فهرست جزوه ی فصل دوم مدارهای الکتریکی ( بردارها(

فهرست جزوه ی فصل دوم مدارهای الکتریکی ( بردارها( رفتار عناصر L, R وC در مدارات جریان متناوب......................................... بردار و کمیت برداری............................................................. 3. هم سنگ )هم ارز( یک بردار........................................................ 5 حاصلجمع بردارها به روش هندسی)ترسیمی(............................................ 6. ضرب بردارها.................................................................... 1 محاسبه ی برآیند بردارها به روش تحلیلی............................................... 6 معرفی امواج سینوسی............................................................. 33. آموزش تبدیل موج سینوسی به یک معادله ی سینوسی..................................... تبدیل معادالت سینوسی به امواج سینوسی.............................................. 53 تبدیل معادالت سینوسی و امواج سینوسی به بردار........................................ 56 اختالف فاز.................................................................... 66 معرفی توان های سه گانه.......................................................... 3 مثلث توان ها................................................................... 1

رفتار عناصر L, R وC در مدارات جریان متناوب در سلف خالص جریان از ولتاژ دو سر سلف 9 درجه عقب تر است و در خازن خالص جریان از ولتاژ دو سر خازن 9 درجه جلوتر است. اما در مقاومت اهمی خالص جریان و ولتاژ هم فازاند. نکته: سلف و خازن خالص درحالت ایده آل وجود دارند اما در واقعیت و عمل چنین عناصر خالصی تصوری بیش نیستند. سوال( چرا یک خازن شارژ شده پس از مدتی )خود به خود( تخلیه می شود جواب: زیرا خازن یک مقاومت اهمی دارد که از طریق آن بارهای الکتریکی تخلیه می شوند. به این مقاومت " مقاومت نشتی خازن" می گویند. سلف از سیمی به طول L تشکیل شده است که به دور یک هسته پیچیده شده است.بنابراین سلف نیز ایده آل نیست و طبق رابطه ی R = ρl A سلف هم دارای مقاومت است.لذا: در مدارهای الکتریکی برای کسب نتایج مطلوب سلف را به صورت مدارات R L و خازن را به صورت مدارات R C مدل می کنند. از طرف دیگر: ممکن است مدارهای الکتریکی از ترکیب عناصر سلفی خازنی و اهمی تشکیل شده باشند. بنابراین: مطالعه ی مدارهای L R و C در اتصال های سری و موازی ضرورت دارد. برای تحلیل مدارهای R L C از بردارها و عملیات برداری استفاده می شود.

بردار و کمیت برداری تعریف کمیت های عددی یا اسکالر: کمیت هایی هستند که با بیان اندازه ی کمیت کامال معرفی می شوند. تعریف کمیت های برداری: به کمیت هایی که با بیان اندازه ی کمیت کامل نیستند و باید جهت آن ها نیز مشخص شود کمیت برداری می گویند. جابجایی مسیر AB در این نمایش را به صورت AB نشان می دهند و آن را بردار AB می گویند. A B : A ابتدای بردار : B انتهای بردار AB را به صورت AB البته طول بردار ( AB طول پاره خط بردار : AB جهت بردار: از A به سمت B است. نیز نمایش می دهند.( کمیت های برداری کمیت هایی هستند که دارای بزرگی جهت ابتدا انتها و راستا هستند و با قواعد معینی با هم جمع می شوند. بزرگی بردار را " طول بردار قدر مطلق بردار دامنه ی بردار اندازه ی بردار و یا شدت بردار می گویند و آن را به صورت AB یا AB نمایش می دهند. در عملیات ریاضی به جای نوشتن واژه ی بردار از یک فلش کوچک استفاده می شود. CD بردار = CD بردار AB = AB 3

توجه: فلش موجود بر روی AB فقط نشان می دهدکه AB یک بردار است و به هیچ عنوان N M جهت یا راستای آن را نشان نمی دهد. بردار فوق را به صورت MN نشان می دهیم. اگر این بردار را به صورت MN نمایش دهیم غلط است و بی معنی می باشد. البته برای راحتی کار با بردارها معموال آنها را با یک حرف مانند F نشان می دهند. F ابتدای کلمه ی Force به معنی نیرو می باشد. واحد نیرو نیوتن( N ) است. اگر چندین بردار داشته باشیم در اینصورت برای F ها اندیس می گذاریم: اندازه ی بردار F 1 را با بردار 1 F 1 = F بردار F = F F 1 F یا 1 نشان می دهند. اندازه ی بردار AB را با AB یا AB نشان می دهند. نکته: تا همین جا با نماد اندازه) ( و بردار) ) به خوبی آشنا شدیم. جمع و تفریق برداری با جمع و تفریق عددی تفاوت دارد. راستا: یک خط است که جهت ندارد و آن را با یک حرف)به تنهایی( نشان می دهند. M بردارهای AB و MN هردو بر راستای d قرار گرفته اند. B N تعجب نکنید: d A هنگامی که از عبارت بردار AB استفاده می کنم اما از عالمت بردار) ( بر روی AB

خودداری می کنم. طبق توضیحات گفته شده کلمه ی بردار متناسب با عالمت فلش روی بردار است. بنابراین هنگامی که از کلمه ی بردار استفاده می شود قاعدتا لزومی ندارد از فلش استفاده شود اما اگر در جایی این مورد را مشاهده کردید بدانید که برای تأکید این کار را کرده اند و ایرادی به آن وارد نیست. )کما اینکه در این جزوه نیز این کار انجام شده است.( هم سنگ )هم ارز( یک بردار و F 1 دو بردار F در صورتی هم ارز هستند که دارای خواص زیر باشند: B D 1( موازی )یا هم راستا( باشند. A C هم جهت باشند. اندازه ی یکسانی داشته باشند. ) )3 در شکل روبرو بردارهای AB و CD هم ارز هستند. یک بردار با هم ارز خود کامال مساوی است و می توانیم به جای یک بردار از هم ارز آن بردار استفاده کنیم. برآیند دو یا چند بردار برآیند دو یا چند بردار برداری است که به تنهایی آثار آن دو یا چند بردار را داشته باشد. برآیند بردارها را به روش می توان محاسبه کرد: روش هندسی یا ترسیمی روش تحلیلی یا محاسبه ای )1 ) 5

حاصل جمع بردارها به روش هندسی)ترسیمی( به حاصل جمع بردارها برآیند گفته می شود و معموال آن را با حرف R نشان می دهند. اندازه ی بردار برآیند را با R یا R نمایش می دهند. از این روش هنگامی استفاده می شود که فقط بردار داشته باشیم و زاویه ی بین دو بردار نیز مشخص باشد. البته: تحت شرایط خاصی می توان جمع 3 بردار یا بیشتر را نیز با روش هندسی بدست آورد که در ادامه به آن اشاره خواهد شد. F دو بردار با طول مشخص هستند و زاویه ی بین آنها α می باشد. F و 1 برای محاسبه ی اندازه ی بردار برآیند این دو بردار از رابطه ی زیر استفاده می کنیم: R = R = F 1 + F + F 1. F. cos α با این فرمول تنها اندازه ی بردار برآیند قابل محاسبه است و خود بردار را باید به روش مثلث یا متوازی االضالع رسم کنیم. مثال 1 ( برآیند بردارهای زیر را بدست آورده و بردار برآیند را رسم کنید. F 1 F اندازه ی بردار F 1 برابر با 3N و اندازه ی بردار F برابر با 4N و زاویه ی بین این دو بردار 69 درجه است. به جای جمله ی طوالنی فوق می توان عبارات ریاضی زیر را نوشت: F 1 = 3N و F = 4N و α = 60 6

از فرمول برآیند استفاده می کنیم و اندازه ی آن را بدست می آوریم. R = R = F 1 + F + F 1. F. cos α R = 3 + 4 + 3 4 cos 60 cos 60= 1 R = 9 + 16 + 4 1 R = 5 + 1 = 37 R = 6.08N حاال بردار R را به روش مثلث رسم می کنیم. روش مثلث: F را رسم می کنیم. در این روش از انتهای یکی از بردارها)مثال ( F هم ارز بردار دیگر 1 برداری که ابتدای بردار اول را به انتهای بردار دوم وصل می کند بردار برآیند است. در شکل زیر بردار سبز رنگ بردار هم ارز بردار است. F 1 R روش متوازی االضالع: در این روش از انتهای هر بردار هم ارز بردار دیگر را رسم می کنیم. این بردارهای هم ارز در یک نقطه به هم می رسند. برداری که ابتدای این دو بردار با به این نقطه وصل می کند بردار برآیند است. 7

در شکل زیر بردارهای سبز رنگ هم ارز بردارهای آبی رنگ هستند. R نکته: در روش هندسی زاویه ی بردار برآیند با هیچکدام از بردارها مشخص نیست. یا بردار F یعنی در شکل های فوق زاویه ی بردار R با بردار F 1 البته: مشخص نمی باشد. در شرایط خاص مقدار این زاویه ها معلوم و مشخص است. و 5 3N = F با یکدیگر زاویه ی 39 درجه می سازند. مثال ( دو بردار F 1 = 5N مطلوبست محاسبه ی برآیند این دو بردار. توجه: قرار دادن اندازه ی یک بردار مقابل F صحیح نیست. و باید به صورت زیر نوشته F یا 1 F 1 = 5N شود : ( اما: و 5 3N F = ) یا 5N( F 1 = و ) F = 5 3N این موضوع هم باز یک غلط رایج است و در امتحانات نهایی و حتی تستهای کنکور نیز به دفعات زیادی از آن استفاده شده است. بنابراین: ما نیز آن را می پذیریم و به آن ایرادی وارد نمی کنیم. 3

R = R = F 1 + F + F 1. F. cos α R = 5 + (5 3) + 5 5 3 cos 30 R = 5 + 75 + 5 5 3 3 3 3=3 R = 5 + 75 + 5 = 175 = 13.3 F = 5 N مثال 3 ( دو بردار 15N = و با زاویه ی 5=α درجه مفروض است. F 1 مطلوبست محاسبه ی اندازه ی بردار برآیند. R = 15 + (5 ) + 15 5 cos 45 cos 45= R = 5 + 50 + 15 5 = 5 + 50 + 150 R = 45 R = 0.6N تفاضل دو بردار برای محاسبه ی اندازه ی تفاضل دو بردار از رابطه ی زیر استفاده می کنیم: و F 1 اندازه ی تفاضل دو بردار F = و F 1 اندازه ی تفاضل F = F 1 اندازه ی F = F 1 F بردار برآیند را نیز می توانیم با حرف R نشان دهیم. R = R = F 1 + F F 1. F. cos α توجه: تفاوت فرمول اندازه ی جمع دو بردار و اندازه ی تفاضل دو بردار در همین عالمت منفی است که قبل از جمله ی F 1. F. cos α قرار می گیرد.

