תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012

תורת הקבוצות 80200 אור דגמי, ÓÖ Ñ ºÓÖ 11 בפברואר 2012 אתר אינטרנט: ØØÔ»» Ñ ºÓÖ תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 1

תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים מבוא............................................. 3 1 מנהלות........................................ 3 1.1 היסטוריה....................................... 3 1.2 קבוצה......................................... 3 1.3 פרדוקסים....................................... 3 1.4 4 דרך התמודדות.............................. 1.4.1 מושגים........................................ 4 1.5 פעולות מותרות (אקסיומות).............................. 4 1.6 דוגמאות לקבוצות................................... 5 1.7 פעולות נוספות על קבוצות............................... 5 1.8 יחס.......................................... 6 1.9 7 תכונות של יחסים............................. 1.9.1 1.10 פונקציות........................................ 7 7 תכונות................................... 1.10.1 שקילות של קבוצות...................................... 8 2 קבוצות סופיות........................................ 9 3 עוצמה......................................... 9 3.1 קבוצות סופיות מבוא................................ 10 3.2 קבוצות אינסופיות....................................... 12 4 קבוצות בנות מנייה.................................. 12 4.1 עוצמות............................................ 16 5 19........... משפט קנטור שרדר ברנשטיין( ÖÓ Ö¹ ÖÒ Ø Ò Ä ÒØÓÖ¹Ë ) 5.1 חשבון עוצמות..................................... 21 5.2 חיבור עוצמות............................... 22 5.2.1 כפל עוצמות................................ 23 5.2.2 חזקות של עוצמות............................. 25 5.2.3 אקסיומת הבחירה....................................... 29 6 סכום ומכפלת עוצמות................................. 31 6.1 סדר טוב............................................ 32 7 למה סדר טוב?.................................... 32 7.1 מספרים סודרים........................................ 40 8 נסיון בנייה של. N.................................. 41 8.1 תכונות בסיסיות של סודרים.............................. 41 8.2 הסודרים הסופיים................................... 43 8.3 2

1 מבוא 1 מבוא 1.1 מנהלות שעת קבלה יום ג' 15 14 במתמטיקה 118 או בתאום מראש: ÖÐ ÚÒ Ñ Ø º Ù º º Ð אסיסטנט דניאל וייסמן (שעת קבלה: יום ד' 18 17 קנדה עליון) ציון עבודות בית 10% בחינה 90% (ציון עבודות הבית: 70% מהעבודות הטובות יותר. כלומר 9 העבודות הטובות יותר) ספרות נעקוב די מקרוב אחרי הרשימות של עזיאל לוי הנמצאות באתר שלו Ë Ø Ø ÓÖÝ (אבלההוכחותשםלאמלאות,וישצורךלהשליםהרבהפרטים) ÛÛÛºÑ º Ù º º л ÞÖ Ð 1.2 היסטוריה תורת הקבוצות פותחה על ידי גיאורג קנטור בסביבות 1870. היא יכולה לשמש, ואכן מקובלת כבסיס לכל המתמטיקה. והיא דנה באופן מאוד מרתק במושג האינסוף. תורה זו, קרובה מאוד ללוגיקה מתמטית. והיא מכילה פרדוקסים. 1.3 קבוצה הגדרה 1.1 קבוצה (הגדרה של קנטור): קבוצה היא כל אוסף של עצמים שניתן להעלות במחשבה. תוספת מאוחרת: שיכולים להוות "עצם מתמטי". הערה 1.2 הכוונה ב"עצם מתמטי" היא ליחס שייכות מוגדר היטב. כלומר, קבוצה היא אוסף של עצמים שהשאלה אם אבר מסויים שייך לאוסף היא כן או לא (אין אולי). 1.4 פרדוקסים דוגמה 1.3 פרדוקס קבוצה שייכת לעצמה: נתבונןבאוסףכלהקבוצות S. לאוסף זהישאוסףחלקי: כלהקבוצות שאינן מופיעות בתור אבר שלהן עצמן: S S 0 = שייכת לעצמה קבוצהx } { xאינה נתבונן לדוגמה בקבוצה: {הכובע הזה והמחק} = x בקבוצה זו: x אינה שייכת לעצמה כאיבר, ולכן היא כן שייכת ל S. 0 אבל האם S 0 (כקבוצה) שייכת לעצמה כאיבר בקבוצה? אולי כן? אם S 0 שייכת לעצמה מהגדרת S 0 היא לא שייכת לעצמה וקבלנו סתירה. לכן S 0 לא שייכת לעצמה אבל אז ההגדרה אומרת שהיא כן שייכת לעצמה ושוב סתירה. זהו פרדוקס שיש לטפל בו. דוגמה 1.4 פרדוקס המינימום: נתבונן בקבוצה של מספרי טבעיית. לפי אכסיומת האינדוקציה בכל אוסף לא ריק של מספרים טבעיים קיים מספר מינימלי נגדיר מספר טבעי n 0 באופן הבא: n 0 הוא המספר הטבעי הקטן ביותר שלא ניתן לתאר אותו במשפט בן עד 20 מילים בשפה העברית. מספר המילים בשפה העברית הוא סופי, לכן מספר המשפטים באורך עד 20 מילים גם הוא סופי. חלק ממשפטים אלה מתארים מספר. בכל מקרה מספר המספרים הטבעיים המתקבלים ממשפטים כאלה הוא סופי לכן אוסף המספרים הטבעיים שאינו מתקבל אינו ריק וקיים בו איבר מינימלי וזהו n. 0 אבל נשים לב כי המשפט המתאר את n 0 הוא בעברית ומכיל פחות מ 20 מילים! אבל n 0 מהגדרתו לא ניתן לתאור בצורה כזו! 3

1 מבוא 1.5 מושגים הבעיה בשני הפרדוקסים הנ"ל היא בקשר (הבעייתי) בין השפה המתארת את האובייקט ) 0 S או n) 0 והאובייקט עצמו. בדוגמה של n 0 כשהמחשב ינסה לחשב את n 0 (באופן נאיבי) הוא יכין רשימה של כל המספרים הטבעיים שניתן לתאר עד 20 מילים כדי למצוא את המספר n 0 ושם המחשב ינסה לחשב אותו מההגדרה ויתחיל להכין את רשימת כלל המשפטים עד 20 מילים בניהן ימצא המשפט המגדיר את n 0 (כאמור, גם הוא פחות מ 20 מילים) וכדי לחשב איזה מספר זה, המחשב יכין שוב את רשימת המשפטים, ושוב יפגש במשפט הזה, ולמעשה יכנס ללופ אינסופי (רקורסיה) 1.4.1 דרך התמודדות הדרך המקובלת להתגבר על הבעיה היא הנחה כי קיימת לנו תורת קבוצות (אוסף של קבוצות) שעבורן מושג השייכות מוגדר היטב והן: 1. כוללות את הקבוצות המעניינות אותנו כמתמטיקאים (כוללות למשל את המספרים הטבעיים N, הרציונליים Q, הממשיים R, המרוכבים C ועוד...) 2. מותרות לנו בהן פעולות מסויימות (אך אנו נזהרים לא להרשות פעולות בעייתיות) דוגמה 1.5 פעולה בעייתית: "אוסףכלהקבוצות"הואלאמותר. כלומר,לאתהיהאקסיומהשתרשהלקחת אותו כקבוצה. אבל אם X כברקבוצהבעצמה, האוסף: "כל אברי X שהםקבוצות ואינםשייכיםלעצמםכאיבר" כןמותר. 1.5 מושגים שייכות את השייכות נסמן בעזרת ואי שייכות בעזרת /. לדוגמה x שייך לy : x y או y. x או x לא שייך ל x / y :y או.y x הכלה x y אם כל z x בהכרח גם.z y שוויון x = y אם z. y z x שוויון קבוצות קובע מושג השיכות ולא התכונות שדרכן הן מוגדרות! הכלה ממש x y אם כל z x בהכרח גם z y וקיים לפחות איבר a y אשר a / x הערה 1.6 ניסוח שקול: xוגםy y x y x הערה 1.7 יש ספרים שבהם x y מסומן ב x y ואילו הכלה ממש מסומנת ע"י x. y הערה 1.8 יש מושג הנקרא מחלקה שלא נדון בו. הוא מוגדר ע"י תכונה. "להיות בקבוצה" {x קבוצה}. "להיות שווה לעצמו" {x x}. = מושג השייכות למחלקה מובלי לפרדוקסים (כמו שראינו) ולכן איו מוגדר היטב. קבוצון הן (בדרך כלל) בעצמן מחלקות עליהן אנו מניחים שמושג השייכות מוגדר היטב דוגמה 1.9 פרדוקס רסל ÊÙ Ð) :( ÖØÖ Ò אוסף הקבוצות שאינן שייכות לעצמן שהוא מחלקה e = x קבוצהx } / x} e איננו, ולא יכול, להיות קבוצה (מושג השייכות אליו אינו מוגדר היטב) 1.6 פעולות מותרות (אקסיומות) הגדרה 1.10 אקסיומת האיחוד: אם A וB קבוצות אז גם: A B = {x x xאוa B} 4

1 מבוא 1.7 דוגמאות לקבוצות הערה 1.11 התכונה {B xאוa x} מגדירה מחלקה (מטבעה) אבל האקסיומת אומרת שאם A וB קבוצות בתורה שלנו אזי גם A B קבוצה בתורה שלנו. כמו כן, גם גם חיתוך ( ) והפרש (\) קבוצות הוא קבוצה. הגדרה 1.12 אקסיומת הזוג: לכל x,y בתורה קיימת קבוצה {x,y} שאבריה הם בדיוק x וy. {x,y} = {z z zאוx y} הגדרה 1.13 יחס: יחס (דו מקומי) הוא איזשהי מחלקה (R yrz איזשהו קשר\ביטוי\נוסחה) כמו מחלקה, אבל מותר להשתמש בשני משתנים. אקסיומות יאמרו לפעמים שיחסים מסויימים הם קבוצות. הגדרה 1.14 אקסיומת הזוג הסדור: לכל y,x (קבוצות בתורה) ניתן להתאים (x,y) (איבר חדש בתורה) כך ש (a,b) yוגםa = b (x,b) = x = אקסיומה זו נובעת מאקסיומות קודמות. 1.7 דוגמאות לקבוצות דוגמה 1.15 הקבוצה הריקה: x} {x x = המחלקה זו היא קבוצה הנקראת הקבוצה הריקה ומסומנת ב הערה 1.16 מסתבר שהעובדה ש קבוצה אינה מסקנה מאקסיומות אחרות. דוגמה 1.17 יחידון: קבוצה בעלת איבר בודד. סימון: {x} A = או x} A = {y y =.y A y = x הערה 1.18 לכל A קבוצה: = A\A לכן אם קיימת איזשהי קבוצה אזי בהכרח קבוצה. הגדרה 1.19 אקסיומת האינסוף: N= המספרים הטבעיים = {...,0,1,2,3} מהוים קבוצה הערה 1.20 בקורס זה 0 מוגדר כטבעי! 08/11/2011 תזכורת 1.21 משיעור קודם: הגדרת A כקבוצהבאופן "אוסף עצמים עם מושג השייכות x" A הוביל לבעיות (פרקדוס ראסל) לכן מניחים שיש לונ תורת קבוצות עם התכונות שאנחנו רוצים: מכילה את הבוצות שדרושות לנו: N, Q, R, C,... ומותר לעשות בה את הפעולות הרצויות A B A B "אקסיומות" P (A) {ל xיש תכונות מסויימות A x} 1.8 פעולות נוספות על קבוצות את פעולת החיתוך כבר ראינו. תזכורת: הגדרה 1.22 חיתוך: x A B x A x B 5

