ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Ενότητα: Ανάπτυγμα σε Σειρά Fourir Ιωάννης Στυλιανού Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

B B B B Αθροισµα ηµιτονοειδ ων ορων Η σχ εση "! # &%"' δηλ ωνει οτι οταν προσθ ετουµε ηµιτονοειδ η σ ηµατα που σχετ ιζονται αρµονικ α, δηλ. που περι εχουν συχν οτητες οι οπο ιες ε ιναι ακ εραια πολλαπλ ασια µιας θεµελι ωδους (βασικ ης) συχν οτητας ( *) προκ υπτει ενα σ ηµα περιοδικ ο µε περ ιοδο:,. ( που δεν περιγρ αφεται οµως οπως προηγουµ ενως ως ενα απλ ο ηµ ιτονο, αλλ α ως ενα αθροισµα ηµιτονοειδ ων ορων. Παρ αδειγµα: Εστω: τ οτε το σ ηµα 0/ 21 3 4 5 768:9 0=<>=*= 3 4 5 68:9 0=<A@**= C >D θα ε ιναι περιοδικ ο µε περ ιοδο =* / 21 (Σχ. 1). Πρ αγµατι τα σ ηµατα και εχουν συχν οτητες J@:KGFLH αντ ιστοιχα, που ε ιναι αρµονικ α συσχετισµ ενες, δηλ. ε ιναι ακ εραια ( E=*GFIH και ( πολλαπλ ασια µιας βασικ ης συχν οτητας: ( ( *) ( M ( K) οπου ( NO=KCFIHQP Αν στα παραπ ανω 7 6 (a) 5 4 3 (b) 2 1 0 (c) 1 0 0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.0125 0.015 0.0175 0.02 Tim in sc. RTSVUKWYX"Z K[]\ ^` abdc\fg hq\jik h*bylm\fn hq\jobpc\fgyqrbylm\fn σ ηµατα προσθ εσουµε το σ ηµα ps* 3 Gt5s 68:9 0=<>u=KK τ οτε το σ ηµα 3 C ŸI ds& θα ε ιναι περιοδικ ο µε περ ιοδο K / `1 (Σχ. 2) επειδ η η συχν οτητα ( KGFLH ε ιναι τ ωρα η µ εγιστη συχν οτητα που διαιρε ι ακ εραια ολες τις συχν οτητες των σηµ ατων που προσθ εσαµε. Σηµει ωστε οτι η συχν οτητα ( KGFIH ε ιναι ο Μ εγιστος Κοιν ος ιαιρ ετης (ΜΚ ) ολων των συχνοτ ητων που προσθ εσαµε. ( 2v ( vwwmwv ( πλ εον ενα περιοδικ ο σ ηµα. Οταν οι συχν οτητες των σηµ ατων που προσθ ετουµε δεν σχετ ιζονται αρµονικ α, τ οτε το αθροισµ α τους δεν ε ιναι Ας δο υµε το φασµατικ ο περιεχ οµενο των σηµ ατων που µ ολις αναφ εραµε Gy5 768*9 z{<>=*= }5 68*9 z{<a@:k= Ä}5,s 68*9 0{<>uKKK

B B B 5 5 B B 7 (a) 6 5 4 (b) 3 2 1 0 (c) 1 RSVUKWQX Z οπου αυθα ιρετα διαλ εγουµε[ Χρησιµοποι ωντας την αντ ιστροφη σχ εση G 5 0 0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.0125 0.015 0.0175 0.02 Tim in sc. []\ ^2bk~`\fn\jikT Kc\fg bpc\fgyqrbylm\fn hp\jot 2lm\fg *c\fnyqibk~m\fg ƒ 5 ƒ 5sKP WY VZX ) το σ ηµα!= " % K!K " % "!{ˆ " % * "!{ˆ % > και το φ ασµα πλ ατους φα ινεται στο σχ ηµα 3 P Σηµει ωστε οτι το φ ασµα φ ασης ε ιναι για κ αθε συχν οτητα µηδενικ ο. γρ αφεται ως[ 5 s "!= % * "!= % Αν χρησιµοποι ησουµε µη µηδενικ ες A3/2 A3/2 A1/2 A1/2 A2/2 A2/2 500 400 200 0 200 400 500 f(hz) RTSŠU*WYX ZŒ [ Φ ασµα πλ ατους του l \fg a φ ασεις π.χ. Ž * u=< v Ž t < και Ž s KV < αντ ιστοιχα για τα σ ηµατα v και s 3 ) τ οτε το ν εο σ ηµα ) B s 3 ) που θα προκ υψει απ ο την πρ οσθεσ η τους θα ε ιναι επ ισης περιοδικ ο µε περ ιοδο 2 & KC/ 21 αλλ α θα διαφ ερει πολ υ στο χρ ονο απ ο το σ ηµα 3 P Πρ αγµατι, στο σχ ηµα 4 3* εχουµε σχεδι ασει το σ ηµα οπου τα σ ηµατα )7 ) και s εχουν µηδενικ ες φ ασεις, και στο σχ ηµα 4 d εχουµε σχεδι ασει το σ ηµα s οπου τα σ ηµατα )p ) και s εχουν ΜΗ µηδενικ ες φ ασεις. Παρατηρε ιστε π οσο διαφορετικ α ε ιναι στο χρ ονο, αν και εχουν το ιδιο φ ασµα πλ ατους. Εποµ ενως, η φ αση εν ος σ ηµατος ειναι αρρηκτα δεµ ενη µε τη χρονικ η δοµ η εν ος σ ηµατος.

½ ½ ½ 8 (a) 6 4 2 (b) 0 2 4 0 0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.0125 0.015 0.0175 0.02 Tim in sc RTSVUKWYX"Z @ [\ ^2 2l`\fg Αθροισµα σηµ ατων µηδενικ ης φ ασης \jik `~`\fg Αθροισµα των ιδιων σηµ ατων οπως στο \ ^2 αλλ α µε φ ασεις µη µηδενικεςa ιαµ ορφωση συχν οτητας š œ]ÿž œ «ªNž ` Œ ±kỹ³² Μ εχρι τ ωρα βλ επαµε σ ηµατα που οι συχν οτητ ες τους ηταν χρονικ α αµετ αβλητες. Σε αυτ η τη παρ αγραφο θα δο υµε σ ηµατα των οπο ιων η συχν οτητα µεταβ αλλεται γραµµικ α ως προς το χρ ονο. Τα σ ηµατα αυτ α λ εγονται σ ηµατα σειρ ηνας 6µ SVX 9 SVUK 9 και ε ιναι µια ειδικ η κατηγορ ια σηµ ατων διαµορφωµ ενων κατ α συχν οτητα. Υπενθυµ ιζουµε τους ορους φ αση και φ αση µετατ οπισης. Σε ενα σ ηµα 3 Cy5 68*9 0{< ( Ž το ορισµα του συνηµιτ ονου 3 ¹{< ( Ž ) ονοµ αζεται φ αση του σ ηµατος ) εν ω Ž ) ονοµ αζεται η φ αση µετατ οπισης. Ονοµ αζουµε στιγµια ια συχν οτητα: ({º G {<¼ Εποµ ενως το σ ηµα T ) εχει σταθερ η στιγµια ια συχν οτητα: ({º C {<«( Για γραµµικ α ως πρ ος το χρ ονο µεταβαλλ οµενη συχν οτητα το πολυ ωνυµο της φ ασης θα πρ επει να ε ιναι δευτ ερου βαθµο υ: οπου ¾ ονοµ αζεται σταθερ α διαµ ορφωσης. Οπ οτε Cy{<A¾ {< ( A> Ž @*<A¾ {< ( Σε κ αθε χρονικ η στιγµ η )Y º ) η στιγµια ια συχν οτητα θα µεταβ αλλεται γραµµικ α: ( º G {< Gy=¾ A ( Παρ αδειγµα: Θ ελουµε να δηµιουργ ησουµε ενα σ ηµα σειρ ηνας, του οπο ιου η στιγµια ια συχν οτητα να µεταβ αλλεται απ ο ( ykkgflh σε ( y KGFIH σε χρ ονο / 21 P