مثال ( دو بردار = 10N و 5N = F با زاویه ی 60=α درجه موجودند. اندازه ی تفاضل F 1 این دو بردار چقدر است R = 10 + 5 10 5 cos 60 Cos 60= 1 R = 100 + 5 10 5 1 = 15 50 = 75 R = 8.66N مثال 5 ( دو بردار F 1 = 5N و 5 3N = F با زاویه ی 159=α درجه موجود است.. مطلوبست محاسبه ی F 1 F R = F 1 F = 5 + (5 3 ) 5 5 3 cos 150 cos 150 = 3 R = 5 + 75 5 5 3 ( 3 ) = 100 + 75 R = 175 R = 13.3 و 5 N = مفروض است. اگر زاویه ی بین این دو بردار F مثال 6 ( دو بردار F 1 = 5N. F 1 F 5=α درجه باشد مطلوبست محاسبه ی اندازه ی F 1 F = 5 + (5 ) 5 5 cos 45 Cos 45 = R = 5 + 50 5 5 R = 75 50 = 5 = 5N 19

معرفی بردار F یا" F " این بردار برداری است دقیقا به اندازه ی F ولی با جهت کامال مخالف) 139 درجه اختالف (. F 1 F 1 F F F 3 F 4 F 4 F 3 عالمت منفی قبل از بردار فقط جهت بردار را به اندازه ی 139 درجه عوض می کند وآن را دقیقا برعکس می کند. ولی با اندازه ی بردار هیچ کاری ندارد. یعنی: F 1 = F 1 اما F 1 F 1 F 1 F F 1 F F 11

F F 1 F 1 با توجه به شکل های فوق به این نتیجه می رسیم که: F 1 F F F 1 F 1 F = F F اما 1 F 1 F F F با 1 F 1 F یعنی: مقدار 1 F F با دقیقا برابر است اما بردارهای مساوی نیستند و با هم 139 درجه اختالف فاز دارند. بنابراین: F 1 F = F F 1 = F 1 + F F 1. F. cos α سوال ) چرا تفاضل را مانند برآیند با حرف R که نماد جمع است نشان دهیم جواب: زیرا تفاضل دو بردار نیز نوعی جمع به حساب می آید. به عبارت زیر توجه کنید: F 1 F = F 1 + ( F ) F ) است جمع می شود. ( F که همان F با قرینه ی بردار در واقع بردار 1 1

در شکل های زیر به بردار برآیند و تفاضل خوب توجه کنید. F 1 F F 1 + F = F + F 1 این بردار قطر بزرگ متوازی االضالع است. F 1 F این بردار قطر کوچک متوازی االضالع است. F F F 1 F 1 این بردارنیز قطر کوچک متوازی االضالع است. F 1 F یا بنابراین بدون رسم متوازی االضالع )یا حتی مثلث( نیز می توانیم بردارهای F F را رسم کنیم. 1 F 1 F F F 1 F 1 F 1 13

با توجه به شکل های فوق به این نتیجه می رسیم که : F + F 1 F 1 + F بردار با بردار هم ارز است زیرا: هم جهت و هم راستا و هم اندازه هستند. F F 1 F 1 F اما بردارهای ولی هم جهت نیستند. و هم ارز نیستند زیرا: اگرچه هم راستا و هم اندازه هستند در شکل های زیر نیز بردار برآیند و تفاضل رسم شده است. لطفا خوب توجه کنید. F 1 F F 1 + F = F + F 1 F 1 F F F F 1 F 1 1

باز هم می توانیم بدون روش متوازی االضالع یا مثلث بردار تفاضل را رسم کنیم. F 1 F F F 1 F 1 F 1 F F اگر به شکل های فوق توجه کنید و با حالت قبل مقایسه کنید مشاهده خواهید کرد که: این بار برآیند یا جمع دو بردار قطر کوچک متوازی االضالع و تفاضل دو بردار قطر بزرگ متوازی االضالع است. علت چیست که اندازه ی تفاضل دو بردار از جمع دو بردار بیشتر شده است علت فقط زاویه ی بین دو بردار است. نکته: اگر برآیند دو بردار یکی از قطرهای متوازی االضالع باشد در اینصورت تفاضل آن دو بردار قطر دیگر متوازی االضالع خواهد بود. مثال 7 ( برآیند و تفاضل دو بردار F 1 = 0N و F = 10N را بدست آورید. زاویه ی بین این دو بردار 69=α درجه می باشد. R = R = F 1 + F + F 1. F. cos α R = 0 + 10 + 10 0 cos 60 R = 400 + 100 + 10 0 1 R = 400 + 100 + 00 = 700 = 6.46N 15

R = R = F 1 + F F 1. F. cos α R = 0 + 10 0 10 cos 60 R = 400 + 100 0 10 1 R = 400 + 100 00 = 300 = 17.3N مثال 3 ( برآیند و تفاضل دو بردار F 1 = 0N و F = 10N را بدست آورید. زاویه ی بین R = 0 + 10 + 0 10 cos 90 این دو بردار 9=α جمع دو بردار درجه می باشد. R = 400 + 100 + 0 10 0 R = 400 + 100 + 0 = 500 =.36N تفاضل دو بردار R = 0 + 10 0 10 cos 90 R = 400 + 100 0 10 0 R = 400 + 100 0 = 500 =.36N مثال ( برآیند و تفاضل دو بردار F 1 = 0N و F = 10N را بدست آورید. زاویه ی بین این دو بردار 159=α درجه می باشد. R = 0 + 10 + 0 10 cos 150 جمع دو بردار R = 400 + 100 + 0 10 ( 3 ) R = 400 + 100 00 3 = 500 346.4 = 1.39N 16

تفاضل دو بردار R = 0 + 10 0 10 cos 150 R = 400 + 100 0 10 ( 3 ) R = 400 + 100 + 00 3 = 500 + 346.4 = 9.1N مثال 19 ( برآیند و تفاضل دو بردار F 1 = 0N و F = 10N را بدست آورید. زاویه ی بین این دو بردار 139=α جمع دو بردار درجه می باشد. R = 0 + 10 + 0 10 cos 180 R = 400 + 100 + 0 10 ( 1) R = 400 + 100 400 = 500 400 = 10N تفاضل دو بردار R = 0 + 10 0 10 cos 180 R = 400 + 100 0 10 ( 1) R = 400 + 100 + 400 = 500 + 400 = 30N مثال 11 ( برآیند و تفاضل دو بردار F 1 = 0N و F = 10N را بدست آورید. زاویه ی بین این دو بردار 9=α درجه می باشد. جمع دو بردار R = 0 + 10 + 0 10 cos 0 R = 400 + 100 + 0 10 (+1) R = 400 + 100 + 400 = 500 + 400 = 30N 17

تفاضل دو بردار R = 0 + 10 0 10 cos 0 R = 400 + 100 0 10 (+1) R = 400 + 100 400 = 500 400 = 10N نتایجی که از 5 مثال فوق بدست می آید به صورت نکته در زیر آمده است. نکته: اگر زاویه ی بین دو بردار حاده یا تند باشد) کوچکتر از 9 درجه باشد < 90 α ) در اینصورت اندازه ی جمع دو بردار از تفاضل آن دو بردار بزرگتر است. توجه: در این حالت قطر بزرگ متوازی االضالع برآیند و قطر کوچک متوازی االضالع تفاضل آن دو بردار می باشد. نکته: زاویه ی بین دو بردار باز یا منفرجه باشد) بزرگتر از 9 درجه باشد > 90 α ) در اینصورت اندازه ی تفاضل دو بردار از جمع آن دو بردار بزرگتر است. توجه: در این حالت قطر کوچک متوازی االضالع برآیند و قطر بزرگ متوازی االضالع تفاضل آن دو بردار می باشد. نکته: اگر زاویه ی بین دو بردار قائمه یا 9 درجه باشد در اینصورت اندازه ی جمع و تفاضل آن دو بردار برابر خواهد بود. توجه: در این حالت متوازی االضالع به مستطیل تبدیل می شود و همانطور که می دانیم قطرهای مستطیل باهم برابرند. 13

نکته: اگر زاویه ی بین دو بردار صفر درجه باشد) یعنی هم راستا و هم جهت باشند ( در اینصورت نیازی به استفاده از فرمول نیست. زیرا جمع و تفریق برداری به جمع و تفریق عددی تبدیل می شود. نکته: اگر زاویه ی بین دو بردار 139 درجه باشد) در یک راستا باشند اما با جهت های مخالف ) در اینصورت جمع دو بردار به تفاضل عددی و تفاضل آن دو بردار به جمع عددی تبدیل می شود. نکته: اگر اندازه ی دو بردار F مساوی باشد در اینصورت برای محاسبه ی برآیند دو F و 1 بردار عالوه بر رابطه ی R = R = F 1 + F + F 1. F. cos α می توانیم از رابطه ی زیر نیز برای این کار بهره بگیریم. نکته: اگر اندازه ی دو بردار F 1 = F = F F 1 + F = F + F 1 = R = F cos ( α ) F مساوی باشد در اینصورت برای محاسبه ی تفاضل دو F و 1 بردار عالوه بر رابطه ی R = R = F 1 + F F 1. F. cos α می توانیم از رابطه ی زیر نیز برای این کار بهره بگیریم. نکته: اگر اندازه ی دو بردار F 1 = F = F F 1 F = F F 1 = R = F sin( α ) F مساوی باشد در اینصورت بردار برآیند زاویه ی بین این F و 1 دو بردار را نصف خواهد کرد. بردار تفاضل نیز زاویه ی بین دو بردار را نصف خواهد کرد. 1

نکته: اگر اندازه ی دو بردار F مساوی باشد) زاویه ی بین دو بردار هر چه می خواهد F و 1 باشد.( در اینصورت بردار برآیند دو بردار بر بردار تفاضل آن دو بردار عمود خواهد شد. یعنی: F 1 + F = F + F 1 F 1 F = F F 1 F 1 + F = F + F 1 F 1 F F F 1 زاویه ی بین بردار برآیند و بردار تفاضل 9 درجه خواهد بود. F 1 F = (F F 1 ) F F 1 = (F 1 F ) روابط زیر به فهم بیشتر بردارها کمک می کند. اگر به خاطر داشته باشید گفته بودم که برآیند 3 بردار را نیز می توان به روش هندسی محاسبه کرد " ولی تحت شرایط خاص " هم اکنون می خواهم آن شرط خاص را ذکر کنم: در صورتی می توانیم برآیند 3 بردار را به روش هندسی بدست آوریم که دو تا از بردارها با هم مساوی باشند. مثال 1( برآیند بردارهای زیر را به روش هندسی محاسبه کنید. F 1 = 15N F = 10N β=5 α=39 F 3 = 10N 9

توجه: باید ابتدا برآیند F F را محاسبه کنیم و سپس برآیند بدست آمده را با بردار 1 F و 3 به روش هندسی جمع کنیم. زیرا با این کار می دانیم که زاویه ی α نصف خواهد شد و زاویه ی بردار برآیند با بردار F برابر با 69 درجه خواهد بود.) 15+5=69 ) 1 3 و R = 10 + 10 + 10 10 cos 30 3 و R = 100 + 100 + 100 3 = 00 + 173. حاال می توانیم برآیند این بردار را با بردار ضرب بردارها 3 و R = 373. = 19.3N F بدست آوریم. 1 R = 15 + 19.3 + 15 19.3 cos 60 R = 5 + 373.6 + 89.8 = 888.06 = 9.8N ضرب بردارها شامل دو موضوع است: الف( ضرب یک بردار در یک کمیت عددی ب( ضرب نقطه ای )داخلی( دو بردار ابتدا ضرب یک بردار در یک کمیت عددی را بررسی می کنیم. اگر یک عدد مانند K را در یک بردار مانند F ضرب کنیم برداری بدست می آید که اندازه ی آن K برابر اندازه ی F است. حال اگر K مثبت باشد "0 > K" بردار حاصل هم جهت با بردار F خواهد بود. اما اگر K منفی باشد "0 < K" بردار حاصل با جهت F 139 درجه اختالف خواهد داشت. به مثال زیر توجه کنید. 1

