Τρίγωνα. Απέναντι από την Α γωνία είναι η α πλευρά, απέναντι από τη Β γωνία είναι η β πλευρά, και απέναντι από τη Γ γωνία είναι η γ πλευρά.

Τρίγωνα Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι 3 πλευρές του και οι 3 γωνίες του. Απέναντι από την Α γωνία είναι η α πλευρά, απέναντι από τη Β γωνία είναι η β πλευρά, και απέναντι από τη Γ γωνία είναι η γ πλευρά. Το άθροισμα των πλευρών του τριγώνου λέγεται περίμετρος Π και συμβολίζεται με τ. Είναι δηλαδή Ταξινόμηση τριγώνων Ως προς τις γωνίες α) Οξυγώνια όπου όλες οι γωνίες είναι οξείες β) Ορθογώνια όπου μια γωνία είναι ορθή γ) Αμβλυγώνια όπου μια γωνία είναι αμβλεία Ως προς τις πλευρές α) Σκαληνά όπου οι πλευρές του είναι άνισες β) Ισοσκελή όπου δύο πλευρές είναι ίσες γ) Ισόπλευρα όπου όλες οι πλευρές είναι ίσες Δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου Τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου είναι τα 3 ύψη, οι 3 διάμεσοι και οι 3 διχοτόμοι. Διάμεσος ενός τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς. Ανάλογα με το σε ποια πλευρά καταλήγει έχουμε και το παρακάτω σύμβολο,,. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης

Διχοτόμος ενός τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα της διχοτόμου της γωνίας, από την κορυφή της μέχρι την απέναντι πλευρά. Ανάλογα με το σε ποια πλευρά καταλήγει έχουμε και το παρακάτω σύμβολο,,. Ύψος ενός τριγώνου είναι το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα από την κορυφή προς την απέναντι πλευρά. Ανάλογα με το σε ποια πλευρά καταλήγει έχουμε και το παρακάτω σύμβολο,,. Στο ορθογώνιο τρίγωνο οι κάθετες πλευρές είναι και ύψη του τριγώνου και μόνο το ύψος που καταλήγει στην υποτείνουσα διαφοροποιείται. Έτσι στο παραπάνω σχήμα είναι,,. Στο αμβλυγώνιο τρίγωνο μόνο το ύψος που άγεται από την κορυφή της αμβλείας γωνίας είναι εντός του τριγώνου, ενώ τα άλλα δύο ύψη του είναι εκτός αυτού. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης

Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο οι δύο πλευρές είναι ίσες. Η τρίτη πλευρά λέγεται βάση και η απέναντι κορυφή λέγεται κορυφή του ισοσκελούς. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο ισχύουν τα παρακάτω : Οι γωνίες που είναι προσκείμενες στη βάση είναι ίσες. Το ύψος, η διάμεσος και η διχοτόμος από την κορυφή του, ταυτίζονται. Τα ύψη, οι διχοτόμοι και οι διάμεσοι που άγονται από τις ίσες γωνίες είναι ίσα. Παρατήρηση ) Αν σε ένα τρίγωνο ισχύει κάποιο από τα παραπάνω τότε το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές )Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο τα παραπάνω ισχύουν για κάθε κορυφή. Ορισμός Ισότητα τριγώνων Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν με κατάλληλη μετατόπιση ταυτίζονται. Δύο τρίγωνα λοιπόν είναι ίσα όταν έχουν όλες τους τις πλευρές και όλες τους τις γωνίες μία προς μία. Όταν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε και τα δευτερεύοντα στοιχεία τους είναι αντίστοιχα ίσα. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Για να αποδείξουμε ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα δεν είναι ανάγκη να αποδείξουμε ότι έχουν 3 πλευρές και 3 γωνίες ίσες αλλά κάποια από αυτά όπως φαίνεται παρακάτω. ο κριτήριο ( Π-Π-Π) : Όταν δύο τρίγωνα έχουν τις 3 πλευρές τους ίσες μία προς μία τότε είναι ίσα. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 3

ο κριτήριο ( Π-Γ-Π) : Όταν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες των πλευρών αυτών ίσες τότε είναι ίσα. 3 ο κριτήριο ( Γ-Π-Γ) : Όταν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά τους ίση και τις προσκείμενες στις πλευρές αυτές γωνίες ίσες μία προς μία τότε είναι ίσα. Παρατήρηση Αν βγάλουμε δύο τρίγωνα ίσα τότε και τα υπόλοιπα στοιχεία τους θα είναι ίσα και μάλιστα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές και αντίστροφα. Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων Τα ορθογώνια τρίγωνα έχουν εξ ορισμού μια γωνία ίση, την ορθή. Συνεπώς τα στοιχεία τα οποία πρέπει να ελέγξουμε σε σχέση με τα τυχαία τρίγωνα είναι λιγότερα. ο κριτήριο : Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν δύο (οποιεσδήποτε) αντίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία. ο κριτήριο : Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν μια (οποιαδήποτε ) αντίστοιχη πλευρά και την προσκείμενη οξεία γωνία ίσες μία προς μία. Σημαντική παρατήρηση Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι δύο τμήματα ή δυο γωνίες είναι ίσα, συνήθως βρίσκουμε δύο τρίγωνα που να έχουν για πλευρές ή γωνίες αυτά που θέλουμε να βγάλουμε ίσα (το καθένα από μία ) και προσπαθούμε να τα βγάλουμε ίσα. Αν τα τρίγωνα στα οποία ανήκουν δεν μπορούμε να τα βγάλουμε ίσα, τότε βρίσκουμε κάποια άλλα τρίγωνα που να μπορούμε να τα βγάλουμε ίσα και από τα οποία θα προκύψουν ισότητες πλευρών ή γωνιών που μας ενδιαφέρουν για να βγάλουμε τα αρχικά τρίγωνα που θέλαμε ίσα. Συμπληρωματικά στοιχεία Μεσοκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι μια ευθεία κάθετη στο μέσο του. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 4

Κάθε σημείο που ανήκει στη μεσοκάθετο ισαπέχει από τα άκρα του ΑΒ και αντίστροφα, κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα του ΑΒ βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετο του ΑΒ. Η μεσοκάθετος λοιπόν του ΑΒ είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που έχουν την ιδιότητα να ισαπέχουν από τα άκρα του ΑΒ. Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας και αντίστροφα, αν ένα σημείο ισαπέχει από τις πλευρές μιας γωνίας τότε ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας. Η διχοτόμος λοιπόν μιας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που έχουν την ιδιότητα να ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας. Από σημείο εκτός ευθείας ε μπορούμε να φέρουμε μοναδική ευθεία ζ παράλληλη στην ε και γράφουμε ε//ζ. Από σημείο Α εκτός ευθείας ε μπορούμε να φέρουμε μοναδική ευθεία ζ κάθετη στην ε και γράφουμε ε ζ. Το σημείο Β που τέμνει η ζ την ε λέγεται ίχνος της καθέτου ή ορθή προβολή του Α στην ε ή προβολή του Α στην ε. Το μήκος του τμήματος ΑΒ λέγεται απόσταση του Α από την ε. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 5

Αν οι αποστάσεις δύο σημείων Α και Γ από ευθεία ε είναι ίσες λέμε ότι τα σημεία Α και Γ ισαπέχουν από την ε. Ισότητα τόξων, χορδών και αποστημάτων Το ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινάει από το κέντρο ενός κύκλου και καταλήγει κάθετα σε μια χορδή του κύκλου λέγεται απόστημα. Το ίχνος του αποστήματος είναι και το μέσο της χορδής. Αν προεκτείνουμε το απόστημα τότε το σημείο που θα τμήσει το κύκλο είναι το μέσο του τόξου που αντιστοιχεί στη χορδή αυτή. Το απόστημα διχοτομεί την επίκεντρη γωνία που αντιστοιχεί στη χορδή αυτή. Έτσι στο παραπάνω σχήμα για τη χορδή ΑΒ και το απόστημά της ΟΗ ισχύει :,, ˆ ˆ Σε ίσα τόξα ενός κύκλου ή ίσων κύκλων αντιστοιχούν ίσες χορδές και αντιστρόφως. Σε ίσες χορδές ενός κύκλου ή ίσων κύκλων αντιστοιχούν ίσα αποστήματα και αντιστρόφως. Έτσι στο παραπάνω σχήμα ισχύουν οι ισοδυναμίες : Αν σε μια άσκηση δοθεί σαν δεδομένο ότι δύο χορδές είναι ίσες τότε πολλές φορές είναι χρήσιμο να φέρνουμε τα αποστήματα, για τα οποία θα ξέρουμε ότι είναι ίσα. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 6

) Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ να συγκρίνετε α) τις διαμέσους ΒΖ, ΓΕ, β) τα ύψη ΒΚ, ΓΛ, γ) τις διχοτόμους ΒΜ, ΓΝ α) Αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές είναι ΑΒ=ΑΓ και επειδή Ε, Ζ μέσα είναι και ΒΕ =ΓΖ. Επίσης οι γωνίες της βάσης Β,Γ είναι ίσες Τα τρίγωνα ΒΕΓ, ΒΖΓ είναι ίσα ( Π-Γ-Π) αφού ΒΕ=ΓΖ, ΒΓ κοινή και ˆ ˆ. Επομένως και τα υπόλοιπα στοιχεί είναι ίσα και επειδή απέναντι από ίσες πλευρές ίσες γωνίες και αντίστροφα, έχουμε ότι ΒΖ=ΓΕ. β) Τα τρίγωνα ΒΚΓ, ΒΛΓ είναι ίσα αφού είναι ορθογώνια με ΒΓ κοινή και ˆ ˆ.Επομένως και τα υπόλοιπα στοιχεί είναι ίσα και επειδή απέναντι από ίσες πλευρές ίσες γωνίες και αντίστροφα, έχουμε ότι ΒΚ=ΓΛ. γ) Τα τρίγωνα ΒΜΓ, ΒΝΓ είναι ίσα ( Γ-Π-Γ) αφού ΒΓ κοινή, ˆ ˆ και ˆ ˆ ως μισές των ίσων Β,Γ.Επομένως και τα υπόλοιπα στοιχεί είναι ίσα και επειδή απέναντι από ίσες πλευρές ίσες γωνίες και αντίστροφα, έχουμε ότι ΒΜ=ΓΝ. ) Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ και προς τα δύο άκρα κατά ίσα τμήματα ΒΔ και ΓΕ. Να δείξετε ότι το ΑΔΕ είναι ισοσκελές. Οι γωνίες ˆ ˆ, είναι προσκείμενες στη βάση ΒΓ και άρα ˆ ˆ. Άρα και για τις παραπληρωματικές τους ˆ ˆ, είναι ˆ ˆ.Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα (Π-Γ-Π) αφού ΑΒ=ΑΓ, ΒΔ=ΓΕ και ˆ ˆ Επομένως και τα υπόλοιπα στοιχεί είναι ίσα και επειδή απέναντι από ίσες πλευρές ίσες γωνίες και αντίστροφα, έχουμε ότι ΑΔ=ΑΕ. Η τελευταία σχέση σημαίνει ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 7

3) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. α) Να δείξετε ότι το μέσο Μ της βάσης ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ισαπέχει από τις ίσες πλευρές. β)να δείξετε ότι η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας που σχηματίζουν οι αποστάσεις του Μ από τις ίσες πλευρές. α) Αρκεί να δείξουμε ότι ΜΔ = ΜΕ. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΜΒΔ και ΜΕΓ. Είναι ορθογώνια με ΜΒ = ΜΓ ( αφού Μ μέσο της πλευράς ΒΓ ) και ˆ ˆ ( γωνίες προσκείμενες στη βάση ισοσκελόυς τριγώνου). Επομένως είναι ίσα και συνεπώς είναι και ΜΔ = ΜΕ. β) Αρκεί να δείξουμε ότι ˆ ˆ. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΜΔ και ΑΜΕ. Είναι ορθογώνια με ΑΜ κοινή και ΜΔ = ΜΕ από το προηγούμενο ερώτημα. Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα και άρα ˆ ˆ. 4) Να αποδείξετε ότι τα μέσα των ίσων πλευρών ισοσκελούς τριγώνου ισαπέχουν α) από τη βάση β) από τις ίσες πλευρές Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 8

Έστω λοιπόν ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και Μ, Ν τα μέσα των ίσων πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. α) Θα δείξουμε ότι ΜΔ = ΝΕ (Σχήμα ) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΜΒΔ και ΝΕΓ. Είναι ορθογώνια με ΜΒ = ΝΓ ( ως μισά των ίσων πλευρών ΑΒ = ΑΓ ) και ˆ ˆ ( γωνίες προσκείμενες στη βάση ισοσκελόυς τριγώνου). Επομένως είναι ίσα και συνεπώς είναι και ΜΔ = ΝΕ. β) Θα δείξουμε ότι ΜΛ = ΝΚ ( Σχήμα ) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΜΛ και ΑΝΚ. Είναι ορθογώνια με ΜΑ = ΝΑ ( ως μισά των ίσων πλευρών ΑΒ = ΑΓ ) και έχουν τη γωνία ˆ κοινή. Επομένως είναι ίσα και συνεπώς είναι και ΜΛ = ΝΚ. 5) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και Μ, Ν τα μέσα των ίσων πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Έστω Δ και Ε σημεία της βάσης του τριγώνου, τέτοια ώστε ΒΔ = ΓΕ. Να δείξετε ότι : α) ΜΔ = ΝΕ β) ˆ ˆ γ ) το ΑΔΕ ισοσκελές α) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΜΒΔ και ΜΕΓ. Έχουν ΜΒ = ΝΓ ( ως μισά των ίσων πλευρών ΑΒ = ΑΓ ), ˆ ˆ ( γωνίες προσκείμενες στη βάση ισοσκελόυς τριγώνου) και ΒΔ = ΕΓ ( από την υπόθεση ). Επομένως τα τρίγωνα είναι ίσα ( ΠΓΠ) και συνεπώς ΜΔ = ΝΕ β) Τα τρίγωνα ΜΔΑ και ΝΕΑ είναι ίσα (ΠΓΠ) αφού έχουν ΑΜ = ΑΝ ( ως μισά των ίσων πλευρών ΑΒ = ΑΓ ), ΜΔ = ΜΕ ( από το προηγούμενο ερώτημα ) και ˆ ˆ (ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών ˆ ˆ οι οποίες είναι ίσες αφού στο προηγούμενο ερώτημα δείξαμε ότι τα τρίγωνα ΒΜΔ και ΝΕΓ είναι ίσα ). Άρα είναι και ˆ ˆ. γ) Από την προηγούμενη ισότητα των τριγώνων ΜΔΑ και ΝΕΓ προκύπτει ότι ΑΔ = ΑΕ πράγμα που σημαίνει ότι ΑΔΕ ισοσκελές. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 9

6) Οι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών των γωνιών της βάσης ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου τέμνονται στο Ο. Έστω Δ και Ε οι προβολές του Ο στις ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ του τριγώνου αντίστοιχα και Κ η προβολή του Ο στη βάση ΒΓ. α) Να δείξετε ότι ˆ ˆ ˆ ˆ β) Να δείξετε ότι ΟΔ = ΟΚ= ΟΕ. α)έστω λοιπόν ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και Δ, Κ, Ε οι προβολές του Ο στις ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ αντίστοιχα. Θυμίζουμε ότι εξωτερική γωνία ενός τριγώνου λέμε την παραπληρωματική της αντίστοιχης εσωτερικής γωνίας του τριγώνου.αφού λοιπόν οι γωνίες Β και Γ είναι ίσες ( ως προσκείμενες στη βάση ) και οι παραπληρωματικές τους θα είναι ίσες, δηλαδή οι εξωτερικές γωνίες Β και Γ είναι ίσες. Και επειδή έχουμε φέρει τις εξωτερικές διχοτόμους έχουμε ότι Β = Β 3 =Γ = Γ 3 δηλ. ˆ ˆ ˆ ˆ. β) Είναι γνωστό ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. Έτσι αφού το Ο ανήκει στη διχοτόμο της Β εξ θα ισαπέχει από τις πλευρές της ΒΔ και ΒΓ δηλαδή είναι ΟΔ = ΟΚ. Όμοια αφού το Ο ανήκει στη διχοτόμο της Γ εξ θα ισαπέχει από τις πλευρές της ΓΕ και ΒΓ δηλαδή είναι ΟΕ = ΟΚ.Τελικά είναι ΟΔ = ΟΚ = ΟΕ. 7) Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ και προς τα δύο της άκρα, κατά ίσα τμήματα ΒΔ και ΓΕ. α) Να δείξετε ότι τα Δ και Ε ισαπέχουν από τις ίσες πλευρές του τριγώνου.β) Να δείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές το Α και τις προβολές των Δ και Ε στις ίσες πλευρές, είναι ισοσκελές. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 0

Έστω λοιπόν Κ και Λ οι προβολές των Δ και Ε στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Αφού ΑΒΓ ισοσκελές Β = Γ ( ως προσκείμενες στη βάση ). Όμως Β = Β ( ως κατακορυφήν ) και Γ = Γ ( ως κατακορυφήν ). Συνεπώς είναι και Β = Γ. α) Θα δείξουμε ότι ΚΔ = ΛΕ. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΒΔΚ και ΓΕΔ. Είναι ορθογώνια με ΒΔ = ΓΕ ( από υπόθεση ) και Β = Γ ( το έχουμε αιτιολογήσει παραπάνω ).Επομένως είναι ίσα και συνεπώς ΚΔ = ΛΕ. β) Από την προηγούμενη ισότητα των τριγώνων προκύπτει επίσης ότι ΒΚ = ΓΛ. Επίσης ΑΒ =ΑΓ αφού ΑΒΓ ισοσκελές. Επομένως είναι και ΑΚ = ΑΛ ( ως άθροισμα των ίσων τμημάτων ΑΒ = ΑΓ και ΒΚ = ΓΛ ), πράγμα που αποδεικνύει ότι ΑΚΛ ισοσκελές. 8) Δίνεται κύκλος (Ο, ρ ) και μια χορδή του ΑΒ. Πάνω στη χορδή παίρνουμε δύο σημεία Γ και Δ έτσι ώστε ΑΓ = ΒΔ.α) Να δείξετε ότι ΟΓ = ΟΔ. β) Να δείξετε ότι το απόστημα της χορδής ΑΒ διχοτομεί το ΓΔ και τη γωνία ΓΟΔ. α) Θέλουμε να βγάλουμε τα ΟΓ και ΟΔ. Δημιουργούμε λοιπόν δύο τρίγωνα που στο ένα ανήκει το ΟΓ και στο άλλο το ΟΔ, με σκοπό να τα βγάλουμε ίσα. Τα δημιουργούμε λοιπόν με τις κατάλληλες προϋποθέσεις για μας φέρνοντας τις ακτίνες ΟΑ και ΟΒ.Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΟΑΓ και ΟΒΔ. Έχουν ΟΑ = ΟΒ (ως ακτίνες του κύκλου ) ΑΓ = ΒΔ ( από την υπόθεση ) Α = Β ( ως προσκείμενες στη βάση του ισοσκελόυς ΟΑΒ ) Τα τρίγωνα λοιπόν είναι ίσα ( ΠΓΠ) και συνεπώς είναι και ΟΓ = ΟΔ β) Αφού δείξαμε ότι ΟΓ = ΟΔ, συμπεραίνουμε ότι το τρίγωνο ΟΓΔ είναι ισοσκελές. Έτσι το απόστημα ΟΚ που για το ισοσκελές τρίγωνο ΟΓΔ είναι ύψος, θα είναι και διάμεσος και διχοτόμος του.το ότι είναι διχοτόμος σημαίνει ότι το ΟΚ διχοτομεί τη γωνία ΔΟΓ.Το ότι είναι διάμεσος σημαίνει ότι το Κ είναι το μέσο της ΓΔ και άρα το ΟΚ διχοτομεί το ΓΔ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης

9) Δίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι (Ο, Ρ ) και (Ο, ρ) με Ρ > ρ. Μια ευθεία ε τέμνει τους δύο κύκλους κατά σειρά στα σημεία Α, Β, Γ, Δ. Να δείξετε ότι ΑΒ = ΓΔ. Αυτό που θα σκεφτόταν να κάνει κάποιος για να δείξει ότι ΑΒ = ΓΔ, είναι να φέρει τις ακτίνες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ και να προσπαθήσει να βγάλει τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ ίσα. Αν όμως προσπαθήσει να το κάνει θα δει ότι δεν θα τα καταφέρει διότι δεν θα έχει επαρκή στοιχεία. Για αυτό λοιπόν σκεφτόμαστε να φέρουμε το απόστημα ΟΚ κάτι που το κάνουμε συχνά σε τέτοιες ασκήσεις. Τα τρίγωνα ΟΑΚ και ΟΔΚ είναι ίσα, αφού είναι ορθογώνια με ΟΚ κοινή και ΟΑ = ΟΔ ως ακτίνες του μεγάλου κύκλου. Από την ισότητα των τριγώνων αυτών προκύπτει ότι ΑΚ = ΚΔ.Όμως είναι και ΒΚ = ΚΓ γιατί γνωρίζουμε ότι το απόστημα ΟΚ καταλήγει στο μέσο της χορδής ΒΓ στο μικρό κύκλο. Τελικά είναι ΑΒ = ΓΔ ως διαφορά των ίσων τμημάτων ΑΚ = ΚΔ και ΒΚ = ΚΓ. 0) Δίνεται κύκλος ( Ο, ρ ) και δύο ίσες χορδές του ΑΒ και ΓΔ που τέμνονται εντός του κύκλου στο σημείο Μ. Να δείξετε ότι η διχοτόμος μιας από τις δύο γωνίες με κορυφή το Μ διέρχεται από το Ο. Φέρνουμε το ΟΜ και θα δείξουμε ότι διχοτομεί τη γωνία ΑΜΔ. Αρκεί να δείξουμε ότι ˆ ˆ. Η ισότητα των χορδών ΑΒ και ΓΔ μας οδηγεί στη σκέψη να φέρουμε τα αποστήματα ΟΚ και ΟΛ για τα οποία ξέρουμε ότι είναι ίσα, αφού σε ίσες χορδές αντιστοιχούν ίσα αποστήματα.συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΟΜΚ και ΟΜΛ. Είναι ορθογώνια με ΟΜ κοινή και ΟΚ = ΟΛ ( ως αποστήματα που αντιστοιχούν σε ίσε χορδές ). Επομένως τα τρίγωνα είναι ίσα και συνεπώς είναι και ˆ ˆ. Παρατήρηση : Όταν δίνεται ως υπόθεση ισότητα χορδών φέρνουμε τα αντίστοιχα αποστήματα για τα οποία ξέρουμε ότι είναι ίσα.είναι κάτι που το κάνουμε συχνά και που πρέπει να το έχετε υπ όψη σας. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης

) Δίνεται κύκλος (Ο,ρ ) και δύο ίσες χορδές του ΑΒ και ΓΔ που αν προεκταθούν τέμνονται στο σημείο Μ. Να δείξετε ότι ΜΑ = ΜΓ, ΜΒ = ΜΔ και ότι η ΟΜ διχοτομεί τη γωνία ΑΜΓ. Η ισότητα των χορδών ΑΒ και ΓΔ μας οδηγεί στη σκέψη να φέρουμε τα αποστήματα ΟΚ και ΟΛ για τα οποία ξέρουμε ότι είναι ίσα. Τα τρίγωνα ΟΚΜ και ΟΛΜ είναι ίσα αφού είναι ορθογώνια με ΟΜ κοινή και ΟΚ = ΟΛ ( ως αποστήματα που αντιστοιχούν σε ίσες χορδές ). Έτσι ΜΚ = ΜΛ και οι γωνίες ˆ ˆ. Αφού ˆ ˆ συμπεραίνουμε ότι η ΟΜ διχοτομεί τη γωνία ΑΜΓ. Επίσης τα αποστήματα ΟΚ και ΟΛ καταλήγουν στα μέσα των χορδών ΑΒ και ΓΔ πράγμα που σημαίνει ότι ΑΚ = ΚΒ, ΓΛ = ΔΛ. Τελικά ΜΑ = ΜΓ ως διαφορά των ίσων τμημάτων ΜΚ = ΜΛ και ΑΚ = ΓΛ.Επίσης ΜΒ = ΜΔ ως άθροισμα των ίσων τμημάτων ΜΚ = ΜΛ και ΒΚ = ΔΛ. ) Να αποδείξετε ότι αν δύο τρίγωνα είναι ίσα, τότε και τα δευτερεύοντα στοιχεία τους θα είναι ίσα. Έστω λοιπόν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ τα οποία είναι ίσα και συνεπώς θα έχουν όλα τα κύρια στοιχεία τους ίσα ένα προς ένα. Θα δείξουμε ότι το ίδιο ισχύει και για τα δευτερεύοντα στοιχεία τους και συγκεκριμένα θα το δείξουμε για αυτά που άγονται από την κορυφή Α και έτσι ομοίως θα ισχύει και για τις άλλες κορυφές. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 3

Θα δείξουμε ότι τα ύψη ΑΔ και Α Δ είναι ίσα. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και Α Β Δ. Είναι ορθογώνια με ΑΒ = Α Β (υποθ) και ˆ ˆ ( υποθ) και συνεπώς είναι ίσα, πράγμα που σημαίνει ότι και ΑΔ=Α Δ. Θα δείξουμε ότι οι διχοτόμοι ΑΕ και Α Ε είναι ίσες. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΕ και Α Β Ε. Έχουν ΑΒ = Α Β (υποθ), ˆ ˆ ( υποθ) και ˆ ˆ ( ως μισά των ίσων γωνιών ˆ ˆ ). Συνεπώς είναι ίσα ( Γ Π Γ ), πράγμα που σημαίνει ότι ΑΕ = ΑΈ. Θα δείξουμε ότι οι διάμεσοι ΑΜ και Α Μ είναι ίσες. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΜ και Α Β Μ. Έχουν ΑΒ = Α Β (υποθ), ˆ ˆ ( υποθ) και ΒΜ = Β Μ ( ως μισά των ίσων τμημάτων ΒΓ = Β Γ ). Συνεπώς είναι ίσα ( Π Γ Π ), πράγμα που σημαίνει ότι ΑΜ = Α Μ. Παρατήρηση : Αν προσπαθήσετε να φέρετε στο ίδιο σκαληνό τρίγωνο το ύψος, τη διχοτόμο και τη διάμεσο από την ίδια κορυφή, θα έχετε πρόβλημα γιατί δεν θα ξέρετε ποια θα είναι στη μέση. Όπως όμως θα μάθουμε παρακάτω η σειρά είναι όπως παραπάνω, δηλαδή η διχοτόμος βρίσκεται πάντα ανάμεσα στο ύψος και τη διάμεσο. 3) Έστω δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ για τα οποία ισχύει ότι β = β, γ = γ και. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα. Έστω λοιπόν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με τα στοιχεία που περιγράφει η άσκηση. Θυμίζουμε ότι σημαίνει ότι οι διάμεσοι που άγονται από τις κορυφές Β και Β είναι ίσες. Δεδομένου ότι β = β, γ = γ, αυτό που μας λείπει για να βγάλουμε τα ΑΒΓ και Α Β Γ ίσα είναι η περιεχόμενη γωνία ή η τρίτη πλευρά Θα δείξουμε ότι ˆ ˆ. Συγκρίνουμε τα ΑΒΜ και Α Β Μ. Έχουν ΑΒ = Α Β ( υποθ γ = γ ), ΒΜ = Β Μ ( υποθ ) και ΑΜ = Α Μ ( ως μισά των ίσων τμημάτων β = β ). Επομένως είναι ίσα ( Π Π Π ) πράγμα που σημαίνει ότι και ˆ ˆ.Τελικά τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα ( Π Γ Π ), αφού β = β, γ = γ και ˆ ˆ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 4

4) Έστω δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ για τα οποία ισχύει ότι β = β, ˆ ˆ και. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα. Έστω λοιπόν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με τα στοιχεία που περιγράφει η άσκηση. Θυμίζουμε ότι σημαίνει ότι οι διχοτόμοι που άγονται από τις κορυφές Α και Α είναι ίσες. Δεδομένου ότι β = β, ˆ ˆ, αυτό που μας λείπει για να βγάλουμε τα ΑΒΓ και Α Β Γ ίσα είναι ή ότι γ = γ ή ότι ˆ ˆ. Θα δείξουμε ότι ˆ ˆ. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΔΓ και Α Δ Γ. Έχουν ΑΓ = Α Γ ( υποθ β = β ), ΑΔ = Α Δ ( υποθ ) και ˆ ˆ ( ως μισά των ίσων γωνιών ˆ ˆ ). Συνεπώς τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα ( Π Γ Π ), πράγμα που σημαίνει ότι ˆ ˆ. Τελικά τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα ( Γ Π Γ ), αφού β = β, ˆ ˆ και ˆ ˆ. 5) Έστω δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ για τα οποία ισχύει ότι α = α, και. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 5

Έστω λοιπόν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με τα στοιχεία που περιγράφει η άσκηση. Θυμίζουμε ότι και σημαίνει ότι οι διάμεσοι και τα ύψη που άγονται από τις κορυφές Α και Α είναι ίσα. Τα τρίγωνα ΑΔΜ και Α Δ Μ είναι ίσα, αφού είναι ορθογώνια με ΑΔ = Α Δ ( υποθ ) και ΑΜ = Α Μ (υποθ ).Επομένως είναι και ˆ ˆ. Τα τρίγωνα ΑΓΜ και Α Γ Μ είναι ίσα ( Π Γ Π ), αφού έχουν ΑΜ = Α Μ (υποθ ), ΜΓ = Μ Γ ( ως μισά των ίσων πλευρών α = α ) και ˆ ˆ ( ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών ˆ ˆ ). Επομένως είναι και ΑΓ = Α Γ και ˆ ˆ. Τελικά τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα ( Π Γ Π ) αφού έχουν ΒΓ = Β Γ, ΑΓ = Α Γ και ˆ ˆ. 6) Έστω δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ για τα οποία ισχύει ότι ˆ ˆ, και. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα. Έστω λοιπόν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με τα στοιχεία που περιγράφει η άσκηση. Θυμίζουμε ότι και σημαίνει ότι οι διχοτόμοι και τα ύψη που άγονται από τις κορυφές Α και Α είναι ίσα. Τα τρίγωνα ΑΔΕ και Α Δ Ε είναι ίσα, αφού είναι ορθογώνια με ΑΔ = Α Δ ( υποθ ) και ΑΕ = Α Ε (υποθ ).Επομένως είναι και ˆ ˆ. Τα τρίγωνα ΑΓΕ και Α Γ Ε είναι ίσα ( Γ Π Γ ), αφού έχουν ΑΕ = Α Ε (υποθ ), ˆ ˆ ( ως μισά των ίσων γωνιών ˆ ˆ ) και ˆ ˆ ( ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών ˆ ˆ ). Επομένως είναι και ΑΓ = Α Γ και ˆ ˆ. Τελικά τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα ( Π Γ Π ) αφού έχουν ˆ ˆ, ΑΓ = Α Γ και ˆ ˆ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 6