1 מבוא 1.9 יחס הגדרה 1.23 קבוצת החזקה: (A) P (קבוצת החזקה) מייצגת את אוסף כל הקבוצות החלקיות לA כלומר: x P (A) y x y A (כל איבר בx הוא איבר בA ) הגדרה 1.24 קבוצה טרנזטיבית: קבוצה A תקרא טרנזטיבית אם: y x A y A הגדרה 1.25 הזוג הסדור: (x,y) (כאשר y,x עצמים) היא הקבוצה: {{x},{x,y}} הערה 1.26 מושג הזוג הלא סדור קיים: לכל שני איברים x,y קיימת קבוצה שאבריה x,y בלבד. היא תסומן x) = הקבוצה מכילה לכל היותר שני איברים (מכילה איבר אחד במקרה וy {x,y} {{a},{a,b}} = {{x},{x,y}} למה 1.27 y = b וגם x = a אם"ם (x,y) = (a,b) הוכחה: (a,b) = (x,y) y = b,x = a מובן מאליו. כיוון שני: מקרה ראשון: x = y אזי: {x,y} {x} = ולכן: {{x}}.(x,y) = נשים לב כי כיוון ש (x,y) (a,b) = כש x = y נקבל.a = b וכמו כן {{x}} {{ a }}אז = {a} {x} = ואז y = x = a = b ולכן y = b,x = a וסיימנו. מקרה שני: x y אזי ב{ x,y } שני איברים. בפרט היא שונה מ{ x }ואז גם {{ x},{x,y }}שני איברים. ב( x,y ) ולכן גם ב (a,b) יש שני איברים. האחד {x,y} היא קבוצה בת שני איברים, והשני {x} קבוצה בת איבר אחד. וכדומה גם ל (a,b),{a}) {a,b}) ולכן האפשרות היחידה היא: { {a} = {x} x = a {a,b} = {x,y} (a = x b = y) (b = x a = y) [(a = x b = y) (b = x a = y)] (a = x) a = x, b = y ולכן משני השוויונות הנ"ל נקבל: כנדרש. הגדרה 1.28 קבוצת המכפלה: קבוצת המכפלה של קבוצות A,B היא: A B = {(x,y) x A, y B} מהאקסיומות שהנחנו נובע כי קיימת קבוצה כזו. ניתן להגדיר אותה באופן הבא: A B = {x P (P (A P))} כאשר x ניתן ע"י {{ a}.{a,b }}כאשר a A וגם.b B 1.9 יחס הגדרה 1.29 יחס: קבוצה חלקית ל A B נקראת יחס (בין אברי A לאברי B) דוגמה 1.30 היחס < (למשל במספרים ממשיים) מתאים לקבוה {y {(x,y) R R x < והיחס = מתקים לקבוצה: y} {(x,y) R R x = 6

1 מבוא 1.10 פונקציות 1.9.1 תכונות של יחסים.(x,y) R עבור xry מסמנים R A B רפלקסיביות xrx (סימון ל,x)) (x R (לדוגמה: יחס השיוויון הוא רפלכסיבי, יחס < אינו רפלקסיבי.) סימטריה יחס R הוא סימטרי אם.xRy yrx (לדוגמה: שיוויון הוא סימטרי, ואילו < הוא אנטי סימטרי) אנטי סימטריה xry x Ry (כאמור (< טרנזטיביות xrz xry, yrz (לדוגמה: גם < טרנזטיבי) יחס שקילות יחס שהוא רפלקסיבי, סימטרי וטרנזטיבי יחס סדר מלא טרנזטיבי וכן לכל yrx x = y xry y,x אחת ורק אחת מתקיימת הערה 1.31 המושגים יחס השקילות ויחס הסדר מאוד חשובים 1.10 פונקציות הגדרה 1.32 פונקציה: פונקציה מקבוצה A לקבוצה B היא יחס A B R שעבורו מתקיים: b = b אזי arb וגם arb.1.2 לכל a A קיים b B כך ש arb דוגמה 1.33 דוגמה נגדית: היחס < על הממשיים R אינו פונקציה.y = z לא גורר x < y, x < z.1.2 R x קיים x < y y R כן מתקיים. דוגמה 1.34 לכל קבוצה A יחס השיוויון עליה A = A הוא פונקציה בA a,b,b לכל.b = b a = b, a = b.1 a A לכל a = a.2 נסמן פונקציה בסבימון המקובל: f : A B R = {a,f (a) a A} הגדרה 1.35 פונקציה חח"ע: פונקציה חח"ע היא פונקציה המקיימת: אם (b) f (a) = f אזי a = b בסימון היחס: a = a arb, a Rb הגדרה 1.36 פונקצית על: תהי f : A B פונקציה. f תקרא על B אם היא מקיימת לכל b B קיים a A כך ש arb f (a) = b הערה 1.37 לפעמים מדברים על פונקציות מקבוצה למחלקהה. במקרים כאלה התמונה של הפונקציה היא תמיד קבוצה (בעצם זו אקסיומה) אנו לא נעשה זאת כי אז לא ניתן להשתמש ב"קבוצת" המכפלה 1.10.1 תכונות הרכבת פונקציות חח"ע היא חח"ע הרכבת פונקציות על היא על הרכבת יחסים של פונקציות היא פונקציה 7

2 שקילות של קבוצות יהיו A,B,C קבוצות R A+B יחסים S R A+C ו: S R C יחסים אז: {קייםB bכך שbSc S R A C, S R = {(a,c) A C arb, בפונקציות g : B C,f : A B אז:.g f : A C תרגיל: אם g f וגם f חח"ע, האם g חח"ע? אם g f וגם g חח"ע האם f חח"ע? להוכיח או לתת דוגמה נגדית. כנ"ל לגבי על 2 שקילות של קבוצות הגדרה 2.1 קבוצות שקולות/שוות עוצמה: שתי קבוצות נקראות שקולות או שוות עוצמה אם קיימת העתקה בניהן שהיא חח"ע ועל. הערה 2.2 המושג של שקילות של קבוצות הוא "יחס" במחלקה מחלקת הקבוצות. ישדברכזה, אנינשתדל, לאתמידבהצלחה,להמנעממנו. למחלקותאסורלהיותאיבריםשלמחלקותאחרות. אם יחס על מחלקות הוא חלק מהתורה, אזי שקילות של קבוצות הוא יחס שקילות: f : A B חח"ע ועל (כאשר A,B קבוצות) אזי מוגדרת באופן יחיד הפונקציה ההפוכה: f 1 : B A חח"ע ועל. הגדרת היחס ההפוך: R ÓÔÔÓ Ø = {(y,x) B A xry} תרגיל: הפונקציה 1 f קיימת הערה 2.3 שקילות של קבוצות היא יחס טרנזטיבי, סימטרי ורפלקסיבי לפי קנטור: יש קבוצות אינסופיות שאינן שקולות זו לזו. הערה 2.4 יש קבוצות אינסופיות שהן כן שקולות זו לזו לדומגה: N = {0,1,2,3,...} N 1 = {1,2,3,...} נשיםלבש: N 1 N אבלעדייןהןשקולות,כיווןשקיימת 1 N f : N המוגדרתבאופןהבא: x+1 f (x) = ואילו 1 y f 1 (y) = דוגמה 2.5 המלון של הילברט: ØØÔ»» ÒºÛ Ô ºÓÖ»Û»À Ð Öس Ô Ö ÓÜ Ó Ø Ö Ò ÀÓØ Ð פונקציות g : B C, f : A C נקראות "מתיישבות" ( ÓÑÔ Ø Ð ) אם הן מסכימות על A B כלומר: x A B f (x) = g(x) (אם A B כל g,f הן מתיישבות). למה 2.6 יהיו A,B,C קבוצות. וגם f : A C ו: g : B C פונקציות אזי קיימת פונקציה: h : A B C כך ש: (a) h(a) = f לכל a A וגם g(b) h(b) = לכל b B אם ורק אם f,g מתיישבות.

3 קבוצות סופיות הוכחה: אם קיימת h כזו, אז ל x A B מתקיים: f (x) = h(x) = g(x) כיוון שני: נראה את f,g כיחסים בתוך.(A B) C נגדיר את h בתור: h. = f g נראה כי h פונקציה עם התכונות הרצויות בהנתן: x A B xhc צריך להוכיח c c,c xhc c = אם x A, x / B אז: c = f (x), c = (f (x)), c = g(x), c = g(x) אם x B, x / A אז: c = { f (x) g(x), c = { f (x) g(x) אם x A B אז: אבל g(x) f (x) = ולכן: c.x = לכל f (x) = c x A x A B ולכן g(x) = c x B מההגדרה ברור כי לכל h(x) = f (x) x A ולכל h(x) = g(x) x B למה 2.7 "יחס" שוויון העצמה הוא "יחס" שקילות על (מחלקת) כל הקבוצות 15/11/2011 הוכחה: A Id A שוות עצמה עם עצמה (רפלקסיבית) כיוון ש: A 1..2 אם A שוות עצמה ל B אזי B שוות עצמה ל A (סימטריה) כי f : A B חח"ע ועל, לכן f 1 : B A גם חח"ע ועל. 3. אם A שוות עצמה ל B וB שוות עצמה ל C אזי f : A B חח"ע ועל, וגם g : B C חח"ע ועל אזי: g f : A C חח"ע ועל. 3 קבוצות סופיות 3.1 עוצמה מהי עצמה? פרגה ( Ö ) בסוף המאה ה 19 הגדיר עוצמה באופן הבא: הגדרה 3.1 עוצמה: עוצמה היא מחלקת שקילות של קבוצות תחת יחס שוויון העוצמות דוגמה 3.2 העוצמה 5: מחלקת כל הקבוצות שבהן 5 איברים. אפשר לנסח זאת באופן יותר טוב מזה. ניתן לבחור (אם אכן ניתן)קבוצה מעוצמה מסויימת בתור "קבוצת מודל"העוצמה היא קבוצת המודל,והעוצמה של קבוצת היא קבוצת המודל. (מכל מחלקת שקילות נסמןקבוצת מודל אחת) זו בעיה לא לגמרי פשוטה, אבל היא קלה למדי לקבוצות סופיות. 9

