Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου 1. Μία ράβδος ΟΑ έχει μήκος l και περιστρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα Οz, που είναι κάθετος στο άκρο της Ο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί r η επαγώμενη ΗΕΔ στη ράβδο στις περιπτώσεις : α), β) όπου Β, και α σταθερές και r η απόσταση από τον άξονα Οz. z ω l ω ( α) l φ ( β) κάτοψη Υποθέτουμε ότι η ράβδος ξεκινά τη χρονική στιγμή t = από τη θέση ΟΑ και τη χρονική στιγμή t έχει διαγράψει γωνία φ. Η ράβδος, σε χρόνο t έχει σαρώσει τον κυκλικό τομέα που έχει ακτίνα l και γωνία φ. α) Για ομογενές μαγνητικό πεδίο, η μαγνητική ροή που έχει σαρώσει η ράβδος σε χρόνο t είναι ίση με : Όπου εμβαδόν του κυκλικού τομέα. Η επαγώμενη ΗΕΔ στα άκρα της ράβδου είναι Όπου d είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου. (3.1.1) (3.1.) Η πολικότητα βρίσκεται αν θεωρήσουμε ένα θετικό φορτίο στη ράβδο το οποίο έχει ταχύτητα κάθετη στη ράβδο και επειδή το μαγνητικό πεδίο είναι κάθετο στο σχήμα με φορά προς τα έξω η μαγνητική δύναμη F q που δέχεται το φορτίο έχει φορά προς το άκρο Α. d d 1

ω l F l φ dr κυκλικού τομέα είναι : Άρα το (+) βρίσκεται στο άκρο Α και το (-) στο Ο. Άρα είναι (3.1.3) r β) Αν το μαγνητικό πεδίο είναι, τότε δεν είναι ομογενές. Αν θεωρήσουμε στοιχειώδες εμβαδό d d του κυκλικού τομέα γωνίας φ έχουμε d d (3.1.4) και η μαγνητική ροή από την επιφάνεια του Η ολοκληρωτέα συνάρτηση εξαρτάται μόνο από τη μεταβλητή r. Έτσι για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος, θεωρούμε d το στοιχειώδες εμβαδό του τομέα όπου περιέχονται όλα τα σημεία του τομέα, τα οποία απέχουν από το Ο αποστάσεις οι οποίες βρίσκονται μεταξύ r, και r+dr. Είναι : d όπου dr θεωρείται αμελητέο. Έτσι η (3.1.5) γίνεται r d V V V r d d r dz ˆ (3.1.5) r d r dr r r dr r dr r d r dr 3 r dr 3 (3.1.6) Και η επαγώμενη ΗΕΔ είναι d 3 d 3 3 3 (3.1.7) Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση το (+) βρίσκεται στο άκρο Α και το (-) στο. Άρα είναι: V V V 3 3

. Ένας ευθύγραμμος αγωγός έχει άπειρο μήκος, βρίσκεται πάνω στον άξονα και I διαρρέεται από ρεύμα Ι. Μία ράβδος ΑΒ που έχει μήκος l κινείται με ταχύτητα ίση με α ˆ (σταθερή) ώστε να παραμένει κάθετη στον άξονα. Να βρεθεί η επαγώμενη ΗΕΔ στα άκρα της. Η απόσταση του άκρου Α της ράβδου από τον άξονα είναι ίση με α. d l Υποθέτουμε ότι η ράβδος ξεκίνησε από τη θέση Α Β. Τη χρονική στιγμή t βρίσκεται στη θέση και έχει σαρώσει το ορθογώνιο Α Β ΒΑ. Λόγω του ρεύματος Ι, το μαγνητικό πεδίο σε σημείο από τον άξονα είναι I (3..1) Ο άξονας z έχει θετική φορά προς τα έξω στο σχήμα ενώ το μαγνητικό πεδίο έχει φορά προς τα μέσα. Θεωρούμε στοιχειώδη επιφάνεια d d( ) και d d I d I d έχουμε : I Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος θεωρούμε τη λωρίδα εμβαδού d (3..) d ( ) d η οποία περιέχει όλα τα σημεία της επιφάνειας μεταξύ και d. Έτσι έχουμε: I ( ) d I ( Η επαγόμενη ΗΕΔ στα άκρα της ράβδου είναι : ) ln (3..3) d d d d I ln Όπου d η ταχύτητα της ράβδου. Ο θετικός ακροδέκτης της Ε ΗΕΔ βρίσκεται στο άκρο Α όπως προκύπτει από τη φορά της μαγνητικής δύναμης σε θετικό φορτίο του αγωγού. 3