7) Έστω δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ για τα οποία ισχύει ότι β = β, γ = γ και. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα. Έστω λοιπόν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με τα στοιχεία που περιγράφει η άσκηση. Θυμίζουμε ότι σημαίνει ότι οι διάμεσοι που άγονται από τις κορυφές Α και Α είναι ίσες. Δεδομένου ότι β = β, γ = γ, αυτό που μας λείπει για να βγάλουμε τα ΑΒΓ και Α Β Γ ίσα είναι η περιεχόμενη γωνία ή η τρίτη πλευρά Θα δείξουμε ότι ˆ ˆ. Επειδή από διαμορφωμένα τρίγωνα, δεν μπορούμε να βγάλουμε κάποια ίσα προεκτείνουμε τις διαμέσους ΑΜ και Α Μ κατά ίσα τμήματα ΜΔ και Μ Δ αντίστοιχα. Είναι μια τεχνική που κάνουμε συχνά όταν έχουμε ισότητα διαμέσων και πρέπει να την έχετε υπ όψη σας. Τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΔΜΓ είναι ίσα ( Π Γ Π ) αφού ΒΜ = ΜΓ ( Μ μέσο), ΑΜ = ΜΔ ( από κατασκευή ) και ˆ ˆ ( ως κατακορυφήν ). Αυτό σημαίνει ότι ΑΒ = ΓΔ και ˆ ˆ (). Όμοια Α Μ Β = Δ Μ Γ και άρα Α Β = Γ Δ και ˆ ˆ (). Τα τρίγωνα ΑΓΔ και Α Γ Δ είναι ίσα ( Π Γ Π ), αφού ΑΓ = Α Γ ( υποθ β = β ), ΑΔ = Α Δ ( ως διπλάσια των ίσων τμημάτων ) και ΓΔ = Γ Δ ( αφού ΓΔ = ΑΒ = Α Β = Γ Δ ) Αυτό σημαίνει ότι ˆ ˆ (3) και ˆ ˆ (4). Από (), (), (3) συμπεραίνουμε ότι ˆ ˆ (5). Με πρόσθεση κατά μέλη των (3) και (5) έχουμε ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Τελικά τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ( Π Γ Π ), αφού β = β, γ = γ και ˆ ˆ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 7

8) Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και μια ευθεία ε που διέρχεται από το μέσο του ΑΒ. Να δείξετε ότι τα Α, Β ισαπέχουν από την ε. Τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΒΜΔ είναι ίσα αφού είναι ορθογώνια με ΑΜ=ΜΒ ( Μ μέσο ) και ˆ ˆ ως κατά κορυφήν. Άρα και τα υπόλοιπα στοιχεί είναι ίσα και επειδή απέναντι από ίσες πλευρές ίσες γωνίες και αντίστροφα, έχουμε ότι ΑΓ=ΒΔ δηλαδή τα Α, Β ισαπέχουν από την ε. 9) Δίνονται δύο ίσα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ, Θ το σημείο τομής της διαμέσου ΑΜ και της διχοτόμου ΒΔ και Θ το σημείο τομής της διαμέσου Α Μ και της διχοτόμου Β Δ. Να δείξετε ότι ΑΘ = Α Θ και ΘΔ = Θ Δ. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και Α Β Δ είναι ίσα αφού ΑΒ = Α Β ( υποθ), ˆ ˆ ( υποθ) και ˆ ˆ ( ως μισά των ίσων γωνιών ˆ ˆ ). Άρα ΒΔ = Β Δ (). Τα τρίγωνα ΑΒΜ και Α Β Μ είναι ίσα αφού ΑΒ = Α Β ( υποθ), ΒΜ = Β Μ ( ως μισά των ίσων ΒΓ = Β Γ ) και ˆ ˆ. Άρα ˆ ˆ Τα τρίγωνα ΑΒΘ και Α Β Θ είναι ίσα αφού ΑΒ = Α Β ( υποθ), ˆ ˆ ( ως μισά των ίσων γωνιών ˆ ˆ ) και ˆ ˆ ( από πριν ). Άρα ΑΘ = Α Θ και ΒΘ = Β Θ (). Τέλος με αφαίρεση κατά μέλη των () και () έχουμε ότι ΒΔ ΒΘ = Β Δ - Β Θ δηλαδή ΘΔ = Θ Δ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 8

0) Δίνονται δύο ίσα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ, Θ το σημείο τομής του ύψους ΑΕ και της διχοτόμου ΒΔ και Θ το σημείο τομής του ύψους Α Ε και της διχοτόμου Β Δ. Να δείξετε ότι ΑΘ = Α Θ και ΘΔ = Θ Δ. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και Α Β Δ είναι ίσα αφού ΑΒ = Α Β ( υποθ), ˆ ˆ ( υποθ) και ˆ ˆ ( ως μισά των ίσων γωνιών ˆ ˆ ). Άρα ΒΔ = Β Δ (). Τα τρίγωνα ΑΒΕ και Α Β Ε είναι ίσα αφού είναι ορθογώνια με ΑΒ = Α Β ( υποθ) και ˆ ˆ. Άρα ˆ ˆ Τα τρίγωνα ΑΒΘ και Α Β Θ είναι ίσα αφού ΑΒ = Α Β ( υποθ), ˆ ˆ ( ως μισά των ίσων γωνιών ˆ ˆ ) και ˆ ˆ ( από πριν ).Άρα ΑΘ = Α Θ και ΒΘ = Β Θ (). Τέλος με αφαίρεση κατά μέλη των () και () έχουμε ότι ΒΔ ΒΘ = Β Δ - Β Θ δηλαδή ΘΔ = Θ Δ. ) Δίνεται γωνία ˆ και σημεία Α, Β στην πλευρά Οχ και Γ, Δ στην πλευρά Οψ έτσι ώστε ΟΑ = ΟΓ και ΟΒ = ΟΔ. Αν Μ το σημείο τομής των ΑΔ και ΒΓ, να δείξετε ότι η διχοτόμος της ˆ θα περάσει από το Μ. Ενώνουμε το Ο με το Μ και θα δείξουμε ότι ΟΜ διχοτόμος της γωνίας δηλαδή θα δείξουμε ότι ˆ ˆ. ˆ, Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 9

Αυτό θα προκύψει από την ισότητα των ΑΟΜ και ΟΓΜ που όμως δεν μπορώ να τα βγάλω ίσα γιατί δεν ξέρω ότι ΑΜ = ΓΜ. Θα δείξω λοιπόν πρώτα ότι ΑΜ = ΓΜ. Αυτό θα συμβεί από την ισότητα των ΑΜΒ και ΑΜΓ, που όμως δεν μπορώ να τα βγάλω ίσα γιατί δεν έχω επαρκή στοιχεία.ξεκινάω λοιπό από τα μόνα τρίγωνα που μπορώ να βγάλω ίσα και είναι τα ΟΑΔ και ΟΒΓ. Είναι ΟΑΔ = ΟΒΓ αφού ΟΑ = ΟΓ, ΟΒ = ΟΔ και ˆ κοινή. Άρα είναι και ˆ ˆ ˆ ˆ. Είναι ΑΜΒ = ΓΜΔ αφού ΑΒ = ΓΔ (ως διαφορά των ίσων ΟΒ = ΟΔ και ΟΑ = ΟΓ ), ˆ ˆ ˆ ˆ ( ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών ˆ ˆ ). Άρα είναι και ΑΜ = ΓΜ Τελικά είναι ΟΑΜ = ΟΓΜ αφού ΟΑ = ΟΓ, ΑΜ = ΓΜ και ΟΜ κοινή. Άρα είναι και ˆ ˆ, πράγμα που σημαίνει ότι ΟΜ διχοτόμος της ˆ. Παρατήρηση : Η άσκηση αυτή δίνει ένα τρόπο κατασκευής της διχοτόμου μιας γωνίας ) Δίνονται δύο ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΓ με κοινή βάση τη ΒΓ. Να δείξετε ότι η ΑΔ είναι η μεσοκάθετη της ΒΓ. Αφού ΑΒΓ ισοσκελές έχουμε ότι ΑΒ = ΑΓ πράγμα που σημαίνει ότι το Α ισαπέχει από τα άκρα του ΒΓ και συνεπώς ανήκει στη μεσοκάθετη της ΒΓ. Όμοια αφού ΔΒΓ ισοσκελές έχουμε ότι ΔΒ = ΔΓ πράγμα που σημαίνει ότι το Δ ισαπέχει από τα άκρα του ΒΓ και συνεπώς ανήκει στη μεσοκάθετη της ΒΓ. Όμως τα σημεία Α και Δ ορίζουν μοναδική ευθεία και αφού και τα δύο ανήκουν στη μεσοκάθετο του ΒΓ συμπεραίνουμε ότι η μεσοκάθετος του ΒΓ είναι η ΑΔ. Παρατήρηση : Όταν έχουμε σαν δεδομένο ότι ένα σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο ενός ευθυγράμμου τμήματος, τότε το μυαλό μας πηγαίνει κατευθείαν στην ιδιότητα που έχουν τα σημεία της, αλλά και αντίστροφα αν θέλουμε να δείξουμε ότι ένα σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο ενός ευθυγράμμου τμήματος δείχνουμε ότι το σημείο αυτό ισαπέχει από τα άκρα του. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 0

