ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Διπλωματική εργασία ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΣΤΕΝΩΝ ΠΑΛΜΩΝ ΛΕΙΖΕΡ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΗΣΗΣ ης ΤΑΞΗΣ Δελλή Ευαγγελία Επιβλέπων Καθηγητής: Εμμανουήλ Μπενής Ιωάννινα, 1 1
ΠΕΡΙΛΗΨΗ Πολλές φορές, κατά τη διεξαγωγή πειραμάτων με λέιζερ, είναι απαραίτητη η γνώση της χρονικής διάρκειας του παλμού που εξάγει το λέιζερ. Στη παρούσα εργασία μετρήθηκε η χρονική διάρκεια Δτ ενός παλμού λέιζερ τυπικής διάρκειας μερικών δεκάδων fs με χρήση της μεθόδου Αυτοσυσχέτισης ης τάξης. Για την μέτρηση του Δτ του παλμού χρησιμοποιήθηκε ένας αυτοσυσχετιστής ενός παλμού Sngle Sho uocorrelaor. Περεταίρω παρεμβάλλαμε στη διαδρομή του παλμού οπτικό μέσο γυαλιά ΒΚ7 διαφορετικού πάχους και καταγράψαμε τα ίχνη της αυτοσυσχέτισης. Η μέθοδος της μέτρησης προσομοιώθηκε με το πρόγραμμα Mahemaca και με βάση αυτό έγινε και η ανάλυση των δεδομένων. Τα πειραματικά και θεωρητικά αποτελέσματα κατέδειξαν την αύξηση της χρονικής διάρκειας του παλμού με την αύξηση του πάχους του υλικού.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. ΕΙΣΑΓΩΓΗ...... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. ΘΕΩΡΙΑ..5..1 Γενική Περιγραφή Παλμών Λέιζερ........5.. Chrp Και Γκαουσιανοί Παλμοί...8..3 Διαγνωστική Παλμών 1.. Αυτοσυσχέτιση Δεύτερης Τάξης.. 1..5 Παραδείγματα Με Χρήση Της Mahemaca...18. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΙ ΑΝΑΛΥΣΗ....19. 3.1 Περιγραφή Του Αυτοσυσχετιστή uocorrelaor....19. 3. Εύρεση Χρονικής Διάρκειας FTL Παλμού.... 1. 3.3 Προετοιμασία Του uocorrelaor..... 3. Βαθμονόμηση Του Χρόνου... 3.5 Μετρήσεις Αυτοσυσχέτισης ης Τάξης.......5. 3.6 Ανάλυση Δεδομένων... 8. ΣΥΝΟΨΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ...35. ΑΝΑΦΟΡΕΣ 36. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1 37. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 39. 3
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στις 16 Μαΐου του 196 χρησιμοποιήθηκε το πρώτο λέιζερ στο Hughes Research Laboraores, στο Μαλιμπού της Καλιφόρνια από τον Τ. Maman. Το λέιζερ ήταν στερεάς κατάστασης, παρήγαγε ερυθρό φως μήκους κύματος 69 nm και λειτουργούσε με παλμικό τρόπο. Έκτοτε άρχισε η κατασκευή και η έρευνα πάνω σε διάφορα είδη, όπως λέιζερ αερίου 196, Αλί Ιάβας, Wllam R. Benne, Donald Herro, λέιζερ διόδου 196, Rober Hall Ν και λέιζερ ημιαγωγών 196, Nck Holonyak. Επιπλέον, συνεχιζόμενη είναι η έρευνα πάνω στα λέιζερ παλμικής λειτουργίας με σκοπό τη μείωση της χρονικής διάρκειας των παλμών. Έχουμε κατορθώσει τη δημιουργία παλμών διάρκειας μερικών 15 φεμτοδευτερολέπτων, 1fs 1 sec 18 αττοδευτερολέπτων, 1as 1 sec fs και πρόσφατα ακόμα και δεκάδων as [8]. Παλμοί μικρής χρονικής διάρκειας σήμερα βρίσκουν εφαρμογή τόσο στη μελέτη συστημάτων του μικρόκοσμου, όπως τα μόρια και τα άτομα, όσο και σε τεχνολογικές εφαρμογές. Πολλές φορές κατά τη διάρκεια πειραμάτων με παλμούς laser μικρής χρονικής διάρκειας είναι η απαραίτητο να είναι γνωστή η μορφή του παλμού, δηλαδή η ακριβής τιμή της χρονικής του διάρκειας και το μέγιστο της έντασης του. Στόχος της παρούσας εργασίας είναι η μέτρηση της χρονικής διάρκειας των παραγόμενων παλμών του T:Sapphre λέιζερ του Κέντρου Εφαρμογών Λέιζερ του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων. Η μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε είναι αυτή της αυτοσυσχέτισης δεύτερης τάξης.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΘΕΩΡΙΑ.1 Γενική Περιγραφή Παλμών Λέιζερ Οι παλμοί λέιζερ είναι σχεδόν μονοχρωματικοί ηλεκτρομαγνητικοί παλμοί οι οποίοι μπορούν να περιγραφούν χρονικά από ένα φέρον κύμα συνημιτονοειδούς μορφής και τη περιβάλλουσα του. Για λόγους απλότητας θα θεωρήσουμε το κύμα γραμμικά πολωμένο. Έτσι το ηλεκτρικό πεδίο του παλμού έχει τη ακόλουθη μαθηματική μορφή: cos.1 όπου το Ε είναι η περιβάλλουσα του παλμού που καθορίζει και το πλάτος του, ω είναι η κυκλική συχνότητα του κύματος και φ η φάση του. Η ακριβής περιγραφή της μορφής ενός παλμού λέιζερ μπορεί να είναι πολύπλοκη και για αυτό ακριβώς το λόγο προσεγγίζεται από συγκεκριμένες κυματομορφές. Οι πιο ευρέως χρησιμοποιημένες κατανομές περιβαλλουσών είναι η Γκαουσιανή exp[ ln / ], η υπερβολική διατέμνουσα sec h[1.763 / ] και η Λορετζιανή 1 [1 1.656 / ]. Για τη κυκλική συχνότητα ισχύει ότι όπου c f. η ταχύτητα του φωτός και λ το μήκος κύματος της ακτινοβολίας. Το λέιζερ που χρησιμοποιούμε λειτουργεί στα 8 nm, έτσι αν αντικαταστήσουμε την τιμή αυτή στη παραπάνω σχέση θα έχουμε ότι 3 1 15 Hz, που είναι η θεμελιώδης συχνότητα του παλμού. Επί πρόσθετα, επειδή ο χρόνος μετριέται σε fs, ο πρώτος όρος στο 3 συνημίτονο της σχέσης.1 θα είναι ίσος με fs. Ο όρος φ, αντιστοιχεί στην εξαρτώμενη του χρόνου φάση του παλμού και περιέχει πληροφορίες για τη συχνότητα σε σχέση με το χρόνο. Η στιγμιαία συχνότητα περιγράφεται από τη σχέση: 5
d d. Αν αναπτύξουμε τη φάση ως προς Taylor γύρω από το =, τότε προκύπτει 1... Στη σχέση αυτή συνήθως οι πρώτοι όροι είναι απαραίτητοι για να περιγράψει κανείς έναν παλμό. Η φάση μηδενικής τάξης είναι μια σταθερά στο χρόνο η οποία μένει αμετάβλητη κάτω από μετασχηματισμό Fourer. Ο όρος αυτός ονομάζεται απόλυτη φάση και είναι η φάση του φέροντος κύματος στο μέγιστο της περιβάλλουσας του carrer envelope phase. Ο όρος αυτός είναι σημαντικός όταν ο παλμός έχει χρονική διάρκεια μερικών περιόδων. Ο γραμμικός όρος πρώτης τάξης 1 της φάσης αντιστοιχεί σε μια μεταφορά στο χρόνο, όπως για παράδειγμα μια καθυστέρηση. Με βάση τη σχέση., ο όρος αυτός προκαλεί μια σταθερή μετατόπιση στη φέρουσα συχνότητα, αφού η παράγωγος δίνει απλά μια σταθερά. Ο όρος αναπαριστά μια γραμμική μετατόπιση της συχνότητας ως προς το χρόνο, σύμφωνα με τη σχέση.. Άρα η φέρουσα συχνότητα μεταβάλλεται γραμμικά με το χρόνο, και τότε λέμε πως ο παλμός έχει γραμμικό chrp το οποίο περιγράφεται παρακάτω. Μεταβολές στη συχνότητα προκύπτουν και από όρους ανώτερης τάξης οι οποίοι όμως ξεφεύγουν του σκοπού αυτής της εργασίας. Από την.1 ορίζουμε την ένταση του πεδίου ως c I. 6
