ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

Transcript

1 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1

2 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν μια δύναμη F δρα πάνω σε ένα σωμάτιο που κινείται από ένα σημείο a σε ένα σημείο b, το έργο που παράγεται από τη δύναμη αυτή, W α b, είναι W a b b a F dl όπου dl είναι στοιχειώδες μήκος στην τροχιά του σωματίου και φ είναι η γωνία μεταξύ της F και του dl. Δεύτερον, εάν το πεδίο δυνάμεων είναι συντηρητικό, το έργο μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της δυναμικής ενέργειας U. Όταν το σωμάτιο κινείται από ένα σημείο όπου η δυναμική ενέργεια είναι U α, σε άλλο σημείο με δυναμική ενέργεια U b, το έργο W α b που παράγεται είναι W a b U a Όταν το έργο W α b είναι θετικό, η U α είναι μεγαλύτερη από την U b οπότε η δυναμική ενέργεια ελαττώνεται. b a U F cos dl b 2

3 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Τρίτον, το θεώρημα έργου - ενέργειας λέει ότι η μεταβολή στην κινητική ενέργεια (K b - K α ) κατά τη διάρκεια οποιασδήποτε μετατόπισης είναι ίση με το συνολικό έργο που παράγεται στο σωμάτιο. Έτσι, έχουμε K b - K α = U α - U b, ή αλλιώς K a U a K Έστω στην περίπτωση του σχήματος ένα ζευγάρι φορτισμένες παράλληλες μεταλλικές πλάκες δημιουργούν ένα ομογενές ηλεκτρικό πεδίο με ένταση E. Το πεδίο εξασκεί μια δύναμη προς τα κάτω με μέτρο F = q'ε στο θετικό φορτίο q', καθώς το φορτίο διανύει μια απόσταση d από το σημείο α στο σημείο b. H δύναμη στο φορτίο είναι σταθερή, ανεξάρτητη από τη θέση του, οπότε το έργο που παράγεται από το ηλεκτρικό πεδίο είναι b U b Μπορούμε να παραστήσουμε αυτό το έργο ως μια συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας U, η δυναμική ενέργεια για τη δύναμη του ηλεκτρικού πεδίου F y = -q'ε είναι 3

4 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Όταν το δοκιμαστικό φορτίο κινείται από το ύψος y α στο ύψος y b, το έργο που παράγεται πάνω στο φορτίο από το πεδίο, δίνεται από W a b U a U b q E y a q E y b q E y a y b Όταν το y α είναι μεγαλύτερο από το y b (Σχ. 24-2a), το σωμάτιο κινείται προς την ίδια κατεύθυνση με αυτήν του πεδίου E, η U ελαττώνεται και το πεδίο παράγει θετικό έργο. Αν y α = d και y b = 0, τότε έχουμε W α b = q'εd. Εάν το δοκιμαστικό φορτίο q' είναι αρνητικό, η δυναμική ενέργεια αυξάνει όταν το φορτίο κινείται προς τη φορά του πεδίου και ελαττώνεται όταν το φορτίο κινείται αντίθετα προς αυτήν 4

5 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε το έργο που παράγεται σε ένα φορτίο q' το οποίο κινείται μέσα στο ηλεκτρικό πεδίο που προκαλείται από ένα στατικό σημειακό φορτίο q. Θα εξετάσουμε αρχικά μια μετατόπιση κατά μήκος της ακτινικής γραμμής, από το σημείο α στο σημείο b. H δύναμη δεν είναι σταθερή γι' αυτό θα πρέπει να ολοκληρώσουμε για να υπολογίσουμε το έργο που παράγεται πάνω στο q'. H δύναμη στο q' δίνεται από το νόμο του Coulomb και η είναι Το έργο W α b που παράγεται στο q' από τη δύναμη F r, καθώς κινείται από το σημείο α στο b είναι Εξαρτάται μόνο από τα ακραία σημεία της τροχιάς. 5

6 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Το έργο παραμένει ίδιο για όλες τις δυνατές τροχιές από το α στο b. Αυτό φαίνεται στην περίπτωση του Σχ. τα σημεία α και b δεν βρίσκονται πάνω στην ίδια ακτινική ευθεία, το έργο που παράγεται στο q' δίνεται από Το σχήμα δείχνει ότι cos φ dl = dr. Άρα, το έργο που παράγεται σε μετατόπιση dl εξαρτάται μόνο από τη μεταβολή dr της απόστασης r μεταξύ των φορτίων, η οποία είναι η ακτινική συνιστώσα της μετατόπισης, επομένως η πιο πάνω εξίσωση δίνει το έργο και στην πιο γενική μορφή μετατόπισης. H εξίσωση αυτή δείχνει ότι το έργο που παράγεται στο q' εξαρτάται μόνο από τα r α και r b. Εάν το φορτίο q' επιστρέψει στο σημείο α από μια διαφορετική τροχιά, το συνολικό έργο σε αυτή τη διαδρομή είναι μηδέν. Αυτά είναι χαρακτηριστικά ενός συντηρητικού πεδίου δυνάμεων. 6

