ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Μετασχηματισμός Fourier 2-Δ ακολουθιών. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας

Σχετικά έγγραφα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: 2-Δ συνεχή σήματα. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Σχηματισμός και αντίληψη εικόνων. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Μαθηματική μορφολογία. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Διοικητική Λογιστική

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Προσεγγιστική Λύση Γραμμικών Συστημάτων. Αθανάσιος Μπράτσος

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra

Διοικητική Λογιστική

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6

Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Ενότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Μυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης

Διδακτική Πληροφορικής

ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ

Τεχνικό Σχέδιο - CAD

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskal

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Ιστορία της μετάφρασης

Τεχνικό Σχέδιο - CAD

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Μαθηματικά ΙII. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 1: Μετασχηματισμός Laplace. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ

Δομές Δεδομένων Ενότητα 1

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1)

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας

Κοινωνία & Υγεία Υγεία Πρόληψη Προαγωγή υγείας: Βαθμίδες πρόληψης

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας

Διδακτική Πληροφορικής

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: SPLINES. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους

Θέματα Εφαρμοσμένης. Ενότητα 14.2: Η ψήφος στα πρόσωπα. Θεόδωρος Χατζηπαντελής Τμήμα Πολιτικών Επιστημών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων

Μάρκετινγκ Αγροτικών Προϊόντων

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Εννοιες και Παράγοντες της Ψηφιακής Επεξεργασίας Εικόνας

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ

Μαθηματικά ΙII. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 2: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace. Αθανάσιος Μπράτσος

Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων.

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 1

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 3

Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1

Προγραμματισμός Η/Υ. Βασικές Προγραμματιστικές Δομές. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Εισαγωγή στην Πληροφορική

Τεχνικό Σχέδιο - CAD. Τόξο Κύκλου. Τόξο Κύκλου - Έλλειψη. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διαχείριση Πολιτισμικών Δεδομένων

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων. Άσκηση 3η. Στυλιανού Ιωάννης. Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Transcript:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Μετασχηματισμός Fourier 2-Δ ακολουθιών Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ÃÐÓ 5 ÅØ ÕÑØ Ñ Fourier ¾¹ ÓÐÓÙôÒ Ò x(m, n) Ñ ¾¹ ÓÐÓÙ ÓÖ ÑÒ ØÓ ÔÔÓ ØÛÒ ÖÛÒ ÖÑôÒ 2 º Ç ÑØ Õ¹ ÑØ Ñ Fourier Ø ÓÐÓÙ x(m, n) Ò Ñ ÔÖÓ ÙÒÖØ ØÛÒ ÙÕÒÓØØÛÒ (u, v) Ñ ÔÖÓÓ ½ Ø Ó ÙÕ񯯼 X(u, v) = x(m, n)e j2π(um+vn). (5.) À ÔÖÜ ØÓÙ ÑØ ÕÑØ ÑÓ ÔÖÓÔÓØ Ø Ó ØÑ Ø ¾¹ ÓÐÓÙ ÒÓÔÓÓÒ Ø ÙÒ x(m, n) <. (5.2) Ç ÒØ ØÖÓÓ ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier ØÒ ÖÕ ÓÐÓÙ x(m, n) = X(u, v)e j2π(um+vn) dudv. (5.3) ÓÒØ Ø ÙÒÕ ÑÖ Ô Ø ØØ ØÓÙ ÑØ ÕÑØ ÑÓ Fourier, ÔÖÑÓ Ñ Ø ØØ ØÓÙ ÑØ ÕÑØ ÑÓ Fourier ¾¹ ÙÒÕôÒ ÑØÛÒ.. ÖÑÑØØ Ã ÖÑÑ ÙÒÙ Ñ ÑØÛÒ ÑØ ÕÑØÞØ ØÓÒ ÒØ ØÓÕÓ ÖÑÑ ÙÒ¹ Ù Ñ ØÛÒ ÑØ ÕÑØ ÑôÒ Fourier ØÛÒ ÑØÛÒº 2. ÅØØÔ 3. ÕÛÖ ÑØØ x(m m, n n )e j2π(um+vn) = e j2π(um +vn ) X(u, v) (5.4) Ò x(m, n) = x (m)x 2 (n), ØØ X(u, v) = X (u)x 2 (v), ºµ ÔÓÙ X (u) ÒØ ØÓÕ X 2 (v)µ Ò Ó ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier Ø x (m) ÒØ ØÓÕ x 2 (n)µ. 5