, bs{}, I 1..8.6... -. -. -.6 -.8-1. -5 - -15-1 -5 5 1 15 5 fs Σχήμα.1. Με κόκκινη γραμμή συμβολίζεται το ηλεκτρικό πεδίο ενός Γκαουσιανού παλμού, με μπλε η ένταση του πεδίου, ενώ με μαύρο η περιβάλλουσα του παλμού. Οι παραπάνω ιδιότητες των πεδίων λέιζερ μπορούν να περιγραφούν ισοδύναμα στο χώρο των συχνοτήτων μέσω των μετασχηματισμών Fourer. Έτσι, αν πάρουμε το μετασχηματισμό Fourer της σχέση.1 ~ 1 e d FT, ορίζουμε το πεδίο στο χώρο των συχνοτήτων. Από αυτό μπορούμε να πάρουμε το πεδίο των συχνοτήτων φάσμα σύμφωνα με τη σχέση S ~ ~. Τέλος, στο χώρο των συχνοτήτων η φάση μπορεί να εκφραστεί από το ανάπτυγμα Taylor: m m! m m m m m! m D m, m όπου Dm οι συντελεστές διασποράς [3]. m 7
. Chrp Και Γκαουσιανοί Παλμοί Σε πολλές περιπτώσεις είναι απαραίτητο να τροποποιηθεί ο αρχικός παλμός μιας φωτεινής πηγής με ένα καλά καθορισμένο τρόπο. Αυτό επιτυγχάνεται εισάγοντας chrp, το οποίο καθορίζει τη μεταβολή στη χρονική διάρκεια του παλμού. Ουσιαστικά εκφράζει τη μεταβολή που υφίσταται η συχνότητα ενός παλμού ως συνάρτηση του χρόνου. Μπορούμε να εισάγουμε chrp στο παλμό με χρήση ενός διαφανούς μέσου π.χ. γυαλιά BK7 ή fused slca.. Έτσι για παράδειγμα αν ένας παλμός λέιζερ δεν έχει αρχικά chrp μετά τη διέλευσή του από κάποιο γυαλί θα αυξηθεί το χρονικό πλάτος του. Αν μετά τη διέλευση η συχνότητα αυξάνει με το χρόνο τότε ο παλμός χαρακτηρίζεται από θετικό chrp. Από την άλλη, αν η συχνότητα μειώνεται τότε χαρακτηρίζεται από αρνητικό chrp. Δυο συνήθης μορφές του chrp είναι το γραμμικό και το εκθετικό. Όταν έχουμε γραμμικό chrp τότε η συχνότητα έχει γραμμική εξάρτηση από το χρόνο f f k, όπου f o η συχνότητα για = και k ο παράγοντας αύξησης της συχνότητας chrp rae. Για εκθετικό η συχνότητα συνδέεται με το χρόνο με μια σχέση της μορφής f f εκθετική αύξηση του chrp [8]. 1. Πεδίο παλμού χωρίς chrp Πεδίο με chrp.5. -.5-1. - fs Σχήμα.. Με μπλε γραμμή συμβολίζεται το ηλεκτρικό πεδίο του παλμού όταν δεν έχουμε chrp, ενώ με κόκκινη το πεδίο του ίδιου παλμού όταν έχουμε βάλει θετικό chrp. Το αρχικό FWHM του παλμού ήταν 5 fs. 8
Σχήμα.3. Αρνητικό πάνω και θετικό κάτω chrp. Νωρίτερα αναφερθήκαμε στις μορφές που χρησιμοποιούνται συνήθως για να περιγράψει κανείς ένας παλμό. Στη συγκεκριμένη εργασία ο παλμός θεωρείτε πως έχει Γκαουσιανό σχήμα και όλη η ανάλυση γίνεται με βάση τα χαρακτηριστικά μίας Γκαουσιανής καμπύλης. Επίσης το chrp θεωρείται γραμμικό. Στη περίπτωση αυτή η περιβάλλουσα του παλμού περιγράφεται από την εξίσωση: / C e, όπου και C σταθερές οι οποίες εξαρτώνται από το chrp και τη διάρκεια του παλμού. Συγκεκριμένα ισχύει ότι: d, C d όπου d είναι η παράμετρος του γραμμικού chrp και / ln.3 με Δτ τη διάρκεια του παλμού. Αν πάρουμε το μετασχηματισμό Fourer του, τότε για τη καμπύλη Gauss του που θα προκύψει θα ισχύει ότι: 9
ln. Η χρονική διάρκεια του παλμού Δτ, ορίζεται ως η απόσταση των δύο σημείων της καμπύλης της έντασης τα οποία αντιστοιχούν στο μισό της μέγιστης τιμής της [full wdh a half maxmum FWHM]. Με ανάλογο τρόπο ορίζουμε ως Δω το FWHM του σήματος ~. Σχήμα.. Χαρακτηριστικά της συνάρτησης Gauss. Το φασματικό εύρος σχετίζεται με τη διάρκεια του παλμού, μέσω της αρχή της 1 αβεβαιότητας. Ισχύει ακόμα ότι: f.5 Στην περίπτωση που έχουμε τη μικρότερη δυνατή χρονική διάρκεια Γκαουσιανού παλμού τότε με χρήση των σχέσεων.3,. και.5 η αρχή της αβεβαιότητας παίρνει τη παρακάτω μορφή: f ln ln 1
ln f.1.6. Στη περίπτωση αυτή ο παλμός χαρακτηρίζεται ως FTL Fourer Transform Lmed. Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι τιμές που παίρνει το γινόμενο f για τις πιο συνήθης κυματομορφές. Πίνακας.1: Χαρακτηριστικές τιμές γινομένου f Συνάρτηση f Gauss.1 Sech.315 Lorenz.1 Το μέτρο του γραμμικού chrp d υπολογίζεται από τη σχέση d 3 d n x d c όπου x είναι το πλάτος του υλικού που χρησιμοποιούμε μετρημένο σε mm, λ το μήκος κύματος στη περίπτωση μας είχαμε 8nm, και n ο δείκτης διάθλασης. Η δεύτερη παράγωγος του δείκτη διάθλασης n που εμφανίζεται παραπάνω είναι θετική για τα περισσότερα υλικά για το ορατό φάσμα των συχνοτήτων. Συχνά για τον προσδιορισμό του δείκτη διάθλασης διαφανών μέσων γίνεται χρήση των εμπειρικών σχέσεων του Sellmeer. Πρόκειται για σχέσεις μεταξύ του συντελεστή διάθλασης ενός μέσου και του μήκους κύματος της ακτινοβολίας. Οι εξισώσεις αυτές προτάθηκαν για πρώτη φορά το 1871 από τον Wolfgang Sellmeer και ήταν συνέχεια της δουλειάς του ugusne Cauchy Cauchy equaon for dsperson. Η πιο συνήθης μορφή των εξισώσεων αυτών για γυαλιά είναι: B1 B B3 n 1.7 C C C 1 3 όπου B1,,3 C1,, 3 είναι οι πειραματικά προσδιορισμένες σταθερές Sellmeer, οι οποίες έχουν διαφορετική τιμή για κάθε υλικό, και λ το μήκος κύματος, το οποίο 11