3) Σε τρίγωνο ΑΒΓ η μεσοκάθετος της πλευράς ΒΓ και η διχοτόμος της γωνίας Α τέμνονται σε σημείο Δ εκτός του τριγώνου. Αν Ε και Ζ οι προβολές του Δ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα να δείξετε ότι ΒΕ = ΓΖ. Αφού το Δ ανήκει στη μεσοκάθετο του ΒΓ, θα ισαπέχει από τα άκρα του, δηλαδή ΔΒ = ΔΓ. Αφού το Δ ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας Α θα ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας, δηλαδή ΔΕ = ΔΖ. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΔΒΕ, ΔΓΖ. Είναι ορθογώνια με ΔΒ = ΔΓ και ΔΕ = ΔΖ. Συνεπώς είναι ίσα και άρα είναι και ΒΕ = ΓΖ. Παρατήρηση :Όταν έχουμε σαν δεδομένο ότι ένα σημείο ανήκει στη διχοτόμο μιας γωνίας, τότε το μυαλό μας πηγαίνει κατευθείαν στην ιδιότητα που έχουν τα σημεία της, αλλά και αντίστροφα αν θέλουμε να δείξουμε ότι ένα σημείο ανήκει στη διχοτόμο μιας γωνίας δείχνουμε ότι το σημείο αυτό ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. Ασκήσεις για λύση ) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ ). Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ και προς τις δύο πλευρές κατά ίσα τμήματα ΒΕ και ΓΖ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΖΕ είναι ισοσκελές. ) Αν δύο τρίγωνα ΑΒΓ, Α Β Γ έχουν β = β, ˆ ˆ,, να δείξετε ότι είναι και ˆ ˆ. 3) Να δείξετε ότι το τρίγωνο που ορίζουν τα μέσα πλευρών ισοσκελούς τριγώνου, είναι ισοσκελές. ( Υπόδειξη : Θεωρείστε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ, πάρτε τα μέσα των πλευρών του, Δ του ΑΒ, Ε του ΑΓ, Μ του ΒΓ και προσπαθήστε με κατάλληλη σύγκριση τριγώνων να δείξετε ότι ΜΔ = ΜΕ ) 4) Σε κύκλο ( Ο, ρ ) θεωρούμε χορδή ΑΒ και δύο σημεία της Γ και Δ ώστε ΑΓ = ΒΔ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΓΔ είναι ισοσκελές. 5) Να δείξετε ότι οι διάμεσοι που καταλήγουν στις ίσες πλευρές ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. ( Υπόδειξη : Θεωρείστε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ, πάρτε τα μέσα των πλευρών του, Δ του ΑΒ, Ε του ΑΓ και προσπαθήστε με κατάλληλη σύγκριση τριγώνων να δείξετε ότι ΓΔ = ΒΕ ) Επιμέλεια : Άρης Αεράκης

Θεώρημα Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών τριγώνου Σε κάθε τρίγωνο η εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμιά από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου. Έτσι λοιπόν στο παραπάνω σχήμα ισχύει ότι : Α εξ = Α > Β και Α εξ = Α > Γ Β εξ = Β > Α και Β εξ = Β > Γ Γ εξ = Γ > Β και Γ εξ = Γ > Α Συνέπειες του θεωρήματος. Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μια ορθή ή μια αμβλεία γωνία. Το άθροισμα δύο γωνιών κάθε τριγώνου είναι μικρότερο από 80 ο. Παρατηρήσεις. Η εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι η γωνία που σχηματίζεται από τη μια πλευρά της αντίστοιχης εσωτερικής και την προέκταση της άλλης. Για να σχηματιστεί προεκτείνουμε μία από τις δύο πλευρές της αντίστοιχης εσωτερικής.. Η εξωτερική γωνία με την αντίστοιχη εσωτερική είναι παραπληρωματικές. 3. Η εξωτερική γωνία ενός τριγώνου μπορεί να είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη εσωτερική ( αν η εσωτερική είναι οξεία ), μικρότερη ( αν η εσωτερική είναι αμβλεία ) και ίση ( αν η εσωτερική είναι ορθή ). Θεώρημα Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται ομοίως άνισες γωνίες και αντίστροφα. Έτσι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε τις εξής ισοδυναμίες : ΑΒ < ΑΓ Γ < Β, ΑΓ < ΒΓ Β < Α, ΑΒ < ΒΓ Γ <Α Επιμέλεια : Άρης Αεράκης

Συνέπειες του θεωρήματος. Σε ένα ορθογώνιο μεγαλύτερη πλευρά είναι αυτή που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία δηλαδή η υποτείνουσα.. Σε ένα αμβλυγώνιο μεγαλύτερη πλευρά είναι αυτή που βρίσκεται απέναντι από την αμβλεία γωνία. 3. Αν ένα τρίγωνο έχει δύο ίσες γωνίες είναι ισοσκελές. 4. Αν ένα τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες ίσες είναι ισόπλευρο. Θεώρημα 3 Κάθε πλευρά ενός τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους. Έτσι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις : β-γ< α < β+γ, α-γ< β < α+γ, β-α< γ < β+α Συνέπειες του θεωρήματος. Κάθε χορδή ενός κύκλου είναι μικρότερη ή ίση της διαμέτρου.. Ο συντομότερος δρόμος μεταξύ δύο σημείων είναι η ευθεία που τα συνδέει. Παρατήρηση Το θεώρημα 3 και όπως αυτό μεταφράζεται με τις αντίστοιχες σχέσεις, λέγεται τριγωνική ανισότητα. Η τριγωνική ανισότητα αποτελεί το κριτήριο για το αν 3 αριθμοί και γενικά 3 ποσότητες μπορούν να αποτελέσουν πλευρές τριγώνου. Συγκεκριμένα συγκρίνουμε τη μεγαλύτερη από τις 3 με το άθροισμα των δύο άλλων και αν τη βγάλουμε μικρότερη μπορούν να αποτελέσουν πλευρές τριγώνου, διαφορετικά όχι. Βασική εφαρμογή Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και τις περιεχόμενες άνισες, τότε και οι τρίτες πλευρές είναι ομοίως άνισες. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και τις τρίτες πλευρές άνισες, τότε και οι περιεχόμενες στις ίσες πλευρές γωνίες είναι ομοίως άνισες. Έτσι αν για δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ ισχύει ότι : ΑΒ = Α Β, ΑΓ = Α Γ και Α < Α τότε είναι και ΒΓ < Β Γ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 3

Μεθοδολογία ασκήσεων. Αν σε μία άσκηση μας ζητούν να συγκρίνουμε πλευρές ή γωνίες του ίδιου τριγώνου χρησιμοποιούμε τα θεωρήματα και.. Αν σε μία άσκηση μας ζητούν να συγκρίνουμε πλευρές ή γωνίες που ανήκουν σε διαφορετικά τρίγωνα, τότε κοιτάμε αν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις της βασικής εφαρμογής και προσπαθούμε να τη λύσουμε με βάση αυτή. 3. Αν σε μία άσκηση μας ζητούν να συγκρίνουμε πλευρές ή γωνίες που ανήκουν σε διαφορετικά τρίγωνα και δεν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις της βασικής εφαρμογής, τότε προσπαθούμε να μεταφέρουμε τα υπό σύγκριση στοιχεία στο ίδιο τρίγωνο και να τη λύσουμε με τη βοήθεια των θεωρημάτων και. 4. Αν σε μία άσκηση μας ζητούν να αποδείξουμε μια ανισοτική σχέση που συνδέει πλευρές ενός τριγώνου τότε κάνουμε χρήση της τριγωνικής ανισότητας. 5. Αν σε μία άσκηση μας ζητούν να αποδείξουμε μια ανισοτική σχέση που συνδέει πλευρές από διαφορετικά τρίγωνα, τότε εφαρμόζουμε διαδοχικά την τριγωνική ανισότητα στα τρίγωνα αυτά και συνδυάζοντας κατάλληλα τις ανισότητες που προκύπτουν έχουμε το ζητούμενο. Λυμένες ασκήσεις ) Αν Μ σημείο της βάσης ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου να δείξετε ότι ΑΜ < ΑΒ. Η γωνία Μ είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΑΜΓ και άρα είναι Μ > Γ (). Όμως το ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση ΒΓ και άρα Β = Γ (). Από () και () έχουμε ότι Μ > Β. Στο τρίγωνο ΑΒΜ είναι Μ > Β και επειδή απέναντι από άνισες γωνίες βρίσκονται ομοίως άνισες πλευρές έχουμε ότι ΑΜ < ΑΒ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 4

) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ο ), η διχοτόμος της γωνίας Γ τέμνει τη ΑΒ στο Δ. Να δείξετε ότι ΑΔ < ΔΒ. Οι πλευρές ΑΔ και ΔΒ που θέλουμε να συγκρίνουμε ανήκουν σε διαφορετικά τρίγωνα και οι προϋποθέσεις της βασικής εφαρμογής δεν ικανοποιούνται. Θα προσπαθήσουμε να μεταφέρουμε τα τμήματα ΑΔ και ΔΒ στο ίδιο τρίγωνο. Φυσικά η έννοια μεταφέρουμε είναι μεταφορική. Στην ουσία θα προσπαθήσουμε να βρούμε ένα τρίγωνο στο οποίο να ανήκει η μια από τις δύο και να ανήκει και μια πλευρά ίση με την άλλη. Φέρνουμε λοιπόν από το Δ κάθετη στη ΒΓ στο Ε. Τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΓΔΕ είναι ίσα αφού είναι ορθογώνια μα ΓΔ κοινή και Γ = Γ ( αφού ΓΔ διχοτόμος ). Άρα ΑΔ = ΑΕ (). Αντί λοιπόν να συγκρίνουμε την ΔΒ με την ΑΔ θα συγκρίνουμε την ΔΒ με την ίση της ΔΕ. Το τρίγωνο ΔΕΒ είναι ορθογώνιο και η ΔΒ υποτείνουσα. Επειδή σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η μεγαλύτερη πλευρά είναι η υποτείνουσα έχουμε ότι ΔΒ > ΔΕ (). Από (), () έχουμε ότι ΔΒ > ΑΔ. 3) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι μ α < α/ να δείξετε ότι Α > Β +Γ. Τι ισχύει αν μ α = α/ ή μ α > α/. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 5

Στο τρίγωνο ΑΒΜ η σχέση μ α < α/ μεταφράζεται σε ΑΜ < ΒΜ, από όπου συμπεραίνουμε ότι Β < Α (). Στο τρίγωνο ΑΓΜ η σχέση μ α < α/ μεταφράζεται σε ΑΜ < ΓΜ, από όπου συμπεραίνουμε ότι Γ < Α (). Με πρόσθεση κατά μέλη των () και () έχουμε ότι : Β + Γ < Α + Α Β + Γ < Α. Προφανώς αν μ α = α/ τότε Β + Γ = Α και αν μ α > α/ τότε Β + Γ > Α. 4) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ και Μ το μέσο της ΒΓ. Να δείξετε ότι ΜΑΒ > ΜΑΓ. Τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΓ έχουν δύο πλευρές ίσες ( ΑΜ κοινή και ΜΒ = ΜΓ αφού Μ μέσο ) και τις τρίτες πλευρές άνισες (αφού ΑΒ < ΑΓ από υπόθεση ). Σύμφωνα με τη βασική εφαρμογή έχουμε ότι Μ < Μ ΑΜΒ < ΑΜΓ. 5) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ και η διάμεσος ΑΜ. ΝΑ δείξετε ότι : α) ΜΑΒ > ΜΑΓ β) β γ < μ α < β + γ γ) μ α + μ β + μ γ < τ Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 6

