Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου
Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από τις ίδιες συνθήκες) δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμά του. ντίθετα τα πειράματα εκείνα κατά τα οποία η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελούνται καθορίζουν και το τελικό αποτέλεσμα λέγονται αιτιοκρατικά. Δειγματικός χώρος ονομάζεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων, που μπορούν να εμφανιστούν σε ένα πείραμα τύχης. ν ω, ω, ω,,ω ν είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης, τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος τύχης είναι { } = ω, ω, ω,,ω. ν Ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα του πειράματος. Δεχόμαστε ακόμα ως ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης τον ίδιο το δειγματικό χώρο και το κενό σύνολο. Επομένως ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης είναι κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου. Ένα ενδεχόμενο ονομάζεται απλό όταν έχει ένα μόνο στοιχείο, δηλαδή ένα δυνατό αποτέλεσμα και σύνθετο όταν έχει περισσότερα στοιχεία. Όταν το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή του είναι στοιχείο ενός ενδεχομένου, τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο αυτό πραγματοποιείται ή συμβαίνει. Για αυτό το λόγο τα στοιχεία ενός ενδεχομένου λέγονται και ευνοϊκές περιπτώσεις για την πραγματοποίησή του. Το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου συμβολίζεται Ν().
Ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης θεωρείται ότι είναι ένα ενδεχόμενο, το οποίο πραγματοποιείται πάντα, γι αυτό το λόγο το ονομάζεται βέβαιο ενδεχόμενο. Το πλήθος των στοιχείων Ν=ν, ( ) φανερώνει το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων του πειράματος τύχης. Το κενό σύνολο ονομάζεται αδύνατο ενδεχόμενο, αφού δεν πραγματοποιείται σε καμία εκτέλεση του πειράματος τύχης και είναι Ν( )=0. Η παράσταση του δειγματικού χώρου, των ενδεχομένων και των πράξεων τους γίνεται με τα διαγράμματα Venn. Σ αυτά με ορθογώνιο συμβολίζεται ο δειγματικός χώρος, ενώ με (περίπου) κυκλικά σχήματα τα ενδεχόμενα. Π Ρ Ξ Ε Ι Σ Ε Ν Δ Ε Χ Ο Μ Ε Ν Ν - Ι Δ Ι Ο Τ Η Τ Ε Σ ) ΤΟΜΗ ΔΥΟ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΝ Η τομή δύο ενδεχομένων και συμβολίζεται και είναι το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των και. Άρα το ενδεχόμενο πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα και. Το ενδεχόμενο διαβάζεται: «τομή» ή «και» Είναι: = { x /x και x } A A B B Ιδιότητες: Για την τομή δύο ενδεχομένων και ισχύουν οι εξής ιδιότητες: ) ) ) ν τότε =.
) ΕΝΣΗ ΔΥΟ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΝ Η ένωση δύο ενδεχομένων και συμβολίζεται και είναι το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά και μη κοινά στοιχεία των και. Άρα το ενδεχόμενο πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα και. Το ενδεχόμενο διαβάζεται: «ένωση» ή «ή» Είναι: = { x /x ή x } A A B B Ιδιότητες: Για την ένωση δύο ενδεχομένων, ισχύουν οι εξής ιδιότητες: ) ) ) ν τότε = ) ΣΥΜΠΛΗΡΜΤΙΚΟ ΕΝΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΟΥ Το συμπληρωματικό ή αντίθετο ενδεχόμενο του συμβολίζεται και είναι το σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία του που δεν ανήκουν στο. Άρα το ενδεχόμενο πραγματοποιείται, όταν δεν πραγματοποιείται το. Το ενδεχόμενο διαβάζεται: A «συμπληρωματικό του» ή «συμπλήρωμα του» ή «αντίθετο του» ή «όχι» Είναι: ={x / x } Ιδιότητες: Για το συμπληρωματικό ενδεχόμενο ισχύουν οι εξής ιδιότητες: ) = ) = ) = ) = 5) ( ) = 6) = = και =
) ΔΙΦΟΡ ΔΥΟ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΝ Η διαφορά του από το συμβολίζεται και είναι το σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία του που δεν ανήκουν στο. Άρα το ενδεχόμενο πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται το αλλά όχι το. Το ενδεχόμενο διαβάζεται: «διαφορά του από το» ή «μόνο το» ή «αλλά όχι» Είναι: ={x /x και x } A A - B B Ιδιότητες: Για τη διαφορά ( ή ) ισχύουν οι εξής ιδιότητες: ) = ) = ) = ) = 5) 6) 7) 8) Σημείωση: Για δυο ενδεχόμενα και ενός δειγματικού χώρου, ισχύει: = = = = = Πράγματι ( ) ΣΥΜΙΣΤ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝ Δύο ενδεχόμενα και λέγονται ασυμβίβαστα ή ξένα ή αμοιβαίως αποκλειόμενα όταν δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο, δηλαδή όταν ισχύει =. Παραδείγματα: Χρήσιμα παραδείγματα ασυμβιβάστων ενδεχομένων είναι τα: ) και ) και ) και ) και 5
