אימות חומרה תוכנה אלי דיין 1 6 בדצמבר

אימות חומרה תוכנה אלי דיין 1 6 בדצמבר 2013 <eliyahud@post.tau.ac.il> 1

תקציר מסמך זה יביא את סיכומי השיעורים מהקורס אימות חומרה תוכנה, שהועבר על ידי פרופ אלכסנדר רבינוביץ בסמסטר א בשנה ל תשע ד.

תוכן עניינים 1 מבוא 3 1.1 אימות על קצה המזלג............................ 3 1.2 מבנה הקורס................................ 4 6 אוטומטים סופיים על מחרוזות אינסופיות 2 6................................... תזכורת 2.1 7 בעיית הריקנות Problem) (Emptyness.................. 2.2 7 התנהגות אינסופית של אוטומטים סופיים.................. 2.3 10........................ סוגים נוספים של אוטומטים 2.4 12 ביטויים ω רגולריים............................. 2.5 13.............................. סגירות של NBA 2.6 14................................. משפט רמזי 2.7 14.................................... סיכום 2.8 15 לוגיקה מונדית 3 15............................ לוגיקה מסדר ראשון 3.1 16.............................. לוגיקה מסדר שני 3.2 16 לוגיקת מחרוזות............................... 3.3 16................................... הצרנות 3.4 18 לוגיקה של מחרוזות............................. 3.5 18 עוד מבנים.................................. 3.6 19.................... שקילות בין MLO לאוטומט Büchi 3.7 20........................ גרסת סדר ראשון של MSO 3.8 20.......................... הקשר לביטויים רגולריים 3.9 21 פער לא אלמנטרי בתמציתיות בין MLE לאוטומטים............ 3.10 22.................................... סיכום 3.11 23 לוגיקת זמן Logic) (Temporal 4 23........................ הגדרה ללוגיקת זמן בסיסית 4.1 24 לוגיקות זמן שקולות............................. 4.2 24 עוד לוגיקות זמן............................... 4.3 25 דוגמאות להצרנות.............................. 4.4 26 משפט. Kamp............................... 4.5 26 משפט. Kamp........................... 4.5.1 1

תוכן עניינים תוכן עניינים 26.................. מ L T ל FOMLO 4.5.1.1 26 משפט. Kamp..................... 4.5.1.2 27 הוכחת משפט. Kamp....................... 4.5.2 4.5.2.1 על ההוכחה....................... 27 4.5.2.2 נוסחאות...................... 27 4.5.2.3 מנוסחאות לנוסחאות Since). T L (Until,.. 29 29..................... הרחבה קנונית 4.5.2.4 29 שקילות בהרחבה הקנונית................ 4.5.2.5 29 הוכחת משפט. Kamp................. 4.5.2.6 33................................ משפט Stavi 4.6 2

פרק 1 מבוא 1.1 אימות על קצה המזלג ניתן לקרוא לקורס באנגלית.Automata Logic & Games אנחנו נעסוק ב Validators. ניתן לחלק את עולם ה Validators ל 2 תתי עולמות, כפי שמתואר באיור 1.1. בתוכנה, בדרך כלל עובדים עם.Testing & Debugging בחומרה, עושים אימות פורמלי, כי בדרך כלל שגיאות בחומרה עולות הרבה כסף. גם פרוטוקולי תקשורת משתמשים באימות פורמלי. בשביל אימות פורמלי, אנחנו צריכים שפת אפיון Language) (Specication ושפת מימוש.(Semantics) וסמנתיקה (Syntax ) כך שלשתיהן תחביר,(Implementation Language) אנחנו נרצה להגיע למצב שבו cation Speci Program. meets דוגמה 1 (מחלק משותף גדול ביותר :((gcd) תנאי מקדים :(Precondition) תנאי סיום :(Postcondition) {x 1 > 0 x 2 > 0} {z x 1 z x 2 z > 0 y ((y x 1 y x 2 ) y z)} למעשה, במקרה זה, מדובר בזוג נוסחאות לוגיות. Validation Testing & Debugging Formal Verication איור 1.1: חלוקת עולם ה Validators 3

1.2. מבנה הקורס פרק 1. מבוא Formal Verication Interactive Algorithmic איור 1.2: חלוקת עולם האימות הפורמלי שפת האפיון מגדירה יחס R בין הקלט לפלט, כך שהיחס מתקיים כאשר גם הפלט וגם הקלט תקינים. שפת המימוש מגדירה פונקציה f, כך ש R.x.,x) f ((x) אם שפת המימוש (או שפת התיכנות) היא שפה חזקה (כלומר שקולה למכונת טיורינג), אזי אין אלגוריתם לווידוא פורמלי (כי למשל אי אפשר להכריע את בעיית העצירה). כך גם לגבי שפת האפיון. מסקנה 2: אי אפשר לבדוק בצורה אוטומטית שתוכנית היא נכונה. גם את עולם האימות הפורמלי ניתן לחלק ל 2, כפי שמתואר באיור 1.2. רוב הקורס יעסוק באימות אלגוריתמי. לכן, לא ניתן לטפל בשפות תכנות עשירות, ולכן נתמקד ב Finite Innite Behavios of Finite כשפת מימוש. נתעניין בהתנהגות אינסופית: State Systems.State Systems להלן בעיות נפוצות שנעסוק בהן: בעיית הוידוא :(Verication) הקלט הוא זוג P rogram ו Spec. הפלט הוא תשובה לשאלה: P rogram meets Spec? בעיית הסינתזה :(Synthesis) הקלט הוא.Spec הפלט הוא תוכנית שמקיימת את האפיון. בעיית האפיון: הקלט הוא תוכנית. הפלט הוא האפיון המתאים ביותר. בעיית הקונסיסטנטיות: הקלט הוא אפיון. הפלט הוא תשובה לשאלה: האם האפיון ניתן למימוש? בעיית ה Debugging : הקלט הוא אפיון ותוכנית. הפלט הוא תוכנית קרובה שמקיימת את האפיון. 1.2 מבנה הקורס 1. אוטומטים סופיים על מחרוזות אינסופיות. 2. לוגיקה מונדית מסדר שני. 4

1.2. מבנה הקורס פרק 1. מבוא.3 לוגיקת זמן Logic).(Temporal 4. סינתזה (מאוש קשורה למשחקים עם שני שחקנים). נתעסק הרבה בשאלות הבאות: 1. כוח הביטוי Power) :(Expressive מה אפשר ובטא ומה אי אפשר לבטא. 2. תמציתיות (סוג של קומפקטיות). 3. אלגוריתמים לתרגום בין הפורמליזמים השונים. 4. בעיות הכרעה. 5

פרק 2 אוטומטים סופיים על מחרוזות אינסופיות 2.1 תזכורת הגדרה System) 3 :(Labeed Transition תהי קבוצת מצבים Q, אלפבית Σ. אזי מעברים בין המצבים לפי האותיות נקראים.Labeled Transition System ניתן לאפיין אותם בסופיות, בדטרמיניסטיות ובשלמות (כלומר שמכל מצב יש קשת לכל אות.(Complete ריצה היא סדרה של מצבים כך שיש מעברים חוקיים ביניהם. מריצה אפשר לקבל מחרוזת של אותיות. בעבר, הגדרנו גם קבוצה I, שהיא אוסף של מצבים התחלתיים, ו F, שהיא אוסף של מצבים מקבלים. כך יש ריצות שמתחילות ב I ומסתיימות ב F. מכל ריצה כזאת מקבלים מחרוזת, שהאוסף שלהן נותן לנו שפה. אמרנו שאוטומטים הם שקולים אם ורק אם הם מגדירים את אותה השפה. השפות שמתקבלות על ידי אוטומטים סופיים הן סגורות תחת חיתוך, איחוד, הטלה והשלמה. הוכחנו גם שיש אלגוריתם שמקבל שני אוטומטים A 1 ו A, 2 ומחזיר אוטומט שמקבל את חיתוך השפות של A 1 ו A. 2 גם הראנו את האלגוריתם. משפט 4: כל אוטומט לא דטרמיניסטי שקול לאוטומט דטרמיניסטי. באופן לוגי, חיתוך שקול לאופרטור, ואפשר לבנות אוטומט של חיתוך שפות בסיבוכיות כפלית. איחוד שקול לאופרטור, ואפשר לבנות אוטומט חיבורי לא דטרמיניסטי, א כפלי אם שומרים על הדטרמיניסטיות. הטלה אפשר לעשות עם אוטומט לא דטרמיניסטי חיבורי, והיא שקולה ל. השלמה עושים בקלות עבור אוטומט דטרמיניסטי. אם האוטומט הוא לא דטרמיניסטי, הסיבוכיות היא אקספוננציאלית. נוכיח: נגדיר את השפות הבאות מעל {1,0} = Σ: E n = {ωω ω = n} L n = Σ 2n \ E n איור 2.1 מתאר אוטומט ל L. n האוטומט הזה הוא בגודל (n) O, והוא לא דטרמיניסטי. נראה שאין אוטומט דטרמיניסטי קטן עבור.L n אם 2, ω 1 = n = ω ו,ω 1 ω 2 אזי 6

