوكيما" t Censor Sex WBC Rx 35 1 1 4.26 0 34 1 1 4.35 0 32 1 1 9.03 0 32 1 1 12.55 0 25 1 1 5.93 0 23 0 1 13.07 0 22 0 1 10.18 0 20 1 1 7.46 0 19 1 0 7.77 0 17 1 0 8.67 0 16 0 1 36.6 0 13 0 0 17.81 0 11 1 0 13.46 0 10 1 0 14.88 0 10 0 0 19.3 0 9 1 0 16.44 0 7 0 0 83.93 0 6 1 0 24.53 0 6 0 0 10.07 0 6 0 1 57.97 0 6 0 0 26.58 0 23 0 1 7.17 1 22 0 0 15.33 1 17 0 0 19.11 1 15 0 0 9.97 1 12 0 0 4.48 1 12 0 0 36.6 1 11 0 0 32.79 1 11 0 0 8.33 1 8 0 0 33.78 1 8 0 0 21.12 1 8 0 0 10.18 1 8 0 1 26.05 1 5 0 1 32.79 1 5 0 0 52.98 1 4 0 1 78.26 1 4 0 1 11.25 1 3 0 1 55.15 1 2 0 1 135.64 1 2 0 1 88.23 1 1 0 1 16.44 1 1 0 1 148.41 1
2 بيانات د ارسة الشركات الصناعية في البورصة السعودية: الملحق )2(: Company Name t c CAr Er CLr Basc Chemcal Industres Co. 285 1 0.2761166 0.3898321 0.0279555 Saud Araban Mnng Co. 285 1 0.2761364 0.8567425 0.1057481 Astra Industral Group 285 1 0.4352459 0.6044794 0.1054863 Al Hassan Ghaz Ibrahm Shaker 285 1 0.4663423 0.5851117 0.0689078 Saud Pharmaceutcal Indust.& Med. Applances 285 1 0.3248518 0.7167795 0.2302085 Saud Paper Manufacturng Co. 285 1 0.2469615 0.3782445 0.218844 Saud Industral Export Co 285 1 0.1720775 0.9104902 0.0486326 Methanol Chemcals Co. 285 1 0.1286471 0.489898 0.0346175 Nama Chemcals Co. 285 1 0.1227631 0.5777192 0.0210948 Saud Araba Fertlzers Co. 285 1 0.465983 0.8785545 0.0300378 Saud Industral Investment Group 285 1 0.1653848 0.2330804 0.0376622 Yanbu Natonal Petrochemcal Co. 285 1 0.1719501 0.4576606 0.1547537 Natonal Industralzaton Co 274 0 0.2296161 0.2760705 0.1992252 The Natonal Co. for Glass Industres 240 0 0.2725705 0.466799 0.4704182 Natonal Metal Manufacturng and Castng Co. 225 0 0.2361729 0.4196471 0.5468945 Al Soraya Tradng And Industral Group 218 0 0.285273 0.6155398 0.1711351 Alabdullatf Industral Investment Co. 210 0 0.1884322 0.6695184 0.2408077 Natonal Petrochemcal Co. 195 0 0.0887686 0.2325581 0.2924085 Saud Basc Industres Corp. 195 0 0.3033127 0.4147512 0.1294228 Advanced Petrochemcal Company 186 0 0.2516883 0.6000809 0.1731586 Flng & Packng Materals Manufacturng Co. 185 0 0.3701546 0.7496415 0.1891884 Sahara Petrochemcal Co. 179 0 0.1818123 0.678877 0.0974844 Alujan Corporaton 168 0 0.0670076 0.1660678 0.1932263 Saud Kayan Petrochemcal Co. 150 0 0.0740242 0.325823 0.0909021 Rabgh Refnng and Petrochemcal Co 130 0 0.2454277 0.162195 0.3562507 Saud Internatonal Petrochemcal Co 130 0 0.2944365 0.4788084 0.089828 Saud Chemcal Co. 25 0 0.8373645 0.768339 0.2218816
3 الملحق )3(: القيم الحرجة الختبار سميرنوف كلماغوروف لجودة التوافق )لبيانات مستمرة(
4