אוטומטים- תרגול 10: מכונות טיורינג.

אוטומטים- תרגול 10: מכונות טיורינג. מודל מכונת טיורינג מכונת טיורינג מורכבת מהרכיבים הבאים: 1. מספר סופי של מצבים.. סרט עבודה אינסופי בעל קצה שמאלי. הסרט המחולק לתאים ובכל תא כתוב תו מ- Γ. 3. ראש קורא/כותב היכול לזוז ימינה ושמאלה. הגדרה פורמלית. M = Q, Σ, Γ, δ, s, מכונת טיורינג היא שביעייה rej q, - Q קבוצת מצבים סופית. - Σ אלפבית הקלט. - Σ {Ξ} Γ אלפבית הסרט הכולל בתוכו את התו Ξ המציין רווח. - s מצב התחלתי. - מצב מקבל יחיד, המכונה נעצרת כשמגיעה למצב זה. q rej - מצב דוחה יחיד, המכונה נעצרת כשמגיעה למצב זה. ( Q \{ q, q }) Γ Q Γ { L, R, }.δ : S acc rej - δ פונקציה 'q, עוברים למצב a Γ וקוראים תו q מציינת שכאשר נמצאים במצב δ ( q, (a = ( q', a', D) L,, D { כאשר R מציין ימינה, L מציין R, כותבים a' Γ ומזיזים את הראש בכיוון {S שמאלה ו- S מציין שלא מזיזים את הראש. קונפיגורציה של מכונת טיורינג: תיאור ריצת המכונה בכל שלב נתון ע"י קונפיגורציה, שלשה (u,q,v) כאשר u היא המילה על הסרט משמאל לראש הקורא, q הינו המצב הנוכחי של המכונה ו- v הנה המילה שמתחילה בתו אליו מצביע הראש הקורא וממשיכה ימינה עד המקום בו מתחיל רצף ה Ξ -ים האינסופי. לשם נוחות נשתמש במחרוזת uqv כדי לייצג את השלשה.(u,q,v) הראש הקורא מצביע על התו הראשון של v, אלא אם, v=ε ואז הראש מצביע על תא ריק וכל התאים מימינו ריקים (מכילים Ξ). קונפיגורציה התחלתית בתחילת פעולת המכונה, הקלט כתוב על הסרט ברציפות כך שהתו הראשון בקלט כתוב בתא השמאלי ביותר של סרט העבודה והראש מכוון לתא זה. לאחר מילת הקלט יש רצף אינסופי של רווחים (תווי Ξ). מעבר בין קונפיגורציות:.1 עבור } q, u, v Γ, q { rej a,b Γ ו-. מתקיים:.ubq'w עוברים לקונפיגורציה uqaw מהקונפיגורציה δ ( q, a) = ( q', b, אם (R a) δ ( q, שני מקרים אפשריים: = ( q', b, אם (L א. אם הראש לא מצביע על התא השמאלי ביותר: מהקונפיגורציה ucqaw עוברים לקונפיגורציה.uq' cbw ב. אם הראש מצביע על התא השמאלי ביותר: מהקונפיגורציה qaw עוברים לקונפיגורציה. q'bw uq'bw עוברים לקונפיגורציה uqaw מהקונפיגורציה δ ( q, a) = ( q', b, אם (S,q δ ( לא מוגדרת לכל σ Γ והמכונה נעצרת. σ ) q= q rej עבור כשנמצאים בקצה השמאלי של הסרט ומנסים להזיז את הראש שמאלה נשארים במקום (והמכונה לא "מרגישה" בכך). 1