½ Â % Ã Η στιγµια ια συχν οτητα ε ιναι: ( º 4 ( ( > ( {*=A}KK Η φ αση του σ ηµατος θα δ ινεται απ ο το ολοκλ ηρωµα: οπου το Ž ε ιναι τυχα ια σταθερ α. 3 Á {< ( º 3Ã7 =< u=g {<ÄKK=7 Ž Οταν το φασµατικ ο περιεχ οµενο (πλ ατη, φ ασεις, συχν οτητες) των σηµ ατων που αναλ υουµε δεν µεταβ αλλεται µε το χρ ονο το φ ασµα πλ ατους και φ ασης αρκε ι για να περιγρ αψει τα σ ηµατα. Μια τ ετοια παρ ασταση δεν αρκε ι για τα σ ηµατα που εξετ αζουµε εδ ω. που λ εγεται: Χρ ονου Συχν οτητας 3Å SVÆZÇnRYX"ZmÈ:WYZ 6É Για τ ετοιου ε ιδους σ ηµατα χρησιµοποιο υµε µια παρ ασταση οπου µπορε ι ε υκολα να παρουσιασθε ι η αλλαγ η της συχν οτητας ως προς το χρ ονο. Σε αυτ ην την παρ ασταση ο χρ ονος ε ιναι ο οριζ οντιος αξονας και η συχν οτητα ο κατακ ορυφος αξονας. Η κατανοµ η της εν εργειας ( η της ισχ υος) του σ ηµατος αναπαριστ αται σε εναν τρ ιτο αξονα κ αθετο προς αυτο υς του χρ ονου και της συχν οτητας. Συν ηθως οµως χρησιµοποιο υµε χρ ωµατα για την αναπαρ ασταση της εν εργειας εχοντας αντιστοιχ ησει το µα υρο χρ ωµα σε χαµηλ η εν εργεια εν ω το κ οκκινο σε υψηλ η εν εργεια. Ενα παρ αδειγµα αναπαρ αστασης Χρ ονου Συχν οτητας δ ιδεται στο σχ ηµα 5. Αναπαριστ α το σ ηµα σειρ ηνας που µ ολις δηµιουργ ησαµε. Στο σχ ηµα 6 εχουµε σχεδι ασει τα πρ ωτα δε ιγµατα του σ ηµατος αυτο υ στο χρ ονο. Παρατηρ ηστε πως αλλ αζει η συχν οτητα του σ ηµατος µε την π αροδο του χρ ονου. Για 3000 2500 Frquncy 2000 1500 1000 500 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Tim RTSVUKWYX"Z u [ Αναπαρ ασταση Χρονου Συχνοτητας για ενα σ ηµα σειρ ηνας µε αρχικ η συχνοτητα ÊË`Ë>Ì«Í τελικ η ÊmÎ`ËmËÌ«Í a ι αρκεια: Î`ÏÐÑÒ σ υγκριση, δ ινουµε στο σχ ηµα 7 ενα ηµιτονοειδ ες σ ηµα δι αρκειας 9 Z 6 µε σταθερ η συχν οτητα *KKFLHQP @

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.05 0.1 0.15 Tim in sc. RTSVUKWYX"ZŒÓ [ Ενα σ ηµα σειρ ηνας στο χρ ονο. 6000 5000 4000 Frquncy 3000 2000 1000 RTSŠU*WYX Z 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Tim in sc. [ Αναπαρ ασταση Χρ ονου Συχνοτητας για ενα σ ηµα σταθερ ης συχν οτητας Î`ËmË`Ë`Ì«Í a u

Ô ( ( ( Ô Ô Σ ηµατα και Ν οτες Ενα σ ηµα το οπο ιο µας ε ιναι πολ υ οικε ιο και οπου οι συχν οτητες του σ ηµατος αλλ αζουν ως συν αρτηση του χρ ονου ε ιναι η µουσικ η. Οι ν οτες δεν ε ιναι παρ α ηµ ιτονα κ αποιας συχν οτητας. Για παρ αδειγµα η ν οτα ΛΑ της τ εταρτης οκτ αβας ε ιναι ενα ηµ ιτονο µε συχν οτητα @K@:KFIH εν ω το ΝΤΟ της ιδιας οκτ αβας εχει συχν οτητα Ó FIHdP Μια οκτ αβα περι εχει 12 ν οτες: Ντο Ντο# Ρε Ρε# Μι Φα Φα# Σολ Σολ# Λα Λα# Σι, οπου # σηµα ινει δ ιεση. Ο λ ογος της συχν οτητας µιας ν οτας προς τη συχν οτητα της αµ εσως προηγο υµενης ε ιναι σταθερ ος και ισος µε Ô P Για παρ αδειγµα: %3Õ Ö %3Õ (= º ({ØQÙ Ö Επ ισης η πρ ωτη ν οτα µιας οκτ αβας, µε την πρ ωτη ν οτα της εποµ ενης οκτ αβας εχουν λ ογο ισο µε 2. ηλαδ η ε ιναι αρµονικ ες. Ας παραστ ησουµε τις ν οτες µιας οκτ αβας µε: Ú v Ú vmwwmwv Ú επ οµενης οκτ αβας µε Ú s*p Τ οτε µε οσα ε ιπαµε: Ú Ú Ô v Ú s Ú Ô v>www Ú s Ú ÔÜÛ Ú s Ú Οµως απ ο τα παραπ ανω ξ ερουµε οτι: Ú s y Ú P Εποµ ενως: ÛÞÔ ßµ ÛÞÔÄà K *uká*u και την πρ ωτη ν οτα της Γνωρ ιζοντας την τιµ η του Ô µπορο υµε να βρο υµε τη συχν οτητα σε â,ã που αντιστοιχε ι σε κ αθε ν οτα αν εχουµε µ ια ν οτα ως αναφορ α. Στη µουσικ η αυτ η η ν οτα ε ιναι η Λα της @*äå οκτ αβας που αντιστοιχε ι στη συχν οτητα @K@:GFIHdP Το πι ανο εχει συνολικ α 88 πλ ηκτρα και η ν οτα αναφορ ας, Λα, ε ιναι το 49 πλ ηκτρο, εν ω η ν οτα Ντο της ιδιας οκτ αβας ε ιναι το πλ ηκτρο 40. Γνωρ ιζοντας τη συχν οτητα αναφορ ας, η ν οτα Ντο της @:äå οκτ αβας θα εχει συχν οτητα: (2èYé &ê ˆ ˆ"ë"ì ß à Ó =FLH ]æpç Στο σχ ηµα 8 φα ινονται τα πλ ηκτρα απ ο το Ντο της äå Ó οκτ αβας (πλ ηκτρο 28) µ εχρι το Σολ της äå οκτ αβας (πλ ηκτρο 71). Εποµ ενως, για να βρο υµε τη συχν οτητα µιας ν οτας µε αριθµ ο πλ ηκτρου í δεν εχουµε παρ α να εφαρµ οσουµε τη σχ εση: οπου ( èyé @K@:GFIHdP ({î ( èyé &ê î ˆ"ë"ì ß Στο σχ ηµα 8 εµφαν ιζονται επ ισης οι αξ ιες µιας ν οτας. Αυτ ες καθορ ιζουν τη δι αρκεια του ηχου. Ó παρ αδειγµα, αν εµε ις θελ ησουµε κ αθε τ εταρτο ν οτας (1/4) να ε ιναι δι αρκειας Kïr/ `1 ) τ οτε η ολ οκληρη ν οτα θα ε ιναι @«ð Ó KŒ{@**ïr/ 21 Ó και κ αθε ογδοο (1/8) θα ε ιναι: * KGï / 21 Το σχ ηµα 9 δε ιχνει την αναπαρ ασταση Χρ ονου Συχν οτητας για τις ν οτες: Ντο, Ρε, Μι, Φα, Σολ, Λα, Σι, της @ äå Ó οκτ αβας, κ αθε ν οτα εχει αξ ια 1/4 και δι αρκεια KKï / 21 zk Για Ó