Ε Ν Ν Ο Ι Τ Η Σ Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Σ Σ Χ Ε Τ Ι Κ Η Σ Υ Χ Ν Ο Τ Η Τ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω ένα πείραμα τύχης με δειγματικό χώρο το πεπερασμένο σύνολο = { ω, ω, ω,,ω ν }. ν σε ν εκτελέσεις του πειράματος τα απλά ενδεχόμενα { ω }, { ω }, { ω },,{ ω ν } πραγματοποιούνται κ, κ, κ,, κ ν φορές αντίστοιχα, τότε ονομάζουμε σχετικές συχνότητες των ενδεχομένων { ω }, { ω }, { ω },,{ ω ν} τους αριθμούς: ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ f = κ, f = κ, f = κ,..., f = κ ν ν ν ν ν ν. Οι σχετικές συχνότητες έχουν τις παρακάτω ιδιότητες: 0 f i, i =,,,..., ν (αφού 0 κi ν) κ + κ + κ +...κ ν f + f + f +...f = = = ν ν ν ν ΝΟΜΟΣ ΤΝ ΜΕΓΛΝ ΡΙΘΜΝ ν ο αριθμός των δοκιμών ενός πειράματος τύχης αυξάνεται απεριόριστα, τότε οι σχετικές συχνότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων του πειράματος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθμούς (όχι πάντοτε ίδιους). ΟΡΙΣΜΟΣ Πιθανότητα ενός ενδεχομένου, ονομάζεται ένας αριθμός που δείχνει το μέτρο της «προσδοκίας» με την οποία αναμένουμε την πραγματοποίηση του ενδεχομένου. ΚΛΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΣ ν τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης ( στοιχεία του ) είναι ισοπίθανα ονομάζουμε πιθανότητα οποιουδήποτε ενδεχομένου τον αριθμό: Πλήθος ευνοικών περιπτώσεων Ν() Ρ()= = Πλήθος δυνατών περιπτώσεων Ν() 6
πό τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι: ) Ν() Ρ()= = Ν() ) Ν( ) 0 Ρ( )= = =0 Ν() ν ) Για κάθε ενδεχόμενο ισχύει 0 Ρ ( ), αφού 0 Ν Ν. ( ) ( ) Παρατήρηση: Όταν έχουμε ένα δειγματικό χώρο = { ω, ω, ω,,ω ν} και χρησιμοποιούμε τη φράση «παίρνουμε τυχαία ένα στοιχείο του» εννοούμε ότι όλα τα δυνατά αποτελέσματα του είναι ισοπίθανα και άρα μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον κλασικό ορισμό για τον υπολογισμό της πιθανότητας οποιουδήποτε ενδεχομένου του. ΞΙΜΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΣ Έστω = { ω, ω, ω,,ω ν} ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Σε κάθε απλό ενδεχόμενο { ω i }, i=,,,...,ν αντιστοιχίζουμε ένα πραγματικό αριθμό, τον οποίο συμβολίζουμε με Ρω ( i), έτσι ώστε να ισχύουν: 0 Ρ(ω i ), i=,,,...,ν Ρ()=Ρω ( ) + Ρω ( ) + Ρω ( ) +...+Ρω ( ν ) = Τον αριθμό Ρω ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου { ω } ( i) ς πιθανότητα Ρ() ενός ενδεχομένου = { α,α,α,.,α κ} ορίζουμε το άθροισμα Ρ( ) =Ρ( α ) +Ρ( α ) +Ρ( α ) + +Ρ( α ) ενώ ως πιθανότητα του αδύνατου ενδεχομένου κ, ορίζουμε τον αριθμό Ρ( )= 0. i. ν Παρατήρηση: i Ρ(ω )=, i=,,,...,ν με = ν { ω, ω, ω,,ω } ν, τότε έχουμε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας. Στην πράξη ιδιαίτερα στην περίπτωση που δεν ισχύει ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας, ως πιθανότητα ενός ενδεχομένου λαμβάνεται το όριο της σχετικής του συχνότητας (όταν ο αριθμός των δοκιμών τείνει στο άπειρο). Δηλαδή ισχύει: Ρ(ω )=limf i i ν ν κ i =lim, i =,,,..., ν. ν 7
ΚΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΝ ΠΙΘΝΟΤΗΤΝ πλός προσθετικός νόμος: Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα και ενός δειγματικού χώρου ισχύει: Ρ(U)=Ρ()+Ρ() πόδειξη Έστω ότι Ν= ( ) κ και Ν= ( ) λ. Επειδή τα ενδεχόμενα και είναι ασυμβίβαστα ισχύει Ν ( =κ ) + λ, δηλαδή Ν(U) = Ν()+Ν(). Είναι: Ν(U) Ν()+Ν() Ν() Ν() Ρ(U)= = = + = Ν() Ν() Ν() Ν() = Ρ()+Ρ() Σημείωση: ν,, Γ είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου, ανά δύο ασυμβίβαστα, τότε ισχύει: Ρ( U U Γ)=Ρ+ ( ) Ρ+ ( ) ΡΓ. ( ) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα και ενός δειγματικού χώρου ισχύει: Ρ( )= Ρ() πόδειξη Είναι = () και = (). Τα ενδεχόμενα και είναι ασυμβίβαστα (), οπότε σύμφωνα με τον απλό προσθετικό νόμο έχουμε: () Ρ( )= Ρ( ) + Ρ( ) Ρ( )= Ρ( ) + Ρ( ) =Ρ( ) + Ρ( ) Ρ( )= Ρ( ). 8
Προσθετικός νόμος: Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα και ενός δειγματικού χώρου ισχύει: Ρ(U)=Ρ()+Ρ() Ρ( ) πόδειξη Για δύο ενδεχόμενα και έχουμε: Ν (U) = Ν ()+Ν () Ν ( ) (), αφού στο στο άθροισμα Ν()+Ν() το πλήθος των στοιχείων του υπολογίζεται δύο φορές. Είναι: Ν (U ) Ν () +Ν ( ) Ν ( ) Ρ (U )= = = Ν ( ) Ν ( ) Ν() Ν() Ν( ) = + = Ρ()+Ρ() Ρ( ) Ν() Ν() Ν() Έστω, δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου. ν, τότε Ρ ( ) Ρ ( ). πόδειξη Είναι, οπότε Ν( ) Ν( ). Έχουμε διαδοχικά: ( ) ( ) ( ) ( ) Ν Ν Ν( ) Ν( ) Ρ( ) Ρ( ). Ν Ν Προσοχή: Το αντίστροφο δεν ισχύει, δηλαδή αν Ρ ( ) Ρ( ) αυτό δεν σημαίνει κατ ανάγκη ότι. Π.χ. στη ρίψη ενός ζαριού για τα ενδεχόμενα =,,5 ισχύει = Ρ ( ) Ρ ( ) =, ενώ. = {,} και { } 6 6 Παρατήρηση: Ισχύουν: α) Ρ ( Ρ ) ( ), αφού β) Ρ ( Ρ ) ( ), αφού Ρ Ρ ( ), αφού γ) ( ) δ) Ρ ( ) Ρ ( ) ε) Ρ ( Ρ ) ( ), αφού, αφού στ) Ρ Ρ ( ) ( ), αφού ζ) Ρ Ρ ( ) ( ), αφού 9