2.2. בעיית הריקנות Problem) (Emptyness פרק 2. אוטומטים סופיים על מחרוזות אינסופיות אסור שהן תגענה לאותו המצב. לכן, באוטומט דטרמיניסטי יש לפחות ) n O 2) מצבים. נסמן ב ( ω ) q את המצב שמתקבל מהפעלת המחרוזת.ω אזי אם ω 1 ω 2 ו, ω 1 = n = ω 2 אזי ) 2.q (ω 1 ) q (ω אחרת, ω 1 ω 2 ו ω 2 ω 1 גם תתקבלנה. ראינו למעשה של L n יש אוטומט קטן, אבל ל E n יש אוטומט גדול. הפעם, נניח שעם המחרוזת ω באורך n מגיעים לקבוצת המצבים S. ω צריך להראות שאם ω 1 ω 2 ו 2, ω 1 = n = ω אזי = ω2.s ω1 S ואכן, מ S ω1 מגיעים למצב מקבל עם,ω 1 ולכן אי אפשר להגיע למצב מקבל מ S ω2 עם ω. 1 2.2 בעיית הריקנות Problem) (Emptyness מקבלים כקלט אוטומט A. רוצים לדעת אם = (A).Lang אפשר לפתור את הבעיה באמצעות רדוקציה לבעיית ה Reachability מהמצבים ההתחלתיים למצבים המקבלים. אפשר לפתור את זה עם BFS בזמן לינארי. אפשר גם לפתור את זה ב NSpace :(log (n אם יש n מצבים, אזי כל המחרוזות באורך log n יכולות להגיע לכל המצבים. אם לא, השפה ריקה. לא יודעים אם אפשר לפתור את הבעיה בצורה דטרמיניסטית זו בעיה פתוחה 2.3 התנהגות אינסופית של אוטומטים סופיים עכשיו המסלול שלנו יהיה אינסופי: q 0 a 1 q 2 a 2... q n a n... כאשר q i הוא מצב באוטומט ו a i היא אות ב Σ. מהמסלול אפשר לחלץ מחרוזת: a 1 a 2... a n... הגדרה 5 (אוטומט של :(Büchi מחרוזת מתקבלת Run) (Accepting אם מבקרים במצב מקבל אינסוף פעמים. הגדרה 6 (אוטומט של :(Muller נגדיר עבור הריצה r את lim r להיות אוסף המצבים שמופיעים אינסוף פעמים ב r. תנאי הקבלה של Muller מגדיר קבוצות של מצבים,. i. lim r = F i מקבלת אם r כך שהריצה,F 1,..., F k תנאי הקבלה של Büchi מקיים את תכונות הסגירות, אבל אין דטרמיניזציה, כלומר קיימים אוטומטים לא דטרמיניסטים שאין אוטומטים דטרמיניסטים השקולים להם. Muller מקיים גם הוא את תכונת הסגירות, אבל יש בו דטרמיניזציה. שניהם שקולים למקרה הלא דטרמיניסטי של,Büchi שניתן לתיאור באמצעות.Monadic Logic of Order בצורה פורמלית: הגדרה 7 (אוטומט של :(Büchi תנאי הקבלה של Büchi מוגדר על פי התחביר: F, Q והסמנטיקה: r מתקבלת אם היא מבקרת ב F אינסוף פעמים. הגדרה 8 (אוטומט של :(Muller תחביר: אוסף F 1,..., F m של תת קבוצות של.Q סמנטיקה:. i. (i {1,..., m} lim r = F i ) מתקבלת אם r 7

2.3. התנהגות אינסופית של אוטומטים סופיים פרק 2. אוטומטים סופיים על מחרוזות אינסופיות start 1 i 0, 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 n steps n steps 1 0 1 0 0 Equivalent states under optimization 1 0, 1 0, 1 איור 2.1: אוטומט ל L n 8

פרק 2. אוטומטים סופיים על מחרוזות אינסופיות 2.3. התנהגות אינסופית של אוטומטים סופיים 0 0 q 0 q 1 1 1 איור 2.2: אוטומט שמקבל את המחרוזת ω אם יש בה 1 אינסוף פעמים. במקרה של אוטומט.F = {q 1 },Büchi במקרה של אוטומט.F 2 = {q 0, q 1 },F 1 = {q 1 },Muller 0, 1 q 0 q 1 0 0 איור 2.3: אוטומט לא דטרמיניסטי שמקבל את המחרוזת ω אם 1 מופיע בה מספר סופי של פעמים. במקרה של אוטומט.F = {q 1 },Büchi במקרה של אוטומט.F 1 = {q 1 },Muller דוגמה 9: איור 2.2 מתאר אוטומט מעל {1,0} שמקבל את המחרוזת ω אם יש בה 1 אינסוף פעמים. במקרה של אוטומט.F = {q 1 },Büchi במקרה של אוטומט,F 1 = {q 1 },Muller.F 2 = {q 0, q 1 } דוגמה 10: נבנה אוטומט מעל {1,0} שמקבל את ω אם 1 מופיע בה מספר סופי של פעמים. זה קל עבור :Muller האוטומט שבאיור 2.2 הוא טוב, כאשר } 0 F. 1 = q} איור 2.3 מתאר אוטומט Büchi לא דטרמיניסטי, כאשר } 1 F. = q} אפשר לעשות גם אוטומט Muller לא דטרמיניסטי דומה, שבו } 1.F 1 = {q טענה 11: אין אוטומט Büchi דטרמיניסטי שקול לאוטומט שמתואר באיור 2.3. הוכחה: נניח בשלילה שקיים A דטרמיניסטי של Büchi שמקבל את השפה (נקרא לה L). 0 אזי 0 n0 מובילה למצב מקבל. כך גם 0 n0 10 n1 מובילה למצב מקבל. באופן דומה,.0 n0 10 n1 1 0 n k היא,0 n0 10 n1 10 n2 10 n3,0 n0 10 n1 10 n2 וכן הלאה. נגיע למחרוזת 1 מבקרת אינסוף פעמים במצב מקבל, אבל יש בה אינסוף פעמים 1, בסתירה! קל לראות רדוקציה מ Büchi ל Muller : בהינתן קבוצת מצבים מקבלת F של,Büchi נבנה קבוצות מקבצים מקבלות של :Muller כל תתי קבוצות המצבים שהחיתוך שלהן עם F לא ריק. נראה סגירות: איחוד: כמו קודם (במקרה שאינו דטרמיניסטי). חיתוך: המצבים הם מכפלה קרטזית.Q 1 Q 2 המעברים: 2) (q 1, q 2 ) a (q 1, q אם.q 2 a q q 1 וגם 2 a q 1 9

2.4. סוגים נוספים של אוטומטים פרק 2. אוטומטים סופיים על מחרוזות אינסופיות באוטומט,Muller נניח שהמצבים המקבלים ב A 1 הם,F 1,..., F n וב A 2 הם,π 1 (S) = F i כך ש,S Q 1 אזי המצבים המקבלים בחיתוך הם Q 2.G 1,..., G m.π 2 (S) = G j נוכיח: נניח ש r מתקבלת על A 1 ו.A 2 אזי: i. lim r A1 = F i j. lim r A2 = G j,lim A1 A 2 ו.π 2 (S) = G j,π 1 (S) = F i נניח לכן, r על A 1 A 2 מקבלת r = S כעת ש S מתקבלת על A. 1 A 2 אזי לפי ההגדרה זה בסדר. הטלה: עושים כמו קודם (בלי לשמור על דטרמיניסטיות). כדי לדבר על השלמה בלי דטרמיניזציה, נדבר על ביטויים ω רגולריים. נראה את זה בהמשך 2.4 סוגים נוספים של אוטומטים סימון נסמן ב ω את קבוצת המספרים הטבעיים. הגדרה 12 (אוטומט Büchi מוכלל): תהי (Q) F. P אזי ריצה ρ מתקבלת אם היא מבקרת אינסוף פעמים בכל F. F הגדרה 13 (אוטומט של :(Rabin תהי קבוצה של זוגות של תתי קבוצות של מצבים: ) k.(f 1, E 1 ), (F 2, E 2 ),..., (F k, E אזי הריצה ρ מתקבלת על ידי ) i F) i, E אם מבקרים אינסוף פעמים ב F i ומספר סופי של פעמים ב ρ E. i מתקבלת על ידי האוטומט אם היא מקבלת על ידי אחד הזוגות. סימונים נגדיר קיצורים לסוגים השונים של האוטומטים: NBA NMA NRA NGBA DBA DMA DRA Non-deterministic Büchi Automaton Non-deterministic Muller Automaton Non-deterministic Rabin Automaton Non-deterministic Generalized Büchi Automaton Deterministic Büchi Automaton Deterministic Muller Automaton Deterministic Rabin Automaton אזי NMA יותר חזק מ NBA, NGBA,NRA (כלומר יש רדוקציה מ NMA לכל אחד מהם), וכן יש רדוקציה מכולם ל NBA. ניתן לראות הסבר גרפי באיור 2.4. ראינו רדוקציה מ NMA ל NBA בשיעור הקודם. הרדוקציות מ NMA ל NRA, מ NMA ל NGBA, מ ל NMA, טריוויאליות. אם נראה רדוקציה מ NBA הן ל NBA ומ NGBA ל NBA NRA נסגור מעגל, ונראה שכל האוטומטים שקולים זה לזה. נרצה להראות תרגום מ NBA עם קבוצת קבלה אחת F ל NMA. נבנה את האוטומט שלנו, אבל במקום F יהיו לנו.F F משמעות המצב (p, q) F F היא אנחנו עכשיו ב p, מחכים לביקור ב q. המעברים שלנו יהיו q) (p, q) a (p, אם p p a וגם 10