3 קבוצות סופיות 3.2 קבוצות סופיות מבוא 3.2 קבוצות סופיות מבוא וכו' אנחנו מניחים כי בתורת הקבוצות שלנו נמצאת קבוצת מספרים N עם התכונות הרגילות שלה ("האקסיומות של פיאנו" (È ÒÓ 1. בקוצה N קיים איבר המסומן 0 2. לכל איבר ב N ("מספר טבעי") קיים עוקב 3. כל איבר ב N חוץ מ 0 הוא עוקב אבל 0 אינו עוקב. 4. אקסיומת האינדוקציה: תהי A תת קבוצה של Nהמקיימת: (א) A 0 (ב) אם n A גם n+1 A אזי a = N כמובן שאנו מסמנים את אברי N בסימון הרגיל:...,0,1,2,3 מאקסיומות אלה נובעות כל התכונות הרגילות של N (יחס, סדר, פעולות חיבור וכפל) נסמן לכל :n N N n = {x N x < n} N 0 = N 1 = {0} N 2 = {,1} הגדרה 3.3 קבוצה סופית: קבוצה נקראת סופית אם היא שקולה (שוותעוצמה) לאיזשהי N. n במקרה זה העצמה של הקבוצה תקרא אז n מסקנה 3.4 העצמות של הקבוצות הסופיות הן...,0,1,2,3 כלומר, אוסף העוצמות הסופיות הוא הקבוצה. N הגדרה 3.5 קבוצה אינסופית: קבוצה שאינה סופית נקראת אינסופית הערה 3.6 דברים ששכחנו: אם A שוות עוצמה ל B אזי (A) P שקולה ל (B) P אם A A ו: B B (שוות עוצמה אז: B A B A טענה 3.7 אם קבוצה A היא בת n איברים, אזי הקבוצה B היא בת n אברים B A הוכחה: מכיוון ש A N n וגם B N n ולכן מטרנזטיביות נקבל.A B כנדרש. מסקנה 3.8 קבוצות שוות עצמה לקבוצה סופית היא סופית. וקבוצה שוות עוצמה לאינסופית לקבוצה אינסופית גם היא אינסופית. הוכחה: שוב, טרנזטיביות ובולשיט... משפט 3.9 N n אינה שוות עצמה לשום קבוצה חלקית ממש שלה. הוכחה: הוכחה באינדוקציה על n. כאשר = 0 n נכון באופן ריק. אין אף קבוצה חלקית ממש שלה. נניח כי זה נכון ל n, נוכיח ל 1+n. תהי n+1.a N נניח בשלילה כי f : N n+1 A חח"ע ועל. נבנה g : N n B ל B שהיא חלקית ממש ל N n ונקבל סתירה להנחת האינדוקציה. ½¼

3.2 קבוצות סופיות מבוא 3 קבוצות סופיות f : {0,1,...,n} A {0,1,...,n 1} מקרה א: B = A\{f(n)} g = f Nn.n / A לכן קיבלנו כי: f Nn {0,1,...,n 1} A\{f (n)} כמובן ש f Nn חח"ע ועל כשתמונתה {(n) B = A {f אכן חלקית ממש לA ולכן סתירה להנחת האינדוקציה. מקרה ב: n A (שקול ל (A N n נתבונן באיברים (n) f 1 וב (n).f אם: f 1 (n) f n f f (n) אזי נצמצם אותה ל N n וקיבלנו סתירה להנחת האינדוקציה. אחרת, נניח ש (n) f 1 איננו n. { f 1 (n),n } f {n,f (n)} נחליף את f בפונקציה f המוגדרת באופן הבא: f = f אבל: f (n) = n, f ( f 1 (n) ) = f (n) ונצמצם אותה ל N. n וקיבלנו סתירה להנחת האינדוקציה. מסקנה 3.10 אם קבוצה שקולה לקבוצה חלקית ממש היא אינסופית. דוגמה 3.11 (המלון של הילברט) N היא אינסופית. הוכחה: לחילופין, ניתן להוכיח גם לא על ידי דוגמה, N. 1+n N N n סתירה. מסקנה 3.12 אם N n ו N m שוות עוצמה אזי:.n = m הוכחה: אחרת בה"כ n > m ואז N n שקולה לקבוצה חלקית ממש שלה N. m מסקנה 3.13 כל קבוצה סופית שקולה ל N n עבור n יחיד ("מוגדרת היטב") למה 3.14 תהי A קבוצה בעלת n איברים (כלומר שקולה ל N) n ויהי x / A אזי: A {x} בת 1+n איברים. { A N n {x} n הוכחה: ולכן נקבל כי 1+n A {x} N n n = N חח"ע ועל (לבדוק! הכל מיידי) טענה 3.15 אם B,A סופיות אזי גם A B סופית הוכחה: מוסיפים מB כל איבר אחד בכל שלב או שאין שינוי, או שיש הגבלה ב 1 ובסוף עדיין סופי. באופן פרומלי, אינדוקציה על מספר אברי B (להשלים פרטים) (הלמה נותנת את האינדוקציה. ל = B ברור) 11

4 קבוצות אינסופיות טענה 3.16 כל קבוצה חלקית ל N n היא שקולה ל N m עבור m n ואי השוויון m < n היא חלקית ממש. הוכחה: אינדוקציה על n. = 0 n ברור: A היא רק. ועצמתה היא 0 כמו ל ואין חלקיות ממש. נניח ל n נוכיח לn+1 : n+1 A N תהי B = N n A אם n A אזי: {n} A = B ונשתמש בלמה. אחרת n / A אזי: A = B ונשתמש בהנחת האינדוקציה. מספר איברי A (מספר איברי n+1 B)+1 שיוויון מתקיים (בA יש 1+n איברים) כנדרש. באמת עלינו בלמה ב 1 ( A n) וגם מהנחת האינדוקציה B = N n ואז {n} A = B ואז n+1 A = B {n} = N n {n} = N מסקנה 3.17 קבוצה חלקית לקבוצה סופית היא סופית אם קבוצה מכילה קבוצה אינסופית, היא אינסופית. טענה 3.18 אם שתי קבוצות סופיות הן זרות, אזי מספר אברי האיחוד הוא סכום מספרי האיברים הוכחה: כמו למה קודמת, הוכחה באינדוקציה 4 קבוצות אינסופיות 4.1 קבוצות בנות מנייה הגדרה 4.1 בת מנייה: קבוצה תקרא בת מנייה )ÓÙÒØ Ð ) אם היא שוות עצמה ל N. דוגמה 4.2 הקבוצה Z (השלמים) היא בת מנייה: Z = (n 1) {0} (n 1) נרצה לבנות העתקה חח"ע ועל f : Z N באופן הבא: { 2n n 0 f (n) = 2 n 1 n < 0 האי שליליים חח"ע ועל על הזוגיים, והשליליים חח"ע ועל האיזוגיים תרגיל: תרגיל, לבנות את הפונקציה ההפוכה, ולהראות שהיא באמת הפוכה. טענה 4.3 1. כל קבוצה בת מנייה היא אינסופית (כי הראינו זאת לN ) 2. כל שתי קבוצות בנות מנייה הן שוות עצמה..3 לכל n N הקבוצה n} {x x היא בת מנייה. הוכחה: הוכחה לבד... למה 4.4 אם A בת מנייה וx אבבר כלשהו אזי { A {xבת מנייה. הוכחה: אם x A ברור. אם x / A אז: { x 0 f = a A f (a)+1 (הטריק של המלון של הילברט) 12

4.1 קבוצות בנות מנייה 4 קבוצות אינסופיות טענה 4.5 איחוד של קבוצה סופית וקבוצה בת מנייה הוא בן מנייה הוכחה: מהלמה הקודמת באינדוקציה על מספר האברים בקבוצה הסופית למה 4.6 קבוצת הטבעיים הזוגיים או האי זוגיית היא בת מנייה הוכחה: לזוגיים: 2n n לאי זוגיים: 2n+1 n משפט 4.7 אם קיימות לקבוצות A,B פונצקיות f : A B ו g : B A שהן חח"ע אזי הן שוות עוצמה. הוכחה: נוכיח בהמשך. 22/11/2011 דוגמה 4.8 N היא בת מנייה (נבצע התאמה של השליליים לאי זוגיים, והאישליליים לזוגיים ב Z 1. 2. קבוצה היא בת מניה אינסופית 3. כל שתי קבוצות בנות מנייה שקולות זו לזו 4. איחוד של קבוצה סופית עם קבוצה בת מנייה הוא בן מנייה 5. איחוד של שתי קבוצות בנות מנייה זרות הוא קבוצה בת מנייה (יותר מאוחר נראה כי התנאי של זרות מיותר. משפט 4.9 בהינתן A קבוצה אשר יש לה העתקה חח"ע על ממנה על קבוצה חלקית ממש שלה B. אזי A מכילה קבוצה בת מנייה. הוכחה: תהי f : A B חח"ע ועל. כאשר.B A דרך ראשונה: A אינה סופית, כי הראינו כי לקבוצה סופית אין קבוצה B חלקית ממש השקולה לה (בקבוצות אינסופיות זה כן קורה, לדוגמה 1+N). נבחר איברים: a 0 a, 1 a, 2..., A שונים. נשים לב כי בכל שלב ניתן לבחור איבר נוסף כי אחרת = A } k a} 0 a,..., (כלומר אין איברים נוספים) אזי A הייתה סופית בסתירה להנחה. ואם לא, הרי שיש בידינו כרגע קבוצה בת מנייה שהיא קבוצה חלקית של A (הקבוצה {..., 1 a}) 0 a, הערה 4.10 שתי בעיות: 1. בכל שלב יש בחירת איבר 2. הבחירה נעשית אינסוף פעמים. הבעיה הראשונה אומרת כי } k a} 0 a,..., אינה נבחרת במפורש, אלא תלוייה בפרמטרים (תלויה בבחירות הקודמות) הבעיה השניה, מחשב "אינו יודע" לעשות פעולה עוד ועוד פעמים היא לבנות פונקציה מהטבעיים. את זה צריך "להגיד לו" כאקסיומה. את האקסיומה המדוייקת, "אקסיומת הבחירה" ננסח בהמשך. פרט לכך, ההוכחה בסדר. 13

4.1 קבוצות בנות מנייה 4 קבוצות אינסופיות דרך שניה: נבחר איבר.A B a 0 נתבונן ב ) 0.a 1 = f (a ואז: ) 1 a 2 = f (a ובאופן כללי: a n = f (a n 1 ) = f n (a 0 ) נשים לב כי כל האיברים,... 1 a 0,a הם שונים זה מזה. נניח בשלילה כי: ) 0.f l (a 0 ) = a l = a k = f k (a a נראה כי k. = l אם לא אז בה"כ k. > l אבל f היא חח"ע ומכך נקבל (באינדוקציה פשוטה) כי: = 0 }{{} לא בתמונה של f f k l (a 0 ) }{{} בתמונה של f כלומר קיבלנו סדרה: a 0,f (a 0 ),f 2 (a 0 ),... כלומר קבוצה בת מנייה. דוגמה 4.11 נתבונן בקבוצה N}.N N = {(m,n) m,n נוכל לסדר את N N לפי אלכסונים. f : N N N, f (k,l) = נשים לב כי קיימת אפילו נוסחה במקרה זה: (k +l+1) +l }{{ 2 } סכום המספרים מ 0 ועדk+l (k+l+1) הוא מספר המספרים באלכסונים עם סכום 1,...,1 l+ k (יש כאן k l+ אלכסונים. 2 כלומר: הנקודה (k,l) היא על האלכסון עם סכום k l+ ועליו היא במקום ה l. מכאן נקבל כי אם נהפוך את f נקבל פונקציה חח"ע ועל מN אל.N N מסקנה 4.12 אם A,B קבוצות בנות מנייה, גם A B בת מנייה משפט 4.13 תהי A קבוצה חלקית לN. אם A איננה חסומה אזי A בת מנייה. f (0) = mina הוכחה: לכל N n קיים aהגדול A N ממנו. נגדיר f : N A ע"י נשים לב כי קיים כזה, כיוון ש A אינה ריקה, ואקסיומת האינדוקציה של. N אם הגדרנו את f על: {1 n,...,0} N n = אזי נגדיר: f (n) = min{a\f (N n )} 14