εκφράζεται σε μm [8]. Στο πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι τιμές των σταθερών Sellmeer για διάφορα είδη γυαλιών. Πίνακας.: Σταθερές Sellmeer για διάφορα υλικά. Υλικό Fused Slca B 1 B B 3 C 1 C C 3.6961663.796.89779.679186 1 3 1.351631 1 97.935 BK7 1.39611.31793 1.1695 6.69867 1 3 CaF.5675888.7191 3.8873.56999 1 3 MgF.875518.3987531.31353 1.88178 1 3.1791 1 1.78338 1 8.9518887 1 3 1.356653 1 1.55597 3 1 5.66135591 1 Για κοινά οπτικά γυαλιά ο δείκτης διάθλασης που υπολογίζεται με χρήση αυτών των 6 εξισώσεων διαφέρει λιγότερο από 5 1 από την πραγματική τιμή όταν το μήκος κύματος είναι εντός της περιοχής 365 nm έως.3 μm. Τέλος, η ακρίβεια του αποτελέσματος εξαρτάται και από την ομοιογένεια του υλικού..3 Διαγνωστική Παλμών Συχνά είναι απαραίτητη η μέτρηση της χρονικής διάρκειας ενός παλμού. Όπως είναι γνωστό, για να μετρηθεί η χρονική διάρκεια ενός γεγονότος απαιτείται η ύπαρξη ενός δεύτερου γεγονότος μικρότερης χρονικής διάρκειας που θα «παίξει» το ρόλο του ρολογιού. Στην περίπτωση των παλμών λέιζερ η μέτρηση της χρονικής διάρκειας τους γίνεται πιο δύσκολη εξαιτίας της μικρής χρονικής διακριτικής ικανότητας που διαθέτουν τα συνήθη ανιχνευτικά μέσα, όπως για παράδειγμα ο παλμογράφος. Επομένως, είναι αναγκασμένος κανείς να καταφύγει σε οπτικές μεθόδους, ιδιαίτερα αν ζητούμενο είναι η μέτρηση φωτεινού παλμού χρονικής διάρκειας μικρότερης των 1 ps. Μια τέτοια μέθοδος μέτρησης της χρονικής διάρκειας παλμών είναι η μέθοδος της Διασυσχέτισης cross-correlaon. Θεωρώντας δυο μιγαδικές συναρτήσεις του χρόνου, τις και b, η διασυσχέτισή τους έχει τη παρακάτω μορφή: 1
* a b d. Για να γίνει γνωστή η τιμή της b, απαιτείται αρχικά να μετρηθεί η τιμή της διασυσχέτισης πειραματικά, και να είναι γνωστή η τιμή της συνάρτησης. Τότε μετά από κατάλληλους μετασχηματισμούς Fourer είναι δυνατό να βρεθεί το ζητούμενο αποτέλεσμα. Μια δεύτερη τεχνική, εξίσου διαδεδομένη, είναι η τεχνική της υτοσυσχέτισης auocorrelaon [,7,8]. Θεωρώντας την μιγαδική συνάρτηση του χρόνου α, η αυτοσυσχέτισή της έχει τη παρακάτω μορφή: * * S a a d a a d. Η αυτοσυσχέτιση μιας συνάρτησης έχει τις παρακάτω βασικές ιδιότητες [1]: Είναι συμμετρική ως προς τη καθυστέριση τ. Για πραγματικές συναρτήσεις, όπου, η συμμετρία ισχύει για τ=, δηλαδή ισχύει ότι S a a d a a d S, αν θέσω d d. Μεγιστοποιείται για τ=. Τότε ισχύει S a d. Η αυτοσυσχέτιση του αθροίσματος δύο συναρτήσεων, όπου, είναι το άθροισμα των δυο αυτοσυσχετίσεων ξεχωριστά, συν τη διασυσχέτιση των δυο συναρτήσεων. Η αυτοσυσχέτιση μιας περιοδικής συνάρτησης είναι και αυτή περιοδική, με περίοδο ίση με αυτή της συνάρτησης. Στη οπτική, ανάλογα με το ζητούμενο κάθε πειράματος, μπορούν να πραγματοποιηθούν διάφορες συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης, όπως η αυτοσυσχέτιση πεδίου και η αυτοσυσχέτιση έντασης. Η αυτοσυσχέτιση πεδίου για ένα μιγαδικό ηλεκτρικό πεδίο της μορφής ορίζεται από τη σχέση: * d. 13
Η μέθοδος αυτή, γνωστή και ως αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξης, δεν παρέχει πληροφορία σχετικά με τη χρονική διάρκεια του παλμού, μετρά όμως το μήκος συμφωνίας [1]. Η χρονική διάρκεια ενός παλμού λέιζερ μπορεί να μετρηθεί με την μέθοδο της αυτοσυσχέτισης έντασης, η οποία και θα αναλυθεί παρακάτω. Άλλες συχνά εφαρμοζόμενες τεχνικές διαγνωστικής παλμών είναι η μέθοδος Spder και η Frog. Στη πρώτη μέθοδο δύο παλμοί με λίγο διαφορετικές συχνότητες συμβάλουν σε ένα φασματογράφο. Το φάσμα που παίρνουμε παρουσιάζει κροσσούς συμβολής, και μεταβάλλεται ανάλογα με τη μεταβολή που υφίσταται ο παλμός στον ένα βραχίονα του συμβολόμετρου. Μας δίνει τη μέτρηση της φάσης του άγνωστου παλμού μέσω των παραγόμενων ω παλμών κι επομένως την πλήρη περιγραφή του παλμού [6]. Η μέθοδος Frog είναι μια συμβολομετρική τεχνική αυτοσυσχέτισης με έναν οπτικό διακόπτη. Το παραγόμενο σήμα αναλύεται φασματικά, και μπορεί να εξάγει μετρήσεις για την φάση και το πλάτος του παλμού. Επομένως, η μέθοδος αυτή, όπως και η spder, δίνει μια πλήρη περιγραφή του πεδίου του παλμού. [6,11].. Αυτοσυσχέτιση Δεύτερης Τάξης Αναφέραμε νωρίτερα ως μια τεχνική αυτοσυσχέτισης την αυτοσυσχέτιση έντασης. Η μέθοδος αυτή παρέχει λίγες πληροφορίες σχετικά με το σήμα του παλμού καθώς υπάρχει μια απειρία παλμών των οποίων η μορφή μπορεί να δίνει το ίδιο αποτέλεσμα αυτοσυσχέτισης. Με χρήση αυτής της μεθόδου μπορούμε ωστόσο να βρούμε τη χρονική διάρκεια του παλμού, δεν έχουμε όμως τη δυνατότητα να πάρουμε πληροφορία για τη μορφή και τη φάση του. Η εξίσωση αυτοσυσχέτισης έντασης ορίζεται ως: S C ~ I I d Συχνά αναφέρεται ως αυτοσυσχέτηση δεύτερης τάξης και αποδεικνύεται ότι το εύρος της, σχετίζεται με τη χρονική διάρκεια του παλμού. Στη περίπτωση που έχουμε ένα γκαουσιανό παλμό το εύρος της αυτοσυσχέτησης έντασης είναι μεγαλύτερο κατά ένα παράγοντα από το εύρος του παλμού Δτ..9 1
Γενικά, μπορούμε να πάρουμε αυτοσυσχέτιση και μεγαλύτερης τάξης η οποία για την ένταση του παλμού ορίζεται από τη σχέση S n n I I d. Πειραματικά, η μέθοδος αυτή απαιτεί το χωρισμό της δέσμης του λέιζερ σε δύο, καθυστέρηση του ενός παλμού ως προς τον άλλο και στη συνέχεια επικάλυψη των δύο παλμών σε ένα μη γραμμικό οπτικό μέσο. Ένα τέτοιο μέσο είναι ένας κρύσταλλος ο οποίος παράγει δεύτερη αρμονική SHG. Το φαινόμενο αυτό είναι μη γραμμικό [1]. Μια σχετική καθυστέρηση του ενός παλμού θα μειώσει την ένταση SHG I της εξερχόμενης του κρυστάλλου δέσμης κατά ένα παράγοντα που εξαρτάται από τη συγκεκριμμένη περίπτωση αυτοσυσχέτισης, όπως θα δούμε παρακάτω. Ακόμα, στον όγκο του κρυστάλλου όπου συμβαίνει η αλληλεπικάλυψη λαμβάνουν χώρα διάφορα οπτικά φαινόμενα, όπως εσωστερικές ανακλάσεις στην επιφάνεια του κρυστάλλου. Θεωρούμε πως το σήμα δίνει την αυτοσυσχέτιση του παλμού χωρίς να υπολογίζει τα φαινόμενα αυτά. Στη πράξη όμως μπορούν να επηρεάσουν το FWHM της αυτοσχέτισης [1]. Στη περίπτωση της συμβολομετρικής αυτοσυσχέτισης μετράμε το παραγόμενο σήμα το οποίο αποτελεί υπέρθεση superposon δύο χρονικά καθυστερημένων πεδίων της μορφής e. Η ολοκλήρωση παίρνει τη μορφή: S, d d S C {C e } {C e } 1.1 Ο πρώτος όρος C της έκφρασης.1 περιέχει την αυτοσυσχέτιση της έντασης, ο δεύτερος όρος είναι μια ελάχιστα τροποποιημένη εκδοχή της αυτοσυσχέτισης του πεδίου, ενώ ο τρίτος όρος αποτελεί ένα συμβολογράφημα nerferogram της ης αρμονικής του πεδίου. Ακόμα, οι όροι C 1 και C περιέχουν όρους φάσης, και γι αυτό περιέχουν τη πληροφορία για το chrp του παλμού οι αναλυτικές πράξεις καθώς και οι τιμές των σταθερών C, C1 C βρίσκονται στο Παράρτημα. 15
