Συστήματα συντεταγμένων

Transcript

1 Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από βασικά τρισδιάστατα αντικείμενα, χρησιμοποιούμε μια ποικιλία μεθόδων. Οποιαδήποτε μέθοδο όμως και αν χρησιμοποιήσουμε, τα τρισδιάστατα αντικείμενα δημιουργούνται σε ένα τρισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων και στη συνέχεια σχεδιάζονται σε ένα δισδιάστατο σύστημα. Η διαχείριση, η εμφάνιση και η δημιουργία ενός αντικειμένου απαιτεί τη χρήση τρισδιάστατης γεωμετρίας και μετασχηματισμούς συντεταγμένων. Συστήματα συντεταγμένων Όλα τα σημεία στον τρισδιάστατο χώρο αναπαριστάνονται σε ένα τρισδιάστατο σύστημα, που μπορεί να θεωρηθεί ως επέκταση του δισδιάστατου συστήματος. Στο δισδιάστατο χώρο ολόκληρο το αντικείμενο περιλαμβάνεται στο επίπεδο. Στο χώρο των τριών διαστάσεων εισάγουμε έναν επιπλέον ορθογώνιο άξονα, δημιουργώντας έτσι ακόμη δύο βασικά επίπεδα και, όπως φαίνεται και στην εικόνα.. Εικόνα. Αναπαράσταση των τριών βασικών ορθογώνιων επιπέδων Ο προσανατολισμός των αξόνων, στο τρισδιάστατο σύστημα, μπορεί να είναι είτε δεξιόστροφος είτε αριστερόστροφος. Το δεξιόστροφο σύστημα δημιουργείται τοποθετώντας το δεξί χέρι με τον αντίχειρα προς την κατεύθυνση του άξονα και τα Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

2 δάχτυλα στραμμένα από το θετικό άξονα προς τον θετικό άξονα (δες την εικόνα.) Εικόνα. εξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων Το αριστερόστροφο σύστημα προσδιορίζει την θέση του άξονα, όπως φαίνεται στην εικόνα.. Αν το αριστερό χέρι είναι τοποθετημένο με τα δάχτυλα στραμμένα από το θετικό άξονα προς το θετικό άξονα, ο αντίχειρας θα δείχνει στο θετικό άξονα. Εικόνα. Aριστερόστροφο σύστημα συντεταγμένων Συνήθως τα προβλήματα λύνονται με το δεξιόστροφο σύστημα συνταγμένων και αυτός είναι και ο λόγος που σήμερα έχει επικρατήσει, όταν λέμε παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων, να εννοούμε το δεξιόστροφο. Παρόλα αυτά όμως ορισμένα συστήματα γραφικών κάνουν χρήση του αριστερόστροφου συστήματος, με ένα νοητό επίπεδο και Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

3 το θετικό άξονα στην οθόνη. Κάτι τέτοιο όμως έχει ως αποτέλεσμα να μην είναι εμφανείς στο παρατηρητή οι θετικές τιμές του. Εκτός του καρτεσιανού συστήματος μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και άλλα συστήματα συντεταγμένων, όπως το σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων, προκειμένου να ορίσουμε ένα τρισδιάστατο αντικείμενο. Στην συνέχεια τα τρισδιάστατα αντικείμενα θα περιγραφούν με βάση το καρτεσιανό σύστημα αναφοράς. Αναπαράσταση της τρισδιάστατης γεωμετρίας Το βασικό γεωμετρικό στοιχείο στον τρισδιάστατο χώρο είναι το σημείο, όπως και στο επίπεδο (δύο διαστάσεις), με τη διαφορά ότι στον χώρο απαιτούνται τρεις διαστάσεις. Η εικόνα. δείχνει ένα τετράεδρο στον τρισδιάστατο χώρο. Y Γ(, γ, ) Α(,, ) (,, δ ) Β( β,, ) X Εικόνα. Αναπαράσταση ενός τετραέδρου Η έννοια των ομογενών συντεταγμένων εφαρμόζεται και στην περιγραφή αντικειμένου στον χώρο, όπως και στη δισδιάστατη γεωμετρία. Το τετράεδρο μπορεί με τον τρόπο αυτό να παρασταθεί με έναν πίνακα ως εξής: Ρ β γ δ (.) Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