2.4. סוגים נוספים של אוטומטים פרק 2. אוטומטים סופיים על מחרוזות אינסופיות NRA NBA NMA NGBA איור 2.4: רדוקציות מסוגים שונים של אוטומטים,p q ו ( i+1 (p, q i ) a (p, q ( אם p p a וגם.p = q i כדי שנדע שהסיבוב יסתיים, ) 0 (p, q אם.p a q 0 כמו כן, נוסיף את המעברים a q bravo ) נוסיף מצבי, q 1 :bravo 0 DBA DMA.p וגם q 1 q 0 a אם p (q bravo 0, q 1 ) a (p, q1 ) במקרה הדטרמיניסטי: Hard Construction = NMA = DRA הגדרה 14 (שרשור מחרוזות): תהי L 1 שפה של מחרוזות סופיות, ותהי L 2 שפה (של מחרוזות סופיות או אינסופיות). השרשור של L 1 עם L 2 מסומך על ידי L, 1 ; L 2 ומוגדר באופן הבא: L 1 ; L 2 = {ω 1 ω 2 ω 1 L 1 ω 2 L 2 } למה 15: תהי L 1 שפה של מחרוזות סופיות המתקבלת על ידי אוטומט סופי. תהי L 2 שפה של מחרוזות אינסופיות המתקבלת על ידי.NBA אזי השפה L 1 ; L 2 מתקבלת על ידי.NBA הוכחה: יהי A 1 אוטומט סופי שמקבל את השפה L, 1 ויהי NBA A 2 שמקבל את השפה L. 2 אזי מכל מצב מקבל של A 1 נשים מעבר למצב התחלתי של A, 2 וכך נקבל NBA חדש שמקבל את.L 1 ; L 2 הגדרה 16 (שרשור אינסופי): תהי L שפה. נגדיר את השרשור האינסופי של L (מסומן ב L) ω באופן הבא: s L ω אם ניתן לחלק את s ל n,s 1 s 2 s כך ש L.s i למה 17: תהי L שפה של מחרוזות סופיות המתקבלת על ידי אוטומט סופי. אזי L ω מתקבלת על ידי.NBA הוכחה: יהי A אוטומט סופי שמקבל את L במצבים של F. נבנה NBA שמקבל את L: ω a a נוסיף מעבר מכל q F ל Q p באות a (כלומר (q p אם.p 0 q נקרא ל NBA בשם.A new 11

פרק 2. אוטומטים סופיים על מחרוזות אינסופיות 2.5. ביטויים ω רגולריים צ ל: ) new L ω Language (A ו.Language (A new ) L ω אם יש מחרוזת ב L, ω אזי קל לבנות לה ריצה מתאימה ב A, new ולכן ω L.Language (A new ) אם יש ריצה שנכנסת ל F אינסוף פעמים ב A, new היא יכולה להסתובב אינסוף פעמים בתוך F, אבל לא לעבור באחד המעברים שהוספנו. לכן, כל הבניה אינה נכונה. בנייה נכונה תרגיל. 2.5 ביטויים ω רגולריים הגדרה 18 (שרשור סופי של מחרוזות): תהי L שפה. אזי השרשור הסופי של L עם עצמה i פעמים (המסומן ב (L i מוגדר באופן הבא: s L i אם ניתן לחלק את s ל s 1 s 2 s i כך ש L s j לכל i}.j {1,..., הגדרה 19 (ביטויים רגולריים): מגדירים ביטויים רגולריים מעל האלפבית Σ בצורה אינדוקטיבית:.a Σ הוא ביטוי רגולרי עבור a ו.R 2 הוא ביטוי רגולרי עבור הביטויים הרגולריים R 1 R 1 ; R 2 2 R 1 + R הוא ביטוי רגולרי עבור הביטויים הרגולריים R 1 ו R 2 (כאשר המשמעות של + היא איחוד שפות)..(R + = ω 1=i Ri (כאשר R הוא ביטוי רגולרי עבור הביטוי הרגולרי R + משפט 20: שפה חופשית מ ɛ מתקבלת על ידי אוטומט סופי אם ורק אם היא ניתנת להגדרה כביטוי רגולרי. הגדרה 21 (ביטוי ω רגולרי): מגדירים ביטויים ω רגולריים מעל האלפבית Σ בצורה אינדוקטיבית: R. עבור הביטוי הרגולרי הוא ביטוי ω רגולרי R ω E. והביטוי ה ω רגולרי R עבור הביטוי הרגולרי הוא ביטוי ω רגולרי ;R E E 1 ו E 2 (כאשר 2 E 1 + E הוא ביטוי ω רגולרי עבור הביטויים ה ω רגולריים המשמעות של + היא איחוד שפות). משפט 22: ω שפה מתקבלת על ידי אוטומט סופי (NBA) אם ורק אם היא ניתנת להגדרה כביטוי ω רגולרי. הוכחה: נוכיח שכל ω שפה שמוגדרת על ידי ביטוי ω רגולרי מתקבלת על ידי,NBA באמצעות אינדוקציה על המבנה: 1. אם L היא שפה (של מחרוזות סופיות) המתקבלת על ידי האוטומט A, אזי L ω מתקבלת על ידי,NBA לפי למה 17. 2. אם L 1 היא שפה (של מחרוזות סופיות) המתקבלת על ידי אוטומט סופי, ו L 2 היא L 1 ; אזי מלמה L 2 15,,NBA (של מחרוזות אינסופיות) המתקבלת על ידי ω שפה מתקבלת על ידי.NBA 3. אם L 1 ו L 2 הן ω שפות המתקבלות על ידי NBA ים, אזי L 1 + L 2 מתקבלת על ידי NBA (מתכונת הסגירות). 12

פרק 2. אוטומטים סופיים על מחרוזות אינסופיות 2.6. סגירות של NBA נוכיח שאם L מתקבלת על ידי,NBA אזי היא ω רגולרית: יש לנו בהתחלה מילים מ q 0 ל F, ואז הרבה מילים מ F ל F. זה יוצר את הביטוי הרגולרי: Language (q 0, F ) ; Language (F, F ) ω 2.6 סגירות של NBA עבור A, NBA נגדיר יחס שקילות A על מחרוזות סופיות. נאמר ש s s A אם לכל q 1 ו :q 2 1. יש ריצה מ q 1 ל q 2 על s אם ורק אם יש ריצה כזאת ל s. 2. יש ריצה מ q 1 ל q 2 על s שעוברת דרך F אם ורק אם יש ריצה כזאת ל s. למה 23: מספר מחלקות השקילות מהצורה A הוא סופי. הוכחה: אם יש n מצבים ב NBA, לכל מחרוזת s נתאים:.1 זוגות ) 2 (q 1, q כך ש s עוברת מ q 1 ל.q 2.2 זוגות ) 2 (q 1, q כך ש s עוברת מ q 1 ל q 2 דרך.F 2 n2 קבוצות כאלה, ולכן צריך ששתי הקבוצות תהיינה זהות לכל זוג מחרוזות שקולות. יש יש לכל היותר 2 n2 2 מחלקות שקילות. למה 24: כל מחלקת שקילות מתקבלת על ידי אוטומט מצבים סופי. הוכחה: נגדיר את המצבים ההתחלתיים על ידי S, ואת המצבים המקבלים לפי S F (כאשר מחלקת השקילות מוגדרת על ידי ( S, S ) F כאשר (Q) S P ו ( Q ).(S F P למה :25 A הוא קונגרואנציה ביחס לשרשור. כלומר, אם s 1 A s 1 ו 2 s 2 A s אזי.s 1 s 2 A s 1s 2 הוכחה: ניעזר באוטומט שמתואר באיור 2.5. למה :26 אם s i A s i עבור,i N אזי n s 1 s 2 s מתקבלת על ידי A אם ורק אם.A מתקבלת על ידי s 1s 2 s n הוכחה: קל לראות. מסקנה :27 אם R 1 ו R 2 הן מחלקות שקילות של, A אזי (A) R 1 R ω 2 ω-language או.R 1 R ω 2 ω-language (A) = למה :28 לכל ω מחרוזת,s יש מחלקות שקילות R 1 ו R 2 של A כי ש.s R 1 R ω 2 הוכחה: שימוש במשפט רמזי. משפט 29: אם ω מחרוזת מתקבלת על ידי,NBA אזי המשלים שלה מתקבל על ידי.NBA 2 R i 1, R i של מחלקות שקילות של הוכחה: לפי כל הלמות לעיל, יש קבוצה סופית של זוגות. i Ri 1 ( R i 2 ) ω A, כך שהמשלים של (A) ω-language הוא 13