.u, v Γ.( w L.u, v Γ M acc v M מכונת טיורינג מקבלת מילה w: מילה w Σ מתקבלת ע"י מ"ט מכונת טיורינג דוחה מילה w: מילה נדחית ע"י מ"ט M אם מתקיים אם מתקיים swauq עבור swauq עבור M rej v w Σ יתכן שמלה w כלשהי אינה מתקבלת ואינה נדחית במכונה M. מכונת טיורינג מקבלת שפה L: מ"ט M מקבלת שפה L אם מתקיים: לכל M, w L מקבלת את. w לכל M, w L דוחה את w או לא עוצרת עליה. (כלומר M מקבלת שפה L אם לכל w Σ M, מקבלת את w אם"ם מכונת טיורינג מכריעה שפה L: מ"ט M מכריעה שפה L אם מתקיים: M מקבלת את. w לכל, w L M דוחה את. w לכל, w L L וגם M עוצרת על כל קלט). M מקבלת את (כלומר M מכריעה שפה L אם. L(M ) אוסף זה מסומן ב-. M שפה של מ"ט: שפה של מ"ט M הנה אוסף המילים המתקבלות ע"י משפט: קיימת מ"ט אי דטרמיניסטית המקבלת שפה L קיימת מ"ט דטרמיניסטית המקבלת את L. קיימת מ"ט אי דטרמיניסטית המכריעה שפה L קיימת מ"ט דטרמיניסטית המכריעה את L. מכונת טיורינג k -סרטית :, M = Q, Σ, Γ, δ, s, מכונת טיורינג k -סרטית דטרמיניסטית היא שבעיה rej q, בדומה למ "ט דטרמיניסטית רגילה מלבד העובדה שמכילה k סרטים אינסופיים בעלי קצה שמאלי וכן k ראשים קוראים, אחד לכל סרט, הפועלים במקביל..δ : Q \ { q, q } Γ k Q Γ { L, R, {S מוגדרת באופן שונה: - δ ( ) ( ) k acc rej ומתארת את המעברים עבור k -יה של תווים עליהם מצביעים k הראשים השונים., M = Q, Σ, Γ,, s, באופן דומה ניתן להגדיר מכונת טיורינג k -סרטית א"ד: qrej, : k k ( Q \ { q, q }) Γ P( Q ( Γ { L, R, S} ) ) acc rej מכונת טיורינג מחשבת פונקציה: f : Σ אם מתקיים: Γ { מ"ט מחשבת פונקציה {B x Σ ו M עוצרת תמיד. { } : f ( x) = y y sxa y q y המחלקה : R R- מחלקת כל השפות אשר קיימת להן מ"ט המכריעה אותן. 1 M 1 acc

שאלה 1: הבאה: } { w {0,1}. L= w# w : הראו שהשפה ב R ע"י: א. נתונה השפה L תאר במילים את אלגוריתם הפעולה של מכונת טיורינג המקבלת את. L (שימו לב, השפה אינה ח"ה) w. L= ww : הראו שהשפה ב R ע"י: ב. נתונה השפה L {0,1} הבאה: } { תאר במילים את אלגוריתם הפעולה של מכונת טיורינג המקבלת את. L (שימו לב, השפה אינה ח"ה) תשובה: א.אופן פעולת המכונה על קלט w: {0,1}# {0,1}, אם לא דוחה. המכונה בודקת אם הקלט הוא מהצורה: א. אם התו הנקרא הוא # המכונה בודקת כי כל הסימנים מימין לו נמחקו, אם אכן נמחקו המכונה מקבלת. ב. אחרת דוחה. יהי σ התו הנקרא במילה. ג. המכונה זוכרת את σ וכותבת במקומו את התו x. 1. ובודקת אם מזיזה את הראש לתו הראשון ששונה מ- x מימין ל- # המכונה. שווה ל- σ. אם לא דוחה. אחרת, המכונה כותבת במקומו x. המכונה מזיזה את הראש שמאלה עד ה- x הראשון משמאל ל- #. 3. המכונה מזיזה את הראש צעד אחד ימינה. 4. חוזרת ל- ב'. 5. 0110#0110 Ξ x110#0110 Ξ... x110# x110 Ξ... 110# x110 Ξ x x x10# x110 Ξ... xx10# x x10 Ξ... xxxx # x x xx xxxx# xxxxξ דוגמת הרצה: קלט: 0110#0110 זוכרת שראתה 0. מחליפה 0 ב- x וזזה צעד ימינה. זזה ימינה עד התו הראשון מימין ל- # ששונה מ- x. מוודאת שהתו הזה הוא 0 ומחליפה את ה- 0 ב- x. חוזרת שמאלה עד ל- x הראשון שנמצא משמאל ל-# וזזה צעד ימינה. זוכרת 1. מחליפה 1 ב- x. זזה ימינה עד התו הראשון מימין ל- # ששונה מ- x. מוודאת שהתו הזה הוא 1 ומחליפה את ה- 1 ב- x. חוזרת על התהליך, עד אשר מגיעה לשלב ב' כאשר היא מצביעה על #. בודקת כי כל התווים אשר מימין ל- # נמחקו, ומקבלת. 3

