ΠΝΠΙΣΗΜΙΟΝΠΙΡΙΧ ΧΟΛΗΝΧΡΗΜΣΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ & ΣΣΙΣΙΚΗ ΣΜΗΜΝΣΣΙΣΙΚΗ ΚΙ ΦΛΙΣΙΚΗΝΠΙΣΗΜΗ ΠΡΟΓΡΜΜΝΜΣΠΣΤΧΙΚΩΝΝΠΟΤΩΝΝ ΣΗΝΝΝΛΟΓΙΣΙΚΗΝΠΙΣΗΜΗ ΚΙ ΙΟΙΚΗΣΙΚΗΝΚΙΝΤΝΟΤ ΣΟΥΣΙΚΝΙΙΚΙΝ ΠΛΟΝΜΣΟ ΜΝΙΠΛΤΡΝΛΜΣ ΚλκεδΪμΝΝδεσζακμ-ληάμ δπζπηαδεάνλΰαέα ΠδλαδΪμ, ΜΪλδκμΝβί1θ
UNIVERSITY OF PIRAEUS SCHOOL OF FINANCE & STATISTICS DEPARTMENT OF STATISTICS AND INSURANCE SCIENCE M.Sc. IN ACTUARIAL SCIENCE AND RISK MANAGEMENT STOCHASTIC SURPLUS PROCESSES WITH TWO-SIDED JUMPS Krokidas Nikolaos-Hermes Dissertation Thesis Piraeus, March 2016
ΤΥΡΙΣΙ ΘαΝάγζαΝθαΝεφλΪπΝδμΝγληΫμΝηκυΝυξαλδέμΝεαδΝκθΝίαησΝηκυΝκθΝεκΝυΪγδκΝ Χααβεπαθδθέβ,Ν θαπζβλπάν ΚαγβΰβάΝ κυν ΣηάηακμΝ αδδεάμν εαδν φαζδδεάμν πδάηβμνΰδανβθνυπκάλδιβ,νθγϊλλυθβ,νεαγκάΰββνεαδνυπκηκθάνκυνεαϊνβνδϊλεδαν βμνυΰΰλαφάμνβμνδπζπηαδεάμνλΰαέαμέ βνυθϋξδα,νγανάγζανθανυξαλδάπνανυπσζκδπανηϋζβνβμνιαδεάμνπδλκπάμ,νβθν εαν ΓπλΰέαΝ λλκπκτζκυ,ν θαπζβλυλδαν ΚαγβΰάλδαΝ κυν ΣηάηακμΝ αδδεάμν εαδν φαζδδεάμν πδάηβμν εαδν κθν εκν ΜδζδΪβΝ ΝεΪλδκ,Ν θαπζβλπάν ΚαγβΰβάΝ κυν ΣηάηακμΝαδδεάμΝεαδΝφαζδδεάμΝπδάηβμέ ΣΫζκμ,ΝθαΝυξαλδάπΝβθΝκδεκΰΫθδαΝηκυΝΰδαΝβθΝηπδκτθβΝεαδΝβθΝαΰΪπβΝκυμΝεαδΝβθΝ πκζτδηβνυθδφκλϊνπθνΰκθδυθνηκυνβνησλφπβνηκυέ
ΠΡΙΛΗΦΗ εκπσμν αυάμν βμν δαλδίάμν έθαδν βν ηζϋβν δαφσλπθν κξαδευθν δαδεαδυθν πζκθϊηακμνηνέπζυλανϊζηαα (two-sided jumps)νσκννδαελδσνσκνεαδννυθξάν ξλσθκνηνάνεαδνξπλέμνβθνπαλκυέανθσμνυξαέκυνσλκυνδϊξυβμνπκυνπλδΰλϊφαδναπσνηέαν κξαδεάνεέθββνbrown. ΣαΝπλκμΝαΝπΪθπΝΪζηααΝ(upward jumps)νπαλδκτθνανυξαέανηΰϋγβνπθνελυθνσπθν θυν αν πλκμν αν εϊπν ΪζηααΝ (downward jumps)ν παλδκτθν αν ηΰϋγβν πθν αβηδυθν κυν ξαλκφυζαεέκυέν ΩμΝ εν κτκυ,ν αυϊν αν ηκθϋζαν ΰδαΝ κν πζσθαηαν πλδϋξκυθν πμν δδεϋμν πλδπυδμναθέκδξανηκθϋζανβμνκζαδεάμνθπλέαμνκδθτθκυέ ΘπλυθαμΝ δϊφκλμν εααθκηϋμν ΰδαΝ αν τοβν πθν έπζυλπθν αζηϊπθν εαγυμν εαδν ΰδαΝ κυμν θδϊηκυμν ξλσθκυμν ηφϊθδβμν πθν εδθτθπθ,ν γαν ηζβγκτθν δϊφκλαν ηϋλαν ξλκεκπέαμν ηϋπνβμναθαηθσηθβμνπλκικφζβηϋθβμνυθϊλββμνπκδθάμνπθνgerber-shiu εαγυμνπέβμν γανκγκτθνεαδναυηππδεϊναπκζϋηαανΰδανβθ πδγαθσβανξλκεκπέαμέ
ABSTRACT The purpose of this Thesis is the study of various stochastic processes of surplus with twosided jumps happening both in distinct and continuous time, with or without the presence of a random diffusion term which is described by a stochastic Brownian motion. The upward jumps represent the random gain sizes while the downward jumps represent the claim sizes of the portflolio. Therefore, these surplus models include as special cases equivalent models of Classical Ruin Theory. Considering various distributions for the sizes of the two sided-jumps, as well as for the time between risk appearances, various ruin measures will be studied through the expected Gerber- Shiu discounted penalty function as well as asymptotic results will be given for the ruin probability.
ΠΡΙΥΟΜΝ ΚΦΛΙΟΝ1μΝΙΓΧΓΗ 1 1έ1ΝΗΝκχαδεάΝδαδεαέαΝΠζκθΪηακμ έέέ2 ΟλδησμΝ1έ1 έέέ2 ΟλδησμΝ1έ2 έέέ3 ΘυλβηαΝ1έ1 έζ ΟλδησμΝ1έ3 έέέη ΟλδησμΝ1έζ έέέθ ΟλδησμΝ1έη έέέι ΟλδησμΝ1έθ έέέκ 1έ2ΝΣκΝΚζαδεσΝΜκθΫζκΝβμΝΘωλέαμΝΚδθτθκυ έέέκ ΟλδησμΝ1έι έ11 ΟλδησμΝ1έκ έ11 1έ3ΝΗΝθδσβαΝκυΝLundberg έ11 ΘυλβηαΝ1έ2 έέέ12 1έζΝΗΝΘηζδυβμΝιέωβΝκυΝLundberg έέ12 ΟλδησμΝ1.λ έ12 1έηΝΗΝυθΪλββΝωθΝGerber-Shiu έέέ13 ΟλδησμΝ1έ1ί έέέ13 ΘυλβηαΝ1έ3 έέέ1κ
ΠσλδηαΝ1έ1 έ1λ ΠαλαάλββΝ1έ1 έ1λ πσδιβνβμνχ1έ22ψ 2ί 1έθΝ ΗΝ ΟζκεζβλκδαφκλδεάΝ ιέωβν πκυν ΙεαθκπκδέΝ βν υθϊλββν Gerber-Shiu έ22 1έιΝΜαχβηαδησμΝLaplace βμνυθϊλββμνgerber-shiu έέέ2ι ΚΦΛΙΟΝ 2μΝ ΣΟΝ ΚΛΙΚΟΝ ΜΟΝΣΛΟΝ ΣΗΝ ΘΧΡΙΝΚΙΝΤΝΟΤΝΜΝΝΝΝΟΡΟΝΙΥΤΗ έέ2λ 2έ1ΝκχαδεάΝθΫζδιβΝΠζκθΪηακμΝηΝΈθαθΝΌλκΝδΪχυβμ έέέ2λ ΟλδησμΝ2έ1 έ3ί ΟλδησμΝ2έ2 έ3ί 2έ2ΝΗΝΚέθββΝBrown έέέ31 ΟλδησμΝ2έ3 έ31 ΟλδησμΝ2έζ έ31 2έ3Ν ΟΝ ΥλσθκμΝ Υλκεκπέαμ,Ν βν ΠδγαθσβαΝ ΥλκεκπέαμΝ εαδν βν ΠλκικφζβηΫθβΝυθΪλββΝπκαβηέωβμ έέ32 ΟλδησμΝ2έη έ32 ΟλδησμΝ2έθ έ33 ΟλδησμΝ2έι έ33 2έζΝΥλκεκπέαΝαπσΝπαέββΝεαδΝΥλκεκπέαΝαπσΝθΫζδιβΝWiener..34 ΟλδησμΝ2έκ έ3η
2έηΝΓθέευβΝβμΝυθΪλββμΝπκαβηέωβμ έ3η ΚΦΛΙΟΝ 3μΝ ΣΟΝ ΜΟΝΣΛΟΝ ΣΗΝ ΘΧΡΙΝ ΚΙΝΤΝΟΤΝ ΜΝ ΝΝΝ ΟΡΟΝ ΙΥΤΗΝ ΚΙΝ ΙΠΛΤΡΝΛΜΣ έέ έ3κ 3έ1Ν ΗΝ δαδεαέαν ΠζκθΪηακμΝ γδαν κν ΜκθΫζκΝ βμν ΘωλέαμΝ ΚδθτθκυΝηΝΈθαθΝΌλκΝδΪχυβμΝεαδΝέπζυλαΝΆζηαα 3κ ΟλδησμΝ3έ1 έ3κ ΟλδησμΝ3έ2 έ3λ ΟλδησμΝ3έ3 έ3λ 3έ2ΝΗΝΡβάΝΟδεκγΫθδαΝΚααθκηυθ έέζί ΟλδησμΝ3έζ έζί 3έ3Ν ΗΝ ΠδγαθσβαΝ ΥλκεκπέαμΝ απσν ΚέθββΝ Brown άν απσν ΚΪωΝ Άζηα έζ2 Παλαάλββ έέέζ3 ΟλδησμΝ3έη έζ3 3έζΝΗΝυθΪλββΝωθΝGerber-Shiu έέέζζ ΟλδησμΝ3έθ έζζ 3έηΝΗΝΓθδευηΫθβΝιέωβΝκυΝLundberg έζη ΛάηηαΝ1 έέέζθ πσδιβ έέζι
ΚΦΛΙΟΝ ζμ ΜΣΥΗΜΣΙΜΟΙΝ LAPLACE ΚΙΝ ΛΛΙΜΜΣΙΚΝ ΝΝΧΣΙΚΝ ΞΙΧΙΝ ΓΙΝ ΣΟΝ ΜΟΝΣΛΟΝ ΘΧΡΙΝ ΚΙΝΤΝΟΤΝ ΜΝ ΙΠΛΤΡΝ ΛΜΣ ΚΙΝΝΝΝΟΡΟΝΙΥΤΗ έζλ 4.1 Μαχβηαδηκέ Laplace γδανδμνπλκικφζβηϋθμνυθαλάδμν ΠκδθάμΝ έζλ ΘυλβηαΝ1 έέηη πσδιβ έέηη ζέ2ν ζζδηηαδεϋμν θαθωδεϋμν ιδυδμν γδαν δμν υθαλάδμν εαδν έηθ Ολδησμ έέέ ηθ ΘυλβηαΝ1 έέηι πσδιβ έέηκ ΘυλβηαΝ2 έέθ3 πσδιβ έέθζ ΚΦΛΙΟΝημΝΤΜΠΣΧΣΙΚΝΠΟΣΛΜΣΝΚΙΝ ΝΛΤΣΙΚΝ ΛΤΙΝ ΓΙΝ ΣΙΝ ΤΝΡΣΗΙΝ GERBER-SHIU έέέθι ηέ1νυηπωδεϊνπκζϋηαανγδανβθνπδγαθσβανυλκεκπέαμέέ67 ΘυλβηαΝ1 έέθλ πσδιβ έέ θλ Παλαάλββ έέέιί
ΛάηηαΝ1 έέέιί πσδιβ έέιί Παλαάλββ έέέι3 Θυλβηα έι3 πσδιβ έέι3 Παλαάλββ έέέιθ ηέ2νθαζυδεϋμνλτδμνγδανβνυθϊλββνgerber-shiu έιθ ηέ3νλδγηβδεϊνπκζϋηαα γδανεγδεϊνάθωνάζηαα έέέιλ Θυλβηα έιλ ΙΛΙΟΓΡΦΙ έκ2 ζζβθδεά έέκ2 Ξθσγζωβ έκ2
ΚΦΛΙΟΝ1 ΙΓΧΓΗ ΣκθΝ βηαθδεσλκν λσζκν ΰδαΝ βθν κηαζάν ζδκυλΰέαν θσμν αφαζδδεκτν κλΰαθδηκτ,ν κθν εαϋξδν βν βηδκυλΰέαν δεαθκπκδβδευθν απκγηαδευθνεφαζαέπθ,ν κτπμνυνθαν ηπκλένθαν αθαπιϋζγδν δμν αθϊΰεμν εαδν δμν υπκξλυδμν κυν απϋθαθδν κυμν πζϊμ,ν αζζϊν εαδν Ν παΰΰζηαδεσν πέπκ,ν σππμ,ν πέβμ,ν εαδν βθν εϊζυοβν πθν ζδκυλΰδευθν ισπθν κυένσαν απκγηαδεϊν εφϊζαδα,ν ην βν ξλάβν αφαζδδευθν σλπθ,ν κυδαδεϊν απκζκτθν κν πζσθαηαν εαδν έθαδν βν δαφκλϊν ηαιτν κυν θλΰβδεκτν (απαδάδμ)ν εαδν κυν παγβδεκτν (υπκξλυδμ)νβμναφαζδδεάμναδλέαμέ ΟΝ υπκζκΰδησμν βμν πδγαθσβαμν ξλκεκπέαμν απκζέν ίαδεσν πλσίζβηαν βμν ΚζαδεάμΝ ΘπλέαμΝ ΚδθτθπθέΝ ΠλσεδαδΝ ΰδαΝ βθν πδγαθσβαν βμν αδλέαμν θαν ηβθν ηπκλϋδν θαν αθαπκελδγένπαλευμνβθνεϊζυοβνκυνυθσζκυνπθναπκαβηδυπθνπθνπζαυθνβμ,νζσΰπν αθπϊλεδαμν πθν απκγηαδευθέν ΣκΝ 1λίγ,Ν κν κυβσμν ηαγβηαδεσμν Filip Lundberg εααφϋλθδνθανγϋδνανγηϋζδανβμναθϊπυιβμνβμνηαγβηαδεάμνθπλέαμνπθνκδθτθπθ,νην βν βηκέυβν βμν δαεκλδεάμν κυν δαλδίάμ,ν βν κπκέαν ΫφλΝ κθν έζκν «Approximerad fremstalning au sannolikheets funktionen»έν βν υθϋξδα,ν κν 1λγί,Ν κν Harald Cramer αφκτν ίαέβεν βν δαλδίάν κυν Lundberg γϋζβν θαν θδξτδν βν ΘπλέαΝ ΚδθτθκυΝ βηκδτκθαμν ξδεϋμν λΰαέμ,ν κδν κπκέμν θπηϊπαθν βν ΘπλέαΝ πθν κξαδευθν θζέιπθν κν άβν υπϊλξκθν ΫλΰκέΝ Έδ,Ν ηϊν εαδν βθν αθαθϋπβν πκυν πλσφλν κν Cramer κθνκηϋα,νκνηκθϋζκνπκυνπαλκυδϊαδνβνυθαηδεάνιϋζδιβνκυνπζκθϊηακμνκνξλσθκν κθκηϊβενκζαδεσνμκθϋζκνβμνθπλέαμνκδθτθκυνάνπλκμνδηάθνκυμνμκθϋζκνcramer- LundbergέΝ ΣκΝ ηκθϋζκν ίαέααδν βθν παλακξάν σδν κν πζάγκμν πθν εδθτθπθν θσμν αφαζδδεκτνξαλκφυζαεέκυναεκζκυγένβνκξαδεάναθϋζδιβνpoissonένσκνετλδκνκδξέκν κυνκζαδεκτνμκθϋζκυνβμνθπλέαμνκδθτθκυνέθαδνσδνκδνθδϊηκδνξλσθκδνηφϊθδβμν πθνεδθτθπθναεκζκυγκτθνβθνεγδεάνεααθκηάέ ΟΝΝκλίβΰσμΝSparre Andersen άαθνεέθκμνπκυνϋφλνβνΰθέευβνκνκζαδεσνμκθϋζκν βμνθπλέαμνκδθτθκυ,νσαθνκν1ληινυηηέξνκν1η κ θαζκΰδδεσνυθϋλδκνβμννϋαμν ΤσλεβμΝπαλκυδΪακθαμΝβθΝλΰαέαΝκυΝηΝέζκμΝ«On the collective theory of risk in case of contagion between the claims»ένονsparre Andersen ΫεαθΝβθΝυπσγβΝσδΝκΝπζάγκμΝπθΝ εδθτθπθνδεαθκπκδένηέαναθαθπδεάνκξαδεάνδαδεαέαένβζαά,νναθέγβνηνκυμν 1