Σχήμα.5. Διάταξη συμβολομετρικής Αυτοσυσχέτισης. Η αρχική δέσμη διέρχεται μέσα από ένα διαχωριστή δέσμης ο οποίος τη χωρίζει σε δύο νέες. Οι δυο δέσμες εστιάζονται κι αλληλεπικαλύπτονται στον κρύσταλλο, ενώ το φίλτρο επιτρέπει τη διέλευση μόνο της δεύτερης αρμονικής. Αν οι δυο παλμοί δεν αλληλοεπικαλύπτονται χρονικά, τ=, το σήμα γίνεται S d. Αντίθετα όταν η καθυστέρηση είναι τ= τότε το σήμα είναι S 16 d. Επομένως η αναλογία του μεγίστου Sτ= ως προς το υπόστρωμα Sτ= είναι 8 προς 1. Στην περίπτωση που το παραγόμενο σήμα ανιχνεύεται μόνο από το χρονικά αλληλεπικαλυπτόμενο μέρος των δεσμών, τότε από την εξίσωση.1 μένει μόνο ο πρώτος όρος και η αυτοσυσχέτιση παίρνει τη μορφή d 1 S C ~ S C S I I d, που ουσιαστικά είναι η αυτοσυσχέτιση της έντασης. Στη περίπτωση αυτή αναφερόμαστε στην αυτοσυσχέτιση απαλαγμένης υποβάθρου, δεδομένου ότι ανιχνεύεται η παραγωγή δεύτερης αρμονικής μόνο κατά μήκος της διαγωνίου, όπως φαίνεται στο σχήμα.6. 16
Σχήμα.6. Αυτοσυσχέτιση Απαλλαγμένης Υποβάθρου. Οι δυο δέσμες εστιάζονται στον κρύσταλλο υπό γωνία. Μετράμε μόνο το σήμα που παράγεται και από την αλληλεπικάλυψη των δυο δεσμών. Τέλος έχουμε την αυτοσυσχέτιση ης τάξης ενός παλμού sngle sho, η οποία χρησιμοποιήθηκε για τη διεξαγωγή των μετρήσεων στη παρούσα εργασία. Στη διαδικασία αυτή η χρονική αλληλεπικάλυψη των παλμών δυο μη συγγραμμικών δεσμών βλ. σχ..7 είναι ανάλογη της διάρκειας του παλμού. Το ίχνος της αυτοσυσχέτισης Δτ s σχετίζεται με τη διάμετρο Δw της παραγόμενης δέσμης μέσω της σχέσης w sn S u g, όπου u g η ταχύτητα ομάδας ενώ η γωνία Φ ορίζεται στο σχήμα.7 [1]. Το μετρούμενο σήμα είναι αντίστοιχο με αυτό στην περίπτωση αυτοσυσχέτισης απαλλαγμένης υποβάθρου, δηλαδή δεν μετράται υπόβαθρο. αυτοσυσχέτισης ης Η ειδοποιός διαφορά ωστόσο είναι ότι στην μέθοδο της τάξης ενός παλμού το ίχνος καταγράφεται χωρίς να χρειαστεί η καθυστέρηση στον ένα βραχίονα του συμβολόμετρου. Σχήμα.7. Σχηματικό διάγραμμα της αλληλοεπικάλυψης ροζ περιοχή των δύο δεσμών μέσα στο κρύσταλλο για την περίπτωση της αυτοσυσχέτισης ης τάξης ενός παλμού. 17
.5 Παραδείγματα Με Χρήση Της Mahemaca Για την καλύτερη κατανόηση των παραπάνω αναφερομένων αλλά και για την περεταίρω ανάλυση των πειραματικών δεδομένων χρησιμοποιήθηκε το πακέτο Mahemaca. Συγκεκριμένα γράφτηκε ένας κώδικας που παρατίθεται στο παράρτημα 1 που προσομοιώνει την γενική διαδικασία της αυτοσυσχέτισης δυο παλμών λέιζερ και δίνει πληροφορίες σχετικά με το πεδίο, την ένταση, το ίχνος της αυτοσυσχέτισης, το chrp, κτλ. Για παράδειγμα στο σχήμα.8 μπορούμε να δούμε παραδείγματα FTL παλμών και της επίδρασης που έχει σε αυτούς η τιμή του chrp που εισάγουμε. Σχήμα.8. Η συμβολομετρική αυτοσυσχέτιση του πεδίου ενός παλμού FTL με FWHM = 3 fs. B Η αυτοσυσχέτιση έντασης του ίδιου FTL παλμού. Γ Η συμβολομετρική αυτοσυσχέτιση του πεδίου του παλμού με chrp 3 fs. Δ Η αυτοσυσχέτιση έντασης του παλμού με chrp 3 fs. 18
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΙ ΑΝΑΛΥΣΗ 3.1 Περιγραφή Του Αυτοσυσχετιστή uocorrelaor Η διεξαγωγή του πειράματος, το οποίο περιγράφεται στη συνέχεια του κεφαλαίου, βασίστηκε στη χρήση του Δ-auocorrelaor ο οποίος παρουσιάζεται στη παρακάτω εικόνα. Η λειτουργία του βασίζεται στη δημιουργία δεύτερης αρμονικής για να χαρακτηρίσει χρονικά έναν άγνωστο παλμό λέιζερ. Σχήμα 3.1. Ο Δ-αυτοσυσχετιστής ενός παλμού Dela Sngle Sho uocorrelaor. Όπως αναφέρθηκε και νωρίτερα για τη παραγωγή του SHG σήματος απαιτείται ο διαχωρισμός της αρχικής δέσμης σε δύο και η ανασύνθεσή τους πάνω σε ένα μη-γραμμικό μέσο. Για έναν Sngle Sho uocorrelaor η αλληλοεπικάλυψη των δυο δεσμών γίνεται υπό γωνία θ όπως φαίνεται στο σχήμα 3.. 19
Σχήμα 3.. Διάγραμμα της περιοχής αλληλεπικάλυψης των δύο δεσμών. Ο Δ-αυτοσυσχετιστής μετατρέπει τη χρονική καθυστέρηση σε χωρική κατανομή της παραγόμενης ακτινοβολίας ω. Επομένως η αλληλεπικάλυψη δυο παλμών υπό γωνία θ θα δώσει μια χωρική κατανομή ανάλογη της διάρκειας του παλμού του λέιζερ. Η εξίσωση η οποία δίνει τη σχέση καθυστέρησης χρόνου μεταξύ των δυο παλμών και της γωνίας είναι: x n sn 3 3.1 Όπου n είναι ο δείκτης διάθλασης του μέσου και x είναι η απόσταση από την άκρη της παραγόμενης δέσμης ως το κέντρο της. Η καθυστέρηση αυτή μετριέται σε ps όταν η απόσταση x μετριέται σε mm. Η κατανομή της ένταση του παραγόμενου σήματος στη διεύθυνση x εξαρτάται από το πλάτος του παλμού λόγω της αλληλεπικάλυψης των δύο δεσμών. Αυτό σημαίνει ότι ένας μεγάλος παλμός θα δώσει ευρύτερο σήμα στη διεύθυνση x από έναν πιο στενό. Το απαιτούμενο μέγεθος της δέσμης έτσι ώστε να μπορεί να μετρηθεί ο παλμός εξαρτάται από το πλάτος του παλμού. Έτσι ένας παλμός 1 fs θα πρέπει να έχει πλάτος περίπου.1 mm, ενώ ένα 1 ps θα έχει 1 mm. Η οπτική γεωμετρία του Δ-auocorrelaor φαίνεται στο σχήμα 3.3. Η δέσμη λέιζερ αρχικά πέφτει πάνω στο διαχωριστή δέσμης 1 ο οποίος τη χωρίζει σε δύο νέες δέσμες, που φεύγουν από το διαχωριστή με αντίθετες γωνίες. Στη συνέχεια οι δύο δέσμες ανακλώνται από τους καθρέφτες και 3 αντίστοιχα και κατευθύνονται και οι δύο προς τον ανιχνευτή 5,6. Οι δέσμες 5,6 αλληλεπικαλύπτονται υπό γωνία στο κρύσταλλο παραγωγής δεύτερης αρμονικής [9].