4 Βασικοί τρισδιάστατοι μετασχηματισμοί Οι μετασχηματισμοί στον τρισδιάστατο χώρο εκτελούνται με τις ίδιες μεθόδους που χρησιμοποιούνται και στο δισδιάστατο χώρο με την προσθήκη της συντεταγμένης. Στις ομογενείς συντεταγμένες οι μετασχηματισμοί αναπαριστώνται με έναν πίνακα της μορφής: A D G J B E H K C F I L S (.) Ο πίνακας αυτός μπορεί να χωριστεί ως εξής: (.) Ο Χ υποπίνακας στο πάνω αριστερό τμήμα επιτρέπει την αλλαγή κλίμακας (κλιμάκωση), την αντανάκλαση, τη στρέβλωση και την περιστροφή, ενώ ο κάτω αριστερά Χ υποπίνακας παρέχει τη μετατόπιση. Αλλαγή κλίμακας (κλιμάκωση) Ο μετασχηματισμός αλλαγής κλίμακας επιτυγχάνεται τοποθετώντας τιμές στη βασική διαγώνιο του Χ πίνακα μετασχηματισμού. Με τον τρόπο αυτόν επιτυγχάνεται η τοπική αλλά και η γενική αλλαγή κλίμακας. Ένα σημείο Ρ(,,, ) αλλάζει κλίμακα στο Ρ*(*, *, *, ) με τον ακόλουθο μετασχηματισμό: A E * (.) I [ * * * ] [ ] Αυτό συνήθως καλείται αλλαγή κλίμακας ως προς την αρχή των αξόνων και αποτελεί επέκταση της δισδιάστατης αλλαγής κλίμακας που περιγράψαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Αν οι παράγοντες κλιμάκωσης Α, Ε, I είναι διαφορετικοί, η εικόνα του αντικειμένου παραμορφώνεται. Στην περίπτωση όπου οι παράγοντες κλιμάκωσης είναι ίδιοι, συμβαίνει μια αλλαγή στο μέγεθος αλλά διατηρούνται οι αρχικές αναλογίες (.). Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

5 [ * * * ] [ ] * s (.) [ s] Παρατηρήστε ότι, όταν χρησιμοποιούμε την γενική αλλαγή κλίμακας, η τέταρτη στήλη του μετασχηματισμένου πίνακα σημείου μπορεί να μην είναι ίση με. Όπως εξηγήθηκε σε προηγούμενο κεφάλαιο, αυτός ο πίνακας πρέπει να κανονικοποιηθεί, ώστε οι αντίστοιχες τιμές των,, να γίνουν οι καρτεσιανές συντεταγμένες. Για να αποκτήσουμε αυτές τις καρτεσιανές συντεταγμένες η εξίσωση. αλλάζει ως εξής: [ s ] s s s Για τιμές του s που είναι μεγαλύτερες από την μονάδα το μέγεθος του αντικειμένου μειώνεται. Προκειμένου να το μεγαλώσουμε, χρησιμοποιούμε στον πίνακα αλλαγής κλίμακας έναν παράγοντα του /s. Οι τελικές συντεταγμένες τότε θα είναι: [ s s s ] (.) Παράδειγμα. Θεωρούμε κύβο με πλευρά, εικόνα.. Οι ομογενείς συντεταγμένες του κύβου παριστάνονται σε μορφή πίνακα ως εξής: Pκ ύ βος Εφαρμόστε τον πίνακα μετασχηματισμού αλλαγής κλίμακας (κλιμάκωσης), για να μετατρέψετε τον παραπάνω κύβο σε μοναδιαίο. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

6 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ Λύση Ο πίνακας μετασχηματισμού αλλαγής κλίμακας S που χρειάζεται για το μετασχηματισμό του κύβου σε μοναδιαίο είναι: S ή S Αν ο πίνακας S εφαρμοστεί στον πίνακα (αρχικός) P κύβος, δίνει το επιθυμητό αποτέλεσμα δηλαδή τον πίνακα P* μοναδιαίος κύβος. P* μοναδιαίος κύβος P κύβος * S P* μοναδιαίος κύβος *

7 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 7 Εικόνα. Αλλαγή κλίμακας του κύβου ή σε κανονική μορφή: [P*] μοναδιαίος κύβος Μετατόπιση Ο ακόλουθος πίνακας μετασχηματισμού μετατοπίζει ένα σημείο (,, ) σ ένα νέο σημείο (*, *, *) μέσω των (J, K, L):

