محاسبه ی برآیند بردارها به روش تحلیلی

محاسبه ی برآیند بردارها به روش تحلیلی برای محاسبه ی برآیند بردارها به روش تحلیلی باید توانایی تجزیه ی یک بردار در دو راستا ( محور x ها و محور y ها ) را داشته باشیم. به بردارهای تجزیه شده در راستای محور x ها و محور y ها سایه ی بردار تصویر بردار یا مؤلفه ی بردار می گویند. اگر بردار را با F نشان دهیم به مؤلفه ی بردار در راستای محور x ها F x و به مؤلفه ی بردار در راستای محور y ها F y می گویند. هر گاه یک بردار را به دو راستا تجزیه کردیم خود بردار را کنار می گذاریم و با مؤلفه یا تصویر بردار کار را ادامه می دهیم. تصویر بردار می تواند مثبت)+( یا منفی)-( باشد. )F y مثبت اگر تصویر بردار بر روی محور x ها )یا y ها( در جهت مثبت بیافتد عالمت F x )یا محور y ها خواهد بود و در غیر اینصورت منفی خواهد شد. + _ + محور x ها _ در این روش تمامی بردارها باید ابتدایشان در مبدأ مختصات باشد یعنی:

محور y ها باید از مبدأ مختصات شروع شوند. محور مختصات 4 ناحیه ی کاری دارد که عبارتند از: ناحیه ی 1 ناحیه ی محور x ها ناحیه ی 4 ناحیه ی 3 مشخصات نواحی چهارگانه y ها نیز مثبت می باشد. y ها مثبت می باشد. y ها نیز منفی می باشد. y ها منفی می باشد. در ناحیه ی : 1 عالمت محور x ها مثبت و عالمت محور در ناحیه ی : عالمت محور x ها منفی و عالمت محور در ناحیه ی : 3 عالمت محور x ها منفی و عالمت محور در ناحیه ی : 4 عالمت محور x ها مثبت و عالمت محور نکته: هر برداری که در یکی از نواحی فوق قرار گیرد عالمت مؤلفه های آن بر اساس عالمت محور های همان ناحیه مشخص خواهد شد. y مثال اگر برداری در ناحیه ی دوم قرار بگیرد در اینصورت مؤلفه ی x آن منفی و مؤلفه ی آن مثبت خواهد بود. برای تبدیل یک بردار به دو راستا باید چیز داشته باشیم: الف( طول بردار ب( زاویه ی بردار با محور x ها ( خواه با جهت مثبت محور x ها باشد یا جهت منفی آن(

سایه ی یک بردار بر روی محور x ها را با F x نشان می دهند و آن را از رابطه ی زیر بدست F x = F. cos α نشان می دهند و آن را از رابطه ی زیر بدست F y = F. sin α F y می آورند: سایه ی یک بردار بر روی محور y ها را با می آورند: نکته: از روش تحلیلی زمانی استفاده می شود که: بخواهیم برآیند بیش از بردار را بدست آوریم به گونه ای که محاسبه ی برآیند آنها به روش هندسی امکان پذیر نباشد یا تأکید کنند که از روش تحلیلی برآیند را محاسبه کنید. توجه: برای فراگیری این روش ابتدا تجزیه ی بردارها به دو راستا را به صورت کامل آموزش می دهم و سپس محاسبه ی برآیند و زاویه ی برآیند با محور x ها را بیان می کنم. F 4 تا F 1 بردارهای را به دو راستای x و y تجزیه کنید. α F 1 = 10N 1y α =33 1x F 1x = F 1. cos α = 10 cos 30 = 10 3 = 5 3 F 1y = F 1. sin α = 10 sin 30 = 10 1 = 5

F = 0N y α =44 x F x = F. cos α = 0 cos 45 = 0 = 10 F y = F. sin α = 0 sin 45 = 0 F بر روی قسمت منفی محور x ها قرار گرفته است. 1x = 10 F به این دلیل است که: عالمت منفی 1x α =03 3x F 3 = 8N 3y F 3x = F 3. cos α = 0 cos 60 = 0 1 = 10 F 3y = F 3. sin α = 0 sin 60 = 0 3 F به این علت گذاشته شده است که: 3y و F دقت: عالمت منفی 3x = 10 3