2.7. משפט רמזי פרק 2. אוטומטים סופיים על מחרוזות אינסופיות F s 1 s 2 q 1 q 2 q 3 s 1 s 2 איור 2.5: אוטומט שמראה כי A הוא קונגרואנציה ביחס לשרשור 2.7 משפט רמזי הגדרה 30 (צביעה): תהי C קבוצה סופית (של צבעים). צביעה של N היא פונקציה col מהזוגות הסדורים N} { i, j i, j ל C. תת קבוצה H N היא הומוגנית ל col אם יש c C כך ש c col (h 1, h 2 ) = לכל.h 1 < כך ש h 2 h 1, h 2 H משפט 31 (רמזי :(Ramsey לכל צביעה col של N יש קבוצה הומוגנית אינסופית. נוכיח כעת את למה 28: הוכחה: תהי ω מחרוזת. s נגדיר צביעה (j col s,i) יהיה מספר מחלקות השקילות של A על תת המחרוזת של s במקומות (j,i]. לפי משפט רמזי, קיימת קבוצה הומוגנית אינסופית, } < 1 H = {h 0 < h בצבע.R 2 נגדיר את R 1 להיות מחלקת השקילות של ) 0.s [0, h 2.8 סיכום משפט 32: ω שפה מתקבלת על ידי NBA אם ורק אם היא ניתנת להגדרה על ידי ביטוי ω רגולרי אם ורק אם היא ניתנת להגדרה באמצעות. 1 MLO כמו כן, יש תרגומים רקורסיביים בין כל אחת מההצגות. 1 את זה נראה בפרק הבא. 14

פרק 3 לוגיקה מונדית עד עכשיו דיברנו על אוטומטים וביטויים. עכשיו נדבר על לוגיקה. הלוגיקה העיקרית שנעסוק בה נקראת.Monadic Logic of Order נסביר: Monadic חד מקומית, Order סדר. 3.1 לוגיקה מסדר ראשון ניזכר מהי לוגיקה מסדר ראשון. כל לוגיקה מגדירה תחביר וסמנטיקה. 1. תחביר: (א) מילון (פרדיקטים). (ב) נוסחאות אטומיות. (ג) סימני יחס: למשל ) n,r (x 1,..., x כאשר R הוא סימן יחס n מקומי ו x 1,..., x n הם משתנים. (ד) סימני פונקציה. (ה) בונים נוסחאות חדשות מנוסחאות קיימות באמצעות הקשרים הבולאנים,,,, והכמתים. x, x 2. סמנטיקה: (א) מבנה M. (ב) תחום D. הסמנטיקה נותנת פירושיםעבור סימני יחס וסימני פונקציה. הגדרה 33 (השמה): לכל משתנה מתאימים איבר בתחום D. המבנה מסומך ב M, והסביבה ב ρ. ההשמה מגדירה את הערך של הנוסחה במבנה ובסביבה. 15

3.2. לוגיקה מסדר שני פרק 3. לוגיקה מונדית 3.2 לוגיקה מסדר שני מבחינה תחבירית, יש לנו 2 סוגים של משתנים: התחביר כולל מילון, משתנים מסדר ראשון ומשתנים מסדר שני. נוסחאות אטומיות יראו כמו קודם, או ) k,y (x 1,..., x כאשר y היא משתנה מסדר שני k מקומי. הנוסחאות מכילות כמתים מסדר ראשון וכמתים מסדר שני. בסמנטיקה, הסביבה מתאימה לכל משתנה מסדר ראשון איבר בתחום, ולכל משתנה מסדר שני היא מתאימה יחס בתחום. נגדיר לוגיקה מונדית מסדר שני: המשתנים מסדר שני הם רק חד מקומיים. לכן, נוסחאות אטומיות הן רק מהצורה ) k R (x 1,..., x או (x).y נגדיר לוגיקה מונדית מסדר שני של סדר Order) :(Monadic Second-Order Logic of המילון מכיל את יחס הסדר >, וכן יחסים חד מקומיים. 3.3 לוגיקת מחרוזות נתאים למחרוזת abaab מבנה: יהיו בו 5 איברים: 4 3, 2, 1, ו 5. המילון: < יחס סדר,.({2, 5}) מקומות המסומנים ב b P b,({1, 3, 4}) מקומות המסומנים ב a P a למחרוזת ababcac נתאים תחום עם 7 איברים, ומילון עם >, a P b P, ו P. c אפשר גם ( (, נוכל לקודד 1 1) ו c באמצעות 0 ( 1), b באמצעות 0 0) אחרת: אם נכתוב את a באמצעות את המילון בעזרת 2 פרדיקטים בלבד: P 0 שיכיל את {6,1},,2,3,4 ואת P 1 שיכיל את.{2, 4, 5, 7} אפשר גם לעשות את הפעולה ההפוכה: בהינתן מבנה ופרדיקטים, ניתן להתאים להם מחרוזת. 3.4 הצרנות נכתוב פסוק שנכון על מחרוזת סופית מעל {c,a},b אם האות הראשונה של המחרוזת היא a: האיבר הכי קטן ב P. a איך נעשה את זה? נחלק למשפטים יותר קטנים: x הכי קטן יוצרן באופן הבא: ϕ (x) y. (y = x x < y) כעת, נרצה לומר שהאיבר הכי קטן ב P. a נעשה את זה כך: x. (P a (x) y. (y = x x < y)) ההצרנה היא בלוגיקה מסדר ראשון. עוד דוגמה: יש מופע של. x.p a (x) a: יש 3 מופעים שונים של a: x. y. z. (P a (x) P a (y) P a (z) (x < y < z) w.p a (w) (w = x w = y w = z)) אפשר להצרין את y הוא העוקב של x : Suc (x, y) x < y z. (x < z z < y) ואז נצרין את יש מופע של ab : x. y.suc (x, y) P a (x) P b (y) 16

פרק 3. לוגיקה מונדית 3.4. הצרנות עוד הצרנה: a מופיע בדיוק במקומות אי זוגיים. זה שקול לזוג האמירות הבאות: 1. a מופיע במקום הראשון. 2. לכל זוג אותיות, בדיוק אחת מהן היא a. מכאן, מאוד קל להצרין את הטענה המקורית. נצרין את הטענה הבאה: a מופיע בכל המקומות האי זוגיים. כאן אנחנו זקוקים ללוגיקה מסדר שני. נגדיר את (y) Odd נוסחה המתארת מקומות אי זוגיים, כאשר y הוא משתנה מסדר שני. נגדיר את זה כך: 1. האיבר הראשון נמצא ב y. 2. עבור כל זוג איברים עוקבים, בדיוק אחד מהם ב y, והשני לא ב y. נעשה זאת כך: Odd (y) ( x. (y (x) z. (z = x x < z))) ( u. v. (u < v z. (u < z z < v) (y (u) = y (v)))) לכן, ההצרנה של הטענה a מופיע בכל המקומות האי זוגיים תהיה: אפשר גם כך: y. (Odd (y) x. (y (x) P a (x))) y. (Odd (y) x. (y (x) P a (x))) נשים לב שאי אפשר להצרין את הטענה הזאת בלוגיקה מסדר ראשון. הגדרה 34 (גדירות :(Denability במבנה או במחלקה של מבנה. ראינו פסוק שמגדיר אוסף של מבנים. לכל פסוק מתאימים אוסף של מחרוזות, ואז אומרים שהשפה גדירה על ידי פסוק. הגדרה 35 (פסוק): נוסחה ללא משתנים חופשיים היא פסוק. תזכורת קשיר. בלוגיקה מסדר ראשון לא ניתן לכתוב ביטוי שאומר שהגרף (E G =,V) הוא טענה 36: קשירות של גרף ניתנת לביטוי בלוגיקה מודנית מסדר שני. הוכחה: נראה פסוק ψ כך ש ψ נכון ב G אם ורק אם G קשיר. איך נבטא שאוסף של צמתים Y הוא נגיש מהצומת x? נסמן את הביטוי ב (.Reach,x) Y בעזרת Reach ניתן לבטא קשירות: x u. Y. (Reach (x, Y ) u Y ) ננסה לנסח את ) Y Y :Reach,x) היא קבוצה מינימלית שמכילה את x וסגורה תחת שכנות. למה מינימלית? אחרת אפשר היה לקחת את קבוצת כל הצמתים, אבל הם לא בהכרח נגישים מ x. נגדיר את ) Y :Reach,x) (x Y ( u. v. (((u, v) E u Y ) v Y ) ( Z. (x Z ( u. v. ((u Z (u, v) E) v Z)))))) 17