Cramer-Lundberg κνίαδεσνΰθυλδηανκυνηκθϋζκυνκυννκλίβΰκτνέθαδνσδνκδνθδϊηκδν ξλσθκδν ηφϊθδβμν πθν εδθτθπθν θσμν αφαζδδεκτν ξαλκφυζαεέκυν έθαδν αθιϊλβμν εαδν δσθκημνυξαέμνηαίζβϋμ,νκδνκπκέμνθναεκζκυγκτθναπαλαέβανβθνεγδεάνεααθκηάέν Οπσ,ΝΰέθαδΝεααθκβσΝππμΝαυσΝκΝηκθΫζκΝαπκζέΝΰθέευβΝκυΝηκθΫζκυΝ Cramer- Lundberg εαγυμν κν ζυαέκν απκζέν δδεάν πλέππβν κυν πλυκυν εαδν κθκηϊβεν ηκθϋζκνsparre Andersen άναθαθπδεσνηκθϋζκνβμνθπλέαμνκδθτθκυένγδανπαλϊδΰηα,νηέαν δδεάν πλέππβν κυν αθαθπδεκτν ηκθϋζκυν έθαδν αυάν σπκυν κδν θδϊηκδν ξλσθκδν ηφϊθδβμνπθνεδθτθπθναεκζκυγκτθνβθνεααθκηάνerlang,νβνκπκέανέθαδνηέανΰθέευβνβμν εγδεάμέν ΗΝΘπλέαΝΚδθτθπθΝιζέξγβεΝβηαθδεΪΝεαδΝαπΫεβΝβηαθδεάΝυγββΝηΫπΝκυΝΫλΰκυΝ πθν Gerber εαδν Shiu,Ν κδν κπκέκδν ΫεαθαθΝ ζσΰκν ΰδαΝ βθν υθϊλββν αθαηθσηθβμν πκδθάμν πλκισφζββμ,νβνκπκέαναπκζένΰθέευβνβμνπδγαθσβαμναπσζυβμνξλκεκπέαμέ 1.1 ΗΝκχαδεάΝδαδεαέαΝΠζκθΪηακμ. ΣκΝπλυκΝίάηαΝΰδαΝβθΝηκθζκπκέββΝβμΝκξαδεάμΝδαδεαέαμΝκυΝπζκθΪηακμΝηέαμΝ αφαζδδεάμναδλέαμνέθαδνκνπλκδκλδησμνκυναλδγηκτνπθνεδθτθπθνκυμνκπκέκυμν εέγαδέ ΟλδησμΝ1έ1 Ολέακυη {, } κχαδεά δαδεαέα, β κπκέα παλδϊθδ κ πζάγκμ ωθ εδθτθωθ πκυ ηφαθέβεαθ κ χλκθδεσ δϊβηα [, ]. H {, } κθκηϊααδ απαλδγηάλδα κχαδεά αθϋζδιβ, αθ εαδ ησθκ αθμ i. >, η = ii. έθαδ δαελδά, iii. αθ, σ 2
ΟδΝ αθαθπδεϋμν κξαδεϋμν δαδεαέμν απκζκτθν δμν πδκν δακηϋθμν απαλδγηάλδμν κξαδεϋμν δαδεαέμν βν γπλέαν εδθτθκυ,ν αζζϊ,ν εαδν ΰθδεσλαΝ βν γπλέαν πδγαθκάπθέν ΟΝ κλδησμν κυμν ίαέααδν κυμν θδϊηκυμν ξλσθκυμν ηφϊθδβμν πθν θξσηθπθν εδθτθπθν πκυν απαλδγηέν βν απαλδγηάλδαν κξαδεάν αθϋζδιβν {, }. ΘπλκτηΝ {, =,,, } ηέαν αεκζκυγέαν απσν αθιϊλβμν υξαέμν ηαίζβϋμ,ν ΰδαΝ δμν κπκέμνδξτδν =,ΝεαδΝ, υηίκζέακυηνβθνξλκθδεάνδΰηάνσπκυνηφαθέααδνκνiκσνθξσηθκένβνυθϋξδα,νγπλκτηνδμν υξαέμνηαίζβϋμ,νΰδανδμνκπκέμνδξτδν σδν =,. H εφλϊαδν κν ξλσθκν πκυν απαδέαδν ΰδαΝ βθν ηφϊθδβν κυν πλυκυνεδθτθκυ,νθυνβν, εφλϊαδνκνξλσθκνπκυνηκζαίέναπσνβθνηφϊθδβνκυνi- 1ΝθξκηΫθκυ,ΝηΫξλδΝεαδΝβθΝηφΪθδβΝκυ i θξκηϋθκυένυθπυμ,νηπκλκτηνθανπκτηνσδν βν {, =,, } έθαδν αεκζκυγέαν αθιϊλβπθν ηβ-αλθβδευθν υξαέπθν ηαίζβυθν πκυν παλδϊν κυμν θδϊηκυμν ξλσθκυμν ηφϊθδβμν πθν εδθτθπθέν ΗΝ αεκζκυγέαν πθν υξαέπθν ηαίζβυθν{, =,, } κθκηϊααδναεκζκυγέαναθαθυπθ,νεαδνσαθνΰδαν =,ΝγαΝ έθαδν = = = + + +, (1.1) Ολέακυη,Ναεσηβ,Νβθ = {: < }, βν κπκέαν έθαδν βν κξαδεάν αθϋζδιβν κυν πζάγκυμν πθν εδθτθπθν πκυν παλκυδϊακθαδν κν ξλκθδεσνδϊβηαν[, ]. ΟλδησμΝ1έ2 Θωλκτη {, =,, } ηέα αεκζκυγέα ηβ-αλθβδευθ, αθιϊλβωθ εαδ δσθκηωθ υχαέωθ ηαίζβυθ εαδ {, =,, } ηέα αεκζκυγέα αθαθυωθ η = + + +, εαδ = =. Σσ β {, } η έθαδ απαλδγηάλδα δαδεαέα πκυ κλέααδ απσ βθ { = } = 3
β κπκέα κθκηϊααδ αθαθωδεά κχαδεά δαδεαέα εαδ κυδαδεϊ πλσεδαδ ΰδα κ πζάγκμ ωθ αθαθυωθ κ χλκθδεσ δϊβηα [, ]. ΓέθαδΝφαθλσ,ΝσδΝαπσΝκθΝκλδησ,ΝΰδαΝεΪγΝαθαθπδεάΝκξαδεάΝδαδεαέαΝ{, } γανδξτδνσδμ { = } αθνεαδνησθκναθ { < + }. πέβμ,νΰέθαδνφαθλσνσδ: = {: } εαδ [ ] =. ΣκΝ παλαεϊπν γυλβηαν απκζέν αιδκβηέπβν δδσβαν πθν αθαθπδευθν κξαδευθν αθζέιπθέ ΘυλβηαΝ1έ1 Έω {, } ηέα αθαθωδεά κχαδεά αθϋζδιβέ Σσ: i. η πδγαθσβα 1 δχτδ σδ: ii. lim =, [] lim = H (ii) έθαδ ΰθωά ωμ κδχδυμ αθαθωδεσ γυλβηαέ Γδα βθ απσδιβ, ίζέ Rolski et al. (1λλθ, ζέ β11)έ πσνκθνκλδησν1έβνπλκετπδνσδνβνκξαδεάναθϋζδιβνpoisson έθαδνηέανδδεάνπλέππβν βμν αθαθπδεάμν κξαδεάμν δαδεαέαμ,ν γπλυθαμν σδν κδν θδϊηκδν ξλσθκδν ηφϊθδβμν πθνεδθτθπθνέθαδναθιϊλβμνεαδνδσθκημνυξαέμνηαίζβϋμ,νκδνκπκέμναεκζκυγκτθνβθν εγδεάνεααθκηάέ 4
φσκθνηκθζκπκδάαηνκθναλδγησνπθνεδθτθπθ,νβνυθϋξδανγανηκθζκπκδάκυηνδμν αβηδϋμνεαδνδμναπκαβηδυδμνκυνξαλκφυζαεέκυνΰδανκθνεαγκλδησνκυνπζκθϊηακμένέπν {, =,, } ηέαν αεκζκυγέαν ηβ-αλθβδευθν υξαέπθν ηαίζβυθ,ν σπκυν βν βζυθδν κν ηϋΰγκμνβμναβηδϊμναπσνβθνηφϊθδβνκυνi-κκτνθξκηϋθκυνεαδν, παλδϊνδμν υθκζδεϋμναπαδάδμνκυνξαλκφυζαεέκυνκνδϊβηαν[, ]. ΟλδησμΝ1έ3 Γδα κ ηϋΰγκμ ωθ υθκζδευθ απκαβηδυωθ πκυ εααίϊζζκθαδ Ϋωμ κθ χλσθκ t κλέακυη β κχαδεά αθϋζδιβ = + + + ά Όπκυ, = { =, >, = { } έθαδ ηέα αεκζκυγέα απσ αθιϊλβμ εδ δσθκημ υχαέμ ηαίζβϋμ η θα έθαδ υχαέα ηαίζβά πκυ εφλϊαδ κ ηϋΰγκμ βμ i-κάμ αβηδϊμ πκυ πϋλχαδ απσ βθ ηφϊθδβ κυ n- κκτ αβηδκΰσθκυ θχκηϋθκυέ Θωλκτη σδ κδ αεκζκυγέμ εαδ {, } {, } απαλέακθαδ απσ αθιϊλβμ, δσθκημ εαδ γδεϊ κλδηϋθμ υχαέμ ηαίζβϋμέ ΘπλκτηΝ ηέανυθϊλββ,νβνκπκέαν εφλϊαδνανυθκζδεϊνϋκαναπσνβθνέπλαιβνπθναφαζέλπθν ηδαμν αφαζδδεάμν αδλέαμ,ν εαϊν κν ξλκθδεσν δϊβηαν [, ],Ν σπκυν έθαδν ατικυαν 5
υθϊλββν κυν ξλσθκυν tέν βθν εζαδεάν γπλέαν εδθτθκυ,ν γπλκτην ππμν κν λυγησμν έπλαιβμνπθναφαζέλπθνέθαδναγλσμ,νϊλα,νΰδανβθν γανδξτδ,νσδν =, (1.2) σπκυ > έθαδνκναγλσμνλυγησμνέπλαιβμνπθναφαζέλπθ,ναθϊνηκθϊανξλσθκυένβζαά,νέθαδνβν ΫθαβΝαφαζέλκυέ Έπ,ΝυλαΝβΝυθΪλββ,, βνκπκέανπαλδϊνκνπζσθαηανβμναφαζδδεάμναδλέαμ,νϋπμνβνξλκθδεάνδΰηάν t εαδνγαν κλέααδνσππμνπαλαεϊπμ ΟλδησμΝ1έζ Η κχαδεά αθϋζδιβ πζκθϊηακμ κλέααδ ωμ ιάμμ σπκυ, = + = = + =, (1.3) = έθαδ κ αλχδεσ απσγηα, έθαδ κ λυγησμ έλαιβμ ωθ αφαζέλωθ, αθϊ ηκθϊα χλσθκυ εαδ κδ υθκζδεϋμ απκαβηδυδμ κ χλκθδεσ δϊβηα [, ] ΓέθαδΝαφΫμΝσδΝαπσΝκθΝπαλαπΪθπΝκλδησ,ΝβΝκξαδεάΝδαδεαέαΝπζκθΪηακμΝηπκλέΝ θανπαέλθδνεαδναλθβδεϋμνδηϋμνεαϊνδμνξλκθδεϋμνδΰηϋμν ηφϊθδβμνπθνεδθτθπθένόαθν πϋζγδν ΰδαΝ πλυβν φκλϊν ξλκεκπέα,ν σν βν αθϋζδιβν πζκθϊηακμν έθαδν ΰδαΝ πλυβν φκλϊν αλθβδεάέν ΓδαΝθαΝ κλέκυην βθν πδγαθσβαν ξλκεκπέαμ,ν γαν πλϋπδν θαν κλέκυην πλυαν βθν ΫθθκδαΝκυΝξλσθκυΝξλκεκπέαμέ 6
ΟλδησμΝ1έη Η χλκθδεά δΰηά T εαϊ βθ κπκέα β κχαδεά αθϋζδιβ πζκθϊηακμ ΰέθαδ ΰδα πλυβ φκλϊ αλθβδεά κθκηϊααδ χλσθκμ χλκεκπέαμ εαδ κλέααδ ωμ ιάμμ {: < }, = {,. Όπκυ,, έθαδ β χλκθδεά δΰηά χλκεκπέαμ, β ηαίζβά βζυθδ βθ δηά κυ πζκθϊηακμ, αηϋωμ πλδθ πζβλωγέ απσ βθ αφαζδδεά πδχέλββ β απκαβηέωβ πκυ πδφϋλδ β χλκεκπέα εαδ δχτδ σδ <, έθαδ β ηαίζβά πκυ βζυθδ κ ηϋΰγκμ βμ πυβμ κυ πζκθϊηακμ εϊω απσ κ ηβϋθ εαδ γα δχτδ σδ >, β εφλϊαδ β φκλσβα βμ χλκεκπέαμ, βζαά κ ηϋΰγκμ κυ ζζέηηακμ β δΰηά βμ χλκεκπέαμέ ΣκΝπαλαεΪπΝΰλΪφβηαΝέθαδΝαθδπλκππυδεσΝκυΝΟλδηκτΝ1έηΝ(σπκυΝ = ). 7