5 Για δύο ενδεχόμενα και ενός δειγματικού χώρου ισχύει: Ρ( )=Ρ() Ρ( ) πόδειξη Είναι: ( ) ( ) = () και ( ) ( ) = (). Τα ενδεχόμενα και είναι ασυμβίβαστα (), οπότε σύμφωνα με τον απλό προσθετικό νόμο έχουμε: ( ) Ρ ( ) ( ) = Ρ( ) + Ρ( ) () Ρ ( ) = Ρ ( ) + Ρ ( ) Ρ ( ) = Ρ ( ) Ρ ( ) Παρατήρηση: Επίσης ισχύει: Ρ( )=Ρ() Ρ( ) 6 Για δύο ενδεχόμενα και ενός δειγματικού χώρου ισχύει: ( ) Ρ ( ) ( ) = Ρ()+Ρ() Ρ( ) πόδειξη Τα ενδεχόμενα και είναι ασυμβίβαστα, οπότε σύμφωνα με τον απλό προσθετικό νόμο έχουμε: Ρ ( ) ( ) = Ρ( ) + Ρ( ) = ( ) = Ρ ( ) Ρ ( ) + Ρ ( ) Ρ ( ) = = Ρ ( ) + Ρ ( ) Ρ ( ). ( ) ( ) Παρατήρηση: Επειδή τα ενδεχόμενα,, είναι ανά δύο ασυμβίβαστα και ικανοποιούν τη σχέση ( ) ( ) ( ) =, ισχύει: ( ) Ρ( ) ( ) ( ) =Ρ ( +Ρ ) ( +Ρ ) ( ) Ρ ( = ) Ρ( )+Ρ( )+Ρ( ) 0
Π Ι Ν Κ Σ Τ Υ Π Ν Ε Κ Φ Ρ Σ Ε Ν Κ Ι Δ Ι Γ Ρ Μ Μ Τ Ν ΓΛΣΣ ΘΕΡΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΝ ΓΛΣΣ ΘΕΡΙΣ ΣΥΝΟΛΝ ΔΙΓΡΜΜ Venn ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΣ Δειγματικός Χώρος ασικό Σύνολο Ρ ( ) = πλό αποτέλεσμα πειράματος Στοιχείο α του α Ενδεχόμενο Υποσύνολο του 0 Ρ( ) έβαιο Ενδεχόμενο Το ασικό Σύνολο Ρ ( ) = δύνατο Ενδεχόμενο Το Κενό Σύνολο Ρ ( ) = 0 Το δεν πραγματοποιείται : Συμπλήρωμα του (ντίθετο του ) Ρ ( ) = Ρ ( ) Πραγματοποιείται το αλλά όχι το ( μόνο το ) = Ρ ( ) =Ρ ( ) = =Ρ( ) Ρ( )
Πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα και ( ή ) Ρ ( = ) =Ρ( ) +Ρ( ) Ρ( ) Πραγματοποιούνται συγχρόνως τα και ( και ) Ρ ( = ) =Ρ( ) +Ρ ( ) Ρ( ) Πραγματοποιείται μόνο ένα από τα και ( ή ή ) ( ) ( ) ή ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ρ = =Ρ +Ρ = =Ρ +Ρ Ρ Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα και (ούτε το ούτε το ) = ( ) ος Νόμος De Morgan [ ] Ρ ( ) =Ρ( ) = = Ρ ( ) Δεν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα και (το πολύ ένα από και ) = ( ) ος Νόμος De Morgan [ ] Ρ ( ) =Ρ( ) = = Ρ ( ) Πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα, και Γ ( ή ή Γ ) Γ Γ Γ Ρ ( Γ ) =Ρ+Ρ ( ) ( ) +Ρ() Γ Ρ( ) Ρ( Γ) Ρ( Γ ) +Ρ( Γ)
Π Ρ Δ Ε Ι Γ Μ Τ. Δύο φίλοι παίζουν τένις με την εξής συμφωνία: κερδίζει αυτός που θα πάρει πρώτος τρία σετ ή δύο συνεχόμενα σετ. Έστω α η περίπτωση να νικήσει ο πρώτος και β να νικήσει ο δεύτερος σε ένα σετ. α) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. β) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα: : «να τελειώσει ο αγώνας σε δύο σετ». : «να κερδίσει ο δεύτερος παίκτης». γ) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα:, και. ο σετ ο σετ ο σετ ο σετ 5 ο σετ α α β α β α β α β β β α α β α β α β α) πό το παραπάνω δεντροδιάγραμμα βρίσκουμε το δειγματικό χώρο του πειράματος, που είναι = {αα, αβαα, αβαβα, αβαββ, αββ, ββ, βαα, βαβαα, βαβαβ, βαββ}. β) Είναι = { αα, ββ } = { αβαββ, αββ, ββ, βαβαβ, βαββ }. γ) Είναι = { ββ} = { αα} = { αα, αβαα, αβαβα, βαα, βαβαα }.
. Έστω ο δειγματικός χώρος των μαθητών - μαθητριών ενός Γενικού Λυκείου. Θεωρούμε τα ενδεχόμενά του: : «μαθητές - μαθήτριες της ης τάξης» : «μαθητές - μαθήτριες της ης τάξης» Γ : «μαθητές - μαθήτριες της ης τάξης» Χ : «μαθητές» και Ψ : «μαθήτριες». Να εκφραστούν με λόγια τα σύνολα: α) Χ Γ β) Ψ ( ) γ) ( Γ) Χ δ) ( ) Ψ. α) To ενδεχόμενο Χ αποτελείται από τους μαθητές του Γενικού Λυκείου. To ενδεχόμενο Γ αποτελείται από τους μαθητές και τις μαθήτριες της ης τάξης. Επομένως το ενδεχόμενο Χ Γενικού Λυκείου. Γ αποτελείται από τους μαθητές της ης τάξης του β) To ενδεχόμενο Ψ αποτελείται από τις μαθήτριες του Γενικού Λυκείου. Το ενδεχόμενο αποτελείται από τους μαθητές και τις μαθήτριες της ης και ης τάξης, οπότε το ενδεχόμενο ( ) αποτελείται από τους μαθητές και τις μαθήτριες της ης τάξης. Επομένως το ενδεχόμενο Ψ ( ) αποτελείται από τις μαθήτριες της ης τάξης του Γενικού Λυκείου. γ) Το ενδεχόμενο Γ=, αφού δεν υπάρχει μαθητής μαθήτρια που να φοιτά συγχρόνως στην η και η τάξη. Άρα τo ενδεχόμενο ( Γ) Χ = Χ = Χ αποτελείται από τους μαθητές του Γενικού Λυκείου. δ) To ενδεχόμενο Ψ αποτελείται από τις μαθήτριες του Γενικού Λυκείου. Το ενδεχόμενο αποτελείται από τους μαθητές και τις μαθήτριες της ης και ης τάξης. Επομένως το ενδεχόμενο Ψ ( ) αποτελείται από τις μαθήτριες της ης τάξης του Γενικού Λυκείου.