3.5. לוגיקה של מחרוזות פרק 3. לוגיקה מונדית 3.5 לוגיקה של מחרוזות כפי שראינו, נתאים מבנה עבור המחרוזת abcaab מעל {c Σ. =,a},b נשתמש במילון.<, P a, P b, P c התחום שלנו מכיל 6 איברים. המקומום המסומנים ב P a הם 5}.{1, 4, המקומות המסומנים ב P b הם {6,2}. המקומות המסומנים ב P c הם {3}. בלוגיקה מסדר שני, התחום שלנו יהיה אותו התחום. המילון יהיה Q, 1, Q 2 ונתרגם את ( (. ואז Q 1 יהיה רק המקומות שמכילים את 1 0) ואת c להיות 0 ( 1), את b להיות 0 0) a להיות b. יהיה המקומות שמכילים את ו Q 2 a, נניח ש ϕ פסוק במילון } c,>}. P a, P b, P אזי ϕ מגדיר אוסף של מחרוזות. אזי קיים פסוק ψ במילון } 2 Q} 1, Q שמגדיר בדיוק את אותו האוסף של מחרוזות. קיים גם אלגוריתם שמבצע את ההמרה בין הקידודים: מחליפים את (x) P a ל ( x ), Q 1 (x) Q 2 את (x) P b ל ( x ),Q 2 ואת (x) P c ל ( x ).Q 1 בכיוון השני: (x) Q 1 יהפוך ל (x) P a (x) P b. P c (x) כוח הביטוי לא שקול בין שני הקידודים. למשל, הפסוק (y) y.q 1 (y) Q 2 ספיק, אבל לא מעל {c Σ. =,a},b לכן, צריך לחדד את הטענה שלנו. 3.6 עוד מבנים נגדיר כמה מבנים חדשים: הגדרה 37 (שרשרת): שרשרת (Chain) מוגדרת על ידי ) m,c = (A, <, P 1,..., P כאשר < הוא יחס סדר לינארי ו P i הם פרדיקטים מונדיים (חד מקומיים). הגדרה 38 (עץ בינארי מלא): עץ בינארי מלא Tree) (Full Binary מסומן ב T, 2 ומוגדר על ידי החתימה Left},>}, Right, כאשר Right ו Left הם פרדיקטים מונדיים. נשתמש גם במבנים הבאים כדי לוודא פסוקים: 1. ω מחרוזת. 2. שרשראות..T 2.3 תזכורת בקורס לוגיקה למדנו שאי אפשר לבטא בלוגיקה מסדר ראשון שסדר לינארי הוא סופי. נצרין את הטענה הזאת בלוגיקה מסדר שני. נצרין תחילה את הטענה עבור ω מחרוזות: לכל איבר יש איבר a יותר גדול ממנו: u. v. (u < v P a (v)) נצרין כעת את הטענה עבור שרשראות. הנוסחה שלהלן לא בהכרח עובדת, כי למשל אם נגדיר ש [ n P, a =,m] אזי יש אינסוף איברים ש P a מופיע בהם (למשל על הממשיים), אבל יש לקבוצה הזאת מקסימום. הטריק יהיה כדלקמן: או שיש לנו תת סדרה עולה ממש של P, a או שיש לנו תת סדרה יורדת ממש. כלומר, יש Y, תת קבוצה של P, a שהיא לא חסומה מלמעלה, או לא חסומה מלמטה. נצרין: Y. Y P }{{ a [( u. (Y (u) v. (v < u Y (v)))) ( u. (Y (u) v. (u < v Y (v))))] } 18

פרק 3. לוגיקה מונדית 3.7. שקילות בין MLO לאוטומט Büchi כמובן שאת קל להצרין בצורה פורמלית. נצרין כעת את הטענה ל T: 2 נשתמש במשפט הבא: P a אינסופית אם ורק אם יש מסלול שמכיל אינסוף צמתים של P. a המסלול מגדיר לנו יחס סדר, והוא צריך להיות אינסופי. אפשר עכשיו לדרוש כמו במקרה הקודם. כשמדברים על ω מחרוזות, לפעמים מסתכלים על Second order logic of One- :S1S,Successor כאשר ההגדרה הפורמלית היא: S1S = MLO (Succ) MLO = MSO (<) אפשר לבטא את (y Succ,x) באמצעות הנוסחה: x < y z. ((x z y z) (z < x y < z)) איך נבטא את < באמצעות?Succ כל קבוצה Y שמכילה את x וסגורה תחת,Succ גם מכילה את y. כשמדברים על עצים, אפשר לדבר על.Second order logic of Two-Successors :S2S 3.7 שקילות בין MLO לאוטומט Büchi ϕ A כך שלכל ω מחרוזת s, מתקיים משפט 39: לכל אוטומט A Büchi יש נוסחת MLO.s מקבל את A אם ורק אם s = ϕ A הוכחה: נסתכל על האלפבית הבא:.Σ Q אזי נסמן: } n Σ =,Q = {q 0,..., q.p a1,..., P am ו X q0,..., X qn נגדיר את הפרדיקטים.{a 1,..., a n } נצטרך להגדיר נוסחה Run A שתספק את: 1. כל איבר שייך בדיוק ל X qi בודד. 2. האיבר המינימלי נמצא ב X. q0 3. המעברים הם לפי טבלת המעברים של A. למשל, אם u נמצאים במצב q i ורואים את a, j נצריך ונקבל: u. ( X qi (u) P aj (u) ) ( v.succ (u, v) X ql (v)) a j את זה עושים לכל q i ולכל a, j כאשר המעבר הוא q. i ql 4. נמצאים במצב של F אינסוף פעמים. סיבוכיות התרגום היא לינארית. משפט :40 לכל נוסחת ϕ (X 1,..., X n ) MLO יש אוטומט A ϕ Büchi מעל האלפבית,B n כך שלכל (P 1,..., P n ) (B ω ) n מתקיים ) X ( N, < P ) = ϕ ( אם ורק אם A ϕ מקבלת את ה ω מחרוזת ) n.(p 1,..., P 19

פרק 3. לוגיקה מונדית 3.8. גרסת סדר ראשון של MSO הוכחה: נבנה לפי אינדוקציה מבנית על מבנה הנוסחה. סיבוכיות התרגום היא פונקציה שאינה אלמנטרית. הגדרה 41 (פונקציה אלמנטרית): נגדיר את הפונקציה (x T: ower,i) הפעלה i פעמים של הפונקציה המעריכית, כאשר: { 2 x i = 1 T ower (i, x) = 2 T ower(i 1,x) otherwise נאמר על פונקציה f שהיא אלמנטרית אם קיים k כך שבאופן אסימפטוטי: < (x) f.t ower (x, k) משפט 42: אין תרגום בסיבוכיות אלמנטרית מנוסחת MLO לאוטומט Büchi מעל ω מחרוזות. 3.8 גרסת סדר ראשון של MSO הגדרה 43 (גרסת סדר ראשון של :(MSO נגדיר את גרסת הסדר הראשון של First-) MSO :(Order version of MSO תהי לוגיקה מונדית מסדר שני מעל החתימה. יהי A מבנה של. מבנה קבוצת החזרה של P (A) A הוא מבנה עבור { }. האיברים של (A) P הם תתי הקבוצות של A. הפירוש של סימני היחס: 1. : יחס הכלה של קבוצות..R A (a 1, a 2 ו ( A i = {a i } אם R P(A) (A 1, A 2 ).2 באופן דומה, מגדירים גם סימני יחס n מקומיים. משפט 44: השפה המונדית מסדר שני מעל A שקולה לגרסת הסדר הראשון שלה מעל (A) P. 3.9 הקשר לביטויים רגולריים נבצעתרגום מביטויים רגולריים (של מחרוזות) ל MLO. עבור כל ביטוי E נרצה לבנות פסוק ϕ E שמקבל בדיוק את אותן המחרוזות (כלומר שניהם מגדירים את אותה השפה). בשביל הנוחות, נבנה את ) 1,ϕ E (t 0, t כך שעבור כל מחרוזת,s נפרש את t 0, t 1 כ j i < ב s. נרצה ש [ j s [i, יהיה ב E אם ורק אם ) 1.s i,j = ϕ E (t 0, t נראה באינדוקציה: בסיס צריך להראות שאם,t 0 = t 1 אזי.P a מעברים עבור,E 1 + E 2 עם האופרטור. עבור E 1 ; E 2 גם קל. עבור + :E קיימת קבוצה Y (של נקודות חלוקה), כך שעבור כל זוג איברים עוקבים ב Y, המחרוזת בין האיברים האלה נמצאת ב E. 20