Οπσ,ΝηπκλκτηΝθαΝκλέκυηΝβθΝπδγαθσβαΝξλκεκπέαμΝπμΝιάμμ ΟλδησμΝ1έθ Γδα αλχδεσ απσγηα, ΰδα κ κπκέκ γα δχτδ, σδ, β πδγαθσβα χλκεκπέαμ γα κλέααδ ωμ ιάμμ = Pr < =. (1.4) Η πδγαθσβα θα ηβθ πϋλχαδ χλκεκπέα κθκηϊααδ πδγαθσβα ηβ-χλκεκπέαμ ά πδγαθσβα πδίέωβμέ Σβ υηίκζέακυη η εαδ έθαδ απσ βθ παλαεϊω χϋβμ =. (1.5) 1.2 ΣκΝΚζαδεσΝΜκθΫζκΝβμΝΘωλέαμΝΚδθτθκυέ ΣκΝεζαδεσΝηκθΫζκΝαπκζέΝκΝπδκΝδακηΫθκΝεαδΝυλΫπμΝΰθπσΝηκθΫζκΝβμΝΘπλέαμΝ ΚδθτθκυέΝ ΈξδΝ ξέν ηΰϊζβν αθαΰθυλδβ,ν εαγυμν ιυπβλέν βθ τλβν πδκν απζυθν ηαγβηαδευθνυπκζκΰδηυθνντΰελδβνηνϊζζανηκθϋζαένβνυθϋξδα,νγανεϊθκυηνζσΰκν ΰδαΝ αν βηαθδεσλαν απκζϋηααν κυν εζαδεκτν ηκθϋζκυν βμν ΘπλέαμΝ Κδθτθκυ,Ν αν κπκέανγανηαμνίκβγάκυθνανπσηθανεφϊζαδανθανεααθκάκυηνκνγϋηανβμνλΰαέαμέ τηφπθαν ην κν εζαδεσν ηκθϋζκ,ν κδν θδϊηκδν ξλσθκδν ηφϊθδβμν πθν αβηδκΰσθπθν θξκηϋθπθναεκζκυγκτθνβθνεγδεάνεααθκηάένκκδθυμ,νκδνυξαέμνηαίζβϋμ {, }, αεκζκυγκτθνεκδθάνεγδεάνεααθκηάν ηνπαλϊηλκνένβζαά,νγανδξτδ σδμ Pr =, >, > (1.6) ΌκθΝ αφκλϊν βν κξαδεάν αθϋζδιβν κν εζαδεσν ηκθϋζκν έθαδν ηέαν κξαδεάν αθϋζδιβνpoisson,νπκυνβηαέθδνππμνβνπδγαθσβανϊφδιβμνθσμνθξκηϋθκυννϋθανδϊβηαν έθαδναθϊζκΰβνκυνηάεκυμνκυνθνζσΰπνδαάηακμέν 8
Οπσ, = =, >, > (1.7)! ΟδΝυξαέμΝηαίζβΫμΝ,,, εαδν έθαδναθιϊλβμ,νθυνκδνυξαέμνηαίζβϋμν έθαδναθιϊλβμνεαδνδσθκημνεαδνϋξκυθναπσνεκδθκτνυθϊλββνεααθκηάμ, εαδνυθϊλββνπυεθσβαμνπδγαθσβαμ, εαγυμνεαδνυθϊλββνιδϊμνκυλϊμ, = Pr = Pr = = F = = Pr = = ΣβθΝαθαηθσηθβΝδηάΝβμΝαβηδΪμΝβθΝυπκζκΰέακυηΝαπσΝκθΝαεσζκυγκΝτπκμ άναπσνκθντπκν = = = = εσηβ,νην υηίκζέακυηνβνυθϊλββνδκλλκπέαμνβμνυξαέαμνηαίζβάμν ΰδαΝβθΝ κπκέανΰθπλέακυηνσδμ = = = = =, > Όπκυ,Νπλκφαθυμ, =. 9
κν υΰεελδηϋθκν ηκθϋζκν γαν γπλάκυην ηέαν αεσηβν κξαδεάν αθϋζδιβ,ν αυάν βμν έπλαιβμνπθναφαζέλπθ,νβθνκπκέανγανυηίκζέκυηνην εαδνΰδανβθνκπκέανδξτδν σδμ = (1.9) ΌπκυΝ έθαδνκνλυγησμνέπλαιβμνπθναφαζέλπθνεαδναναφϊζδλανδπλϊκθαδνκν ξλκθδεσνδϊβηαν[, ]ένέθαδναθαΰεαέκνθανδξτδνβνυθγάεβ [], βζαά,νκνηϋΰγκμνπθναφαζέλπθνπκυνδπλϊκυηνκν [, ] θανέθαδνπαλεά,νκτπμν υνθανεαζυφγκτθνκδναθαηθσηθμ υθκζδεϋμναπκαβηδυδμέ Όππμ,ΝάβΝαθαφΫλαη,Ναφκτ ~, γανδξτκυθνανπαλαεϊπμ ΗΝηΫβΝδηάΝβμΝκξαδεάμΝαθΫζδιβμΝκυΝαλδγηκτΝπθΝεδθτθπθΝγαΝέθαδΝαπσΝκθΝτπκ, [] =. ΗΝαθαηθσηθβΝδηάΝκυΝηΰΫγκυμΝπθΝυθκζδευθΝαπκαβηδυπθΝγαΝυπκζκΰέααδΝαπσΝκθΝ παλαεϊπντπκ, [] = [][] = = []. Οπσ,ΝζδεΪ,ΝαυσΝπκυΝγΫζκυηΝθαΝδξτδΝέθαδΝκΝιάμμ [] [][] [] [] (1.12) 10
ΟλδησμΝ1έι Αεσηβ, γα κλέκυη εαδ ηέα παλϊηλκ, β κπκέα γα εφλϊαδ κ πλδγυλδκ αφαζέαμ, ΰδα κ κπκέκ γα Ϋχκυημ = + []. ΟλδησμΝ1έκ κ εζαδεσ ηκθϋζκ βμ γωλέαμ εδθτθκυ κλέακυη ηέα αεσηβ Ϋθθκδα, ΰθωβ ωμ υθζάμ πλκαληκΰάμ, βθ κπκέα υηίκζέακυη η εαδ πλσεδαδ ΰδα β ηκθαδεά γδεά λέαα βμ ιέωβμμ + + =. σπκυ,, έθαδ κ πλδγυλδκ αφαζέαμ εαδ, έθαδ β λκπκΰθθάλδα βμ υχαέαμ ηαίζβάμ Χ κ βηέκ r, πκυ κλέααδ ωμ ιάμμ = = = Μέα ετλδα πλκςπσγβ ΰδα θα Ϋχκυη β υθασβα θα κλέκυη κθ υθζά πλκαληκΰάμ, έθαδ β τπαλιβ λκπκΰθθάλδαμ βμ υχαέαμ ηαίζβάμ Χέ 1.3 ΗΝθδσβαΝκυΝLundberg. ΗΝπδκΝυλΫπμΝδακηΫθβΝαθδσβαΝκΝηκθΫζκΝπκυΝηζΪηΝέθαδΝαυάΝκυΝLundbergέΝΗΝ αθδσβανυξέαδντκνϋθθκδμνπκυνϋξκυηνάβνκλέδνπαλαπϊθπ,ναυάνβμνπδγαθσβαμν ξλκεκπέαμ,ν ην αυάν κυν υθζάν πλκαληκΰάμ,ν υπκζκΰέακθαμν ΪθπΝ φλϊΰηααν ΰδαΝ βθν πδγαθσβαν ξλκεκπέαμν Ν υθϊλββν ην κν υθζάν πλκαληκΰάμν εαδν κν αλξδεσν απκγηαδεσέ 11
ΘυλβηαΝ1έ2 βθ πλέπωβ πκυ ΰθωλέακυη σδ υπϊλχδ κ υθζάμ πλκαληκΰάμ, σ Ϋθα Ϊθω φλϊΰηα βμ πδγαθσβαμ χλκεκπέαμ η αλχδεσ εφϊζαδκ έθαδ κ ιάμμ. ΗΝαθδσβαΝκυΝLundberg ΫξαδΝτκΝληβθέμμ ΰδαΝ ΰθπσΝ αλξδεσν εφϊζαδκν,ν κν υθζάμν πλκαληκΰάμν έθαδν αθδλσφπμν αθϊζκΰκμνβμνπδγαθσβαμνξλκεκπέαμ,νεαδ σαθν κν υθζάμν πλκαληκΰάμν έθαδν ΰθπσμ,Ν σν κν αλξδεσν εφϊζαδκν έθαδν αθδλσφπμναθϊζκΰκνβμνπδγαθσβαμνξλκεκπέαμέ 1.4 ΗΝΘηζδυβμΝιέωβΝκυΝLundberg. ΟλδησμΝ1έλ Ωμ γηζδυβ ιέωβ κυ Lundberg κλέακυη βθ ιέωβ πκυ Ϋχδ βθ ιάμ ηκλφάμ + + =. Όπκυ, β υπκζκΰέααδ σπωμ παλαεϊω, =. Καδ πλσεδαδ ΰδα κθ ηαχβηαδησ δaplace βμ υθϊλββμ πυεθσβαμ πδγαθσβαμ βμ, έ Η γηζδυβμ ιέωβ κυ Lundberg ΰδα > Ϋχδ ηέα γδεά λέαα, βθ κπκέα υηίκζέακυη η =. ΗΝυΰεελδηΫθβΝιέπβΝΫξδΝγδεΫμΝλέαμΝΰδαΝ >,ΝαθιΪλβαΝαπσΝκΝαθΝκΝπλδγυλδκΝ αφαζέαμν παέλθδνγδεϋμνδηϋμνάνσξδένθυ,νΰδαν =, αθν <,ΝσΝβΝιέπβΝΫξδΝγδεΫμΝλέαμ,Νεαδ αθν >,ΝσΝΫξδΝλέαμΝπκυΝέθαδΝέμΝηΝκΝηβΫθέ 12
1.5 ΗΝυθΪλββΝωθΝGerber-Shiu. ΗΝυθΪλββΝηΝβθΝκπκέαΝκδΝGerber εαδνshiu εαϊφλαθνθανηκθζκπκδάκυθ,νκν1λλκ,νκθν ξλσθκν εαδν αν ηϋλαν ξλκεκπέαμν κθκηϊααδν πλκικφζβηϋθβν υθϊλββν πκδθάμν (Expected discounted penalty function)ν άν αζζδυμν υθϊλββν πθν Gerber-ShiuέΝ ΚαΪφλαθ,Ν βζαά,ν ηϋαννηέανυθϊλββνθανυηπλδζϊίκυθνδμνυξαέμνηαίζβϋμν,νπκυνσππμνϋξκυηνάβν κλέδνέθαδνκνξλσθκμνξλκεκπέαμν(βζαά,νβνξλκθδεάνδΰηά,νεαϊνβθνκπκέανκνπζσθαηαν παέλθδνΰδανπλυβνφκλϊναλθβδεάνδηά),νβθν πκυνέθαδνκνϋζζδηηαναελδίυμνηϊνβν ξλκεκπέαν εαδν πκυν έθαδν κν πζσθαηαν πλδθν βν ξλκεκπέαέν ΗΝ υθϊλββν αυά,ν ζκδπσθ,νκλέααδνηνκθνπαλαεϊπνλσπκμ ΟλδησμΝ1έ1ί Όαθ εαδ β υθϊλββ ωθ Gerber-Shiu Ϋχδ β ηκλφάμ σπκυ, = { {, } < = },., έθαδ β Ϋθαβ αθακεδηκτ, β, έθαδ δδϊαβ υθϊλββ κ R πκυ κθκηϊααδ υθϊλββ πκδθάμ εαδ β κπκέα παέλθδ δηϋμ κ δϊβηα [, ] έθαδ ηέα έελδα υθϊλββ, β κπκέα αθ πϊλδ βθ δηά 1, βηαέθδ πωμ Ϋχδ πϋζγδ χλκεκπέα, θυ αθ πϊλδ βθ δηά ί σ δχτδ κ αθέγκ, εαδ έθαδ κ ηαχβηαδησμ Laplace, πκυ ηπκλέ θα χαλαεβλδέ εαδ ωμ πλκικφζβδεσμ παλϊΰκθαμέ ΗΝ υθϊλββν πθν Gerber-Shiu έθαδν ΰθπά,Ν σππμν αθαφϋλαην εαδν πμν αθαηθσηθβν πλκικφζβηϋθβν υθϊλββν πκδθάμ,ν ΰδαέΝ απκζέν βθν πλκικφζβηϋθβν πκδθάν πκυν πδίϊζζαδ,ν σαθν υηίδν βν ξλκεκπέαέν ΗΝ υθϊλββν πκδθάμν, ηπκλέν θαν πϊλδν δαφκλδεϋμνδηϋμνεαδνηκλφϋμ,νεδνϋδ,ναπσνκθ κλδησνβμν πλκετπκυθνδαφκλδεϊν ηϋλανεδθτθκυένβνυθϋξδα,νπαλαγϋκυηνδμνπδκνδδαέλμνπλδπυδμ: 1) ΓδαΝ εαδ, = 13
γανϋξκυημ >, = { < = } = = { < = } πκυν έθαδν κν ηαξβηαδησμν Laplace κυν ξλσθκυν ξλκεκπέαμ,ν σαθν πλκετπδν ξλκεκπέαέ 2) Γδα, = εαδν =, παέλθκυημ = { < = } = = { < = } = = { < = } = = < = = = πκυνέθαδνβνπδγαθσβανξλκεκπέαμέ 3) Γδα, = εαδν > : = { < = } = =, πκυν έθαδν βν απσν εκδθκτν πλκικφζβηϋθβν υθϊλββν εααθκηάμν πθν εαδν βνδΰηάνπκυνπϋλξαδνξλκεκπέαέ 4) Γδα εαδ, =, = : = [ < = ] = =,, < = = =, 14
πκυν έθαδν βν απσν εκδθκτν υθϊλββν εααθκηάμν πθ εαδν,ν βν κπκέαν βζυθδνβθνπδγαθσβανθανπϋζγδνξλκεκπέανσαθνκναλξδεσνεφϊζαδκνέθαδν εαδν κνπζσθαηανπλδθνβνξλκεκπέανέθαδνκνπκζτν,νθυνκνϋζζδηηανβνδΰηάνβμν ξλκεκπέαμνθανέθαδνκνπκζτν. 5) Γδα, = =, εαδν >, πλκετπδμ = { = = < = } = =, κναπκϋζηανπκυνπαέλθκυηναπκζένβθναπσνεκδθκτνπλκικφζβηϋθβνυθϊλββν πυεθσβαμνπδγαθσβαμνπθν εαδν βνδΰηάνπκυνπϋλξαδνξλκεκπέαέ 6) ΓδαΝ, = =, εαδν =, Ϋξκυημ = [ = = < = ] = =, βν κπκέαν πλσεδαδν ΰδαΝ βθν απσν εκδθκτν υθϊλββν πυεθσβαμν πδγαθσβαμν πθν εαδν βνδΰηάνβμνξλκεκπέαμέ 7) Γδα, = εαδν > : = { < = } = = πκυνέθαδνβνπλκικφζβηϋθβνπλδγυλδανυθϊλββνεααθκηάμνβμν βνδΰηάν βμνξλκεκπέαμέ 8) Γδα, = 15