. Ρίχνουμε ένα νόμισμα και ένα ζάρι συγχρόνως και ορίζουμε τα ενδεχόμενα: : «το αποτέλεσμα του ζαριού να είναι μικρότερο του» και : «γράμματα στο νόμισμα και περιττό αποτέλεσμα στο ζάρι». ν επιλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο του δειγματικού χώρου, να υπολογιστούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: α) β) γ) δ) Για να βρούμε το δειγματικό χώρο του πειράματος χρησιμοποιούμε τον πίνακα δ ι π λ ή ς ε ι σ ό δ ο υ που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ο δειγματικός χώρος είναι: = { Κ, Κ, Κ, Κ, Κ5, Κ6, Γ, Γ, Γ, Γ, Γ5, Γ 6 } με Ν ( ) =. φού επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα, άρα σε κάθε περίπτωση ισχύει ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας. α) Το ενδεχόμενο είναι: = { Κ, Κ, Κ, Γ, Γ, Γ } με ( ) 6, β) Το ενδεχόμενο είναι: = { Γ, Γ, Γ 5 } με ( ), γ) Το ενδεχόμενο είναι: {, } με Ν ( ) =, = Γ Γ Ζάρι Νόμισμα Ν ( ) 6 Ν = άρα Ρ( ) = = =. Ν ( ) Ν ( ) Ν = άρα Ρ( ) = = =. Ν ( ) 5 6 Κ Κ Κ Κ Κ Κ5 Κ6 Γ Γ Γ Γ Γ Γ5 Γ6 Ν ( ) άρα Ρ( ) = = =. Ν ( ) 6 δ) Το ενδεχόμενο είναι: {,,,,,, 5} = Κ Κ Κ Γ Γ Γ Γ με Ν ( = ) 7, άρα Ν ( ) 7 Ρ ( = ) =. Ν ( ) Σημείωση: Η πιθανότητα Ρ ( ) υπολογίζεται και με τον προσθετικό νόμο ως εξής: 6 7 Ρ ( =Ρ+Ρ Ρ ) ( ) ( ) ( = ) + =. 5
. Έστω ο δειγματικός χώρος = {,,,,5,,000 } και τα ενδεχόμενά του: : «αριθμός πολλαπλάσιο του» : «αριθμός πολλαπλάσιο του 6». και Επιλέγουμε στην τύχη έναν αριθμό. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: α) β) γ) δ) ε) φού επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα, άρα σε κάθε περίπτωση ισχύει ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας. α) Είναι = {, 8,, 6,...,000}. Τα στοιχεία του ενδεχομένου είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α =, διαφορά ω = και νιοστό όρο α ν =000. α = α + ν ω, οπότε έχουμε 000 = + (ν ) ν = 000 ν = 50. Είναι ( ) ν Ν( ) Είναι Ν ( ) = 50, 50 άρα Ρ ( ) = = = 0,5. Ν ( ) 000 β) Είναι = { 6,, 8,,...,996}. Τα στοιχεία του ενδεχομένου είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο β =6, διαφορά ω =6 και νιοστό όρο β ν = 996. β = β + ν ω, οπότε έχουμε 996 = 6 + 6(ν ) 6 ν = 996 ν = 66. Είναι ( ) ν Ν ( ) Είναι Ν ( ) = 66, 66 άρα Ρ ( ) = = = 0,66. Ν ( ) 000 γ) Το ενδεχόμενο αποτελείται από τους αριθμούς, οι οποίοι είναι ταυτόχρονα πολλαπλάσια του και του 6, δηλαδή από τα πολλαπλάσια του. Επομένως είναι = {,, 6,...,996}. Τα στοιχεία του ενδεχομένου είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο γ = διαφορά ω = και νιοστό όρο γν = 996. γ = γ + ν ω, οπότε έχουμε 996 = + (ν ) ν = 996 ν = 8. Είναι ( ) ν Ν ( ) Είναι Ν ( ) = 8, 8 άρα Ρ ( ) = = = 0,08. Ν ( ) 000 50 66 8 Ρ =Ρ+Ρ Ρ = + = = 0,. 000 000 000 000 50 8 67 Ρ =Ρ Ρ = = = 0,67. 000 000 000 δ) Είναι ( ) ( ) ( ) ( ) ε) Είναι ( ) ( ) ( ) 6
5. Έστω ένας τριψήφιος αριθμός x. Επιλέγουμε τυχαία το ψηφίο των μονάδων Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: α) «ο αριθμός διαιρείται με το και με το 5» β) «ο αριθμός διαιρείται με το ή με το 5» γ) «ο αριθμός διαιρείται μόνο με το» δ) «ο αριθμός διαιρείται ή με το ή με το 5» ε) «ο αριθμός δεν διαιρείται ούτε με το ούτε με το 5» στ) «ο αριθμός διαιρείται με έναν το πολύ από τους αριθμούς και 5». Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι: = Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: { 0,,,,, 5, 6, 7, 8, 9} : «ο αριθμός διαιρείται με το» και : «ο αριθμός διαιρείται με το 5». φού επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα, άρα σε κάθε περίπτωση ισχύει ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας. Το ενδεχόμενο είναι: Το ενδεχόμενο είναι: = { 0,, 6, 9} με ( ), = { 0, 5} με ( ), α) Το ενδεχόμενο είναι: { 0 } με Ν ( ) =, = Ν ( ) Ν = άρα Ρ ( ) = = = 0,. Ν ( ) 0 Ν ( ) Ν = άρα Ρ ( ) = = = 0,. Ν ( ) 0 Ν ( ) άρα Ρ ( ) = = = 0,. Ν ( ) 0 β) Είναι Ρ ( =Ρ+Ρ Ρ ) ( ) ( ) ( = ) 0, + 0, 0,= 0,5. γ) Είναι Ρ( ) =Ρ( ) Ρ( ) = 0, 0,= 0,. δ) Είναι ( ) Ρ ( ) ( ) = Ρ( ) + Ρ( ) Ρ( ) = 0, + 0, 0, = 0,. Ρ = Ρ ( ) = Ρ( ) = 0,5= 0,5. ε) Είναι ( ) ( ) Ρ ( ) = Ρ( ) = 0,= 0,9. στ) Είναι ( ) 7