8 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 8 (,, ) (,, ) [ * * * ] [ ] * J K L (.7) Οι τιμές των J, K, L παρουσιάζουν την μετατόπιση ενός σημείου στις,, κατευθύνσεις. Η εικόνα. δείχνει το αποτέλεσμα της μετατόπισης του μοναδιαίου κύβου, με μια κορυφή του να συμπίπτει με την αρχή των αξόνων (,, ), στην νέα του θέση στο χώρο που έχει καθοριστεί από τον δεδομένο πίνακα μετασχηματισμού Τ (,, ). Κάθε κορυφή μετατοπίζεται το ίδιο, έτσι ώστε οι μετασχηματισμένες συντεταγμένες του κύβου σε μορφή πίνακα να είναι: Ρ* κύβος Ρ * Τ (,, ) ή Ρ* κύβος (.8) Εικόνα. Μετατόπιση μοναδιαίου κύβου T ), (, χ Υ χ Υ

9 Περιστροφή Οι περιστροφές στις τρεις διαστάσεις είναι σημαντικές για την κατανόηση του σχήματος ενός αντικειμένου. Είναι πιο πολύπλοκες από αυτές στις δύο διαστάσεις, γιατί στις τρεις διαστάσεις πρέπει να καθορίσουμε έναν άξονα περιστροφής αντί για ένα σημείο περιστροφής. Οι περιστροφές γύρω από τυχαίους άξονες μπορούν να αναλυθούν σε απλές περιστροφές γύρω από τους τρεις βασικούς άξονες συντεταγμένων και προσδιορίζονται από τις ακόλουθες διαδικασίες, παρόμοιες με αυτές που χρησιμοποιούνται στη δισδιάστατη περιστροφή. Η εικόνα.7 δείχνει τις τρεις βασικές θετικές περιστροφές γύρω από τους άξονες συντεταγμένων, και. Το σύστημα συντεταγμένων είναι δεξιόστροφο και οι περιστροφές θεωρούνται θετικές,. Εικόνα.7 Θετικές περιστροφές ως προς τους άξονες συντεταγμένων,, H περιστροφή ( θ) από τις παρακάτω σχέσεις: R ενός σημείου P(,, ) κατά γωνία θ ως προς τον άξονα δίδεται Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 9

10 Περιστροφή ως προς τον άξονα * cosθ - sinθ * sinθ + cosθ (.9) * ή από τον πίνακα περιστροφής R ( θ) R ( θ) cosθ sinθ sinθ cosθ (.) Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

11 H περιστροφή ( θ) R ενός σημείου P(,, ) κατά γωνία θ και ως προς τον άξονα δίδεται από τις παρακάτω σχέσεις : * cos θ + sin θ * (.) * - sin θ + cos θ P*(*, *, *) P(,, ) ή από τον πίνακα περιστροφής R ( θ) Εικόνα.8 Περιστροφή ως προς τον άξονα ( θ) R cosθ sinθ sinθ cosθ (.) Τέλος, η περιστροφή ( θ) είναι: R γύρω από τον άξονα που προέκυψε από την εικόνα.9, Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

12 P(,, ) P*(*, *, *) Εικόνα.9 Περιστροφή ως προς τον άξονα * * cos θ - sin θ (.) * sin θ + cos θ ή ( θ) cosθ sinθ sinθ cosθ R (.) Είναι αξιοσημείωτο ότι το πρόσημο των ημιτόνων εμφανίζεται αντίθετο στον πίνακα θ θ R θ, και αυτό είναι αποτέλεσμα του R ( ) από αυτό των πινάκων R ( ) και ( ) δεξιόστροφου κανόνα. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

13 Παράδειγμα. Ας θεωρήσουμε ένα λοξοτομημένο κύβο, όπως φαίνεται στην εικόνα.. Τα σημεία Ρ μέχρι P ορίζουν τη γεωμετρία αυτού του κύβου και μπορούν να γραφούν με την μορφή πίνακα ως εξής: 8. Ρ 8. Περιστρέψτε τον κύβο, ώστε το κάτω επίπεδο, που ορίζεται από τα σημεία Ρ, Ρ, Ρ και Ρ, να είναι παράλληλo με το επίπεδο. Εικόνα. Γεωμετρία του λοξοτομημένου κύβου Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