α) Οι γωνίες ΜΑΒ και ΜΑΓ που θέλουμε να συγκρίνουμε ανήκουν σε διαφορετικά τρίγωνα και οι προϋποθέσεις της βασικής εφαρμογής δεν ικανοποιούνται. Θα προσπαθήσουμε να μεταφέρουμε τις γωνίες αυτές στο ίδιο τρίγωνο. Φυσικά η έννοια μεταφέρουμε είναι μεταφορική.στην ουσία θα προσπαθήσουμε να βρούμε ένα τρίγωνο στο οποίο να ανήκει η μια από τις δύο και να ανήκει και μια γωνία ίση με την άλλη. Προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ κατά ίσο τμήμα ΜΔ.Είναι ένα τέχνασμα που κάνουμε συχνά για τη διάμεσο και πρέπει να το έχετε στο νου σας. Τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΜΓΔ είναι ίσα, αφού ΜΒ = ΜΓ ( Μ μέσο ), ΑΜ = ΜΔ και Μ = Μ ( κατά κορυφήν ). Άρα είναι και ΑΒ = ΓΔ και Α = Δ (). Στο τρίγωνο ΑΓΔ είναι ΑΓ > ΓΔ ( αφού ΑΓ > ΑΒ και ΑΒ = ΓΔ ), οπότε το ίδιο θα ισχύει και για τις απέναντι γωνίες, δηλαδή Α < Δ (). Από (), () έχουμε ότι Α < Α δηλαδή ΜΑΒ > ΜΑΓ. β) Η τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΑΓΔ δίνει : ΑΓ ΓΔ < ΑΔ < ΑΓ +ΓΔ ΑΓ ΑΒ < ΑΜ < ΑΓ +ΑΒ β γ < μ α < β + γ. γ) Αντίστοιχα και για τις άλλες διάμεσους έχουμε ότι : μ α < β + γ, μ β < α + γ, μ γ < β + α Με πρόσθεση κατά μέλη των παραπάνω σχέσεων έχουμε : μ α + μ β + μ γ < β + γ + α +γ + β + α ( μ α + μ β + μ γ ) < ( α + β + γ ) μ α + μ β + μ γ < α + β + γ μ α + μ β + μ γ < τ Θυμίζουμε ότι με τ συμβολίζουμε την περίμετρο ενός τριγώνου, δηλαδή α + β + γ = τ. 6) Έστω κύκλος (Ο, ρ ) και δύο τόξα ΑΒ, ΓΔ. Αν να δείξετε ότι ΑΒ < ΓΔ. Αν Μ το μέσο του τόξου ΑΒ τότε όποτε και για τις αντίστοιχες χορδές ισχύει ότι ΑΜ = ΜΒ = ΓΔ. Με εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας στο τρίγωνο ΑΜΒ έχουμε ότι : ΑΒ < ΑΜ + ΜΒ ΑΒ < ΓΔ + ΓΔ ΑΒ < ΓΔ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 7

7) Να δείξετε ότι σε άνισα τόξα ενός κύκλου αντιστοιχούν ομοίως άνισες χορδές και αντίστροφα. Έστω λοιπόν ένας κύκλος ( Ο, ρ ) και δύο τόξα του ΑΒ και ΓΔ με. Θα δείξουμε ότι το ίδιο ισχύει και για τις αντίστοιχες χορδές τους, δηλαδή ΑΒ < ΓΔ Φέρνουμε τις ακτίνες ΟΑ,ΟΒ,ΟΓ, ΟΔ. Τα τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΓΔ έχουν δύο πλευρές ίσες ( ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ = ΟΔ = ρ ) και τις περιεχόμενες γωνίες άνισες ( Ο < Ο ως επίκεντρες που βαίνουν σε ομοίως άνισα τόξα ). Σύμφωνα με τη βασική εφαρμογή το ίδιο θα ισχύει και για τις τρίτες πλευρές, δηλαδή ΑΒ < ΓΔ. Το αντίστροφο αποδεικνύεται με το αντίστροφο της βασικής εφαρμογής. 8) Έστω κύκλος (Ο, ρ ) διαμέτρου ΑΒ και σημείο Σ της ημιευθείας ΟΑ. Για κάθε σημείο Μ του κύκλου να δείξετε ότι Για κάθε σημείο Μ του κύκλου διαφορετικό από τα Α, Β η τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΣΜΟ δίνει : ΣΟ ΟΜ < ΣΜ < ΣΟ + ΟΜ ΣΟ ΟΑ < ΣΜ < ΣΟ + ΟΒ ΣΑ < ΣΜ < ΣΒ. Αν τα σημεία Α,Μ ταυτίζονται τότε προφανώς ΣΑ = Σ Μ. Αν τα σημεία Β,Μ ταυτίζονται τότε προφανώς ΣΒ = Σ Μ. Τελικά σε κάθε περίπτωση έχουμε ότι :. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 8

9) Σε κύκλο ( Ο, ρ ) φέρουμε μια διάμετρο ΑΒ και παίρνουμε σημείο Γ της ακτίνας ΟΑ. Για οποιοδήποτε σημείο Μ του κύκλου να δείξετε ότι. Για κάθε σημείο Μ του κύκλου διαφορετικό από τα Α, Β η τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΣΜΟ δίνει : ΟΜ ΟΓ < ΜΓ < ΟΜ + ΟΓ ΟΑ ΟΓ < ΣΜ < ΟΒ + ΟΓ ΑΓ < ΜΓ < ΒΓ. Αν τα σημεία Α,Μ ταυτίζονται τότε προφανώς ΓΑ = ΓΜ. Αν τα σημεία Β,Μ ταυτίζονται τότε προφανώς ΓΒ = ΓΜ. Τελικά σε κάθε περίπτωση έχουμε ότι. 0) α) Να δείξετε ότι μεταξύ δύο χορδών κύκλου μεγαλύτερη είναι αυτή που έχει το μικρότερο απόστημα και αντιστρόφως. β) Δίνεται κύκλος ( Ο, ρ ) και έστω ένα σημείο Α στο εσωτερικό του. Από όλες τις χορδές που διέρχονται από το Α να προσδιορίσετε αυτή που έχει το μεγαλύτερο και το μικρότερο μήκος. α) Χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε ότι οι δύο χορδές έχουν κοινό άκρο. Έστω λοιπόν δύο χορδές του κύκλου ΑΒ, ΑΓ με ΑΓ < ΑΒ. Θα δείξουμε ότι ΟΚ < ΟΛ. Ξέρουμε ότι τα ίχνη των αποστημάτων είναι και μέσα των χορδών. Έτσι είναι και ΑΛ < ΑΚ. Στο τρίγωνο ΑΚΛ είναι ΑΛ < ΑΚ οπότε είναι και ˆ ˆ. Επειδή οι γωνίες ˆ ˆ, και ˆ ˆ, είναι συμπληρωματικές και ισχύει ότι ˆ ˆ, έχουμε ότι ˆ ˆ. Στο τρίγωνο ΟΚΛ είναι ˆ ˆ, οπότε είναι και ΟΚ < ΟΛ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 9

Το αντίστροφο προκύπτει εύκολα με απαγωγή σε άτοπο. Δηλαδή έστω ΟΚ < ΟΛ. Θα δείξουμε ότι ΑΒ > ΑΓ. Αν ΑΒ < ΑΓ τότε με βάση όσα είπαμε θα έπρεπε να είναι ΟΚ > ΟΛ, άτοπο. Αν ΑΒ = ΑΓ θα έπρεπε και ΟΚ = ΟΛ, άτοπο Άρα δεν μπορεί παρά να είναι ΑΒ > ΑΓ. β) Προφανώς η μεγαλύτερη είναι η διάμετρος που διέρχεται από το Α. Με βάση τα όσα είπαμε στο προηγούμενο ερώτημα, η μικρότερη χορδή που διέρχεται από το Α, θα είναι αυτή με το μεγαλύτερο απόστημα. Αυτή είναι η χορδή που είναι κάθετη στην ΟΑ γιατί για οποιαδήποτε άλλη χορδή που διέρχεται από το Α το απόστημα ΟΜ είναι μικρότερο από το ΟΑ αφού η ΟΑ είναι υποτείνουσα στο ορθογώνιο ΟΑΜ που σχηματίζεται. ) Σε κάθε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ να δείξετε ότι α) β) γ) δ) α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ η ΑΒ είναι υποτείνουσα και άρα ΑΔ < ΑΒ δηλαδή () Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓΔ η ΑΓ είναι υποτείνουσα και άρα ΑΔ < ΑΓ δηλαδή (). Από () + () έχουμε ότι : β) Αντίστοιχα με το προηγούμενο έχουμε ότι Με πρόσθεση των 3 αυτών σχέσεων κατά μέλη έχουμε ότι : ( ) Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 30

γ) Στα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ από την τριγωνική ανισότητα έχουμε ότι :. Με πρόσθεση κατά μέλη των αυτών σχέσεων έχουμε ότι : ( ) δ) Όμοια με πριν έχουμε ότι :. Με πρόσθεση των 3 αυτών σχέσεων κατά μέλη έχουμε ότι : ) Στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε τυχαία σημεία Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τ < ΑΕ + ΒΖ + ΓΔ < 3τ. Η τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΑΒΕ δίνει : ΑΒ ΒΕ < ΑΕ < ΑΒ + ΒΕ () Η τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΑΓΕ δίνει : ΑΓ ΓΕ < ΑΕ < ΑΓ + ΓΕ () Με πρόσθεση κατά μέλη των () και () έχουμε : ΑΒ + ΑΓ ( ΒΕ + ΓΕ ) < ΑΕ < ΑΒ + ΑΓ + ΒΕ +ΓΕ ΑΒ + ΑΓ ΒΓ < ΑΕ < ΑΒ + ΑΓ + ΒΓ γ + β α < ΑΕ < γ + β + α. Όμοια έχουμε ότι : και Με πρόσθεση κατά μέλη των 3 αυτών σχέσεων έχουμε ότι : 3( ) 3 3 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 3