6. Θεωρούμε το δειγματικό χώρο = { ω, ω, ω, ω }. α) ν Ρω ( ) =, Ρω ( ) =, Ρω ( ) =, να βρεθεί η Ρω ( ) 8 β) ν Ρω ( ) = Ρω ( ) = και Ρω ( ) = Ρω ( ), να βρεθούν οι ( ) 6 γ) ν = { ω, ω }, = { ω, ω }, Ρω ( ) =, ( ) = και Ρ ( ) η Ρω ( ). Ρ. Ρω και Ρω ( ). 7 =, να α) Είναι: + + + = = Ρω ( ) Ρ( ω ) Ρ( ω ) Ρ( ω ) Ρω ( ) Ρω ( ) Ρ( ω ) Ρ( ω ) Ρ( ω) = Ρ( ω ) =. 8 8 β) Είναι: Ρ ω + Ρ ω + Ρ ω + Ρ ω = + Ρ ω + Ρ ω + = 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ρω ( ) = Ρω ( ) = Ρω ( ) =. 6 6 6 Ρ ω = Ρ ω = =. 6 ( ) ( ) γ) Είναι: Ρ = Ρ ω + Ρ ω = + Ρ ω Ρ ω = Ρ ω =. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 7 Ρ = Ρ ω + Ρ ω = + Ρ ω Ρ ω = Ρ ω =. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ρω ( ) Ρ( ω ) Ρ( ω ) Ρ( ω ) Ρω ( ) Ρω ( ) Ρ( ω ) Ρ( ω ) + + + = = Ρ( ω) = Ρ( ω ) =. 6 8
7. Θεωρούμε το δειγματικό χώρο = { 0,,,,,,50 }. ν ισχύει ( κ) κ =,,,,...,50, να υπολογιστούν οι πιθανότητες: α) Ρ( 0 ) β) Ρ( ) με = {,,6,8,,50 }. Ρ = κ, α) Είναι: Ρ ( 0) + Ρ ( ) + Ρ ( ) + Ρ( ) + Ρ ( ) +... + Ρ ( 50) =. Χρησιμοποιώντας τον τύπο Ρ(κ)=, κ =,,,,...,50 κ έχουμε: Ρ (0) + + + + +... + 50 = Ρ (0) = + + + +... + 50 (). Η παράσταση + + + +... + είναι άθροισμα 50 διαδοχικών 50 όρων γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α = και λόγο λ =. πό τον τύπο ν ( ) α λ Sν = λ έχουμε S 50 = 50 50 50 50 = = 50, οπότε από την () έχουμε 50 50 + 50 50 Ρ (0) = Ρ (0) =. β) Είναι: Ρ= Ρ +Ρ +Ρ 6+ +Ρ 50 = + + +... +, που είναι άθροισμα ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 50 5 διαδοχικών όρων γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α = και λόγο λ=, οπότε 5 50 50 50 Ρ()=S 5 = = = 50. 8 8 9
8. Θεωρούμε το δειγματικό χώρο = { ω, ω, ω, ω } ενός πειράματος τύχης. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε οι αριθμοί λ,, λ λ και λ, 6 να παριστάνουν αντίστοιχα τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων { ω }, { ω }, { } ω και { ω }. λ λ = = = = πρέπει και αρκεί: λ λ 6 Για να είναι Ρω ( ), Ρω ( ), Ρω ( ) και Ρω ( ) Ρ ω + Ρ ω + Ρ ω + Ρ ω = και ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Ρω για κάθε i=,,,. i Έχουμε λοιπόν: λ λ + + + = + + + λ λ 6 6λ Ρω Ρω Ρω Ρω = λ +8++λ =0 ( ) ( ) ( ) ( ) λ = 0 λ = λ = ή λ=. Για λ = είναι: Ρ( ω) = =, Ρ( ω ) = =, Ρ( ω) = = και Ρ( ω ) = =, 8 6 8 άρα η τιμή λ = είναι δεκτή. Για λ = είναι: Ρ ω 0, ( ) ( ) = = [ ], άρα η τιμή λ = απορρίπτεται. 0
9. Ένα κουτί περιέχει 5 κίτρινες, x πράσινες και y γαλάζιες μπάλες. Παίρνουμε τυχαία μια μπάλα από το κουτί. ν η πιθανότητα να πάρουμε πράσινη ή γαλάζια μπάλα είναι, ενώ η πιθανότητα να πάρουμε κίτρινη ή γαλάζια είναι 5, τότε: α) Να βρείτε τα x, y καθώς επίσης και πόσες μπάλες έχει το κουτί. β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα να πάρουμε κίτρινη ή πράσινη μπάλα. Ο δειγματικός χώρος περιέχει Ν= ( ) x+ y+ 5 ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Κ : «να πάρουμε κίτρινη μπάλα», με Ν( Κ ) = 5, Π : «να πάρουμε πράσινη μπάλα», με Ν( Π ) = x και Γ : «να πάρουμε γαλάζια μπάλα», με Ν( Γ ) = y. Ν(Κ) 5 Ν(Π) x Είναι Ρ(Κ)= =, Ρ(Π)= = Ν() x+y+5 Ν() x+y+5 και y Ρ(Γ) =. x+y+5 α) Το ενδεχόμενο «να πάρουμε πράσινη ή γαλάζια μπάλα» είναι το Π Γ με πιθανότητα ΡΠ ( Γ= ). Τα ενδεχόμενα Π και Γ είναι ασυμβίβαστα, οπότε: x y x+y Ρ(ΠUΓ) = Ρ(Π)+Ρ(Γ) = + = x+y+5 x+y+5 x+y+5 x + y +5 = x + y x + y = 5 (). Το ενδεχόμενο «να πάρουμε κίτρινη ή γαλάζια μπάλα» είναι το Κ Γ με πιθανότητα ΡΚ ( Γ= ). Τα ενδεχόμενα Κ και Γ είναι ασυμβίβαστα, οπότε: 5 5 y 5+y Ρ(ΚUΓ) = Ρ(Κ)+Ρ(Γ) = + = 5 x+y+5 x+y+5 5 x+y+5 x + y +5 = 5 + 5y x y = 0 (). Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων () και () και βρίσκουμε x= 8 και y= 7, άρα το κουτί περιέχει 5+ 8+ 7= 0 μπάλες. β) Τα ενδεχόμενα Κ και Π είναι ασυμβίβαστα, άρα η πιθανότητα του ενδεχομένου Κ Π είναι: ΝΚ ( ) ΝΠ ( ) 5 8 ΡΚ ( Π ) =ΡΚ ( ) +ΡΠ ( ) = + = + = Ν ( ) Ν ( ) 0 0 0.