εαδν = : = { < = } = =, < = = = σπκυ,νν βζυθδνβθνπδγαθσβανθανυηίένξλκεκπέα,νηναλξδεσνεφϊζαδκν εαδνκνηϋΰγκμνκυνπζκθϊηακμνπλδθνβνξλκεκπέανθανέθαδνκνπκζτν. 9) Γδα, = = εαδ = : = { = < = } = = γανϋξκυηνπμναπκϋζηανβθνπλκικφζβηϋθβνπλδγυλδανυθϊλββνπυεθσβαμνβμν βνδΰηάνπκυνπϋλξαδνξλκεκπέαέ 10) Γδα, = = εαδ = : = { = < = } = = ΠαέλθκυηΝ βθν πλδγυλδαν υθϊλββν πυεθσβαμν βμν βν δΰηάν βμν ξλκεκπέαμέ 11) Γδα, = εαδ > : = { < = } = = ΈξκυηΝβθΝπλκικφζβηΫθβΝπλδγυλδαΝυθΪλββΝεααθκηάμΝβμΝ βνδΰηάν βμνξλκεκπέαμέ 16
12) Γδα, = εαδν = : = { < = } = =, < = = = ΈξκυηΝβθΝπλδγυλδαΝυθΪλββΝεααθκηάμΝβμΝ βνδΰηάνβμνξλκεκπέαμέν ΠδκΝ υΰεελδηϋθα,ν κν απκϋζηαν εφλϊαδν βθν πδγαθσβαν θαν υηίέν ξλκεκπέα,ν σαθνκναλξδεσνεφϊζαδκνέθαδν εαδνκ τοκμνζζέηηακμνβνδΰηάνβμνξλκεκπέαμν έθαδνκνπκζτν. 13) Γδα, = = εαδ > : = { = < = } = = ΠλκετπδΝβΝπλκικφζβηΫθβΝπλδγυλδαΝυθΪλββΝεααθκηάμΝβμΝ βνδΰηάν πκυνπϋλξαδνξλκεκπέαέ 14) Γδα, = = εαδ = : = { = < = } = = ΠλκετπδΝβΝπλδγυλδαΝυθΪλββΝπυεθσβαμΝβμΝ βνδΰηάνπκυνπϋλξαδν ξλκεκπέαέ 15) Γδα εαδ ά, = άν, = = : = { < = } 17
αθέκδξαέ = { < = } ΘαΝπλΫπδΝθαΝκθέκυηΝσδΝβΝυθΪλββΝπθΝGerber-Shiu θνπαέαδνβηαθδεσνλσζκνησθκν βθναθαζκΰδδεάνπδάηβ,ναζζϊνέθαδνδδαέλανξλάδηβνεαδνβνξλβηακκδεκθκηδεάν(πέξέν ΰδαΝ βθν δηκζσΰββν θσμν ηλδεαθδεκτν put option)έν ΟδΝ Gerber εαδν Shiu ηϊν απσν υλέαν ηζϋβν πκυνϋεαθαθν ΰδαΝ βθν αθαηθσηθβν πλκικφζβηϋθβνυθϊλββν πκδθάμν κν εζαδεσν ηκθϋζκν βμν γπλέαμν εδθτθκυν απϋδιαθν σδν βν δεαθκπκδέν ηέαν κζκεζβλκδαφκλδεάν ιέπβντπκυνvolteraένηνζτβνβμνκζκεζβλκδαφκλδεάμνιέπβμνπλκετπδνηνβνξλάβν πθν ηαξβηαδηυθν Laplace εαδν ηαμν κβΰέν κν υηπϋλαηαν σδν βν αθαηθσηθβν πλκικφζβηϋθβνυθϊλββνπκδθάμνδεαθκπκδένηέανζαπηαδεάναθαθπδεάνιέπβένοδνlin εαδν Willmot (1λλλ)Ν ίλάεαθν βν ΰθδεάΝ ζτβν αυάμν Ν σλκυμν βμν κυλϊμν ηέαμν τθγβμν ΰπηλδεάμΝεααθκηάμέ ΘυλβηαΝ1έ3 Η αεσζκυγβ κζκεζβλκδαφκλδεά ιέωβ δεαθκπκδέαδ απσ β υθϊλββ ωθ Gerber- Shiu = +,. σπκυ, =,. Γδα =,, = βν υθϊλββν βμν παέλθδν βν ηκλφάν βμν πδγαθσβαμν ξλκεκπέαμν εαδν ΫδΝ κβΰκτηανκνπαλαεϊπνπσλδηαέ 18
ΠσλδηαΝ1έ1 ΗΝπδγαθσβαΝξλκεκπέαμΝ δεαθκπκδένβθνκζκεζβλκδαφκλδεάνιέπβ σπκυ, =,. = = ΠαλαάλββΝ1έ1 πσν κν πσλδηαν πκυν αθαφϋλαην παλαπϊθπν πλκετπδν σδν βν απκζέν βν ιδϊν κυλϊν ηέαμντθγβμνΰπηλδεάμνεααθκηάμνεαδνδξτδνσδμ = Pr >,. σπκυ, = + + + σπκυ, ~ ΰδα =. = +. πδβηαέθκυηνσδ,νκδνυξαέμνηαίζβϋμν έθαδναθιϊλβμνεαδνδσθκημνηνυθϊλββν πυεθσβαμνπδγαθσβαμν. 19
πσδιβνβμνχ1έ22ψ ΟζκεζβλυθκθαμΝβθΝ(1έβί)ΝκΝδΪβηαΝ[, Ϋξκυημ = = = = ζζϊακθαμνανσλδανπθνκζκεζβλπηϊπθ,νπαέλθκυημ ΘΫκυηΝ: < { < < { < = = = = = + = oπσνεαδνανσλδανκυνκζκεζβλυηακμνγανΰέθκυθμ < < < 20
< Άλα,ΝζδεΪΝκβΰκτηαΝκΝιάμμ Όηπμ,Ν = + + = + + πέβμ,ν Όπκυ,Ν =,Νκπσμ = + + = + = εαδν =,ΝΪλαμ + = + + = + + = + = =,ΝκπσΝπαέλθκυημ = Όηπμ,ΝαπσΝ(1έ1γ)ΝβΝζυαέαΝξΫβΝΰέθαδμ = = + + ΟπσΝεααζάιαηΝβθΝ(1έββ)ΝβμΝπαλαάλββμΝ(1.1). 21
εσηβ,ναπσν(1έη)νυηπλαέθκυηνεαδνσδμ = = + + = + + = = + + + 1.6 ΗΝΟζκεζβλκδαφκλδεάΝιέωβΝπκυΝΙεαθκπκδέΝβΝυθΪλββΝ Gerber-Shiu. ητκθαμνπμνπλκμνκνξλσθκν εαδνκνηϋΰγκμν,νβμνπλυβμναπαέββμν,νβζαά,ν = εαδ =,ΝαπσΝκΝθσηκΝκζδεάμΝπδγαθσβαμ,ΝΫξκυημ =, = =, = = {, }. ΌαθΝηφαθέααδΝκΝπλυκΝclaim,ΝέθαδΝ = + κπσμ θ +, ό { > +, ό Έδ,Ν ΰδαΝ παλϊδΰηα,ν αθν +,Ν πδάν θν ηφαθέααδν ξλκεκπέαν βν ξλκθδεάν δΰηάν,νβνδαδεαέαναθαθυθαδνιεδθυθαμνηναλξδεσνεφϊζαδκν +. 22
θυ,ναθν > +,ΝσΝ ΰδαέΝηφαθέααδΝέΰκυλαΝξλκεκπέα,ΝεαδΝ εαδνυθπυμναπσνβθν. παέλθπμ < =, = +, =, + = { + + +, } = + = + { + + +, }. ΘΫκυη,Ν + + = + Οπσ, = = = εαδναζζϊακθαμνανσλδα, < < < < 23
Άλα,ΝαπσΝβθΝ. παέλθπ: ΘΫκυη, = ΟπσΝβΝπλκβΰκτηθβΝξΫβΝΰλΪφαδμ = + + + +, =, + + = + + +. Έπδα,ΝγαΝπαλαΰπΰέκυηΝβθΝ. πμνπλκμν. a. ΘΫκυη,, = + Σσ, = +, =, +,. Όπκυ,, + = [ ] 24
= { [ + ] } = { + + } + = { + } = { = + + + + } = +,. πσν. εαδν. παέλθκυη: b. Έπ,Νυλα,ΝσδΝ + + =, +, =, + +, Σσ,, = + = +,, =, + 25
ΜΝκθΝέδκΝλσπκ,ΝσππμΝβθ (aέ)νπδζτκυηνεαδνίλέεκυημ = + +, Άλα,ΝζδεΪΝβΝ. έθδ: = { + + { + + + + + + = + + + + = { + } +. + + { + } + = { + } + Οπσ, = + { + } } + + } + = +,. υά,νζκδπσθ,νέθαδνβνκζκεζβλκδαφκλδεάνιέπβνπκυνδεαθκπκδένβν. Όπκυ,ΝΰδαΝ =,, = 26
έθαδναπσν.: = εαδ = έθαδνβνκζκεζβλκδαφκλδεάνιέπβνπκυνέιαηνπαλπϊθπνσδνδεαθκπκδένβν. 1.7 ΜαχβηαδησμΝLaplace βμνυθϊλββμνgerber Shiu. ΓδαΝθαΝίλκτηΝκθΝηαξβηαδησΝLaplace βμν,νγανπϊλκυηνηαξβηαδησνlaplace βθν.. Έπ,Ν εαδ = = ΧλβδηκπκδυθαμΝβΝηΫγκκΝβμΝπαλαΰκθδεάμΝκζκεζάλπβμ,ΝΫξκυημ = = = = = 27
= + = = ΣσΝαπσΝ.,ΝΫξκυη: = + [ ] = + = + + + = { + + } = = + + = + ΗΝζαέαΝξΫβΝβζυθδΝκΝηαξβηαδησΝLaplace βμνυθϊλββμνgerber-shiu. 28
ΚΦΛΙΟΝ2 ΣΟΝΚΛΙΚΟΝΜΟΝΣΛΟΝΣΗΝΘΧΡΙΝΚΙΝΤΝΧΝΝ ΜΝΝΝΝΟΡΟΝΙΥΤΗ ΝαυσΝκΝεφΪζαδκΝγαΝΰέθδΝζσΰκμΝΰδαΝκΝεζαδεκΝηκθΫζκΝβμΝγπλέαμΝεδθτθπθ,ΝσαθΝ αυσνπλδϋξδνεδνϋθαθνσλκνδϊξυβμ,νκνκπκέκμνπβλϊαδνβθνπκλέανκυνξαλκφυζαεέκυνκυν αφαζδδεκτνκλΰαθδηκτνπαέακθαμνβηαθδεσνλσζκνβθνπδγαθσβανθανξλκεκπάδένσκν άβν υπϊλξκθν ηκθϋζκν πεέθαδν εαδν βν πδγαθσβαν ξλκεκπέαμ,ν σππμν εαδν βν υθϊλββν Gerber-Shiu ηαίϊζζκθαδνζσΰπνβμνπλκγάεβμνκυνσλκυνδϊξυβμένπαλαεϊπνιϊακυην αθαζυδεϊν δμν αζζαΰϋμν πκυν πδϋξκθαδν ΫθθκδμΝ εαδν ξϋδμν πκυν παλκυδϊαην κν πλκβΰκτηθκνεφϊζαδκ,νζσΰπναυάμνβμνπϋεαβμνκυνηκθϋζκυέ 2.1 κχαδεάνθϋζδιβνπζκθϊηακμνηνέθαθνόλκνδϊχυβμ. ΌππμΝέαηΝεαδΝιΪαηΝκΝπλκβΰκτηθκΝεφΪζαδκ,ΝκΝεζαδεσΝηκθΫζκΝβμΝγπλέαμΝ εδθτθπθν κν πζσθαηαν θσμν αφαζδδεκτν κλΰαθδηκτν Ν ξλσθκν έθαδν απσν βθν παλαεϊπνξϋβμ = +, ΟΝGerber κν1λιί,νγϋζβνθανπεέθδνκνάβνυπϊλξκθνηκθϋζκ,νπλκγϋκθαμνϋθαθνσλκν δϊξυβμνβντθγβνδαδεαέανpoisson,νΰθπσνεαδνπμνδαδεαέανκυνwienerένυθπυμ,νβν ξλκεκπέαν ηπκλέν θαν πϋζγδ,ντηφπθαν ην κν ηκθϋζκν πκυνιϊακυη,ν έν απσν απαέββν (claim),νέναπσνβθναθϋζδιβνwiener (oscillation)ένονσλκμνδϊξυβμνεφλϊαδνηέανπδπζϋκθν αίίαδσβανδμνυθκζδεϋμναπκαβηδυδμνάναζζδυμνπλκγϋδναίίαδσβανανϋκαναπσν αναφϊζδλαέ 29
ΟλδησμΝ2έ1 Έδ, β κχαδεά αθϋζδιβ κυ πζκθϊηακμ κ ηκθϋζκ πάλ β ηκλφάμ = + +,. Όπκυ, Η = έθαδ κ αλχδεσ απσγηα, έθαδ κ λυγησμ έλαιβμ ωθ αφαζέλωθ, αθϊ ηκθϊα χλσθκυ εαδ κδ υθκζδεϋμ απκαβηδυδμ κ χλκθδεσ δϊβηα [, ] > έθαδ β ηαίζβσβα κυ σλκυ δϊχυβμ (volatility) έθαδ β εέθββ Brown (ά κχαδεά αθϋζδιβ κυ Wiener) έθαδ αθιϊλββ απσ β τθγβ δαδεαέα Poisson Ιχτδ σδ, {: }. σπκυ, = = + + +, =,,, έθαδ γδεϋμ αθιϊλβμ εαδ δσθκημ υχαέμ ηαίζβϋμέ ΟλδησμΝ2έ2 Η ηαίζβσβα κυ σλκυ δϊχυβμ (volatility) έθαδ αδδεσ ηϋλκ βμ δαπκλϊμ ωθ δηυθ ωθ απκαβηδυωθ εαδ απκζέ παλϊηλκ βμ εέθββμ Brownέ Μπκλέ θα υπκζκΰδέ ηϋω βμ υπδεάμ απσεζδβμ ά βμ δαετηαθβμ ωθ απκαβηδυωθέ 30
