Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Άσκηση 1 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Οι διχοτόμοι των γωνιών του Β και Γ τέμνονται στο Ο. Η παράλληλη από το Ο προς την ΑΒ τέμνει την ΒΓ στο Δ και η παράλληλη από το Ο προς την ΑΓ τέμνει την ΒΓ στο Ε. α. Να δείξετε ότι ΔΟ=ΒΔ και ΟΕ=ΕΓ. β. Να δείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου ΟΔΕ είναι ίση με την πλευρά ΒΓ. α. Παρατηρούμε ότι Ο1 Β γιατί είναι εντός και εναλλάξ γωνίες μεταξύ των παράλληλων ΑΒ και ΟΔ οι οποίες τέμνονται από την ΟΒ. Ακόμα Β1 Β εφόσον ΟΒ είναι διχοτόμος της γωνίας Β. Άρα Ο1 Β1 και επομένως το τρίγωνο ΟΒΔ είναι ισοσκελές οπότε ΔΟ=ΒΔ. (1) Ομοίως παρατηρούμε ότι Ο γιατί είναι εντός και Γ εναλλάξ γωνίες μεταξύ των παράλληλων ΑΓ και ΟΕ οι οποίες τέμνονται από την ΟΓ. Ακόμα Γ1 Γ εφόσον ΟΒ είναι διχοτόμος της γωνίας Γ. Άρα Ο Γ1 και επομένως το τρίγωνο ΟΓΕ είναι ισοσκελές οπότε ΟΕ=ΓΕ. () β. Η περίμετρος του τριγώνου ΟΔΕ είναι: Π ΟΔ ΔΕ ΟΕ ΒΔ ΔΕ ΓΕ ΒΓ ΟΔΕ 1 4 ο ΓΕ.Λ Κερατσινίου σελίδα [1]
Έστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Γ 3 Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Α 9 Άσκηση ) με. Εξωτερικά του τριγώνου κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο ΒΓΔ. Αν οι ευθείες ΑΓ και ΒΔ τέμνονται στο Ε να δείξετε ότι: α. ΑΒ//ΓΔ β. Το Α είναι το μέσο του τμήματος ΕΓ. α. Η γωνία Γ 3 1 και κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΒΓΔ, του οποίου όλες οι γωνίες είναι ίσες με 6 επομένως έχω Γ Γ Γ 3 6 9 1. Τότε όμως τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΕ και ΓΔ είναι κάθετα στο ίδιο ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ. Άρα θα είναι μεταξύ τους παράλληλα. Άρα ΑΒ//ΓΔ β. Παρατηρούμε ότι στο ορθογώνιο τρίγωνο ΓΔΕ η γωνία Άρα το τρίγωνο ΒΓΕ είναι ισοσκελές, εφόσον Γ1 ισοσκελούς τριγώνου άρα και διάμεσος. Ε 3. Επομένως το Α είναι το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος ΕΓ. Ε. Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι ύψος του 4 ο ΓΕ.Λ Κερατσινίου σελίδα []
Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Α 9. Άσκηση 3 Στην προέκταση της πλευράς ΒΑ παίρνουμε τμήμα ΑΔ=ΑΓ και στην προέκταση της πλευράς ΓΑ παίρνουμε τμήμα ΑΕ=ΑΒ. α. Δείξτε ότι τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΕΒΓ είναι ίσα μεταξύ τους. β. Να αποδείξετε ότι το ύψος ΑΗ του τριγώνου ΑΒΓ, προεκτεινόμενο προς το Α, διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΕΔ. α. Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΕΔ. Αυτά έχουν τις ΑΒ=ΑΕ (από υπόθεση) και ΑΓ=ΑΔ (από υπόθεση). Άρα έχουν τις κάθετες πλευρές μια προς μια ίσες, επομένως τα τρίγωνα είναι ίσα. Άρα θα έχουν όλα τα στοιχεία τους αντίστοιχα ίσα, επομένως ΒΓ=ΕΔ, Δ Γ και Ε1 Β1. Συγκρίνω τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΕΒΓ. Αυτά έχουν: ΕΔ=ΒΓ (από προηγούμενη σύγκριση), ΕΒ κοινή και ΕΓ=ΒΔ (ως άθροισμα ίσων ευθύγραμμων τμημάτων). Άρα από κριτήριο Π-Π-Π, τα τρίγωνα είναι ίσα. β. Παρατηρούμε ότι Α1 Άρα Α Γ ως συμπληρωματικές της γωνίας Β1. Και Α1 Α4 ως κατακορυφήν. Δ και επομένως το τρίγωνο ΑΜΔ είναι ισοσκελές δηλαδή ΑΜ=ΜΔ (1). Ομοίως έχουμε ότι Α Β1 ως συμπληρωματικές της γωνίας Γ και Α Α3 ως κατακορυφήν. Άρα Α3 Ε1 και επομένως το τρίγωνο ΑΜΕ είναι ισοσκελές, δηλαδή ΜΑ=ΜΕ (). Άρα από (1) και () έχω ΜΔ=ΜΕ επομένως το Μ είναι το μέσον της ΕΔ. 4 ο ΓΕ.Λ Κερατσινίου σελίδα [3]
Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Άσκηση 4 Έστω ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ. Η διάμεσός του ΑΜ και η διχοτόμος του ΒΔ τέμνονται στο Ε. Να αποδείξετε ότι ΔΓ Υπόδειξη: ΕΜ. Φέρτε από το Μ παράλληλη στην ΑΓ και δείξτε ότι το τρλιγωνο ΕΖΜ είναι ισοσκελές και ότι Ζ μέσο της ΒΔ Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα Β Γ 45. Η διχοτόμος ΒΔ, χωρίζει την γωνία Β στις γωνίες Β Β 45 1. Για να αποδείξω ότι ΔΓ να δείξω ότι ΔΓ ΕΜ. ΕΜ, αρκεί Από το σημείο Μ που είναι το μέσον της πλευράς ΒΓ, φέρνω παράλληλη στην πλευρά ΓΔ του τριγώνου ΒΔΓ η οποία θα συναντάει την πλευρά ΒΔ στο μέσον της Ζ. Τότε το ευθύγραμμο τμήμα ΖΜ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΒΔ και ΒΓ του τριγώνου ΒΔΓ και επομένως ΔΓ ΖΜ. Αρκεί να δείξω επομένως ότι ΕΜ ΖΜ, δηλαδή το τρίγωνο ΕΖΜ είναι ισοσκελές. Πράγματι, ισχύει ΑΜ. Α Μ 45 1 1 ως εντός εναλλάξ μεταξύ των παραλλήλων ΖΜ και ΑΓ που τέμνονται από την Ακόμα από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΜΕ έχω ότι η Ε 9 Β 9, 5 67, 5. Στο τρίγωνο ΕΖΜ έχω Ε Ζ Μ1 18 Ε 18 45 67, 5 67, 5. Άρα το τρίγωνο ΕΖΜ είναι ισοσκελές εφόσον Ε Ζ, επομένως ΕΜ=ΖΜ. Σχόλιο: Στο σχήμα έχουμε σημειώσει, όλες τις γωνίες που μπορείτε ενδεχομένως να χρησιμοποιήσετε για να υπολογίσετε εκείνες του τριγώνου ΖΜΕ. 4 ο ΓΕ.Λ Κερατσινίου σελίδα [4]
Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Άσκηση 5 Στην πλευρά ΑΒ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ παίρνουμε ένα τμήμα ΑΕ και στην πλευρά του ΓΔ παίρνουμε τμήμα ΓΖ=ΑΕ. Αν Η, Θ τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων ΔΕ και ΒΖ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α. Το ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. β. Το ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο. γ. Το ΗΕΘΖ είναι παραλληλόγραμμο. δ. Το ΑΘΓΗ είναι παραλληλόγραμμο. Υπόδειξη: Δείξτε ότι ΕΗ=ΒΘ α. Το ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο, γιατί έχει ένα ζεύγος ίσων και παράλληλων πλευρών. Πράγματι ΑΕ=ΓΖ από υπόθεση και ΑΕ//ΓΖ εφόσον το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, άρα ΑΒ//ΓΔ. β. Το ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο γιατί διαθέτει ένα ζεύγος ίσων και παράλληλων πλευρών. Πράγματι, ΕΒ//ΔΖ (γιατι ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο) και ΕΒ=ΔΖ ως διαφορές μεταξύ ίσων ευθύγραμμων τμημάτων (ΕΒ=ΑΒ-ΑΕ=ΔΓ-ΖΓ=ΔΖ) γ. Επειδή το ΕΔΖΒ είναι παραλληλόγραμμο, έπεται ότι ΕΔ=ΒΖ και ΕΔ//ΒΖ. Επομένως θα ισχύει ότι το ΕΗΖΘ είναι παραλληλόγραμμο, εφόσον διαθέτει ένα ζεύγος ίσων και παράλληλων πλευρών. Πράγματι ΕΗ//ΘΖ, εφόσον ΕΖ//ΒΖ και ΕΗ=ΘΖ ως μισά των ίσων πλευρών ΕΔ και ΒΖ. δ. Για να δείξω ότι το ΑΘΓΗ είναι παραλληλόγραμμο, αρκεί να δείξω ότι οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Πράγματι: Το ΑΕΓΖ παραλληλόγραμμο, άρα το Ο είναι μέσον του ΑΓ και αποτελεί και μέσον του ΕΖ. Ομοίως ΕΘΖΗ παραλληλόγραμμο, άρα το μέσον του ΕΖ (Ο) είναι και μέσον του ΘΗ. Άρα το Ο είναι μέσον και της ΑΓ και της ΗΘ, άρα οι διαγώνιοι του ΑΘΓΗ διχοτομούνται στο Ο. 4 ο ΓΕ.Λ Κερατσινίου σελίδα [5]
Έστω ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Στην πλευρά του ΑΒ παίρνουμε ένα τμήμα ΑΕ και στην πλευρά του ΓΔ το τμήμα ΓΖ=ΑΕ. Επίσης στην πλευρά του ΑΔ παίρνουμε ένα τμήμα ΑΗ και στην πλευρά του ΓΒ το τμήμα ΓΘ=ΑΗ. Να αποδείξετε ότι: α. Το ΕΘΖΗ είναι παραλληλόγραμμο. β. Το ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Ασκηση 6 γ. Το σημείο τομής των διαγωνίων του ΑΒΓΔ συμπίπτει με αυτό των διαγωνίων του ΕΘΖΗ. α. Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΕΗ και ΘΓΖ. Αυτά έχουν: ΑΕ=ΓΖ (από υπόθεση) ΑΗ=ΘΓ (από υπόθεση) Α Γ (απέναντι γωνίες του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ) Άρα από Π-Γ-Π, τα δυο τρίγωνα είναι ίσα και επομένως ΕΗ=ΘΖ. Ομοίως συγκρίνω τα τρίγωνα ΔΗΖ και ΒΕΘ. Αυτά έχουν: ΗΔ=ΒΘ (ως διαφορά ίσων ευθυγράμμων τμημάτων ΗΔ=ΑΔ-ΑΗ=ΒΓ-ΓΘ=ΒΘ) ΔΖ=ΒΕ (ως διαφορά ίσων ευθυγράμμων τμημάτων ΔΖ=ΔΓ-ΖΓ=ΑΒ-ΑΕ=ΒΕ) Δ Β (απέναντι γωνίες του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ) Άρα τα τρίγωνα, από κριτήριο Π-Γ-Π είναι ίσα και επομένως ΗΖ=ΕΘ. Άρα το ΕΗΖΘ είναι