0. Στο σύλλογο των καθηγητών ενός Λυκείου το 55% είναι γυναίκες, το 0% των καθηγητών είναι φιλόλογοι και το 0% είναι γυναίκες φιλόλογοι. Επιλέγουμε τυχαία ένα καθηγητή για να εκπροσωπήσει το σύλλογο σε κάποια επιτροπή. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ο καθηγητής να είναι: α) Γυναίκα ή φιλόλογος β) Γυναίκα και όχι φιλόλογος γ) Άνδρας φιλόλογος δ) Άνδρας ή φιλόλογος (Πανελλήνιες εξετάσεις 00) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Γ : «γυναίκα καθηγήτρια» Φ : «φιλόλογος» Είναι Ρ(Γ) = 0,55 και Ρ(Φ) = 0,0. Επειδή οι γυναίκες φιλόλογοι είναι το 0 % ισχύει ΡΓ ( Φ ) = 0,0. Το ενδεχόμενο «άνδρας καθηγητής» είναι το Γ με πιθανότητα: Ρ( Γ ) = Ρ( Γ ) = 0,55 = 0,5. Είναι: α) Το ενδεχόμενο «γυναίκα ή φιλόλογος» είναι το Γ Φ με πιθανότητα: ( ) ( ) ΡΓ ( Φ ) =ΡΓ ( ) +Ρ Φ Ρ Γ Φ = 0,55 + 0,0 0,0 = 0,65, δηλαδή 65%. β) Το ενδεχόμενο «γυναίκα και όχι φιλόλογος» είναι το Γ Φ με πιθανότητα: ( ) ( ) ( ) ( ) 0,55 0,0 0,5 Ρ Γ Φ = Ρ Γ Φ = Ρ Γ Ρ Γ Φ = =, δηλαδή 5%. γ) Το ενδεχόμενο «άνδρας φιλόλογος» είναι το Γ Φ με πιθανότητα: ( ) ( ) ( ) ( ) 0,0 0,0 0,0 Ρ Γ Φ = Ρ Φ Γ = Ρ Φ Ρ Γ Φ = =, δηλαδή 0%. δ) Το ενδεχόμενο «άνδρας ή φιλόλογος» είναι το Γ ( ) ( ) Φ με πιθανότητα: Ρ( Γ Φ ) =Ρ( Γ ) +Ρ Φ Ρ Γ Φ = 0,5 + 0,0 0,0 = 0,75, δηλαδή 75%.
. ν η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα και είναι 7 0, ενώ η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από αυτά είναι 7 0, να βρείτε: α) Την πιθανότητα να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα και. β) ν η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο το είναι, να βρείτε τις Ρ() 5 και Ρ(). Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα και είναι το ( ) ( ), οπότε έχουμε: 7 7 Ρ( ( ) ( )) = Ρ( ) +Ρ( ) Ρ( ) = (). 0 0 Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα και είναι το, οπότε έχουμε: 7 7 Ρ ( ) = Ρ ( ) +Ρ ( ) Ρ( ) = (). 0 0 α) ν από τη σχέση () αφαιρέσουμε τη σχέση () έχουμε ( ) 7 7 Ρ = = (). 0 0 0 β) Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο είναι το, οπότε έχουμε: () 8 Ρ( ) = Ρ( ) Ρ( ) = Ρ( ) = Ρ( ) = (). 5 5 0 0 0 πό τη σχέση () έχουμε: (),() 7 7 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ρ +Ρ Ρ = +Ρ = Ρ = + 0 0 0 0 0 0 0 9 Ρ( ) = 0
. Έστω, δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου, για τα οποία ισχύει η σχέση Ρ( ) = Ρ( ) Ρ( ). α) ν ισχύουν Ρ( ) =, ( ) και ( ) ( ) 6 Ρ = i) Τις πιθανότητες Ρ( ) και Ρ. ( ) ii) Την πιθανότητα Ρ( ). Ρ > Ρ, τότε να βρείτε: β) ν ισχύει Ρ( ) =, να αποδείξετε ότι Ρ( ) = ή Ρ=. ( ) Ρ = Ρ Ρ = (). 6 6 Είναι ( ) ( ) ( ) Ρ = Ρ + Ρ Ρ = Ρ + Ρ 6 α) i) Επίσης ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 Ρ( ) +Ρ( ) = (). 6 πό () και () συμπεραίνουμε ότι οι πιθανότητες Ρ() και Ρ() είναι ρίζες 5 της εξίσωσης x x+ =0. Η εξίσωση αυτή έχει ρίζες τις 6 6 Ισχύει όμως Ρ( ) >Ρ( ), άρα Ρ( ) = και ( ) Ρ =. x = και x =. Ρ = Ρ = Ρ Ρ = =. 6 ii) Είναι ( ) ( ) ( ) ( ) β) Είναι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ρ =Ρ +Ρ Ρ = Ρ +Ρ Ρ Ρ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) Ρ +Ρ Ρ = 0 Ρ Ρ Ρ = 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ρ Ρ = 0 Ρ = 0 ή Ρ = 0 Επομένως Ρ() = ή Ρ() =.
. Έστω δειγματικός χώρος που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. ν Ν=60 ( ) και, είναι δύο ενδεχόμενα του, τα οποία ικανοποιούν τη σχέση ( ) ( ) ( ) ( ) 5 Ρ + 9 Ρ = 0 Ρ + 6 Ρ 5 (), τότε: α) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ() και Ρ(). β) Να βρείτε το πλήθος των στοιχείων των ενδεχομένων και. γ) ν η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα και είναι, να βρείτε την πιθανότητα Ρ( ). α) Η σχέση () ισοδύναμα γράφεται: ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 5 Ρ 0 Ρ + + 9 Ρ 6 Ρ + = 0 Ρ 5 Ρ( ) = 0 ( 5 Ρ( ) ) + ( Ρ( ) ) = 0 Ρ( ) = 0 Ρ ( ) ( ) = 5 = β) Ο δειγματικός χώρος αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, οπότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον κλασικό ορισμό. Είναι ( ) και ( ) ( ) ( ) Ν Ρ = Ν( ) =Ρ( ) Ν( ) Ν( ) = 60 Ν( ) = Ν 5 ( ) ( ) Ν Ρ = Ν( ) =Ρ( ) Ν( ) Ν( ) = 60 Ν( ) = 0. Ν Επομένως τα ενδεχόμενα και έχουν και 0 ισοπίθανα στοιχεία αντίστοιχα. γ) Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα και είναι το ( ) ( ), οπότε έχουμε: Ρ( ( ) ( )) = Ρ( ) +Ρ( ) Ρ( ) = + Ρ( ) = Ρ( ) =. 5 5 5