14 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ Λύση Για να κάνω το επίπεδο Ρ Ρ Ρ Ρ παράλληλο στο επίπεδο, η περιστροφή μπορεί να εκφραστεί στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων γύρω από τον άξονα κατά 9 μοίρες. Ο κατάλληλος πίνακας δίνεται: ( ) θ θ θ θ θ cos sin sin cos R Για θ9 ο πίνακας γίνεται: ( ) 9 R Ο πίνακας των μετασχηματιζόμενων σημείων είναι: Ρ* Ρ * ( ) 9 R ή Ρ*

15 Η εικόνα. δείχνει το αντικείμενο έπειτα από 9 μοίρες περιστροφή ώστε να είναι παράλληλo με το επίπεδο Εικόνα. Ο λοξοτομημένος κύβος μετά από περιστροφή 9 ο ως προς τον άξονα Πρέπει να δίνουμε προσοχή όταν εφαρμόζουμε διαδοχικά πίνακες περιστροφής. Η σειρά με την οποία εκτελούνται οι περιστροφές έχει επίδραση στο αποτέλεσμα. Στην εικόνα. η τελική θέση της σφήνας ύστερα από την πρώτη ακολουθία είναι διαφορετική από την τελική θέση ύστερα από την δεύτερη ακολουθία. Αυτό συμβαίνει γιατί οι πολλαπλασιασμοί πινάκων είναι γενικώς μη ανατρέψιμοι. Η εικόνα. συνοψίζει τους πίνακες περιστροφής ως προς τους τρείς άξονες συντεταγμένων. Στην εικόνα. α γίνεται περιστροφή 9ο γύρω από τον άξονα ακολουθούμενη από περιστροφή 9ο γύρω από τον άξονα ενώ στην εικόνα. β γίνεται περιστροφή 9ο γύρω από τον άξονα ακολουθούμενη από περιστροφή 9ο γύρω από τον άξονα Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

16 Εικόνα. Η σειρά των περιστροφών επηρεάζει την τελική θέση ενός αντικειμένου Y Y Y Z X Z X Z X Εικόνα. α Πίνακες περιστροφής γύρω από τους άξονες συντεταγμένων Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

17 Y Y Y X Z X Z X Z Εικόνα. β Πίνακες περιστροφής γύρω από τους άξονες συντεταγμένων Περιστροφή ως πρός τυχαίο άξονα Περιστροφές γύρω από τυχαίους άξονες στο χώρο συμβαίνουν συχνά. Η εικόνα. παρουσιάζει την λαβή ενός ρομπότ που περιστρέφεται γύρω από τον τυχαίο άξονα ΑΒ (βραχίονα του ρομπότ) και έχει κλίση ως προς τους βασικούς άξονες του συστήματος δίχως να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 7

18 λαβή αρχή αξόνων Εικόνα. Περιστροφή της λαβής ενός ρομπότ γύρω από τυχαίο άξονα ΑΒ Αυτή η περιστροφή, της λαβής ενός ρομπότ γύρω από τυχαίο άξονα ΑΒ, επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας μια σειρά μετατοπίσεων και απλών περιστροφών που συντελούν ώστε ο τυχαίος άξονας ΑΒ να συμπέσει αφενός με έναν από τους αρχικούς άξονες, στην συνέχεια να πραγματοποιηθεί η επιθυμητή περιστροφή ως προς τον αρχικό άξονα και τέλος να επιστρέψει ο τυχαίος άξονας ΑΒ στην αρχική του θέση. Η ακολουθία των βημάτων δίνεται ως εξής: Εστω ΑΒ ο τυχαίος άξονας, μήκους l, όπου Α(,, ) και B(,, ) Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 8

19 Α(,, ) l B(,, ).Μετατοπίζω τον αυθαίρετο άξονα ΑΒ κατά (-, -, - ) έτσι ώστε το Α να συμπέσει με την αρχή των αξόνων (,, ). (a, b, c) (,, ).Εκτελώ τις περιστροφές γύρω από τους άξονες και, για να ευθυγραμμιστεί ο αυθαίρετος άξονας με το θετικό άξονα. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 9

20 (a, b, c) (,, ) l a l φ l. Περιστρέφω ως προς τον άξονα με την επιθυμητή γωνία θ. l θ Εφαρμόζω αντίστροφες περιστροφές γύρω από τους άξονες και. Με τον τρόπο αυτό ο αυθαίρετος άξονας επιστρέφει στην αρχική του θέση. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

