וחינה: = ) ג- ןורתפ דעומ ןחבמ א' םייבושי בשח ה רפ ה יע מל םילדומב, רטסמס א' 2010 תיב, לת תטיסרבי וא-ביבא צרמםי: פורפ' דו ץ בושרד ם חנ"פ ק היל י לגרתמםי: טנרב ןתנ היו בהל ירוא 10/2/10 רה.( דימת a=b ב תובו ת' ו- ג' תונוכנ. הלאש 1 אהת L הפש יהשלכ. לש תוליקש ןמ נ- a סח ה ב לש תוליקש ןמ נ- b סח ה ב תוקלחמ רפ מ תא ~. L תוקלחמ רפ מ תא.~ Reverse(L) ( Reverse(L) = { w R L w L } ונד לש הל עפ איה, Reverse ) חרכהב.a+b= םאaםג ז יוסbיפוס. םאש ו דמל L זא תירל גר Reverse(L) תירלוגר, ב ן ל' ןוכנ. ג' ב יבצמ ר סמש ן תיי הנתשמ ילא ינימה, לש שילש ו הש יל מה לכ פש ת לשמל חקאו ןה 0. ןוכנ י ל- DFA םלשה הלאש 2 הערכה תייעב 2SAT XOR האב היעב איה: תבכרו ה החסונ נוקמקנויםיט (היניבם ). לכב נוקויטקנ קוידב םהי יבש החס נל תק סמ ה צה תמ יק םאה? םיל טיל ינש.XOR.x 2 =F x 1 =T לשמל: טלקה רובע ) 2 (x 1 XOR x 2 ) ( x 1 XOR x איה הב שתה 'ןכ', עבקת תקפסמ הבצה ו - P): NP הקלחמ תכייש (ש ח ה- 2SAT XOR conp \ P נה תח P NP \ P ףא"ל ע"הושפ היצודר יל- 2SAT ב אי ש- P ; ןמזב הי בה ןו תפל טושפ םתיר גלא או מל םג רשפא ילאימונילופ. שהלא 3 CH(x) מ ל םידודי ה תצוב מ היצקנו א ה"ן הלכ תרד ומה ט: CH ( < M>) = תר וע ε לשתיבושי ה הירוטס הה M לע ε ε םא M לע תרחא? { < M, CH(<M>) > M is a TM } כייש הפשה תוא ה תוק חמהמ זיאל ' הנוכ הני עירכה core \ R R א ובותהמ תחא א' RE \ R ש בל םי נ- CH הביש הני ב יה א- R הי קנופה זא CH הבישח התייה. תאז ת ועל, הצחמ המ לשמה הפשה תא: טלק ןת יהב <x,y> םא x מ ש דוד ק הוו מ ל"ל קנ ט. תרחא, ב ןמנ- M ב דדוקמה הנוכמה א- x. םא y לשת בושיח הי וטסיהל כמ M לע ε, החדנ. תרחא, םאy וניאε לבקנ. תרחא, תא ץ רנ M לע ε םא לב נו M הרצע. ןתינ
ב( םי- הלאש 4 ןלהל.NFA ה ש םי צמה הפשה תוא ת מ- DFA ןטקה םלשה רפ מ תויב? ה זמש DFA) אוה םלש DFA הא מ םירבע תיצקנ פ םע, םיבצמ מ חא לכמ וא לכ ובע ץח י רמולכ) 2 3 4 16 ב תוליח מ ןנ אש םיל מה לכ תפש תא לב מ טמוטו ה- b ינש ת ליכמ ן יאו b םע 3 וז הפ ל םי צמ. וז ה של 3 ה הז ן לו תול קש ת קל מ- DFA ילמינימה. םי. תונב וצר ןתינ DFA םלש הלאש 5 המ וניא ןוכנ? םי בהמ n>0} {a m b 2n m>0, תיר וגר הפש איה. } {a,b}* { ww w תיר וגר איה. תת לכ לש תי וס הצ בק } {a,b}* { ww w תירל גר איהש. יא צובק תת יפ סניא לש תירל גר איהש. } 0 > n { a n b n יא צובק תת יפ סניא לש *{a}, לבקנו תי לוגר תחקל ןתינ וז ךו יח םע ל הפ יפוסניא תת. צובק הלאש 6 c םלש פסמ. ןלהל 3 הערכה תויעב: א וקמה טלקלכלשןוכנםאה M x, ה יהי > 1 רבוע ל- x + c לע ר אכ x? טלקלכלשןוכנםאהM,xה רבוע א וקמה ל-,1} x -c max { לע ר אכ x? טלקלכלשןוכנםאהM,xה רבוע א וקמה ל- )/c ( x + 1 לע ר אכ x? הלי תמ טרסב תומו מה תרי ס- 1 ) 2 3 ש לש ךותמ תועי כה ה רכהה ת יעב פסמ: אוה ללה ת יעבה 0 1 ליג ת ואר 5 םיפיעס.g,h