3. Ένας ευθύγραμμος αγωγός έχει άπειρο μήκος, βρίσκεται πάνω στον άξονα και I διαρρέεται από ρεύμα Ι. Ένα ορθογώνιο συρμάτινο πλαίσιο βρίσκεται στο επίπεδο με τη μια του πλευρά παράλληλη στον αγωγό, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν το πλαίσιο κινηθεί με σταθερή ταχύτητα ˆ, να υπολογιστεί η επαγώμενη ΗΕΔ στο πλαίσιο. Αν η ωμική αντίσταση να υπολογιστεί το επαγόμενο ρεύμα στο πλαίσιο συναρτήσει του χρόνου. d d( ) και έχουμε : I Π α d d I d I d d β Το ορθογώνιο πλαίσιο κινείται μέσα στο μαγνητικό πεδίο του ευθύγραμμου αγωγού που διαρρέεται από σταθερό ρεύμα Ι. Όταν η αριστερή πλευρά του πλαισίου απέχει από τον ευθύγραμμα αγωγό το μαγνητικό πεδίο είναι I (3.3.1) Ο άξονας z έχει θετική φορά προς τα έξω στο σχήμα ενώ το μαγνητικό πεδίο έχει φορά προς τα μέσα. Θεωρούμε στοιχειώδη επιφάνεια I d (3.3.) Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος θεωρούμε τη λωρίδα εμβαδού περιέχει όλα τα σημεία της επιφάνειας μεταξύ και d. Έτσι έχουμε: d d η οποία I d I ln (3.3.3) Η ΗΕΔ στο πλαίσιο υπολογίζεται ως εξής: 4

d d d I d I 1 1 d Το συρμάτινο πλαίσιο είναι ένα ηλεκτρικό κύκλωμα με ωμική αντίσταση. Η ΗΕΔ παίζει το ρόλο της πηγής τάσεως στο κύκλωμα αυτό. Άρα το επαγωγικό ρεύμα στο κύκλωμα είναι : Η φορά του επαγόμενου ρεύματος καθορίζεται από τον κανόνα του Lenz και έχει σημειωθεί στο σχήμα. I I I 4. Η μεταλλική ράβδος που φαίνεται στο σχήμα, μάζας m και μήκους l, κινείτε σε δύο χωρίς τριβή παράλληλες ράγες παρουσία ενός ομοιόμορφου μαγνητικού πεδίου κάθετου στη σελίδα με φορά προς τη σελίδα. Στη μεταλλική ράβδο δίνεται, κατά τη χρονική στιγμή t =, μια αρχική ταχύτητα i προς τα δεξιά. α) Να βρεθεί η ταχύτητα της ράβδου ως συνάρτηση του χρόνου. β) Το επαγόμενο ρεύμα Ι ως συνάρτηση του χρόνου και γ) το μέγεθος της επαγόμενης ΗΕΔ ως συνάρτηση του χρόνου. α) Το προκληθέν ρεύμα είναι αντίθετο προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού, και η μαγνητική δύναμη είναι όπου το αρνητικό πρόσημο δείχνει ότι η δύναμη είναι προς τα αριστερά και επιβραδύνει την κίνηση. Αυτή είναι η μόνη οριζόντια δύναμη που ενεργεί στη ράβδο, και ως εκ τούτου ο δεύτερος νόμος Newton που εφαρμόζεται στην κίνηση κατά την οριζόντια κατεύθυνση δίνει F m m Το ρεύμα δίνεται από την πιο κάτω εξίσωση I d F I I (3.4.1) (3.4.) 5