4 ΟΚΤΑΒΑ Ντο# Ρε # Φα# Σολ# Λα# 29 31 41 43 46 28 30 32 33 35 37 39 40 42 44 45 47 49 51 52 54 56 57 59 61 63 64 66 68 69 71 Αξια 1 Ντο Ρε Μι Φα Σολ Λα Σι 1/2 1/4 1/8 1/16 RTSŠU*WYX"Z Q[ Κ αποια πλ ηκτρα πι ανου, πεντ αγραµµο και αξιες. 1000 900 800 700 Frquncy (Hz) 600 500 400 300 200 100 RTSŠU*WYX Z á 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Tim in sc. [ Αναπαρ ασταση Χρονου Συχνοτητας για τις ν οτες: Ντο, Ρε, Μι, Φα, Σολ, Λα, Σι, της ñ2ò"ó οκτ αβαςa

[ [ æ Εχουµε δει οτι: γρ αφεται ως[ χρησιµοποι ωντας τη σχ εση του Το 3 T C WY ŠZmX ε ιναι περιοδικ ο µε περ ιοδο εξ ισωση 4 γρ αφεται ως: T C Σειρ ες Œž š œš, ( 3 Cú,u 68:9 0{< u :õö! % = ô< 1 /* C "ø "ø u * :õö * "! % 3@: / 21 Αν θ εσουµε και ùu *õö ) τ οτε η :ûzõ ü % Üý kû0õ ü % οπου ý ε ιναι ο συζυγ ης του P Σκοπ ος µας ε ιναι να βρο υµε µια σχ εση που συνδ εει τα µιγαδικ α πλ ατη και µε το σ ηµα P Πολλαπλασι αζουµε και τα δ υο µ ελη της εξ ισωσης (5) µε kû0õ ü % ) και ολοκληρ ωνουµε και τα δ υο µ ελη σε δι αστηµα µιας περι οδου, Οπ οτε: Yû0õ ü % Á T :ûzõ ü % þ ÿ &ûzõ ü % &û0õ ü % þ ÿ æ 3 kû0õ ü % Στην εξ ισωση (6) κ αναµε χρ ηση της σχ εσης ορθογωνι οτητας: ûzõ ü ê ì % αν αν Üý :ûzõ ü % &ûzõ ü % þ ÿ = zuk Ó Για τον υπολογισµ ο του απλ α ολοκληρ ωνουµε το σ ηµα σε δι αστηµα µιας περι οδου[ Á T þ ÿ ûzõ ü % þ ÿ ý ü ûzõ % þ ÿ 0á* Εποµ ενως: δηλαδ η το ε ιναι ισο µε τη µ εση τιµ η του σ ηµατος στη δι αρκεια µιας περι οδου, Αν γρ αψουµε το αρχικ ο σ ηµα (εξ ισωση (3)) σε µια πιο γενικ η µορφ η T Á T Á 5 }5 68*9 0{< ( > Ž 5 5 ûzõ ü % 5 ü ûzõ % =P * *

s τ οτε: οπου 5 v 5 u v Ž 5 5 < P T ü ûzõ % T και Ας δο υµε τ ωρα τι θα υπολογ ιζαµε ως πλ ατος σε µια συχν οτητα που δεν υπ αρχει στο σ ηµα T P παρ αδειγµα, στη συχν οτητα: ( ( [ Yûzõ ü % 5 T ü ûzõ % 5 ûzõ ü % þ ÿ 5 ü û0õ % ü û0õ % > 5 ý ü ûzõ % ü ûzõ % 5 ü ûzõ % 5 ý ü ûzõ % þ ÿ þ ÿ K Για Συµπ ερασµα: Αν µια συχν οτητα ( υπ αρχει στο σ ηµα 3 ) τ οτε η σχ εση: 5 3 "! # % δ ινει το πλ ατος 5 και τη φ αση Ž του σ ηµατος στη συχν οτητα ( P Αν, αντ ιθετα, η συχν οτητα ( δεν υπ αρχει στο σ ηµα ) τ οτε: 5 Τ ωρα µπορο υµε να γενικε υσουµε τα παραπ ανω: Ενα περιοδικ ο σ ηµα 3 µε περ ιοδο ε ιναι απερι οριστα µεγ αλο (π.χ. )): 3 C5 T! # % y @: G µπορε ι να αναπτυχθε ι σε αθροισµα ορων ( οπου 5 68:9 {< uk µπορε ι να Ž Ó οπου: 5 = 5 3 3 =< = Η σχ εση (16) ονοµ αζεται αν απτυγµα σε σειρ α Ú Ã Ô Ôr η Σ υνθεσηú Ã Ô Ô, εν ω οι σχ εσεις (17) ονοµ αζονται Αν αλυση Ú Ã Ô Ô. á

,. 0 @ % % % % @ æ ƒ ƒ æ % % % % οπου Παρ αδειγµα: Θ ελουµε να αναπτ υξουµε σε σειρ α Ú Ã Ô Ô το περιοδικ ο σ ηµα! } "} ε ιναι η περ ιοδος του σ ηµατος. Γραφικ α το σ ηµα T φα ινεται στο σχ ηµα 10. ` 1 0 To/2 To t 1 RTSŠU*WYX Z Ÿ #*< #*< # µß {< [ Το περιοδικ ο σ ηµα της Εξισωσης (18)a T {< =< C &%! #*<! ß Ct "ß g =< ß # {< {< '%! οµως: Εποµ ενως:! )( v ( v ( u vmwwmw (δηλ. περιττο υς) t v ( v (@ vmwwmw (δηλ. αρτιους), * #*< για )( για t αρτια v ( v ( u vwmww η[ *. < < για /( για αρτια v ( v ( u vwwmw Απ ο το παραπ ανω αποτ ελεσµα προκ υπτει οτι: 5 Ž @K< 0 για περιττ α < 21 και περιττ α < ]D<Lú< ƒ και περιττ α

3 @ 3 @ 3 Αν για παρ αδειγµα E K@/ `1 τ οτε ( KuFIH. ηλαδ η το φ ασµα συχνοτ ητων θα περι εχει µη µηδενικο υς ορους στις συχν οτητες: ( KuKFIH v ( v Ku=FIH v ( Ku{FIH v κ.λ.π. Το φ ασµα πλ ατους και φ ασης δ ινονται στα σχ ηµατα 11 και 12 P Εποµ ενως το 3 µπορε ι να γραφτε ι ως: o o o o o o 125 75 25 25 75 125 f(hz) RSVUKWQX Z 0 K*[ Φ ασµα πλ ατουςa π/2 o o o 25 75 125 o o o 125 75 25 0 f(hz) 4365 365 365 π/2 RSVUKWQX Z @ < [ Φ ασµα φ ασηςa < 87 %"' < 68:9 :9 < 9 SŠ 9 m @ < 9 SV 9 >M 9 SV 9 >Mu 9 SŠ zu 9 m wmww οπου σηµα ινει πραγµατικ ο µ ερος, 9 y{< και > v v v vmwww Στο σχ ηµα 13 εµφαν ιζουµε στο π ανω µ ερος την προσ εγγιση του σ ηµατος χρησιµοποι ωντας ορους απ ο το παραπ ανω αθροισµα. Στο κ ατω µ ερος του ιδιου σχ ηµατος σχεδι ασαµε το προσεγγιστικ ο σ ηµα χρησιµοποι ωντας ορους. Ε ιναι φανερ ο οτι οσο µεγαλ ωνουµε τον αριθµ ο των ορων που χρησιµοποιο υµε στη σειρ α Ú Ã Ô Ô τ οσο πιο µικρ ο θα ε ιναι το λ αθος προσ εγγισης. Επ ισης παρατηρο υµε οτι το προσεγγιστικ ο σ ηµα ταλαντ ωνεται γ υρω απ ο τις τιµ ες v. Αν και το πλ ατος αυτ ων των ταλαντ ωσεων µικρα ινουν καθ ως ο αριθµ ος των ορων στη σειρ α Ú Ã Ô Ô µεγαλ ωνει, ποτ ε δεν θα εξαφανιστο υν. Αυτ ο το φαιν οµενο το µελ ετησε ο <=>> / το 1899, και για το λ ογο αυτ ο το φαιν οµενο ονοµ αζεται φαιν οµενο <=>> /. < µ ονο K