תרוכזת: הקי ה( תיתימא( הל מ לש w לש) םא( םי בהמ. ירא יב( ג- } ל - w ב ת תימא ת ליחת ן א- MAX(L) = { w L L הלאש 7 תופש ע הלו פ ידגנ: תיליחת prefix) proper יליחת יה w לכ הנ אש w) תחת תחת ה וגס ת ירלוגרה ת פשה ת לחמ.MAX ה וגס ר קהה ת רסח ת פשה ת לחמ.MAX הנעט 1: הנעט 2: הנעט 1 הנעטוהנוכנ 2 הנכנאל. הנעט 2 הנעטוהנוכנ 1 הנכנאל. תונ כנ תונכנ תונ טהיתש. ןני תונטהיתש. ןתניהב DFA ל- L לבקמ בצממ ם ילא עי הל ןתי ש םיבצמ ל ת םילבק ה םיב מה תצ בקמ א צוהל לכונ, לבק ךכו DFA ל-( MAX(L הפשה. } k m { a n b m c k n,m>0, k n or רשק תרס איה, תופש י ש ש ד חיאכ רשקה ורסח. ע תל קתמ הנ מ"ה ועפה י MAX הפשה } k=min{n,m} { a n b m c k n,m>0, רסח ה יאשת רשקה (ע םיא מ"ח פינ תמל י). הלאש 8 ןלהל 3 תונעט: ןניאש.A p B תוילאיוויר םייקת A,B P לכל ןניאש.A p B תוילאיוויר םייקת A,B NP לכל ןניאש.A p B תוילאיוויר םייקת A,B NPC לכל.1.2.3 הפשה איה תיל יווי ט הפש ( ) הא מה וא ה שה * ((Σ ) תונונ תונעהשולש. הנוכ קודבתח הנעט. םא נוכנ חאו תו וכנ ונעט תש"ם.P=NP הנכנ ניא תובותהמ חאף הנוכנ.NPC בA NPC- ןכ יי הנעט 1 לופיפי תייצקוד יכהוכנ' תא רו פל הל כי A םאתהב לפ ציילו. הנעט 3 תרדגה הנעט 2 הלאשל הלוקש P=NP P=NP איה הנעטל הלוקש 1, םא P NP זא רובע B ב- P ו- היצקוד תמייקש). אל ה ישח אל (םייק מולכ c N ש כ- n ). f(n) < c דודיק םינתי םירפס הש חנה). הלאש 9 אהת f : N N היצקנופ המ סחו ןמסנ } N L= { ( x, f(x) ) x וזכ L RE היצ נופ א' ' הנוכ הני L RE L core הי קנופ שי f הרו ע א ובותהמ תחא שיו f הרו ע וזכ.L RE םא L RE זא ןתניהב x, מב ל בקמב ירהל ל ונ"ת הצחמל עירכמ ט L תו וז לכ תא.(x,0), (x,c-1) לבק חר הב םה דחא, תא וצמל לכונ כו f(x) ךכל הר תסב ש- f הב שח אל. םא L core זא ןתניהב x, מב ל בקמב ירהל ל ונ"ל םילשמה תא הצ מל העירכמ ט L תו וז לכ תא.(x,0), (x,c-1) דחא עמל לוכ ולבקי חרכהב, תא וצמל לכונ כו f(x) ךכל הר תסב ש- f הב שח אל. הלאש 10 ןמסנ {0,1} = Σ המ וניא ןוכנ? תירלור השתמייקתירלוגר פש יההלשהובקתת כש יפוסני לעמתזורחמהתובקΣלש םעפומ רפסמםבש 0 לש יעפומ רפסמ יימע קוידב וה 1 רשקהתרס הפשהניה. תיר וגר הפש לכל L לעמ Σ, םילי המ תבכר מה הפשה *Σ u םייק ן ובעש *Σ v ש כ- uv L תיר וג הפ םג איה. תירוגרהפשלכלL ב, ם לי ה לכ ת ש- L תיר וגר ה ש ג אי יג ז א ך ואב ןהש. ש וני רהעי כ יפ סני י הפש תת א לכל. ה ש