2.2 ΗΝΚέθββΝBrown. ΗΝ εέθββν Brown ίκβγϊν βν ηζϋβν εαδν πιάΰββν αλευθν φυδευθν φαδθκηϋθπθέν ΧλβδηκπκδέδΝ υλϋπμν βν Φυδεά,Ν αν ΜαγβηαδεΪ,Ν βν ΧλβηακκδεκθκηδεάΝ εαδν βθν θαζκΰδδεάνπδάηβένέζαίνκνσθκηανβμναπσνκθνίκαθκζσΰκνrobert Brown,ΝκΝκπκέκμΝθΝ ΫδΝ 1κβιΝ ηζϋβν βθν εέθββν θσμν ηδελκτν υηακμν ηϋαν Ν ΫθαΝ υΰλσν άν αϋλδκν υηαέν ΟΝ ηλδεαθσμν ηαγβηαδεσμν Norbert Wiener άαθν εέθκμν πκυν αξκζάγβεν εθυμν ην βθν εέθββνbrown εαδναπϋδινπκζζϋμναπσνδμνδδσβμνβμένγδαναυσνκθνζσΰκνέθαδνΰθπάνεαδν πμναθϋζδιβνκυνwienerένσϋζκμ,νβ εέθββνbrown ΝηπκλέΝθαΝζΪίδΝαλθβδεΫμΝδηΫμέ ΟλδησμΝ2έ3 Η εέθββ Brown (ά κχαδεά αθϋζδιβ Wiener) έθαδ κχαδεά δαδεαέα υθχά χλσθκ πκυ χαλαεβλέααδ απσ δμ ιάμ δδσβμμ 1) κδ υθαϋμ δαλκηϋμ έθαδ υθχέμ, 2) =, 3) Γδα < γα δχτδ ~, αθιϊλβα απσ βθ δκλέα F, 4) ωμ φυδεσ παεσζκυγκ βμ λέβμ δδσβαμ, ΰδα < < < < κδ υχαέμ ηαίζβϋμ ~,, ~,,, ~, έθαδ αθιϊλβμ ηαιτ κυμ, 5) κδ δαλκηϋμ βμ αθϋζδιβμ θ παλαΰωΰέακθαδ εαθϋθα βηέκ κυμ, 6) β Ϋχδ β ηαλεκίδαθά δδσβα εαδ απκζέ martingale, 7) β,, έθαδ αθϋζδιβ Wiener η υθζά δϊχυβμ (volatility), σπκυ, =, 8) β = +, έθαδ ηέα αθϋζδιβ Wiener η παλαηϋλκυμ κθ υθζά κζέγββμ εαδ κθ υθζά δϊχυβμ έ Γδα δμ παλαηϋλκυμ γα δχτκυθ α ιάμμ ( ) = εαδ ( ) =. ΟλδησμΝ2έζ Ολέακυη ηέα αθϋζδιβ, ωμ martingale ωμ πλκμ βθ αθϋζδιβ, αθ ΰδα εϊγ δχτδμ 31
< εαδ F =,, σπκυ F έθαδ β δκλέα βμ αθϋζδιβμ. 2.3 ΟΝΥλσθκμΝΥλκεκπέαμ,ΝβΝΠδγαθσβαΝΥλκεκπέαμΝεαδΝβΝ ΠλκικφζβηΫθβΝυθΪλββΝπκαβηέωβμέ ΓδαΝκθΝξλσθκΝξλκεκπέαμ γανδξτδνκνέδκμνκλδησμ,νσππμνεαδνκνπλκβΰκτηθκνεφϊζαδκ,ν βζαάμ ΟλδησμΝ2έη Η χλκθδεά δΰηά T εαϊ βθ κπκέα β κχαδεά αθϋζδιβ πζκθϊηακμ ΰέθαδ ΰδα πλυβ φκλϊ αλθβδεά κθκηϊααδ χλσθκμ χλκεκπέαμ εαδ κλέααδ ωμ ιάμμ Όπκυ, {: }, ό = {, >. Σ, έθαδ β χλκθδεά δΰηά χλκεκπέαμ,,, παλδϊ κ πζσθαηα βμ αφαζδδεάμ αδλέαμ, Ϋωμ β χλκθδεά δΰηά t. τκνπκζτνβηαθδεϋμνηβναλθβδεϋμνυξαέμνηαίζβϋμνπκυνϋξκυθνϊηβνξϋβνηνκθν ξλσθκνξλκεκπέαμνt έθαδνβν εαδνβν. Όπκυ,,ΝκΝΫζζδηηαΝβΝδΰηάΝβμΝξλκεκπέαμΝεαδ,ΝκΝπζσθαηαΝαελδίυμΝπλδθΝβΝδΰηάΝβμΝξλκεκπέαμέ ΜέαΝαεσηβΝξδεάΝυξαέαΝηαίζβάΝέθαδΝβΝ [ + ],ΝπκυΝέθαδΝκΝτθκζκΝβμΝ αβηδϊμνπκυνπλκεαζένβνξλκεκπέαέν 32
ΣαΝπαλαεΪπΝΰλαφάηααΝέθαδΝαθδπλκππυδεΪΝκυΝΟλδηκτΝβέηέ ΟλδησμΝ2έθ Οδ Gerber εαδ Shiu ΰδα σλδαθ βθ αθαηθσηθβ πλκικφζβηϋθβ υθϊλββ απκαβηέωβμ, ωμ ιάμμ = [, < = ] Όπκυ,,,, < έθαδ ηέα ηβ αλθβδεά υθϊλββ, β έθαδ έελδα υθϊλββ, Ϋκδα υ, < =, < { < =, ΟλδησμΝ2έι Γδα βθ πδγαθσβα χλκεκπέαμ ΰδα κ ηκθϋζκ πκυ ηζϊη κ υΰεελδηϋθκ εφϊζαδκ γα δχτδ β παλαεϊω δσβαμ = [ < = ] = < =, ΗΝ κπκέαν έθαδν ηέαν δδεάν πλέππβν βμν αθαηθσηθβμν πλκικφζβηϋθβμν υθϊλββμν απκαβηέπβμ,νΰδα, = 33
εαδ =. ΟδΝ Gerber εαδν Shiu κν 1λλκΝ δατππαθν ηέαν ζζδηηαδεάν αθαθπδεάν ιέπβν ΰδαΝ βθν βνκπκέανίαέααδνκνεζαδεσνηκθϋζκνβμνγπλέαμνεδθτθπθνεαδνέθαδνβναεσζκυγβμ Όπκυ, = +,, =, έθαδνβνηκθαδεάνηβναλθβδεάνλέαανβμνιέπβμνκυνlundberg, η σπκυ,ν = +, =, =. 2.4 ΥλκεκπέαΝαπσΝπαέββΝεαδΝΥλκεκπέαΝαπσΝθΫζδιβΝWiener. βθνπλέππβνκυνκζαδεκτνμκθϋζκυνπκυνηζϊηνυπϊλξκυθντκνέβνξλκεκπδυθέν υϊνέθαδμ 1) ΧλκεκπέαΝπκυΝπλκετπδΝαπσΝαπαέββ,ΝεαΪΝβθΝκπκέαΝ < εαδν <,Νεαδ 2) ΧλκεκπέαΝπκυΝπλκετπδΝαπσΝβθΝαθΫζδιβΝWiener,ΝΝεαΪΝβθΝκπκέαΝ < εαδν =. ΟδΝDufresne εαδνgerber (1λλ1)ΝηζΫβαθΝβθΝπδγαθσβαΝξλκεκπέαμΝαπσΝδΪξυβ,Ν, βθνπδγαθσβανξλκεκπέαμναπσναπαέββ,ν εαδνβθνπδγαθσβανξλκεκπέαμ,νσαθναυάν πλκεαζέαδνέναπσνδϊξυβνέναπσναπαέββνεαδνπλσδθαθναθαθπδεϋμνζζδηηαδεϋμν ιδυδμν αθέκδξαέν ΟδΝ Gerber εαδν Landry κν 1λλκΝ πλκξυλβαθν βν ΰθέευβΝ βμν 34
πλσαβμν πθν Dufresne εαδν Gerber,Ν γπλυθαμν ηέαν αγλϊν εαδν ηέαν ηβν αλθβδεάν υθϊλββν, >. ΣσΝβΝπκδθάΝαπσΝξλκεκπέαΝέθαδΝ, ΪθΝβΝξλκεκπέαΝυηίαέθδΝ ζσΰπνδϊξυβμνεαδν(), ΪθΝπλκετπδΝζσΰπΝαπαέββμέ ΟλδησμΝ2έκ Έδ, εαϋζβιαθ βθ αθαηθσηθβ πλκικφζβηϋθβ υθϊλββ απκαβηέωβμμ Όπκυ, = + [ <, < = ],, έθαδ ηέα ηβ αλθβδεά αγλϊ,, >, έθαδ ηέα ηβ αλθβδεά υθϊλββ εαδ = [ <, = = ] έθαδ κ ηαχβηαδησμ Laplace ά β αθαηθσηθβ παλκτα αιέα κυ χλσθκυ χλκεκπέαμ, ζσΰω βμ αθϋζδιβμ Wiener. Ιχτδ, πέβμ, σδ σαθ =, σ =, βζαά, β πδγαθσβα χλκεκπέαμ απσ δϊχυβ έθαδ κ ηαχβηαδησμ Laplace ά β αθαηθσηθβ παλκτα αιέα κυ χλσθκυ χλκεκπέαμ. 2.5 ΓθέευβΝβμΝυθΪλββμΝπκαβηέωβμέ ΟδΝ Tsai εαδν Willmot (βίί1)ν πδξέλβαθν θαν πλκξπλάκυθν βν ΰθέευβΝ βμν υθϊλββμν απκαβηέπβμν ηπλδϋξκθαμναυσξλκθανεαδνκνϋζζδηηανβνδΰηάνβμνξλκεκπέαμν εαδν κν πζσθαηαν αελδίυμν πλδθν βν δΰηάν βμν ξλκεκπέαμν έν ΟπσΝ κν τπκμν βμν αθαηθσηθβμνπλκικφζβηϋθβμνυθϊλββμναπκαβηέπβμνΰέθαδ: = [, <, < = ] ΜΪΝ απσν αυάν βν ΰθέευβ,Ν πκζζκέν τπκδν ηπκλκτθν θαν παθδαυππγκτθν εαδν θαν ζϊίκυθν δαφκλδεϋμνηκλφϋμέ ΘπλκτηΝ βθν απσν εκδθκτν ζζδηαδεάν υθϊλββν πυεθσβαμν πυγαθσβαμν πθν, εαδν,νσαθνξλκεκπέανυηίαέθδνζσΰπναπαέββμνεαδνβνυηίκζέακυηνην,, ;, 35
Όπκυ, =,ΝβΝδηάΝπκυΝπαέλθδΝβΝυξαέαΝηαίζβάΝ,,ΝβΝδηάΝπκυΝπαέλθδΝβΝυξαέαΝηαίζβάΝ,Νεαδ,ΝβΝδηάΝπκυΝπαέλθδΝβΝυξαέαΝηαίζβάΝ ΠαλαεΪπΝ κλέακυην βθν απσν εκδθκτν πλκικφζβηϋθβν υθϊλββν πυεθσβαμν πδγαθσβαμ,ν εαγυμνεαδνδμνπλδγυλδμνζζδηηαδεϋμνυθαλάδμνπυεθσβαμνπδγαθσβαμνπθν εαδν,ν αθέκδξα,ν ΰδαΝ κν ηκθϋζκν πκυν ιϊακυην Ν αυσν κν εφϊζαδκν ην κθν παλϊΰκθανπλκισφζββμν ένέδ,νγανϋξκυημ, ;, =,, ;, γανέθαδνβναπσνεκδθκτνπλκικφζβηϋθβνυθϊλββνπυεθσβαμνπδγαθσβαμνπθν εαδν, ;, =, ;, = =,, ;, γανέθαδνβνπλδγυλδανυθϊλββνπυεθσβαμνπδγαθσβαμνβμν,νεαδ ;, =, ;, = =,, ;, γανέθαδνβνπλδγυλδανυθϊλββνπυεθσβαμνπδγαθσβαμνβμν. βθνδδεάνπλέππβ,νσπκυ υθπϊΰαδνσδν =, =, σπκναυσνβηαέθδνππμνβναθϋζδιβνπζκθϊηακμ, 36
= + + = = + + = + + = + παέλθδνπϊζδνβνηκλφάνβμναθϋζδιβμνπζκθϊηακμνκυνεζαδεκτνηκθϋζκυνβμνγπλέαμν εδθτθκυ,νσππμνκνηζάαηνκνπλκβΰκτηθκνεφϊζαδκέ ΝαυάθΝβθΝπλέππβ,ΝβΝαπσΝεκδθκτΝπλκικφζβηΫθβΝυθΪλββΝπυεθσβαμΝπδγαθσβαμΝ πθν εαδν γανυηίκζέααδνη, ;,. H πλδγυλδανυθϊλββνπυεθσβαμνπδγαθσβαμνβμν η ;, εαδνβ πλδγυλδανυθϊλββνπυεθσβαμνπδγαθσβαμνβμνν,νη ;,, αθέκδξαέ 37
ΚΦΛΙΟΝ3 ΣΟΝΜΟΝΣΛΟΝΣΗΝΘΧΡΙΝΚΙΝΤΝΧΝΝΜΝΝΝΝ ΟΡΟΝΙΥΤΗΝΚΙΝΙΠΛΤΡΝΛΜΣ ΌππμΝιΪαηΝκΝπλκβΰκτηθκΝεφΪζαδκ,ΝκΝεζαδεσΝηκθΫζκΝβμΝγπλέαμΝεδθτθπθΝηΝ ΫθαθΝσλκΝδΪξυβμΝ(ΚέθββΝBrown)ΝέθαδΝαπσΝβθΝπαλαεΪπΝξΫβΝ(βέ1)μ 3.1 ΗΝδαδεαέαΝΠζκθΪηακμΝγδαΝκΝΜκθΫζκΝβμΝΘωλέαμΝ ΚδθτθωθΝηΝΈθαθΝΌλκΝδΪχυβμΝεαδΝέπζυλα Άζηααέ ΟλδησμΝ3έ1 = + +,. = Σβθ κπκέα Ϋχκυη κλέδ εαδ κ ΚΦΑΛΑΙΟ β, αζζϊ υλα γα δχτδ, σδ κδ δαδεαέμ {}, { } = εαδ {} έθαδ αθιϊλβμ ηαιτ κυμέ Όπκυ, =, βζαά β εέθββ Brown έθαδ σπωμ Ϋχκυη άβ αθαφϋλδ έβ η βθ αθϋζδιβ Wiener. ΣκΝ εζαδεσν ηκθϋζκν βμν γπλέαμν εδθτθπθν ην ΫθαθΝ σλκν δϊξυβμ,ν δαηκλφυγβεν ΰδαΝ θαν πεέθδν κν εζαδεσν ηκθϋζκν βμν τθγβμν Poisson, κν κπκέκν βν εέθββν Brown ηαφλϊααδνπμνυξαέανηαίζβάνκυνδκάηακμνπθναφαζέλπθνάνβμναβηδϊμναπσνδμν απαδάδμέ πσν σ,ν πκζζϊν πλκίζάηααν ξλκεκπέαμν ξδεϊν ην κν ηκθϋζκν ΫξκυθΝ ιαέένόππμνέαη,νκδνdufresne εαδνgerber ηζϋβαθνδμνπδγαθσβμνξλκεκπέαμναπσν δϊξυβνάναπσναπαέββένοδνgerber εαδνlandry ιϋααθνβθναθαηθσηθβνπλκικφζβηϋθβν 38