Σχήμα 3.3. Διάγραμμα διαχωριστή της αρχικής δέσμης του Δ auocorrelaor. 3. Εύρεση Χρονικής Διάρκειας FTL Παλμού Είδαμε νωρίτερα, στο Κεφάλαιο, ότι για έναν FTL παλμό αν γνωρίζουμε το εύρος συχνοτήτων του μπορούμε να βρούμε την ελάχιστη χρονική διάρκειά του μέσω της σχέσης.6. Xχρησιμοποιώντας τη σχέση c μετατρέπουμε τη.6 στη μορφή 1.7 1 3 3., όπου το είναι σε fs και το μήκος κύματος σε nm. Αν γνωρίζουμε λοιπόν το φασματικό εύρος του παλμού λέιζερ Δλ και το μέσο μήκος κύματος λ της ακτινοβολίας, τότε μπορούμε να βρούμε την ελάχιστη χρονική διάρκεια του παλμού. Η μέτρηση του φάσματος της ακτινοβολίας του λέιζερ έγινε με χρήση φασματόμετρου και μιας οπτικής ίνας. Η ίνα τοποθετήθηκε μπροστά ακριβώς από την είσοδο του αυτοσυσχετιστή έτσι ώστε να συμπεριλάβουμε την αλλοίωση του φάσματος από τη διάδοση της δέσμης στον αέρα. Η εικόνα του φάσματος που πήραμε φαίνεται παρακάτω. 1
Ένταση Ένταση Γκαουσιανή προσαρμογή 3 1 5 6 7 8 9 1 11 Μήκος κύματος λ nm Σχήμα 3.. Το φάσμα του παλμού του T:Sapphre λέιζερ του Κέντρου Εφαρμογών Λέιζερ. Στο παραπάνω σχήμα εκτός από το φάσμα φαίνεται και η Γκαουσιανή προσαρμογή f που έχει γίνει, με χρήση του προγράμματος Orgn, από το οποίο προκύπτει ότι το Δλ FWHM ίσο με 3. nm. Επίσης βρήκαμε ότι το μέσο μήκος κύματος είναι 81.5 nm. Με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα και την σχέση 3. μπορούμε να υπολογίσουμε τη ελάχιστη χρονική διάρκεια του FTL παλμού, η οποία είναι FTL 8 fs. 3.3 Προετοιμασία Του uocorrelaor Η δέσμη που εξέρχεται από το λέιζερ διανύει μια απόσταση μέσα στον αέρα η οποία είναι περίπου ίση με μέτρα, και μετά από διαδοχικές ανακλάσεις πάνω σε καθρέφτες εισέρχεται μέσα στον auocorrelaor. Για να λειτουργήσει ο auocorrelaor πρέπει πρώτα να συνδέσουμε τον σκανδαλισμό του rgger oupu με το εξωτερικό rgger του παλμογράφου.
Σχήμα 3.5. Διάγραμμα της συνολικής διάταξης του Δ auocorrelaor. Η δέσμη διέρχεται μέσα από την ίριδα και στη συνέχεια μέσα από το πλακίδιο-πολωτή WP Half Wave Plae. Στη συνέχεια φτάνει στο καθρέφτη Μ1 και από εκεί στο διαχωριστή δέσμης. Περιστρέφοντας το πλακίδιο WP αλλάζει η σχετική ένταση των δύο δεσμών ανακλάσεις από τους καθρέφτες Μ και Μ3 έτσι ώστε να μπορούμε να διακρίνουμε καθαρά και τις δύο πάνω σε μία κατάλληλη, για το συγκεκριμένο είδος ακτινοβολίας, κάρτα φθορισμού. Οι δύο δέσμες από τους Μ και Μ3 πρέπει να αλληλεπικαλύπτονται στο κέντρο του SHG κρυστάλλου όπως φαίνεται και παρακάτω στα σχήματα 3.5 και 3.6. Σχήμα 3.6. Προβολή των δυο δεσμών πάνω στον SHG κρύσταλλο. Όταν οι δύο δέσμες δεν αλληλεπικαλύπτονται στο κέντρο, τότε στρέφοντας κατάλληλα τον auocorrelaor γύρο από τη βάση του η θέση των δυο δεσμών αλλάζει και επιτυγχάνεται η αλληλεπικάλυψή τους στο κέντρο. Το παραγόμενο σήμα, δηλ. η δεύτερη αρμονική, περνά μέσα από τον κυλινδρικό φακό c-lens Cylndrcal Dverson Lens, ο οποίος έχει σκοπό, όταν ο παλμός είναι μικρότερος από 5 fs, να εκτείνει το μέγεθος της δέσμης του σήματος. Με 3
αυτό πετυχαίνουμε καλύτερη ανάλυση στο χρόνο. Στη συνέχεια περνά μέσα από το φίλτρο που επιτρέπει τη διέλευση μόνο της ω, για να φτάσει τελικά στον αναλυτή σήματος CCD Deecor. Στρέφοντας τη γωνία του κρυστάλλου, και με τη βοήθεια μια κάρτας τοποθετημένης πίσω από το φίλτρο, μπορέσαμε να παρατηρήσουμε δύο σήματα SHG με συχνότητα ω, τα οποία εμφανίζονται σε διαφορετικές θέσεις πάνω στη κάρτα. Οι θέσεις αυτές αντιστοιχούν σε διαφορετική θέση του κρυστάλλου όπως φαίνεται στο σχήμα 3.7. Σχήμα 3.7. Γωνία στέψης του κρυστάλλου. Στη συνέχεια τοποθετήσαμε τον κρύσταλλο σε γωνία στη μέση ακριβώς από αυτές που παρατηρούσαμε σήμα. Αν η καθυστέρηση που έχουμε εισάγει στη μία δέσμη είναι κατάλληλη, τότε θα εμφανιστεί ένα νέο σήμα SHG, όπως φαίνετε και παραπάνω. Το σήμα αυτό είναι ευαίσθητο στη καθυστέρηση χρόνου τ, και έτσι αν το τ δεν είναι το κατάλληλο τότε δεν έχουμε σήμα. Σε αυτή τη περίπτωση χρησιμοποιούμε το μικρόμετρο που είναι συνδεδεμένο με τον καθρέφτη Μ έτσι ώστε να του αλλάξουμε τη θέση και να επιτύχουμε το κατάλληλο τ για την χρονική αλληλεπικάλυψη των δυο δεσμών [9]. 3. Βαθμονόμηση Του Χρόνου Για να μπορέσουμε να βρούμε το πλάτος του παλμού πρέπει πρώτα να κάνουμε βαθμονόμηση στον άξονα του χρόνου του σήματος που παρατηρούμε στον παλμογράφο. Αρχικά προσαρμόζουμε την ευαισθησία και τη κλίμακα χρόνου του παλμογράφου, έτσι ώστε η μορφή του σήματος να φαίνεται καθαρά. Στη συνέχεια στρέφουμε το μικρόμετρο
του καθρέφτη Μ κατά μία απόσταση L 5 μm, έτσι ώστε να αλλάξουμε τη θέση της κορυφής του σήματος και μετράμε την απόσταση ΔΤ μεταξύ των δύο κορυφών. Η μικρότερη υποδιαίρεση στο μικρόμετρο είναι 1 μm. Σχήμα 3.8. Σχηματική περιγραφή της βαθμονόμησης του χρόνου me calbraon. Στην οθόνη του παλμογράφου μετράμε το FWHM του σήματος ΔS από το οποίο με χρήση της σχέσης S.77 C L T 3.3 μπορούμε να βρούμε το πλάτος του παλμού. Η σταθερά C ορίζεται ως C 6 ps ms. Ο σταθερός όρος.77 εισάγεται μόνο για FTL παλμούς Γκαουσιανής μορφής. Κατά την εφαρμογή της διαδικασίας που περιγράφεται παραπάνω, στρέψαμε το μικρόμετρο του καθρέφτη Μ κατά L 5m, ενώ τα υπόλοιπα μεγέθη μετρήθηκαν ως: T 8.36ms S 1.3ms 3. 5 Μετρήσεις Αυτοσυσχέτισης ης Τάξης Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι μετρήσεις του FTL παλμού αλλά και παλμών στους οποίους εισαγάγαμε chrp τόσο μέσω γυαλιών όσο και μέσω του συμπιεστή του συστήματος λέιζερ με τη χρήση του Δ auocorrelaor. Σημειώνεται ότι ο παλμογράφος μετρά το χρόνο σε ms. Στα γραφήματα που ακολουθούν έχει γίνει κατάλληλη αλλαγή ώστε ο χρόνος να μετριέται σε fs. Η αλλαγή στο χρόνου του οριζόντιου άξονα γίνεται με χρήση της σχέσης 3. που προκύπτει από τη σχέση 3.3 με την αφαίρεση του παράγοντα.77. Ο όρος αυτός 5