21 (a, b, c) l l (,, ) φ l a Εφαρμόζω την αντίστροφη μετατόπιση, για να τοποθετήσω τον αυθαίρετο άξονα στην αρχική θέση στο χώρο. l B(,, ) Α(,, ) Όλοι αυτοί οι μετασχηματισμοί αποτελούν αλληλουχία σε έναν απλό πίνακα που εκφράζεται από: Μ Τ (,, )* R ( α) * R ( ϕ) * R ( θ) * R ( ϕ) * R ( α) * T(,, ) (.) Ο κάθε πίνακας μετασχηματισμού σ αυτήν την έκφραση είναι δυνατόν να βρεθεί μέσω γεωμετρικών υπολογισμών. Η μετατόπιση Τ(-, -, - ) δίνεται από: Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

22 Τ(-, -, - ) (.). Για να δημιουργήσω τον πίνακα περιστροφής γύρω από τον άξονα, είναι απαραίτητο να υπολογίσω τη γωνία περιστροφής α. Η εικόνα. δείχνει ότι η γωνία α μπορεί να βρεθεί με την προβολή του τυχαίου άξονα στο επίπεδο. προβολή σημείου (a, b, c) Εικόνα. Η γωνία περιστροφής α μπορεί να βρεθεί με προβολή του τυχαίου άξονα πάνω στο επίπεσο Από αυτήν την προβολή: περιστροφή σημείου (a, b, c) sin α b b + c b d (.7) cos α b c + c c d Ακολουθώντας τη θετική κατεύθυνση περιστροφής γύρω από τον άξονα χ, ο πίνακας μετασχηματισμού μπορεί να γραφεί: Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

23 R ( α) cosα sinα sinα cosα c d b d b d c d (.8) Η γωνία περιστροφής φ γύρω από τον άξονα φαίνεται στην εικόνα.. (a, b, c) l προβολή σημείου (a,, d) d φ l περιστροφή σημείου (,, l) (α,, d) Εικόνα. Γωνία περιστροφής φ sin φ l α (.9) cos φ l d Σημειώνουμε ότι η περιστροφή γύρω από τον άξονα είναι αρνητική και l α +b +c (εικόνα.) είναι. Ενώ η τιμή του d, στο σημείο περιστροφής (α,, d) του επιπέδου, d + b c λόγω των παρακάτω σχέσεων Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

24 α + b + c l α + d l (.) ή α + b + c α + d από τις οποίες προκύπτει d + b c (.) Η περιστροφή σύμφωνα με τους δείκτες του ρολογιού γύρω από τον άξονα δίνεται από τον πίνακα: R ( ϕ) cosϕ sinϕ sinθ cosφ d l α l α l d l (.) Η περιστροφή γύρω από τον τυχαίο άξονα τώρα τοποθετείται κατά μήκος του άξονα και τελικά επιτυγχάνεται με: R ( θ) cos θ sin θ sin θ cos θ (.) Στη σνέχεια εφαρμόζουμε τους αντίστροφους πίνακες μετασχηματισμού, για να λύσουμε το πρόβλημα. Παράδειγμα. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

25 Βρείτε τις καινούριες συντεταγμένες του μοναδιαίου κύβου (εικόνα.7) που περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα, που ορίζεται από τα σημεία τέλους Α(,, ) και Β(,, ). Η γωνία περιστροφής πρέπει να είναι 9 μοίρες στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Λύση Εικόνα.7 Γεωμετρία του μοναδιαίου κύβου Για την επίλυση του προβλήματος θα ακολουθήσουμε τα βήματα που αναφέραμε προηγουμένως: Μετατοπίζω το σημείο Α στην αρχή A (,, ): T ( ) Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

26 B (,, ) A (,, ) Περιστρέφω τον άξονα Α Β γύρω από τον άξονα κατά γωνία α μέχρι να πέσει στο επίπεδο. Από τα προηγούμενα έχουμε: sin α + cos α (,, ) B (,, ) προβολή του Β d l α Α Β (,, ) και l + + Άρα Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

27 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 7 φ Α (,, ) ( ) α R.Περιστρέφω τον άξονα Α Β γύρω από τον άξονα με γωνία φ μέχρι να συμπέσει με τον άξονα. Από το παρακάτω σχήμα προκύπτουν οι σχέσεις sin φ cos φ και Β (,, )