4. ËØÖ ØÑ X(, ) = 5. ÑÖÛ Ç ÔÓÐÐÔÐ Ñ Ñ Ñ Ø ÖÑÓÒ ÙÒÖØ x(m, n). (5.6) y(m, n) = x(m, n)e j2π(u m+v n), (5.7) ÙÒÔØ ÑØØÔ ØÓ ÔÓ ØÛÒ ÕÛÖôÒ ÙÕÒÓØØÛÒ Y (u, v) = X(u u, v v ). (5.8) 6. ËÙÒÐÜ À ¾¹ ÙÒÐÜ Ø h(.,.) Ñ ØÒ x(.,.) ÓÖÞØ Û ÓÐÓÛ y(m, n) = m = n = Ç ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier Y (u, v) Ø y(m, n) Õ Û Ü h(m, n )x(m m, n n ). (5.9) Y (u, v) = H(u, v)x(u, v). º½¼µ ÔÓÙ H(u, v) Ò Ó ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier ths h(m, n). 7. ÈÓÐÐÔÐ Ñ Ç ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier ØÓÙ ÒÓÑÒÓÙ Ó ¾¹ ÓÐÓÙôÒ x(m, n) y(m, n) Ø Û Ü x(m, n)y(m, n)e j2π(um+vn) = ÔÓÙ X(u, v) Y (u, v) Ò ÔÛ ÔÖÔÒÛ. 8. ÛØÖ ÒÑÒÓ x(m, n)y (m, n) = X(u, v )Y (u u, v v )du dv, º½½µ X(u, v)y (u, v)dudv. (5.2) ÃØ ÙÒÔ ÒÖ Ò ÑØÓ ØÖØ ÑØ ØÓ ÑØ ÕÑØ Ñ x(m, n) 2 = X(u, v) 2 dudv. (5.3) ÓÐÓÙÓÒ ÔÖÑØ ÒÐÙØôÒ Ö ÛÒ ØÓ ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier. ÈÖÑ º½º Ò x(m, n) = m 2 + n 2 = /2 m 2 + n 2 = /4 m 2 + n 2 = 2 m 2 + n 2 > 2 ½

¾¹ ÖØ Ñ ÔÔÖ ÑÒ Ø º Ô ØôÒÓÙÑ Ø ØÓ Ñ Ò ÕÛÖ ÑÓ Ñ m = x (m) = x 2 (m) = /2 m = m > ³Ñ Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ ØÓÙ ÑØ ÕÑØ ÑÓ ÔÖÓÔØ Ø X (u) = e j2πu + + e j2πu = + 2 cos 2πu = 2 cos 2 πu. ³Ö ØÓ ¾¹ Ñ ÐÛ ÕÛÖ ÑØØ Õ X(u, v) = 4 cos 2 πu cos 2 πv. ËØÓ ËÕÑ 5. Ø Ó ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier. 4 X(u,v) 3 v.5 2.5.4.3.2...2.3.4.5 u.5 ËÕÑ 5.: ÅØ ÕÑØ Ñ Fourier Ø ÔÔÖ ÑÒ Ø ÓÐÓÙ ØÓÙ Ô¹ ÖÑØÓ º½º ÈÖÑ º¾º Ò x(m, n) = α m β n, α <, β < ¾¹ ÖØ Ѻ Ó ØÓ Ñ Ò ÕÛÖ ÑÓ Ö Ò ÙÖÓÒ Ó Ó ÑÓÒÓ ØØÓ ÑØ ÕÑØ ÑÓ Fourier.  ÕÓÙÑ X (u) = = = = m= α m e j2πum = m= α m e j2πum + α m e j2πum m= (αe j2πu ) m + (αe j2πu ) m = (αe j2πu ) m + (αe j2πu ) m m= m= m= m= αe j2πu + αe j2πu = α 2 ( αe j2πu )( αe j2πu ) α 2 2α cos(2πu) + α 2 (5.4) 7

Ç ØÑ ØÓÙ ÑØ ÕÑØ ÑÓ ÓÒØ Ö ØÓ ËÕÑ º¾ Ó ÓÖØ ØÑ ØÓÙ α Ñ Ø Ñ ÖÒØº ÌÐ Ó ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier Ø x(m, n) Ò X(u, v) = ( α 2 )( β 2 ) ( 2α cos(2πu) + α 2 )( 2β cos(2πv) + β 2 ) (5.5) X (u) 6 X (u) 9 5 8 4 7 6 3 5 4 2 3 2.5.4.3.2...2.3.4.5 u (a).5.4.3.2...2.3.4.5 u (b) ËÕÑ 5.2: ÅØ ÕÑØ Ñ Fourier Ø ÒÓÙ ÓÐÓÙ (a) α =.7, (b) α =.8. ³ ÓÒØ Ø ÐÓÙ ÑØ m + n = /2 m + n = f (m, n) = /4 m + n = 2 m + n > 2 /8 m = n = /4 m = n = f 2 (m, n) = /4 m = n = /8 m = n = m Ø n > Ò Ô Ø ÑØ ÙØ ÞØØ Ò Ò ÕÛÖ ÑÓ Ò ÙÖ Ó ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier. 8

Σημειώματα Σημείωμα αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Κρήτης, Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας «Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων - Μετασχηματισμός Fourier 2-Δ ακολουθιών». Έκδοση:.. Ηράκλειο 25. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://www.csd.uoc.gr/~hy47/ Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση, Όχι Παράγωγο Έργο 4. [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4./ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Κρήτης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.