ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ 1

1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ Οι αρχαίοι Έλληνες ανακάλυψαν από το 600 π.χ. ότι, το κεχριμπάρι μπορεί να έλκει άλλα αντικείμενα όταν το τρίψουμε με μαλλί. Σήμερα λέμε πως το κεχριμπάρι απέκτησε ηλεκτρικό φορτίο ή ότι φορτίστηκε. H λέξη «ηλεκτρικό» παράγεται από τη λέξη ήλεκτρον, πού σημαίνει κεχριμπάρι. Πολλά πειράματα έχουν δείξει πως υπάρχουν ακριβώς δύο (κι όχι περισσότερα) είδη ηλεκτρικού φορτίου. O Βενιαμίν Φρανγκλίνος (1706-1790) πρότεινε τις ονομασίες θετικό και αρνητικό γι' αυτά τα δύο είδη φορτίων. Δύο θετικά φορτία ή δύο αρνητικά φορτία αλληλοαπωθούνται. Ένα θετικό κι ένα αρνητικό φορτίο έλκονται. Σχήμα 1 2

2. ΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΜΟΝΩΤΕΣ, ΦΟΡΤΙΣΗ ΕΞ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Μερικά υλικά επιτρέπουν στο ηλεκτρικό φορτίο να μετακινείται από μια περιοχή του υλικού σε άλλη και μερικά όχι. Έτσι το χάλκινο σύρμα λέγεται αγωγός του ηλεκτρισμού, ενώ υλικά όπως νάιλον κλωστή ή λάστιχο δεν μεταφέρουν φορτίο. Αυτά τα υλικά λέγονται μονωτές. Οι αγωγοί επιτρέπουν την κίνηση φορτίου μέσα στο υλικό τους οι μονωτές όχι. Τα περισσότερα μέταλλα είναι καλοί αγωγοί και τα περισσότερα αμέταλλα είναι μονωτές. Το Σχ. 22-3 δείχνει ένα παράδειγμα φόρτισης με επαγωγή. Μια μεταλλική σφαίρα στηρίζεται σε μονωτικό υποστήριγμα. Αν φέρετε κοντά στη ράβδο αρνητικό φορτίο, τα ελεύθερα ηλεκτρόνια της μεταλλικής σφαίρας απωθούνται προς τα δεξιά. Δεν μπορούν να φύγουν από τη σφαίρα αφού το υποστήριγμα και o αέρας γύρω είναι μονωτές. Επομένως, έχουμε περίσσευμα αρνητικών φορτίων στη δεξιά επιφάνεια της σφαίρας και περίσσευμα θετικών φορτίων στην αριστερή επιφάνεια. Αυτά τα φορτία λέγονται φορτία εξ επαγωγής. 3

2. ΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΜΟΝΩΤΕΣ, ΦΟΡΤΙΣΗ ΕΞ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Η μετακίνηση των ελεύθερων ηλεκτρονίων προς τη δεξιά επιφάνεια της σφαίρας σταματά, όταν η δύναμη που εξασκείται σε ένα ηλεκτρόνιο προς τα δεξιά εξαιτίας της φορτισμένης ράβδου ισούται ακριβώς με τη δύναμη προς τα αριστερά από το εξ επαγωγής φορτίο. Αν απομακρύνουμε τη φορτισμένη ράβδο, τα ελεύθερα ηλεκτρόνια επιστρέφουν στα αριστερά και αποκαθίσταται η αρχική ουδέτερη κατάσταση. Αν στη δεξιά επιφάνεια της σφαίρας συνδεθεί αγώγιμο σύρμα, του οποίου το άλλο άκρο είναι γειωμένο, ενώ η πλαστική ράβδος εξακολουθεί να βρίσκεται κοντά, τότε ένα μέρος από το αρνητικό φορτίο ρέει μέσω του σύρματος προς τη Γη. Αν τώρα αποσυνδεθεί το σύρμα (Σχ. 22-3d) και στη συνέχεια απομακρυνθεί η ράβδος (Σχ. 22-3e), τότε απομένει στη σφαίρα θετικό φορτίο. Το αρνητικό φορτίο της ράβδου δεν αλλάζει κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας. Η Γη παίρνει αρνητικό φορτίο ίσο κατά μέτρο με το θετικό εξ επαγωγής φορτίο που απέμεινε στη σφαίρα. 4

2. ΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΜΟΝΩΤΕΣ, ΦΟΡΤΙΣΗ ΕΞ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Ένα φορτισμένο σώμα μπορεί να εξασκεί δυνάμεις ακόμα και σε αντικείμενα που δεν είναι φορτισμένα. Αυτή η αλληλεπίδραση είναι αποτέλεσμα επαγωγής φορτίου. Παρόλο που το συνολικό φορτίο της σφαίρας στο Σχ. 22-3b είναι μηδέν, η πλαστική ράβδος εξασκεί στη σφαίρα συνισταμένη ελκτική δύναμη, αφού τα θετικά φορτία βρίσκονται πλησιέστερα στη ράβδο από τα αρνητικά φορτία. Ακόμα και τα φορτία ενός μονωτή μπορούν να κινηθούν λιγάκι δεξιά-αριστερά όταν υπάρχει κάποιο φορτίο κοντά. Στο Σχ. 22-4, μια πλαστική χτένα φορτισμένη αρνητικά προσανατολίζει ελαφρά τα φορτία ακόμα και μονωτικών υλικών αυτό το φαινόμενο ονομάζεται πόλωση. Στο υλικό υπάρχουν ίσες ποσότητες θετικών και αρνητικών φορτίων αλλά τα θετικά φορτία βρίσκονται πλησιέστερα στην πλαστική ράβδο και δέχονται ισχυρότερες ελκτικές δυνάμεις από τις απωστικές δυνάμεις που δέχονται τα αρνητικά φορτία: Το αποτέλεσμα είναι μια συνηθισμένη ελκτική δύναμη. 5

3. Ο ΝΌΜΟΣ ΤΟΥ COULOMB Ο Charles Augustίn Cοulοmb (Κουλόμπ, 1736-1806) μελέτησε λεπτομερώς τις δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ φορτισμένων σωμάτων χρησιμοποιώντας ζυγό στρέψης (Σχ. 22-6a). Για σημειακά φορτία (φορτισμένα σώματα πολύ μικρά σε σχέση με την απόσταση r μεταξύ τους), o Coulomb βρήκε ότι η ηλεκτρική δύναμη είναι ανάλογη του 1/r 2. H δύναμη εξαρτάται επίσης από την ποσότητα φορτίου καθενός σώματος, την οποία θα συμβολίζουμε με q ή Q. Βρήκε ότι οι δυνάμεις, που εξασκούν δυο σημειακά φορτία, q 1, και q 2, το ένα στο άλλο, είναι ανάλογες καθενός φορτίου και επομένως ανάλογες του γινομένου q 1 q 2 των δύο φορτίων. Δύο σημειακά φορτία q 1 και q 2 σε απόσταση r μεταξύ τους, εξασκούν το ένα στο άλλο δύναμη της οποίας το μέτρο F μπορεί να εκφραστεί ως 6

3. Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ COULOMB Οι κατευθύνσεις των δυνάμεων που τα δύο φορτία εξασκούν το ένα στο άλλο, βρίσκονται πάντα πάνω στη γραμμή που τα συνδέει. Οι δυο δυνάμεις έχουν αντίθετες κατευθύνσεις και είναι πάντα ίσες κατά μέτρο, ακόμα και όταν τα φορτία δεν είναι ίσα. Οι δυνάμεις υπακούουν στον τρίτο νόμο του Νεύτωνα. Όταν δυο φορτία ασκούν συγχρόνως δυνάμεις σε τρίτο φορτίο, η ολική δύναμη σε αυτό το τρίτο φορτίο είναι το διανυσματικό άθροισμα των δυνάμεων που θα του ασκούσε καθένα από τα δύο φορτία ξεχωριστά. Αυτή η σημαντική ιδιότητα, που είναι αποτέλεσμα της αρχής της επαλληλίας, ισχύει για κάθε αριθμό φορτίων. Οι σταθερές στην Εξ. (22-2) είναι περίπου 1/4πε ο = k = 8,988 x 10 9 Ν m 2 /C 2 και ε ο = 8,854 x 10-12 C 2 /Ν m 2 Η πιο θεμελιώδης μονάδα φορτίου είναι το μέτρο του φορτίου του ηλεκτρονίου ή του πρωτονίου, που συμβολίζεται με e και ισούται με e = 1,60217733 x 10-19 C. Ένα cοulοmb αντιπροσωπεύει το αντίθετο του ολικού φορτίου περίπου 6 x 10 18 ηλεκτρονίων. Χαρακτηριστικές τάξεις μεγέθους φορτίων είναι 10-9 ως 10-6 C. Ως πρακτικές μονάδες φορτίου, χρησιμοποιούμε το microcoulomb (1μC = 10-6 C) και το nanocoulomb (1nC =10-9 C). 7

4. ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Θεωρούμε ότι φορτισμένο σώμα Α παράγει ή προκαλεί ηλεκτρικό πεδίο στο σημείο P. Έτσι, όταν το σημειακό φορτίο B τοποθετείται στο σημείο P και υφίσταται τη δύναμη F που εξασκείται στο B από το πεδίο στο P (Σχ. 22-9c). Κάθε γειτονικό σημείο του A εξασκεί δύναμη στο B, υπάρχει άρα ηλεκτρικό πεδίο σε όλα τα σημεία γύρω από το Α. H δύναμη είναι διανυσματική ποσότητα, οπότε και το ηλεκτρικό πεδίο είναι επίσης διανυσματική ποσότητα. Για να ορίσουμε το ηλεκτρικό πεδίο E σε οποιοδήποτε σημείο, τοποθετούμε σε εκείνο το σημείο ένα δοκιμαστικό φορτίο q και μετράμε την ηλεκτρική δύναμη F που δέχεται (Σχ. 22-9c). Ορίζουμε το E στο σημείο εκείνο ως το F δια το q : 8

4. ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Το δοκιμαστικό φορτίο q μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό. Αν είναι θετικό, οι κατευθύνσεις των E και F είναι ίδιες αν είναι αρνητικό, αυτές είναι αντίθετες (Σχ. 22-10). Σε μονάδες SI, όπου η μονάδα δύναμης είναι 1 N και η μονάδα φορτίου 1 C, η μονάδα του μεγέθους του ηλεκτρικού πεδίου είναι ένα newton ανά cοulοmb (1 N/C). Είναι εύκολο να βρούμε το ηλεκτρικό πεδίο του οποίου η πηγή είναι σημειακό φορτίο q. Καλούμε σημείο πηγής S τη θέση του φορτίου και σημείο πεδίου P το σημείο όπου θα προσδιορίσουμε το ηλεκτρικό πεδίο. Εισαγάγουμε ένα μοναδιαίο διάνυσμα, που κατευθύνεται από το σημείο της πηγής προς το σημείο του πεδίου. Αν θέσουμε ένα μικρό δοκιμαστικό φορτίο q στο σημείο P του πεδίου σε απόσταση r από το σημείο της πηγής, η δύναμη F δίνεται από τον νόμο του Cοulοmb, 9

4. ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Βρίσκουμε πως το μέτρο E του ηλεκτρικού πεδίου στο P είναι Χρησιμοποιώντας το μοναδιαίο διάνυσμα, μπορούμε να γράψουμε μια διανυσματική εξίσωση, που δίνει τόσο το μέτρο όσο και την κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου E: Εξ ορισμού, το ηλεκτρικό πεδίο σημειακού φορτίου πάντα βγαίνει από ένα θετικό φορτίο αλλά κατευθύνεται προς ένα αρνητικό φορτίο. 10

5. ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ Οι γραμμές του ηλεκτρικού πεδίου μπορούν να μας βοηθήσουν πολύ να καταλάβουμε τα ηλεκτρικά πεδία κάνοντάς τα να φαίνονται πιο πραγματικά. Μια δυναμική γραμμή ηλεκτρικού πεδίου τη σχεδιάζουμε σε μια περιοχή του χώρου έτσι ώστε σε κάθε σημείο να εφάπτεται στο διάνυσμα του ηλεκτρικού πεδίου. H βασική ιδέα φαίνεται στο Σχ. 22-19. Οι ηλεκτρικές δυναμικές γραμμές δείχνουν την κατεύθυνση του E σε κάθε σημείο οι αποστάσεις μεταξύ τους δίνουν μια ιδέα για το μέγεθος του E. Όταν το E είναι ισχυρό, είναι πυκνές γραμμές όπου το E είναι πιο ασθενές, είναι πιο αραιές. Σε κάθε σημείο, το ηλεκτρικό πεδίο έχει μια μοναδική κατεύθυνση, οπότε από κάθε σημείο του χώρου περνάει μόνο μια δυναμική γραμμή. Με άλλα λόγια, οι δυναμικές γραμμές δεν τέμνονται ποτέ. 11

5. ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ Το Σχ. 22-20 δείχνει μερικές ηλεκτρικές δυναμικές γραμμές σε επίπεδο που περιέχει (α) ένα μοναδικό θετικό φορτίο, (b) δύο φορτία ίσα κατά μέτρο, το ένα θετικό και το άλλο αρνητικό (ένα δίπολο) και (c) δύο ίσα θετικά φορτία. H κατεύθυνση του συνολικού ηλεκτρικού πεδίου σε κάθε σημείο καθενός διαγράμματος, εφάπτεται στη δυναμική γραμμή που περνάει από εκείνο το σημείο. Τα βέλη στις δυναμικές γραμμές ορίζουν την κατεύθυνση του διανύσματος E του ηλεκτρικού πεδίου. Στις περιοχές όσου το ηλεκτρικό πεδίο είναι ισχυρό οι δυναμικές γραμμές είναι πυκνές. Στις περιοχές όπου το πεδίο είναι ασθενές οι γραμμές είναι αραιές. Οι δυναμικές γραμμές ενός ομογενούς πεδίου είναι ισαπέχουσες παράλληλες ευθείες. 12

6. ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΔΙΠΟΛΑ Ένα ηλεκτρικό δίπολο είναι ζεύγος ηλεκτρικών φορτίων με ίσα μέτρα και αντίθετα πρόσημα q και -q, σε απόσταση l. Πρώτα, θα υπολογίσουμε τις δυνάμεις και τις ροπές που υφίσταται ένα ηλεκτρικό δίπολο μέσα σε εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο και στη συνέχεια θα βρούμε το πεδίο που δημιουργεί αυτό το δίπολο. Θεωρούμε ένα ηλεκτρικό δίπολο σε ομογενές εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο E. Οι δυνάμεις F + και F - που ασκούνται στα δύο φορτία έχουν το ίδιο μέτρο, qe, αλλά αντίθετες κατευθύνσεις και αλληλοαναιρούνται. H συνισταμένη δύναμη σε ηλεκτρικό δίπολο μέσα σε ομογενές εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο μηδενίζεται. Όμως, οι δυο δυνάμεις δεν είναι συγγραμμικές, οπότε η συνισταμένη ροπή τους δεν μηδενίζεται. Αυτές αποτελούν ζεύγος δυνάμεων. Αν φ είναι η γωνία μεταξύ του ηλεκτρικού πεδίου E και του άξονα του διπόλου, η ροπή τ που ασκείται από το δίπολο είναι 13

6. ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΔΙΠΟΛΑ όπου l sinφ είναι η απόσταση των φορέων των δύο δυνάμεων. Το γινόμενο του φορτίου q επί την απόσταση l είναι το μέτρο μιας ποσότητας που ονομάζεται ηλεκτρική διπολική ροπή και συμβολίζεται με p. Εκφρασμένο με τη βοήθεια της p, το μέτρο της ροπής τ που εξασκείται από το πεδίο είναι Η ηλεκτρική διπολική ροπή είναι ένα διανυσματικό μέγεθος p με μέτρο ql και κατεύθυνση από το αρνητικό προς το θετικό φορτίο πάνω στον άξονα του διπόλου. Έτσι, αν φ είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων p και E, τότε έχουμε τη διανυσματική σχέση για τη ροπή H ροπή είναι μέγιστη όταν τα p και E είναι κάθετα ενώ μηδενίζεται όταν αυτά είναι παράλληλα ή αντιπαράλληλα. H ροπή τείνει πάντα να περιστρέψει το p, ώστε να το ευθυγραμμίσει με το E. H θέση φ = 90, όπου το p είναι αντιπαράλληλο προς το Ε, αποτελεί θέση ασταθούς ισορροπίας. 14

6. ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΔΙΠΟΛΑ Για να αλλάξει την κατεύθυνση διπόλου μέσα σε πεδίο, η ροπή του ηλεκτρικού φορτίου εκτελεί έργο, με αντίστοιχη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας. Το έργο dw που εκτελεί μια ροπή τ κατά τη διάρκεια στροφής κατά dφ δίνεται από την εξίσωση: dw = τ dφ. Αφού η ροπή τείνει να μειώσει τη γωνία φ, έχουμε τ = -pε sin φ και Για πεπερασμένη στροφή από φ 1, ως φ 2, το ολικό έργο που εκτελείται πάνω στο δίπολο είναι Το έργο είναι το αντίθετο της μεταβολής της δυναμικής ενέργειας: W = U 1 U 2, άρα 15

6. ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΔΙΠΟΛΑ H δυναμική ενέργεια είναι ελάχιστη (δηλ. όσο πιο αρνητική γίνεται) στη θέση ευσταθούς ισορροπίας, όπου φ = 0 και το p είναι παράλληλο με το E, ενώ γίνεται μέγιστη όταν φ = π και το p είναι αντιπαράλληλο του E. Για φ = π/2, όπου το p είναι κάθετο στο E η δυναμική ενέργεια U μηδενίζεται. Το ηλεκτρικό δίπολο σαν πηγή ηλεκτρικού πεδίου απεικονίζεται στο Σχ. 22-24. Σε κάθε σημείο της εικόνας το ολικό πεδίο E είναι το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων των δυο φορτίων. 16

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 17