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 (a) N = 3 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 (b) N = 10 RTSVUKWYX"Z [ Π ανω: αθροισµα 3 ορων της σειρ ας @BADC:EGF3ÐE. Κ ατω: αθροισµα 10 ορων της σειρ ας @BAGC:EDF3ÐE. Παρατηρειστε το φαιν οµενο H'FJIKIÏ a Αρτιο και περιττ ο µ ερος σ ηµατος Ενα σ ηµα ονοµ αζεται αρτιο, οταν: εν ω ονοµ αζεται περιττ ο οταν T g MLp T C!L7 Εστω T Cy5 N365 5 68*9 9 m Ž το αν απτυγµα σε Ú Ã Ô Ô του σ ηµατος 3 το οπο ιο γρ αφεται ισοδ υναµα ως: 3 C5, 35 5 K2 87:"% ' á* Αν στην παραπ ανω εξ ισωση το αντικατασταθε ι µε εχουµε: T g Cy5 365 5 {{ 87: %"' 0K* Προσθ ετωντας τις εξισ ωσεις (19) και (20) και χρησιµοποι ωντας την εξ ισωση του O ÃP Ô, πα ιρνουµε: 3 >D g yk5 K365 5 { 68*9 9 ` ' 0 Αν 3 ε ιναι αρτια συν αρτηση, δηλ. 3 Ct g, τ οτε η εξ ισωση (21) γρ αφεται: = 3 Á K5 KQ 365 5 { 68:9 :9 ' T 5, 365 5 68:9 Ž 68*9 9 0*K

! S Παρατηρο υµε οτι αν T, δηλαδ η αν το σ ηµα ηταν περιττ ο, τ οτε το αθροισµα στην εξ ισωση (21) θα ηταν µηδ εν. Απ ο τα παραπ ανω συµπερα ινουµε οτι οταν το σ ηµα 3 ε ιναι αρτιο, τ οτε περι εχει µ ονο συνηµιτονοειδ ης ορους (Εξ ισωση (21)). Αντ ιθετα, ενα περιττ ο σ ηµα δεν περι εχει συνηµιτονοειδ ης ορους. Αν αντ ι να προσθ εσουµε τις Εξισ ωσεις (19) και (20) τις αφαιρ εσουµε, θα προκ υψει: T G T g 4 35 35,R365 5 { 87 % 87 % ' 5 { G# 9 SŠ 9 m ' 5 T9 SV Ž 9 SV :9 0 Αν 3 ε ιναι περιττ ο σ ηµα, τ οτε: C¹ T και η Εξ ισωση (23) γρ αφεται ως: { T Á,R365 5 9 SŠ Ž 9 SV :9 3 365 5 9 SV Ž 9 SV 9 0=@: Συµπ ερασµα: Ενα αρτιο σ ηµα περι εχει µ ονο συνηµιτονοειδ η ορους (Εξ ισωση (22)), εν ω ενα περιττ ο σ ηµα εχει µ ονο ηµιτονοειδ η ορους (Εξ ισωση (24)). Κ αθε πραγµατικ ο σ ηµα T µπορε ι να γραφτε ι ως: = 4 3 >D g ô T Ü Û T 3 >D g 3 Ü g þ ÿ þ ÿ ST ê % ì õ ê % ì οπου U> 3 δηλ ωνει το αρτιο µ ερος εν ος σ ηµατος και! 3 δηλ ωνει το περιττ ο µ ερος εν ος σ ηµατος. Εποµ ενως κ αθε πραγµατικ ο σ ηµα T µπορε ι να γραφτε ι ως αθροισµα εν ος αρτιου και εν ος περιττο υ µ ερους: T Ct U >D Απ ο τα παραπ ανω και απ ο τις Εξισ ωσεις (22) και (24) προκ υπτει οτι κ αθε πραγµατικ ο σ ηµα µπορε ι να γραφτε ι ως: T Á T Á 5 N365 5 68*9 Ž 68:9 :9 þ ÿ 5 N365 5 N365 αρτιο µ ερος 3 V365 5 9 SV Ž 9 SV 9 þ ÿ περιττ ο µ ερος 5 68:9 Ž 68*9 9 9 SV Ž 9 SV 9 " Û 5 68*9 9 Ž η οπο ια ε ιναι η σχ εση που µ εχρι τ ωρα χρησιµοποι ησαµε ως αν απτυγµα εν ος πραγµατικο υ περιοδικο υ σ ηµατος σε σειρ α Ú Ã Ô Ô. Στο σχ ηµα 14 δε ιχνουµε το αρτιο και περιττ ο µ ερος εν ος σ ηµατος 0*uK

@ A (t) t (t) A/2 Αρτιο t (t) A/2 Περιττο RTSVUKWYX"Z [ Αρτιο, b:w7\fn, και περιττ ο µερος, b:xq\fn, ενος πραγµατικο υ σ ηµατος b7\fn a t @

u ~ u a B a! #"%'&)(*,/.0&"1.32546(,/789:7'/.3254 <'9=7'7)>A@CBD2575. E=F@CBG7H&(&5IJ77K/7('%LM &'KN75.M*O *P.Q,%46RS'TVUXWZYPU[ >F@CB]\ E=F@CBt\ v&/ƒ'ƒ7(ƒ7m.q45 %&'KN7 7 "%'& <'9:7'P7 =O(75IJ,/K%&'9:*/[ \ >F@CB EkA@CBC '@ ^vuv P '@ š a^v bd g:i ažbd :i bd g:i ^ f u \ ^vuvc=a bd ^ f u f :i \ ^vuvc=a bd ^ f u f ` :i = >F@CB EkA@CBC '@ \ ^vuvacbd :i (&5)254K/79:*,/<LM!K (7,%7254!c71&1%<1!K[ ^`acbd ^ fkj S'lmonpq@kasr f B :i uvawbd j S'lmzy{pq@ka} ~ % g:i >F@CBˆE=F@CB 2575.'&1ƒ'&2ƒ L,%ŠK%&'KN7 & 7(&1%Œƒ*! 9=7 *9kIJ7 (*,/IŽ&"%& a uvkbd ^ f j S'lmonpX@œasr f Bˆ @ :i j S'lmFy{pq@ka} Bˆ '@ š j S'lmŸnpX@kasr f B j SLlFy{pX@œa# P j S'lm npx@kasr f a} f Bœa ^ f u f j S'lmŸr f f B j SLlmor f f B BC '@ j S'lmor f f BPO '@ º 7K >A@CB\EkA@CB %* j S'lonpX@kasr f B j S'lmzy{pq@ka} Bˆ @ª\ «: y± \²n j f y³\²n S'lmonpX@œasr Bˆ @ª\ 8.Q7H2 4%µ:* n j S'lmŸ 5B j S'lŸ!B¹\ ^` \ uv ^ f \ u f r f \ f 8.Q7{254%µ=*¼n:½G%M.M )(7,%7(4K%cM Œ (75I¾,%K%*. % )9=&,% M<[ j SLlmŸ a} Bœa j S'lmz!B = > /A@CBC '@\²^` a bd :i ^ f ~ŸÁ'