7 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Συγκρίνοντας τις εξισώσεις βλέπουμε ότι το qq'/4πε o r α είναι η δυναμική ενέργεια U α όταν το q' βρίσκεται στο σημείο α, ενώ qq'/4πε o r b είναι η δυναμική ενέργεια U b όταν το q' βρίσκεται στο σημείο b. Επομένως, όταν το δοκιμαστικά φορτίο q' βρίσκεται σε μια οποιαδήποτε απόσταση r από το φορτίο q, η δυναμική ενέργεια U είναι H δυναμική ενέργεια πάντα καθορίζεται σε σχέση με κάποιο σημείο αναφοράς στο οποίο U = 0. Στην Εξ. (24-9) η U είναι μηδέν όταν η απόσταση μεταξύ των q και q' είναι άπειρη, δηλαδή r =. Άρα η U παριστάνει το έργο που προσφέρεται στο φορτίο q' από το πεδίο του q όταν το q' κινείται από μια αρχική απόσταση r μέχρι το άπειρο. Εάν το q και το q' έχουν το ίδιο πρόσημο, η αλληλεπίδραση είναι απωστική, το έργο είναι θετικό και η U είναι θετική σε κάθε πεπερασμένη απόσταση. Εάν έχουν αντίθετο πρόσημο, η αλληλεπίδραση είναι ελκτική και η U είναι αρνητική. Μπορούμε να παρουσιάσουμε κάθε κατανομή φορτίων ως ένα σύνολο σημειακών φορτίων, συνεπώς μπορούμε πάντοτε να βρούμε μια συνάρτηση δυναμικής ενέργειας για κάθε στατικό ηλεκτρικό πεδίο. Συνεπώς κάθε ηλεκτρικό πεδίο που οφείλεται σε στατική κατανομή φορτίων, είναι ένα συντηρητικό πεδίο δυνάμεων. 7

8 2. ΔΥΝΑΜΙΚΟ Θα εισαγάγουμε τη δυναμική ενέργεια "ανά μονάδα φορτίου", ακριβώς όπως η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου ως δύναμη σε φορτισμένο σωμάτιο εισάγεται "ανά μονάδα φορτίου". Δηλαδή θα εισάγουμε την έννοια του ηλεκτρικού δυναμικού, που συχνά καλείται απλά δυναμικό. Το δυναμικό είναι η δυναμική ενέργεια ανά μονάδα φορτίου. Ορίζουμε το δυναμικό V σε κάθε σημείο εντός ηλεκτρικού πεδίου ως τη δυναμική ενέργεια U που συνδέεται με ένα δοκιμαστικό φορτίο q' σε αυτό το σημείο, δια του φορτίου q': H δυναμική ενέργεια και το φορτίο είναι και τα δύο βαθμωτά μεγέθη, έτσι και το δυναμικό είναι βαθμωτή ποσότητα. Οι μονάδες του είναι ενέργεια διά φορτίο. H μονάδα του δυναμικού στο σύστημα SΙ 1 J/C, ονομάζεται volt (1 V) προς τιμήν του Alessandro Volta (Βόλτα, ). Το δυναμικό V σε ένα σημείο, που οφείλεται σε σύνολο σημειακών φορτίων είναι ίσο με: 8

9 2. ΔΥΝΑΜΙΚΟ Όταν έχουμε μια συνεχή κατανομή φορτίου κατά μήκος γραμμής, επάνω σε επιφάνεια ή μέσα σε όγκο, διαιρούμε το φορτίο σε στοιχεία dq και το άθροισμα γίνεται ολοκλήρωμα όπου το r είναι η απόσταση από το dq προς το σημείο του πεδίου όπου υπολογίζουμε το V. Η Εξ. (24-14) υπολογίζει το δυναμικό V όταν είναι γνωστή η κατανομή φορτίων. Σε περιπτώσεις όπου το πεδίο E είναι γνωστό ή μπορεί να βρεθεί εύκολα, είναι ευκολότερο να δουλέψουμε κατευθείαν με το πεδίο. H δύναμη F πάνω στο δοκιμαστικό φορτίο q' μπορεί να γραφεί ως F = q'ε, έτσι έχουμε για το έργο Διαιρώντας την πιο πάνω εξίσωση με το φορτίο q την εξίσωση για το δυναμικό 9