هر دوی آنها بر روی قسمت منفی محورهای مختصات قرار گرفته اند. 4x α=44 F 4 = 15N 4y F 4x = F 4. cos α = 0 cos 45 = 0 = 10 F 4y = F 4. sin α = 0 sin 45 = 0 = 10 دقت: عالمت F مثبت است زیرا بر روی محور x ها 4x در جهت مثبت قرار گرفته است. اما: عالمت F منفی است زیرا بر روی محور y ها در جهت منفی قرار گرفته است. 4y بررسی حالت های خاص در این حالت ها بردار اصلی بر روی یکی از محورهای مختصات قرار گرفته و فقط یک مؤلفه دارد.

F 8 مؤلفه های بردارهای F 5 تا را بدست آورید. F 6 = 1N F 5 = 10N F 5x = 10N F 5y = 0 F 6x = 0 F 6y = 1N F 7 = 9N F 7x = 9N F 7y = 0 F 8 = 6N F 8x = 0 F 8y = 6N

برای بدست آوردن برآیند بردارها به روش تحلیلی: ابتدا مؤلفه های هر بردار را جداگانه محاسبه می کنیم. یعنی: برای هر بردار مقادیر F x و F y را به دست می آوریم. سپس جمع جبری تصویر بردارها را محاسبه می کنیم. یعنی: جمع جبری تصویر بردارها بر روی محور x ها را به دست می آوریم و آن را با F x نشان می دهیم و جمع جبری تصویر بردارها بر روی محور y ها را نیز به دست می آوریم و آن را با F y نمایش می دهیم. F y نکته: برآیند بردارها از جمع دو بردار F x و به دست می آید. به عبارت بهتر F x و F y مؤلفه های بردار برآیند هستند. برای به دست آوردن اندازه و جهت بردار برآیند از روابط زیر استفاده می کنیم: R = ( F x ) + ( F y و ) θ = tan 1 F y F x : اندازه ی بردار برآیند است. R : θ زاویه ای است که بردار برآیند با محور x ها می سازد. سوال( چگونه می توانیم تشخیص دهیم که بردار برآیند در کدام ناحیه قرار دارد جواب( از روی عالمت F x و F y

را به روش تحلیلی محاسبه کنید. مثال 1 ( برآیند بردارهای و F 3 F F 1 F 1 = 10 3 F = 10 3 33 33 F 3 = 0 : F محاسبه ی مؤلفه های 1 F 1x = 0 F 1y = 10 3 : F F x = F. cos 30 = 10 3 3 3 3=3 10 3 = 15 محاسبه ی مؤلفه های این مؤلفه بر روی محور x ها در جهت منفی تشکیل شده است. بنابراین عالمت آن را باید F x = 15 F y = F. sin 30 = 10 3 1 = 5 3 = 5 3 F y = 5 3 : F 3 منفی در نظر بگیریم. محاسبه ی مؤلفه های دقت کنید: زاویه ی داده شده برای بردار F زاویه ی بردار با محور y ها است و هیچ ارزشی 3 F ندارد. بنابراین ما باید با استفاده از این زاویه زاویه ی بردار 3 با محور x ها را به دست آوریم.

F 3x = F. 3 cos 60 = 0 1 = 10 F 3x = 10 F 3y = F. 3 sin 60 = 0 3 = 10 3 F 3y = 10 3 این مؤلفه نیز بر روی محور y ها در جهت منفی تشکیل شده است. بنابراین عالمت آن را باید منفی بگذاریم. F x = F 1x + F x + F 3x F y = F 1y + F y + F 3y F x = 0 15 + 10 = 5 F y = 10 3 + 5 3 10 3 = 5 3 F y با توجه به عالمت های F x و به این نتیجه می رسیم که: بردار برآیند در ربع دوم قرار دارد. R = ( F x ) + ( F y ) R = ( 5) + (5 3) = 5 + 75 = 10 حاال می توانیم مقدار ( θ زاویه ی بردار برآیند با محور x ها (را محاسبه کنیم. θ = tan 1 F y F x θ = tan 1 5 3 5 = tan 1 3 = θ = 60 F y و θ به سادگی می توانیم بردار برآیند را در محورهای با استفاده از مقادیر F x R مختصات رسم کنیم. 03