[ \ \ \ ã ã ì Ò Ò a â Ò ~ ë ½ æ Ò i a ë â a Ò B ÂÃ*!Ä/IŽ *I0K%75.&}(*!,/I¾ M '9:&µ:*!Š,% '9:7ÅP&ÇÆÈLUXlCYÉ1ÈLÊv&}&(&5IË&s"%*PIË VK%*P.Ì( Í2 7'7K%Œ9:*75.` *K%Œ!,Î8*P.Q76P&6 <'9=7'& V/.0 ¼"/.Q45 M&,%* ' VK ~oál % 1Î* ¼npN½ v7,%45"%*.08v9=7 Ï 7K%7('%'Ä%&'9=*¼ * *P.Q,%4RS'TUXWÐYU& <'9=7[ >A@CB\lXWÐÑ ÒGA@CB (&56 (*,/IË&5"%& P&6 <'9=7'& *IÓK/75.V=Ì\ÕÔ Ø,% 'M.Q9=&(&5.3ŠKN75 % ) VŒ!M &6ÙTÊÐYPU 8.Q7'/I Ö 257.% )"/.3K/L9k.325<H *.Q,%4 [ lxwðñ A@CB\ÛÚhÜˆ Pß Ú1Þ1Ü A> EB Ò \à> Ò Çá > âheaäã1> E Çá > E5âa}E Ò 8,%4 :&'9:*/[ >F@CB¹\ lxwzñ Ò F@CBä\ å ˆ Ú Þ1Ü ß Çá Ú Þ1Üˆ aäã Ú Þ1Ü Bœaäã ãèç Ú Þ1Ü Çá j S'lê á @CBœaäã #ë j SLlê @CBCB >F@CB¹\ ë j S'lm @CBœa Âí*K%Œ!,Î8*P.Q76P&6 <'9=7'& *9=.Q7{(*,/IË&5"%&*IÓK/75.Ð[ = > /A@CBC '@\ Ô j S'l á @CB î lcwðñvïf@cbˆ '@\ Oá ˆ Ú Þ1Ü Ï,%7[ î ò >A@CB ò '@G\Ô ð3 'ñ ì á \ ð ëó1ô õm.q7 K%7 "%&5L9=* ( 2 7'7K%Œ9:*75.V *!K%Œ,Î8*.Q7 71%< *254/µ:*öML VK % 17 & <'9:7'P& /½ D% ' K % 17 'øèù ~Ÿú¼û 'K/.ËVÎŠ 7 Œ! V&'9=* *!K%Œ,Î8*.Q7[ Ô¼^ \ÕÔ ð á ã \ ü *!,ÎŠKN75 % èý57m.32 <þ ' VK % 17ž% LKÿ2575K%&'K/.325&(&5.Ž '9:ŒK% # ' VK % 17p \ ð á'á Ú Þ1Ü ðq 'ñ Bšé ì á ð Ú Þ1Ü ýƒœ(&'9=* /.& <'9=7 9:7 vœ! V*P./.Ë ` ' VK % 1Î* /[ p2575. á p DÎ ' VK % /P7 p&6 'KN%*ƒ*!V%<' % ' O *P.Q,%4 vrs'tuxwðyu Á

~ ~ ~ Á [ á Ô Ô Ô ½ a ì ì ì ó ~ *PIÓK%75.œ9= '"%Œ!K ^ i \ (*,/.QŒ! V*.% 6 ' VK % /P7 po& <'9:7 4,%7è"%*!K{Œ! V*P.œ*!K%Œ,Î8*.Q7 &ÿ <'9:7 *71Î<Î ML VK % 17 <"/.Q75 M&,%*/.3254 "%*!K D% ö ' VK % 17 p&` 'KN%*!ƒ'*V%<' m% ' *P.Q,%4 RS'TVUCWÐYPUk*PIÓK%75./9: O9: '"%*K/.32 45,%71(45,% V*.1 ' K % 17 po& <'9:7H2575.: 6*K%Œ!,Î8*P.Q7H(&56Œ! V*P. 2577K%*9: Nµ=*I= *71%<LK *PIÓK%75.Ð[ ^ B \àô \ÕÔ ð ó \ ð ì ô Lñ º 9=&5.Q7ä"%*!K Œ V*. *K%Œ!,Î8*P.Q7Ç&ä <'9:7äV% þ ' VK % 17 p *KÎŠwV% Å ' K % 17 *K%Œ!,Î8*P.Q7[ ^ Ò \Ô ë B \Ô ð3 L ñ ë \ ðž áó á php&} <'9=7#Œ! V*. Ï ƒ'ƒ'* 'K/.0NŠM*! & <'9=7 "/*!Kv(*!,/.QŒ V*.Ð½ `,/&µ=œh&'kn75 Oƒ&5.3( K ƒ* /.0 (75,%7(4KÎ #*K%Œ!,%8V*P.Q*! ö%.ë "/.Q45 M&,%* ¼ ' VK % /%* ¼Œ! V&'9=*%[ ^ ^ Ò sæ Ô å ^` a \Ô ð3 'ñ ì á \ ð ë'ólô ƒœ(&'9=* /.D*PIÓK%75.&äIJ"/.0&Ç7(&/%Œ!ƒ'* 9=7#9:*Í71 (&5 ý5,%<l25759:* 75K L(&/ƒ&18IŽ 79=*ÍÎ ž 'K%&1ƒ.325< *K%Œ!,Î8*P.Q76P&6 <'9=7'& 1½ v7,%45"%*.08v9=7 Ì*v(,%& L8&'9=*!K%&9=4%µ= L9=7*IŽ V79:* 7K%7('%'Ä%*.: * *P.Q,%4RS'TUXWÐYU& <'9=7[ >F@CB\ «Âí*K%Œ!,Î8*P.Q76P&6 <'9=7'& *9=.Q7{(*,/IË&5"%&{:v*IÓK%7.Ð[ @ s: = @ ä: : > /F@CBC '@G\ 257.&7K/4('%189=7{&H <'9:7'P& ¼ * *P.Q,%4{RS'TUXWÐYUDý5,%<L2579=* K%7*IÓK/75.Ð[ >F@CB\ zlcwðñ ApX@CBœa lxwðñ pˆ@cbma lxwzñ ó px@cbœažb Ï KHL(&1ƒ&/8 IŽ &'9:*69:*&µ=*Š,% '9=7 &ÍÆÈLUClXYÉ1ÈLÊGÎ 'K*!K/Œ!,Î8*.Q7ÿ(& Œ! V*.m254%µ=* ' VK % /P7ÍP&Í < 9=7'& ( 254K/79:*)2575.V& (,%& L8&'9:*K%&ÿ(7,%4"%*P.Ó89=7µ:7è"%&'9=* /.mv/.0 %,%*PIË (,ÎŠG%* (*!,/.ÓNÎŒ ' VK % 1Î* &.45,N/.Q*! 6ML VK % 1%*! "%*K{Œ V&'K*!K%Œ,Î8*.Q7 V½ÛÎ ' ¼MLK/&/ƒ.325<' *!K%Œ,Î8*.Q7 ¼& <'9:7& M* 9=IJ7(*,/IŽ&"%&½ º. V&'K *!K/Œ!,Î8*.Q7 ½ {<½ (*!,/.QŒ &5LK 'K%&1ƒ.3254 *!K/Œ!,Î8*.Q7 [½ < H(,ÎŠG&5.:(*!,1. N&5I,%&5.=(*!,1.QŒ % ' 'K%&1ƒ.325<' *K%Œ!,Î8*P.Q7 & <'9:7& *¼9kIJ7(*!,/IŽ&"%& ½ öœ!ƒ'&5 &5.!" ÈLÑ#l&%HÈ! ÊÐÈ')(*( (,ÎŠG&5.V(*,/. N& I,/&5.V(*!,1.QŒ! V&'K *K%Œ!,Î8*P.Q7½,,./,¼< ½0 % ' 'K%&1ƒ.32 <L *!K%Œ,Î8*.Q7 ¼&6M<L9=7'&5 ¼ *9=I¾7H(*,/IŽ&"%&½