υθϊλββν πκδθάμν κυν ζζέηηακμν βν δΰηάν βμν ξλκεκπέαμέν ΟΝ Tsai ηζϋβν ηλδεϋμν πλκικφζβηϋθμνεααθκηϋμνΰδανβνδαδεαέανπζκθϊηακμνηνϋθαθνσλκνδϊξυβμένγδανκν έδκνηκθϋζκ,νo Tsai εαδνκνwillmot ηζϋβαθνδμνπλκικφζβηϋθμνυθαλάδμνπκδθάμνεαδν δμνξλκθδεϋμνδΰηϋμ,ναθέκδξαέ ΝαυσΝκΝεφΪζαδκΝγαΝιΪκυηΝηέαΝλκπκπκδβηΫθβΝεκξάΝκυΝηκθΫζκυΝκυΝΟλδηκτΝ γέ1ένθανδξτκυθνανέδανπκυνέξυαθνεαδνανπλκβΰκτηθαντκνεφϊζαδα,νηνβνδαφκλϊνσδναν ΪζηααΝγαΝγπλκτηΝππμΝέθαδΝέπζυλαέ ΟλδησμΝ3έ2 Μ κθ σλκ έπζυλα Ϊζηαα θθκκτη σδ α πϊθω Ϊζηαα γα αθδπλκωπτκυθ α υχαέα εϋλβ βμ αδλέαμ, θυ α εϊω Ϊζηαα απκζκτθ δμ υχαέμ απυζδμ βμ αδλέαμέ ΠαλαεΪπ,ΝέθκυηΝβθΝπυεθσβαΝκυΝΪζηακμΝ, βνκπκέανκλέααδνπμνιάμ: ΟλδησμΝ3έ3 Όπκυ, = + > + <,, > εαδ δχτδ σδ + =, έθαδ ηέα έελδα υθϊλββ κυ ΰΰκθσκμ εαδ +, έθαδ τκ υθαλάδμ πυεθσβαμ κ δϊβηα [, Αεσηβ, κδ +, υπκβζυθκυθ δμ υθαλάδμ εααθκηάμ εαδ +, γα έθαδ κδ ηϋμ δηϋμ ωθ +, αθέκδχαέ ΣκΝηκθΫζκΝβμΝγπλέαμΝεδθτθπθΝηΝέπζυλαΝΪζηααΝεαδΝΫθαθΝσλκΝδΪξυβμΝΫξδΝηζβγέΝ απσν πκζζκτμν πδάηκθμέν ΟΝ Perry εέϊέν ιϋααθν βθν απσν εκδθκτν εααθκηάν βμν πλυβμν δΰηάμνισκυ εαδνκυνηΰέκυνϊθπ ΪζηακμΝ(άΝκυΝζαξέκυΝεΪπΝΪζηακμ),ΝκγΫθκμΝσδΝ κδνεααθκηϋμνπθναζηϊπθνάαθνυπλεγδεϋμ άνηέανδδεάνπλέππβνεααθκηάμνcoxian. ΟδΝKou εαδνwang ηζϋβαθνεθυμνκυμνηαξβηαδηκτμνlaplace βμνπλυβμνδΰηάμν δσκυνεαδνκυνηΰέκυνϊθπνϊζηακμ ΰδαΝκΝεζαδεσΝηκθΫζκΝβμΝγπλέαμΝεδθτθπθ,ΝσπκυΝ 39
ανϊθπνϊζηαα,ναζζϊνεαδνανεϊπνϊζηααναεκζκυγκτθνβθνεγδεάνεααθκηάέ ΟΝXing εέϊέν πϋεδθαθναναπκζϋηαανπθνkou εαδνwang βθνπλέππβ,νσπκυνανεϊπνϊζηαανέθαδν εααθηβηϋθαντηφπθανηνβθνεααθκηάντπκυνφϊβμνεαδνανϊθπνϊζηααναεκζκυγκτθνηέαν αυγαέλαν κλδηϋθβν εααθκηάέ ΟΝ Jacobsen γυλβν ΫθαΝ πδκν ΰθδευηΫθκΝ ηκθϋζκν βμν γπλέαμνεδθτθπθ ηνέπζυλανϊζηαα εαδνϋθαθνσλκνδϊξυβμ,νηϋαναπσνκνκπκέκνηζϋβν κν ηαξβηαδησν Laplace βμν δΰηάμν ξλκεκπέαμ,ν κν ζϊξδκν εϊπν ΪζηαΝ βν δΰηάν ξλκεκπέαμ,νσππμνπέβμνεαδνβθνπδγαθσβανξλκεκπέαμέ ΣΫζκμ,ΝκδΝ Yang εαδνzhang ΫξκυθΝ ηζάδν κν ηκθϋζκν βμν γπλέαμν εδθτθπθν ην έπζυλαν Ϊζηαα,Ν αθαζτκθαμν βθν πλκικφζβηϋθβνυθϊλββνπκδθάμέ 3.2 ΗΝΡβάΝΟδεκγΫθδαΝΚααθκηυθ. κνηκθϋζκνπκυνιϊακυηνγπλκτηνσδνανεϊπνϊζηαανϋξκυθνηέαναυγαέλανκλδηϋθβν υθϊλββν πυεθσβαμ,ν θυν αν πϊθπν ΪζηααΝ ΫξκυθΝ ηαξβηαδησν Laplace βμν λβάμν κδεκΰϋθδαμνεααθκηυθ,νκνκπκέκμνέθαδναπσνβνξϋβ: ΟλδησμΝ3.4 = = +. Όπκυ, m, N +, η + + + = >, =,,,, η, ΰδα i β έθαδ ηέα πκζυωθυηδεά υθϊλββ ίαγηκτ εαδ δχτδ σδ, = = Η λβά κδεκΰϋθδα εααθκηυθ, β κπκέα χλβδηκπκδέαδ υλϋωμ φαληκΰϋμ πδγαθκάωθ, πλδϋχδ δμ εααθκηϋμ Erlang, Coxian εαδ εααθκηϋμ τπκυ φϊβμ ωμ δδεά πλέπωβ, εαγυμ εαδ ηέιδμ αυυθ ωθ εααθκηυθέ 40
ηέμν ιϊακυην αθαζυδεϊν δμν εααθκηϋμν πκυν πλδϋξδν βν λβάν κδεκΰϋθδα,ν εϊθκθαμν φαληκΰάν κυν τπκυν πκυν υαην κθν παλαπϊθπν κλδησν ξδεϊν ην κθν ηαξβηαδησν Laplace βμνλβάμνκδεκΰϋθδαμέ 1. ΓδαΝβθΝεγδεάΝεααθκηά β υθϊλββνπυεθσβαμνπδγαθσβαμνέθαδναπσνκθν ιάμντπκ: = ( = ), ΟΝηαξβηαδησμΝLaplace βμνεγδεάμνεααθκηάμνέθαδνκνπαλαεϊπμ Άλα,Νΰδα =, =, = =, =, = + βνεγδεάνεααθκηάναθάεδνβνλβάνκδεκΰϋθδανεααθκηυθέ 2. ΓδαΝβΝΓΪηηαΝεααθκηά,ΝβΝυθΪλββΝπυεθσβαμΝπδγαθσβαμΝέθαδΝβΝπαλαεΪπμ = ΟΝηαξβηαδησμΝLaplace βμνγϊηηανεααθκηάμνέθαδναπσνβθνπαλαεϊπνξϋβ: Άλα,Νΰδα =, =, = =, =, = = ( + ) = + βνγϊηηα εααθκηάναθάεδνβνλβάνκδεκΰϋθδανεααθκηυθ. 3. ΓδαΝβΝΜέιβΝεγδευθ,ΝβΝυθΪλββΝπυεθσβαμΝπδγαθσβαμΝέθαδΝβΝπαλαεΪπμ = + Όπκυ, + =, < <, 41
, > ΟΝ ηαξβηαδησμν Laplace βμν ΜέιβμΝ εγδευθν έθαδν απσν βθν παλαεϊπν ξϋβ: Άλα,Νΰδα =, = + + + = + + + = + + + + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + + = = = = = + = + = = + + +, = βνγϊηηα εααθκηάναθάεδνβνλβάνκδεκΰϋθδανεααθκηυθ. 3.3 Η ΠδγαθσβαΝ ΥλκεκπέαμΝ απσν ΚέθββΝ Brown άν απσν ΚΪωΝ Άζηα. Όππμ,ΝάβΝαθαφΫλαηΝβΝ(γέ1)ΝαπκζέΝβΝκξαδεάΝδαδεαέαΝπζκθΪηακμΝηΝέπζυλαΝ ΪζηααΝεαδΝεέθββΝBrown. ΘαΝδξτδΝσδ: {: }, ό = {,, >. Όπκυ,Ν έθαδνκνξλσθκμνξλκεκπέαμνεαδνβνπδγαθσβανξλκεκπέαμνγανέθαδναπσνβνξϋβ: = < = 42
εσηβ,νγανδξτδνβνυθγάεβνκυνεαγαλκτνεϋλκυμ,νβζαά: + > +. ΗΝ ξλκεκπέα,ν σππμν δμν πλκβΰκτηθμν εκξϋμν κυν ηκθϋζκυ,ν ΫδΝ εδν υ,ν γαν υηίαέθδν απυγέαμνσαθνκναλξδεσναπσγηανπϊλδνβθνδηάνί,νβζαά,νσαθ, =, ό =. Παλαάλββ Η χλκεκπέα αυά βθ εκχά κυ ηκθϋζκυ ηπκλέ θα πλκϋζγδ έ απσ βθ εέθββ Brown έ απσ Ϋθα εϊω Ϊζηαέ ΟλδησμΝ3έη Παλκηκέωμ, σπωμ α πλκβΰκτηθα εφϊζαδα, β πδγαθσβα χλκεκπέαμ δκταδ η κ ιάμ Ϊγλκδηαμ = +, Όπκυ, έθαδ β πδγαθσβα χλκεκπέαμ, σαθ β χλκεκπέα πλκϋλχαδ απσ Ϋθα εϊω Ϊζηα, εαδ έθαδ β πδγαθσβα χλκεκπέαμ, σαθ αυά πλκϋλχαδ απσ βθ εέθββ Brown. ΣΫζκμ, γανδξτκυθνκδνπαλαεϊπνυθγάεμ: = =, =. 43
3.4 ΗΝυθΪλββΝωθΝGerber-Shiu. ΌκθΝαφκλΪΝβΝυθΪλββΝπθΝGerber-Shiu: ΟλδησμΝ3έθ Ολέακυη ΰδα, βθ πλκικφζβηϋθβ υθϊλββ πκδθάμ, ωμ ιάμμ = [, < = ], Όπκυ,,, έθαδ ηέα ηβ αλθβδεά υθϊλββ κυ πζκθϊηακμ πλδθ β χλκεκπέα εαδ κυ ζζέηακμ β δΰηά βμ χλκεκπέαμ. ΠαλσηκδαΝηΝβθΝπδγαθσβαΝξλκεκπέαμ,ΝεαδΝβΝυθΪλββΝπθΝGerber-Shiu έθαδνδκτθαηβν ηνκνπαλαεϊπνϊγλκδηα: = +, Όπκυ, = [, <, < = ] έθαδνβνπλκικφζβηϋθβνυθϊλββνπκδθάμνβνδΰηάνβμνξλκεκπέαμ,νσαθναυάνπλκϋλξαδν απσνϋθανεϊπνϊζηα,νεαδ = [, <, = = ] =,[ <, = = ] έθαδνβνπλκικφζβηϋθβνυθϊλββνπκδθάμνβνδΰηάνβμνξλκεκπέαμ,νσαθναυάνπλκϋλξαδν απσνβθνεέθββνbrown. 44
ΪθΝγΫκυη, =, ξπλέμναπυζδανβμνΰθδεσβαμ,νγανδξτκυθνκδντκνπαλαεϊπνυθγάεμ: = =, =. 3.5 ΗΝΓθδευηΫθβΝιέωβΝκυΝLundberg. Ν αυάθν βθν θσβαν γαν αξκζβγκτην ην βθν ΰθδευηΫθβΝ εκξάν βμν ιέπβμν κυν Lundberg, ΰδαΝκΝηκθΫζκΝκΝκπκέκΝηζΪηΝΝαυσΝκΝεφΪζαδκέ θααβϊηνϋθαθναλδγησν ΫκδκθΝυΝβΝδαδεαέα: { + } θανέθαδνmartingale. ΗΝυθγάεβΝmartingale πκυνιϊακυηνέθαδνβνιάμ: + + + =,. Όπκυ, =,, έθαδνκνλυγησμνέπλαιβμνπθναφαζέλπθ,, έθαδνβνπαλϊηλκμνβμνεααθκηάμνpoisson,, έθαδνβνϋθαβναθακεδηκτνεαδ, έθαδνκνηαξβηαδησμνlaplace βμν, ΰδαΝκθΝκπκέκθΝΰθπλέακυηΝσδ: = [ ] = + +. ΗΝ(γέ3)ΝαπκζέΝβΝΰθδευηΫθβΝιέπβΝκυΝLundberg ΰδαΝκΝηκθΫζκΝβμΝγπλέαμΝεδθυθκυΝ ηνϋθαθνσλκνδϊξυβμνεαδνέπζυλανϊζηααέ 45
Γδα =, =, σ, απσν(γέ4): = + + = + Οπσ,ΝβΝ(3.3),ΝαπζκπκδέαδΝεαδΝΰέθαδΝπμΝιάμ: + + + + =,. πκυν έθαδν βν ιέπβν κυν Lundberg πθν Gerber εαδν Landry. πέβμ,ν απκδεθταδν ππμν βν ιέπβνκυνlundberg ΫξδΝαελδίυμΝηέαΝγδεάΝλέαα >. Λάηηα 1 Όαθ <, < εαδν κν ηαξβηαδησμν Laplace έθαδν απσν βν ξϋβν (γέβ),ν σν βν ΰθδευηΫθβΝ ιέπβνκυνlundberg (3.3) ΫξδΝαελδίυμΝ + λέαμ,νβζαά,ν,,, +, κνπέκνκλδηκτ { C: > }, σπκυ, = +, >, κνκπκέκνέθαδνκνεδαΰλαφβηϋθκνεκηηϊδνπαλαεϊπ: 46