28 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 8 ( ) ϕ R Περιστρέφω τον κύβο κατά 9 μοίρες γύρω από τον άξονα. ( ) 9 R Τελικά ο πίνακας περιστροφής M ΑΒ ως προς τον τυχαίο άξονα ΑΒ δίδεται από την παρακάτω σχέση: M AB * * ( ),, T ( ) α R ( ) ϕ R

29 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 9 * * * ( ) 9 R ( ) ϕ R ( ) α R ( ),, T Ο πολλαπλασιασμός του Μ ΑΒ με τον πίνακα σημείων του αρχικού κύβου μας δίνει τις μετασχηματισμένες συντεταγμένες που είναι: Ρ* P *Μ ΑΒ * P *

30 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ P* Άλλοι τρισδιάστατοι μετασχηματισμοί Ανάκλαση Οι ανακλάσεις, στον τρισδιάστατο χώρο (,, ), R f, R f, R f και R f(,, ), ως προς τα επίπεδα ανάκλασης,, και την αρχή των αξόνων (,, ) αντίστοιχα, προσδιορίζονται από τις παρακάτω σχέσεις. R f R f R f ( ) R,, f Πίνακες ανάκλασης

31 Παράδειγμα. ίνεται ένα σημείο Ρ(,, -). Καθρεφτίστε (ανάκλαση) το ως προς το επίπεδο που ορίζεται από τις κορυφές Α(,, ), Β(,, ) και Γ(,, ). Υποτίθεται ότι το σύστημα είναι δεξιόστροφο. Λύση Θα χρησιμοποιηθούν οι παρακάτω μετασχηματισμοί:. Περιστροφή, ως προς τον άξονα κατά γωνία θ, έτσι ώστε το επίπεδο ABΓ να συμπέσει με το επίπεδο (εικόνα.). Β Ρ(,, -) Α θ Γ (,, ) Εικόνα. Περιστροφή επιπέδου ΑΒΓ κατά γωνία θ, ως προς τον άξονα. όπου sin θ cosθ. Αντανάκλαση ως προς το επίπεδο.. Περιστροφή του ABΓ πίσω στην αρχική θέση. Ο πίνακας μετασχηματισμού δίνεται ως εξής: Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

32 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ M θ θ θ θ θ θ θ θ cos sin sin cos * * cos sin sin cos R (θ) R f R (-θ) * * Η εικόνα αντανάκλασης του σημείου Ρ είναι: Ρ* P*M ή Ρ* [ - ] * [ ] ή Ρ* [ ] Στρέβλωση Oι τρισδιάστατοι μετασχηματισμοί στρέβλωσης προκαλούν παραμορφώσεις στα αντικείμενα μεταβάλλοντας τις τιμές μιας ή δύο συντεταγμένων κατά ποσοστό ανάλογο προς την τρίτη. Αυτό σημαίνει ότι η στρέβλωση ως προς τα επίπεδα, και, ελέγχεται από τον τρίτο άξονα, και αντίστοιχα. Το αποτέλεσμα της στρέβλωσης προκύπτει από τους όρους, που δεν ανήκουν στην κύρια διαγώνιο και συγκεκριμένα από τον υποπίνακα, του γενικού πίνακα μετασχηματισμού.

33 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ S S S S S S (.) Παρακάτω δίδονται αναλυτικά οι πίνακες στρέβλωσης ως προς τα επίπεδα, &. Η στρέβλωση ως προς το επίπεδο δίδεται από τον πίνακα S S S h όπου, S και S είναι οι παράγοντες στρέβλωσης, ελέγχονται από τον άξονα (παραμένει αμετάβλητη η συντεταγμένη ), κατά μήκος των αξόνων και αντίστοιχα Η στρέβλωση ως προς το επίπεδο δίδεται από τον πίνακα S S S h όπου, S και S είναι οι παράγοντες στρέβλωσης, ελέγχονται από τον άξονα (παραμένει αμετάβλητη η συντεταγμένη ), κατά μήκος των αξόνων και αντίστοιχα. Η στρέβλωση ως προς το επίπεδο δίδεται από τον πίνακα S S S h όπου, S και S είναι οι παράγοντες στρέβλωσης, ελέγχονται από τον άξονα (παραμένει αμετάβλητη η συντεταγμένη ), κατά μήκος των αξόνων και αντίστοιχα