4.1 קבוצות בנות מנייה 4 קבוצות אינסופיות נשים לב כי זוהי העתקה חח"ע כי ל: f (n).n > m תהיה בתוך: ) m+1 A f (N n ) A f (N אבל:.f (m) f (n) ולכן f (m) f (N m+1 ) העתקה f היא על, כי אם ) m A f N) אז יש בה איבר מינימלי. כל איברי A הקטנים ממנו (אם היו) התקבלו ומספרם סופי נניח שמספרם הסופי הוא m אבל אז מהגדרת f נתבונן ב (1+m) a = f ונקבל a > m בסתירה להנחה. הערה 4.14 היינו צריכים להעיר בהתחלה כי f מוגדרת לכל nכי N אם לא זה אומר ש ) n A = f N) לn המינימלי עבורו f לא מוגדרת אז A סופית. הראינו כי A N שאינה חסומה היא בת מנייה, מצד שני A N שהיא חסומה בוודאי סופית לכן: מסקנה 4.15 קבוצה חלקית לקבוצה בת מנייה היא סופית או בת מנייה. מסקנה 4.16 לקבוצות בנות מנייה A,B גם האיחוד היא קבוצת בת מנייה הוכחה: A\B חלקית לB לכן סופית או בת מנייה. היא גם זה לA ומתקיים: לכן A B בת מנייה. סופית או בת מנייהאיחוד זר בת מנייה A B = A }{{} }{{} (B\A) }{{} מסקנה 4.17 תהי A בת מנייה. X כלשהי. f : A x פונקציה אזי (A) f בת מנייה או סופית הוכחה: בה"כ נוכל להניח כי A = N (כי A שקולה ל N) נבנה העתקה: g : f (A) N ע"י Nה=g(x) n המינימלי כך ש. f (n) = x אזי g מוגדרת היטב כיוון שלכל (N) x f אכן יש מקורות, ואנו לוקחים את המינימלי. שלg. על הקבוצה חלקית של N =התמונה f נותנת העתקה חח"ע ועל מ( N ) g בבירור חח"ע מהגדרתה לכן g התמונה זו סופית או בת מנייה ולכן גם (A) f. משפט 4.18 המספרים הרצונליים Q מהווים קובצה בת מנייה. (a,b) a n = f (a,b) הוכחה: f : Z (N\{0}) Q העתקה על Q מקבוצה שהיא מכפלה של שתי קבוצות בנות מנייה Z ו: {0}\N. מטענות קודמות Q בת מנייה או סופית, אבל N Q ולכן אינה סופית בת מנייה. הגדרה 4.19 תהי A קבוצה. סדרה באורך n של איברה בA (תסומן: n 1 (a 0,...,a היאפונקציה: f : N n A בסימון: a k = f (k) הערה 4.20 עבור = 0 n ההסכם הוא כי מדובר בסדרה "הריקה" f = g a 0 }{{} f(0), a 1 הערה 4.21 לסדרה באורך a 0 a, 1 2, יש את תכונת הזוג הסדור: { = a 0, a a 0 1 = a 0 a 1 = a 1 }{{} f(1) }{{} g(0) }{{} g(1) 15

5 עוצמות טענה 4.22 אוסף כל הסדרות הסופיות (באורך כלשהו) בקבוצה בת מנייה הוא קבוצה בת מנייה. הוכחה: תהי A קבוצה בת מנייה. בה"כ A. = N נראה שסדרות מאורך קבוע k מהווה קבוצה בת מנייה. הסדרות מאורך = 1 סדרה מאורך 1 היא איבר בA. זהו אוסף בן מנייה. נניח לאורך ה k, נראה להוכיח ל 1+ k. הסדרהה באורך 1+ k סדרה באורך k מ A + איבר נוסף מA. אז מטענה קודמת: }{{} קבוצה בת מנייה= (קבוצה בת מנייה מהנחת האינדוקציה) A בת מנייה לכן מאקסיומת האינדוקציה הטענה נכונה לכל k. N אוסף הסדרות מאורך כלשהו (סופי) = אוסף הסדרות הסופיות = איחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה זרות (סדרות מאורך...,1,2,3) ניתן לראות איחוד כזה כחלקי ל: N\{0} }{{} }{{} N האינדקס 1 k במקום ה kסדרות מאורך k הוכחה נוספת: תהי P קבוצת המספרים הראשוניים. היא בת מנייה הערה 4.23 כי חלקית ל N ואינה סופית. אם הייתה סופית: p 1 p,..., m נתבונן בגורם הראשוני של... 2 p p 1 1+ m p הוא בהכרח שונה מהקודמים. סתירה להנחת הסופיות. (הוכחה של אוקלידס ב 300 לפנה"ס) נסדר את הראשונים לפי סדר עולה: p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7,... בהנתן סדרה סופית מאורך k של טבעיים. נתבונן ב: 1 k a. 0 a,..., נתבונן ב: מגדיר העתקה חח"ע. לכן: 2 a0 3 a1... p a k 1 k = f (a 0,...,a k ) (k באורך (סדרות N\{0} ולכן אלו קבוצות בנות מנייה. אבל איך אפשר להשתמש בראשוניים כדי לקבל את כל הסדרות מכל אורך סופי (כלשהו) של טבעיים כקבוצה בת מנייה? הצעה ראשונה: כאשר זו הf שנבנתה קודם. אפשרות אחרת: (k,a 0,...,a k 1 ) p f k(a 0,...,a k 1 ) k+1 (k,a 0,...,a k 1 ) 2 k 3 a0 5 a1... p a k 1 k 1 29/11/2011 5 עוצמות טענה 5.1 קבוצת המספרים האלגבריים היא בת מנייה 16

5 עוצמות הגדרה 5.2 מספר x C הוא אלגברי אם מקיים משוואה פולינומיאלית עם מקדמים ב Z כלומר: i a i Z, a 0 x n +a 1 x n 1 +...+a n = 0 הערה 5.3 למשוואה כזו יש לכל היותר n פתרונות. כל משוואה נקבעת ע"י הסדרה הסופית: a. 0 a,..., n אוסף הסדרות הסופיות בקבוצה בקבוצה בת מנייה (כאן Z) הוא בן מנייה, מכאן הנהלת חשבונות קלה (ותיאום מס) נותנת את הטענה. טענה 5.4 האינטרבלים ב R R.1.2 קרניים [a, ) ו: (,a] או (a, ) (,a) b > a כאשר [a,b] (a,b] [a,b) (a,b).3 כולם מאותה עוצמה (בין כל שניים יש העתקה חחע"ל) הוכחה: פונקציות לינאריות ax+b) x כאשר 0 (a מראות שמספיק לדון ב,(0, ),R,[0, ),[0,1],[0,1) (0,1) 1 x x (1, ) (0,1) [1, ) (0,1] R ( 1,1) לכן לא צריך לדון יותר בקרנניים. נתבונן בפונקציה: x x מונוטויות חח"ע ועל גם R מיותר. x+1 2 נתבונן בסדרה: x 0 = 0 x n = 1 n n 1 A = {x i } i=0 (0,1) A = [0,1) A = [0,1] A [0,1] f (0,1] g (0,1) 0=n A = x} n } נזיז את האינקס ב 1 ואז שוב ב 1. על המשלים לA הפונציות f,g הן הזהות. על הסדרה {x n } n=2 {x n} n=1 {x n} n=0 הערה 5.5 למעשה f,g הן אותה פונקציה, המורידה את הראש של הסדרה A. קיימות קבוצות אינסופיות שאינן בנות מנייה (קנטור) שתי דוגמאות מפורסמומת 17

5 עוצמות משפט 5.6 קנטור מסקנה 5.7 לכל קבוצהA קיימת העתקה חח"ע (A) A P קבוצתהחזקה, אבל לא קיימת העתקהחח"ע P. (A) A (N Pאינסופית (N) A) = אבל אינה בת מנייה. ((N) Pו: P) (((N) P P) P) משפחה אינסופית של קבוצות אינסופיות שאינן שקולות. הוכחה: (של משפט קנטור).A f P (A) הפונקציה: {a} a A f (a) = היא בבירור חח"ע. נניח כי נתונה (A) g : A P על. נתבונן בקבוצה: B = {a A a / g(a)} נרצה להראות כי B אינה בתמונה של g ואז g אינה על וסיימנו. נניח בשלילה כי אכן יש איזשהו a 0 A כך ש ) 0 B = g(a ונשאר האם.a 0 B אם a 0 B אזי: סתירה ל ) 0 a 0 / g(a (בתוך הגדרת.(B אם a 0 / B אזי מהגדרת B בהכרח. a 0 B לכן a 0 כזה לא יכול להיות קיים. ולכן g אינה על. משפט 5.8 עוד משפט של קנטור מסקנה 5.9 הקטע [0,1] אינו בן מנייה וגם אינו סופי שום אינטרבל אינו בן מנייה הספרה הi. 0 a תזכורת 5.10 כל מספר [0,1] x אפשר לכתוב כשבר עשרוני... 4 0.a 1 a 2 a 3 a כאשר 9 i }{{} שלם,x = a i העתקה {a i } i=1 x היא על. 10 באופן הבא: i i=1 לא חח"ע. כל מספר מתקבל פעם או פעמיים. המספרים המתקבלים פעמיים הם: שווה למספרים ל: 0.a 1...a n 9999... 0.a 1...a n 1 (a n +1)0000... 1 10 n = i=n+1 p 10 i כי: הוכחה: נשתמש באלכסון של קנטור. נניח (בשלילה) כי קיימת [0,1] {0}\N f : שהיא על. נסכים כי אם (n) f ניתנת לכתיבה בשתי צורות כאמור בתזכורת, אז נבחר בכתיב עם האפסים (או סתם את אחת הצורות, אם אנו בוחרים להאמין באקסיומת הבחירה). n=1 {b n } של ספרות באופן הבא: אז מוגדרת לכל n N הספרות של (n) f. נגדיר סדרה { אם הספרה הn ית של (n) fהיא בין 0 7 1+ n,n a b n = אם הספרה הn ית של (n) fהיא 1 9,8 n,n a אפשר גם הגדרות קצת שונות אבל החשוב הוא ש: 18