. ν, δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου με P() < P) ( και οι πιθανότητες Ρ( ) και Ρ ( ) είναι οι ρίζες της εξίσωσης α) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ( ) και Ρ. ( ) 8ω 6ω +=0, τότε: β) ν η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα και είναι, να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα και είναι ασυμβίβαστα. i) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο το. ii) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα και. α) Η εξίσωση 8ω 6ω += 0 έχει διακρίνουσα Δ=( 6) 8 = >0, οπότε έχει δύο 6± ρίζες πραγματικές και άνισες τις ω = ω = ή ω=. Είναι Ρ( ) <Ρ( ), οπότε έχουμε Ρ( ) = και Ρ( ) =. β) Το ενδεχόμενο να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα ενδεχόμενα και είναι οπότε έχουμε: το = ( ), (( ) ) ( ) ( ) Ρ = Ρ = Ρ = Ρ( ) +Ρ( ) Ρ( ) = + Ρ( ) = Ρ( ) = 0. Άρα τα ενδεχόμενα και είναι ασυμβίβαστα. i) Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο είναι το, οπότε έχουμε: Ρ =Ρ Ρ =Ρ = ( ) ( ) ( ) ( ). ii) Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα και είναι το ( ). Όμως τα ενδεχόμενα και είναι ασυμβίβαστα. Έχουμε λοιπόν =, Ρ = Ρ = επομένως ( ) = =, οπότε ( ) ( ). 6
5. ν, είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου με και οι πιθανότητες Ρ( ) και Ρ( ) είναι οι τιμές του x, στις οποίες η συνάρτηση 5 f( x ) = x + x x+ παρουσιάζει τοπικά ακρότατα (θέσεις τοπικών ακροτάτων), τότε να βρείτε: α) Τις πιθανότητες Ρ() και Ρ(). β) Τις πιθανότητες Ρ( ), Ρ( ) και Ρ( ). α) Για κάθε x R f x = 6x + 5x. είναι ( ) = + = = = =. Είναι f ( x) 0 6x 5x 0 6x 5x+ 0 x ή x ( ) f x > 0 6x + 5x > 0 6x 5x +< 0 < x <. Το πρόσημο της f, η μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα της f φαίνονται στο διπλανό πίνακα. Παρατηρούμε ότι οι θέσεις των τοπικών ακρότατων είναι x = και x =. x f 0 + 0 f τ.ε τ.μ Είναι, οπότε Ρ( ) Ρ( ). Άρα είναι Ρ( ) = και ( ) β) πό το διπλανό διάγραμμα Venn παρατηρούμε ότι : Ρ =. + = και =. Άρα Ρ( ) =Ρ( ) = και ( ) ( ) Είναι: Ρ =Ρ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Ρ =Ρ =Ρ Ρ =Ρ Ρ = 7
6. ν, είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου με τότε: Ρ() = και 5 Ρ() =, α) Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα και είναι ασυμβίβαστα. β) Να αποδείξετε ότι Ρ( ). 0 5 γ) Να αποδείξετε ότι Ρ( ). α) Έστω ότι τα ενδεχόμενα, είναι ασυμβίβαστα, τότε από τον απλό προσθετικό νόμο έχουμε Ρ( ) = Ρ( ) +Ρ( ) Ρ( ) = + Ρ( ) = > 5 0 που είναι άτοπο. Άρα τα ενδεχόμενα, δεν είναι ασυμβίβαστα. β) Είναι, οπότε Ρ( ) Ρ( ) Ρ( ) (). 5 Επίσης αρκεί να αποδείξουμε ότι Ρ( ) (). Η σχέση () λόγω του 0 προσθετικού νόμου ισοδύναμα γράφεται: Ρ( ) + Ρ( ) Ρ( ) + Ρ( ) 0 5 0 8+ 5 Ρ( ) + Ρ( ) Ρ( ), 5 0 0 που ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη σχέση (). πό τις σχέσεις () και () προκύπτει ότι Ρ( ). 0 5 γ) Είναι =, οπότε έχουμε: Ρ ( ) Ρ ( ) Ρ ( ) Ρ ( ) Ρ ( ) Ρ ( ). 8
Παρατηρήσεις: ) Για να αποδείξουμε μια ανισότητα με πιθανότητες δουλεύουμε με έναν από τους παρακάτω τρόπους: α) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα: αν τότε Ρ( ) Ρ( ) β) Δουλεύουμε με ισοδυναμίες, ξεκινάμε δηλαδή από τη σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε και καταλήγουμε σε μια ισοδύναμη σχέση που ισχύει. ) Για να αποδείξουμε ότι δύο ενδεχόμενα και δεν είναι ασυμβίβαστα, συνήθως δουλεύουμε με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Δηλαδή υποθέτουμε ότι είναι ασυμβίβαστα και καταλήγουμε σε άτοπο. Επομένως η αρχική μας υπόθεση είναι λανθασμένη, οπότε τα ενδεχόμενα και δεν είναι ασυμβίβαστα. 7. Για τα ενδεχόμενα και δειγματικού χώρου ισχύουν οι σχέσεις και [Ρ()] Ρ() + Ρ() Ρ() Ρ() <0 (). Να αποδείξετε ότι: α) Ρ() Ρ() και β) 0<Ρ()< και Ρ( )<. α) ν υποθέσουμε ότι Ρ ( ) =Ρ, ( ) τότε από τη σχέση () έχουμε: [ Ρ ( )] Ρ ( ) +Ρ ( ) [( Ρ)] < 0 0< 0, που είναι άτοπο, άρα Ρ() Ρ(). ν υποθέσουμε ότι =, τότε Ρ( ) =Ρ( ), που είναι άτοπο, άρα. β) πό υπόθεση έχουμε ότι, άρα Ρ( ) Ρ( ), όμως Ρ( ) Ρ( ), οπότε είναι Ρ ( ) <Ρ ( ) Ρ ( ) Ρ ( ) > 0 (). Η σχέση () ισοδύναμα γράφεται: Ρ( )[ Ρ( ) ] Ρ( )[ Ρ( ) ] < 0 () [ Ρ( ) ] [ Ρ( ) Ρ( )] < 0 Ρ( ) < 0 Ρ( ) < (). > 0 Για κάθε ενδεχόμενο ισχύει Ρ( ) 0, οπότε θέλοντας να αποδείξουμε, για τη συγκεκριμένη άσκηση ότι Ρ ( ) > 0, αρκεί να αποδείξουμε ότι Ρ ( ) 0. ν υποθέσουμε ότι Ρ ( ) = 0, τότε από τη σχέση () έχουμε Ρ( < ) 0 που είναι άτοπο. Άρα Ρ ( ) > 0 (), οπότε από τις σχέσεις () και () προκύπτει ότι 0<Ρ()<. Είναι άρα Ρ ( ) Ρ ( ), όμως Ρ( ) <, οπότε και Ρ ( ) <. 9