προκύπτει από την μετατροπή του FWHM του σήματος της αυτοσυσχέτισης σε χρονική διάρκεια του παλμού του λέιζερ δεδομένου ότι ο παλμός μας είναι Γκαουσιανός. Ισχύει ότι Δτ =.77 FWHM S. S C L 35.8851 T 3 S 3. Αρχικά μετρήσαμε την αυτοσυσχέτιση ης τάξης για το παλμό του λέιζερ όπως αυτός εισάγεται στον αυτοσυσχετιστή μετά την διάδοσή του στον αέρα. Το αποτέλεσμα παρουσιάζεται στο σχήμα 3.9 από το οποίο προκύπτει μέσω της σχέσης 3.3 ότι. Σχήμα 3.9. Μέτρηση του σήματος της αυτοσυσχέτισης ης δέσμης μέσα από τον αέρα. τάξης μετά τη διέλευση της Στη συνέχεια τοποθετήσαμε στη πορεία της δέσμης γυαλιά BK7 διαφορετικού πάχους, με σκοπό να εισάγουμε κάθε φορά στο παλμό διαφορετική τιμή του chrp. Παρακάτω φαίνονται τα σήματα της αυτοσυσχέτισης που καταγράφηκαν για τα διαφορετικά πάχη του υλικού. 6
Σχήμα 3.1. Σήματα αυτοσυσχέτισης μετά από διέλευση μέσα από γυαλιά ΒΚ7 διαφορετικών παχών x. Α x= mm, FWHM S 58.1fs. Β x=6 mm, FWHM S 63. fs. Γ x=1 mm, FWHM S 69.8 fs. Δ x=1mm, FWHM S 7 fs. Στη συνέχεια αλλάζοντας τις ρυθμίσεις στον χρονικό συμπιεστή compressor του laser εισάγαμε θετικό και αρνητικό chrp στο παλμό τυχαίας τιμής. Τα σήματα αυτοσυσχέτισης για κάθε περίπτωση φαίνονται παρακάτω. 7
Σχήμα 3.11. Σήματα αυτοσυσχέτισης. Α Θετικό chrp, FWHM S 76 fs. Β Θετικότερο chrp, FWHM S 168. fs. Γ Αρνητικό chrp, FWHM S 1.7 fs. Δ Αρνητικότερο chrp, FWHM S 169.3 fs. 3.6 Ανάλυση Δεδομένων Από το ίχνος της αυτοσυσχέτισης μπορούμε να εξάγουμε αποτελέσματα για τη χρονική διάρκεια του παλμού. Γι αυτό το λόγο, για να μπορέσουμε να προχωρήσουμε στην ανάλυση των δεδομένων και να υπολογίσουμε τη χρονική διάρκεια του παλμού για κάθε μια από της περιπτώσεις που αναφέραμε νωρίτερα γράφτηκε ένα πρόγραμμα στη γλώσσα της Mahemaca βλ. Παράρτημα 1. Στο αρχείο αυτό έχουμε ορίσει της εξισώσεις που περιγράφουν το παλμό, την αυτοσυσχέτιση, την ένταση του και το chrp που εισάγει το οπτικό μέσο. Έτσι το πρόγραμμα μπορεί να μας δώσει τη μορφή της αυτοσυσχέτισης του παλμού, καθώς και της έντασης του για κάθε τιμή του chrp που εισάγουμε. Κατά αυτό τον τρόπο μας δίνει τη δυνατότητα να ελέγξουμε ποια τιμή του chrp μας δίνει ίδια 8
αποτελέσματα αυτοσυσχέτισης με τα μετρούμενα και στη συνέχεια να πάρουμε τις αντίστοιχες εντάσεις, από όπου υπολογίζουμε τη χρονική διάρκεια του εκάστοτε παλμού. Ξεκινώντας με βάση τη διάρκεια ενός FTL παλμού βάλαμε δοκιμαστικές τιμές στη παράμετρο D του chrp, και αναζητήσαμε της τιμές του που έδιναν παρόμοια αποτελέσματα με τα ήδη υπάρχοντα για το FWHM S. Έχοντας βρει κατάλληλες τιμές του D εξάγαμε με χρήση της Mahemaca την καμπύλη έντασης και με χρήση του Orgn υπολογίσαμε το FWHM I που αντιστοιχεί στη χρονική διάρκεια του παλμού Δτ. Η διαδικασία αυτή έγινε για τρεις περιπτώσεις. Στην πρώτη περίπτωση, ως FTL παλμός χρησιμοποιήθηκε αυτός που πήραμε από τη μέτρηση του φάσματος, δηλ. FTL 8 fs. Στη δεύτερη περίπτωση χρησιμοποιήσαμε τον ίδιο FTL παλμό αλλά σε κάθε τιμή του chrp προσθέταμε και το αντίστοιχο chrp ενός γυαλιού BK7 πάχους mm. Ο λόγος είναι ότι η ελάχιστη τιμή της διάρκειας του παλμού λέιζερ που μετρήθηκε με τον αυτοσυσχετιστή ήταν 33 fs. Θεωρήσαμε λοιπόν πως η διαφορά με τη τιμή που προβλέπεται από τη μέτρηση του φάσματος του παλμού για γκαουσιανή κατανομή μπορεί να αποδοθεί στη διαπλάτυνση που επιφέρει το εν λόγω γυαλί. Τέλος, στην τρίτη περίπτωση χρησιμοποιήσαμε την τιμή που βρήκαμε από τη μέτρηση με τον αυτοσυσχετιστή δηλ. αποτελέσματα ανά περίπτωση. 33 fs ως την FTL τιμή του παλμού. Παρακάτω αναλύονται τα ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 η Στο ακόλουθο πίνακα παρουσιάζονται οι πειραματικές τιμές του FWHM S του παλμού για διαφορετικά chrp καθώς και οι αντίστοιχες τιμές των Δτ FWHM I και D όπως αυτές προέκυψαν με βάση το πρόγραμμα της Mahemaca. Ακόμα στο πίνακα παρουσιάζονται και οι τιμές του Δτ που προκύπτουν με χρήση της σχέσης FWHM 3.5 S η οποία περιγράφει την εξάρτηση της χρονικής διάρκειας του παλμού από το FWHM της αυτοσυσχέτισης. 9