F F = K. F, K = 3 F = K. F, K = نکته: اگر" = 0 K " باشد در اینصورت بردار حاصل صفر خواهد شد و تبدیل به نقطه خواهد شد. نکته: اگر" = 1 K " باشد در اینصورت بردار حاصل هیچ تغییری نخواهد کرد و هردو هم ارز F F = K. F, K = 1 هم هستند. نکته: اگر" 1 = K " باشد در اینصورت اندازه ی بردار حاصل هیچ تغییری نخواهد کرد و فقط جهت آن 139 درجه اختالف پیدا خواهد کرد. F F = K. F, K = 1 نکته: اگر" < 1 K < 0 " باشد در اینصورت اندازه ی بردار حاصل کوچکتر شده ولی جهت آن هیچ تغییری نخواهد کرد. F F = K. F, K = 0.6 نکته: اگر" < 0 K < 1 " باشد در اینصورت اندازه ی بردار حاصل کوچکتر شده و جهت آن نیز 139 درجه عوض خواهد شد. F F = K. F, K = 0.7 نکته: عالمت منفی برای یک بردار نشان دهنده ی کوچکی یک بردار نیست فقط نشان می دهد که جهت آن برعکس جهت همین بردار می باشد وقتی که عالمت آن مثبت است. بررسی ضرب نقطه ای یا داخلی دو بردار دو بردار و راکه با هم زاویه ی α می سازند در نظر بگیرید. F F 1

A = F 1. F F که به صورت بنابه تعریف حاصل ضرب داخلی دو بردار و نشان داده F 1 می شود یک کمیت عددی است و نه برداری. به عبارت دیگر حاصل ضرب دو بردار یک بردار نیست بلکه یک عدد است. اندازه ی این کمیت عددی از رابطه ی زیر بدست می آید: A = F 1. F = F. F 1 = F 1. F. cos α کمیت های الکتریکی مانند توان و انرژی کمیت های عددی یا اسکالر هستند. کمیت توان از حاصل ضرب عددی بردار ولتاژ) V ( و بردار جریان )I( به دست می آید: P = V. I = V. I. cos φ نکته: اختالف فاز بین ولتاژ منبع) V ( و جریان منبع) ) I را با حرف یونانی φ نشان می دهند. تذکر: در ادامه در مورد فاز و اختالف فاز شرح کاملی داده خواهد شد. لذا از توضیح بیشتر در مورد φ در این قسمت صرف نظر می کنم. انرژی نیز کمیتی اسکالر است. زیرا از حاصل ضرب دو کمیت اسکالر به وجود می آید. رابطه ی انرژی به صورت W =.P t است. در این رابطه هر دو کمیت توان و زمان جزء کمیت های اسکالر هستند. بنابراین انرژی نیز که حاصل ضرب این دوکمیت است کمیتی اسکالر است. مثال 13 ( دو بردار 0 = 1 F و = 10 F مفروض است. اگر زاویه ی بین دو بردار = 45 α درجه باشد مطلوبست: الف( ب( F 1. F ج( F 1 F F 1 + F 3

حل الف: R = 10 + (0 ) + 10 0 cos 45 R = 100 + 800 + 10 0 = R = 100 + 800 + 400 = 1300 = 36.06 حل ب: R = 10 + (0 ) 10 0 cos 45 R = 100 + 800 10 0 = R = 100 + 800 400 = 500 =.36 حل ج: A = 10 0 cos 45 = 10 0 F = 5N با هم زاویه ی θ می سازند. مثال 1 ( دو بردار = 00 F 1 = 8N و اگر F 1. F = 0N باشد مطلوبست: الف( زاویه ی بین دو بردار ب( F 1 + F ج( F 1 F حل الف: F 1. F = F 1. F. cos θ = 0 = 8 5 cos θ Cos θ = 0 = 0.5 θ = 60 40

حل ب: F 1 + F 1 = 8 + 5 + 8 5 cos 60 F 1 + F = 64 + 5 + 40 = 19 = 11.36N حل ج: F 1 F 1 = 8 + 5 8 5 cos 60 F 1 F = 64 + 5 40 = 49 = 7N مثال 15 ( دو بردار 10N = و F 1 = 5N با زاویه ی 139 درجه موجود می باشد تعیین F F 1. F F 1 + F کنید: الف( حل الف: ب( F 1 F ج( F 1 + F 1 = 10 + 5 + 10 5 cos 180 F 1 + F = 100 + 5 + ( 100) = 5 = 5N حل ب: F 1 F 1 = 10 + 5 10 5 cos 180 F 1 F = 100 + 5 ( 100) = 5 = 15N حل ج: F 1. F = F 1. F. cos θ = 10 5 ( 1) = 50 نکته: حاصل جمع و تفریق دو بردار خود یک بردار است اما حاصل ضرب دو بردار یک عدد است. 5

محاسبه ی برآیند بردارها به روش تحلیلی برای محاسبه ی برآیند بردارها به روش تحلیلی باید توانایی تجزیه ی یک بردار در دو راستا ( محور x ها و محور y ها ) را داشته باشیم. به بردارهای تجزیه شده در راستای محور x ها و محور y ها سایه ی بردار تصویر بردار یا مؤلفه ی بردار می گویند. اگر بردار را با F نشان دهیم به مؤلفه ی بردار در راستای محور x ها F x و به مؤلفه ی بردار در راستای محور y ها F y می گویند. هر گاه یک بردار را به دو راستا تجزیه کردیم خود بردار را کنار می گذاریم و با مؤلفه یا تصویر بردار کار را ادامه می دهیم. تصویر بردار می تواند مثبت)+( یا منفی)-( باشد. )F y مثبت اگر تصویر بردار بر روی محور x ها )یا y ها( در جهت مثبت بیافتد عالمت F x )یا خواهد بود و در غیر اینصورت منفی خواهد شد. محور y ها + _ + محور x ها _ در این روش تمامی بردارها باید ابتدایشان در مبدأ مختصات باشد یعنی: باید از مبدأ مختصات شروع شوند. 6

محور y ها محور مختصات ناحیه ی کاری دارد که عبارتند از: ناحیه ی 1 ناحیه ی محور x ها ناحیه ی ناحیه ی 3 مشخصات نواحی چهارگانه y ها نیز مثبت می باشد. y ها مثبت می باشد. y ها نیز منفی می باشد. y ها منفی می باشد. در ناحیه ی : 1 عالمت محور x ها مثبت و عالمت محور در ناحیه ی : عالمت محور x ها منفی و عالمت محور در ناحیه ی : 3 عالمت محور x ها منفی و عالمت محور در ناحیه ی : عالمت محور x ها مثبت و عالمت محور نکته: هر برداری که در یکی از نواحی فوق قرار گیرد عالمت مؤلفه های آن بر اساس عالمت محور های همان ناحیه مشخص خواهد شد. y مثال اگر برداری در ناحیه ی دوم قرار بگیرد در اینصورت مؤلفه ی x آن منفی و مؤلفه ی آن مثبت خواهد بود. برای تبدیل یک بردار به دو راستا باید چیز داشته باشیم: الف( طول بردار ب( زاویه ی بردار با محور x ها ( خواه با جهت مثبت محور x ها باشد یا جهت منفی آن( 7

F x F y سایه ی یک بردار بر روی محور x ها را با می آوریم: سایه ی یک بردار بر روی محور y ها را با می آوریم: نشان می دهند و آن را از رابطه ی زیر بدست F x = F. cos α نشان می دهند و آن را از رابطه ی زیر بدست F y = F. sin α نکته: از روش تحلیلی زمانی استفاده می شود که: بخواهیم برآیند بیش از بردار را بدست آوریم به گونه ای که محاسبه ی برآیند آنها به روش هندسی امکان پذیر نباشد یا تأکید کنند که از روش تحلیلی برآیند را محاسبه کنید. توجه: برای فراگیری این روش ابتدا تجزیه ی بردارها به دو راستا را به صورت کامل آموزش می دهم و سپس محاسبه ی برآیند و زاویه ی برآیند با محور x ها را بیان می کنم. F 4 تا F 1 بردارهای را به دو راستای x و y تجزیه کنید. α F 1 = 10N F 1y α =39 F 1x F 1x = F 1. cos α = 10 cos 30 = 10 3 = 5 3 F 1y = F 1. sin α = 10 sin 30 = 10 1 = 5 3

F = 0N F y α =5 F x F x = F. cos α = 0 cos 45 = 0 = 10 F y = F. sin α = 0 sin 45 = 0 F بر روی قسمت منفی محور x ها قرار گرفته است. 1x = 10 F به این دلیل است که: عالمت منفی 1x α =69 F 3x F 3 = 8N F 3y F 3x = F 3. cos α = 0 cos 60 = 0 1 = 10 F 3y = F 3. sin α = 0 sin 60 = 0 3 F به این علت گذاشته شده است که: 3y و F دقت: عالمت منفی 3x = 10 3

هر دوی آنها بر روی قسمت منفی محورهای مختصات قرار گرفته اند. F 4x α=5 F 4 = 15N F 4y F 4x = F 4. cos α = 0 cos 45 = 0 = 10 F 4y = F 4. sin α = 0 sin 45 = 0 = 10 دقت: عالمت F مثبت است زیرا بر روی محور x ها 4x در جهت مثبت قرار گرفته است. اما: عالمت F منفی است زیرا بر روی محور y ها در جهت منفی قرار گرفته است. 4y 39

بررسی حالت های خاص در این حالت ها بردار اصلی بر روی یکی از محورهای مختصات قرار گرفته و فقط یک مؤلفه دارد. مؤلفه های بردارهای تا F 8 را بدست آورید. F 5 F 6 = 1N F 5 = 10N F 5x = 10N F 5y = 0 F 6x = 0 F 6y = 1N F 7 = 9N F 7x = 9N F 7y = 0 F 8 = 6N F 8x = 0 F 8y = 6N 31

برای به دست آوردن برآیند بردارها به روش تحلیلی: ابتدا مؤلفه های هر بردار را جداگانه محاسبه می کنیم. یعنی: برای هر بردار مقادیر F x و F y را به دست می آوریم. سپس جمع جبری تصویر بردارها را محاسبه می کنیم. یعنی: جمع جبری تصویر بردارها بر روی محور x ها را به دست می آوریم و آن را با F x نشان می دهیم و جمع جبری تصویر بردارها بر روی محور y ها را نیز به دست می آوریم و آن را با F y نمایش می دهیم. F y نکته: برآیند بردارها از جمع دو بردار F x و به دست می آید. به عبارت بهتر F x و F y مؤلفه های بردار برآیند هستند. برای به دست آوردن اندازه و جهت بردار برآیند از روابط زیر استفاده می کنیم: R = ( F x ) + ( F y و ) θ = tan 1 F y F x : اندازه ی بردار برآیند است. R : θ زاویه ای است که بردار برآیند با محور x ها می سازد. سوال( چگونه می توانیم تشخیص دهیم که بردار برآیند در کدام ناحیه قرار دارد جواب( از روی عالمت F x و F y 3

مثال 16 ( برآیند بردارهای F F 1 و F 3 را به روش تحلیلی محاسبه کنید. F 1 = 10 3 F = 10 3 39 39 F 3 = 0 : F محاسبه ی مؤلفه های 1 F 1x = 0 F 1y = 10 3 : F F x = F. cos 30 = 10 3 3 3 3=3 10 3 = 15 محاسبه ی مؤلفه های این مؤلفه بر روی محور x ها در جهت منفی تشکیل شده است. بنابراین عالمت آن را باید F x = 15 F y = F. sin 30 = 10 3 1 = 5 3 = 5 3 F y = 5 3 : F 3 منفی در نظر بگیریم. محاسبه ی مؤلفه های دقت کنید: زاویه ی داده شده برای بردار F زاویه ی بردار با محور y ها است و هیچ ارزشی 3 F ندارد. بنابراین ما باید با استفاده از این زاویه زاویه ی بردار 3 با محور x ها را به دست آوریم. 33