ב( טלקה 3 השק,- ג- תבכרומ םיטקנויסידמ הבשם לש 3( םי,$ הלאש 11 3DFA טלק טרס ת עב גניר יט ת וכמ איה דבלב ה ירקל ו- 3 םיארו םישאר. םיר עמה תיצקנופ דעצ לכב ינהל וויכ זיא ו רוב ל בצמ זיאל עבוקם שא ה ת ולשמ ד א לכ ע, תשולש ו יח ונה בצ ל םאתהב םישארה תשול םיארו םתוא םיוותה. שדחות יפיסומ טל ה לש ופוסבו תל חתב $ אל םיאר קהםישא הו םילוכי רובעל ולא תו וב לא עונ הסנמ יארוקה ישאר דחא םא רבעמ תולובגל הע םימו ת"ה י- אוה םוקמ ותוא ראשנ. היעבה A 3DFA רוב הלבק תייע איה,3DFA רמולכ: A 3DFA ורוב טלקו w. םאה A תא תל קמ w? RE \ R נה תח A 3DFA הקלחמ P R \ P תכייש (ש ח ה- P) NP : ףא"ל םוסח רשפאהתוצרוגפנוקה טלקה ךר א ש םו ילופ. רפסמיכהעירכ בשל א יעבהםסחה תינו. ב היע ה- P או יכ פס הז הלאש 12 םיבצמה 6 - מ לש הצ בק םי יד מ"ט: םיללכנ םיבצמה TM 6,3 = {M M is a TM with 6 states and 3 tape symbols } q a ו- q r קו דב יש ךכ 4 םיפסונ, ב- 3 ללכנ טרסה יוות "חוור") לע. לכל 1 i תמייק TM 6,3 התצM לע רש ε ה םוקמב תמיית מ- i טר ה לע. לכל 1 i תמייק M TM 6,3 םייקו w תצ רש ךכ M לע w ה םוקמב תמיית מ- i טר ה הנעט 1: הנעט 2: מ הנעט 1 הנעטוהנוכנ 2 הנכנאל. הנעט 2 הנעטוהנוכנ 1 הנכנאל. ש תיפ ס הצו ק ז"ה עט ן לו ט 1 הנ כנ תו הל הל כי אל. תאז ת צקב הצ רה תא תר ועש יוות, הנעט ןכלו 2 הנוכנ. תונ כנ תונ טהיתש. תונכנןני תונטהיתש. ועל, מ ת נבל יעב ן א"ם ט 6 ו םיב מ- הלאש 13 הערכה תייעב SAT 3DNF האב היעב איה: תחסונ 3DNF החס נל תק סמ םילרטיל, יבוםהינ ). ה צה תמ יק םאה? לשמל: טלקה רובע x2) ( x1 x2 x3) (x1 x3 x5) ( x4 x2 איה הב שתה 'ןכ'. היעבה,integer linear programming) IP יא תונויווש םימלשה ל מ ם יראניל) עישב ראותור. ןו נ םיאב מ המ (ש ח ה- P) NP? א תובו ת' ו-ב' תונוכנ. הנכנהנאהבשתף SAT 3DNF p IP IP p SAT 3DNF וזהיעבלילאימוניופםתירוגלאאוצמללק. IP א איה NP יכ ןו נו P. NP כלו תילאיו ירט ל' הנוכנ חרכה ב' יכ ה וכנ ה יא IP L = { < M,w > M is a TM with fewer than 100 states, and M halts on w } הלאש 14 תכייש תואבה תו לחמהמ הזיאל : L ' הנוכ הני R RE \ R core \ R א' תחא ובותהמ א מ שי כ עירכ ל ע הריצ ה תייע ת יע ה"מ תוחפ הליכמש תילאסר ינוא ט- 100 םיבצמ, וני ה הע רכ התייה וז הי ב םאו עירכ ל םילו י"מ שומי י"ו תילאסרבינו ט. תאז ת ועל, וז היעב ה חמל ע רכהל לק.