3) Από σημείο Δ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε τις κάθετες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι ΕΖ < ΒΓ. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΕΔ η ΒΔ είναι υποτείνουσα και άρα ΒΔ > ΕΔ (). Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΖΓ η ΓΔ είναι υποτείνουσα και άρα ΓΔ > ΖΔ (). Από () + () έχουμε ότι ΒΔ + ΓΔ > ΕΔ + ΖΔ ΒΓ > ΕΔ + ΖΔ (3). Η τριγωνικά ανισότητα στο τρίγωνο ΔΕΖ δίνει : ΕΖ < ΔΕ + ΔΖ (4). Από (3), (4) έχουμε ότι : ΒΓ > ΕΖ. 4) Έστω ε η μεσοκάθετη ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ και σημείο Μ που δεν ανήκει στην ε. Να συγκρίνεται τις αποστάσεις ΜΑ και ΜΒ. Αν το Μ ανήκει στο ημιεπίπεδο που ορίζουν η ε και το Α τότε θα δείξουμε ότι ΜΑ < ΜΒ. Είναι ΑΓ = ΓΒ, αφού το Γ ανήκει στη μεσοκάθετο του ΑΒ. Η τριγωνική ανισότητα στο ΑΜΓ δίνει : ΜΑ < ΜΓ + ΑΓ ΜΑ < ΜΓ + ΓΒ ΜΑ < ΜΒ. Αν το Μ ανήκει στο άλλο ημιεπίπεδο θα είναι όμοια ΜΒ<ΜΑ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 3

5) Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ φέρουμε τη διχοτόμο ΑΔ. Να δείξετε ότι ΔΒ < ΔΓ. Τα τμήματα που θέλουμε να συγκρίνουμε ανήκουν σε διαφορετικά τρίγωνα, τα οποία δεν ικανοποιούν τις προϋποθέσεις της βασικής εφαρμογής. Για να μπορέσουμε λοιπόν να τα συγκρίνουμε πρέπει να τα μεταφέρουμε στο ίδιο τρίγωνο.παίρνουμε λοιπόν πάνω στην ΑΓ σημείο Ε έτσι ώστε ΑΒ = ΑΕ ( υπάρχει τέτοιο σημείο αφού ΑΓ > ΑΒ ) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΕ είναι ίσα αφού ΑΒ = ΑΕ, ΑΔ κοινή και ˆ ˆ. Συνεπώς ΒΔ = ΔΕ () και ˆ ˆ. Είναι ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 80 80. Συνεπώς στο τρίγωνο ΔΕΓ είναι ˆ ˆ, πράγμα που σημαίνει ότι :ΔΓ > ΔΕ (). Από () και () έχουμε ότι : ΔΓ > ΔΒ. 6) Έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓΔ. Αν τ η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου, να δείξετε ότι : α) ΑΓ > τ β) ΑΓ + ΒΔ > ΑΒ + ΓΔ και ΑΓ + ΒΔ > ΑΔ + ΒΓ γ) τ < ΑΓ + ΒΔ < τ α) Η τριγωνική ανισότητα στο ΑΓΔ δίνει ότι : ΑΓ < ΑΔ + ΔΓ () Η τριγωνική ανισότητα στο ΑΒΓ δίνει ότι : ΑΓ < ΑΒ + ΒΓ () Με πρόσθεση κατά μέλη των (), () έχουμε ότι : ΑΓ < ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ + ΔΑ ΑΓ < τ ΑΓ < τ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 33

β) Η τριγωνική ανισότητα στο ΑΟΒ δίνει ότι : ΑΒ < ΑΟ + ΟΒ (3) Η τριγωνική ανισότητα στο ΟΓΔ δίνει ότι : ΓΔ < ΟΓ + ΟΔ (4) Με πρόσθεση κατά μέλη των (3), (4) έχουμε ότι : ΑΒ + ΓΔ < ΑΟ + ΟΒ + ΟΓ + ΟΔ ΑΒ + ΓΔ < ΑΓ + ΒΔ. Η τριγωνική ανισότητα στο ΑΟΔ δίνει ότι : ΑΔ < ΑΟ + ΟΔ (5) Η τριγωνική ανισότητα στο ΟΒΓ δίνει ότι : ΒΓ < ΟΒ + ΟΓ (6) Με πρόσθεση κατά μέλη των (5), (6) έχουμε ότι : ΑΔ + ΒΓ < ΑΟ + ΟΒ + ΟΓ + ΟΔ ΑΔ + ΒΓ < ΑΓ + ΒΔ. γ) Με πρόσθεση κατά μέλη των ανισώσεων που δείξαμε στο β) έχουμε ότι : ΑΓ + ΒΔ > ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ + ΔΑ (ΑΓ + ΒΔ ) > τ ΑΓ + ΒΔ > τ. Τέλος με πρόσθεση κατά μέλη των ΑΓ < ΑΒ + ΒΓ, ΑΓ < ΑΔ + ΔΓ, ΒΔ < ΑΒ + ΑΔ, ΒΔ < ΓΒ + ΓΔ έχουμε ότι : ΑΓ + ΒΔ < ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ + ΔΑ (ΑΓ + ΒΔ ) < (ΑΒ +ΒΓ +ΓΔ + ΔΑ ) ΑΓ + ΒΔ < τ. Πορίσματα των ανισοτικών σχέσεων που αφορούν στα ισοσκελή τρίγωνα Με βάση τα όσα έχουμε πει για τις ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών ενός τριγώνου τριγώνων, προκύπτουν τα παρακάτω χρήσιμα συμπεράσματα που αποτελούν τα αντίστροφα γνωστών προτάσεων. Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες, είναι ισοσκελές. Αν ένα τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες ίσες, είναι ισόπλευρο. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Δ σημείο της πλευράς ΒΓ. Αν ισχύουν δύο από τις επόμενες προτάσεις. το τμήμα ΑΔ είναι διάμεσος. το τμήμα ΑΔ είναι διχοτόμος 3. το τμήμα ΑΔ είναι ύψος τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάση τη ΒΓ. Συνοψίζοντας λοιπόν όσα έχουμε μάθει για τα ισοσκελή τρίγωνα έχουμε : Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν έχει δύο γωνίες του ίσες. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ, Δ σημείο της πλευράς ΒΓ και τις επόμενες προτάσεις. το τμήμα ΑΔ είναι διάμεσος. το τμήμα ΑΔ είναι διχοτόμος 3. το τμήμα ΑΔ είναι ύψος α) Αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάση ΒΓ και ισχύει μία από τις παραπάνω προτάσεις τότε θα ισχύουν και οι άλλες δύο β) Αν ισχύουν ταυτόχρονα δύο από τις παραπάνω προτάσεις τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση ΒΓ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 34

Λυμένες ασκήσεις ) Αν σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ ισχύουν ότι ΑΒ = ΒΓ και ˆ ˆ να δείξετε ότι ΑΔ = ΔΓ. Τι συμπεραίνετε για τη ΒΔ ; Αφού ΑΒ = ΒΓ το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές και επομένως ˆ ˆ. Όμως είναι και ˆ ˆ, οπότε θα είναι και ˆ ˆ. Αυτό σημαίνει ότι και το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκελές, δηλαδή ΑΔ = ΔΓ. Αφού ΑΔ = ΔΓ και ΑΒ = ΒΓ, δηλαδή τα Β, Δ ισαπέχουν από τα σημεία Α και Γ, θα πρέπει να ανήκουν και τα δύο στην μεσοκάθετο του ΑΓ. Συνεπώς η ΒΔ είναι η μεσοκάθετος του ΑΓ. ) Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ ) και Κ, Λ τα μέσα των ίσων πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Οι εξωτερικές διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ τέμνονται στο σημείο Δ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΔΚΛ είναι ισοσκελές. Τι συμπεραίνετε για την ΑΜ ; Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 35

Θα δείξουμε ότι ΔΚ = ΔΛ.Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές πράγμα που σημαίνει ότι ˆ ˆ.Επομένως και οι παραπληρωματικές γωνίες τους θα είναι ˆ ˆ ίσες δηλαδή ˆ ˆ ˆ ˆ, αφού ΒΔ, ΓΔ εξωτερικές διχοτόμοι. Αυτό σημαίνει ότι το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ισοσκελές και επομένως ΒΔ = ΔΓ. Τα τρίγωνα ΚΒΔ και ΛΔΓ είναι ίσα ( Π Γ Π ) αφού ΚΒ = ΛΓ (ως μισά των ίσων πλευρών ΑΒΓ =ΑΓ ), ΒΔ = ΔΓ ( το δείξαμε παραπάνω ) και ˆ ˆ ( ως άθροισμα των ίσων γωνιών ˆ ˆ και ˆ ˆ ). Επομένως θα είναι και ΚΔ = ΛΔ πράγμα που σημαίνει ότι το τρίγωνο ΔΚΛ είναι ισοσκελές. Αφού ΑΒ = ΑΓ και ΔΒ = ΔΓ τα Α,Δ ισαπέχουν από τα Β, Γ και άρα ΑΔ μεσοκάθετος της ΒΓ και άρα και διχοτόμος της ˆ Αφού ΑΚ = ΑΛ και ΔΚ = ΔΛ τα Α,Δ ισαπέχουν από τα Κ, Λ και άρα ΑΔ μεσοκάθετος της ΚΛ και άρα και διχοτόμος της ˆ. 3) Έστω Κ, Λ τα μέσα των ίσων πλευρών ΑΒ και ΑΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ και Δ, Ε σημεία της βάσης ΒΓ ώστε ΒΔ = ΓΕ <. Οι ΚΔ και ΛΕ τέμνονται στο σημείο Μ. Να δείξετε ότι η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ. Θα δείξουμε ότι ˆ ˆ. Τα τρίγωνα ΒΚΔ και ΓΛΕ είναι ίσα αφού ΒΚ = ΓΛ (ως μισά των ίσων ΑΒ = ΑΓ ), ΒΔ = ΓΕ ( υπόθεση) και ˆ ˆ ( προσκείμενες στη βάση ισοσκελούς ). Άρα είναι και ΚΔ = ΕΛ, ˆ ˆ και ˆ ˆ. Επομένως είναι και ˆ ˆ ως παραπληρωματικές των ˆ ˆ και ˆ ˆ ως κατακορυφήν των ˆ ˆ. Αφού ˆ ˆ το τρίγωνο ΔΜΕ είναι ισοσκελές και άρα ΜΔ = ΜΕ. Τελικά τα τρίγωνα ΑΜΚ και ΑΜΛ είναι ίσα αφού ΑΚ = ΑΛ ( ως μισά των ίσων ΑΒ = ΑΓ ), ΜΚ = ΜΛ ( ως άθροισμα των ίσων ΜΔ = ΜΕ και ΔΚ = ΔΕ ) και ˆ ˆ. Άρα πράγματι ˆ ˆ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 36

4) Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) και Ι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών Β και Γ. Να δείξετε ότι : α) το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ισοσκελές β) η ΑΙ είναι διχοτόμος της γωνίας Α. α) Αφού το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση τη ΒΓ, έχουμε ότι Β = Γ. Και αφού έχουμε φέρει τις διχοτόμους των γωνιών αυτών είναι και Β =Β =Γ = Γ, ως μισά των ίσων γωνιών Β=Γ.Συνεπώς στο τρίγωνο ΒΙΓ είναι Β = Γ, πράγμα που σημαίνει ότι το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ισοσκελές. β) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΙ και ΑΓΙ.Έχουν ΑΒ = ΑΓ ( υπόθεση ), ΒΙ = ΓΙ (αφού δείξαμε ότι ΒΙΓ ισοσκελές ) και Β = Γ ( ως μισά των ίσων γωνιών Β = Γ ). Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα (Π Γ Π ) και επομένως είναι και Α =Α, πράγμα που σημαίνει ότι ΑΙ διχοτόμος της γωνίας Α. 5) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Αν η διχοτόμος ΑΔ τέμνει κάθετα τη διάμεσο ΒΜ στο σημείο Ι, να δείξετε ότι ΑΓ = ΑΒ και ΒΜ=ΒΙ. Στο τρίγωνο ΑΒΜ η διχοτόμος ΑΙ είναι και ύψος. Αυτό σημαίνει ότι το τρίγωνο ΑΒΜ είναι ισοσκελές. Συνεπώς ΑΒ = ΑΜ (). Όμως ΑΓ = ΑΜ () αφού Μ μέσο της ΑΓ. Από (), () έχουμε ότι ΑΓ = ΑΒ. Επίσης στο ισοσκελές ΑΒΜ η ΑΙ θα είναι και διάμεσος, δηλαδή ΒΙ = ΙΜ. Άρα πράγματι ΒΜ = ΒΙ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 37

6) Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι ΒΓ = ΑΒ και ˆ ˆ. Να δείξετε ότι η γωνία Α είναι ορθή. Η ισότητα ΒΓ = ΑΒ μας λέει ότι η πλευρά ΑΒ είναι ίση με το μισό της ΒΓ. Φέρνουμε λοιπόν τη διάμεσο ΑΜ για να δημιουργήσουμε το μισό της ΒΓ και να έχουμε μια απευθείας ισότητα. Είναι λοιπόν ΑΒ = ΒΜ = ΜΓ. Η ισότητα ˆ ˆ μας λέει ότι η γωνία Γ είναι ίση με το μισό της γωνίας Β. Φέρνουμε λοιπόν τη διχοτόμο ΒΔ ώστε να δημιουργήσουμε το μισό της γωνίας Β και να έχουμε μια απευθείας ισότητα. Είναι λοιπόν ˆ ˆ ˆ. Έτσι το τρίγωνο ΒΔΜ είναι ισοσκελές αφού έχει δύο γωνίες ίσες τις Β = Γ. Στο ισοσκελές αυτό τρίγωνο η ΔΜ είναι διάμεσος οπότε θα είναι και ύψος, δηλαδή η γωνία ΒΜΔ είναι ορθή. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΒΜ είναι ίσα αφού ΑΒ = ΒΜ, ΒΔ κοινή και ˆ ˆ. Συνεπώς θα έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα και έτσι η γωνία Α θα είναι ίση με τη ˆ που είναι ορθή και άρα και η γωνία Α είναι ορθή. 7) Σε τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ <ΑΓ) προεκτείνουμε τις πλευρές ΒΑ και ΓΑ προς το μέρος του Α κατά τμήματα ΑΔ = ΑΓ και ΑΕ = ΑΒ αντίστοιχα. Η ευθεία ΔΕ τέμνει την ΒΓ στο Μ. Να δείξετε ότι : α) το τρίγωνο ΜΒΕ είναι ισοσκελές, β) η διχοτόμος της ΒΜΕ διέρχεται από το Α. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 38

α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι ίσα αφού ΑΒ = ΑΔ (υπόθεση ), ΑΔ = ΑΓ (υπόθεση ) και ΕΑΔ = ΒΑΔ (ως κατά κορυφήν ). Άρα είναι και ΑΕΔ = ΑΒΓ (). Επίσης το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελές πράγμα που σημαίνει ότι ΑΕΒ = ΑΒΕ (). Με πρόσθεση κατά μέλη των () και () έχουμε ότι ΒΕΔ =ΕΒΓ. Τέλος είναι και ΜΒΕ = ΜΕΒ (ως παραπληρωματικές των ΒΕΔ =ΕΒΓ) πράγμα που σημαίνει ότι το τρίγωνο ΜΒΕ είναι ισοσκελές. β) Ενώνουμε το Μ με το Α και θα δείξουμε ότι η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΜΕ.Τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΕ είναι ίσα αφού ΜΒ = ΜΕ ( δείξαμε ότι ΜΒΕ ισοσκελές ), ΑΜ κοινή και ΑΕ = ΑΒ ( υπόθεση ). Συνεπώς θα είναι και ΑΜΕ = ΑΜΒ και επομένως πράγματι η ΑΜ διχοτομεί τη γωνία ΒΜΕ. 8) Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και με πλευρές τις ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ κατασκευάζουμε εξωτερικά του ΑΒΓ τρία ισόπλευρα τρίγωνα Α ΒΓ,ΑΒ Γ, ΑΒΓ. Να δείξετε ότι και το τρίγωνο Α Β Γ είναι ισόπλευρο και ότι ΑΑ = ΒΒ = ΓΓ. Αφού τα τρίγωνα ΑΒΓ, Α ΒΓ, ΑΒ Γ, ΑΒΓ είναι ισόπλευρα έχουμε ότι ΑΒ = ΒΓ = ΑΓ = Α Γ =Α Β = Β Α =Β Γ = ΓΆ = Γ Β και ότι και τα 4 τρίγωνα είναι ίσα μεταξύ τους. Επομένως είναι και Α Β = Β Γ = Α Γ ως διπλάσια αντίστοιχων ίσων πλευρών, πράγμα που σημαίνει ότι Α Β Γ είναι ισόπλευρο. Για το ο ερώτημα θα δείξουμε ότι ΒΒ =ΓΓ και όμοια θα είναι και για το ΑΑ. Τα τρίγωνα ΒΑΒ και ΓΑΓ είναι ίσα αφού ΑΓ = ΑΒ, ΑΒ = ΑΓ και ΒΑΒ = ΓΑΓ (αφού ΒΑΒ = ΒΑΓ + ΓΑΒ = ΒΑΓ + ΒΑΓ = ΓΑΓ και ΓΑΒ = ΒΑΓ από την ισότητα των τριγώνων ΓΑΒ = ΒΑΓ ) Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 39

Κάθετες και πλάγιες Δίνεται ευθεία ε και σημείο Α εκτός αυτής. Είναι γνωστό ότι από το Α διέρχεται μοναδική ευθεία κάθετη στην ε. Διέρχονται όμως άπειρες άλλες ευθείες από το Α που τέμνουν την ε. Όλες αυτές οι ευθείες λέγονται πλάγιες ευθείες και τα σημεία στα οποία τέμνουν την ε, λέγονται ίχνοι των πλάγιων ευθειών. Κάθε πλάγιο ευθύγραμμο τμήμα είναι μεγαλύτερο από το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα. Αν δύο πλάγια τμήματα είναι ίσα τότε τα ίχνη τους ισαπέχουν από το ίχνος της καθέτου ( σχήμα ). Αν δύο πλάγια τμήματα είναι άνισα τότε και οι αποστάσεις των ιχνών τους από το ίχνος της καθέτου είναι ομοίως άνισες (σχήμα,3). Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 40

Λυμένες ασκήσεις ) Στις κάθετες πλευρές ΑΒ, ΑΓ ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε τα σημεία Δ, Ε αντίστοιχα. Να δείξετε ότι : α) ΔΕ < ΕΒ β) ΔΕ < ΒΓ α) Τα τμήματα ΔΕ, ΒΕ είναι πλάγια προς την ΑΒ και ΑΕ κάθετο στην ΑΒ Το ίχνος Β του πλάγιου τμήματος ΕΒ απέχει περισσότερο από το ίχνος Α της καθέτου, από όσο απέχει το ίχνος Δ του πλάγιου τμήματος ΕΔ. Αυτό σημαίνει ότι ΕΔ < ΕΒ (). β) Τα τμήματα ΒΓ, ΒΕ είναι πλάγια προς την ΑΓ και ΑΒ κάθετο στην ΑΓ Το ίχνος Γ του πλάγιου τμήματος ΒΓ απέχει περισσότερο από το ίχνος Α της καθέτου, από όσο απέχει το ίχνος Ε του πλάγιου τμήματος ΒΕ. Αυτό σημαίνει ότι ΒΕ < ΒΓ (). Από () και () έχουμε ότι : ΕΔ < ΒΓ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 4

) Στο παρακάτω σχήμα το ΑΗ είναι ύψος και διχοτόμος στο τρίγωνο ΑΒΓ. Να δείξετε ότι ΑΒ < ΑΔ. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές αφού το τμήμα ΑΗ είναι διάμεσος και διχοτόμος. Συνεπώς είναι ΑΒ = ΑΓ () και ΑΗ ύψος στο ΑΒΓ δηλαδή ΑΗ κάθετο στη ΒΔ. Τα τμήματα ΑΓ και ΑΔ είναι πλάγια προς το ΒΔ και επειδή ΔΗ > ΓΗ έχουμε ότι ΑΓ < ΑΔ (). Από () και () έχουμε ότι ΑΒ < ΑΔ. 3) Δίνεται γωνία ˆ και Μ σημείο της διχοτόμου της Οδ. Η κάθετη από το Μ προς τη πλευρά Οχ τέμνει την Οχ στο Α και την Οψ στο Β. Να δείξετε ότι ΜΑ < ΜΒ. Φέρουμε από το Μ κάθετη στην Οψ. Τα τμήματα ΜΓ και ΜΑ είναι ίσα αφού κάθε σημείο της διχοτόμου ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. Είναι δηλαδή ΜΑ = ΜΓ ( ). Επίσης ΜΓ < ΜΒ () αφού το ΜΓ είναι κάθετο στην Οψ και το ΜΒ πλάγιο. Από () και () έχουμε ότι ΜΑ < ΜΒ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 4