ב. אופן פעולת המכונה על קלט w: - עבור כל אינדקס i של אות ב- w : המכונה מעתיקה את w לאחר ה- Ξ הראשון. בקלט המועתק, המכונה מזיזה את כל התוים החל מהתו ה- i ימינה, ובמקום ה- i רושמת #. המכונה בודקת באותו אופן כמו בסעיף א' אם המילה שלאחר ה- Ξ הראשון #'w, ואם כן-מקבלת. מהצורה 'w המכונה מוחקת את המילה שלאחר ה- Ξ הראשון. - אם לא קיבלה בשום שלב, דוחה. n n n. L : = { a b c : n 0} שאלה : תנו תיאור מילולי של מכונת טיורינג המקבלת את השפה הבאה: תשובה: אופן פעולת המכונה על קלט w: (x הנו תו מיוחד, שלא נמצא בקלט אך כן באותיות שהמכונה יכולה לכתוב. תו זה יציין תווים שנמחקו זה מכבר מהקלט במהלך פעולת המכונה) כל עוד התו הוא x המכונה מזיזה את הראש ימינה אם התו הנקרא הוא Ξ מקבלת אם התו הנקרא הוא b או c דוחה. המכונה מוחקת תו a ראשון ע"י התו Ξ ומזיזה את הראש ימינה. כל עוד התו הנקרא הוא a או x המכונה מזיזה את הראש ימינה. 1. אם התו הנקרא הוא c או Ξ דוחה. א. ב. ג. ד. ה. ו. ז. ח.. אם התו הנקרא הוא b מוחקת אותו ע"י x. כל עוד התו הנקרא הוא b או x המכונה מזיזה את הראש ימינה. 1. אם התו הנקרא הוא a או Ξ דוחה.. אם התו הנקרא הוא c מוחקת אותו ע"י x. כל עוד התו הנקרא הוא c המכונה מזיזה את הראש ימינה. 1. אם התו הנקרא הוא a או b דוחה.. אם התו הנקרא הוא Ξ, המכונה מזיזה את הראש שמאלה עד לתו הראשון שמימין לרצף הרווחים שבתחילת הסרט. חוזרת ל-א'. 4

Ξ Ξ,R q 0 a Ξ,R a a,r b b,r c c,r b x,r c x,r Ξ Ξ,L q 1 q q 4 q 3 a a,l b b,l c c,l x x,l Ξ Ξ,R b b,r c c,r Ξ Ξ,R c c,r q rej Ξ Ξ,R a a,r a a,r b b,r q 0 q 1 q q 3 q 4 משמעות המצבים: אופן פעולת המכונה הוא איטרטיבי. תחילה נגדיר את קלט הלולאה, הקלט עליו מתבצעת הלולאה. קלט הלולאה הנו המילה הכתובה מיד בסיום רצף תווי Ξ השמאלי (אם ישנו) ועד תחילת תו ה Ξ הראשון מימין. - הראש הקורא מצביע על תחילת קלט הלולאה (כל התווים שמשמאל לראש הקורא (אם ישנם) הם Ξ). - נקרא תו a אחד לפחות, אף לא b ואף לא c מקלט הלולאה. - נקרא תו a אחד לפחות, תו b אחד לפחות ואף לא c מקלט הלולאה. - נקרא תו a אחד לפחות, תו b אחד לפחות ותו c אחד לפחות מקלט הלולאה. - נקרא תו a אחד לפחות, תו b אחד לפחות ותו c אחד לפחות, ולאחר מכן אין בקלט תוים שונים מ- c. האינוריאנטה התכונות הנשמרות מאיטרציה לאיטרציה הן: i i א. הקלט המקורי הוא מהצורה a b c וקלט הלולאה הוא מהצורה. a x b x c ב. מספר התווים המחוקים (ע"י Ξ או x) מרצף ה- a -ים שווה לספר התווים המחוקים מרצף ה- b -ים שווה למספר התווים המחוקים מרצף ה- c -ים. מגיעים למצב מקבל אם קיימת ריצה של לולאה שבסיומה מחוקים כל תווי ה- a, ה- b וה- c. וכך הקלט הוא מהצורה a b c וכן מספר ה- a -ים שווה למספר ה- b -ים שווה למספר ה- c -ים, כלומר מהצורה n n n. עבור n 0 a b c שאלה 3: c תנו תיאור מילולי של מכונת טיורינג בעלת 4 סרטים המקבלת את השפה הבאה:. L : = { w Σ : # ( w) = # ( w) # ( w)} a b = אינטואיציה: נסרוק את המלה פעם אחת (על הסרט הראשון) ולכל אות שנפגוש נרשום אותה על סרט אחר (a לסרט שני b לשלישי ו- c לרביעי) ונזוז ימינה (לאחר כל רישום אות. בסוף סריקת המלה, נחזיר את כל הראשים בשלושת הסרטים ימינה ונבדוק שוויון מופעים תוך כדי. 5