10 2. ΔΥΝΑΜΙΚΟ H διαφορά V α - V b ονομάζεται το δυναμικό του a ως προς το b, V αb = V α - V b. Το δυναμικό, όπως το ηλεκτρικό πεδίο, είναι ανεξάρτητο από το δοκιμαστικό φορτίο q' που χρησιμοποιούμε για να το ορίσουμε. Όταν ένα θετικό δοκιμαστικό φορτίο κινείται από υψηλότερο σε χαμηλότερο δυναμικό (δηλαδή V α > V b ), το ηλεκτρικό πεδίο παράγει θετικό έργο. Το αντίθετο αληθεύει για αρνητικό φορτίο. 'Ένα όργανο που μετράει τη διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων ονομάζεται βολτόμετρο. Υπάρχουν επίσης πολύ πιο ευαίσθητα όργανα μέτρησης δυναμικού που χρησιμοποιούν ηλεκτρονική ενίσχυση. Όργανα που μπορούν να μετρούν διαφορά δυναμικού 1 μv είναι συνηθισμένα και μπορούν να επιτευχθούν ευαισθησίες ως V. 10

11 3. ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ Οι δυναμικές γραμμές μας βοηθούν να αποκτήσουμε εποπτεία των ηλεκτρικών πεδίων. Κατά παρόμοιο τρόπο το δυναμικό σε διάφορα σημεία μέσα σε ηλεκτρικό πεδίο μπορεί να παρασταθεί γραφικά από ισοδυναμικές επιφάνειες. Μια ισοδυναμική επιφάνεια ορίζεται ως μια επιφάνεια στην οποία το δυναμικό είναι το ίδιο σε κάθε της σημείο. Σε περιοχή που υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο μπορούμε να κατασκευάσουμε μια ισοδυναμική επιφάνεια που περνάει από οποιοδήποτε σημείο. Κανένα σημείο δεν μπορεί να έχει δύο διαφορετικά δυναμικά, έτσι οι διάφορες ισοδυναμικές επιφάνειες δεν μπορούν ποτέ να εφάπτονται ή να τέμνονται. 11

12 3. ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ Η δυναμική ενέργεια ενός δοκιμαστικού φορτίου είναι η ίδια σε κάθε σημείο δεδομένης ισοδυναμικής επιφάνειας, έτσι το πεδίο E δεν παράγει έργο όταν το δοκιμαστικό φορτίο κινείται από σημείο σε σημείο πάνω σε μια τέτοια επιφάνεια. Το E πρέπει να είναι κάθετο προς την ισοδυναμική επιφάνεια σε κάθε σημείο. Οι δυναμικές γραμμές και οι ισοδυναμικές επιφάνειες είναι πάντοτε κάθετες μεταξύ τους. Γενικά, οι δυναμικές γραμμές είναι καμπύλες γραμμές και οι ισοδυναμικές είναι καμπύλες επιφάνειες. Στην ειδική περίπτωση ομογενούς πεδίου, στο οποίο οι δυναμικές γραμμές είναι ευθείες παράλληλες και ισαπέχουσες, οι ισοδυναμικές είναι παράλληλα επίπεδα κάθετα προς τις δυναμικές γραμμές. 12

13 4. ΒΑΘΜΙΔΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Το ηλεκτρικό πεδίο και το δυναμικό είναι στενά συνδεδεμένα. Μια όψη αυτής της σχέσης φαίνεται στην εξίσωση: Εάν γνωρίζουμε το E σε διάφορα σημεία, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή την εξίσωση για να υπολογίσουμε διαφορές δυναμικού. Επίσης, εάν γνωρίζουμε το δυναμικό V σε διάφορα σημεία, μπορούμε να το χρησιμοποιούμε για να προσδιορίσουμε το E. Θεωρώντας το V ως συνάρτηση των συντεταγμένων (x, y, z) ενός σημείου στο χώρο, θα δείξουμε ότι οι συνιστώσες του E σχετίζονται άμεσα με τις μερικές παραγώγους του V ως προς x, y και z. Για κάθε απειροστή μετατόπιση dl έχουμε: dv dv E dl ή E dl H παράγωγος dv/dl είναι o ρυθμός μεταβολής του V για μετατόπιση προς τη διεύθυνση τον dl. Εάν το dl είναι παράλληλο προς τον άξονα x, τότε η συνιστώσα του E είναι η συνιστώσα x, δηλαδή η Ε x. Έτσι, Ε x = - dv/dx. Το V είναι επίσης συνάρτηση των y και z, χρησιμοποιούμε το σύμβολο της μερικής παραγώγου, V/ x, όταν μόνο το x μεταβάλλεται. Οι συνιστώσες y και z του E σχετίζονται ομοίως με τις αντίστοιχες παραγώγους του V: 13

14 4. ΒΑΘΜΙΔΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Συναρτήσει των μοναδιαίων διανυσμάτων, μπορούμε να γράψουμε το E ως Με διανυσματικό συμβολισμό η πράξη ονομάζεται η βαθμίδα (gradient) της συνάρτησης f: O τελεστής με το σύμβολο ονομάζεται "del" (ντελ) ή ανάδελτα. Έτσι σε διανυσματικό συμβολισμό, οι Εξ. (24-25) γράφονται συνοπτικά ως 14

15 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 15