F 3x = F. 3 cos 60 = 0 1 = 10 F 3x = 10 F 3y = F. 3 sin 60 = 0 3 = 10 3 F 3y = 10 3 این مؤلفه نیز بر روی محور y ها در جهت منفی تشکیل شده است. بنابراین عالمت آن را باید منفی بگذاریم. F x = F 1x + F x + F 3x F y = F 1y + F y + F 3y F x = 0 15 + 10 = 5 F y = 10 3 + 5 3 10 3 = 5 3 F y با توجه به عالمت های F x و به این نتیجه می رسیم که: بردار برآیند در ربع دوم قرار دارد. R = ( F x ) + ( F y ) R = ( 5) + (5 3) = 5 + 75 = 10 حاال می توانیم مقدار ( θ زاویه ی بردار برآیند با محور x ها (را محاسبه کنیم. θ = tan 1 F y F x θ = tan 1 5 3 5 = tan 1 3 = θ = 60 F y و θ به سادگی می توانیم بردار برآیند را در محورهای با استفاده از مقادیر F x R مختصات رسم کنیم. 69 3

مثال 17 ( برآیند بردارهای زیر را محاسبه کنید.)در این مثال زاویه ی بین بردارها برابر 19 درجه است.( F = 0N F 1 = 0N 39 39 F 3 = 0N حل: F 1x = F 1. cos α = 0 cos 30 = 0 3 = 10 3 F 1y = F 1. sin α = 0 sin 30 = 0 1 = 10 F x = F. cos α = 0 cos 30 = 0 3 = 10 3 F y = F. sin α = 0 sin 30 = 0 1 = 10 F 3x = 0 F 3y = 0 F x = 10 3 10 3 + 0 = 0 F y = 10 + 10 0 = 0 R = ( F x ) + ( F y ) = 0 + 0 = 0 35

نکته: اگر سه بردار مساوی با یکدیگر زاویه ی 19 درجه بسازند در اینصورت: برآیند آنها برابر با صفر خواهد شد. مثال 13 ( برآیند بردارهای زیر را محاسبه کنید. F = 9N F 1 = 10N F 3 = N 59 9 F 4 = 3N نکته: اگر دو بردار در یک راستا باشند ولی جهت ها ی مخالفی داشته باشند در اینصورت: می توانیم این دو بردار را از هم کم کنیم تا یک بردار به دست آید و به این طریق محاسبه ی برآیند ساده تر می شود. بردارهای F در یک راستا هستند اما جهت های مخالفی دارند لذا: F و 3 1 این دو بردار را می توانیم از یکدیگر کم کنیم.)فرمول نیازی نیست زیرا این دو بردار هم راستا هستند.( F 1,3 = F 1 F 3 = 10 = 8N F,4 = F F 4 = 9 3 = 6N 36

پس بردارهای فوق به صورت شکل زیر تبدیل می شوند: F,4 = 6N F 1,3 = 8N 59 9 اگر به زاویه ی بین دو بردار توجه کنیم مشاهده خواهیم کرد که: این زاویه برابر با 9 درجه است. بنابراین: به سادگی و از روش فیثاغورث می توانیم این برآیند را به دست آوریم: R = (F 1,3 ) + (F,4 ) = 8 + 6 = 10 توجه: هنگام حل مسا ئلی از این قبیل باید به نکاتی که در روش هندسی آمده است نیز مسلط باشید. توجه: تست های کنکور راه حل های طوالنی ندارند. اگر به تمامی نکته های ذکر شده واقف شوید خواهید توانست که در کوتاهترین زمان به تست ها پاسخ صحیح بدهید. 37

معرفی امواج سینوسی موج سینوسی به موجی اطالق می شود که به صورت شکل زیر است: اگر قسمت باال و پایین این موج را بر روی هم قرار دهیم یک دایره یا Cycle )سیکل( به وجود می آید. یک سیکل کامل از دو نیم سیکل )نیم دایره( تشکیل شده است. نیم سیکل مثبت که در باال قرار دارد و دیگری نیم سیکل منفی که در قسمت پایین محور مختصات قرار می گیرد. فقط ولتاژ یا جریان می تواند سینوسی باشد و توان که حاصلضرب ولتاژ و جریان در یکدیگر است نمی تواند سینوسی باشد. نکته: از آنجایی که یک دایره ی کامل 369 درجه است بنابراین: یک موج سینوسی نیز که در واقع یک سیکل کامل است 369 درجه است. هر دو نیم سیکل مثبت و منفی کامال مشابه هستند. هم به لحاظ عمودی)ارتفاع یا دامنه( و هم به لحاظ افقی)زمان یا زاویه(. بنابراین می توانیم بگوییم که هر نیم سیکل 139 درجه است. 33

برای بررسی موج سینوسی باید آن را بر روی محور مختصات رسم نماییم. 9 9 139 79 369 0 π π 3π π یک موج سینوسی کامل 369 درجه یا π رادیان می باشد. π رادیان برابر با 139 درجه است. بنابراین: π π 6 رادیان برابر با 9 درجه است و رادیان برابر با 39 درجه و 3π π 4 رادیان برابر با 79 درجه می باشد. رادیان برابر با 5 درجه و π 6 رادیان نیز 39 درجه می باشد. فاز: یا زاویه فاصله ی شروع موج) ابتدای نیم سیکل مثبت( تا مبدأ مختصات را فاز یا زاویه ی موج می گویند و آن را با حرف یونانی θ نشان می دهند. اگر موج سینوسی مربوط به ولتاژ باشد فاز آن را با θ v نشان می دهند و اگر موج سینوسی مربوط به جریان باشد فاز آن را با θ i نشان می دهند. تعریف دامنه ی پیک: فاصله ی بین صفر)محور افقی( تا مثبت ترین)باالترین( نقطه ی شکل موج یا : فاصله ی بین صفر)محور افقی( تا منفی ترین)پایین ترین( نقطه ی موج پیک نامیده می شود. 3

v p (i p ) v p p (i p p ) اگر موج سینوسی مربوط به ولتاژ باشد مقدار پیک را با V P )یا V( m و مقدار پیک تا پیک را با V P P نمایش می دهیم. اما: اگر موج سینوسی مربوط به جریان باشد در اینصورت مقدار پیک را با I P )یا I( m و مقدار پیک تو پیک را با I P P نمایش می دهیم. مقدار پیک تا پیک ولتاژ متناوب عبارت است از: فاصله ی بین باالترین نقطه ی پیک مثبت و پایین ترین نقطه ی پیک منفی شکل موج است. در موج سینوسی مقدار پیک تو پیک برابر پیک است: V P P = V P با استفاده از اسیلوسکوپ می توانیم مقدار پیک تو پیک و پیک یک موج را مشاهده و اندازه گیری کنیم. مقدار مؤثر یک موج سینوسی: مقدار مؤثر هر ولتاژ یا جریان متناوب برابر است با مقدار ولتاژ یا جریان مستقیم) یا DC (که در یک مصرف کننده ی معین به همان مقدار کار یا حرارت تولید می کند. مقدار مؤثر هر ولتاژ را با V e یا V rms نشان می دهند. 9

مؤثر = effective e = جذر میانگین مربعات یا مقدار مؤثر = squre rms = root mean I rms مقدار جریان مؤثر را نیز با I e یا نشان می دهند. فرکانس: به تعداد سیکل های کاملی که در یک ثانیه پیموده می شود فرکانس می گویند و آن را با f نشان می دهند. واحد فرکانس را هرتز) HZ ( یا سیکل بر ثانیه) CPS )Cycle Per Second = می نامند. پریود یا زمان تناوب: مدت زمانی را که طول می کشد تا یک سیکل کامل به وجود آید زمان تناوب یا پریود می گویند و آن را با حرف T نمایش می دهند. واحد پریود ثانیه )S( است. T = 1 f f = 1 T روابط روبرو برقرار است: و بین f و T تا همین جا متوجه شدیم که یک موج سینوسی اگر مربوط به ولتاژ باشد دارای مشخصات زیر θ V, V e, V P P, V P, T, f است: و اگر مربوط به جریان باشد دارای مشخصات زیر می باشد: معرفی سرعت زاویه ای θ I, I e, I P P, I P, T, f v = d t است. با سرعت خطی تقریبا آشنایی داریم. رابطه ی سرعت خطی به صورت سرعت خطی را با v نشان می دهیم. d مسافت طی شده و t زمان می باشد. اما در سرعت زاویه ای مسافت طی شده مهم نیست بلکه زاویه ی طی شده مهم است. رابطه ی ω = α t سرعت زاویه ای به صورت مقابل است: 1

: ω سرعت زاویه ای بر حسب رادیان بر ثانیه : α زاویه ی طی شده بر حسب رادیان : t زمان پیموده شده برحسب ثانیه اگر یک متحرکی بخواهد کل موج سینوسی را که 369 درجه یا π رادیان است در مدت زمان یک دوره ی تناوبش) T ( طی کند در این صورت رابطه ی سرعت زاویه ای به صورت زیر خواهد ω = π T = πf شد: رسم شکل موج سینوسی اگر چه ساده است ولی حجم زیادی را می خواهد. لذا در این درس اکثر اوقات به جای رسم شکل موج سینوسی از یک معادله ی سینوسی استفاده می کنیم. چگونه یک موج سینوسی را به یک معادله تبدیل کنیم باید تمام پارامترهای یک موج سینوسی را ( خواه ولتاژ باشد یا جریان( در معادله قرار دهیم به گونه ای که از روی معادله ی موج بتوانیم شکل موج را رسم کنیم. آموزش تبدیل موج سینوسی به یک معادله ی سینوسی معادله یعنی تعادل یا تساوی بنابراین معادله ی موج باید تساوی داشته باشد.)=( این معادله باید مشخص باشد که مربوط به ولتاژ است یا جریان.) I یا ) V در این معادله کلمه ی سینوس) Sin ) باید گنجانده شود تا بفهمیم که معادله مربوط به )1 ) )3 یک موج سینوسی است. V e V P P, از بین ولتاژهای V P و تنها کافی است یکی از این ولتاژها در معادله ی ) سینوسی قرار بگیرید. زیرا با داشتن یکی از ولتاژها می توانیم دیگر ولتاژها را به دست آوریم. برای جریان ها نیز به همین ترتیب.