ב. ג. ד. ה. תשובה: אופן פעולת המכונה על קלט w: (מחולק ל 3 רוטינות קטנות יותר המחוברות יחד) חלק 1 (רוטינה פשוטה): א. רשום # על הסרטים,3,4 וזוז ימינה (הערה: שומר תו זיהוי מיוחד למקום התחלתי של הסרט) חלק (רוטינה לרישום מספר התווים מכל סוג, כל תו בסרט נפרד): אם התווים הנקראים בסרטים הם (Ξ,Ξ),Ξ,Ξ עבור לחלק 3. אם התווים הנקראים בסרטים הם (Ξ,a),Ξ,Ξ רשום (Ξ,a),a,Ξ בסרטים וזוז ימינה בסרט 1, (רושם מופע של a על סרט לכל a במלה w). אם התווים הנקראים בסרטים הם (Ξ,b),Ξ,Ξ רשום (Ξ,b),Ξ,b בסרטים וזוז ימינה בסרט 1,3 (רושם מופע של b על סרט 3 לכל b במלה w). אם התווים הנקראים בסרטים הם (Ξ,c),Ξ,Ξ רשום (c,c),ξ,ξ בסרטים וזוז ימינה בסרט 1,4 (רושם מופע של c על סרט 4 לכל c במלה w). חלק 3 (רוטינה לבדיקה שיש אותו מספר אותיות על הסרטים,3,4 כלומר שוויון מופעים): אם התווים הנקראים בסרטים,3,4 הם (Ξ,Ξ,Ξ), רשום Ξ בסרטים,3,4 ולך שמאלה ו. בסרטים 1,,3,4 (צעד ראשון שמאלה לכולם). אם התווים הנקראים בסרטים,3,4 הם (a,b,c), רשום Ξ בסרטים,3,4 ולך שמאלה בסרטים ז. 1,,3,4 (כולם עדיין יש מופעים). אם התווים הנקראים בסרטים,3,4 הם (#,#,#), קבל (כל מופעים הסתיימו יחד). ח. אם התווים הנקראים בסרטים,3,4 הם (#,b,c), דחה (מספר מופעי a הסתיים ראשון). ט. אם התווים הנקראים בסרטים,3,4 הם (a,#,c), דחה (מספר מופעי b הסתיים ראשון). י. אם התווים הנקראים בסרטים,3,4 הם (a,b,#), דחה (מספר מופעי c הסתיים ראשון). יא. אם התווים הנקראים בסרטים,3,4 הם (#,#,a), דחה (מספר מופעי a לא הסתיים עדיין). יב. אם התווים הנקראים בסרטים,3,4 הם (#,b,#), דחה (מספר מופעי b לא הסתיים עדיין). יג. אם התווים הנקראים בסרטים,3,4 הם (c,#,#), דחה (מספר מופעי c לא הסתיים עדיין). יד. i j k. L : = { a b c : i j = k i, j, k 0} שאלה 4: תנו תיאור מילולי של מכונת טיורינג המקבלת את השפה הבאה: תשובה: הרעיון: המכונה תסרוק את הסרט ועל כל a שתקרא, תמחק מספר c ים כמספר ה- b -ים. 6