פרק 3. לוגיקה מונדית 3.10. פער לא אלמנטרי בתמציתיות בין MLE לאוטומטים 3.10 פער לא אלמנטרי בתמציתיות בין MLE לאוטומטים הגדרה 45 (מונה :(Counter לכל n, נגדיר קבוצה של מחרוזות שלהן נקרא מונים ברמה.n המונים ברמה n הם מחרוזות מעל האלפבית } n, 0 n, 1..., 2,{0 1, 1 1, 0 2, 1 והם יכולים למנות עד 1 1) (n,.t ower המונים ברמה 1 הם 0 1 ו 1, 1 והערכים שלהם הם 0 ו 1, בהתאמה. המונים ברמה 2 הם ארבע מחרוזות מהצורה 1 1 a0 1 b כאשר } 2 {0 2, 1 b.a, הערכים הם: V al (1 1 a0 1 b) = 2 a + b מונים ברמה + 1 n הם מהצורה,s 1 a 1 s 2 a 2... s k a k כאשר s 1,..., s k היא רשימה של כל המונים ברמה n בסדר יורד, ו { n+1.a i {0 n+1, 1 הערך של מונה ברמה + 1 n מוגדר בצואה הבאה: V al (s 1 a 1 s 2 a 2... s k a k ) = 2 k 1 a 1 + 2 k 2 a 2 +... 2 0 a k למה :46 יש נוסחה ) 2 Count n (t 1, t כך שלכל מחרוזת u ו N u =,i j,i, j n. היא מונה ברמה,i] [j במקומות u אם ורק אם תת המחרוזת של Count n,i) (j כמו כן, הגודל של Count n הוא אקספוננציאלי ב n. הוכחה: נניח ש [.v = u [t 1, t 2 אזי הנוסחה ) 2 Count n (t 1, t אומרת את הדברים הבאים: n. מתחילה במונה המקסימלי ברמה v 1. לשם כך, נגדיר את ) t :Max n,t) המונה המקסימלי ברמה n. הוא מוגדר על ידי.0 n ואין מופע של,Count n (t, t ) הוא מוגדר על ידי n. ולפניה יש מונה מינימלי ברמה 0}, 1+n, 1 1+n מסתיימת באות ב { v 2. לשם כך, נגדיר את ) t :Min n,t) המונה המינימלי ברמה n..1 n ואין מופע של,Count n (t, t ) 3. אם ב t יש אות ב { 1+n 0}, 1+n, 1 אזי מייד לפני t יש מונה v ברמה n, ומייד אחרי.v הוא הערך של + 1 v והערך של,n ברמה v יש מונה t לשם כך, נגדיר את ) h :Next n (t, t, h, הערך של המונה ברמה n ב [ t [t, הוא העוקב של הערך של המונה ברמה n ב [ h,h]. כמו כן, נגדיר גם את הנוסחה הבאה: ) h :Same n,t) t,,h הערך של המונה ברמה n על.[h, h ] על n הוא אותו הערך כמו של המונה ברמה [t, t ] יהי l n האורך המקסימלי של.Same n,next n,min n,max n,count n קל לראות ש n 1.l n < 10 l לכן,.l n < 10 n l 0 מסקנה 47: יש פער לא אלמנטרי בתמציתיות בין MLOלאוטומטים. הגדרה 48 (ביטוי רגולרי מורחב Expression) :((Extenden Regular מגדירים ביטוי רגולרי מורחב Expression),(Extended Regular או בקיצור,ERE כביטוי רגולרי, התומך בנוסף בפעולת ההשלמה:. ERE 21

פרק 3. לוגיקה מונדית 3.11. סיכום לביטויים רגולריים מורחבים יש את אותו כוח הביטוי כמו לביטויים רגולריים רגילים. הגדרה 49 (ביטוי רגולרי מורחב ללא כוכב Expression) :((Extended Star Free Regular מגדירים ביטוי רגולרי מורחב ללא כוכב ) Expression,(Extended Star Free Regular או בקיצר,SF כביטוי רגולרי מורחב, אך ללא פעולת הכוכב ) ). כלומר: SF = a SF ; SF SF + SF SF משפט 50: יש פער לא אלמנטרי בתמציתיות בין ביטויים רגולריים מורחבים ללא כוכב לבין אוטומטים. 3.11 סיכום לכל אוטומט A בנינו נוסחה שמגדירה את אותה ω שפה. נניח ש ϕ ספיקה על ω מחרוזת. אזי היא ספיקה גם על מחרוזת פריודית מהצורה.uv ω נוכיח את זה בעזרת העובדה ש ϕ שקולה לאוטומט, והאוטומט מקבל מחרוזת מחזורית. 22

פרק 4 לוגיקת זמן Logic) (Temporal 4.1 הגדרה ללוגיקת זמן בסיסית נגדיר לוגיקת זמן בסיסית: התחביר: המשתנים:..., 2.p 1, p הקשרים :(Modalities) כלומר בסופו של דבר. לפעמים מסומן גם ב F.,Eventually כלומר תמיד. לפעמים מסומך גם ב G.,Always הנוסחאות הן מהצורות הבאות:.p i. F.F 1 F 2.F 1 F 2.F 1 F 2. F. F הסמנטיקה: המבנה (I M, =,T),> כאשר T הוא זמן, < הוא יחס סדר (על הזמן), (t) I : At P הוא הפירוש של האטומים בזמן. הספיקות:.t I (p) אם ורק אם M, t = p.m, t F אם ורק אם M, t = F.M, t = וגם F 2 M, t = אם ורק אם F 1 M, t = F 1 F 2.M, t = או F 2 M, t = אם ורק אם F 1 M, t = F 1 F 2 23

פרק 4. לוגיקת זמן Logic) (Temporal 4.2. לוגיקות זמן שקולות.M, t = גורר ש F 2 M, t = אם ורק אם F 1 M, t = F 1 F 2.M, t = F ש כך ב M t > t אם ורק אם קיים M, t = F.M, t = F מתקיים ב M t > t ורק אם לכל, Mאם t = F הלוגיקה הזאת מסומנת ב ( T. L, ) 4.2 לוגיקות זמן שקולות נגדיר בצורה במנטית את הקשר M, t = ns F : ns אם ורק אם לכל t t מתקיים.T L (,, ns נסמן את הלוגיקה הזאת ב (.M, t = F שאלה האם ) ns?t L (, ) = T L (,, תשובה כן, כי ns F יהפוך ל.F F שאלה האם ) ns?t L (, ) = T L (, תשובה אין לנו דרך לבטא אם ns F באמצעות ו בלבד, ולכן התשובה היא לא. שאלה האם ) ns?t L ( ) = T L (,, תשובה ו. כן, כי F שקול ל F, וראינו כבר שאפשר לבטא את ns F באמצעות 4.3 עוד לוגיקות זמן נגדיר קשר חדש:.(Next) אם מדברים על זמן דיסקרטי, אזי,M t = F אם ורק אם יש רגע עוקב ל t (נקרא לו t) כך ש,M. t = F לפעמים מסמנים את ϕ גם ב Xϕ. נשים לב: F שקול ל. ns F חסר לנו קשר שאומר עד ש.(Until) לכן, נגדיר אותו באופן הבא: = 0,M t F Until G אם ורק אם קיים t 1 > t 0 כך ש G M, t 1 = וגם לכל ) 1 t (t 0, t מתקיים.M, t = F אי אפשר לבטא את Until בעזרת,,, אבל ההיפך לא נכון: ϕ true Until ϕ ϕ false Until ϕ ϕ ( ϕ) עד עכשיו הסתכלנו על לוגיקת זמן עתידית. אפשר גם להגדיר לוגיקת זמן עבר, באמצעות הקשרים,Since, ו. אפשר להגדיר גם Until ns שמדבר על אינטרוול סגור. מגדירים זאת כך: ϕ Until ns ψ ϕ (ϕ Until ψ) 24

פרק 4. לוגיקת זמן Logic) (Temporal 4.4. דוגמאות להצרנות 4.4 דוגמאות להצרנות נניח שאנחנו מתכננים מפרט למעלית. נרצה שהמעלית שלנו תקיים את התכונות הבאות: 1. דלת בקומה כלשהי לא נפתחת אם תא המעלית לא נמצא באותה הקומה. 2. אורות החיווי משקפות את המצב של הבקשות הנוכחיות. נניח שבבניין יש 10 קומות. לכן, לכל 10} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,i הפרדיקטים שלנו יהיו: :OpenDoor i הדלת של קומה i פתוחה..i המעלית נמצאת בקומה :At i.i המעלית נקראה מקומה :Call i :CallLight i נורית החיווי בקומה i דלוקה. נצרין את 1: AL (OpenDoor i At i ) כאשר.(Always) AL (F ) = F F F נצרין את 2: נוסיף את הפרדיקט,Service i שמוגדר על ידי: Service i At i OpenDoor i AL ((Call i CallLight i ) Until Service i ) אזי ההצרנה של 2 תהיה: נראה עוד דוגמה: P 1 נכון תמיד החל מנקודה כלשהי בעתיד Often).(Innitely מעל. P 1 N: מעל R: יכול להיות ש P 1 לא חסום, ואז P 1 מתקיים. מצד שני, יכול להיות שיש t בעתיד כך ש: t = sup {t t < t P 1 (t )} t = inf {t t > t P 1 (t )} או: נגדיר את ה Modelities הבאים: ) 1 :K (P נכון ב t אם (t)}.t = sup {t t < t P 1 אפשר לומר: K (P 1 ) ( P Since true) ) 1 :K + (P באופן דומה. 25