روابط بین 3 ولتاژ فوق به صورت زیر است: V e = V P 0.7 V e = V P و یا V P P = V P دقت: برای قرار دادن ولتاژ در معادله ی سینوسی از بین همه ی ولتاژهای فوق ولتاژ پیک ( P V( انتخاب شده است. از بین f و T و ω باید ω در معادله ی سینوسی قرار گیرد. )5 f = ω π T = 1 f و 6( فاز موج سینوسی نیز باید در معادله قرار گیرد تا مشخص شود که موج سینوسی زودتر از مبدأ مختصات متولد شده است)که در این صورت عالمت θ مثبت خواهد بود.( و یا دیرتر از مبدأ مختصات متولد شده است)که در این صورت عالمت θ منفی خواهد بود.( حاال به معادله ی ولتاژ و جریان توجه کنید. v = v m sin(ωt ± θ v ) i = i m sin(ωt ± θ i ) به جایگاه ولتاژ پیک) v m یا همان v( p کلمه ی sin و پارامترهای ω و θ خوب توجه کنید. دقت: به معادله ی سینوسی معادله ی زمانی نیز می گویند. دقت: از بین عالمت های مثبت و منفی تنها یکی از آنها قابل قبول است و باید در معادله قرار گیرد. اگر فاز موج سینوسی صفر باشد در اینصورت معادالت فوق به صورت زیر تبدیل می شود: v = v m sin ωt i = i m sin ωt 3

هنگامی که موج سینوسی بر روی محور مختصات قرار می گیرد سه حالت پدید می آید: ا( موج سینوسی از مبدأ مختصات شروع می شود که در اینصورت فاز آن صفر است. ( موج سینوسی قبل از مبدأ مختصات شروع می شود که در اینصورت عالمت فاز آن مثبت است. زیرا از مبدأ جلوتر است. 3( موج سینوسی بعد از مبدأ مختصات شروع می شود که در اینصورت عالمت فاز آن منفی است. زیرا از مبدأ عقب تر است. v بررسی حالت اول: 99V ωt 5ms مشاهده می کنید که موج سینوسی فوق دقیقا از مبدأ مختصات شروع شده است. بنابراین: در شکل فوق فاز موج برابر با صفر است: = 0 v θ برای آنکه معادله ی سینوسی شکل موج فوق را بنویسیم باید از معادله ی زیر کمک بگیریم: v = v m sin ωt

از شکل موج مربوطه باید ولتاژ پیک و سرعت زاویه ای را استخراج کنیم و به جای v m و ω در این معادله قرار دهیم. مقادیر v p p و T آوریم. داده شده است. با استفاده از این مقادیر می توانیم v m و ω را به دست v p p = 00 v m = v p = v p p v m = 100v = 00 = 100v T = 5ms f = 1 T f = 1 5m = 0.kKH = 00HZ ω = πf ω = π 00 = 400π ω = 400π حاال مقادیر به دست آمده را در معادله قرار می دهیم: v = 100 sin 400π t دقت کنید: قرار نیست که عدد 199 در sin ضرب شود و الزم نیست که سینوس زاویه ی مربوطه گرفته شود بلکه: جواب همان است که به دست آوردیم. یعنی v = 100 sin 400πt 5

مثال 1 ) معادله ی موج سینوسی زیر را به دست آورید. i 39A ωt 000μs کامال مشخص است که فاز شکل موج فوق صفر است.) 0 = i θ( ) i p = i m = 80 مقدار پیک تو پیک جریان برابر با 39 آمپر است.) = 40 دوره ی تناوب موج فوق برابر با 000μs است. ) f = 1 000μ = 0.5K = 500 ω = π 500 = 1000π( حاال کافی است که مقادیر به دست آمده را در فرمول جایگذاری کنیم. i = 40 sin 1000πt 6

v بررسی حالت دوم( v p p = 150v ωt θ v = 45 T = 50ms در این شکل موج سینوسی قبل از مبدأ مختصات شروع شده است. یعنی زودتر از مبدأ مختصات بوجود آمده است. برای آنکه نشان دهیم موج سینوسی زودتر متولد شده است باید از عالمت مثبت) + ) برای فاز موج استفاده کنیم. بنابراین: در شکل فوق فاز موج برابر با 5 درجه است: 45+ = v θ ) v p = v m = v p p مقدار پیک تو پیک ولتاژ برابر با 159 ولت است.) = 75v = 150 مدت زمان دوره تناوب برابر با 59ms است. ) f = 1 50m = 0.0K = 0 ω = π 0 = 40π( حاال کافی است که مقادیر به دست آمده را در فرمول جایگذاری کنیم. v = 75 sin(40πt + 45) 7

i مثال 9( i p p = 300A ωt θ i = 80 T = 100ms مقدار جریان پیک تو پیک داده شده است. لذا جریان پیک را محاسبه می کنیم. i p = i m = i p p = 300 = 150A مقدار فاز موج داده شده است. از آنجایی که موج زودتر از مبدأ شروع شده است بنابراین θ i = +80 عالمت فاز موج مثبت است. از مقدار دوره ی تناوب موج می توانیم ω را به دست آوریم. T = 100ms f = 1 = 0.01k = 10 100m ω = π 10 = 0π حاال مقادیر به دست آمده را در معادله ی موج سینوسی قرار می دهیم. i = 150 sin(0πt + 80) 3

v بررسی حالت سوم( T = 00ms v p p = 60v ωt θ v = 60 با توجه به شکل فوق در می یابیم که این موج بعد از مبدأ مختصات تشکیل شده است. بنابراین برای نشان دادن عقب بودن موج نسبت به مبدأ مختصات از عالمت منفی ( - ) استفاده می کنیم. بنابراین: در شکل فوق فاز موج برابر با 69- درجه است: 60 = v θ ) v p = v m = v p p مقدار پیک تو پیک ولتاژ برابر با 69 ولت است.) = 30v = 60 از مقدار دوره ی تناوب موج می توانیم ω را به دست آوریم. T = 00ms f = 1 00m = 0.005k = 5 ω = π 5 = 10π v = 30 sin(10πt 60)

i مثال 1( T = 0.0s i p p = 10A ωt θ i = 30 مقدار جریان پیک تو پیک داده شده است. لذا جریان پیک را محاسبه می کنیم. i p = i m = i p p = 10 = 5A مقدار فاز موج داده شده است. از آنجایی که موج دیرتر از مبدأ شروع شده است بنابراین θ i = 30 عالمت فاز موج منفی است. از مقدار دوره ی تناوب موج می توانیم ω را به دست آوریم. T = 0.0s f = 1 = 50 ω = π 50 = 100π 0.0 حاال مقادیر به دست آمده را در معادله ی موج سینوسی قرار می دهیم. i = 5 sin(100πt 30) 59

مثال ( موج سینوسی زیر را به معادله تبدیل کنید. v 199V ω=99 ωt با توجه به اطالعات شکل فوق می توانیم معادله ی موج سینوسی را به صورت زیر بنویسیم: v = 100 sin 00t مثال 3 ( موج سینوسی زیر را به معادله تبدیل کنید. i θ i = 45 f = 400 π i p = 10 A ωt 51

دقت کنید: عالمت فاز جریان اگرچه در شکل فوق مثبت است اما به دلیل اینکه موج بعد از مبدأ مختصات شروع شده است باید عالمت آن را منفی در نظر بگیریم. ω = πf = π 400 π = 800 i = 10 sin(800t 45) ω نیز به صورت مقابل به دست می آید: معادله ی شکل فوق به صورت مقابل است: مثال ( موج مقابل را به معادله ی زمانی یا سینوسی تبدیل کنید. v v = 30 ω=1999 ωt θ v فاز موج سینوسی داده نشده است. اما کامال مشخص است که مقدار آن برابر با 9 درجه است. زیرا دقیقا نیمی از نیم سیکل مثبت در سمت چپ مبدأ مختصات قرار گرفته است. معادله ی شکل موج فوق به صورت زیر است: v = 30 sin(1000t + 90) 5

تبدیل معادالت سینوسی به امواج سینوسی معادله ی زمانی یا سینوسی زیر را به موج سینوسی تبدیل کنید. v 1(t) = 0 sin(500πt + 60) اطالعات معادله ی سینوسی را )که شامل فاز موج سرعت زاویه ای و پیک موج است( استخراج می کنیم و شکل موج سینوسی را رسم می نماییم. فاز موج برابر با + 69 است. یعنی اینکه موج سینوسی باید قبل از مبدأ مختصات شروع شود. مقدار سرعت زاویه ای برابر با 500π است. مقدار پیک موج نیز برابر با 0 است که در شکل زیر این عدد را اعمال می کنیم. v v 1p = 0 ω=599π ωt θ v = 60 53

معادله ی زمانی یا سینوسی زیر را به موج سینوسی تبدیل کنید. i (t) = 00 sin(600t 90) اطالعات معادله ی سینوسی را )که شامل فاز موج سرعت زاویه ای و پیک موج است( استخراج می کنیم و شکل موج سینوسی را رسم می نماییم. فاز موج برابر با 9- است. یعنی اینکه موج سینوسی باید قبل از مبدأ مختصات شروع شود. مقدار سرعت زاویه ای برابر با 600 است. مقدار پیک موج نیز برابر با 00 است که در شکل زیر این عدد اعمال شده است. i i p = 00 A ωt θ i = 90 ω = 600 لطفا توجه کنید: در اینگونه مسائل که موج سینوسی بعد از مبدأ مختصات شروع شده است و عالمت فاز آن منفی است 5

گاهی اوقات در شکل موج سینوسی از گذاشتن عالمت منفی خودداری می کنند این موضوع باعث سردرگمی شما عزیزان نشود. اما باید خوب توجه داشته باشید که: چنین کاری را نمی توانید در نوشتن معادله انجام دهید. معادله ی زمانی یا سینوسی زیر را به موج سینوسی تبدیل کنید. v (t) = sin 1000πt اطالعات معادله ی سینوسی را )که شامل فاز موج سرعت زاویه ای و پیک موج است( استخراج می کنیم و شکل موج سینوسی را رسم می نماییم. فاز موج برابر با صفر است. یعنی اینکه موج سینوسی باید دقیقا از مبدأ مختصات شروع شود. مقدار سرعت زاویه ای برابر با 1000π است. مقدار پیک موج نیز برابر با یک است که در شکل زیر این عدد اعمال شده است. v 1V ω= 1000π ωt امواج سینوسی و معادالت سینوسی را شناختیم و طریقه ی تبدیل آنها به یکدیگر را نیز فراگرفتیم. حاال باید بتوانیم این دو حالت از موج را به بردار تبدیل کنیم. 55

به عبارت دیگر: از آنجایی که برخی از مشخصات امواج سینوسی و معادالت سینوسی اهمیت چندانی در حل مسایل ندارند از این رو فقط دو پارامتر از آنها را انتخاب می کنند و به صورت بردار نشان می دهند. تبدیل معادالت سینوسی و امواج سینوسی به بردار نکته: برای نمایش برداری امواج و معادالت سینوسی به " ولتاژ یا جریان مؤثر" و " فاز موج" نیاز داریم. نکته: مبنای سنجش زاویه)یا همان زاویه ی صفر( محور x ها در جهت مثبت است. y زاویه ی صفر درجه یا مبنای سنجش x نکته: به جهت خالف چرخش عقربه های ساعت جهت مثلثاتی می گویند.) CCW ) و به جهت چرخش عقربه های ساعت جهت خالف مثلثاتی می گویند.) CW ) نکته: اگر از محور x ها در جهت مثلثاتی حرکت کنیم در اینصورت زاویه ی مثبت ایجاد کرده ایم و اگر در جهت خالف مثلثاتی حرکت کنیم زاویه ی منفی ایجاد کرده ایم. 56

y +5 جهت مثبت مثلثاتی x نکته: اگر از مبدأ سنجش در جهت مثلثاتی حرکت کنیم و به بردار مورد نظر برسیم در اینصورت زاویه ی بردار مثبت خواهد بود. y جهت مثبت مثلثاتی x -5 نکته: اگر از مبدأ سنجش در جهت خالف مثلثاتی حرکت کنیم و به بردار مورد نظر برسیم در اینصورت زاویه ی بردار منفی خواهد بود. 57

توجه: در محور مختصات فقط جهت مثبت مثلثاتی نمایش داده شده است. نکته: برای یک بردار دو زاویه می توان رسم کرد. 1( زاویه ای که از مبدأ سنجش شروع شود و در جهت مثبت مثلثاتی حرکت کنیم تا به آن بردار برسیم. ( زاویه ای که از مبدأ سنجش شروع شود ولی برعکس جهت مثلثاتی حرکت کنیم تا به آن بردار برسیم. سوال( از بین زوایای فوق کدام زاویه صحیح است جواب( زاویه ای صحیح است که کوچکتر باشد.بنابراین: اگر برداری در ناحیه های 1 و باشد باید در جهت مثلثاتی حرکت کنیم تا به آن بردار برسیم و در این صورت عالمت فاز آن بردار نیز مثبت خواهد بود. اما: اگر برداری در ناحیه های 3 و باشد باید در جهت عکس جهت مثبت مثلثاتی حرکت کنیم تا به آن بردار برسیم و در این صورت عالمت فاز آن بردار منفی خواهد بود. سوال( اگر برداری دقیقا در زاویه ی 139 درجه قرار گرفته باشد در اینصورت از کدام جهت باید به آن نزدیک شد جواب( در این حالت تفاوت چندانی نمی کند زیرا یکی از زوایا 139+ و دیگری 139- خواهد بود اما بهتر است که از زاویه ی مثبت استفاده شود. 53