Ενσωματώνοντας την πιο πάνω εξίσωση στη Εξ. (3.4.1) έχουμε : m d d m ολοκληρώνοντας την πιο πάνω εξίσωση για τις αρχικές συνθήκες που δίνονται = i και t = έχουμε τελικά η ταχύτητα δίνεται από τη σχέση: (3.4.3) Η πιο πάνω εξίσωση φανερώνει ότι η ταχύτητα της ράβδου ελαττώνεται εκθετικά με το χρόνο. i d m m β) Από τις εξισώσεις (3.4.) και (3.4.3) έχουμε την τελική εξίσωση για το ρεύμα t i e ln t m i t και για την ΗΕΔ I i e i t m e m t Οι πιο πάνω εξισώσεις δείχνουν ότι τόσο το επαγόμενο ρεύμα όσο και η ΗΕΔ μειώνονται με τον χρόνο. r 5. Ας υποθέσουμε ότι το Β στο Σχήμα αυξάνει με ρυθμό d /. Αν είναι η ακτίνα της κυλινδρικής περιοχής μέσα στην οποία θεωρούμε ότι υπάρχει μαγνητικό πεδίο, ποίο είναι το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου Ε σε οποιαδήποτε ακτίνα r ; Υποθέστε ότι d/=,1wb/m sec και = 1 cm. 6

. α) Για r <, η ροή Φ Β μέσα από το βρόχο είναι d r Αντικαθιστώντας στην Εξ. (3.1) έχουμε d dl d d r r 1 d r Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι το εξ επαγωγής ηλεκτρικό πεδίο Ε αντιδρά στη μεταβολή του μαγνητικού πεδίου. Αντικαθιστώντας τις αριθμητικές τιμές και υποθέτοντας ότι r = 5cm, παίρνουμε το μέτρο του Ε. β) Για r > η ροή μέσα από το βρόχο είναι Τελικά το επαγόμενο ηλεκτρικό πεδίο είναι,1wb 5 1 m,5 1 volt m 1 d 1 3 r / m sec Και οι δύο αυτές εκφράσεις για το Ε δίνουν ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα για r =. d d r 1 d r d 6. Μια αγώγιμη ράβδος μάζα m και μήκους l μπορεί να κινείται χωρίς τριβή πάνω σε δύο παράλληλες αγώγιμες ράβδους που σχηματίζουν κεκλιμένο επίπεδο με γωνία κλίσης α ως προς το οριζόντιο. Κατά την κίνησή της η ράβδος μπορεί και παραμένει οριζόντια. Οι παράλληλες ράβδοι συνδέονται στο κάτω μέρος με μια αντίσταση και όλο το σύστημα βρίσκεται μέσα σε ομογενές κατακόρυφο μαγνητικό πεδίο με φορά προς τα πάνω. Αν η ράβδος ξεκινά από την ηρεμία, να βρεθεί η ΗΕΔ στα άκρα της σα συνάρτηση του χρόνου t. 7