34 Μετασχηματισμός συστήματος συντεταγμένων. Μέχρι τώρα όλοι οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί εκτελούνται μέσα στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Παρόλα αυτά σε πολλές εφαρμογές υπάρχει ανάγκη να περάσουμε από ένα σύστημα συντεταγμένων σε ένα άλλο. Η εικόνα. δείχνει τη χρήση πολλαπλών συστημάτων εξομοιώνοντας τις κινήσεις ενός ρομπότ. βραχίονες αρχή των αξόνων, παγκοσμίου συσήματος συντεταγμένων Γ λαβή εικόνα. Το ρομπότ μετακινείται στο επίπεδο του παγκοσμίου συστήματος συντεταγμένων. Οι βραχίονες και η λαβή όμως εκτελούν κυκλική κίνηση σε σχέση με τα συστήματα συντεταγμένων που είναι ορισμένα στα Α, Β και Γ. Οι μετασχηματισμοί συντεταγμένων μπορούν να εφαρμοστούν, αν καθορίσουμε πως για το ίδιο αντικείμενο ένα σύστημα συντεταγμένων σχετίζεται με ένα άλλο σύστημα. Αυτό επιτυγχάνεται με μια σειρά μετασχηματισμών, μετατοπίσεων, περιστροφών, αλλαγών κλίμακας (κλιμάκωσης) κ.λ.π που επιβάλλουν τα δύο συστήματα συντεταγμένων. Το ακόλουθο παράδειγμα παρουσιάζει αυτή τη διαδικασία. Παράδειγμα. Η αρχή των αξόνων Γ(,, ) του συστήματος συντεταγμένων (,, ) του βραχίονα ΒΓ ενός ρομπότ (εικόνα.) είναι τοποθετημένη στο (,, ) ως προς το παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων (,, ) και υφίσταται μια περιστροφή ο μοιρών γύρω από τον άξονα. Μετά την περιστροφή, η άκρη της λαβής έχει συντεταγμένες (,, ) ως προς το δικό της σύστημα συντεταγμένων (,, ). Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

35 Ο βραχίονας ΒΓ πρέπει προηγουμένως να περιστραφεί γύρω από τον άξονα κατά ο σύμφωνα με τους δείκτες του ρολογιού. Βρείτε τις τελικές συντεταγμένες της άκρης της λαβής ως προς το παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων (,, ). Λύση Η λύση επιτυγχάνεται εκτελώντας πρώτα την ο περιστροφή του βραχίονα γύρω από τον άξονα. Εν συνεχεία το σύστημα συντεταγμένων του βραχίονα μετά από μια περιστροφή ο γύρω από τον άξονα του παγκοσμίου συστήματος και μια μετατόπιση της αρχής των αξόνών του κατά (,, ) δίδει τις μετασχηματισμένες συντεταγμένες του σημείου (,, ) που αναπαριστά την άκρη της λαβής. o cos o sin [ ] [ ]* o o cos sin o o sin cos * * [7.. ] sin cos o o Περίληψη Αυτό το κεφάλαιο περιγράφει τους τρισδιάστατους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς ως σημαντικά εργαλεία δημιουργίας και επεξεργασίας μοντέλων. Αυτοί οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί μπορούν να συνδυαστούν με σκοπό να παράγουν το επιθυμητό αποτέλεσμα με έναν απλό μετασχηματισμό που μπορεί να αναπαρασταθεί από έναν πίνακα. Τους τρισδιάστατους αυτούς μετασχηματισμούς είναι δυσκολότερο να τους φανταστεί κανείς απ ότι τους δισδιάστατους, αλλά είναι σημαντικοί και χρήσιμοι σε διάφορες εφαρμογές. Για παράδειγμα, πολλά αντικείμενα μπορεί να περιγραφούν ως συνδυασμοί απλών όγκων, όπως κύβοι, κύλινδροι κ.λ.π. Οι απαραίτητοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί μπορούν να εφαρμοστούν και σε μονάδες όγκου για να παράγουν το τελικό επιθυμητό σχήμα και μέγεθος. Αυτή η προσέγγιση μειώνει τον αριθμό των βασικών σχημάτων που ένα γεωμετρικό σύστημα μοντέλων πρέπει να παρέχει. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