פרק 4. לוגיקת זמן Logic) (Temporal.4.5 משפט Kamp אזי את P 1 נכון תמיד החל מנקודה כלשהי בעתיד Often) nitely In ) נתרגם בצורה הבאה: ( P 1 ) ( K (P 1 ) ) ( K + (P 1 ) ) מעל Q לא נוכל להצרין את הטענה, מכיוון שהיא לא ניתנת להצרנה בלוגיקה מסדר ראשון. 4.5 משפט Kamp 4.5.1 משפט Kamp 4.5.1.1 מ L T ל FOMLO כל ה Modalities שראינו יכולים להיתרגם בקלות ללוגיקה מונדית מסדר ראשון עם סדר :P Until Q למשל, עבור הנוסחה.(FOMLO) ϕ Until (x 0, P, Q) x. (x > x 0 Q (x ) ( x 1. ((x 0 < x 1 x 1 < x ) P (x 1 )))) משפט 51 (מ ( Since T L (Until, ל FOMLO ): לכל נוסחה Since) A T L (Until, יש נוסחהFOMLO ϕ A (x 0 ) כך שלכל M ו t : M, t = A M, t = ϕ A (x 0 ) הוכחה: באמצעות אינדוקציה מבנית פשוטה. 4.5.1.2 משפט Kamp הגדרה 52 (שרשרת): סדר לינארי עם פרדיקטים מונדים נקרא שרשרת.(Chain) משפט :53 לכל נוסחה ϕ (x 0 ) FOMLO עם איבר חופשי אחד יש נוסחה Since) A T L (Until, ששקולה ל ϕ מעל שרשראות של (>,N). הגדרה 54 (שלמות :(Dedekind סדר לינארי (>,T) ייקרא Dedekind שלם Dedekind-) S: T אם לכל תת קבוצה לא ריקה (Complete 1. אם ל S יש חסם תחתון ב T, אז יש לה חסם תחתון צמוד ב T, כלומר.inf (S) T 2. אם ל S יש חסם עליון ב T, אז יש לה חסם עליון צמוד ב T, כלומר.sup (S) T דוגמה 55: N, R Z, הם Dedekind שלמות. Q היא לא Dedekind שלמה. משפט 56: לכל נוסחה ϕ x) 0 ) FOMLO עם משתנה חופשי יחיד יש נוסחה A Since) T L (Until, ששקולה ל ϕ מעל שרשרת שהיא Dedekind שלמה. 26

פרק.4 לוגיקת זמן Logic) (Temporal.4.5 משפט Kamp 4.5.2 הוכחת משפט Kamp 4.5.2.1 על ההוכחה משפט מכונן זה הוא יריית הפתיחה למחקר של תחום שלמות הביטוי, והוא עדיין אחת התוצאות הכי מעניינות והייחודיות בלוגיקה טמפורלית. קיימות מעט מאוד, אם בכלל, תוצאות מודאליות דומות. נמצאו כמה הוכחות חלופיות של המשפט, ותוצאות חזקות יותר, אך אף אחת מהן אינה טריוויאלית (לפחות לרוב האנשים). המשפט של Kamp הוכח: 1. בתזה של (1968). Kamp ההוכחה כוללת יותר מ 100 עמודים. 2. מתווה של ההוכחה פורסם על ידי Stavi,Pnueli,Gabbay ו Shelah (1980) עבור N, ונאמר שההוכחה יכולה להתרחב גם לכל מרחב שהוא Dedekind שלם. 3. על ידי (1981) Gabbay על ידי טענת ההפרדה ל N. ההוכחה הורחבה לכל מרחב Dedekind שלם מאוחר יותר. 4. על ידי (1995) Hodkinson על ידי טענות משחקים, וההוכחה הופשטה ב 1999 (ההפשטה לא פורסמה). הגדרה 57 (תכונת ההפרדה): אם כל נוסחה שקולה לקומבינציה בולאנית של הזמנים עתיד, עבר והווה, הלוגיקה מקיימת את תכונת ההפרדה. 4.5.2.2 נוסחאות הגדרה 58 (נוסחאות ): תהי Σ קבוצה של פרדיקטים מונדיים. נוסחת מעל Σ היא נוסחה מהצורה: ψ (z 0,..., z m ) = x n... x 1 x 0. ( m ) z k = x ik (x n > x n 1 > > x 1 > x 0 ) k=0 } {{ } Ordering n α j (x j ) j=0 }{{} Each α j holds at x j n [ ] ( y) >xj >x j 1 β j (y) j=1 }{{} Each β j holds along (x j 1, x j ) ( y) >xn β n+1 (y) }{{} β n+1 holds everywhere after x n ( y) <x0 β 0 (y) }{{} β 0 holds everywhere before x 0 27

פרק.4 לוגיקת זמן Logic) (Temporal.4.5 משפט Kamp β 0 β 1 β 2 β 3 β 4 β 4 α 0 (x 0 ) α 1 (x 1 ) α 2 (x 2 ) α 3 (x 3 ) α 4 (x 4 ) z 0 z 1 איור :4.1 דוגמה לנוסחת 1+n β} j } הן נוסחאות ללא כמתים מעל Σ, וכן: כאשר i=0 {α j} n ו j=0 x n > > x 1 > x 0 ( y) <c0 >c 1 ϕ y. ((c 0 < y y < c 1 ) ϕ) n 1 j=0 x j < x j+1 ניתן לראות דוגמה לנוסחת באיור 4.1. התכונות של נוסחאות : 1. קוניונקציה (באמצעות ) של נוסחאות שקול לדיסיונקציה (באמצעות ) של (כמה) נוסחאות. 2. כל נוסחת שקולה לקוניונקציה של נוסחאות עם לכל יותר שני משתנים חופשיים..3 לכל נוסחת,ϕ הנוסחה x.ϕ שקולה לנוסחת. הגדרה 59 (נוסחאות ): נוסחה היא נוסחת אם היא שקולה לקוניונקציה של נוסחאות. למה 60 (תכונות הסגירות): הקבוצה של נוסחאות סגורה תחת הפעלות של, ו. הוכחה: באמצעות שימוש בתכונות 1 ו 3, ובחלוקה של עם. קבוצת נוסאחות ה לא סגורה תחת שלילה ( ). אולם השלילה של נוסחת שקולה לנוסחת בהרחבה של שרשראות על ידי כל הפרדיקטים הניתנים להגדרה ב ( Since.T L (Until, 28

פרק 4. לוגיקת זמן Logic) (Temporal.4.5 משפט Kamp 4.5.2.3 מנוסחאות לנוסחאות Since) T L (Until, טענה 61: כל נוסחת עם איבר חופשי אחד שקולה לנוסחה ב ( Since T. L (Until, ϕ x n... x 1 x 0.z 0 = 0 k (x n > x n 1 > > x 1 > x 0 ) n j=1 הוכחה: ϕ שקולה ל ψ כאשר: n α j (x j ) j=0 [( ) ( ) ( y) <xj >x j 1 β j (y) ( y) <x 0 β 0 (y) ( ( y) >xn β n (y) )] ψ = (A k (B k+1 Until (A k+1 (B k+2 Until (A n 1 (B n Until (A n B n+1 ))) )))) ( A k ( B k 1 Since ( A k 1 ( B k 2 Since (A 1 ( B 1 Since ( A 0 B 0 ))) )))) 4.5.2.4 הרחבה קנונית הגדרה 62 (הרחבה קנונית): נניח ש M הוא Σ שרשרת, ו L לוגיקה טמפורלית. נגדיר: L [Σ] = {A A is an L-formula over Σ} ההרחבה הקנונית לפי L של M היא הרחבה של M להיות [Σ] L שרשרת, כאשר.{a M M, a = מפורש כ { A A L [Σ] נאמר שנוחסאות מסדר ראשון בחתימה {>} [Σ] L שקולות מעל M (או מעל מחלקה C של Σ שרשראות) אם הן שקולות בהרחבה הקנונית של M (או בהרחבה הקנונית של כל.(M C 4.5.2.5 שקילות בהרחבה הקנונית נוסחאות ו מוגדרות כומ קודם, אבל עכשיו הן משמשות כאטומים בפרדיקטים הניתנים להגדרה ב L. כל מה שתקף קודם, תקף גם עכשיו, עבור הכתיב החדש של נוסחאות. בפרט, מעל הרחבה קנונית של Since) :T L (Until, 1. כל נוסחאת עם משתנה חופשי אחד שקולה לנוסחה ב ( Since T. L (Until, 2. קבוצת נוסחאות סגורה תחת קוניונקציה, דיסיונקציה וכימות קיום. כמו כן, הקבוצה של נוסחאות עכשיו סגורה גם תחת שלילה. 4.5.2.6 הוכחת משפט Kamp הצעה 63 (סגירות תחת שלילה): השלילה של נוסחאות עם לכל היותר שני משתנים חופשיים שקולה מעל שרשראות Dedekind שלמות לדיסיונקציה של נוסחאות. 29