Τη χρονική στιγμή t η ράβδος βρίσκεται στη θέση και έχει σαρώσει εμβαδό ίσο μαγνητική ροή είναι ίση με και η γιατί μόνο συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου που Ι είναι κάθετη στην επιφάνεια συνεισφέρει στη μαγνητική ροή. Άρα η μαγνητική ροή είναι : cos F m α N α mg α α α Πλάγια όψη I Η ΗΕΔ στο κύκλωμα είναι (3.6.1) Λόγω της ΗΕΔ έχουμε στο κύκλωμα ρεύμα Ι : d cos cos cos d cos (3.6.) Έχουμε άγνωστη την ταχύτητα για το λόγω αυτό εξετάζουμε την κίνηση της ράβδου. Η ράβδος κινείται χωρίς τριβή δέχεται εκτός από το βάρος της και την κάθετη αντίδραση και τη μαγνητική δύναμη F m που έχει φορά αντίθετη της κίνησης σύμφωνα και με τη φορά του επαγωγικού ρεύματος που φαίνεται στο σχήμα. Έτσι με βάση την πλάγια όψη του σχήματος για τη δύναμη που διατηρεί την κίνηση της ράβδου και από το νόμο του Newton έχουμε: m d mgsin F cos m (3.6.3) Όμως η μαγνητική δύναμη έχει μέτρο F m I F m cos (3.6.4) Όπως προκύπτει από ολοκλήρωση της σχέσης df I d στη ράβδο και της (3.6.). Πρέπει να τονιστεί εδώ ότι ενώ στη μαγνητική ροή συνεισφέρει μόνο η Β στο υπολογισμό της δύναμης συμμετέχει η Β. Από τις σχέσεις (3.6.3) και (3.6.4) έχουμε : 8

m d d mg sin g sin K cos d g sin cos m (3.6.5) Όπου για ευκολία θέσαμε Η (3.6.5) γίνεται : d g sin K g sin K K d g sin K cos m ln g sin K Kt c K 1 d g sin K K g sin K (3.6.6) Επειδή d/ > η (3.6.5) δίνει gsinα-k > και η (3.6.6) δίνει : ln g sin K Kt c (3.6.7) Ακόμη έχουμε = για t = οπότε η σταθερή ολοκλήρωσης c υπολογίζεται από την (3.6.7) ως εξής : Τελικά έχουμε : c ln g sin (3.6.8) ln g sin K Kt lng sin g sin K ln Kt g sin g sin K ( t) g sin K g sin e 1 e Kt Τελικά η ΗΕΔ από τη (3.6.1) αντικαθιστώντας την ταχύτητα γίνεται : g sin K g sin Kt e Kt 9

g sin cos 1 e K g K 7. Στο χώρο υπάρχει μαγνητικό πεδίο c όπου c μια δοσμένη σταθερή. Μία ράβδος μήκους l είναι παράλληλη στον άξονα, κάθετη στον άξονα και κινείται με ταχύτητα ˆ. Να βρεθεί η επαγώμενη ΗΕΔ που αναπτύσσεται στη ράβδο Kt 1 e cos sin συναρτήσει του χρόνου. Η αρχική θέση της ράβδου θεωρείται γνωστή. Kt l d Επειδή η ράβδος ξεκινά από τη θέση και κινείται με σταθερή ταχύτητα ˆ, η θέση της ράβδου τη χρονική στιγμή t είναι: t (3.7.1) Σε χρονικό διάστημα, η ράβδος μετακινείται κατά d και σαρώνει εμβαδό d που είναι : (3.7.) Στα σημεία της επιφάνειας d, το μαγνητικό πεδίο έχει μέτρο c και είναι κάθετο στην επιφάνεια. Άρα η μαγνητική ροή, που σαρώνει η ράβδος στο χρονικό διάστημα είναι: d d d d c d d c d (3.7.3) Η επαγώμενη ΗΕΔ στα άκρα της ράβδου υπολογίζεται: d c d c (3.7.4) Αντικαθιστώντας το από την (3.7.1) έχουμε c t 1