5 עוצמות 5.1 משפט קנטור שרדר ברנשטיין( ÖÓ Ö¹ ÖÒ Ø Ò Ä ÒØÓÖ¹Ë ).1 הספרה הn ית של (n) f איננה b n.2 וכמו כן: 0,9 n b בדיוק כמו בתזכורת: x = n=1 b n 10 n ניתן לכתיבה רק בצורה שבה הוא נתון (כי אין 0,9) ואני יכול להיות שווה לאף (n) f כי הוא שונה מ: (n) f בספרה הn ית (לכל n) לכן x אינו בתמונה של f ולכן f איננה על. הערה 5.11 זה נקרא טריק האלכסון כי: f (1) = 0. a a1,2 1,1 a 1,3... f (2) = 0.a 2,1 a a2,3 2,2... f (3) = 0.a 3,1 a 3,2 a 3,3.... אנו בונים את הסדרה החדשה מאיברי האלכסון המסומן, אבל כל פעם אני משנים את האיבר, לכן לא קיים b n בתמונה של f כנדרש. לקבוצה סופית A מספר האיברים A n = הוא מספר טבעי. לכל שלוש קבוצות סופיות A,B,C או B: A או B A אם A B C אזי: C A אם B A וגם A B אזי B. A = בנוסף: לB A יש העתקה חח"ע מ A B לA יש העתקה על מB A B ו: B A = יש העתקה חח"ע ועל מA לB. נרצה מצב דומה לקבוצות כלליות. מושג A "עצמה" המכליל את מספר האיברים בקבוצה סופית. ואז B A עם אותן תכונות. מושגהמספרהטבעיהיהנתוןמבחוץלכןננסהלהגדיררקאתהמושג B A (בלילהגדיראת A כסימון) לכך שקיימת העתקה חח"ע.f : A B עולות השאלות הבאות: 1. האם ניתן למצוא מובן ל A העוצמה? 2. לכל קבוצות A,B האם תמיד מתקיימת לפחות אחת מהאפשרויות B A (יש העתקה חח"ע מA לB ) או A B (יש העתקה חח"ע מB ל A) 3. אם B A שקול לקיום העתקה על מB לA.4 אם B A ו C B האם C A (כן וזה מיידי) 5. אם A B וגם A B האם יש העתקה חח"ע מA לB היום נדון בשאלה 5. למעשה זהו: משפט קנטור שרדר ברנשטיין (או משפט השוואת העוצמות) 5.1 משפט קנטור שרדר ברנשטיין( ÖÓ Ö¹ ÖÒ Ø Ò Ä ÒØÓÖ¹Ë ) משפט 5.12 קנטור שרדר ברנשטיין (Ä ÒØÓÖ¹Ë ÖÓ Ö¹ ÖÒ Ø Ò) 19

5 עוצמות 5.1 משפט קנטור שרדר ברנשטיין( ÖÓ Ö¹ ÖÒ Ø Ò Ä ÒØÓÖ¹Ë ) אם קיימות העתקות חח"ע g : B A f, : A B כאשר B,A קבוצות. אזי קיימת העתקה חח"ע ועל.h : A B הערה 5.13 נבנה את h מתוך f וg. ההוכחה קצת דומה לקיום סדרה אינסופית. הוכחה: נגדיר: A 0 = A g(b) B 0 = B f (A) באינדוקציה על 0.n A n+1 = g(b n ) B n+1 = f (A n ) טענה 5.14 הקבוצות B n זרות וכן A i זרות הוכחה: ברור כי A 0 זרה לכל A i האחרות כי A 0 אינה בתמונת g. אבל כל האחרות מוגדרות כתמונה של g (של (B i 1 אם למשל A i ו A j נחתכות בה"כ i j 1 נקח מקורות תחת g (היא חח"ע) ונקבל: B i 1 = g 1 (A i ) B j 1 = g 1 (A j ) נחתכות. סתירה להנחת האינדוקציה. טענה 5.15 B ו i+1 A מהגדרת i+1 B היא חח"ע ועל i+1 f Ai ו A חח"ע ועל i+1 gהיא Bi כעת אנו יכולים לבנות את הפונקציה המבוקשת של A. B f (x) x A n nזוגי h(x) = g 1 (x) x A n זוגי nאי f (x) x / i=0 A i הערה 5.16 ניתן היה במקרה לקחת את (x) g 1 לכל x כזה. (אין לי מושג על מה ההערה) i=0 מהטענות לi זוגי: h Ai היא חח"ע ועל מ A i ל 1+i B ול i אי זוגי: h Ai היא חח"ע ועל מ A i ל 1 i B ל x / A i מתקיים כי x בתמונת g ותמונתו תחת f לא שייכת ל B i A f A i B i=0 i=0 B i (וחץ g בכיוון השני) גם צמצום של צכ וגם צמצום של g חח"ע ועל בין הקבוצות האלה. i=0 הערה 5.17 לעבור על זה, ביחד עם וויקיפדיה... דוגמה 5.18 הוכחה נוספת לכך שכל האינטרבלים שקולי עוצמה. כל איטרבל משוכן ב R. ראינו Rשקול ל (x x 1+x )( 1,1) 2 בכל אינטרבל ניתן לשכן את (1,1 ) ע"י העתקה לינארית ממשפט קש"ב יש שיכונים בשני הכיוונים מ IלR ולכן מקבלים שהם שקולים 20

5 עוצמות 5.2 חשבון עוצמות דוגמה (N) 5.19 Pשקולה ל R כיוון ש R [0,1] יש פיתוח בינארי. כל תת קבוצה של N מגדירה מספר ממשי A N a A 1 2 a [0,1] ולכן (N) P [0,1] (צריך להשלים פרטים) בשלב זה אין מובן לסמל A אלא רק ליחסים B A. B A, = היחס B A הוא = יחס שקילות (רפלקסיבי, סימטרי וטרנזטיבי) היחס B A הוא יחס סדר חלקי. רפלקסיבי, אנטיסימטרי B ) A וגם A B אזי B ( A = וטרנזטיבי. מושג קרוב של יחס סדר: B A < אי רפלקסיביות ( A A אף פעם), א סימטריה ( B A < אזי לא ייתכן A ( B < וטרנזטיבי. שני המבנים הבאים שקולים: 06/12/2011.1 בהנתן נגדיר B A < אם B A אבל B. A =.2 בהנתן < נגידר B A אם B A < או B. A = נשתמש במונח יחס סדר לשניהםץ ההקשר יקבע באיזה מהם אנו משתמשים. 5.2 חשבון עוצמות ניתן להכליל את פעולות החיבור הכפל והחזקה לעוצמות (גם אינסופיות). הבעיה היא שהדבר מכיל המון פרטים קטנים כגון מוגדרות היטב, חוקים (קומוטטיביות לדוגמה), התאמה למקרה הסופי ועוד... וגם אז נקבל תופעות חדשות. למה 5.20 התנאים הבאים שקולוים לעוצמות,a: b a b.1.2 קיימות קבוצות A,B כך ש A B. B = b A = a.3 לכל קבוצה B כך ש B b = קיימת B A כך ש A a =.4 לכל קבוצות A,B כך ש A ו: = a B = b מתקיים B A הוכחה: 1 :2 כי הגדרת 1 היא. 2 2 :3 בהינתן B נשתמש בנתון 2 על מנת למצוא B 0,A 0 כך ש 0 a = A 0, b = B ו: 0. A 0 B כלומר קיימת f : A 0 B 0 חח"ע. מתוך 0 B = b = B נקבל העתקה חח"ע ועל.g : B 0 B A B ומהגדרתה a = A 0 = A היא חח"ע ועל. ולכן: g f A0 נגדיר )) 0 Aאזי: = g(f (A : A 0 A כנדרש. 3 :4 בהנתן.b = B,a = A,A,B צריך למצוא העתקה חח"ע מ A לB. מ 3 אנו יודעים כי קיים A 0 B כך ש 0, A = a = A לכן יש לנו העתקה חח"ע ועל f : A A 0 ואז ההרכבה עם השיכון (השיכון של Aב B i) = נקבל i f : A B חח"ע כנדרש. 4 :2 נבחר קבוצות A,B כך ש A = a ו:. B = b מ 4 מתקיים B A כנדרש. תרגיל: אותו דבר למושג B A < הגדרה 5.21 נסמן N = ℵ 0 משפט 5.22 (שכבר הוכח) לכל מספר טבעי.n < ℵ 0,n וכן: P(N) ℵ 0 < ℵ = R = טענה 5.23 על המספרי הטבעיים, מושג שוויון וסדר מתלכד עם שוויון העוצמות\אי שוויון העוצמות הסופיות 21

5 עוצמות 5.2 חשבון עוצמות הוכחה: m n אם"ם {0,1,...,m 1} {0,1,...,n 1} זה ברור באינדוקציה כפולה (שהוכחה) למה 5.24 תהיינה A וB קבוצות זרות. תהיינה C וD קבוצות זרות. נניח כי f : A C וגם g : B D חח"ע ועל. אזי f g : A B C B חח"ע ועל. הוכחה: הוכחה טריוויאלית. הגדרה 5.25 לעוצמותb,a, תהיינה A,B כך ש A = a ו: B = b כך ש: =.A B נגדיר: A B a+b = למה 5.26 להוכיח מוגדרות היטב של ההגדרה הנל בנוסף, צריך למצוא A,B זרות מהעוצמות.b,a דרך לעשות זאת היא להחליף את A ב {0} A ואת B ב{ 1 } B. מאותה העוצמה כמו A,B וזרות שיכון (A) C = B f B 5.2.1 חיבור עוצמות.1 a+b b+a = חוק החילוף.2 a+(b+c) (a+b)+c = חוק הקיבוץ. a+0.3 a = (כאשר = (0 כנ"ל גם לסכומים מאורך סופי כלשהו. כל התכונות הנ"ל ברורות. משפט 5.27 בהינתן a,b,c עוצמות. אזי: a a+b.1.2 אם a b אזי קיימת c כך ש a+c = b הוכחה: הוכה של : 2 B f : A חח"ע. (A).C = B f וגם (A) A = f שיכון. הגדרה 5.28 מונוטוניות: אם a b אזי לכל a+b b+c c: (הופכים קודם לזרות...) משפט 5.29 לכל ℵ 0 = n+ℵ 0 n N וכן ℵ 0 +ℵ 0 = ℵ 0 הוכחה: איחוד של מספר סופי של איברים עם קבוצה בת מנייה הוא עדיין בן מנייה, כמו כן גם איחוד של כל המספרים האיזוגיים עם המספרים הוזגיים הוא בן מנייה משפט 5.30.1 נניח a ℵ 0 אזי: a = a+ℵ 0 a+b = a אזי b a ו: b = b+b.2.3 אם a = a+b ו > 0 b אז a ℵ 0 הוכחה: 22