/ ~ f Þ ~ f f Þ ~ / ~ M G 102Ð 3241 657298:=<> œ V&'9=* "%*. %.:Œ!K/7H(*,/.0&5"/.32 9k.Ó87"/.32 Ä@ <'9=7)>F@CB 7K%7('Î' M*h75.: * *P.Q,%4RS'TUXWÐYUÌ 1[ >F@CB\ bd f fcb (&5 f \ >F@CB fcb = Ú Þ1Ü '@!ÕŒ!K%7Í4ƒ'ƒ'& (*!,/.Ë&"/.32 9=.087"/.32 <'9:7 E=F@CB (&Œ! V*P.:Î 'K6I¾"/.Q7(*!,1IË&"/& =9=* P&Í <'9=7{>A@CB`2575. &&(& IË&7KÎ%IŽV&.0 V7 7K%7('Î' M*h75.: * *P.Q,%4RS'TUXWÐYUÌ 1[ EkA@CB \ bd B g Ï Þ 25&1ƒ'&5Pµ=&'9=*% 'K IJ"/.Q7Å(&,%*PIJ7 ( (7,%7(4KÎ d 9 K%&Ç(&ÎŠ,%7 µ=7å(,%œ(*p.dk/7ç(,%& ŒÄ%&'9=*( V,% 'M.Q9=&(&5.Ë&'9:*P79=.08V75"/.3254 <'9=7'7½ ½Ž =½ 7KN/I=8.Q7E=F@CB µ=7{ V,% 'M.Q9=&(&5.Q<' &5L9=*&ML /18Œ &[ EEDPF@CB½DG%M. Œ &5L9=*%[ >F@CB E D A@CBC '@¹\ bd \ = bd (&5)254K/79:*,/<LM % L (&1ƒ)8KÎV%<' (ƒœ!&'k (&59:ŒKÎ ¼9:(&,%&'9=*¼K%7{8,%4ONM&5L9=*%[ = GF P IH B g bd f D f D ƒœ! [ KJÌ ºML @ \ «>A@CBÊ D F@CBˆ @G\ GF VŒ!M L IH B '@ n \²y :±n6\²y ~ bd f D f º P7K 7"%'&{M<L9=7'7*PIÓK%75.:IJ"/.Q7H %* (75,%7(4KÎÕ*Ä/IŽ 8,%4 :*h7.ð[ Âí VŒ : ò >F@CB ò h '@G\ bd ò f ò *PIÓK%75.& µ=*š,% '9=7HÆÈLUClXY!ÉLÈ1Êm8.Q79k.Ó87"/.32 4 <'9:77½ PRQTSVUWYX[Z\]UO^.\a`b^4cd.fVU\]gRh Z\^SigRZ^4cfkjlg[mbhnjpo[qrSioRslti.fVU\poRsluGvrw SGvX[Z\&jlmy\aU\pob^ncd]fpU\]UjaslmgRhZ\kzg{q msczgchlqru}uo^ \l`b^4cldiorslt7sajash~sltors \lzcor\ao^4cd UX[mslu grh Z\lÛSV`X[ZavƒQTg)\atGoyfIoSVZjag[mbh4jVo[qr.S7sÛO^ \l`b^4clshtvzcog{pg[oyx[u V ˆŠC Œ jl\lmsatp.^lžysltpz.tvžtgf tpuugoymbh\qruijlmsaukoystp ZdboySGoR\ v ỳsvw Œ] Œ v QƒoySpZ jlg[mbh4jvo[qr.s6jlsat6ors.fvu\6`g[z grh Z\^jlmy\aU\pob^ncd]odbog`g[Z tgjlam gc^s jl\lm\pjllzyqtpuugoymbh\6orsltpui.tvzcoyg[pg[oyx[u p ˆŠC v

~ ~ Ú Ú Þ ~ Ú Ú, ~ Þ a Ú Ú ~ ~, ~ ~ ~ š 657298œ7 Iê)ž <Ÿ GrÌT< K 7 = ü *!,%&'9=*vÄ/7K%4{% 'K 7K/4('%LÄ/ 6 *9k.Ó87"/.325<{ *P.Q,%4HR SLTVUXWZYPUÌ&H <'9:7& >F@CB[ >F@CB\ bd f fcb! ÎŠ,%7 /.Ì(,%&5(7%µ=&'9:*èK%7ä7K%7('%'Ä%&'9=*ÍP&sIJ"1.0&}M<L9=7} V,% 'M.Q9=&(&5.3ŠKÎ7 ÿ% 'KþIJ"/.Q7}%L(& *P.Q,%4 fcb 7ƒ'ƒ4Å(&Å&5.Ì 'KN%*ƒ*V%Œ! Í"/*!K *I0K%75.Ì7(7,/75IÓ% 17s&5.Ì 'KN%*ƒ*V%Œ! RS'TVUXWZYPU6 f ½ ü 7 '9 ý5&/ƒiž &'9:*O&' K%Œ!&' ¼MLKÎÎ*!ƒ*!V%Œ! v ¼ f ½ (5.3(ƒŒ&LK V,% 'M.Q9=&(&5.Ë&'9:* 9 K%& a 7( &' K%Œ&' ¼ 'KN%*ƒ*V%Œ! &( %* Œ! V&'9:* 9k.Q7{(,%& Œ!8V8.Ë P&67,/ V.32 &HM<L9=7'&5 /[ >ƒ A@CB \ ö&{ƒ4%µ=& ¼7( % 'K (,/& Œ8V8.0M 671%< 8,%4 :*h75.: 1[ F@CB\Õ>A@CB f fcb ü Œ!ƒ&'9:*¼K/7 *(5.3ƒŒ!Ä/&'9:*¼&' MLKÎÎ*!ƒ*!V%Œ! f Œh%M.:ŠV%*&Íƒ'4/µ:& 71 K%7Í*IÓK%7.k*ƒ4.0VP&½ ÌL8 >ƒ `F@CB 25*!25,/.Q9=9:ŒK%7*(5.3ƒŒ8&'9=* K%7*ƒ7.0&(&5.Q<' &'9=*&9=Œ! &6%*h%,%78VK/.32 M4ƒ9=7[ Ï KN/.3257%µk.0VÎŠKNP7 V% 'K = P % ) VŒ!M ò Ú F@CB ò '@ \ 257. = A@CB D F@CBˆ '@ 9M(&,/&'9:*¼K/7H8,%4 NM&'9=*vÎ 'K A@CB\ f f B fcb ªf ª «f frb ~ (&5 &6Î*!ƒ*!175IŽ&4%µ:,/&5.0 9=7"% Lƒ'ŠK%*. ƒ*! v/.0 %.Q9=Œ! `&5Hn7( Œ *!2 &H(*!"1IË&H/.Q9MŠK A ½6ö&Íƒ'4/µ:& F@CB (,%&2 1('%*P.= 4%µ=,%&5.Ë 9=7 "%'& '9=4'!K 9=*% LK)I¾"/.Q7(*!,1IË&"/&Í*(&59:ŒKÎ µ=7 *IÓK/75.2575. 75/ (*,/.0&5"/.32 9:* % 'KÍIJ"1.Q7 (*!,/IŽ&"%& ½± H(*!,/.Ë&"/.32 <'9=7 9M(&,/*Ï K%7þ7K%7('%' 'µ:*pï * *P.Q,%4{RS'TUXWÐYUP[ (&5 ² f \ «² f f n f ò n A@CB\ bd fcb f š ³ òo 1[ ~ '% /

