ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Μετασχηματισμός Fourier 2-Δ ακολουθιών Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ÃÐÓ 5 ÅØ ÕÑØ Ñ Fourier ¾¹ ÓÐÓÙôÒ Ò x(m, n) Ñ ¾¹ ÓÐÓÙ ÓÖ ÑÒ ØÓ ÔÔÓ ØÛÒ ÖÛÒ ÖÑôÒ 2 º Ç ÑØ Õ¹ ÑØ Ñ Fourier Ø ÓÐÓÙ x(m, n) Ò Ñ ÔÖÓ ÙÒÖØ ØÛÒ ÙÕÒÓØØÛÒ (u, v) Ñ ÔÖÓÓ ½ Ø Ó ÙÕÒØغ X(u, v) = x(m, n)e j2π(um+vn). (5.) À ÔÖÜ ØÓÙ ÑØ ÕÑØ ÑÓ ÔÖÓÔÓØ Ø Ó ØÑ Ø ¾¹ ÓÐÓÙ ÒÓÔÓÓÒ Ø ÙÒ x(m, n) <. (5.2) Ç ÒØ ØÖÓÓ ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier ØÒ ÖÕ ÓÐÓÙ x(m, n) = X(u, v)e j2π(um+vn) dudv. (5.3) ÓÒØ Ø ÙÒÕ ÑÖ Ô Ø ØØ ØÓÙ ÑØ ÕÑØ ÑÓ Fourier, ÔÖÑÓ Ñ Ø ØØ ØÓÙ ÑØ ÕÑØ ÑÓ Fourier ¾¹ ÙÒÕôÒ ÑØÛÒ.. ÖÑÑØØ Ã ÖÑÑ ÙÒÙ Ñ ÑØÛÒ ÑØ ÕÑØÞØ ØÓÒ ÒØ ØÓÕÓ ÖÑÑ ÙÒ¹ Ù Ñ ØÛÒ ÑØ ÕÑØ ÑôÒ Fourier ØÛÒ ÑØÛÒº 2. ÅØØÔ 3. ÕÛÖ ÑØØ x(m m, n n )e j2π(um+vn) = e j2π(um +vn ) X(u, v) (5.4) Ò x(m, n) = x (m)x 2 (n), ØØ X(u, v) = X (u)x 2 (v), ºµ ÔÓÙ X (u) ÒØ ØÓÕ X 2 (v)µ Ò Ó ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier Ø x (m) ÒØ ØÓÕ x 2 (n)µ. 5
4. ËØÖ ØÑ X(, ) = 5. ÑÖÛ Ç ÔÓÐÐÔÐ Ñ Ñ Ñ Ø ÖÑÓÒ ÙÒÖØ x(m, n). (5.6) y(m, n) = x(m, n)e j2π(u m+v n), (5.7) ÙÒÔØ ÑØØÔ ØÓ ÔÓ ØÛÒ ÕÛÖôÒ ÙÕÒÓØØÛÒ Y (u, v) = X(u u, v v ). (5.8) 6. ËÙÒÐÜ À ¾¹ ÙÒÐÜ Ø h(.,.) Ñ ØÒ x(.,.) ÓÖÞØ Û ÓÐÓÛ y(m, n) = m = n = Ç ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier Y (u, v) Ø y(m, n) Õ Û Ü h(m, n )x(m m, n n ). (5.9) Y (u, v) = H(u, v)x(u, v). º½¼µ ÔÓÙ H(u, v) Ò Ó ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier ths h(m, n). 7. ÈÓÐÐÔÐ Ñ Ç ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier ØÓÙ ÒÓÑÒÓÙ Ó ¾¹ ÓÐÓÙôÒ x(m, n) y(m, n) Ø Û Ü x(m, n)y(m, n)e j2π(um+vn) = ÔÓÙ X(u, v) Y (u, v) Ò ÔÛ ÔÖÔÒÛ. 8. ÛØÖ ÒÑÒÓ x(m, n)y (m, n) = X(u, v )Y (u u, v v )du dv, º½½µ X(u, v)y (u, v)dudv. (5.2) ÃØ ÙÒÔ ÒÖ Ò ÑØÓ ØÖØ ÑØ ØÓ ÑØ ÕÑØ Ñ x(m, n) 2 = X(u, v) 2 dudv. (5.3) ÓÐÓÙÓÒ ÔÖÑØ ÒÐÙØôÒ Ö ÛÒ ØÓ ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier. ÈÖÑ º½º Ò x(m, n) = m 2 + n 2 = /2 m 2 + n 2 = /4 m 2 + n 2 = 2 m 2 + n 2 > 2 ½