برای فهم بیشتر موضوع فوق به مثال های زیر توجه کنید. ابتدا زوایای مثبت را رسم می کنیم.) به جهت فلش زاویه خوب توجه کنید این فلش هم جهت با جهت مثبت مثلثاتی است.( +69 +39 +19 +9 +139 +159 5

حاال به زوایای منفی توجه کنید. -69-5 -135-9 -169 69

توجه: این زاویه ها را با زوایای گفته شده در مبحث برآیند بردارها به روش تحلیلی قاطی نکنید. در آنجا زاویه ی منفی نداشتیم و مبنای سنجش گاهی محور x ها در جهت مثبت بود و گاهی محور x ها در جهت منفی بود. اگرچه آن مبحث را نیز می توانیم با این شیوه پیاده کنیم اما همان روش را ترجیح می دهیم زیرا ساده تر است. اکنون که زاویه ی بردارها را به خوبی شناختیم و مثبت و منفی آن را به سادگی می توانیم از هم تشخیص دهیم زمان آن رسیده است که بیان کنیم: چگونه می توانیم امواج و معادالت سینوسی را به صورت بردار در آوریم برای این کار کافی است که از امواج سینوسی یا معادالت سینوسی تنها دو پارامتر را استخراج کنیم: مقدار مؤثر موج فاز موج )1 ) مثال 5 ( بردار مربوط به معادله ی سینوسی زیر را رسم نمایید. i (t) = 40 sin(1000πt 60) طبق نکات گفته شده در فوق فقط به و θ i نیاز داریم. i e θ i = و 60 i e = I p = 40 = 40 61

حاال با داشتن جریان مؤثر و فاز جریان به سادگی می توانیم بردار جریان را رسم کنیم. -69 i e = 40A مثال 6 ( بردار مربوط به معادله ی سینوسی زیر را رسم نمایید. i (t) = 40 sin(100t + 90) با توجه به معادله ی فوق مقادیر جریان مؤثر و فاز جریان را استخراج می کنیم. θ i = و +90 i e = 40 0.7 = 8 i e = 8A +9 6

مثال 7 ( بردار مربوط به معادله ی سینوسی زیر را رسم نمایید. v (t) = 50 sin(500t 10) مقادیر مورد نیاز بردار عبارتنداز: مقدار مؤثر ولتاژ و فاز ولتاژ که از معادله ی زمانی موج استخراج می کنیم: θ v = 10 حاال می توانیم بردار ولتاژ را رسم کنیم. v e = v p و = 50 = 50-19 v e = 50v مثال 3 ( بردار مربوط به موج سینوسی زیر را رسم نمایید. v 0 ω= 50π ωt 63

با توجه به موج سینوسی فوق اطالعات الزم را استخراج می کنیم: θ v و = 0 v e = v p = 0 = 0 حاال می توانیم بردار ولتاژ را رسم کنیم. v e = 0 i مثال ( بردار مربوط به موج سینوسی زیر را رسم نمایید. i p = 4 A ωt θ i = 30 ω = 000 با توجه به موج سینوسی فوق اطالعات الزم را استخراج می کنیم: 6

θ i = و 30 i e = i p = 4 = 4 حاال می توانیم بردار جریان را رسم کنیم. -39 i e = 4 مثال 39 ( بردار مربوط به موج سینوسی زیر را رسم نمایید. v v p = 100 ω=3999π ωt θ v = 10 65

با توجه به موج سینوسی فوق اطالعات الزم را استخراج می کنیم: θ v = 10 v e = 70 = 70 0.7 100 = e v و حاال می توانیم بردار ولتاژ را رسم کنیم. +19 نکته: اندازه ی بردار همیشه مقدار مؤثر موج را نشان می دهد. از مقدار پیک فقط در معادالت و امواج سینوسی استفاده می شود. اختالف فاز: زاویه ی بین بردار ولتاژ منبع و بردار جریان منبع را اختالف فاز می گویند و آن را با حرف یونانی φ )فی( نمایش می دهند. φ = θ v θ i رابطه ی اختالف فاز به صورت مقابل است: نکته: رابطه ی فوق یک رابطه ی قراردادی است. نکته: همیشه در رابطه ی اختالف فاز باید فاز ولتاژ منبع منهای فاز جریان منبع شود. نکته: از حرف φ همیشه برای اختالف فاز ولتاژ و جریان منبع استفاده کنید. از این حرف برای اختالف فاز بین ولتاژ و جریان مقاومت سلف و خازن استفاده نکنید. 66

مثال 31 ( اگر معادالت سینوسی زیر مربوط به ولتاژ و جریان منبع متناوب باشد مقدار φ را به دست آورید. v (t) = 100 sin(1000πt + 60) i (t) = 0 sin(1000πt + 15) φ = θ v θ i φ = 60 15 = 45 دقت کنید: مقدار ω در هر دو معادله یکسان است زیر ا هر دو معادله مربوط به یک منبع است. مثال 3 ( اگر معادالت سینوسی زیر مربوط به ولتاژ و جریان منبع متناوب باشد مقدار φ را به دست آورید. v (t) = 0 sin(300t + 45) i (t) = 30 sin(300t 0) φ = θ v θ i φ = 45 ( 0) = 65 مثال 33 ( اگر معادالت سینوسی زیر مربوط به ولتاژ و جریان منبع متناوب باشد مقدار φ را به دست آورید. v (t) = 50 sin(150πt + 80) i (t) = 30 sin(150πt + 10) φ = θ v θ i φ = 80 10 = 40 مثال 3 ( اگر معادالت سینوسی زیر مربوط به ولتاژ و جریان منبع متناوب باشد مقدار φ را به دست آورید. v (t) = sin(10πt 70) i (t) = sin(10πt 45) 67

φ = θ v θ i φ = 70 ( 45) = 5 مثال 35 ( اگر معادالت سینوسی زیر مربوط به ولتاژ و جریان منبع متناوب باشد مقدار φ را به دست آورید. v (t) = sin(00t 30) i (t) = 3 sin(00t 110) φ = θ v θ i φ = 30 ( 110) = +80 مثال 36 ( اگر معادالت سینوسی زیر مربوط به ولتاژ و جریان منبع متناوب باشد مقدار φ را به دست آورید. v (t) = 35 sin(40πt 0) i (t) = 1 sin(40πt + 30) φ = θ v θ i φ = 0 30 = 50 90 φ +90 نکته: محدوده ی φ به صورت مقابل است: نکته ی فوق بسیار مهم است و نشان می دهد که θ v و θ i نمی توانند بیش از 9 درجه از هم فاصله بگیرند. محاسبه ی φ را با استفاده از معادالت سینوسی بررسی کردیم. حاال می خواهیم با استفاده از بردارهای مربوط به ولتاژ و جریان منبع مقدار φ را به دست آوریم. در این مثال ها بردارهای v و i مربوط به منبع ولتاژ متناوب هستند. 63

مثال 37 ( با توجه به بردارهای داده شده مقدار φ را به دست آورید. v θ v و = 75 θ i = 30 i حاال با استفاده از فرمول اختالف فاز می توانیم به سادگی مقدار φ را محاسبه کنیم. φ = θ v θ i φ = 75 30 = 45 مثال 33 ( با توجه به بردارهای داده شده مقدار φ را به دست آورید. i θ v و = 5 θ i = 80 v φ = θ v θ i φ = 5 80 = 55 اگر به مثال های 37 و 33 توجه کنید در خواهید یافت که : 6

عالمت φ در ربع اول می تواند مثبت یا منفی باشد. این مطلب در مورد بقیه ی ربع ها نیز صادق است. پس با توجه به این مطلب بسیار مهم به این نکته ی ظریف خیلی خوب توجه کنید: عالمت φ می تواند مثبت و یا منفی باشد و این موضوع هیچ ارتباطی به ربع های چهار گانه ندارد. نکته: عالمت φ را فقط موقعیت v و i نسبت به هم تعیین می کند. به عبارت دیگر مقادیر θ v و θ i هستند که مقدار و عالمت φ را تعیین می کنند. نکته: اگر v از i جلوتر باشد در اینصورت عالمت φ مثبت است و اگر i از v جلوتر باشد در اینصورت عالمت φ منفی خواهد شد. در محور های مختصات زیر بردار v از i جلوتر است. v v i i v i v i 79

i v i v i v v i v v i i 71

v i نکته ی اساسی:هر گاه از یک بردار شروع کنیم و در جهت مثلثاتی حرکت کنیم و در کمتر از 9 درجه به بردار دوم برسیم بردار دوم از بردار اول جلوتر است. در تمام شکل های فوق بردار ولتاژ از بردار جریان جلوتر است همچنین می توانیم بگوییم: در تمام شکل های فوق بردار جریان از بردار ولتاژ عقب تر است. هر دو جمله ی فوق صحیح است اما از بین دو جمله ی فوق طبق قرارداد کتاب درسی باید از جمله ی دوم استفاده کنیم یعنی باید ابتدا بردار جریان را به کار ببریم و سپس از بردار ولتاژ استفاده کنیم. این قرارداد کامال منطقی است. به جمالت زیر توجه کنید: بردار جریان از بردار ولتاژ عقب تر است. جریان از ولتاژ عقب تر است. جریان پس است. جریان پس فاز است. 7

بنابراین هرگاه جمله ی " جریان پس فاز است." را دیدید متوجه می شوید که "جریان از ولتاژ پست تر یا عقب تر است.: هرگاه جریان پس فاز باشد عالمت φ مثبت است. به مثال های زیر خوب توجه کنید: در محور های مختصات زیر بردار i از v جلو تر است. i i v v i v i v 73

v i v i v i i v i i v v i v 7

در تمام شکل های فوق بردار ولتاژ از بردار جریان عقب تر است همچنین می توانیم بگوییم: در تمام شکل های فوق بردار جریان از بردار ولتاژ جلوتر است. هر دو جمله ی فوق صحیح است اما از بین دو جمله ی فوق طبق قرارداد کتاب درسی باید از جمله ی دوم استفاده کنیم یعنی باید ابتدا بردار جریان را به کار ببریم و سپس از بردار ولتاژ استفاده کنیم. این قرارداد کامال منطقی است. به جمالت زیر توجه کنید: بردار جریان از بردار ولتاژ جلوتر است. جریان از ولتاژ جلوتر است. جریان پیش است. جریان پیش فاز است. بنابراین هرگاه جمله ی " جریان پیش فاز است." را دیدید متوجه می شوید که "جریان از ولتاژ پیش تر یا جلوتر است.: هرگاه جریان پیش فاز باشد عالمت φ منفی است. مثال 3 ( در معادالت زیر مشخص کنید که مدار پس فاز است یا پیش فاز v (t) = 10 sin(100πt + 40) i (t) = sin(00t 30) φ = θ v θ i φ = 40 ( 30) = 70 75