\ Þ ~ ò ½ Ú %* '9: MK%7Í9=*¼P&Hµ=*Š,% '9=7 P& ÆÈ1UXlXY!É1ÈLÊG8.Q7 9k.Ó87"1.3254 <'9:77 *K%Œ!,%8V*P.Q7 P& <'9=7'& *9kIJ7{(*!,/IŽ&"%&*PIÓK%75.Ð[ F@CB : ò Ú F@CB ò h '@ª\ bd ò ò ² f ò f f ò a ªf ª «ò f ò Ï ( Î 'K (7,%7(45KÎà*!Ä/IŽ (75,%7'% ',%&'9:* /.&9:Œ &6Î*%,%78VK/.32 :4ƒ9:7*PIÓK%75.:*ƒ4.0& P7K f \ f ò n 257. %*v&*ƒ4.0vp&{9=œ!m&6%*î,/78vk/.32 :4ƒ9:7*I0K%75. µ ¹ ³ \ ªf ª «ò f ò Ï 1 P& 7(&1ÎŒ!ƒ*! 9=7 "%*IŽ VK%*. /.%&¼9=Œ! %*h%,%78vk/.32 M4ƒ9=7 *IÓK/75.L*ƒ4.0VP& 7Kö&5.L 'KN%*!ƒ'*V%Œ! f "/*!K *IÓK/75. 4ƒ'ƒ&5.M(7,%4&5.: 'KN%*ƒ*V%Œ! RS'TVUCWÐYPU f (&9:ŒKÎ 7K ÿ7k%4('%'ä% *6 *.Q,%4 R SLTVUXWZYPU *K { <'9:7& {(*!,/.Ë&,/.ËV%*Ï *,%&' µ=œƒ&'9=*{k/7žœ V&'9:*P&ž9k.325, %*!,/&Åƒ'4/µ:& 7( % 'KÍ(,%&5 Œ8V8.0 þ71%< ~ %Á' %*67K &5.D 'KN%*ƒ*!ÎŒ {!K,ÎK 71ÎŠK "%*K 9:(&,%*IK%7*PIÓK%75.G4ƒLƒ&5.G7( &5L 'KN%*!ƒ'*V%Œ! HRS'TUXWÐYUP½ (5.3(ƒŒ&LK *(*P.Q"%< &*!ƒ'45 V.ËV& :4ƒ9:7{*I0K%75.:4%µ:,/&5.0 9=7 µ:*/.32šk 7,/. µ:9:šk 71 µ=7{9:*p.3šk%*h7. &H& µ:77'ä%45k%*h7.ð½

¾ ¾ Þ Æ b º :6G)2¹¼í ½<> œ! "%'& (*!,/.Ë&"/.3254è9=*¼% 'KHIJ"1.Q7Í(*,/IË&5"%&è9=.08V75"/.3254è <'9:77 >F@CBv2575.êE=F@CBö2 75.œP7 7K/7('%189=7'7è * RS'TVUXWZYPU 71NŠK[ Î* & <'9:7 (& i 2575.Ã µ:7œ *P.M75K%4('%L8V9=7RS'TVUCWÐYPU[ >F@CB¹\ EkA@CB±\ bd bd f fcb f fcb ù F@CB\ i >A@CB ÁÂ V7%µ=*!,%Œ µ:7h*iók/75.(*,/.0&"1.32 9:*`% 'K IJ"/.Q7H(*!,1IË&"/&6K >F@CB2575.ME=F@CB257.M&( %* ù A@CB]\ i bd f frb \ bd 7 i f ÁÂ \ bd ù f fcb Ä Lƒ7"%<6&.M 'KN%*!ƒ'*V%Œ! RS'TVUCWÐYPU ù f EkA@CB ÁÂ bd f B frb f fcb P&6K%Œ&6M<L9=7'&5 "%*K *PIÓK%75.M(7,%4[ ù f \ 7 i f ÁÂ f B ü *,/&'9:*v& <'9=7 ù F@CB\>A@CB E=F@CB &&(&5IŽ&*I0K%75.M2575.:71 (*,/.0&"1.32 9=*O% 'K IJ"/.Q7{(*!,1IË&"/&{!K >A@CBÌ2 75. EkA@CB!½ Ø,/ L:.Q9:&(&.3ŠKN7 77K%7('%L89:77RS'TVUCWÐYUÌKM L9=4'!KÅö>F@CBÌ2575.ME=F@CB8,%4 M&5L9=*%[ ù A@CB \ bd Æ3g Þ \ d bd Æ3g Þ \ bd d Æ ÆnB bd g Þ d bd g bd g Æ GF B f fcb ÇRÈ \lm\poyspmygch~og dbo^.dbor\lzjasvva\pjap\l^4lžsltvugƒ.fvu\por\ioydbogrz\& msv.^usajas^~slépugã`b^\a slmgo^4c.évuêlsgp\i.^\ `grh4caoyg[u or\6\bzmysh~.u\por\.ëgrzcìídbor\lzk\bzmsh4žsltvugifpu\por\6ujaslmslévugzy\ msv^4usajlsl^nsaépug orsltvu7h`b^~sltvu `grhncaog[ugv H B,

¾ ¾ \ Þ \ Þ ~ Þ (&n)\½îa}y ½ G%M.:&5.MMLKÎÎ*!ƒ*!V%Œ! RS'TVUXWZYPU ù f Ï ( P7H(75,%7(4KÎà 'K%*!(48*h7. /.Ð[ &6K/Œ!&H <'9:7'P& ¼L(&/ƒ&18 IJ %&'KN75.k7( Î 'K*!Ä/IŽ [ ù f \ bd g f bd f g : >A@CBˆE=F@CB fcb Ú Þ1Ü '@ `*,/.0&5"/.325<{*h%*!,%&5 ' VŒh/.0 YUXWZS ÑVW jj UCS'lXl[Ò j S'UXUCYPÊ È! WÐSLÑ Âà(*!,1.0&"/.32 < 'K%4,ÎÎ ' *%*!,%&MLM Œ/.0 ' "%'&9=.08V75"/.32ŠK '9=4'!KO>A@CB257.EkA@CBG&,1IJ %*hp75. 1[ ~ÐÏ Ï KÎ%.32 7%µ=.ËVÎŠKN7 V% 'K ~ 8,%4 :*h75.: 1[ rróbôlðõb¹\ ~ = = \ bd Æ3g P ryóbô1ðõ B\ : > D F@CB EkA@kaÖÕ Bˆ @ ~ 775KN/IËVP&5.0 V7 7K/7('%189=7'7 * *.Q,/4RS'TUXWÐYUÌ!K M L9=4'!K bd ÆŽg bd ÆŽg Æ D Æ Æ~B Æ D ÆnB Ú Þ1Ü D Æ Æ bd B g B '@ ÆnB a bd Æ D B ÆÙØ g g bf (&H2575.M(4ƒ. 2 4K%79=*¼ V,%<' % ' 8KÎV%<' ¼ KJÌ ºML M Œ ' Ï ( 7(7,%7(4K% *.Q,/4{R SLTVUXWZYPU 9:* MLKÎÎ*!ƒ*!V%Œ! OD Æ Æ ýƒœ(&'9=* /.G2575. è 'K%4,N% ' % L *Î*,%& ' VŒ%.Ë ' H75K%7('%' *hp75. * "% Lƒ7"%< ryóbô'a@cb\ bd Æ D Æ Æ~B Æ3g 2575.V*!(&9:ŒKÎ O 'K%4,N% ' ¼*%*!,%&MLM Œ/.0 ' ö*piók%75.52575.71%<¼(*,/.0&"1.325< 9:*Ì(*,/IË&5"%&6IŽ 9=*% LK (*!,/IŽ&"%&{KM L9=4'!K(&H ' V*h/IŽ 79=*%½ ½Z½ ½ Æ H B '@ `*,/.0&5"/.325<{71& ' VŒh/.Ë YPUCWÐS ÑVW j ÈLT! SÒ j SLUXUXYÊ È! WÐS'Ñ Ï K ' V*%IŽ &'9=*¼P& <'9=7 ~ÚÏ >F@CB9=* P&LK*71 &5 %*(,%&2 1('%*P.m MLK/4,N% ' {% L 75/P& ' VŒh/.0M L 1½Ø,/ L:.Q9:&(&.3ŠKN7 O7)7(&1%*ƒŒ 9:77)(&¼ý5,%<L2579=*ö(7,/7(4KÎ MLK/4,N% ' ¼% '