πσδιβ λεένθανέικυηνσδνβνπαλαεϊπνιέπβ: [ + + + +] + = = ΫξδΝαελδίυμΝ + λέαμ,νηνγδεσνπλαΰηαδεσνηϋλκμέν μνυπκγϋκυηνσδ > έθαδνϋθαμναλεϊνηΰϊζκμναλδγησμνεαδνην υηίκζέακυηνκνξάηανπκυναπκζέαδναπσν κθνφαθαδεσνϊικθανπκυνεέθαδναπσνκν, ΫπμΝκΝ, εαδνϋθανβηδετεζδκνηναεέθαν πκυν εέθαδν απσν κν, ΫπμΝ κν. θν κν έθαδν ΫθαΝ βηέκν πϊθπν κν βηδετεζδκν γαν ΫξκυηΝσδ: θυ, απσν(γέζ), + +, ώ, + > + 47
. + =, ώ πδά,νβν έθαδνπκζυπθυηδεάνυθϊλββνίαγηκτν. ΓδαΝ < <, γανϋξκυη: + + + >. Οπσ,ΝσαθΝκΝ έθαδναλεϊνηΰϊζκ,νγανϋξκυηνΰδανβθν κν, σδ: [ + + ] > = = πσνκνγυλβηανκυνrouches,νΰθπλέακυηνσδνβνιέπβν(γέγ)νϋξδνκθνέδκναλδγησνλδαυθνην βθνπαλαεϊπνιέπβ: [ + + ] = = ηϋανκν. φκτνβνζυαέανϋξδν + λέαμνκν, σμνγανϋξδνεαδνβν(3.3) 48
ΚΦΛΙΟΝζ ΜΣΥΗΜΣΙΜΟΙΝLAPLACE ΚΙΝ ΛΛΙΜΜΣΙΚΝΝΝΧΣΙΚΝΞΙΧΙΝΓΙΝ ΣΟΝΜΟΝΣΛΟΝΘΧΡΙΝΚΙΝΤΝΟΤΝΜΝΙΠΛΤΡΝ ΛΜΣΝΚΙΝΝΝΝΟΡΟΝΙΥΤΗ φκτν πλαΰηακπκδάαηνεθάν αθαφκλϊνκν ηκθϋζκν βμν γπλέαμν εδθτθκυνην έπζυλαν ΪζηααΝ εαδν κλέαην βν δαδεαέαν πζκθϊηακμ,ν βν υθϊλββ Gerber-Shiu,Ν βν λβάν κδεκΰϋθδαν εααθκηυθ,ν εαγυμν εαδν βθν ιέπβν Lundberg, Ν αυσν κν εφϊζαδκν γαν ΰέθδΝ αθαφκλϊν κυμν ηαξβηαδηκτμν Laplace εαδν δμν ζζδηηαδεϋμν αθαθπδεϋμν ιδυδμν κυνηκθϋζκυναυκτέ ΘαΝ ίαδκτην ευλέπμν Ν κλδηκτμν εαδν ΫθθκδμΝ πκυν παλκυδϊαην κν πλκβΰκτηθκν εφϊζαδκ,ν ΰδαΝ θαν υκυην κυμν ηαξβηαδηκτμν Laplace πθν πλκικφζβηζθπθν υθαλάπθνπκδθάμ εαδνπθνζζδηηαδευθναθαθπδευθνιδυπθνκυμέ 4.1 ΜαχβηαδηκέΝLaplace γδανδμνπλκικφζβηϋθμνυθαλάδμν Πκδθάμέ ΠλυαΝγαΝυκυηΝδμΝκζκεζβλκδαφκλδεΫμΝιδυδμΝΰδαΝδμΝ εαδν, δμνκπκδϋμν κλέαην κν πλκβΰκτηθκν εφϊζαδκν βν υπκθσβαν «ΗΝ υθϊλββν Gerber-Shiu». Θυηέακυη,ΝσδΝβΝ έθαδνβνπλκικφζβηϋθβνυθϊλββνπκδθάμνσαθνυηίαέθδνξλκεκπέαν εαδνπλκεαζέαδναπσνεϊπνϊζηαένθυ,ν έθαδνβνπλκικφζβηϋθβνυθϊλββνπκδθάμνσαθν υηίαέθδν ξλκεκπέαν εαδν αυάν πλκεαζέαδν απσν βθν εέθββν Brown. ΤπκγΫκυηΝ ππμν κδν εαδν έθαδντκνφκλϋμνυθξυμνπαλαΰπΰέδηβνΰδανκν κν,. ΞεδθυθαμΝηΝβθΝ, γπλκτηνβθνh, βνκπκέανγανέθαδνηέανηδελάναγλϊ,νη h >. 49
Σσ,ΝγαΝΫξκυη: = h h [ + h + h] +h+h + h h [ + h + h + + ( + h + h, h h) + +h+h + + h + h + ] + h. πσνδλϋμνtaylor, ΰδαΝβθΝ[ + h + h],νγανϋξκυη: [ + h + h] = + h + h + h. θδεαγδυθαμνβθν(ζέ1)νβθν(ζέβ) παέλθκυη, δαδλυθαμνεαδναντκνηϋζβνβμνιέπβμν ηνh εαδνγπλυθαμνππμ εααζάΰκυηνβνξϋβ: h, + = = + + +. σπκυ,ν =, +. ΜΝκθΝέδκΝλσπκ,ΝΰδαΝβΝ, εααζάΰκυηνβθναθέκδξβνξϋβ: + = = + + +. 50
ΜζΪηΝ ιξπλδϊν κν κζκεζάλπηαν + βμν (ζέγ)έν ΘυηέακυηΝ ππμν κν ηαξβηαδησμνlaplace ΫξδΝβΝηκλφάΝβμΝ(γέβ) εαδνηπκλένθανΰλαφένεαδνπμ:, = +, = = σπκυ,, =! { Έπδα,ΝεααζάΰκυηΝβθΝπαλαεΪπΝξΫβ: =, + } = =,! = =. βνκπκέανπλσεδαδνΰδανυθϊλββνπυεθσβαμνπδγαθσβαμνυθυαηκτνεααθκηυθνerlang. ΘΫκυη:, =, >, N +.! θαν υπκβζυθδν βν υθϊλββν πυεθσβαμν πδγαθσβαμν βμν Erlang ην παλϊηλκν. Σσ,Ν απσν(ζέ5)νεαδν(ζέ6)νπαέλθκυη: = + = + + =, =! = =,, = = = =, +, = = = =, [ +, ], = = σπκυ,νβν, έθαδνηέανυξαέανηαίζβάνηνυθϊλββνπυεθσβαμνπδγαθσβαμν,. 51
ΤπκγΫκυηΝσδ,,,,,, έθαδν κθναλδγησναθιϊλβμνεαδνδσθκημνυξαέμνηαίζβϋμ,νκδνκπκέμναεκζκυγκτθνβθν εγδεάνεααθκηάνηνηϋβνδηά: [, ] = Σσ,ΝβΝ, αεκζκυγένβθνέδανεααθκηάνηνβ, +, + +,. ΟλέακυηΝδμΝπαλαεΪπΝίκβγβδεΫμΝυθαλάδμ:,+ = [, +,+ ], =,,,, ΰδαΝδμΝκπκέμΝγαΝδξτδΝσδ:, = εαδ, = [ +, ] Σσ,ΝπαέλθκυηΝσδ:,+ =, + ΚΪθκθαμΝαζζαΰάΝηαίζβυθΝεαδΝγΫκθαμ = +, Ϊλα: = + = ΚαδΝαζζΪακθαμΝαΝσλδαΝκυΝκζκεζβλυηακμ: = < + + < 52
< ΠαέλθκυηΝβθΝπαλαεΪπΝιέπβ:,+ =,,+ =,. ΠαλαΰπΰέακθαμΝεαδΝαΝτκΝηΫζβΝβμΝ(4.7) πμνπλκμν,νγανϋξκυη:,+ = [, ],+ = lim,,,+ = lim,,,+ = lim,,,+ = lim,,,+ =,+,. πσνβθν(ζέ8)νεαδνηνδακξδεάναθδεαϊαβ,νεααζάΰκυηνβθμ = ( ),. σπκυ,ν έθαδνκνδαφκλδεσμνζάμνπμνπλκμν. Παλσηκδα,ΝσαθΝαθδκέξπμ,ΝγπλκτηΝβΝίκβγβδεάΝυθΪλββ:, + [ +, ], σ,νγανδξτδνσδ: + =,, = =. 53
εαδ = ( ),. ΘπλκτηΝυλα,ΝσδΝC + έθαδνκντθκζκνπθνηδΰαδευθναλδγηυθνηνηβναλθβδεσνπλαΰηαδεσν ηϋλκμ,νεαδνγανδξτδνσδ: C = {: C +, < }. Γδα C, γανφαλησκυηνηαξβηαδηκτμνlaplace δμν(ζέγ)νεαδν(ζέ9),νεαδνγανεααζάικυηνβθν παλαεϊπνξϋβ: [ + + + + ] =,, = =. εαδ = ( ), +,,. σπκυ,,, έθαδνπκζυπθυηδεάνυθϊλββνίαγηκτν. βνυθϋξδα,νγπλκτηνβνυθϊλββ: = =. θδεαγδυθαμν βθν (ζέ11)ν βθν (ζέ10)ν εαδν πκζζαπζαδϊακθαμν εαδν αν τκν ηϋζβν ην βθν (4.12),ΝεααζάΰκυηΝΰδαΝ C βθνπαλαεϊπνιέπβ: [ + + + ] =. σπκυ, = +, 54 = =,,.
εκζκυγυθαμνανέδανίάηαανΰδανδμν(ζέζ),ν(ζέ1ί)νεαδν(ζέ11),νΰδαν C κβΰκτηανβθν παλαεϊπνιέπβ: σπκυ, ΗΝ [ + + + ] = + +, = +, = =,,.,, έθαδνπκζυπθυηδεάνυθϊλββνίαγηκτν, βνκπκέανδεαθκπκδένβθνπαλαεϊπνξϋβ: = ( ), +,,. ΘυλβηαΝ1 ΓδαΝ C + κδν ηαξβηαδηκέν Laplace πθν εαδν έθκθαδν απσ δμν παλαεϊπν ξϋδμ: = + = + =, [ ] [ + + + ]. = + = + =, [ + + ] [ + + + ]. πσδιβ ΠαλαβλκτηΝσδΝβΝ εαδναντκνηϋζβνβμν(ζέ1β)νέθαδναθαζυδεϋμνΰδαν C +. ΘΫκυη =, =,,, +. 55
ΣσΝκΝαλδλσΝηΫζκμΝβμΝ(ζέ1β)ΝηβθέααδΝζσΰπΝκυΝΛάηηακμΝ1ΝεαδΝυθπυμΝγαΝΫξκυη: =. φσκθν έθαδνπκζυυθυηκνίαγηκτν, ηπκλένθανΰλαφένεαδνπμ: + + = = =, ζσΰπνκυνγπλάηακμνlagrange. φαλησακθαμνβθνπαλαπϊθπνηϋγκκνβθν(ζέ1β),νηαμνέθδν βθν(ζέ1γ)ένβθν(ζέ1ζ)νκβΰκτηαναεκζκυγυθαμνανέδανίάηααέ 4.2 ζζδηηαδεϋμν θαθωδεϋμν ιδυδμν γδαν δμν υθαλάδμν εαδν. Ν αυάν βθν θσβαν γαν αξκζβγκτην ην βθν αθϊπυιβν εαδν βθν παλκυέαβν πθν ζζδηηαδευθν αθαθπδευθν ιδυπθν πθν υθαλάπθν εαδν. ΘαΝ εααζάικυηνναυϋμνκλέακθαμνθϋμνϋθθκδμ,νσππμναυάνκυνζάνdickson-hipp. Ολδησμ Ο ζάμ Dickson-Hipp ΰδα ηέα πλαΰηαδεά υθϊλββ h έθαδ β υθϊλββ πκυ κλέααδ απσ βθ παλαεϊω χϋβμ h = h,. σπκυ, έθαδ Ϋθαμ ηβ αλθβδεσμ πλαΰηαδεσμ αλδγησμ (ά Ϋθαμ ηδΰαδεσμ αλδγησμ η ηβ αλθβδεσ πλαΰηαδεσ ηϋλκμ), Ϋδ υ κ παλαπϊθω κζκεζάλωηα θα υΰεζέθδέ ΠαλαβλκτηΝτεκζα,ΝσδΝΰδα βν(ζέ1η)νΰέθαδ: =, h = h 56
h = h h = ĥ βζαά,νεααζάΰκυηνκνηαξβηαδησνlaplace βμνυθϊλββμνh. ΟΝζάμΝ αεκζκυγένβθναθδηαγδεάνδδσβα,νβζαάνγανδξτδνσδ: εαδνπδζϋκθνΰθπλέακυηνσδ: = h = h h, Πλκξπλυθαμ,Ν βν ηζϋβν πθν ζζδηηαδευθν αθαθπδευθν ιδυπθν πθν εαδν,νγπλκτηνΰδανδεάνηαμνδυεσζυθβνβθνπαλαεϊπνξϋβ: + = = = + = =, Έπδα,ΝηπκλκτηΝθαΝαξκζβγκτηΝηΝβθΝτλβΝκζκεζβλπδευθΝιδυπθΝΰδαΝδμΝ εαδν. Θυλβηα 1 ΟδΝ πλκικφζβηϋθμν υθαλάδμν πκδθάμν εαδν δεαθκπκδκτθν δμν παλαεϊπν κζκεζβλπδεϋμνιδυδμ: = + = +.. 57
σπκυ, εαδν έθαδνκντηίκζκνβμνυθϋζδιβμέ + = +, + = =, = + = = πσδιβ φσκθνβν έθαδνπκζυυθυηκνίαγηκτν + ηνυθϋζβ σνβ + [ + ] =, + [ + ] έθαδνπκζυυθυηκνίαγηκτν πκυνδεαθκπκδέαδνΰδα =,,, +. + [ + ] = [ + + ] ζσΰπνκυνλάηηακμν1νκυνκφαζαέκυνγ. πσνκθντπκνπαληίκζάμνκυνlagrange παέλθκυη: + [ + + ] = [ + + ] = 58
Έδ,ΝγαΝΫξκυη: [ + + + ] = = + [ + +] [ + + ] = + = + = [ [ + + ] [ + +] ] = + = [ [ + + ] [ + +] + = + [ + +] ] = = + = [ + + + = + + + [ + +] ],. = ΠαλαβλκτηΝ σδν βν έθαδν ηέαν πκζυπθυηδεάν υθϊλββν ίαγηκτν εαδν σδν βν έθαδνπκζυπθυηδεάνίαγηκτν. Σσ,ΝτηφπθαΝηΝαΝπαλαεΪπ: = + = =, ( ) = { =, =, =,,,,., = βν(4.18)ναπζκπκδέαδνβθ: + [ + + ]. = ΠαλκηκέπμΝκΝαλδγηβάμΝβμ (4.13)ΝΰέθαδΝσππμΝπαλαεΪπ: + = = + =. 59