5 עוצמות 5.2 חשבון עוצמות.1 מההנחה קיימת A = a ויש שיכון f : N A חח"ע. ואז: (N {0} A (1)) }{{} }{{} A N שני עותקים של f(n) A f(n) 1 2. הוא מקרה פרטי של 2 אם b, = ℵ 0 ההוכחה למקרה הכללי זהה למקרה הפרטי. 3. קבוצה A מעוצמה a תהיה שקולה לקבוצה חלקית ממש שלה ולכן תכיל עותק של N (כלומר קיימת f : N A חח"ע ( לפי משפט שהוכח. ℵ+ℵ = [0,1] [2,3] משפט 5.31 ℵ = P (N) הוכחה: ℵ = ℵ+ℵ = ℵ+ℵ 0 = ℵ+b לכל n טבעי נשתמש בקנטור שרדר ברנשטיין. ברור כי: ℵ ℵ+n ℵ+ℵ 0 ℵ+ℵ מכיוון שני: איחוד זר. [0,3] = 0,1 הערה 5.32.1 חיסור עוצמות הוא בעייתי כי ℵ 0 +1 = ℵ 0 +0 אבל 0.1.2 כיוון הפוך של מונוטוניות בעייתי: ℵ 0 +1 ℵ 0 +0 אבל 0 1 טענה 5.33 על המספרים הטבעיים החיבור הוא כרגיל הוכחה: למנוע בלבול נסמן m+n בתור חיבור רגיל, וm n בתור חיבור עוצמות (בהוכחה זו לבלבד). נוכיח באינדוקציה כפולה. (נשתמש במוגדרות היטב של ו +) k 1 = {0,1,...,k 1} {k} = {0,...,k} = k +1 k (l 1) = (k l) 1 = (k +l) }{{} +1 = k +(l+1) }{{} הנחת האינדוקציה אסוציאטיביות + באינדוקציה: A B = C D 5.2.2 כפל עוצמות טענה 5.34 אם C A ו = D B = אזי: 23

5 עוצמות 5.2 חשבון עוצמות הוכחה: יהיו f : A C ו g : B D חח"ע ועל אזי: f g : A B C D חח"ע ועל: (f g)(a,b) = (f (a),g(b)) הגדרה A B = ab 5.35 כאשר A = a ו. B = b מהטענה, מכפלת עוצמות מוגדרת הייטב. משפט 5.36.1 ba ab = חילוף.2 a(bc) (ab)c = קיבוץ a 1 = a,a 0 = 0.3.4 ab+ac a(b+c) = פילוג b או = 0 a = 0 ab = 0.5.6 אם a b אזי ac bc לכל c,b,a.1 A h(a,b) = (b,a) h : A B B חח"ע ועל 2. דומה הוכחה:.a (a, ),A A { } וגם.A לכל A =.3 A (B C) (A B) (A C) 4. אם C,B זרות אזי A B,A C זרות אזי: חח"ע ועל. מוגדרת ע"י אם... (קל להשלים) או כזהות 5. ראינו. אם B,A אינן ריקות גם A B אינה ריקה 6. ברור מההגדרה משפט 5.37 < n) ℵ 0 ℵ 0 = ℵ 0 n = ℵ 0.1 (0 (ראינו).2 ל 0 n ℵℵ 0 = ℵn = ℵ N הוכחה: נוכיח רק את 2 (כאמור את 1 כבר ראינו) ℵ ℵn ℵℵ 0 צריך להראות: ℵℵ 0 = ℵ נקח: [0,1) [1,2)... n=0 [n,n+1) = [0, ) }{{} עוצמה ℵ נשים לב כי: 24

5 עוצמות 5.2 חשבון עוצמות הערה 5.38 בפעם הבאה נראה כי ℵ. = ℵℵ נשים לב כי עם חילוק יש לנו בעיה 13/12/2011 דוגמה 2 5.39 0 ℵ 0 = ℵ 0 1 = ℵ נשים לב כי אם נחלק ב ℵ 0 נקבל כי = 2 1. כלומר, וזו סתירה השיוויון לא נשמר. כמו כן, מכפל לא נשמרת מונוטוניות כיוון ש < 2 1 אבל אם נכפיל ב ℵ 0 נקבל שיוויון. הערה 5.40 האם בהינתן a b < a c אזי b? < c בינתיים איינו יודעים עדיין. נפתור זאת בעזרת אקסיומת הבחירה. למה 5.41 פעולת הכפל מסכימה עם הכפל הרגיל כשמדובר במספרים הטבעיים הוכחה: הכפל הוא חיבור חוזר, ולחיבור ראינו זאת (כי חיבור היא פעולת עוקב, הוספתו, חוזרת) הוכחה באינדוקציה: נסמן את פעולת הכפל בעוצמות. את הכפל בטבעיים נשאיר בסיס: 1 n = n = 1 n צעד: נניח כי.m n = mn נרצה להראות עבור 1+m. מדיסטריבוטיביות ומהנחת האינדוקציה נקבל: (m+1) n = m n+1 n = mn+1 n = (m+1)n כנדרש. מסקנה 5.42 לכל עוצמת a ולכל טבעי n: a n = na = a+...+a }{{} n פעמים 5.2.3 חזקות של עוצמות לקבוצות A,B נגדיר את קבוצת החזקה: A B = {f : B A} כאשר f פונקציה. מדוע זו קבוצה? פונקציה f היא קבוצה חלקית ל A B (כל שההטלה לA היא חח"ע ועל) לכן אוסף הפונקציות מA לB היא קבוצה חלקית של קבוצת החזקה (A B) P עם תכונות מסויימות לכן זו קבוצה בעצמה. משפט 5.43 לקבוצות A,B,C,D מתקיים:.1 אם A C (שקולה) ו B D אזי: A B C A = { }.2 A אם A =.3.4 אם = C B אזי: A B C A B A C (A B) C A C B C.5 ( A B ) C A (B C).6 הוכחה: ¾

5 עוצמות 5.2 חשבון עוצמות.1 f B A ϕ ψ D g C g = ψfϕ 1 f = ψ 1 gϕ נבנה העתקות הפוכות זו לזו מ Bל A D C ומ Dל C B A ולכן הקבוצות האלה שקולות ψfψ 1 = ψψ 1 gϕϕ 1 = Id A fid B = f כלומר:.f g f באותו אופן.g f g 2. העתקה מ לA היא חלקית ל = A ולכן יכולה להיות לכל היותר פונקציה אחת כזו והיא עצמה. ההעתקה A חח"ע ועל. ולכן זו רכן פונקציה. 3. אם A אינה ריקה, לא קיימת פונקציה מA ל כי A = והקבוצה החלקית היחידה שלה היא שההטלה שלה על A אינה על כי.A סה"כ = A עבור A כנדרש. 4. פונקציה מ B לA (בגלל זרות B לC ) היא זוג פונקציות { f : B A g : C A אילו B,C לא היו זרות, f,g היו צריכות להסכים על החיתוך (הלא ריק!). לכן, אכן: A B C = A B A C הכיוון ההפוך. בהנתן: { f : B A g : C A מקבלים פונקציה מוגדרת היטב על האיחוד B C.5 העתקה f : C A B נתונה ע"י הקואורדינטות שלה. (נסמן ϕ : A B A ו: (ψ : A B B ϕf = f A : C A ψf = f B : C A (f A,f B ) = f : C (A B) ולהפך, מכל שתי העתקות כאלה נקבל:.6 בהנתן f : C A B אזי לכל f (c) c C היא פונקציה מ,AלB נגדיר g : B C A ע"י.g(b,c) = f (c)(b) בכיוון ההפוך, בהנתן: g : B C A נגדיר fע"י : C A B כך ש: B f (c) : היא הפונקציה: (b,c) f. (c)(b) = f בבירור הפעולות הופכיות זו לזו. A B C g ( A B) C f 26

5 עוצמות 5.2 חשבון עוצמות A B = A B הגדרה 5.44 חזקות של עוצמות: A כנדרש. B = מוגדרות היטב. אם C A ו: = D B = הוכחנו: D C הערה 5.45 הסכמי סדר פעולות: חזקה קודמת לכפל וכפל קודם לחיבור. a. (bc) ( a (b c כמו כן בחזקה אין אסוציאטיביות (וגם לא a (נשים לב כי בד"כ b c = a (bc ) הסכם: קומוטטיביות) על פי רוב. כללי החזקה a 0 = 1.1 a b = 0 a = 0, b 0.2 1 a = 1.a = a.3 a b+c = a b a c.4 (ab) c = a c b c.5 ( a b ) c = a bc.6.7 b a ו 0 cאזי c a c b (מונוטוניות) a c a b אזי a b.8 הערה 5.46 נשים לב כי 6 1 נובע מהמשפט. נוכיח את 8 ו. 7 הוכחה: 8) אם A B פונקציה מ C ל Aהיא פונקציה מC לB ולכן יש הכלה: A C B c ו 8 נובע. 7) לפונקציה מA לC יש הרחבות (לפחות אחת) לפונקציות מC. B למשל, נבחר c 0 C (נגדיר את ההרחבה כ c 0 על המשלים של. אם אין c, 0 כלומר C ריקה אז הטענה ברורה מ 3 של המשפט. a b+1 = }{{} חלק 4 בכללי חזקות טענה 5.47 על העוצמות הסופיות הזקה מסכימה עם חזקה של מספרים טבעיים. a b a = }{{} אינדוקציה a b a }{{} = a b+1 כללי חזקה בטבעיים הוכחה: חזקה היא כפל חוזר. נסמן a b חזקת עוצמות. באינדוקציה: בסיס: a = a = a 1 צעד: משפט 5.48 לכל קבוצה P (A) = 2 A,A כאשר {0,1} = 2 הוכחה: לכל קבוצה A B נגדיר את הפונקציה האופיינית {0,1} A χ B : באופן הבא: { 1 a B χ B (a) = 0 a / B ¾

5 עוצמות 5.2 חשבון עוצמות ההתאמה: χ B B 2 A P (A) בהנתן {0,1} A χ : נגדיר: B = {a A f (a) = B} ההתאמות הפוכות ולכן: (A) 2 A P והמשפט נובע. הראינו כי.2 ℵ0 = R = ℵ טענה 5.49.R = R R כלומר: ℵ = ℵ ℵ.1 (סדרות אינסופיות של ממשיים) R ℵ0 = R.2 R < R.3 אבל R הוכחה:.1 ℵ ℵ = 2 ℵ0 2 ℵ0 = 2 ℵ0+ℵ0 = 2 ℵ0 = ℵ ℵ ℵ 0 = ( 2 ℵ 0 ) ℵ0 = 2 ℵ 0 ℵ 0 = 2 ℵ0 = ℵ.2 R R = ℵ ℵ = ( 2 ℵ0) ℵ = 2 ℵ 0 ℵ = 2 ℵ ℵ.3 (ממשפט קנטור: A P (A) לכל קבוצה (A טענה 5.50 תהי ( C(Rקבוצת הפונקציות הרציפות מRלRאזי: C(R) = ℵ ("תכונת הרציפות נדירה מאד") ℵ C(R) הוכחה: כיוון קל: כיוון שהפונצקיות הקבועות R באופן טריוויאלי. כיוון שני: פונקציה רציפה נקבעת מערכיה על הרציונליים כי הם צפופים ב Rולכן: C(R) R Q (f ולכן: חח"ע (העתקות כלשהן מ.RלQ f Q = ℵ ℵ0 = ( 2 ℵ0) ℵ 0 = 2 ℵ ℵ 0 = 2 ℵ0 = ℵ 28