عالمت φ مثبت است بنابراین مدار پس فاز است و نوع مدار اهمی- سلفی است. مثال 9 ( در معادالت زیر مشخص کنید که مدار پس فاز است یا پیش فاز v (t) = 30 sin(0t 60) i (t) = 5 sin(0t 0) φ = θ v θ i φ = 60 ( 0) = 40 عالمت φ منفی است بنابراین مدار پیش فاز است و نوع مدار اهمی- خازنی است. مثال 1 ( در معادالت زیر مشخص کنید که مدار پس فاز است یا پیش فاز v (t) = 50 sin(400t + 15) i (t) = 40 sin(400t 50) φ = θ v θ i φ = 15 ( 50) = 65 عالمت φ مثبت است بنابراین مدار پس فاز است و نوع مدار اهمی- سلفی است. مثال ( در معادالت زیر مشخص کنید که مدار پس فاز است یا پیش فاز v (t) = 80 sin(60πt 80) i (t) = 4 sin(60πt 10) φ = θ v θ i φ = 80 ( 10) = 70 عالمت φ منفی است بنابراین مدار پیش فاز است و نوع مدار اهمی- خازنی است. مثال 3 ( در معادالت زیر مشخص کنید که مدار پس فاز است یا پیش فاز v (t) = 1 sin(300t + 40) i (t) = sin(300t + 40) 76

φ = θ v θ i φ = 40 40 = 0 مقدار φ صفرشد. این به آن معنی است که: مدار اهمی خالص است. مثال ( در معادالت زیر مشخص کنید که مدار پس فاز است یا پیش فاز v (t) = 10 sin(55πt + 110) i (t) = 5 sin(55πt + 0) φ = θ v θ i φ = 110 0 = 90 مقدار φ 9+ شد. این به آن معنی است که: مدار سلفی خالص است. مثال 5 ( در معادالت زیر مشخص کنید که مدار پس فاز است یا پیش فاز v (t) = sin(80t 40) i (t) = 1 sin(80t + 50) φ = θ v θ i φ = 40 50 = 90 مقدار φ 9- شد. این به آن معنی است که: مدار خازنی خالص است. مثال 6 ( با توجه به امواج سینوسی زیر مشخص کنید که مدار پس فاز است یا پیش فاز v i φ φ φ φ φ 77

با توجه به شکل فوق متوجه می شویم که موج سینوسی مربوط به ولتاژ زودتر شروع شده و زودترهم به پیک مثبت رسیده زودتر به پیک منفی رسیده و درضمن زودتر سیکل خود را کامل کرده و به اتمام رسیده است. بنابراین: جریان در همه ی مراحل از ولتاژ عقب تر است. یعنی: مدار پس فاز است و عالمت φ مثبت خواهد بود. مثال 7 ( با توجه به امواج سینوسی زیر مشخص کنید که مدار پس فاز است یا پیش فاز i v φ φ φ φ φ با توجه به شکل فوق در می یابیم که در تمامی مراحل موج چه در شروع پیک منفی پیک مثبت و پایان سیکل موج سینوسی جریان از ولتاژ جلوتر است. بنابراین: مدار پیش فاز است و عالمت φ منفی خواهد بود. 73

در تمامی شکل های زیر موج سینوسی جریان از ولتاژ عقب تر است. یعنی: مدار پس فاز است. پس: عالمت φ در تمام شکل های زیر مثبت است. v i v i v i 7

v i در تمامی شکل های زیر موج سینوسی جریان از ولتاژ جلو تر است. یعنی: مدار پیش فاز است. پس: عالمت φ در تمام شکل های زیر منفی است. i v i v 39

i v i v 31

معرفی توان های سه گانه و مثلث توان توان الکتریکی: انرژی الکتریکی تولیدی یا مصرفی در یک ثانیه را توان الکتریکی می گویند. در مدارات جریان متناوب) ac ( توان الکتریکی در چندین مفهوم بررسی می شود. این مفاهیم عبارتند از: توان مؤثر توان غیر مؤثر و توان ظاهری توان مؤثر: این توان را با نام های توان مفید توان مصرفی توان تلف شده توان اکتیو و توان واته نیز معرفی می کنند و آن را با و P a P w نشان می دهند. P e نمادهای P V e نکته: این توان فقط در مقاومت تلف می شود. این توان تنها توانی است که مصرف می شود. مقدر این توان در سلف و خازن صفر است. در مدار های الکتریکی این توان کار مؤثر انجام می دهد. در مقاومت های اهمی این توان به صورت حرارت ظاهر می شود. رابطه ی این توان در مدارات الکتریکی جریان متناوب به صورت زیر است: P e = V e. I e. cos φ : ولتاژ مؤثر منبع جریان متناوب است. I e : جریان مؤثر منبع جریان متناوب است. : φ همان اختالف فاز بین ولتاژ و جریان منبع است. 3

به cos φ ضریب توان یا ضریب قدرت می گویند. P e را باید همیشه به صورت یک بردار افقی با زاویه ی صفر درجه نشان داد. واحد توان مؤثر وات است. توان غیر مؤثر: این توان را با نام های P e [w] P r و Q نشان P d توان غیر مفید توان راکتیو و دواته نیز می شناسند و آن را با نمادهای می دهند. نکته: این توان را نمی توان به کار مفید تبدیل کرد. این توان به شکل موج سینوسی بین مصرف کننده و شبکه رفت و برگشت می کند کاری انجام نمی دهد. نکته: وجود سلف و خازن در شبکه های الکتریکی موجب می شود که نتوانند در جریان نامی توان مفید کامل به شبکه تحویل دهند. رابطه ی توان غیر مؤثر به صورت زیر است: P d = V e. I e. sin φ این توان را به صورت بردار عمودی با زاویه ی 9 درجه نشان می دهند. واحد این توان VAR )ولت-آمپر-راکتیو( است. P d [VAR] 33

چون در خازن ها مدار پیش فاز است عالمت φ منفی است و توان P d را با عالمت منفی خواهیم داشت. لذا: P d [VAR] ( ) جهت فلش در بردار P d به سمت پایین است. اما در سلف ها مدار پس فاز است و عالمت φ مثبت است. لذا عالمت P d مثبت خواهد شد و جهت فلش بردار P d به سمت باال خواهد بود. P d [VAR] ( ) توان ظاهری: حاصل ضرب ولتاژ و جریان مؤثر را توان ظاهری می گویند و آن را با عالمت اختصاری P s یا S نشان می دهند. واحد توان ظاهری ولت-آمپر است. رابطه ی توان ظاهری به صورت زیر است. P s = V e. I e P s P d توان های P e و با هم تشکیل یک مثلث قائم الزاویه می دهند بطوریکه: وتر این مثلث است. P s 3

این مثلث به دو صورت می تواند تشکیل شود: اگر مدار خاصیت اهمی- سلفی داشته باشد در اینصورت عالمت اصطالحا گفته می شود که: مثلث روبه باال تشکیل می شود. φ > 0 P d مثبت است و )1 اگر مدار خاصیت اهمی- خازنی داشته باشد در اینصورت عالمت اصطالحا گفته می شود که: P d منفی است و ) φ < 0 مثلث روبه پایین تشکیل می شود. نکته: اگر مثلث توان تشکیل شود در اینصورت: زاویه ی φ تشکیل می شود. بین بردار P e و P S در مدار اهمی خالص P d وجود ندارد )0 = d P(. بنابراین مثلث توان تشکیل نمی شود. در مدار خازنی خالص P e وجود ندارد )0 = e P(. بنابراین مثلث توان تشکیل نمی شود. در مدار سلفی خالص نیز P e وجود ندارد )0 = e P(. بنابراین مثلث توان تشکیل نمی شود. P s = P e خواهد شد. اگر مقدار P d صفر باشد در اینصورت اگر مقدار P e صفر باشد در اینصورت d P s = P خواهد شد. چرا P d داخل قدر مطلق قرار گرفته است 35

مقدار P s هیچ گاه نمی تواند منفی باشد به همین علت P d را داخل قدر مطلق قرار می دهیم. P s P d و بین P e روابط زیر برقرار است: P e = V e. I e. cos φ P d = V e. I e. sin φ V e.i e =P s V e.i e =P s P e = P s. cos φ P d = P s. sin φ P s = P e + P d P e = V ei e cos φ = cos φ cos φ = P e P s V e I e P S P d P s = V ei e sin φ V e I e = sin φ sin φ = P d P s P d = V ei e sin φ P e V e I e cos φ = tan φ tan φ = P d P e به tan φ در مدارات R L و R C ضریب کیفیت می گویند. نکته: عناصر متصل به منبع میزان φ را مشخص می کنند. به عبارت دیگر V e x c و x l جریان منبع ) e I) متناسب با مقادیر اهمی R از منبع بیرون می آید و از فاصله می گیرد و یا به آن نزدیک می شود. اهمی مدار بیشتر باشد اختالف فاز V e و I e منبع کم می شود و به صفر نکته : هر چه خصلت نزدیک می شود. 36

I e نکته : هر چه خصلت سلفی مدار افزایش یابد اختالف فاز V e و منبع زیاد می شود و به 9+ نزدیک می شود. I e نکته : هر چه خصلت خازنی مدار افزایش یابد اختالف فاز V e و منبع زیاد می شود و به 9- نزدیک می شود. مقاومت قطعه ای است که جریان عبوری از آن با ولتاژ دوسرش هم فاز است. v i i v سلف المانی است که جریان عبوری از آن به اندازه ی 9 درجه از ولتاژ دو سرش عقب تر است. v i v +9 i φ=+9 37

خازن المانی است که جریان عبوری از آن به اندازه ی 9 درجه از ولتاژ دو سرش جلو تر است. v i i -9 φ=-9 v نکته: اگر مدار جریان متناوبی فقط شامل مقاومت باشد در اینصورت جریان و ولتاژ منبع هم فاز خواهند بود. یعنی: جریان منبع متناسب با مصرف کننده ی متصل به آن هم فاز با ولتاژ منبع بیرون خواهد آمد. نکته: اگر مدار جریان متناوبی فقط شامل سلف باشد در اینصورت جریان منبع با اختالف فاز 9 درجه نسبت به ولتاژ منبع دیرتر بیرون خواهد آمد. در این حالت می توانیم بگوییم که : مدار پس فاز است و اختالف فاز مدار 9+ می باشد. نکته: اگر مدار جریان متناوبی فقط شامل خازن باشد در اینصورت جریان منبع با اختالف فاز 9 درجه نسبت به ولتاژ منبع زودتر بیرون خواهد آمد. در این حالت می توانیم بگوییم که : مدار پیش فاز است و اختالف فاز مدار 9- می باشد. نکته: اگر مداری شامل مقاومت و سلف باشد در اینصورت اختالف فاز جریان و ولتاژ منبع متناسب با مقادیر اهمی مقاومت و سلف عددی بین صفر و 9+ خواهد بود. یعنی: 0 < φ < +90 33

نکته: اگر مقدار R x l با برابر باشد در اینصورت: 5+ =φ خواهد شد. نکته: اگر مداری شامل مقاومت و خازن باشد در اینصورت اختالف فاز جریان و ولتاژ منبع متناسب با مقادیر اهمی مقاومت و خازن عددی بین صفر و 9- خواهد بود. یعنی: 90 < φ < 0 نکته: اگر مقدار R x c با برابر باشد در اینصورت: 5- =φ خواهد شد. در مدارات جریان متناوب یا ac شارژ و دشارژ سلف و خازن بررسی نمی شود زیرا در این گونه مدارات در یک نیم سیکل شارژ و در نیم سیکل دیگر دشارژ اتفاق می افتد. لذا: سلف و خازن را در مدارات ac به صورت مقاومت نشان می دهند. مقاومت سلف را با x l نشان می دهند. این مقاومت را مقاومت سلفی عکس العمل سلفی یا راکتانس سلفی نیز می نامند. : همان راکتانس سلفی است که رابطه ی آن به صورت زیر است: x l x l = l. ω ω=πf x l = πfl l[h] اندوکتانس یا ضریب خودالقایی سلف است و واحد آن هانری می باشد: : l واحد x l اهم است. [Ω] x l قانون اهم برای x l نیز صادق است. x c : همان راکتانس خازنی است که رابطه ی آن به صورت زیر است: x c = 1 cω ω=πf x c = 1 πfc 3

x C را مقاومت خازنی عکس العمل خازنی یا راکتانس خازنی نیز می نامند. C[F] ظرفیت یا کاپاسیتانس است و واحد آن فاراد می باشد: : c واحد x C اهم است. [Ω] x C قانون اهم برای x C نیز صادق است. نکته: سلف ها و خازن ها در مدارات جریان متناوب ( c x و x( l دقیقا مشابه مقاومت ها با هم Ω 19Ω 3Ω ترکیب می شوند. x lt = x l1 + x l + x l3 = 4 + 10 + 8 = Ω 69Ω 39Ω x lt = x l1.x l = 60 30 x l1 +x l 60+30 x lt = 1800 90 = 0Ω 19Ω 5Ω 3Ω x ct = x c1 + x c + x c3 = 10 + 5 + 3 = 18Ω 15Ω 19Ω x ct = x c1.x c x c1 +x c = 15 10 15+10 x ct = 150 5 = 6Ω 9