¾¹ ÖØ Ñ ÔÔÖ ÑÒ Ø º Ô ØôÒÓÙÑ Ø ØÓ Ñ Ò ÕÛÖ ÑÓ Ñ m = x (m) = x 2 (m) = /2 m = m > ³Ñ Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ ØÓÙ ÑØ ÕÑØ ÑÓ ÔÖÓÔØ Ø X (u) = e j2πu + + e j2πu = + 2 cos 2πu = 2 cos 2 πu. ³Ö ØÓ ¾¹ Ñ ÐÛ ÕÛÖ ÑØØ Õ X(u, v) = 4 cos 2 πu cos 2 πv. ËØÓ ËÕÑ 5. Ø Ó ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier. 4 X(u,v) 3 v.5 2.5.4.3.2...2.3.4.5 u.5 ËÕÑ 5.: ÅØ ÕÑØ Ñ Fourier Ø ÔÔÖ ÑÒ Ø ÓÐÓÙ ØÓÙ Ô¹ ÖÑØÓ º½º ÈÖÑ º¾º Ò x(m, n) = α m β n, α <, β < ¾¹ ÖØ Ñº Ó ØÓ Ñ Ò ÕÛÖ ÑÓ Ö Ò ÙÖÓÒ Ó Ó ÑÓÒÓ ØØÓ ÑØ ÕÑØ ÑÓ Fourier.  ÕÓÙÑ X (u) = = = = m= α m e j2πum = m= α m e j2πum + α m e j2πum m= (αe j2πu ) m + (αe j2πu ) m = (αe j2πu ) m + (αe j2πu ) m m= m= m= m= αe j2πu + αe j2πu = α 2 ( αe j2πu )( αe j2πu ) α 2 2α cos(2πu) + α 2 (5.4) 7
Ç ØÑ ØÓÙ ÑØ ÕÑØ ÑÓ ÓÒØ Ö ØÓ ËÕÑ º¾ Ó ÓÖØ ØÑ ØÓÙ α Ñ Ø Ñ ÖÒغ ÌÐ Ó ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier Ø x(m, n) Ò X(u, v) = ( α 2 )( β 2 ) ( 2α cos(2πu) + α 2 )( 2β cos(2πv) + β 2 ) (5.5) X (u) 6 X (u) 9 5 8 4 7 6 3 5 4 2 3 2.5.4.3.2...2.3.4.5 u (a).5.4.3.2...2.3.4.5 u (b) ËÕÑ 5.2: ÅØ ÕÑØ Ñ Fourier Ø ÒÓÙ ÓÐÓÙ (a) α =.7, (b) α =.8. ³ ÓÒØ Ø ÐÓÙ ÑØ m + n = /2 m + n = f (m, n) = /4 m + n = 2 m + n > 2 /8 m = n = /4 m = n = f 2 (m, n) = /4 m = n = /8 m = n = m Ø n > Ò Ô Ø ÑØ ÙØ ÞØØ Ò Ò ÕÛÖ ÑÓ Ò ÙÖ Ó ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier. 8
Σημειώματα Σημείωμα αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Κρήτης, Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας «Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων - Μετασχηματισμός Fourier 2-Δ ακολουθιών». Έκδοση:.. Ηράκλειο 25. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://www.csd.uoc.gr/~hy47/ Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση, Όχι Παράγωγο Έργο 4. [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4./ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Κρήτης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.