פרק.4 לוגיקת זמן Logic) (Temporal.4.5 משפט Kamp α 0 (x 0 ) β 1 α 1 (x 1 ) β 2 α 2 (x 2 ) β 3 α 3 (x 3 ) β 4 α 4 (x 4 ) z 0 z 1 איור :4.2 ) 1 [α 0, β 1, α 1, β 2,..., β n, α n ] (z 0, z הוכחה: השלילה של: ( ( n ) ( n 1 )) x 0... x n. z = x 0 (x 0 < x 1 < x n ) x n = z 1 α i (x 1 ) ( y) <xi+1 >x i β i+1 (y) שקולה לדיסיונקציה של נוסחאות. נוכיח את זה בשלבים. נסמן ב ( [α 0, β 1, α 1, β 2,..., β n, α n ] (z 0, z 1 את הנוסחה לעיל. לכך באיור 4.2. ניתן לראות דוגמה x 1... x n (z 0 < x 1 < < x n < z 1 ) n שקולה טענה :64 השלילה של ) i i=1 P i (x לנוסחה ) 1 O n [P 1,..., P n ] (z 0, z שהיא נוסחת. הוכחה: באינדוקציה על n. בסיס: = 1.n אזי הנוסחה שלנו היא ) 1. x 1.z 0 < x 1 < z 1 P 1 (x ברור שנוסחה זו היא נוסחת, ולכן גם נוסחת. מעבר: נניח n. נוכיח + 1 n. יש לנו שני מקרים: i=0 i=0.(z 0, z 1 ) לא נכונה על P 1 מקרה 1 מקרה P 1 2 נכונה בנקודה ב (.(z 0, z 1 יהיה (t)}.z = inf {t (z 0, z 1 ) P 1 אם,z = z 0 אזי ) 0.K + (P 1 ) (z אחרת, ) 1.z (z 0, z בתת מקרה זה, z ניתן להגדרה על ידי נוסחת : z 0 < z < z 1 ( ( y) <z >z 0 P 1 (y) ) P 1 (z) K + (P 1 ) (z) z 0 (עבור ( y) <z1 >z 0 לכן, ) 1 O n+1 [P 1,..., P n+1 ] (z 0, z היא דיסיונקציה של (y) P 1 (z 1 של:.K + (P 1 ) (z 0 ) O n [P 2,..., P n+1 ] (z 0, z 1 ).1. z. ( z 0 < z < z 1 ( ( y) <z >z 0 P 1 (y) ) (P 1 (z) K + (P 1 ) (z)) O n [P 2,..., P n+1 ] (z, z 1 ) ).2 זה שקול לנוסחת. 30

פרק.4 לוגיקת זמן Logic) (Temporal.4.5 משפט Kamp ( z) <z1 >z 0 [α 0, β 1, α 1, β 1,..., β n, α n ] (z 0, z) ( z) <y >x ϕ z. (x < z < y ϕ) מסקנה 65: הנוסחה שקולה לנוסחת, כאשר: הוכחה: נגדיר את F n להיות α n ו i 1 F להיות.α i 1 β i UntilF i אזי: ( z) <z1 >z 0 [α 0, β 1, α 1, β 2,..., β n, α n ] (z 0, z) F 0 (z 0 ) x 1... x n (z 0 < x 1 < < x n < z 1 אם ורק אם ) n F i (x i ), F 0 (z 0 ) O n [F 1,..., F n ] (z 0, z 1 שקולה ל ( ( z) <z1 >z 0 לכן, z) [α 0, β 1, α 1, β 2,..., β n, α n ] (z 0, ששקולה לנוסחת. נוכיח כעת ש ( [α 0, β 1, α 1, β 2,..., β n, α n ] (z 0, z 1 שקולה מעל שרשראות Dedekind שלמות לנוסחת. נחלק את ההוכחה ל 3 מקרים: i=1. (β 1 Untilα 1 ) (z 0 ) או α 0 (z 0 ).1 מקרה זה כבר מתאר נוסחת (בהרחבה קנונית). לכן, במקרה זה, ) 1 [α 0, β 1, α 1, β 2,..., β n, α n ] (z 0, z שקולה ל true..(z 0, z 1 נכונה ב ( וגם β 1 α 0 (z 0 ).2 המקרה הזה מתואר על ידי נוסחת : α 0 (z 0 ) ( ( z) <z1 >z 0 β 1 (z) ) במקרה הזה, הנוסחה ) 1 [α 0, β 1, α 1, β 2,..., β n, α n ] (z 0, z שקולה ל אין z ) 1 (z 0, z כך ש ( α ]. 1, β 2,..., β n, α n ] (z, z 1 ממסקנה,65 הנוסחה ניתנת לביטוי כנוסחת.. β 1 (x) שמתקיים x (z 0, z 1 ) וגם יש α 0 (z 0 ) (β 1 Untilα 1 ) (z 0 ).3 בבירור, ניתן לכתוב את המקרה כנוסחת. נוכיח את מקרה זה באמצעות אינדוקציה על n. נגדיר את הנוסחאות הבאות: (א) z) A i (z 0, z) [α 0, β 1,..., β i, α i ] (z 0, עבור n}.i {1,..., (ב) ) 1 A + i (z, z 1) [α i, β i+1,..., β n+1, α n+1 ] (z, z עבור n}.i {1,..., 31

פרק 4. לוגיקת זמן Logic) (Temporal.4.5 משפט Kamp (ג) 1) A i (z 0, z, z 1 ) A i (z 0, z) A + i (z, z עבור n}.i {1,..., (ד) z) B i (z 0, z) [α 0, β 1,..., β i 1, α i 1, β i, β i ] (z 0, עבור 1} + n.i {1,..., (ה) ) 1 B + i (z, z 1 ) [β i, β i, α i, β i+1,..., β n+1, α n+1 ] (z, z עבור 1} + n.i {1,..., (ו) ) 1 B i (z 0, z, z 1 ) B i (z 0, z) B + i (z, z עבור 1} + n.i {1,..., B 2 (z 0, z, z 1 ) [α 0, β 1, α 1, β 2, β 2 ] (z 0, z) [β 2, β 2, α 2, β 3,..., β n+1, α n+1 ] (z, z 1 ) אם ) 1 z) 0, z היא קבוצה לא ריקה, נקבל: (( n ) ( n+1 )) [α 0, β 1, α 1, β 2,..., β n+1, α n+1 ] (z 0, z 1 ) ( z) <z1 >z 0 A i B i i=1 i=1 ( ( z) <z 1 >z 0 ϕ (z) ) [α 0, β 1, α 1, β 2,..., β n+1, α n+1 ] (z 0, z 1 ) ( z) <z1 >z 0 ( ϕ (z) n i=1 ) n+1 A i B i ( ) ( z) <z1 >z 0 inf (z) [α 0, β 1, α 1, β 2,..., β n+1, α n+1 ] (z 0, z 1 ) β 1 i=1 לכן, לכל ϕ שקול ל: בפרט, ( z) <z1 >z 0 ( inf (z) β 1 n i=1 ) n+1 A i B i i=1 שקול ל: לכל אחד מהמקרים: 1. בנינו נוסחת, שנקרא לה,Cond i שמתארת את המקרה..2 הראנו שאם Cond i נכונה, אז ) 1 [α 0, β 1, α 1, β 2,..., β n, α n ] (z 0, z שקולה לנוסחה F orm i שהיא נוסחת. לכן, ) 1 [α 0, β 1, α 1, β 2,..., β n, α n ] (z 0, z שקולה ל [ i [Cond i F orm i, שהיא נוסחת. הצעה 66: כל נוסחה מסדר ראשון שקולה מעל שרשרת Dedekind שלמה לדיסיונקציה של נוסחאות. 32

פרק 4. לוגיקת זמן Logic) (Temporal.4.6 משפט Stavi משפט :(Kamp) 67 לכל נוסחה ϕ (x) FOMLO עם משתנה חופשי אחד יש נוסחה ב ( Since T L (Until, ששקולה ל ϕ מעל שרשראות Dedekind שלמות. הוכחה: (x) ϕ שקולה מעל שרשראות Dedekind שלמות לדיסיונקציה של נוסחאות. נקרא להן (x)}.{ϕ i (x) ϕ i שקולה לנוסחה ב ( Since.T L (Until, לכן, (x) ϕ שקולה מעל שרשראות T. L (Until, לנוסחה ב ( Since Dedekind שלמות 4.6 משפט Stavi ראינו ש ( Since T L (Until, יותר חלשה מ FOMLO מעל Q. נגדיר קשר חדש: ה Until של P Until s Q :Stavi מתקיים ב t 0 אם יש מרווח g > t 0 כך ש:.(t 0, g) מתקיים על P.1 מתקיים במרחק שרירותי מ g. P 2. g. מתקיים כמה זמן אחרי Q 3. באופן דומה, מגדירים את ה Since של.(Since s ) Stavi משפט :(Stavi) 68 ל ( T L (Until, Since, Until s, Since s יש כוח ביטוי שקול ל FOMLO מעל כל סדר לינארי. פורסמו שתי הוכחות למשפט.Stavi שתיהן קשות באופן קיצוני. ההוכחה שלנו למשפט.Stavi ניתנת לשינוי בקלות כדי להוכיח את משפט Kamp 33