8. Έστω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων και, υποσύνολα του. Υποθέτουμε ότι Ρ() 0,8 και Ρ() 0,7. Να αποδείξετε ότι: α) Ρ( ),0 Ρ( ) β). (Πανελλήνιες εξετάσεις 99) α) Είναι: Ρ( ) 0, 8 Ρ( ) 0, 8 Ρ( ) 0, 8 Ρ( ) 0,7 () Ρ( ) 0,7 Ρ( ) 0,7 Ρ( ) 0,7 Ρ( ) 0, 9 (). Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις () και () έχουμε Ρ( +Ρ ) ( ),0 (). Είναι: Ρ( ),0 Ρ( ) Ρ( ),0 [ Ρ( ) +Ρ( ) Ρ( )] Ρ ( ), 0 Ρ ( ) Ρ ( ) +Ρ ( ) Ρ( ) +Ρ( ),0 που ισχύει λόγω (). β) ν υποθέσουμε ότι =, τότε έχουμε Ρ( ) = 0, οπότε από τη σχέση Ρ ( ),0 Ρ ( ) έχουμε 0,0 Ρ( ) Ρ( ),0, που είναι άτοπο αφού 0 Ρ( ), άρα. 9. Έστω ένα ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου με πιθανότητα Ρ(), για την οποία ισχύει Ρ( ) =λ +λ +0, λ R. α) Να βρείτε την τιμή του λ R. β) Να αποδείξετε ότι Ρ() =. α) Είναι ( ) λ +λ +0 () 0 0 Ρ 0 λ +λ +0 λ +λ +0 () () λ + 6λ +5 0 λ R, αφού Δ = < 0 και α = > 0. ( ) () λ +λ +9 0 λ + 0 λ += 0 λ =. β) ν αντικαταστήσουμε την τιμή του λ στην Ρ() έχουμε: Ρ 9 ( ) = 0 8 0 9 8 0. + + = + = + = 0
0. Έστω, δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου με. ν για τις πιθανότητες Ρ() και Ρ() ισχύει: να αποδείξετε ότι Ρ( ) 5 + λ + Ρ( ) Ρ( ) = Ρ( ) + Ρ( ) + ( ), λ. Για οποιοδήποτε ενδεχόμενο ισχύει: 0 Ρ( ) (), οπότε έχουμε: + () Ρ( ) +, άρα Ρ( ) + > 0, οπότε ( ) ( ) 5 Ρ + =Ρ +. () 0 Ρ ( ) 5 Ρ ( ) 5, άρα Ρ( ) 5< 0, οπότε Ρ ( ) = Ρ ( ) 5 5. φού ισχύει Ρ Ρ Ρ Ρ ( ) ( ) ( ) ( ) 0, οπότε Ρ( Ρ ) ( ) =Ρ Ρ ( ) ( ). Επομένως η σχέση () γίνεται: λ + 5 Ρ+ ( ) λ +Ρ Ρ=Ρ+Ρ+ ( ) ( ) ( ) ( ) Ρ= ( ) λ + Ρ= ( ) (). () +( ) λ + Έχουμε 0 Ρ ( ) 0 0 λ + λ λ λ.. Δίνεται η παράσταση Κ Ρ( ) 7 Ρ( ) 6Ρ( ) = +. Να βρείτε την τιμή της πιθανότητας Ρ() για την οποία η παράσταση Κ γίνεται ελάχιστη και στη συνέχεια να υπολογίσετε την ελάχιστη αυτή τιμή. Εκφράζουμε την παράσταση Κ συναρτήσει του Ρ(), οπότε έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Κ= Ρ + 7 Ρ 6Ρ= +Ρ Ρ+ 7 Ρ 6Ρ= 8 Ρ Ρ+ 8. Για να βρούμε το ελάχιστο της παράστασης αυτής θεωρούμε τη συνάρτηση f( x ) =8x 8x+, x [ 0,] ( θέσαμε x στη θέση του Ρ() με ( ) Για κάθε x [ 0,] έχουμε f ( x ) = 6x 8. Είναι: f ( x) = 0 6x 8 = 0 x = f ( x) > 0 6x 8 > 0 x > Παρατηρούμε ότι για x = Ρ() = η συνάρτηση f, άρα και η παράσταση Κ γίνεται ελάχιστη με ελάχιστη τιμή x 0 0 Ρ ). f 0 + f = 8 8 +=. f ελάχ.
Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ. Ρίχνουμε ένα νόμισμα και ένα ζάρι συγχρόνως και ορίζουμε τα ενδεχόμενα: : «το αποτέλεσμα του ζαριού είναι διαιρέτης του» : «γράμματα στο νόμισμα και άρτιο αποτέλεσμα στο ζάρι» ν επιλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο του, να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: α) β) γ).. Επιλέγουμε τυχαία έναν αριθμό α από το σύνολο = { 0,, } και έναν αριθμό β από το σύνολο = {,, 5}. α) Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος. β) ν επιλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο του, να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: : «η εξίσωση αx +βx +=0 είναι δευτέρου βαθμού» : «η ευθεία αx βy = είναι παράλληλη στην ευθεία y = x» Γ : «η εξίσωση x + αx + βx 6 = 0 έχει ρίζα τον αριθμό». 0. Έστω ο δειγματικός χώρος { ω, ω, ω, }. να βρείτε την πιθανότητα ( ) = ν P ( ω ) P ( ω ) = P( ω ) = P ( ) ω P, όπου = { ω, }. 0. Έστω ο δειγματικός χώρος { ω, ω, ω, }. ω ισχύουν P ( ) =, P( ) = και ( ω ), ω =, 6 ω = ν { ω, ω } = { ω, } P = να βρείτε την P ( ω ). =, και ω 5. Έστω = { ω, ω, ω, ω } ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης. 5 = = =, να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ ω και Ρ ω. α) ν Ρ( ω ), Ρ( ω ) και Ρ( ω) Ρ( ω) ( ) ( ) β) ν Ρω ( ), Ρω ( ), Ρω ( ) και Ρω ( ) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και για τα ενδεχόμενα = { ω, ω } και { ω, ω } τις πιθανότητες Ρω ( ), Ρω ( ), Ρω ( ) και Ρω ( ). = ισχύει ( ) ( ) Ρ =Ρ +, να βρείτε 9 6) Έστω = { ω, ω, ω } ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης. ν οι αντίστοιχες πιθανότητες Ρω ( ), Ρω ( ), Ρω ( ) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και ισχύει Ρω ( ) = Ρ( ω). Να βρείτε τις πιθανότητες Ρω ( ), Ρω ( ) και Ρω ( ).