Πίνακας 3.1: Τιμές των FWHM S, Δτ και D για χρονική διάρκεια FTL παλμού FTL 8 fs. Υλικό Πάχος mm FWHM S fs Δτ. Mahemaca fs Δτ. έ 3. 5 fs D. Mahemaca BK7 58.1 1 1 33.5 BK7 6 63..7.7 35.9 BK7 1 69.8 9. 9.3 1.1 fs BK7 1 7 5. 5.3 9 Θετικό chrp - 76 53.8 53.7 66 Θετικότερο chrp - 168. 119.1 119 1177 Αρνητικό chrp - 1.7 71.3 71. 666 Αρνητικότερο chrp - 169.3 119.8 119.7 118.5 Παρατηρούμε πως υπάρχει ταύτιση των τιμών του Δτ που προέκυψαν με χρήση της Mahemaca και της σχέσης 3.5 που δίνει την αναλογία μεταξύ Δτ και FWHM S, γεγονός που επαληθεύει την ισχύ της σχέσης αυτής. Στη συνέχεια με βάση το αρχείο BK7 βλ. Παράρτημα 1 της Mahemaca πήραμε της θεωρητικές τιμές του Δτ και του D για κάθε πάχος υλικού, και τα αποτελέσματα φαίνονται παρακάτω στον πίνακα 3.. Πίνακας 3.: Σύγκριση πειραματικών και θεωρητικών τιμών της χρονικής διάρκειας του παλμού Δτ και της παραμέτρου του chrp D για χρονική διάρκεια FTL παλμού FTL 8 fs. Υλικό Πάχος mm Δτ. Mahemaca fs D. Mahemaca fs Δτ. Mahemaca fs D. Mahemaca fs ΒΚ7 33. 178. 1. 33.5 ΒΚ7 6 38.6 67.5.7 35.9 ΒΚ7 1 5.1 5.9 9. 1.1 ΒΚ7 1 59.7 535.1 5. 9. 3
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η Από τα αποτελέσματα του πίνακα 3. φαίνεται πως αν ο αρχικός παλμός έχει χρονική διάρκεια 8 fs τότε, η διάρκεια του γίνεται ίση με τη μετρούμενη με τον αυτοσυσχετιστή 33 fs αν θεωρήσουμε ότι η δέσμη περνά μέσα από ΒΚ7 πάχους mm. Έτσι επαναλάβαμε τους παραπάνω υπολογισμούς, θεωρώντας πως για κάθε πάχος x υλικού που βάζουμε εμείς, έχουμε συνολικό πάχος b = x + mm. Πίνακας 3.3: Σύγκριση πειραματικών και θεωρητικών τιμών της χρονικής διάρκειας του παλμού Δτ και της παραμέτρου του chrp D για χρονική διάρκεια FTL παλμού FTL 8 διαπλατυσμένης από mm γυαλιού BK7. fs x mm b mm Fs Fs fs fs 8 1 5 33.5 356.7 6 1.7 5 35.9 5.9 1 1 9. 67.5 1.1 6.3 1 16 5. 75.6 9 713. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 η : Τέλος, στη περίπτωση αυτή, έγινε χρήση ξανά της Mahemaca για τον υπολογισμό των πειραματικών τιμών του FWHM S, του Δτ και D του παλμού για διαφορετικά chrp, χρησιμοποιώντας ως FTL παλμό με χρονική διάρκεια 33 fs. Όπως και στη περίπτωση 1, στο παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται οι τιμές του Δτ που προκύπτουν από τη σχέση 3.5. 31
Πίνακας 3.: Τιμές των FWHM S, Δτ και D για χρονική διάρκεια FTL παλμού 33 fs Υλικό Πάχος mm FWHM S fs Δτ. Mahemaca fs Δτ. έ 3. 5 fs D. Mahemaca fs BK7 58.1 1 1 9 BK7 6 63..7.7 359 BK7 1 69.8 9. 9.3 36.9 BK7 1 7 5.3 5.3 83. Θετικό chrp - 76 53.8 53.7 55.6 Θετικότερο chrp - 168. 119.1 119 136 Αρνητικό chrp - 1.7 71.3 71. 75 Αρνητικότερο chrp - 169.3 119.7 119.7 137.3 Ακολουθούν οι θεωρητικές και πειραματικές τιμές της χρονικής διάρκειας και του παράγοντα chrp για κάθε περίπτωση, όπως αυτά προκύπτουν από το αρχείο της Mahemaca. Πίνακας 3.5: Τα Σύγκριση πειραματικών και θεωρητικών τιμών της χρονικής διάρκειας του παλμού Δτ και της παραμέτρου του chrp D για χρονική διάρκεια FTL παλμού 33 fs. Υλικό Πάχος mm fs D. Mahemaca fs Δτ. Mahemaca fs D. Mahemaca fs ΒΚ7 36.3 178. 1 9 ΒΚ7 6 39.9 67.5.7 359 ΒΚ7 1 9.9 5.9 9. 36.9 ΒΚ7 1 55.8 535.1 5.3 83. Τα αποτελέσματα όλων των παραπάνω περιπτώσεων συνοψίζονται στο παρακάτω σχήμα 3.1. 3
Σχήμα 3.1. Διαγραμματική συμπεριφορά Δτ για κάθε περίπτωση. Με τα μαύρα τετράγωνα παρουσιάζονται οι πειραματικές τιμές που προκύπτουν για το Δτ. Τα υπόλοιπα στοιχεία αποτελούν τις θεωρητικές τιμές της χρονικής διάρκειας του παλμού, σύμφωνα με τη Mahemaca, της περίπτωσης 1 μπλε τρίγωνα, της περίπτωσης μωβ γραμμή και της περίπτωσης 3 κόκκινη γραμμή. Με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα μπορούμε καταρχήν να υποστηρίξουμε πως η η περίπτωση, δηλαδή η εικασία πως ο αρχικός παλμός έχει χρονική διάρκεια 8 fs και διαπλατύνεται στα 33 fs μέχρι να φτάσει στον ανιχνευτή, δεν υποστηρίζεται από τα πειραματικά δεδομένα, απορρίπτοντας με αυτό τον τρόπο την υπόθεση αρχικού γραμμικού chrp. Οι περιπτώσεις ένα και τρία από την άλλη μεριά, δηλαδή αρχικού παλμού 8 fs και 33 fs, αντίστοιχα, φαίνονται να είναι πιο κοντά στα πειραματικά αποτελέσματα. Τα δεδομένα φαίνεται να ακολουθούν την τάση αύξησης της διάρκειας του παλμού και οι αποκλίσεις θεωρητικών και πειραματικών τιμών δεν ξεπερνούν το % κατά περίπτωση. Ωστόσο, θα περίμενε κανείς καλύτερη συμφωνία μεταξύ τους εφόσον η διαπλάτυνση του παλμού μέσα από γυαλιά είναι καλά ορισμένη. Οι διαφορές μπορεί να δικαιολογηθούν ως ένα βαθμό ως εξής. Καταρχήν υποθέσαμε πως η δέσμη λέιζερ περιγράφεται από μια Γκαουσιανή κατανομή γεγονός που δεν μπορεί να ελεγχθεί. Ο αυτοσυσχετιστής δίνει τιμές χρονικής διάρκειας 33
υποθέτοντας Γκαουσιανό παλμό. Άρα κάποιο συστηματικό μικρό ίσως σφάλμα μπορεί να εισαχθεί από αυτό και μόνο. Επίσης δεν γνωρίζουμε τη φασική κατανομή σχέση του chrp του παλμού στην είσοδο του αυτοσυσχετιστή. Η μέτρηση των 33 fs δεν συνεπάγεται αυτόματα και FTL παλμό όπως υποθέσαμε. Επομένως κι αυτός είναι ένας παράγοντας που μπορεί να εισάγει ένα αρκετά σημαντικό συστηματικό σφάλμα. Επίσης, για να μπορέσουμε να πάρουμε το στενότερο παλμό από την έξοδο του λέιζερ ρυθμίζαμε τον συμπιεστή compressor του λέιζερ και παρατηρούσαμε την εικόνα του σήματος στον παλμογράφο. Όταν παρατηρήσαμε το στενότερο παλμό κλειδώσαμε στη θέση αυτή τον συμπιεστή, εξασφαλίζοντας την μικρότερη χρονική διάρκεια του παλμού στην είσοδο του αυτοσυσχετιστή. Ωστόσο, αυτό δεν σημαίνει πως ο παλμός είναι τόσο στενός όσο προβλέπεται από την FTL τιμή που προκύπτει από το φάσμα του. Αυτό φαίνεται κι από τα δεδομένα όπου η περίπτωση των 33 fs FTL παλμού είναι πιο κοντά στα πειραματικά δεδομένα από ότι αυτά των 8 fs FTL παλμού. Σημειώνεται πως για τον συγκεκριμένο