האלגוריתם: על קלט w: המכונה בודקת האם הקלט מהצורה a b c א. ב. ג. ד. ה. אם התו הנקרא הוא Ξ מקבלת אם התו הנקרא הוא c דוחה. אם לא דוחה. אם התו הנקרא הוא b, המכונה בודקת שכל ה- c -ים נמחקו, אם כן מקבלת, אחרת דוחה. המכונה מוחקת תו a ראשון ע''י Ξ ומזיזה את הראש ימינה. כל עוד התו הנקרא הוא a המכונה מזיזה את הראש ימינה. 1. אם התו הנקרא הוא c דוחה.. אם התו הנקרא הוא b, המכונה מוחקת אותו ע''י x ומזיזה את הראש ימינה. 3. כל עוד התו הנקרא הוא b או y המכונה מזיזה את הראש ימינה..4 אם התו הנקרא הוא Ξ דוחה. אם התו הנקרא הוא c, המכונה מוחקת אותו ע''י y ומזיזה את הראש שמאלה עד התו הראשון מימין ל- x. אם התו הנקרא הוא y, המכונה משחזרת את כל ה- b -ים ע''י החלפת כל x ב-, b אחרת חוזרת ל- (3). המכונה מזיזה את הראש שמאלה עד התו הראשון מימין ל- Ξ וחוזרת ל- (ד). Ξ} שאלה 5:,x, =Γ {,a תאר (ללא הוכחה פורמלית) את השפה המתקבלת ע"י מכונת הטיורינג הבאה: עבור a}, Σ= { a a,l x x,l Ξ Ξ,R q 4 Ξ Ξ,L a Ξ,R a x,r q 0 q 1 q Ξ Ξ,S x x,s Ξ Ξ,S a a,r a x,r q rej q 3 Ξ Ξ,S 7

k K כך שלכל,K ננסה לאפיין את קבוצת המספרים. L( M ) { a} תשובה: a}, Σ= { ולכן מתקיים. a k L( M ) 1 K כיוון שעבור קלט ריק המכונה עוברת ישר למצב דוחה), ו-, a 0 = ε L( M ) ) 0 ניתן לראות כי K (המילה a מתקבלת). נתאר את פעולת המכונה על קלט w: 1. המכונה רושמת Ξ במקום ה- a הראשון, ומזיזה את הראש ימינה. לצורך העניין נתיחס אל Ξ זה כאל a, כך שכל פעם שנגיע אליו נדע שאנו נמצאים בקצה השמאלי של הסרט.. המכונה עוברת על הקלט משמאל לימין, ומוחקת כל a שני ע"י החלפתו ב- x, תוך כדי "התעלמות" מה- x - ים שקוראת. 3. אם בשלב. נותר בדיוק a אחד על הסרט (כלומר a אחד מהמילה המקורית אשר הוחלף ע"י Ξ,ושאר ה- a -ים נמחקו ע"י x), המכונה עוברת למצב מקבל. 4. אם בשלב. יש מיספר אי זוגי גדול מאחד של a -ים על הסרט (כולל ה- a הראשון שהוחלף ע"י Ξ), המכונה עוברת למצב דוחה. 5. מחזירה את הראש לקצה שהשמאלי של הסרט, ומזיזה אותו תו אחד ימינה. 6. המכונה חוזרת לשלב. למעשה, אם נתייחס אל ה- Ξ הראשון בסרט כאל a, בכל איטרציה המכונה מוחקת חצי מה- a -ים הרשומים על הסרט. אם בשלב כלשהו נותר מספר אי זוגי גדול מאחד של a -ים, המכונה דוחה את הקלט. אם בסוף נותר a אחד בלבד אזי המכונה מקבלת את הקלט. לכן מספר ההופעות של a ב- w צריך להיות חזקה כלשהי של, כלומר n { }. L( M ) = a : n= 0,1,... n n=, K = { : ולכן 0,1,...} q 0 aaaa Ξq 1 aaa Ξxq aa Ξxaq 3 a Ξxaxq Ξxaq 4 x Ξxq 4 ax Ξq 4 xax q 4 Ξxax Ξq 1 xax Ξxq 1 ax Ξxxq x Ξxxxq Ξxxq 4 x Ξxq 4 xx Ξq 4 xxx q 4 Ξxxx Ξq 1 xxx Ξxq 1 xx Ξxxq 1 x : w= דוגמה להרצת M על הקלט aaaa Ξxxxq 1 Ξxxx 8