8. Συρμάτινο κυκλικό πλαίσιο εμβαδού Α βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο με το επίπεδο του κάθετο στις δυναμικές γραμμές του πεδίου. Η ένταση του πεδίου μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση Β = Β ο sinωt, όπου ω = 3sec 1. Να βρεθεί η έκφραση της ΗΕΔ που αναπτύσσεται στο πλαίσιο. Η μαγνητική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια του πλαισίου σε μια τυχαία χρονική στιγμή t, είναι: d sin t sin t cos d d d (3.8.1) Προσέξτε ότι κάθε χρονική στιγμή t το μαγνητικό πεδίο Β έχει την ίδια τιμή σε όλη την επιφάνεια του πλαισίου. Άρα σύμφωνα με το νόμο του Farada η επαγώμενη ΗΕΔ στο πλαίσιο είναι: d 3 d cos t sin t sin t cos 3 tvolt d 9. Μία ηλεκτρική αντίσταση 1 =5Ω συνδέεται με δύο μεταλλικούς αγωγούς αμελητέας αντίστασης πολύ μεγάλου μήκους. Μεταλλική ράβδος μάζας m=,5kg, μήκους l=,5 m και αντίστασης =5 Ω τοποθετείται κάθετα στους μεταλλικούς αγωγούς όπως δείχνει το σχήμα και μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές. Αν το επίπεδο των αγωγών είναι κάθετο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης = 1T και αφήσουμε τη ράβδο ελεύθερη (ευρισκόμενη πάντα σε επαφή με τους μεταλλικούς αγωγούς), περιγράψτε την κίνηση της ράβδου και 11

υπολογίστε τη μέγιστη ταχύτητα που θα αποκτήσει. Όταν η ράβδος αφεθεί ελεύθερη, θα επιταχυνθεί προς τα κάτω λόγω του βάρους της mg και θα αποκτήσει ταχύτητα. Εφόσον κινείται με ταχύτητα μέσα σε μαγνητικό πεδίο έντασης, θα αναπτυχθεί ΗΕΔ εξ επαγωγής με μέτρο (αυξανόμενο λόγω της επιταχυνόμενης κίνησης): (3.9.1) και πολικότητα (+) στο Β και (-) στο Α. Τώρα το κύκλωμα που αποτελείται από τη ράβδο, τους δύο αγωγούς και την αντίσταση αρχίζει και διαρρέεται από επαγωγικό ρεύμα έντασης: (3.9.) Άρα η ράβδος που διαρρέεται από ρεύμα έντασης I και βρίσκεται μέσα στο μαγνητικό πεδίο θα δέχεται δύναμη Laplace που αντιτίθεται στην κίνησή της (φορά προς τα πάνω) ή επειδή l, Β κάθετα έχουμε I 1 F I F I F Άρα η συνολική επιτάχυνση της ράβδου θα είναι με βάση το νόμο του Newton 1 (3.9.3) m m g F m g F m (3.9.4) κι αφού η αυξάνεται, θα αυξάνεται συνεχώς η δύναμη Laplace οπότε σε κάποια στιγμή θα γίνει ίση με το βάρος F = mg οπότε η ράβδος θα κινείται ομαλά (ΣF=) με ταχύτητα ma ίση με 1 ma Και με αριθμητική αντικατάσταση έχουμε ma m g 1 m g ma m g,5kg1m / sec (1) (1T ) (,5m) 1 m sec (3.9.5) 1

1. Η μεταλλική ράβδος που φαίνεται στο σχήμα, μήκους l, κινείτε με σταθερή ταχύτητα σε δύο χωρίς τριβή παράλληλες ράγες παρουσία μαγνητικού πεδίου κάθετου στη σελίδα με φορά προς τα έξω, το μέγεθος του οποίου μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση Β=Β ο sinωt. Να βρεθεί το μέγεθος της επαγόμενης ΗΕΔ. Το μέτρο της ΗΕΔ λόγω κίνησης είναι 1 1 d cost 1 Στην περίπτωση αυτή έχουμε ΗΕΔ λόγω κίνησης αλλά και λόγω μεταβολής του μαγνητικού πεδίο, έτσι η συνολική ΗΕΔ θα είναι το άθροισμα των δύο. (3.1.1) Το μέτρο της ΗΕΔ λόγω μεταβολής του μαγνητικού πεδίου είναι d d sint Η συνολική ΗΕΔ είναι το άθροισμα των δύο εξισώσεων: 1 cost cost d sint sint d d (3.1.) 13