½ ~ 71& ' VŒ%.Ë ' 8,%4 :*h75.: 1[ rróðõb \ : > D F@CBš>F@œaÛÕ Bˆ '@ \ bd Æ D Æ Æ~B ÆŽg ~ \ bd ò Æ ò ÆnB ÆŽg Ï K µ=*,/<lm&'9:* 9= '"%*!K/.32 <69=*h72IÓK% ' P&HM<L9=7'&5 Õ\ %*¼ '9: MK%79:*vP&)µ:*!Š,% '9:7 &HÆÈLUXlCYÉ1ÈLÊm ) 'K%45,N% LM % L 75/P& ' VŒh/.0M L ¼8.Q771%< % 'K %.Q9=< &53ÕHµ=7.0 &17.M9=*v% LK *!K%Œ,Î8*.Q7{&56 <'9=7'& 1[ rró5 B \ bd ò Æ ò \ ÆŽg (& òzò òðò '9ý5&1ƒIJ %*.% )K,%9=7*!K ¼ <'9=7'& 1½ ¾Ü *h72iók% ' ) ¼(,%& % ) V,%&'K/.32 <6V/.Ó89=< @\ Ï K ŒK%7 <'9:76>A@CBö7K%7('%' *75.= * *.Q,/4HRS'TVUXWZYPUÌ /[ >A@CB\ bd @ hb òðò > f frb f Ú %*¼&9:*72. K/ L9=Œ!K/& <'9:72 7'%4@ >F@ µ=77k%7('î' M*h75.kM* *.Q,%4R SLTVUXWZYPUO9=*¼ 'Ka %*ƒ*!v%œ fcb Þ1Ü ( (,%&25L('%*.*!L25&1ƒ'7 7( % 'K (,%&5 18&'9=*!K% VŒ `9=*7(ƒ'<7KÎ%.32 7'%4V7M &`@m9=* @ @ Î½ (&9=Œ!KÎ 1[ >A@ @!B \ bd f fcb Ú Þ1Ü òðò frb

~ a ^ ^ \ b Þ > àß á :72 57298œ &: á á :G6< â k¼ã572ù:ö 8v)2Ð6¼!äŒK%7 Ü Â (*!,/.Ë&"/.32 M<L9=76>A@CBP&{&(&5IË&ÍŒ! V*. (*!,/.Ë&,/.0M9:ŒK% 6"/.Q45,Î25*.Q7{@ i ö&c <'9=7#>F@CB M7 IÓK%*hP75.O&s Ì V<'9=7½ >A@CB\ «^ @ @ i 7ƒ'ƒ'&5 Ï Kÿµ:Œ &'9=*Í@ i \ : 2575.ö@ \t= Î* 9:(&,%&5L9=* A (t) Ì V<'9=7 K%7èµ=*,%<' &5L9=*{&Å <'9=7þ(*,/.0&5"/.32 8,%4 :*h7. 0 t1 t2 [ Ì<'9=79: (*,/.0&5"/.32 (*,/.0&,1.0 9=Œ!K% ' ¼"1.Q4,Î25*P.Q7 /½ (4ƒ.75/ ÖZÖ Öåä*ä*äåäà 7Kè*! =.Q4ƒLÎ '.ä*ä >F@CB\ «^ @ = = ä@&ä: t &Ç&(&5IË&} *9=I¾7þ(*,/IŽ&"%& º ( %*Oý5Œqý575.Q79M(&5,%&'9:* K/7{&7K%7('%'Ä%&'9=* * *.Q,%4RS'TVUXWZYPUÌ257'%4{7{8KÎV%4½ Ä Lƒ7"%< 257. 8.Q7n \ \ = [æ ^ '@ \ f \ [æ frb : Ú Þ1Ü \ ^ ß5 n5ô B f *!(&9:ŒKÎ 1[ n4,n/.q7 f \ «n(*!,1. N%4 ß nô G%M.& <'9:7H8,%4 :*h75.= *7K/4('%189=7RS'TVUCWÐYU 1[ >F@CB\ ^ ^ ß Ô bd n¼a ^ = = '@ f bf ^ i H B

Á Á \ \ \ ^ ^ a ½ b b b A (t) Ì <'9=7 0 t1 To t [iö&h(*,/.0&5"/.32 <'9=76(&567KN/.ËV&5.Ë *PIkV& <'9=7)&5H Ì V<'9:7'P& º 9: O&6 <'9=7)71 (& ý5,%<l25759:*v*iók/75.(*!,/.ë&"/.32 2575.M9 K%&H *O9kIJ76(*!,/IŽ&"%&H*IÓK%7. IËM&69=* &H7,%.32 Ü ÂÛ(*!,/.Ë&"/.32 <'9:7½ `,%48V9=7'/.&þ <'9:7è(&5ÿ*9:*PIË {7K%7('Î'Ä%759:*{ *) *P.Q,%4 RS'TVUXWZYPU M7 IÓK%*hP75.GV& Ì V<'9:7 ½ Ï K9=*h72. K%<' &'9=* &}(*!,/.Ë&"/.32 <Å9= Å(*!,/.Ë&"/.32 <'9:7}257'%4}: á 7,/.0Î*,%4 "% Lƒ'75"%< >F@ka#: á B *!(&9:ŒKÎ %* '9= K%7{9:*vP7H(75,%7(4KÎ >F@êa çf \ f Ú f ÜbF = á B\ ß Ô n¼a ß Ô n¼a ^ B f Ô n¼a ö& <'9=7H9=*h%4H% )9:*72 I0K% ' < &567,/.ËV%*!,%4{257Î4 ^ &K%Œ!& <'9=7 µ=7œ! V*.M 'KN%*ƒ*!ÎŒ RS'TVUCWÐYUP[ ^ Ô i H B [æ Ò f i H B [æ Ò bf î B f ß bd = á B f n¼a f GF i H B A 0 To Ì V<L9=7Í[7ö&(*!,/.Ë&"/.32 <'9=7H9=*h%4H% )9=*h72IÓK% ' < P&67,1.0V%*!,/4H2 7'%4 : á :75IÓK%*75.:V& Ì V<L9=7½t L

Σημειώματα Σημείωμα αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Κρήτης, Ιωάννης Στυλιανού. «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς. Ανάπτυγμα σε Σειρά Fourir. Έκδοση: 1.0. Ηράκλειο/Ρέθυμνο 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://www.csd.uoc.gr/~hy215 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Crativ Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση, Όχι Παράγωγο Έργο 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων. [1] http://crativcommons.org/licnss/byncnd/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Κρήτης έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.