6 אקסיומת הבחירה 6 אקסיומת הבחירה הערה 6.1 מנוסח קצת רע, אבל לא באמת מעניין, סתם רקע היסטורי שלא עקבתי כמו שצריך. בין אקסיומות תורת הקבוצות יש לאקסיומת הבחירה מעמד מיוחד מסיבות היסטוריה. כשקנטור התחיל את תורת הקבוצות, היו התנגודיות לאופן בה הוא בחר להגדיר אותה. לדוגמה, אם קיים אלגוריתם סופי שבודק אם איבר נמצא בקבוצה סופית, זה הופך לאלגוריתם אינסופי כאשר מדובר בקבוצה אינסופית. לאקסיומות של תורת הקבוצות, אין אופי קונסטרקטיבי. לעומת זאת, לאקסיומות הראשונות (איחוד זוג לא סדור, קבוצת חזקה) הן חלק מאקסיומה גדולה שהיא קבוצה הוא "כל אוסף איברים שניתן להעלות במחשבה", או אוסף אברים שניתן להגדיר ע"י תכונה. זה מוביל לפרדוקס רסל. האקסיומות הנ"ל נועדו על מנת להמנע מפרדוקס רסל. פעולות אלה, הן לא קונסטרקטיביות (כאמור, עוברים מאלגוריתמים סופיים ללא סופיים לדוגמה). בניגוד לאקסיומת אלה אקסיומת הבחירה הובילה לבעיה נוספת. הגדרה 6.2 אקסיומת הבחירה: (אחד הניסוים מתוך הרבה ניסוחים שקולים סטנדרטיים) תהי A קבוצה כלשהי. אזי קיימת פונקציה f : A B כאשר B היא קבוצה אחרת כלשהי. כך שאם a A היא קבוצה לא ריקה אזי מתקיים: f. (a) a פונקציהכזונקראתפונקצייתבחירהעבורA. לעתיםקרובותבמקום f מסמניםאותהבc (מהמילה Ó ). f (או c) "בוחרת" אבר מכל a A שאפשר (כלומר אם a קבוצה ). הערה 6.3 יש מקרים בהם פונקציית בחירה ניתנת לבנייה מפורשת דוגמה 6.4 {הקבוצות השסופיות של ממשיים} = A כלומר כל a A היא קבוצה סופית של ממשייםץ נגדיר ל a את =c(a) האיבר המינימלי של a. דוגמה 6.5 לשימוש באקסיומת הבחירה: המשפט: משפט 6.6 לכל קבוצה אינסופית קיימת תת קבוצה בת מנייה הוכחה: תהי A אינסופית. תהי c : P (A) x פונצקיית בחירה. כלומר, לכל תת קבוצה B של A נקבל כי c(b) B (אפשר היה, בה"כ לקחת את X). = A כעת נבחר a 0 A ונגדיר באינדוקציה (עבור n (1 a n = c(a\{a 0,a 1,...,a n 1 }) ההגדרה היא רקורסיבית, בניית a n דורשת את ה a k הקודמים. אבל מרגע שנתונים C ו a 0 אין יותר בחירות. 20/12/2011 תזכורת 6.7 פונקציית בחירה c על קבוצה x היא העתקה משהו x c : (המשהו הוא תמיד קבוצה או מפני שכך הוא נתון או בקורס מתקדם יותר מאקסיומה) כך ש אם a X הוא קבוצה לא ריקה אזי c(a) הוא איבר של a. כלומר, הסבר מילולי יהיה: c בוחרת איבר מתוך כל a X (שניתן לעשות זאת) הערה 6.8 גם אם a הוא הקבוצה הריקה (או לא קבוצה כלל) עדיין c אמורה לתת תשובה. כמו כן, הוכחנו אם A קבוצה אינסופית אזי קיימת קבוצה בת מנניה B. A מסקנה 6.9 α) מתקיים ℵ 0 α היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר (לכל עוצמה אינסופית ℵ 0 29

6 אקסיומת הבחירה היא קבוצת בת מנייה a A משפט 6.10 תהי A קבוצה בת מנייה או סופית שכל אבריה קבוצות בנות מנייה או סופיות אזי a או סופית. הערה 6.11 אקסיומת הבחירה נדרשת כדי להוכיח את משפט זה. אם A סופית אקסיומת הבחירה אינה נדרשת. הוכחנו זאת למקרה } 2 A = {a 1,a והלאה באינדוקציה. A = {a 1,a 2,...} a k = {a k,0,a k,1,a k,2,...} רעיון ההוכחה: נסדר את איברי A בסדרה: לכל a k נסדר את אבריו בסדרה: {אינדקסים שבהם השתמשנו N N B = {(k,j) הערה 6.12 כאן נדרשה למעשה אקסיומת הבחירה. נסמן: B (k,j) f a k,j f : B C נראה (בקלות) שההעתקה היא על. נזכיר למה שהוכחנו אם f : B a i = B N N והעתקה: a A היא העתקה a על ו B בת מנייה או סופית אזי C בת מנייה או סופית וכן הקבוצה B שלנו בת מנייה או סופית כי חלקית ל.N N הוכחה: נסמן לנוחות את Nגם ב N ℵ0 ואז N m מוגדר ל m ℵ 0 0 (המספרים הטבעיים הקטנים מ.(k מההנחה קיימת העתקה חח"ע ועל.( A = N m = m) J : N m A (בזה סדרנו את איברי : i J (i) = a בסימון הקודם) לכל k תהי: } אוסף כל ההעתקות החח"ע ועל מ T (k) = { N ak a k כלומר (i) T היא אוסף כל הסידורים האפשריים של אברי a k a k,0,a k,1,... כעת נבחר סידור לכל k, כלומר: תהי {אוסף ה (k) c. : N m T} בחירה של סיכור לכל N. m k ואז נגדיר את B כמו קודם a A B = {(k,j) N N j < a k } B f : על ידי: f (k,j) = (c(k))(j) a A a = 0 k<m ואת הפונקציה a k כאשר c(k) : N (ak ) a k חח"ע ועל. שאר ההוכחה אינו בעייתי. תמונת f מצומצמת לשורה ה k כלומר: f (({k} N) B) מכסה את a k מהגדרת c(k) ולכן האיחוד: (( ) ) f {k} N B = f (B) k כנדרש. כלומר f על. כעת B N N בת מנייה או סופית ולכן תמונתה a מכסה את a Aa = a k k סופית כנדרש. דבר דומה ניתן לעשות גם לאוספים שאינם בני מנייה או סופיים 30

6.1 סכום ומכפלת עוצמות 6 אקסיומת הבחירה למה 6.13 תהי fהעתקה : A B על. אזי קיימת העתקה חח"ע g : B A (בפרט B ( A הערה 6.14 לקבוצות סופיות או בנות מנייה A ידענו זאת בנינו g באופן מפורש. הוכחה: תהי c פונקציית בחירה על (A) P. לכל x B שאינה ריקה c(x) היא איבר של x. נגדיר g : B A ע"י: המקור של b {( }}{ g(b) = c f 1 (b) ) }{{} נציג מהמקור כלומר: f (g(b)) = b מההגדרה. ומזה אוטומטית: g חח"ע ) g(b b = f (g(b)) = f (g(b )) = b g(b) = נרצה לבחון את השאלה, האם נכון כי B A קיימת פונקציה על f? : B A הראנו כבר. ננסה להוכיח. מהנתון קיימת העתקה חח"ע g : A B איך נבנה את f? נבחר a 0 A כלשהו { a b = g(a) f (b) = a 0 b / g(a) הבעיה היא, למה קיים a 0 כזה? אם קיים a 0 (שקול ל A) אז ההוכחה היא בסדר. מה קורה אם = A? אזי אם B ריקה אכן קיימת g : B A אבל אם B אין כזו. לכן ניסוח נכון יהיה: B A וגם A לא ריקה (או = B (A = אזי אכן קיימת פונקציה f : B A שהיא על. 6.1 סכום ומכפלת עוצמות {B α } α A אוסף קבוצות. תהי A קבוצה שאבריה קבוצות כלומר, של העוצמות. נרצה להגדיר את הסכום: α β ואת המכפלה: α B α A הגדרה 6.15 סכום: נחליף את B α בעותק שלה:.{α} B α A B α העותקים האלה זרים לאינקסים α שונים. ואז נגדיר: α = B α = {α} B α α α α A α A הגדרה 6.16 מכפלה: כאשר A את המכפלה אפילו יותר קל להגדיר: B α = B α α A α A { B α = ϕ : A } B α α ϕ(α) B α α A α A מכפלת הקבוצות: הערה 6.17 כדי שהאקסיומות האלו יהיו שימושיות צריך את אקסיומת הבחירה. למשל, α B (איבר במכפלה הוא פונקציית בחירה) אם A וגם לכל B α a A. α A 31

7 סדר טוב טענה 6.18 מכפלה וסכום עוצמות מוגדרים היטב D α לכל.α צריך להוכיח: D α = B α וכנ"ל גם לסכום (צריך = Bα כך ש {D α } α A הוכחה: תהיינה α A α A להוכיח שוויון עוצמות) כזה ϕ α לכל α) אזי אקסיומת מאפשר לבחור בבת למכפלה ϕ α : B α D α (חח"ע ועל, אם נתון שקיים Φ : B α D α ואז האוסף הזה מגדיר {ϕ α } α A אחת α A α A.α לכל ψ(α) B α עם התוכנה למעלה ψ : A B α,ψ B α α A α A Φ(ψ)(α) = ϕ α (ψ(α)) D α }{{} הגדרת הקואורדינטה αבמכפלה לכן כל הקואורדינטות יחד נותנות: Φ(ψ) = D α כנדרש. α A הערה 6.19 בנינו העתקה חח"ע ועל בין המכפלות ע"י פונקציית בחירה על כל הקואורדינטות. קצת מבולגן, אבל זה היה הרעיון הכללי, ניתן להשלים את זה לבד בקלות 7 סדר טוב מושג הסדר a < b הוא אנטי סימטרי, טרנזטיבי. מגדיר גם את a b רפלקסיבי וטרנזטיבי. { a b a = b b a זהו היה הסדר הרגיל. הגדרה 7.1 סדר מלא: סדר הוא מלא אם לכל שני איברים a,b מתקיים a < b או b < a או = 0 b. דוגמה R 7.2 עם הסדר הרגיל. כל קבוצה חלקית לקבוצה עם סדר יורשת סדר. אם הסדר היה מלא הצמצום לחלקית גם הוא מלא. הגדרה 7.3 סדר טוב: הסדר { < מינימלי B) b 0 כך ש b 0 b לכל (b B למה 7.4 אם הסדר הוא טו, אזי הוא מלא הוכחה: צריך להראות כי כל שני אברים a,b A ניתנים להשוואה. בה"כ a מינימלי ב {a,b} a b כנדרש. על A נקרא טוב אם לכל קבוצה חלקית A B שאינה ריקה קיים אבר דוגמה 7.5 על N הסדרה המושרה מ R הוא טוב (אקסיומת האינדוקציה) דוגמה נגדית: על Z הסדר המושרה מ R הוא לא סדר טוב (למרות שהוא מלא). לדוגמה Z עצמה. אין לה מינימום. 7.1 למה סדר טוב? כדי להפעיל את ההוכחות באינדוקציה יש "הרבה" קבוצות עם סדר טוב משפט 7.6 תחת אקסיומת הבחירה, על כל קבוצה ניתן להגדיר סדר טוב. 32