מכונת טיורינג מחשבת פונקציה: f : Σ אם מתקיים: Γ { מ"ט מחשבת פונקציה {B x Σ ו M עוצרת תמיד. { } : f ( x) = y y sxa y q y 1 M 1 acc שאלה 6: w f, w תארו מ"ט שמחשבת את הפונקציה f הבאה: בהינתן קלט משאירה את התווים של במקומות האי זוגיים והופכת את סדר התווים במקומות הזוגיים של לדוגמה:. w. f ( σσ σ σ σ σ σ ) = σσ σ σ σ σ σ 1 3 4 5 6 7 1 6 3 4 5 7 פתרון: רעיון המכונה: המכונה תשתמש בסרט קלט, שני סרטי עבודה (1 ו- ) וסרט פלט. שלב :1 סמן את תחילת סרטי העבודה ע"י #. זוז ימינה עד Ξ והעתק אותיות במקום אי-זוגי לסרט 1 ובמקום זוגי לסרט. שלב : חזור לתחילת סרט 1. זוז ימינה על גבי סרט 1 עד Ξ ושמאלה ע"ג סרט עד # וכתוב על סרט הפלט לסירוגין אות מסרט 1 ואות מסרט. הערה: מספר האותיות במקומות האי-זוגיים של מילת הקלט שווה או גדול ב- 1 ממספר האותיות במקומות הזוגיים שלה. לכן בשלב נגיע בסרט 1 ל- Ξ באותו זמן שנגיע ל-# בסרט, או צעד אח"כ. בכל מקרה, אם בסרט 1 הגענו ל- Ξ, אז בסרט בוודאי הגענו ל-#. 9

(σ,ξ,ξ,ξ) (σ,σ,ξ,ξ), (R,R,S,S) s (Ξ,Ξ,Ξ,Ξ) (Ξ,#,#,Ξ), (S,R,R,S) (σ,ξ,ξ,ξ) (σ,ξ, σ,ξ), (R,S,R,S) (Ξ,Ξ,Ξ,Ξ) (Ξ,Ξ,Ξ,Ξ),(S,S,S,S) (Ξ,Ξ,Ξ,Ξ) (Ξ,Ξ,Ξ,Ξ),(S,S,S,S) (Ξ,σ,Ξ,Ξ) (Ξ,σ,Ξ,Ξ),(S,L,S,S) (Ξ,σ1,σ,Ξ) (Ξ,σ1,σ,σ), (S,S,L,R) σ1,σ {a,b} (Ξ,#,Ξ,Ξ) (Ξ,#,Ξ,Ξ),(S,R,L,S) (Ξ,Ξ,#,Ξ) (Ξ,Ξ,#,Ξ),(S,S,S,S) (Ξ,σ,#,Ξ) (Ξ,σ,#,σ),(S,S,S,S) (Ξ,σ1,σ,Ξ) (Ξ,σ1,σ,σ1), (S,R,S,R)σ1,σ {a,b} 10

שאלה 7: בשאלה הבאה יש לתאר מכונות טיורינג בתיאור מילולי מדויק, ולספק הסבר מפורט לנכונות.. log i תארו מ"ט שבקלט i (בייצוג אונרי) מחזירה את בייצוג אונרי. הוא המספר השלם a הגדול ביותר כך שחזקת שלו קטנה מ- i. הנכם רשאים log הבהרה: i להשתמש במספר סרטים. פתרון: מכונה עם סרט קלט ופלט, (נזכור המספר בייצוג אונרי): המכונה על מלה 1=w n מבצעת: 1) כל עוד יש 1 על סרט הקלט: a. רשום 1 על סרט הפלט b. החלף כל מופע '1' שני בקלט ב x (מחוק) )הורד '1' אחד מסרט הפלט. התוצאה על הפלט תהיה הלוג. הסבר נכונות: עבור מילה 1=w n בכל איטרציה אנו כותבים 1 על סרט הפלט ומוחקים חצי ממספר האחדות ב- w ולכן log לאחר n איטרציות אנו מוחקים את כל האחדות ב- w ועל סרט הפלט רשום מספר האיטרציות זהו. log בעצם n 11