πσν(ζέβί)νεαδν(ζέβ1),νβν(ζέ1γ)νπαέλθδνβθνπαλαεϊπνηκλφά: = + = + + + + =. ΗΝ(ζέββ)ΝηπκλέΝθαΝΰλαφέΝεαδΝπμ: + = + + + + = + =. βνυθϋξδανϊθναθδλοκυηνκυμνηαξβηαδηκτμνlaplace βθν(ζέβγ)νκβΰκτηαν βθν(ζέ1θ). Ο αλδγηβάμνβμν(ζέ1ζ) ηπκλένθανΰλαφένεαδνπμ: + =,. = ζσΰπνβμν(ζέ1λ)νεαδνπδάνβν έθαδνπκζυυθυηκνίαγηκτν. θδεαγδυθαμνδμν(ζέβ1)νεαδν (4.24) βθν(ζέ1ζ)νπαέλθκυηβθνιάμνξϋβ: + = + + = + +. θδλϋφκθαμνκυμνηαξβηαδηκτμνlaplace βθν(ζέβη)νεααζάΰκυηνβθν(ζέ1ι). ΌαθΝέθαδ = =, Ϋξκυη: = + + εαδ = + 60
ΝαυάθΝβθΝπλέππβΝπαλαβλκτηΝππμΝκδΝιδυδμΝ(ζέ1θ)ΝεαδΝ(ζέ1ι)ΝπαέλθκυθΝβΝηκλφά βμνιέπβμ: = + = = h + h,. πκυ πλσεδαδ ΰδα βθ ιέπβ πθ Tsai εαδ Willmot χν generalizedν defectiveν renewal equationν forν theν surplusν processν perturbedν byν diffusion. εσηβ,ν κδν ιδυδμν (ζέ1θ)ν εαδν (ζέ1ι)ναπκζκτθνζζδηηαδεϋμναθαθπδεϋμνιδυδμνσαθν >. υσ,ντεκζα,νδαπδυθαδ,ναθνέικυηνππμν άναθέκδξα, πσνδμν(ζέ1κ)νεαδν(ζέβ1)νπαέλθκυηνσδ: < <. σπκυ,νΰδαν >,ΝΫξκυη: ΪθΝγΫκυη βθν(γέγ), = [ + + + ], + = = + < = + εαδντλανπαλαΰπΰέκυηνΰδαν,νσνίλέεκυη: + = = + + >, ζσΰπνβμνυθγάεβμνκυνεαγαλκτνεϋλκυμ (3.3). Οπσ,Νσαθ =, 61
απσνκθνεαθσθανκυνl ΝHospital, παέλθκυη: ΪθΝγπλάκυηΝπυμ εαδ = = = lim + + = = + + = = = + <, = +, <. σ,ν βν έθαδν ηέαν εααζζάζβν εααθκηάέ Έδ,Ν κλέακυην βν υθϊλββν βμν τθγβμν ΰπηλδεάμΝεααθκηάμΝ η σπκυ, =, = + ( + ), = = έθαδνβν-δκάνυθϋζδιβνβμνυθϊλββμνεααθκηάμν, ηνκθναυσνβμέ Έδ,ΝβΝ(ζέ1θ)ΝεαδΝ βν(ζέ1ι)νΰλϊφκθαδνπμ: = + +, = + +. Σσ τηφπθα η κ παλαεϊπ γυλβηα πθ Lin εαδ Wilmot χnalysisν ofν aν defectiveν renewalνequationνarisingνinνruinνtheory,νκδ υθαλάδμ εαδ έθκθαδ απσ κυμ παλαεϊπ τπκυμ: 62
= = + + +, +, ΠαλαεΪπΝπαλαγΫκυηΝκΝγυλβηαΝπκυΝπλκαθαφΫλαηΝηΝβθΝαπκδιάΝκυέ ΘυλβηαΝ2 ΘπλκτηΝβθΝπαλαεΪπΝζζδηηαδεάΝαθαθπδεάΝιέπβ: = + +,, +. σπκυ, > εαδ = έθαδνβνυθϊλββνεααθκηάμνην = εαδ έθαδν υθξάμ,ν ΰδαΝ. ΟλέακυηΝ βν υθϊλββν εααθκηάμν βμν τθγβμν ΰπηλδεάμΝπμ: =, σαθ = + ( + ), = σπκυ,ν έθαδνβνκυλϊνβμν-δκάμνυθϋζδιβμνβμν. ΗΝζτβΝβμΝ(ζέβκ)ΝηπκλέΝθαΝΰλαφέΝπμ: = + +. 63
άνθαζζαεδεϊνπμ: = +. ΪθΝβΝ έθαδνπαλαΰπΰέδηβ,νσνβ ΰλΪφαδΝσππμΝπαλαεΪπ: = +,. πσδιβ ΟΝηαξβηαδησμΝLaplace βμν κλέααδνσππμνπαλαεϊπ: =. ΣσΝκΝηαξβηαδησμΝδaplaceΝβμΝ έθαδνκ: = + = = +. εσηβνγανδξτδνσδ: =, ΚαδΝπέβμΝΰθπλέακυηΝσδ: =. ΣσΝβΝ(ζέβκ)Νΰέθαδ: = +,. πσν(ζέγβ)νϋξκυη: = +,. 64
κπσναπσν(ζέγγ)νεαδν(ζέγζ)νπαέλθκυη: =. ΜΝ αθδλκφάν κυν παλαπϊθπν ηαξβηαδηκτν Laplace εααζάΰκυη βθν (ζέβλ). ΟζκεζβλυθκθαμΝβθΝ(ζέβλ)ΝεαΪΝπαλΪΰκθμΝίλέεκυηΝβθΝ(ζέγί). θαζυδεϊνγανέθαδ: = = = = + = = +.. πδβηαέθκυηνσδ = +. ΣσΝαπσΝ(ζέβλ),Ν(ζέγη)ΝεαδΝ(ζέγθ)ΝΫξκυηΝπμΝιάμ: = [ + + ] + + = = + + + + = = + + + + = = + + + = = + = + + = + + + = + 65
= + πκυνέθαδνβν(ζέγί)νεαδντεκζανηαναπκδεθταδνεδνβν(ζέγ1). 66
ΚΦΛΙΟΝη ΤΜΠΣΧΣΙΚΝΠΟΣΛΜΣΝΚΙΝΝΛΤΣΙΚΝ ΛΤΙΝΓΙΝΣΙΝΤΝΡΣΗΙ GERBER-SHIU 5.1 υηπωδεϊνπκζϋηαανγδανβθνπδγαθσβανυλκεκπέαμέ ΟδΝζζδηηαδεΫμΝαθαθπδεΫμΝιδυδμΝ(ζέ1θ)ΝεαδΝ(ζέ1ι)ΝπκυΝκλέαηΝεαδΝηζάαηΝκΝ πλκβΰκτηθκν εφϊζαδκ,ν ηαμν ίκβγκτθν θαν ιϊΰκυην αυηππδεϊν απκζϋηααν ΰδαΝ βθν πδγαθσβαν ξλκεκπέαμ,ν βθν πλέππβν σπκυν αν εϊπν ΪζηααΝ αεκζκυγκτθν εααθκηάν ην ίαλδϊνκυλϊέ πσνυνεαδνπϋλανγανγπλκτηνσδ =. εσηβ,νγανΰλϊφκυηνσδ: ~, σαθ lim =, σπκυ, εαδ έθαδντκνυθαλάδμνΰδανδμνκπκέμνγανδξτδ:, >. Μέα εααθκηά κν[, γανέθαδνυπκεγδεάνεαδνγανυηίκζέααδναπσ, εαδνΰδανβθνκπκέανγανδξτδνσδ: ~. 67
πέβμ,νηέανεααθκηάν κν[, γανζϋηνσδνϋξδνηαελδϊνκυλϊνεαδνγανυηίκζέααδναπσ L, σαθ, + ~, >. ΟδΝΪιδμΝ εαδ L πλδϋξκυθνεααθκηϋμνηνίαλδϊνκυλϊνεαδνηαιτνκυμνγανδξτδνσδ: L. ΠλσεδαδΝ θαν ηζάκυην ΪιδμΝ εααθκηυθν ηβν αλθβδευθν υξαέπθν ηαίζβυθ,ν ΫκδμΝ υ: =, >. ΣδμΝαπκεαζκτη,ΝσππμΝαθαφΫλαηΝπαλαπΪθπΝεααθκηΫμΝηΝίαλδΪΝκυλΪέ ΣΫκδμΝεααθκηΫμΝ ΰδαΝπαλΪδΰηαΝέθαδ κδ: Log Normal, Pareto εαδ Weibull. Oλέακυη: = lim, σπκυ, = log ΪθΝβΝ ΫξδΝυθξάΝπυεθσβα,ΝσΝβΝ έθαδνδαφκλδεάνεαδνδξτδνσδ: = εσηβ,νγπλκτηνππμνΰδανδμνεααθκηϋμνπκυνηζϊηνέθαδ: εαδ R + =. 68
ΘυλβηαΝ1 ΪθΝΫξκυηΝσδ: =, σνβν ΫξδΝίαλδΪΝκυλΪέ πσδιβ ΤπκγΫκυηΝσδ: =. Σσ, lim =. Οπσ, > > ΫκδκΝυ, ό. Tσ,ΝΰδαΝεΪπκδκ > Ϋξκυη, ό εαδνϋδ =, ό.. Έφσκθ,ΝκΝ > έθαδναυγαέλανκλδηϋθκ,νβν(ηέ1)νδξτδνΰδανσζανα >, πλϊΰηανκνκπκέκνβηαέθδνππμνβν έθαδνεααθκηάνηνίαλδϊνκυλϊέ 69
Παλαάλββ ΓδαΝηέαΝεααθκηά ηνίαλδϊνκυλϊνϋξκυη: lim =, ό >, Λάηηα 1 Ολέακυη + = + +. εαδ + = + +. θανέθαδνβνεααθκηάνδκλλκπέαμνεαδνβνυθϊλββναπκυξέαμνβμν +. Ϊθ +, ώ εαδ +, σ. πσδιβ ΗΝκυλΪ βμνεααθκηάμν έθαδνβ: = εαδνέθαδναπσνκθντπκ: 70
= = + + + = = + = [ Έξκυη,ΝζκδπσθΝ,ΝαπσΝ(ηέβ)ΝεαδΝ(ηέζ): κνκπκέκνέθδνκ = + + + + + = + = ].. + +, ΓθπλέακυηΝσδΝσαθ σ +, ώ. +, ώ, + L. πδβηαέθκυη,νσδνβν + έθαδνφλαΰηϋθβ,νσαθνκν έθαδναλεϊνηΰϊζκ,νεαδνσδ: +,. πσνκνγυλβηανβμνευλδαλξκτηθβμντΰεζδβμνεααζάΰκυηνανιάμ: = lim = lim πσνκθνεαθσθανκυνl Hospital Ϋξκυη: + lim + = + + 71 = + + + + + =. =
lim + + = + + = lim +. ΘαΝέικυηΝσδΝκΝπαλαπΪθπΝσλδκΝέθαδΝέκΝηΝίέ πσν(ηέη)νεαδνπδά + L, ΰθπλέακυηΝσδ, < <,, >, ΫκδκΝυ,Νσαθ θανέθαδ: πδβηαέθκυηνσδ >, + = + = + + + < +. + + <, σ, + + + + + + + + + < + < + + + +( ). + ΟΝ τλκμν σλκμν βμν ζυαέαμν ΰλαηηάμΝ βμν παλαπϊθπν ξϋβμν έθδν κν ί,ν εαγυμν κν, πδάνβν + έθαδνεααθκηάνηνίαλδϊνκυλϊένέδ,νκνσλδκνβθν(ηέη)νέθαδνίέ 72
ΣζδεΪ,ΝαπσΝ(ηέζ)ΝγαΝΫξκυη: lim + = = + + =, = κνκπκέκνέθξδνσδν. Παλαάλββ πσν δμν εααθκηϋμν ην ίαλδϊν κυλϊ,ν πκζζϋμν έθαδν αυϋμν πκυν ξλβδηκπκδκτθαδν υλϋπμν βθν ΘπλέαΝΚδθτθπθΝεαδΝδεαθκπκδκτθΝδμΝυθγάεμΝκυΝπαλαπΪθπΝΛάηηακμέΝΣΫκδμΝέθαδΝκδ: Pareto, Burr, Log Normal εέαέ ΜΝ κν γυλβηαν πκυν παλαγϋκυην βν υθϋξδα,ν γαν ηζάκυην βθν αυηππδεάν υηπλδφκλϊνβμνπδγαθσβαμνξλκεκπέαμέ Θυλβηα ΤπσΝδμΝυθγάεμ κυνλάηηακμν1,νϋξκυηνσδ: + ~~ +. + +. Άπσδιβ πσ βθν(ζέ1θ)νΰδαν παέλθκυη: = + +. 73
σπκυ, = [ + + + = = = + ]. Έπδα,Ν γαν έικυην σδν βν έθαδν αυηππδεϊν αθϊζκΰβν βθν +. ΓδαΝ θαν εααζάικυην Ν αυσν κν υηπϋλαηα,ν πλυαν γαν πλπδν θαν κζκεζβλυκυην εαϊν παλϊΰκθμένοπσ,νγανϋξκυη: + = [ ( ) + ].. Έπδα,ΝδαδλυθαμΝηΝΝ + εαδνφαλησακθαμνανσλδα, εϊθκυη δνπλϊιδμνβθν(ηέλ)νεαδ Ϋξκυη: lim + + = = lim [ ( ) + ] = + ( ) + = lim = + ( ) + = lim lim + + = =,. πδάν +. φαλησακθαμνιαθϊνκζκεζάλπβνεαϊνπαλϊΰκθμνϋξκυη: + = = + = = + + + = 74
= [ + + + +]. + πσν κθν εαθσθαν κυν L Hospital εαδν κν γυλβηαν βμν ευλδαλξκτηθβμν τΰεζδβμ,ν βν υθϋξδανγανϋξκυη: lim + = + = lim Οπσ,ΝζδεΪΝγαΝδξτδΝβΝπαλαεΪπΝξΫβ: + + = + = lim + + + + + = + =. lim + + = + [[ ( ) + ] + ] = lim = πσνδμνξϋδμν(ηέ11)νεαδν(ηέ1β)νίλέεκυηνσδ: + =.. lim + + =, βνκπκέαννυθυαησνεαδνηνβθν(ηέ1ί)νηαμνέθδνβθνπαλαεϊπνιέπβ: lim + = + = =.. πσ κ Θυλβηα 3.1 πθ Yin εαδ ZhaoμΝ Nonexponential asymptotics for the solutions of renewal equations, with applicationsέ,ναπσ κ Λάηηα 1 εαδ απσ δμ ξϋδμ (4.27) εαδ (5.13) εααζάΰκυηνανπαλαεϊπ: ~ + ~ +. + + + 75