7.1 למה סדר טוב? 7 סדר טוב דוגמה 7.7 לקבוצה עם סדר טוב בסדרה המושרה מR. זה אותו טיפוס סדר כמו על N. { 1 } {0} n n=1 27/12/2011 קבוצה אשר יש עליה סדר טוב נאמר שהיא סדורה היטב. הסיבה לחשיבות של הסדר הטוב היא הוכחה באינדוקציה. נשים לב כי אנו לא דנים באינדוקציה של שתיכון. בתיכון אינדוקציה מוכיחים טענה עבור = 1 n, מראים שאם היא נכונה לn אז היא נכונה ל 1+n ואז הדומינו נופל, והיא נכונה לכל n כאן מדובר באינדוקציה שלמה. מנכוות הטענה לכל האברים הקטנים מn היא נובעת גם לn. דוגמה 7.8 מספר טבעי 2 הוא ראשוני אם אין לו מחלקים פרט לו ולעצמו. כל טבעי 2 הוא מכפלת ראשוניים. (גם 1 הוא המכפלה ה"ריקה" של ראשוניים. הוכחה: תהי L קבוצת הלא מכפלות ראשוניים שבין הטבעיים. ב L יש איבר מינימלי (אם אינה ריקה) (אקסיומת האינדוקציה: הטבעיים סדורים היטב) איבר מינימלי זה, נניח l 0 הוא מכפלה ab כאשר a,b טבעיים ( 2) מהגדרת l 0 הם מכפלות ראשוניים ולכן מכפלתם כזו. סתירה. לכן L ריקה. הערה 7.9 כפי שהאינדוקציה השלמה עובדת, אין צורך לבדוק את האיבר הראשון בנפרד. אבל הוא כן נבדק כי קבוצת אלה שלפניו היא ריקה ולכן ב"שלב האינדוקציה" אנחנו מוכיחים את נכונות הטענה לאיבר הראשון מתוך נכונותה (האוטומטית) על הקבוצה הריקה. הערה 7.10 (שלי) הוכחה מתוך ספר בתורת המספרים (הרבה יותר פשוטה): באינדוקציה על n. אם = 2 n, הטענה נכונה כי 2 עצמו ראשוני. יהי > 2 n, נניח כי כל מספר טבעי הקטן מn הוא מכפלה של מספרים ראשוניים. אם n עצמו הוא מספר ראשוני, הטענה בבירור נכונה. אם n פריק, לדוגמה n = ab כאשר < a,b < n 1. לפי הנחת האינדוקציה a וb שניהם מכפלה של מספרים ראשוניים, לכן הצמדה של המכפלות הללו נותן פירוק ראשוני של n. דוגמאות לקבוצות סדורות היטב: N k = {0 < 1 <... < k 1} N = (כל הטבעיים,>) 33

7.1 למה סדר טוב? 7 סדר טוב הגדרה 7.11 שתי קבוצות סדורות ) A (B,> B ) (A,> יקראו מאותו טיפוס סדר אם קיימת f : A B חח"ע ועל השומר על הסדר. טיבור הסדר של N יסומן ב ω. הקבוצה הסדורה 1+ ω: מוסיפים עוד איבר גדול מכל איבר ω. +2 ω יהיה: 0,1,2,... < 0,1,2,3,... <, +1 הכוונה ב 1+ הוא סמל חדש, הגדול יותר מכל הקודמים. סימון יותר מקובל, במקום נשים ω ואז נקבל עבור 1+ ω: 0,1,2,...,ω 0,1,2,...,ω,ω +1 ועבור +2 :ω במקרה של ω+ω = 2ω אין איבר אחרון. במקרה של 1+2ω יש איבר אחרון. ושוב גם ל ω 2 אין איבר אחרון. מכל טיפוס סדר של קבוצה סדורה היטבל נקבל את "טיפס הסדר הטוב הבא". אם יש לα איבר אחרון: "נוסיף 1" לסימון 1+α. אם ל α אין איבר אחרון נשים אבר חדש שנהוג לקחת אותו כטיפוס הסדר. כלומר אם הסדר שלנו הו α אזי: 1+α יניב את הטיפוס החדש α אשר יבוא אחרי כל איברי α. דוגמה 7.12 פעם שעברה התבוננו בקבוצה: A = {n 1k } n N, 1 k N מדוע קבוצה זו סודרה היטב? מהו טיפוס הסדר בסיומנים שהגדרנו? לכל B A יש איבר מינימלי נקח את קבוצת האברים בB עם הn מינימלי מתוכם לוקחים k מינימלי קל לראות שזה אכן מינימלי בB. טיפוס הסדר הוא כמובן ω. 2 נשים לב כי ω 2 היא הסדר הגבוה ביותר, ניתן להמשיך: ω 2 +1,..., ω 2 +ω,..., 2ω 2,..., ω 4,..., ω ω,...,ω ωω,...,ω ωωωω... = ε 0 ) 0 ε זה ω בחזקת ω בחזקת... ω כך אינסוף פעמים) 1. כל הקבוצות האלה הן בנות מנייה 2. כיוון ניתנות לשיכון (שומר סדר) ב R דוגמה 7.13 נוכיח כי ωω בת מנייה היא "הגבול" (כלומר איחוד עם זיהויים) של 1=n ω} n } של אחת בת מנייה ולכן גם היא. באותו אופן ε 0 מתואר ע"י קבוצה בת מנייה בתור הגבול של n ω ω...ω פעמים. 1. האם כל סדר טוב "מתקבל באופן כזה"? 2. האם ניתן לשים סדר טוב על קבוצה שאינה בת מנייה? התשובה ל 1 במובן מסויים היא כן. ניסוח מדוייק יותר: הגדרה 7.14 רישא: תהי A קבוצה סדורה היטב. תת קבוצה A B היא רישא Ñ ÒØ) ( Ò Ø Ð של A אם לכל A a < b B מתקיים.B a הסבר מילולי: לכל איבר בB כל האיברים הקטנים ממנה גם הם בB. 34

7.1 למה סדר טוב? 7 סדר טוב משפט 7.15 לכל שתי קבוצות סדורות היטב,A,B יש שיכון של B בA על רישא של A או שיש שיכון של B על רישא של B (כמובן תוך שמירת הסדר) ושיכון כזה הוא יחיד. במילים אחרות, לכל שני טיפוסי סדר טוב, אחד הוא רישא של השני. עבור השאלה 2, התשובה היא כן, גם בלי אקסיומת הבחירה (נראה בהמשך) הרעיון בהוכחת המשפט יהיה: נתאים את האבר הראשון בA לאיבר הראשון בB ונמשיך באינדוקציה. אם הגדרנו לקבוצה A A 1 איך לשלוח אותה לB ו } 0.A 1 = {a A a < a נשלח את a 0 לאיבר הראשון ב B שטרם קבלנו האינדוקציה תסתיים. הבעיה ברעיון ההוכחה היא אולי B "תגמר" לפני A ולא נוכל להמשיך? לצורך זה נבחר איבר END שאינו ב C ונגדיר {END} B = B ואז נבנה את הפונקציה לתוך B כאשר אם B תגדר נגדיר את ערך הפונקציה כ END הוכחה: (של המשפט) נגדיר איפה: f : A B באופן הבא: { min{b f ({x A x < a})} f ({x A x < a}) B f (a) = END אחרת מעקרון ההגדרה ברקורסיה (ברור אינטואיטיבית) f אכן פונקציה מוגדרת היטב. נפריד בין שני מקרים: 1. END f. (A) נוכיח כי f משכנת את A כרישא של B באופן שומר סדר. נראהכיהיאשומרתסדר: יהיו aבaאזי( 1 < a 2 fהואהאיברהמינימליב({ (a 2 B f ({x A x < a 2 אבל נשים לב כי } 2 a 1 {x A x < a מכיוון ש ) 1 f (a כבר נבחר, נקבל ) 2.f (a 1 ) f (a נניח בשלילהכי ) 1,f (a 2 ) < f (a אזכשבחרו את ) 1 f (a כמינימום מבין הערכים האפשרייםהיינו יכולים לקחת את ) 2 f (a כערך של a 1 סתירה להגדרת ) 1 f (a כמינימום. לכן אכן ) 2 f a) 1 ) < f a) כנדרש. (כי הסדרה בB הוא טוב ולכן מלא) נרצה להראות כי התמונה של (A) f היא רישא של.B נניח כי b < b 0 נקבל f (a 0 ) = b 0 עלינו להראות כי, f (A) b אם בשלילה לא, אזי כשהגדרנו את ) 0 f a) היינו יכולים לקחת את b 0 > b וזוהי סתירה להגדרת ) 0 f (a ולכן משל. 2. END f, (A) נרצה להראות כי B איזומורפית לרישא של A. יהי a 0 האיבר המינימלי של A שתמונתו A 0 = {a A a < a 0 } היטב). נגדיר סדורה מתקבל וA END כזה כי אנו יודעים ש a 0 (קיים END. נראה כי A 0 היא רישא של.A נניח כי a < a A 0 אזי: a < a 0 ולכן a < a 0 (מטרנזטיביות) ולכן. a A 0 נבחין כי f (A 0 ) B מכיוון ש a 0 היה המינימלי שתמונתו,END לכן כל האיברים שקטנים ממנו לא יכולים לתת לנו END גם הם. נראה כי צמצום f ל A 0 הוא על B, אם לא, יהי b 0 B המינימלי שאינו בתמונת.A 0 אזי בהגדרת ) 0 f (a היה נדרש שיתקיים f (a 0 ) = b 0 מכיוון ש END = f (a 0 ) = נקבל בהכרח כי ולכן מהגדרת b 0 f ({x A x < a}) = f (A 0 ) B {b 0 } B b 0 END סתירה. והוכחנו את המשפט גם במקרה ב'. במקרה 1, f היא חח"ע כי היא שומרת סדר. ואילו במקרה f A 0 2 חח"ע כי היא שומרת סדרת. לסיום הוכחת המשפט חסרה עדיין היחידות: למה 7.16 יהיו A,B סדורות היטב f,g : A B שומרות סדר שתמונתן רישות של B אזי f = g הוכחה: תהי g(a)} A 0 = {a A f (a) עלינו להראות ש A 0 ריקה. אחרת (הנחה בשלילה) יהי a 0 A 0.f A1 = g A1 המינימלי אשר עבורו זה לא מתקיים. תהי: } 0 A 1 = {a A a < a (יכולה להיות ריקה) אזי: בה"כ נניח כי ) 0 f (a 0 ) < g(a לכן מתקבל "חור" ) 0 f (a 0 ) < g(a אינו יכל להתקבל בתמונת g כי היא שומרת סדר, ו ) 0 f (a 0 ) < g(a וכל האיברים הקודמים ) 0 (a < a מקיימים ) 0 g(a) = f (a) < f (a ולכל a > a 0 מתקיים ) 0 g(a) > g(a 0 ) > f (a ולכן ) 0 f (a לא מתקבל ב( g(a ולכן g(a) אינה יכולה להיות רישא של.B סתירה להנחה. ולכן באופן ישיר מהלמה קיבלנו את היחידות. הערה 7.17 קבוצה המוגדרת כמו A 0 בהוכחה הנ"ל היא תמיד רישא, אבל לא כל רישא בהכרח מהצורה זו. (דוגמה היא מקרה של הרציונליים) 35