הרהבה:( ע( ילאימו( הלאש 15 הערכ ה תיי ב ןלהל :PRINT_BLANK טלק לכל םאהx, M אל תבתוכ "חוור" טר ה לע לע ר אכ? x תב תכ םג "חוור" רבכ בו כ ה ה וב אתב "חוור" תביתכ תבשחנ "חוור".) העי כ םאה? וז הי ב הבושת (ףקה): / ןכ אל החכוה: לש ם לשמהמ ה צקודר ה רנ.Halt ןתניהב M,w רציינ 'M טלק כלש x תא הצ רמ M לע w חוו תבית אלל טר ה לע. שדח ותב ש תשת איה (# לשמל) חוור וקמב םא M חוור בו כל הנ וכתה 'M בותכת #, רשאכו ארק איה # חוו ל ומכ וידב וילא חיי ת איה. ףסונב, םא M תרצוע 'M רוצעת חוו בותכת. ןלהל :SUBGRAPH_ISOMORPHISM הלאש 16 הערכ ה תיי ב רג נשםיפ (םי ווכמ אל) G 1 ו- G 2 םינו נ"ת יונכש םאה G 2 יפרו וז א ף גתת ליכמל-? G 1 צירטמי). תורוכזת: ףר לשףר תתG ףרגידוקדוקל הצובקתתםיווה ודוקדוקש G, לכ ןה ו ש לש תות קה G וז הצוב תת םידוקדו ןי תורב מש. ףרגGףרגליפרומוזיאארקנ H, םא G לבקתמ ע"ה ומת י (היצטומרפ) םי וקדוק לש H. ת תש הו לש תמישר אל: ןוכנ/ןו נ ל לא מונילו ןורתיפ שי א- SUBGRAPH_ISOMORPHISM ל לא מונילו ןורתיפ שי א- SAT. ילופ ןורתיפ = מ"ב ילאימונ לו ןמזב היעב תא העירכמש טל ס יטלקה ךרוא) ושתהב (ףקה): / ןוכנ אל ןוכנ החכוה: וז ה עבש ה רנ NP הנו נ חר הב השק. ןכ ו הנ טה ע"ל פ יופימ תיצקו ר י' מ- CLIQUE : ףרג ןת יהב G רפסמו k ריזחנ לדוג G 1 קילק k ו- G 2 ל ה ז- G.
אב רב( הס רמ לכ"מ( הלאש 17 ךרפה וא חכוה: שי רשק תרס הפש אה עמ תירל גר לו"ב } 1.{ דמ"ב דיחי יכמש 1) ת זמר: תוא הל הסנ הרוצ מ ת פש דוח א ש יפו יה ו כ הפשש uv* רשאכ {1}* u,v חופינ תרזע תמ / הבושת (ףקה): הנוכנ הנעטה החכוה: הנוכנ אל הנעטה אהת L לעמ רשקה תרסח הפש {1}. תירלו ר חר הב אי ש חיכונ. םיי חו ינה תמ יפל n הל מ ל ש ךכ, w n,w L הקולח תמייק w=uvxyz ש כ- vxy n, vy 1 לכלו 0 i.uv i xy i z L רמולכ, םא vy =k ו- uxz =m זא L םילימ ל ת הליכמ 1 m+ik לכל 0.i הלימ כל מולכ w n,w L תינובש הרד המיאתמ {0 i m+ik תא} הלי מש w, הר סל ייש ןכ ואש םי ימה כש ךכ ןה וז ב- L. תי לוגר א ה ו כ םיל מ תצו ק ל ש ת ארהל לק. םי סנ ו אכ וצוב לש פו רפסמ יש ה רנ םא, יכ L ולא תוצוב ל דוחיא איה (ןכרואש יל מה לכ תא וליכמה n) תיפוס ילימ צובקו תפסונ (םי ימה לכ ןכרואש n). ל א- הw תינובש הרד ה המיאתמ {0 i {m+ik ת פל אחופ נה מל יאנ.1 k n חיננ תרחא ה ימ ת ייקש 'w הרד ה המיא מ הלש {0 i,{m'+ik רשאכ (k,m=m'(mod תלבגה ילב חיננו ש תוילל ה-' m m. םי ק זא 0 j ש כ- m'=m+jk לכל כלו,m'+ik=m+(i+j)k i, הרדסה לכ רמולכ {0 i m'+ik תוחפ כ- הרדסב} תלכומ {0 i.{m+ik ע ן ינ ן ל"י רתו ה לכל k לכל ת ינובשח ת רדס 1 k n ב- L. n תורדס) תא תו כל יכרוא ךר אב םיל מה לכ n 2