αυτοσυσχετιστή, για έναν παλμό τόσο μικρής χρονικής διάρκειας μερικές δεκάδες fs η δέσμη που πρέπει να χρησιμοποιηθεί πρέπει να είναι μικρότερη από 1 mm. Το γεγονός αυτό καθιστά δύσκολη τη σωστή ευθυγράμμιση της δέσμης και κατά συνέπεια αφήνει χώρο για την εισαγωγή συστηματικών σφαλμάτων. Αυτό παρατηρήθηκε και κατά τη διεξαγωγή των μετρήσεων. Είδαμε πως μια πολύ μικρή μεταβολή στη γωνία ανάκλασης επηρεάζει σημαντικά την παρατηρούμενη εικόνα του παλμού. Έτσι, είναι πιθανό κατά τη διαδικασία ευθυγράμμισης συμπεριλαμβανομένης και της εισαγωγής των γυαλιών ΒΚ7 στην πορεία της δέσμης να εισαγάγαμε κάποιο συστηματικό σφάλμα που θα επηρέαζε τόσο της σχετικές εντάσεις των δύο δεσμών, όσο και το παραγόμενο SHG σήμα, και κατ επέκταση τα αποτελέσματα μας. 3
ΣΥΝΟΨΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Ζητούμενο της εργασία αυτής ήταν η εύρεση της χρονικής διάρκειας παλμών λέιζερ διάρκειας μερικών δεκάδων fs. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος της αυτοσυσχέτισης δεύτερης ης τάξης, η οποία παρουσιάστηκε αναλυτικά και εξηγήθηκε για συνήθεις πειραματικές διατάξεις. Ορίσαμε την εξίσωση που περιγράφει την μορφή του παλμού και τον τρόπο με τον οποίο επηρεάζεται από το chrp, το οποίο εισάγεται με χρήση οπτικού μέσου. Για τη διεξαγωγή των μετρήσεων χρησιμοποιήθηκε ένας αυτοσυσχετιστής ενός παλμού. Η ανάλυση των πειραματικών δεδομένων έγινε με χρήση του προγράμματος της Mahemaca. Συγκεκριμένα, δημιουργήσαμε ένα αρχείο το οποίο μέσα από τη χρήση της εξίσωσης περιγραφής του παλμού και κατάλληλων μαθηματικών διαδικασιών παρήγαγε την συμβολομετρική αυτοσυσχέτιση, την αυτοσυσχέτιση έντασης και την ένταση του παλμού. Από τις πειραματικές μετρήσεις προέκυψε ότι η χρονική διάρκεια του FTL παλμού σύμφωνα με τη μέτρηση του φάσματος είναι 8 fs, ενώ σύμφωνα με τη μέτρηση του αυτοσυσχετιστή η χρονική διάρκεια του μικρότερου δυνατού παλμού είναι. Στη συνέχεια έγιναν μετρήσεις της αυτοσυσχέτισης του παλμού έχοντας εισάγει chrp με χρήση γυαλιού ΒΚ7. Έγινε σύγκριση των πειραματικών και των υπολογισμένων τιμών θεωρώντας παλμούς FTL αρχικής χρονικής διάρκειας 8 fs και 33 fs, καθώς και παλμούς FTL διάρκειας 8 fs κατάλληλα διαπλατυσμένους στα 33 fs. Παρατηρήθηκαν αποκλίσεις έως και % στις μεταξύ τους τιμές που πιστεύουμε πως οφείλονται σε μεγάλο βαθμό στην πολύ μικρή δέσμη < 1 mm λέιζερ που απαιτείται για τον Δ-αυτοσυσχετιστή για παλμούς μικρότερης χρονικής διάρκειας από 1 fs. Μελετώντας τα αποτελέσματα που προέκυψαν από την ανάλυση, παρατηρούμε ότι καθώς αυξάναμε τη τιμή του εισαγόμενου chrp, αυξάνοντας δηλαδή το πάχος του οπτικού μέσου, αυξανόταν και η χρονική διάρκεια του παλμού, κάτι που αναπαράχθηκε και από τους θεωρητικούς υπολογισμούς σε γενικά ικανοποιητικό βαθμό. 35
ΑΝΑΦΟΡΕΣ 1. Jean-Claude Dels, Wolfgang Rudolph, Ulrashor Laser Pulse Phenomena, Second don, lsever, 6.. Rober D. Guenher, MODRN OPTICS 3. Ρομπότης Δημήτρης, Πτυχιακή Εργασία: Μέθοδος αυτοσυσχέτισης 3ης τάξης για τον χαρακτηρισμό fs παλμών Laser, Πανεπιστήμιο Κρήτης. Αδημοσίευτη.. Rck Trebno and rk Zeek, Frequency-Resolved Opcal Gang: The Measuremen of Ulrashor laser Pulses, Kluwer Publshers, Boson,. 5. Rck Trebno, The Measuremen of Ulrashor Laser Pulses 6. Δ. Χαραλαμπίδης, Λέιζερ υψηλής ισχύος - βραχέων παλμών. Σημειώσεις μαθήματος. 7. hp://mahworld.wolfram.com Correlaon- uocorrelaon- Cross-Correlaon 8. hp://en.wkpeda.org Sellmeer equaon- uocorrelaon- Chrp - Laser 9. www.mnopc.com Dela Sngle Sho uocorrelaor 1. Εμμανουήλ Λαδουκάκης, Πτυχιακή Εργασία: Υπερβραχείς ηλεκτρομαγνητικοί παλμοί λέιζερ και εφαρμογές τους, ΤΕΙ Κρήτης. Αδημοσίευτη. 11. Τζιανάκη Ειρήνη, Μεταπτυχιακή εργασία: Δημιουργία υπερβραχέων παλμών λέιζερ με τη χρήση τριχοειδή σωλήνα αερίου και συμπιεστή, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Κρήτης. 1. Syed bdullah ljund, Thess: Opcal uocorrelaon usng Non-Lneary n a Smple Phoodode, Deparmen of Physcs, Naonal Unversy of Sngapore, αδημοσίευτη. 36
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1. Αρχείο που εξάγει την αυτοσυσχέτιση ης τάξης απαλλαγμένης υποβάθρου, την ένταση και το πεδίο ενός παλμού λέιζερ με FWHM και chrp που εμείς επιλέγουμε. 37
Αρχείο που εξάγει την συμβολομετρική αυτοσυσχέτιση ης τάξης, την ένταση και το πεδίο ενός παλμού λέιζερ με FWHM που εμείς επιλέγουμε και chrp που υπολογίζεται με χρήση των εξισώσεων Sellmeer για το ΒΚ7 αρχείο ΒΚ7. 38
39 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. Στο κεφάλαιο ορίσαμε την αυτοσυσχέτιση d d S, η οποία μετά από πράξεις οδηγεί στην εξίσωση.1. ΟΙ πράξεις αυτές παρατίθενται παρακάτω. d d d * d * * d B, Για ευκολία στις πράξεις ορίσαμε τον όρο τον οποίο θα φτάσουμε σε μια τελική μορφή και στη συνέχεια θα τον εισάγουμε ξανά στο ολοκλήρωμα. Μπορούμε να αντικαταστήσουμε με και αντίστοιχα για το. Οπότε θα έχουμε ότι: * *, B ] [ e e ] [ e e ] [ ] [ 3 e e e e
] [ ] }[ { e e e e ] cos[ ] }cos[ { Στη συνέχεια αντικαθιστούμε τη τιμή αυτή μέσα στο ολοκλήρωμα και έχουμε: d S ]} }cos[ { ] cos[ { d d S ]} cos[ { } { d ]} }cos[ { { } { } { 1 e C e C C S Όπου d e C d C 1 Και. d e C