παραλληλόγραμμο γιατι οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. β. Το ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο, γιατί έχει ένα ζευγος ίσων και παράλληλων πλευρών (ΑΕ και ΖΓ) γ. Το σημείο τομής των διαγωνίων του ΑΒΓΔ είναι το Ο. Το Ο είναι το μέσον του ΑΓ και του ΒΔ. Όμως και το ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο και επειδή το μεσον του ΑΓ είναι μοναδικό, το Ο θα είναι το σημείο που διχοτομούνται οι διαγώνιοί του, άρα το Ο μέσο του ΕΖ. Τέλος το ΕΘΖΗ είναι παραλληλόγραμμο, άρα οι διαγώνιοί του θα διχοτομούνται και επειδή το μέσο του ΕΖ είναι μοναδικό (και είναι το Ο), το Ο θα είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του. Άρα το κέντρο του ΑΒΓΔ συμπίπτει με το κέντρο του ΕΘΖΗ. 4 ο ΓΕ.Λ Κερατσινίου σελίδα [6]
Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Θεωρούμε ένα τρίγωνο με ΑΒΓ με ΑΓ ΑΒ, τη διχοτόμο του ΑΔ και το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ. Η κάθετος από το Β στην ΑΔ την τέμνει στο Η και η προέκταση της τέμνει την ΑΓ στο Ε. Να αποδείξετε ότι: α. ΑΒ=ΑΕ. β. ΗΜ//ΑΓ. ΑΓ ΑΒ γ. ΗΜ Άσκηση 7 α. Στο τρίγωνο ΑΒΕ, το ευθύγραμμο τμήμα ΑΗ είναι διχοτόμος της γωνίας Α είναι ισοσκελές. Επομένως ΑΒ=ΑΕ. και ύψος. Άρα το τρίγωνο β. Το Η είναι το μέσον της ΒΕ, εφόσον το ΑΗ εκτος από ύψος και διχοτόμος, θα είναι και διάμεσος (μιας και το ΑΒΕ είναι ισοσκελές). Ακόμα το Μ είναι το μέσον της ΒΓ. Άρα στο τρίγωνο ΒΕΓ, το ΗΜ είναι το ευθύγραμμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου, άρα θα είναι παράλληλο στην ΕΓ και ίσο με το μισό της. Άρα ΗΜ//ΕΓ, επομένως και ΗΜ//ΑΓ και γ. Ισχύει: ΑΓ ΑΒ ΑΓ ΑΕ ΕΓ ΗΜ Άρα πράγματι ΑΓ ΑΒ ΗΜ ΕΓ ΗΜ. 4 ο ΓΕ.Λ Κερατσινίου σελίδα [7]
Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Θεωρούμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ, το μέσο Μ της πλευράς του ΒΓ και την ευθεία (ε) που περιέχει την διχοτόμο της εξωτερικής γωνίας του Α. Η κάθετος από το Β προς την (ε) τέμνει αυτήν στο Δ και την ευθεία ΑΓ στο Ε. Να αποδείξετε ότι: α. ΑΒ=ΑΕ. β. ΜΔ//ΑΓ ΑΒ ΑΓ γ. ΜΔ Άσκηση 8 α. Στο τρίγωνο ΑΒΕ, το ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Α ισοσκελές. Επομένως ΑΒ=ΑΕ. και ύψος. Άρα το τρίγωνο είναι β. Το Δ είναι το μέσον της ΒΕ, εφόσον το ΑΔ εκτος από ύψος και διχοτόμος, θα είναι και διάμεσος (μιας και το ΑΒΕ είναι ισοσκελές). Ακόμα το Μ είναι το μέσον της ΒΓ. Άρα στο τρίγωνο ΒΕΓ, το ΔΜ είναι το ευθύγραμμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου, άρα θα είναι παράλληλο στην ΕΓ και ίσο με το μισό της. Άρα ΔΜ//ΕΓ, επομένως και ΔΜ//ΑΓ και γ. Ισχύει: ΑΓ ΑΒ ΑΓ ΑΕ ΕΓ ΔΜ Άρα πράγματι ΑΓ ΑΒ ΔΜ ΕΓ ΔΜ. 4 ο ΓΕ.Λ Κερατσινίου σελίδα [8]
Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Άσκηση 9 Θεωρούμε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, ένα σημείο Μ στην βάση του ΒΓ και τα κάθετα τμήματα ΜΔ και ΜΕ προς τις ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το άθροισμα ΜΔ+ΜΕ είναι σταθερο και ίσο με το ύψος ΒΗ του τριγώνου ΑΒΓ, για τις διάφορες θέσεις του Μ στην βάση ΒΓ. Υπόδειξη: Φέρτε από το Β παράλληλη στην ΑΓ. Από την κορυφή Β του τριγώνου, φέρνω ευθεία παράλληλη στην ΑΓ, η οποία τέμνεται με την προέκταση της ΕΜ στο Ζ. Το τετράπλευρο ΒΖΕΗ είναι παραλληλόγραμμο, γιατί ΒΖ//ΑΓ, άρα ΒΖ//ΕΗ και ΒΗ//ΖΕ αφού είναι κάθετες στην ίδια πλευρά ΑΓ του τριγώνου. Επιπλέον η γωνία Ε είναι ορθή, το ΒΖΕΗ είναι παραλληλόγραμμο με μια ορθή γωνία, άρα είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Άρα και η γωνία Ζ 9 και ΒΗ=ΖΕ. Ακόμα η γωνία Μ είναι συμπληρωματική της Γ στο ΜΕΓ τρίγωνο, και Μ1 Μ ως κατακορυφήν. Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα ΜΒΔ και ΜΒΖ. Αυτά έχουν: ΜΒ κοινή, 1 3 Μ Γ. Μ ως συμπληρωματικές των ίσων γωνιών Β και Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα και επομένως έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, ένα προς ένα. Επομένως ΜΔ=ΜΖ. Έτσι: ΜΔ ΜΕ ΜΖ ΜΕ ΖΕ ΒΗ που είναι το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ που αντιστοιχεί στην πλευρά ΑΓ. 4 ο ΓΕ.Λ Κερατσινίου σελίδα [9]
Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Άσκηση 1 Έστω ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο με ΑΒ=ΑΓ. Στην προέκταση της ΓΒ παίρνουμε τυχαίο σημείο Μ. Από το Μ φέρνουμε τα κάθετα ευθύγραμμα τμήματα ΜΔ και ΜΕ προς τις ίσες πλευρές του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι η διαφορά ΜΕ-ΜΔ είναι σταθερή για τις διάφορες θέσεις του Μ στην προέκταση. Υπόδειξη: Φέρτε το ύψος ΒΗ και την παράλληλη από το Β στην ΑΓ. Απο την κορυφή Β του τριγώνου, φέρνω ευθεία παράλληλη στην ΑΓ, η οποία τέμνεται με την ΕΜ στο Ζ. Το τετράπλευρο ΒΖΕΗ είναι παραλληλόγραμμο, γιατί ΒΖ//ΑΓ, άρα ΒΖ//ΕΗ και ΒΗ//ΖΕ αφού είναι κάθετες στην ίδια πλευρά ΑΓ του τριγώνου. Επιπλέον η γωνία Ε είναι ορθή, το ΒΖΕΗ είναι παραλληλόγραμμο με μια ορθή γωνία, άρα είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Άρα και η γωνία Ακόμα Β1 Ζ 9 και ΒΗ=ΖΕ. Γ ως εντός εκτός και επι τα αυτά μέρη, μεταξύ των παράλληλων ΒΖ και ΑΓ που τέμνονται από την ΓΜ και Β Β3 ως κατακορυφήν. Ασφαλώς Β3 Γ γιατι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Άρα Β1 Β Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα ΜΒΔ και ΜΒΖ. Αυτά έχουν: ΜΒ κοινή, 1 Β Β. Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα και επομένως έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, ένα προς ένα. Επομένως ΜΔ=ΜΖ. Έτσι: ΜΕ ΜΔ ΜΕ ΜΖ ΖΕ ΒΗ που είναι το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ που αντιστοιχεί στην πλευρά ΑΓ και είναι ανεξάρτητο του σημείου Μ. 4 ο ΓΕ.Λ Κερατσινίου σελίδα [1]
Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Άσκηση 11 α. Να δείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών παραλληλογράμμου που δεν είναι ρόμβος, σχηματίζουν ορθογώνιο. β. Δείξτε ότι οι διαγώνιοι του παραπάνω ορθογωνίου είναι παράλληλες στις πλευρές του παραλληλογράμμου και γ. κάθε μια από αυτές ίση με την διαφορά δυο διαδοχικών πλευρών του παραλληλογράμμου α. Έστω το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ που δεν είναι ρόμβος, δηλαδή ΑΒ ΒΓ και έστω ΑΒ>ΒΓ. Φέρνω τις διχοτόμους των γωνιών του οι οποίες τέμνονται στα Κ, Λ, Μ και Ν. Θα δείξω ότι το ΚΛΜΝ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Ισχύει ότι οι απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου είναι ίσες, επομένως και τα μισά τους θα είναι ίσα. Δηλαδή ισχύει: Α Γ και Β Δ Αλλά και: Α1 Α Γ1 Γ x και Β1 Β Δ1 Δ y. Γνωρίζουμε ότι Α είναι παραπληρωματική της Δ, αφού είναι εντός και επι τα αυτά μέρη των παραλλήλων ΑΒ και ΓΔ που τέμνονται από την ΑΔ. Άρα Α Δ 18 Α Δ 18 Α Δ 9 x y 9 1 Δηλαδή στο τρίγωνο ΑΔΚ, οι Α 1 και Δ είναι συμπληρωματικές, επομένως η Κ θα είναι ορθή. 4 ο ΓΕ.Λ Κερατσινίου σελίδα [11]
Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Ομοίως δείχνουμε ότι και οι γωνίες Λ, Μ και Ν είναι ορθές, επομένως το τετράπλευρο ΚΛΜΝ έχει 4 ορθές γωνίες, άρα είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. β. Ισχύει ότι η ΓΜ είναι διχοτόμος και ύψος του τριγώνου ΒΓΕ, επομένως το τρίγωνο είναι ισοσκελές με ΒΓ=ΓΕ και η ΓΜ θα είναι και διάμεσος. Άρα Μ μέσο του ΒΕ. Ομοίως το τρίγωνο ΑΔΘ είναι ισοσκελές με ΑΔ=ΑΘ, εφόσον ΑΚ ύψος και διχοτόμος, επομένως το ΑΚ θα είναι και διάμεσος. Άρα Κ το μέσον της ΘΔ. Παρατηρούμε ότι ΘΔ//ΒΕ (ως κάθετες στην ίδια ευθεία ΓΗ) και ΘΒ//ΔΕ (εφόσον το ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο). Άρα το ΘΒΕΔ είναι παραλληλόγραμμο, και επομένως ΘΔ=ΒΕ. Άρα το τετράπλευρο ΚΘΒΜ είναι παραλληλόγραμμο, γιατί ΚΘ//ΒΜ και ΚΘ=ΒΜ ως μισά ίσων ΘΔ ΒΕ ευθυγράμμων τμημάτων ( ΚΘ ΒΜ ) Επομένως η διαγώνιος ΚΜ είναι παράλληλη στην ΘΒ, άρα ΚΜ//ΑΒ//ΓΔ. Ομοίως δείχνουμε ότι το τετράπλευρο ΛΝΒΡ είναι παραλληλόγραμμο, επομένως ΛΝ//ΒΓ//ΑΔ. γ. Θα δείξουμε ότι ΚΜ=ΑΒ-ΑΔ. ΑΒ-ΑΔ=ΑΒ-ΑΘ=ΘΒ=ΚΜ Ακόμα το ΚΛΜΝ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, άρα οι διαγώνιοί του είναι ίσες και έχω: ΚΜ=ΛΝ=ΑΒ-ΑΔ. Άρα πράγματι, κάθε διαγώνιος του ΚΛΜΝ είναι ίση με την διαφορά δυο διαδοχικών πλευρών του παραλληλογράμμου. 4 ο ΓΕ.Λ Κερατσινίου σελίδα [1]
Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Άσκηση 1 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τη διχοτόμο ΒΔ και από το μέσο Ε της πλευράς ΑΓ, φέρνουμε παράλληλη προς τη διχοτόμο ΒΔ, που τέμνει τις ΑΒ, ΒΓ στα Ζ, Η αντίστοιχα. Ακόμα φέρνουμε ΓΡ κάθετη στη ΒΔ που τέμνει την ΑΒ στο Κ. Να δειχθεί: α. Το τρίγωνο ΒΚΓ είναι ισοσκελές. β. Το τμήμα ΡΕ είναι παράλληλο προς το ΑΚ και ίσο με το μισό του. γ. Το τετράπλευρο ΖΕΡΒ είναι παραλληλόγραμμο. δ. ΑΚ ΖΒ ε. Το τρίγωνο ΒΖΗ είναι ισοσκελές. στ. ΗΓ=ΑΖ. α. Το τρίγωνο ΒΚΓ είναι ισοσκελές με ΒΓ=ΒΚ (1) γιατί η διχοτόμος ΒΡ είναι και ύψος. β. Επειδή το τρίγωνο ΒΚΓ είναι ισοσκελές η διχοτόμος ΒΡ είναι και διάμεσος, άρα το Ρ είναι μέσο του ΚΓ. Επομένως στο τρίγωνο ΓΑΚ το ευθύγραμμο τμήμα ΡΕ ενώνει τα μέσα των πλευρών του ΓΚ, ΓΑ, άρα θα είναι παράλληλο με τη τρίτη πλευρά ΑΚ και ίσο με το μισό της.δηλαδή ΑΚ ΡΕ γ. Επειδή ΡΕ//ΑΚ είναι ΡΕ//ΒΖ κι αφού ΒΡ//ΖΕ το τετράπλευρο ΖΕΡΒ έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες, άρα είναι παραλληλόγραμμο. δ. Επειδή ΖΕΡΒ παραλληλόγραμμο είναι ΡΕ=ΒΖ, αλλά από ερώτημα (β) Άρα ΑΚ=ΒΖ (). ΑΚ ΡΕ ΑΚ ΡΕ. ε. Είναι Ζ1 Β (3) ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων ΖΕ, ΒΔ που τέμνονται από την ΒΔ. Ακόμα Βˆ Η (4) ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΖΕ, ΒΔ που τέμνονται από την ΒΔ. Αλλά Βˆ Βˆ 1 γιατί η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ˆΒ, άρα από τις σχέσεις (3), (4) προκύπτει ότι Ζ ˆ 1 1 Η ˆ, επομένως το τρίγωνο ΒΖΗ είναι ισοσκελές με ΒΖ=ΒΗ (5), γιατί έχει τις προσκείμενες στη βάση του γωνίες ίσες. στ. Είναι:, 1 5 ΗΓ ΒΓ ΒΗ ΒΚ ΒΖ ΒΑ ΑΚ ΒΖ ΒΑ ΒΖ ΒΖ ΒΑ ΒΖ ΑΖ 4 ο ΓΕ.Λ Κερατσινίου σελίδα [13]
Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Σε ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ είναι ΓΔ ΑΒ ΑΔ (1). Έστω Μ το μέσο του ΓΔ. Να αποδειχθεί ότι : α. ΑΔ=ΒΜ Άσκηση 13 β. Η ΔΒ διχοτομεί τη γωνία Δ γ. Η γωνία ΔΒΓ είναι ορθή δ. Αν η γωνία Γ είναι ίση με 6 o ότι το τραπέζιο είναι ισοσκελές. να αποδειχθεί Προσοχή: Το συγκεκριμένο ερώτημα θα μπορούσε να δοθεί εντός ύλης, ως εξής «Να δείξετε ότι οι μη παράλληλες πλευρές του ΑΒΓΔ είναι ίσες, ή πιο απλά, να δείξετε ότι ΑΔ=ΒΓ» α. Παρατηρώ ότι ΔΓ ΑΒ ΔΓ ΑΒ και εφόσον Μ μέσο του ΓΔ ισχύει ΔΓ ΔΜ Άρα ΑΒ ΔΜ. Ακόμα η ΑΒ είναι παράλληλη στην ΔΜ (εφόσον είναι και στην ΓΔ), άρα το τετράπλευρο ΑΒΜΔ είναι παραλληλόγραμμο, εφόσον έχει ένα ζεύγος ίσων και παράλληλων πλευρών. Άρα ΑΔ ΒΜ ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου. β. Ισχύει ότι ΑΔ ΑΒ από την σχέση (1), άρα το ΑΒΜΔ είναι ρόμβος, εφόσον είναι παραλληλόγραμμο με δυο διαδοχικές πλευρές ίσες. Η ΔΒ είναι διαγώνιος του ρόμβου άρα θα διχοτομεί την γωνία Δ. γ. Στο τρίγωνο ΔΒΓ Ακόμα η ΒΜ είναι διάμεσος εφόσον Μ μέσον του ΓΔ. ΔΓ ΒΜ ΜΔ γιατί είναι πλευρές του ρόμβου ΑΒΜΔ. Άρα το τρίγωνο ΔΒΓ είναι ορθογώνιο με ίση με το μισό της πλευράς αυτής. δ. Το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές, εφόσον ισόπλευρο. Επομένως ΒΓ ΒΜ ΜΓ. () Όμως σε προηγούμενο ερώτημα, δείξαμε ότι ΑΔ Από () και (3) έχω ότι ΑΔ Β 9 εφόσον η διάμεσος που αντιστοιχεί σε μια πλευρά του είναι ΔΓ ΒΜ ΜΓ και η γωνία ΒΜ. (3) ΒΓ, άρα το τραπέζιο είναι ισοσκελές.. Γ 6, άρα το τρίγωνο είναι 4 ο ΓΕ.Λ Κερατσινίου σελίδα [14]
Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Άσκηση 14 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, το μέσο Μ της βάσης ΒΓ και η μεσοκάθετος της πλευράς ΑΓ που τέμνει την ΑΜ στο Κ. Από το Κ φέρνουμε κάθετη στην ΑΒ που την τέμνει στο σημείο Η και την προεκτείνουμε κατά ΗΔ=ΚΗ. Αν η κάθετη προς την ΚΔ στο σημείο Κ τέμνει τη ΒΓ στο Ε, να αποδειχθεί ότι: α. ΚΑ = ΚΒ β. Το τετράπλευρο ΑΔΒΚ είναι ρόμβος. γ. Η ΔΒ είναι κάθετη στην ΒΓ. δ. Η ΑΒ διέρχεται από το μέσο Ν του ΔΕ. ε. ΔΕ//ΑΓ α. Ισχύει ότι ΚΑ ΚΓ εφόσον Κ σημείο της μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και επομένως θα ισαπέχει από τα άκρα του Α και Β. β. Παρατηρούμε ότι το σημείο Η είναι το μέσον της ΑΒ (εφόσον ΚΗ μεσοκάθετος του ΑΒ) και είναι και μέσον (το Η) και της ΚΔ, εφόσον από υπόθεση ΗΔ=ΚΗ. Άρα στο τετράπλευρο ΑΔΒΚ οι διαγώνιοι διχοτομούνται, επομένως είναι παραλληλόγραμμο. Επιπλέον, ΑΒ ΔΚ (εφόσον ΔΚ μεσοκάθετος της ΑΒ) και επομένως οι διαγώνιοι του ΑΔΒΚ τέμνονται κάθετα. Άρα το ΑΒΔΚ είναι παραλληλόγραμμο, και οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα, άρα είναι ρόμβος. γ. Ισχύει ότι το ΑΔΒΚ είναι ρόμβος, άρα οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες. Επομένως η ΔΒ είναι παράλληλη με την ΑΚ, άρα και με την ΑΜ. Όμως η ΑΜ είναι κάθετη στην ΒΓ (γιατι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές και ΑΜ διάμεσος άρα και ύψος). Άρα η ΔΒ θα είναι επίσης κάθετη στην ΒΓ. δ. Στο τρίγωνο ΔΕΚ, το Η είναι το μέσον του ΔΚ και ΝΗ είναι παράλληλη στην ΚΕ αφού είναι και οι δύο κάθετες στην ΔΚ. Άρα από το μέσον μιας πλευράς ενός τριγώνου, έχω φέρει παράλληλη σε μια άλλη πλευρά του, επομένως θα συναντάει την Τρίτη πλευρά στο μέσον. Άρα υποχρεωτικά, το Ν είναι μέσον του ΔΕ. ε. Στο ορθογώνιο τρίγωνο. ΔΒΕ, η ΒΝ είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ΔΕ άρα ΒΝ ΝΕ. Άρα το τρίγωνο ΒΝΕ είναι ισοσκελές άρα οι γωνίες στην βάση του θα είναι ίσες. Επομένως: ΝΕΒ Β Γ Άρα η ΔΕ είναι παράλληλη στην ΑΓ εφόσον οι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι ίσες 4 ο ΓΕ.Λ Κερατσινίου σελίδα [15]
Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας ˆΑ είναι 6 o και η γωνία Άσκηση 15 ˆΓ είναι 45 Φέρνουμε το ύψος ΒΔ και στην ΑΒ παίρνουμε σημείο Ε, έτσι ώστε η γωνία ΑΓΕ να είναι 15 ευθεία ΔΒ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι :. Η κάθετη προς την ΕΓ στο Ε τέμνει την α. ΓΒ=ΓΕ και ΒΡ= ΒΕ, όπου Ρ είναι το σημείο τομής των ΒΔ, ΓΕ. β. Το τρίγωνο ΒΕΖ είναι ισοσκελές. γ. Αν Κ, Μ είναι οι προβολές των Ε, Γ στις ΔΖ, ΑΒ αντίστοιχα, τότε τα τρίγωνα ΒΜΓ και ΕΚΖ είναι ίσα.. δ. Η γωνία ΔΖΓ είναι ίση με 3. α. Από το τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α 6 και Γ 45, οπότε Β 75. Είναι EΓB Γ EΓA 45 15 3 και Β 75, οπότε από το τρίγωνο ΒΕΓ είναι. Δηλαδή BEΓ 75 BΕΓ Β 75. Άρα το τρίγωνο ΒΕΓ είναι ισοσκελές, έτσι ΓΒ=ΓΕ (1). Η γωνία P1 είναι συμπληρωματική της ΑΓΕ άρα Ρ1 75. Ακόμα Ρ Ρ 75 1 ως κατακορυφήν. Η ΒΕΡ είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου ΑΕΓ, άρα θα είναι ίση με το άθροισμα των απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου, άρα Επομένως ΒΕΡ Ρ, δηλαδή το τρίγωνο ΒΕΡ είναι ισοσκελές, οπότε ΒΡ=ΒΕ (). ΒΕΡ 6 15 75. β. Ισχύει ότι E 9 BΕP 15 1 και ZΒE 9 6 15 ως εξωτερική του τριγώνου ΑΒΔ. Από το τρίγωνο ΖΒΕ βρίσκουμε ότι Z1 15 Είναι E Z 15 1 1 άρα το τρίγωνο ΒΕΖ είναι ισοσκελές με ΒΖ=ΒΕ (3) γ. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ είναι Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΕΚ είναι Α 6 οπότε Β 3 1 οπότε Β 3 1. BE EK (4) 4 ο ΓΕ.Λ Κερατσινίου σελίδα [16]
Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Από τη σχέση (1) το τρίγωνο ΒΕΓ είναι ισοσκελές, οπότε το ύψος ΓΜ είναι και διάμεσος και διχοτόμος, δηλαδή EB MB (5) και Γ1 15 (6) Από τις (4) και (5) συμπεραίνουμε ότι ΕΚ=ΜΒ (7) Τα ορθογώνια τρίγωνα ΜΒΓ και ΕΚΖ έχουν ΕΚ=ΜΒ (από την (5)), και ˆ Z Γ 15, οπότε τα τρίγωνα είναι ίσα. Άρα ΕΖ=ΒΓ (8) δ. Από (1) είναι ΓΒ=ΓΕ και από (8) ΕΖ=ΒΓ. Άρα ΓΕ=ΕΖ, δηλαδή το ορθογώνιο τρίγωνο ΖΕΓ είναι και 1 ισοσκέλες, οπότε: EZΓ 45 Z ΔZΓ 45 15 ΔZΓ 45 ΔZΓ 3 1 4 ο ΓΕ.Λ Κερατσινίου σελίδα [17]
Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Άσκηση 16 Στην προέκταση της πλευράς ΓΒ ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ παίρνουμε τμήμα ΒΜ=BΓ. Η ΜΔ τέμνει την AB στο N και την ΑΓ στο P. Αν PN=3, να υπολογιστεί το τμήμα ΡΔ. Υπόδειξη: Βρείτε βαρύκεντρο και χρησιμοποιήστε την ιδιότητα του. Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΔΝ και ΜΒΝ τα οποία έχουν ΒΜ=ΑΔ εφόσον ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο άρα ΑΔ=ΒΓ και ΒΜ=ΒΓ από υπόθεση. Δ1 Μ ως εντός εναλλάξ (μεταξύ των παράλληλων ΜΓ και ΑΔ που τέμνονται από την ΔΜ) Α Β ως εντός εναλλάξ (μεταξύ των παράλληλων ΜΓ και ΑΔ που τέμνονται από την ΑΒ) Άρα από κριτήριο Γ-Π-Γ τα δυο τρίγωνα είναι ίσα. Άρα ΑΝ=ΝΒ, δηλαδή Ν μέσον ΑΒ και ΔΝ=ΝΜ, δηλαδή Ν μέσον του ΔΜ. Οπότε το ΔΝ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΔ. Έστω Ο το σημείο τομής των ΑΓ και ΒΔ, τότε θα είναι το μέσο της ΒΔ εφόσον οι διαγώνιοι διχοτομούνται. Άρα το ΑΟ είναι διάμεσος για το τρίγωνο ΑΒΔ. Επομένως το Ρ, που είναι το σημείο τομής των δυο διάμέσων του τριγώνου ΑΒΔ θα είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου, οπότε: ΔΡ ΔΝ (1) ενώ το 3 1 ΝΡ ΔΝ.() 3 Όμως ΡΝ 3 άρα από () ΔΝ 9 άαρα από (1) ΔΡ 6. 4 ο ΓΕ.Λ Κερατσινίου σελίδα [18]
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ (1) και Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Α 1 Άσκηση 17 Κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου τα τετράγωνα ΑΒΖΗ και ΑΓΔΕ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε και Η είναι συνευθειακά.. Για να δείξω ότι τα σημεία Δ,Ε και Η είναι συνευθειακά, αρκεί να δείξω ότι η γωνία που σχηματίζουν είναι μια ευθεία γωνία. Δηλαδή αρκεί να δείξω ότι: ΔΕΗ 18, άρα αρκεί να δείξω ότι το ΑΕ είναι κάθετο στο ΕΗ. Ισχύει ότι Α Α Α Α 36 1 3 4 Α 1 9 9 36 1 Α1 6 Έστω Ν το μέσον της ΑΗ. Τότε θα ΑΗ ισχύει: ΑΝ ΝΗ () Όμως το ΑΗΖΒ είναι τετράγωνο, άρα ΑΗ=ΑΒ (3) Από (1), () και (3) έχω: ΑΗ ΑΒ ΑΓ ΑΝ ΝΗ ΑΓ. (4) Όμως και το ΑΓΔΕ είναι τετράγωνο, επομένως ΑΓ=ΑΕ (5) Από (4) και (5) έχω: ΑΝ ΝΗ ΑΓ ΕΑ (6) Άρα το τρίγωνο ΑΕΝ είναι ισοσκελές και Επομένως Α1 6, άρα είναι ισόπλευρο. ΑΗ ΕΝ ΑΝ και έτσι στο τρίγωνο ΑΕΗ, η διάμεσος ΕΝ είναι το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με Ε 9. Άρα ΑΕ είναι κάθετο στο ΕΗ και επομένως τα σημεία Δ, Ε και Η είναι συνευθειακά. 4 ο ΓΕ.Λ Κερατσινίου σελίδα [19]
Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Άσκηση 18 Δίνεται κυρτό πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ στο οποίο οι γωνίες Γ και Ε είναι ορθές, οι πλευρές ΒΓ και ΓΔ είναι ίσες, καθώς επίσης ίσες είναι και οι πλευρές ΔΕ, ΑΕ. Αν Μ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ, προεκτείνουμε την ΕΜ κατά ίσο τμήμα ΜΗ. Να δείξετε ότι: α. Το τετράπλευρο ΑΕΒΗ είναι παραλληλόγραμμο. β. Τα τρίγωνα ΗΒΓ, ΕΔΓ είναι ίσα. γ. Το τρίγωνο ΕΓΗ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. δ. Το τρίγωνο ΕΜΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές α. Το τετράπλευρο ΑΕΒΗ είναι παραλληλόγραμμο γιατί οι διαγώνιοί του ΑΒ, ΕΗ διχοτομούνται στο Μ. β. Συγκρίνω τα τρίγωνα ΗΒΓ και ΕΔΓ: Αυτά ΗΒ=ΕΔ γιατί ΗΒ=ΑΕ (απέναντι πλευρές του παραλληλογράμμου ΑΕΒΗ) και ΑΕ=ΕΔ (υπόθεση). ΒΓ=ΔΓ (υπόθεση). ΗΒΓ ΕΔΓ γιατί ΗΒ//ΑΕ και αφού ΑΕ ΕΔ ( Ε ορθή) είναι ΗΒ ΕΔ ακόμα ΒΓ ΓΔ ( Γ ορθή), δηλαδή έχουν τις πλευρές τους κάθετες. (Μπορούμε να μην χρησιμοποιήσουμε ότι οι γωνίες είναι ίσες επειδή έχουν τις πλευρές τους κάθετες. Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι Β1 Δ1 ως συμπληρωματικές της ίδιας γωνίας Ο παραπληρωματικές των ίσων γωνιών Β 1 και Δ 1 ) Άρα από κριτήριο Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα., επομένως οι Β Δ ως γ. Επειδή τα τρίγωνα ΗΒΓ, ΕΔΓ είναι ίσα, είναι ΓΗ=ΓΕ, άρα το τρίγωνο ΕΓΗ είναι ισοσκελές. Ακόμα Γ Γ1, άρα ΕΓΗ Γ ΕΓΒ Γ ΕΓΒ ΔΓΒ 9 1 δηλαδή το ΕΓΗ είναι και ορθογώνιο. δ. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΕΓΗ η ΓΜ είναι διάμεσος άρα ΕΗ ΓΜ ΕΜ δηλαδή το ΕΜΓ είναι ισοσκελές. Ακόμα η διάμεσος ΓΜ είναι και ύψος στο ορθογώνιο ΕΓΗ, άρα το ΕΜΓ είναι και ορθογώνιο. 4 ο ΓΕ.Λ Κερατσινίου σελίδα []
Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Άσκηση 19 Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και τυχαίο σημείο Ε της πλευράς ΔΓ. Φέρνουμε τη διχοτόμο της γωνίας ΑΖ, ΕΗ ΑΒ. Αν η ΕΚ τέμνει την ΑΒ στο Θ να δειχθεί ότι: α. ΑΕ=ΑΘ β. Τα τρίγωνα ΘΗΕ, ΑΒΖ είναι ίσα. γ. ΑΕ=ΔΕ+ΒΖ. α. Το τρίγωνο ΑΕΘ είναι ισοσκελές γιατί το ευθύγραμμο τμήμα ΑΚ είναι ύψος και που τέμνει τη ΒΓ στο Ζ καθώς και ΕΚ διχοτόμος που αντιστοιχεί στην πλευρά ΘΕ του τριγώνου. Άρα ΑΕ=ΑΘ. β. Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα ΘΗΕ και ΑΒΖ. ΑΒ=ΕΗ γιατί ΑΒ=ΒΓ ως πλευρές τετραγώνου και ΒΓ=ΕΗ ως αποστάσεις μεταξύ των παράλληλων ΑΒ και ΓΔ. Α Θ Ε ως συμπληρωματικές της ίδιας γωνίας 1 1 Άρα τα ΘΗΕ, ΑΒΖ είναι ίσα. γ. Από την προηγούμενη σύγκριση τριγώνων τα ΘΗΕ και ΑΒΖ θα έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα, ένα προς ένα. Επομένως ΒΖ=ΘΗ Το ΑΗΕΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο γιατί διαθέτει 3 ορθές γωνίες ( Α Δ Η 9 ). Άρα ΔΕ=ΑΗ. Επομένως ΔΕ ΒΖ ΑΗ ΗΘ ΑΘ ΑΕ 4 ο ΓΕ.Λ Κερατσινίου σελίδα [1]
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) με με τη ΒΓ γωνία 3 Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Άσκηση ΒΑΓ. Από το σημείο Β φέρνουμε ημιευθεία που σχηματίζει και τέμνει την προέκταση της ΑΓ στο Δ. Από την κορυφή Γ φέρνουμε κάθετο στη ΒΔ που τέμνει την ΒΔ στο Η και την ΑΒ στο Ε. Αν ΑΜ το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ και ΓΝ η διχοτόμος της γωνίας του Γ, να δειχθεί ότι: α. ΒΓ=ΓΗ. β. Τα τρίγωνα ΓΜΝ, ΓΗΔ είναι ίσα. γ. Το τρίγωνο ΓΑΕ είναι ισοσκελές. δ. Τα τρίγωνα ΝΓΑ, ΔΓΕ είναι ίσα. ε. Η γωνία ΓΖΕ ισούται με 5, όπου Ζ το σημείο τομής των ΕΔ, ΒΓ. α. Επειδή το τρίγωνο ΓΗΒ είναι ορθογώνιο με ΒΓ ΓΗ ΒΓ ΓΗ (1) ΓΒΗ 3 είναι β. Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με 18 ΑΒΓ ΑΓΒ 8 ΒΑΓ έχουμε: και επειδή η ΓΝ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΓΒ είναι (). 8 ΜΓΝ ΝΓΑ 4 Ακόμα ΒΓΔ 8 1 (ως εξωτερική του τριγώνου ΑΒΓ) και ΒΓΗ 18 9 3 6 (από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΓΗ), άρα ΗΓΔ ΒΓΔ ΒΓΗ 1 6 4 ΜΓΝ. Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα ΓΜΝ, ΓΗΔ έχουν: ΜΓΝ ΗΓΔ 1 ΒΓ ΜΓ ΓΗ. Επομένως είναι ίσα. γ. Είναι ΕΒΓ 8 1 (ως εξωτερική γωνία του τριγώνου ΑΒΓ), οπότε από το τρίγωνο ΒΕΓ έχουμε: 4 ο ΓΕ.Λ Κερατσινίου σελίδα []
Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας ΒΕΓ 18 ΕΒΓ ΒΓΗ 18 1 6. Δηλαδή είναι ισοσκελές με ΓΑ=ΓΕ. δ. Τα τρίγωνα ΝΓΑ, ΔΓΕ έχουν: ΓΑ=ΓΕ (από ερώτημα β) ΒΑΓ ΒΕΓ, άρα το τρίγωνο ΑΓΕ ΝΓΑ ΗΓΔ 4 (από ερώτημα β) ΓΝ=ΓΗ (γιατί τα τρίγωνα ΓΜΝ, ΓΗΔ είναι ίσα). Επομένως είναι ίσα (από κριτήριο Π-Γ-Π) κι έτσι ΓΕΔ ΓΑΜ 1. ε. Είναι ΕΓΖ 18 6 1 (παραπληρωματική της γωνίας ΒΓΗ ). Οπότε από το τρίγωνο ΕΓΖ έχουμε: ΕΖΓ 18 ΕΓΖ ΓΕΔ 18 1 1 5. Προσοχή: 1. Από τις αρχικές ασκήσεις έχουν εξαιρεθεί και δεν περιλαμβάνονται οι ασκήσεις που αναφερόντουσαν στις παραγράφους 5.1 και 5.11 και είναι εκτός ύλης.. Κάθε άσκηση μπορεί να λυθεί (πιθανόν) και με διαφορετικούς τρόπους. 3. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι και σωστή. 4 ο ΓΕ.Λ Κερατσινίου σελίδα [3]