نکته: در مدارات dc سلف ها مانند مقاومت ها و خازن ها برعکس مقاومت ها با هم ترکیب می شوند. 5H H 13H L T = L 1 + L + L 3 = 5 + + 13 = 0H 30H 15H L T = L 1 L L 1 +L = 30 15 30+15 = 450 45 = 10H 0µF 30µF C T = C 1 C C 1 +C = 0μ 30μ 0μ+30μ = 600μ 50 = 1μF 14µF 0µF 6µF C T = C 1 + C + C 3 = 14μ + 0μ + 6μ = 40μF توجه: از روی واحد سلف در مدارات )) dc و (( ac می توانیم بفهمیم که: مقدار داده شده برای راکتانس است یا اندوکتانس وهمچنین: از روی واحد خازن در مدارات )) dc و (( ac می توانیم بفهمیم که: مقدار داده شده برای راکتانس است یا ظرفیت. 1

نتیجه: با خازن های سری و موازی هنگامی که بر حسب فاراد باشند بر عکس مقاومت ها برخورد می کنیم. یعنی: با خازن های سری مانند مقاومت های موازی و با خازن های موازی مانند مقاومت های سری برخورد می کنیم. مثلث توان ها در این مبحث مسائلی که به نحوی به مثلث توان ها مربوط می باشد مطرح می شود. اعم از محاسبه و رسم مثلث توان ها و یا قرار گرفتن دو یا چند مثلث توان به دنبال هم و رسم مثلث توان نهایی و محاسبه ی ضریب توان یا ضریب کیفیت کل. در تمام مسائلی که مربوط به مثلث توان ها می باشد باید: ابتدا توان های مؤثر و غیر مؤثر را به دست آوریم و سپس از روی این توان ها بقیه ی مجهوالت را محاسبه کنیم. مثال 3 ( در یک مدار الکتریکی معادله ی ولتاژ (75 + sin(50πt v (t) = 100 و معادله ی جریان 45) + sin(50πt i (t) = 0 است. توان های حقیقی غیر مؤثر و ظاهری مدار را به دست آورید و مثلث توان ها را رسم کنید. v m = 100 v e = v m 0.7 = 100 0.7 = 70 i m = 0 i e = i m = 0 = 0 θ v و = 75 θ i = 45 φ = θ v θ i = 75 45 = 30

با توجه به عالمت φ نتیجه می گیریم که: مدار پس فاز است زیرا عالمت φ مثبت است. بنابراین: باید عالمت P d نیز مثبت باشد. P e = v e. i e. cos φ = 70 0 cos 30 = 1400 3 = 700 3 P d = v e. i e. sin φ = 70 0 sin 30 = 1400 1 = 700 P s = v e. i e = 70 0 = 1400 P S = 1400 VA P d = 700 VAR φ = 39 P e = 700 3 W مثال ( در یک مدار الکتریکی معادله ی ولتاژ (90 sin(ωt v (t) = 30 و معادله ی جریان 30) sin(ωt i (t) = 10 است. توان های حقیقی غیر مؤثر و ظاهری مدار را به دست آورید و مثلث توان ها را رسم کنید. v m = 30 i m = 10 θ v = و 90 θ i = 30 v e = V m = 30 = 30 i e = i m = 10 = 10 φ = θ v θ i = 90 ( 30) = 60 با توجه به عالمت φ نتیجه می گیریم که: مدار پیش فاز است زیرا عالمت φ منفی است. بنابراین: باید عالمت P d نیز منفی باشد. 3

P e = v e. i e. cos φ = 30 10 cos( 60) = 300 1 = 150 P d = v e. i e. sin φ = 30 10 sin( 60) = 300 3 = 150 3 P s = v e. i e = 30 10 = 300 P e = 150 w φ = - 69 P S = 300 VA P d = 150 3 VAR مثال 59 ( در یک مدار الکتریکی معادله ی ولتاژ (0 sin(1000t v (t) = 00 و معادله ی جریان 5) + sin(1000t i (t) = 40 است. توان های حقیقی غیر مؤثر و ظاهری مدار را به دست آورید و مثلث توان ها را رسم کنید. v m = 00 v e = v m 0.7 = 00 0.7 = 140 i m = 10 i e = i m 0.7 = 40 0.7 = 8 θ v = و 0 θ i = +5 φ = θ v θ i = 0 5 = 45 با توجه به عالمت φ نتیجه می گیریم که: مدار پیش فاز است زیرا عالمت φ منفی است. بنابراین: باید عالمت P d نیز منفی باشد. P e = v e. i e. cos φ = 140 8 cos( 45) = 390 = 1960 P d = v e. i e. sin φ = 140 8 sin( 45) = 300 = 1960

P s = v e. i e = 140 8 = 390 P e = 1960 w φ = - 69 P S = 390 VA P d = 1960 VAR مثال 51 ( دیاگرام توان یک مدار الکتریکی جریان متناوب مطابق شکل زیر است. ضریب توان 9w کل شبکه چقدر است برای حل اینگونه مسائل باید به روش زیر رفتار کنید: 59VAR 19VAR ها را با هم جمع می کنیم. ها را با هم جمع جبری می کنیم. P e P d )1 ) 19W P S = P مقدار توان ظاهری کل را به دست می آوریم. 3( با استفاده از رابطه ی e + P d cos φ = P et P ST با استفاده از رابطه ی آوریم. می توانیم مقدار ضریب توان کل را به دست ) ها توجه: P d با هم جمع جبری می شوند. یعنی جمع با رعایت عالمت زیرا می توانند مثبت یا منفی باشند. P et = P e1 + P e = 0 + 10 = 30 w P dt = P d1 + P d = 50 10 = 40 VAR 5

P ST = P et + P dt = 30 + 40 = 500 = 50 VA cos φ = P et P ST = 30 50 = 0.6 ضریب توان کل شبکه برابر است با: مثال 5 ( دیاگرام توان یک مدار الکتریکی جریان متناوب مطابق شکل زیر است. توان ظاهری 9w کل شبکه چقدر است 9 VAR 9W 199 VAR دقت کنید: هنگامی که بردار P d روبه پایین است عالمت آن منفی است. خواه برای آن عالمت منفی گذاشته باشند یا نه. P et = P e1 + P e = 40 + 0 = 60 w P dt = P d1 + P d = 0 100 = 80 VAR P ST = P et + P dt = 60 + ( 80) = 10000 = 100 VA مثال 53 ( دیاگرام توان یک مدار الکتریکی جریان متناوب مطابق شکل زیر است. توان ظاهری و 9w ضریب توان کل شبکه چقدر است 59VAR 39W 9 VAR 6

P et = P e1 + P e = 90 + 30 = 10 w P dt = P d1 + P d = 50 40 = 90 VAR P ST = P et + P dt = 10 + ( 90) = 500 = 150 VA cos φ = P et P ST = 10 150 = 0.8 ضریب توان کل شبکه برابر است با: مثال 5 ( دیاگرام توان یک مدار الکتریکی جریان متناوب مطابق شکل زیر است. توان ظاهری و ضریب توان کل شبکه چقدر است 69 VAR 9 W 199 VAR 39 W P et = P e1 + P e = 80 + 40 = 10 w P dt = P d1 + P d = 100 + 60 = 160 VAR P ST = P et + P dt = 10 + 160 = 40000 = 00 VA cos φ = P et P ST = 10 00 = 0.6 ضریب توان کل شبکه برابر است با: 7

مثال 55 ( شبکه ای شامل 3 مصرف کننده به صورت زیر است. مطلوب است محاسبه ی: w الف( توان ظاهری کل شبکه ب ) ضریب قدرت کل شبکه 19VAR 1 VAR VAR 19W 6W P et = P e1 + P e + P e3 = 10 + 4 + 6 = 0w P dt = P d1 + P d + P d3 = 10 1 + = 0VAR P ST = P et + P dt = 0 + 0 = 800 = 0 VA cos φ = P et = 0 = P ST 0 ضریب قدرت کل شبکه برابر است با: مثال 56 ( یک شبکه ی الکتریکی دارای مصرف کننده هایی با مشخصات زیر است: مصرف کننده ی 1 : پس فاز = 0.6 1 cos φ و P S1 = 5k VA P e = 5KW و P d = 10KVAR مصرف کننده ی : پیش فاز الف( مثلث توان های مصرف کننده ها را محاسبه کرده و به دنبال هم رسم کنید. ب ) توان مؤثر راکتیو و ظاهری شبکه را به دست آورید. ج ) ضریب توان کل شبکه چقدر است توجه: برای حل چنین مسائلی باید به صورت زیر رفتار کنیم: 3

برای هر مصرف کننده باید ابتدا P e و P d را به دست آوریم. )1 ها را باهم جمع کنیم. چون عالمت همه ی آنها مثبت است. ها را نیز با هم جمع جبری می کنیم. زیرا بعضی از آنها مثبت)پس فاز( و بعضی دیگر P e P d ) )3 منفی)پیش فاز( هستند. P dt P d P et جمع P e ها را می نامیم و جمع جبری ها را می نامیم و با استفاده از ) P ST = P et رابطه ی + P dt می توانیم مقدار توان ظاهری کل را به دست آویم. cos φ = P et می توانیم مقدار ضریب توان را محاسبه کنیم. با استفاده از رابطه ی P ST )5 حل مسئله: P e1 = P S1 cos φ 1 = 5K 0.6 = 3KW Cos φ 1 = 0.6 φ 1 = 53.13 sin φ 1 = 0.8 P d1 = P S1 sin φ 1 = 5K 0.8 = 4K VAR P d1 مثبت است زیرا مصرف کننده ی 1 پس فاز است. عالمت P d خوشبختانه مقادیر P e و داده شده است و نیازی نیست که محاسبه ای صورت گیرد. P e = 5K W و P d = 10K VAR عالمت P d را منفی می گذاریم زیرا مصرف کننده ی پیش فاز است. P et = P e1 + P e = 3K + 5K = 8K W P dt = P d1 + P d = 4K 10K = 6K W P ST = (8K) + ( 6K) = 10K VA

5K W رسم مثلث توان ها به دنبال هم: K VAR 19K VAR 3K W 3 K W رسم مثلث توان کل شبکه: 19 K VA - 6 K VAR cos φ T = P et P ST = 8K 10K = 0.8 محاسبه ی ضریب توان کل شبکه: مثال 57 ( دو شبکه ی الکتریکی با مشخصات زیر مفروض است: پس فاز P d1 = 140 VAR و P e1 = 100 W فاز پیش P d = 0 VAR و P S = 0 VA الف( مثلث توان کل شبکه را رسم کنید. ب ) ضریب قدرت کل شبکه را محاسبه کنید. 199