Χ. Δημουλιά, Σύγχρονες Ηλεκτρικές Μηχανές Κεφάλαιο 3 1 Κεφάλαιο 3 Μαγνητικά Πεδία σε Σύγχρονες Μηχανές 3.1 Μαγνητικά πεδία σε μηχανές με ομοιόμορφο διάκενο. Θα εξετάσουμε εδώ το μαγνητικό πεδίο στο διάκενο μιας στοιχειώδους μηχανής που δημιουργείται από το ρεύμα σε ένα τύλιγμα του στάτη. Στο Σχ.3.1 φαίνεται μια στοιχειώδης μηχανή με ομοιόμορφο διάκενο και ένα συγκεντρωμένο τύλιγμα στο στάτη. Το μαγνητικό υλικό του στάτη και του δρομέα θεωρούμε ότι έχει, σε σχέση με τον αέρα του διακένου, πολύ μεγάλη μαγνητική διαπερατότητα-όπως συμβαίνει και στην πράξη. Με αυτήν την συνθήκη, η συνολική μαγνητική αντίσταση καθορίζεται από το διάκενο το μήκος του οποίου θεωρούμε ότι είναι g. Το τύλιγμα του στάτη έχει Ν σπείρες και διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα i. Η ΜΕΔ γύρω από κάθε αυλάκι είναι N i ενώ η κατανομή της στο χώρο είναι βηματική όπως φαίνεται στο Σχ. 3.1b. H ένταση Η ag του μαγνητικού πεδίου στο διάκενο καθορίζεται από τις εξισώσεις του Maxwell και συγκεκριμένα από την Hdl = Jda (3.1) c s Το δεξί μέρος της (3.1) δίνει την συνολική ποσότητα ρεύματος που περικλείεται σε μια επιφάνεια. Στην περίπτωση της στοιχειώδους μηχανής που εξετάζουμε είναι η επιφάνεια γύρω από κάθε αυλάκι και η ποσότητα ρεύματος είναι ίση με την ΜΕΔ, δηλαδή N i. Εάν θεωρήσουμε ότι το μήκος του διακένου είναι πολύ μικρότερο από την ακτίνα του δρομέα (αυτό ισχύει και στην πράξη) τότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η ένταση H ag του μαγνητικού πεδίου στο διάκενο είναι σταθερή και ότι το πεδίο έχει την κατεύθυνση της ακτίνας. Έτσι, το αριστερό μέρος της (3.1) εκφυλίζεται, στην συγκεκριμένη περίπτωση, σε H ag g. Η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο διάκενο είναι επομένως, H ag F Ni g = ag = (3.2) g Η ένταση του πεδίου στο διάκενο βλέπουμε ότι έχει την ίδια μορφή με την ΜΕΔ απλώς τα μέτρα τους σχετίζονται με το 1/g όπως φαίνεται στο Σχ. 3.1c. Η θεμελιώδης αρμονική της έντασης του μαγνητικού πεδίου στο διάκενο θα είναι,
Χ. Δημουλιά, Σύγχρονες Ηλεκτρικές Μηχανές Κεφάλαιο 3 2 Σχ. 3.1 Η ΜΕΔ και ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο διάκενο μηχανής με κυλινδρικό δρομέα και ένα συγκεντρωμένο τύλιγμα πλήρους βήματος στο στάτη. H F 4 Ni cosθ 2g π 2g a1 ag1 = = (3.3) και η μέγιστη τιμή της στο χώρο είναι ( H ag1) peak 4 Ni = π 2g (3.4)
Χ. Δημουλιά, Σύγχρονες Ηλεκτρικές Μηχανές Κεφάλαιο 3 3 Για ένα διανεμημένο τύλιγμα, όπως αυτό του Σχ. 2.12, σε μια μηχανή με P πόλους και Ν ph σπείρες ανά τύλιγμα η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο διάκενο είναι αντίστοιχα, H ag1 4 kwnph P = ia cos θ π g P 2 (3.5) Παράδειγμα 3.1 Μια τετραπολική σύγχρονη γεννήτρια με ομοιόμορφο διάκενο έχει στον δρομέα ένα διανεμημένο τύλιγμα με 263 σπείρες συνδεδεμένες εν σειρά. Ο συντελεστής τυλίγματος είναι 0,935 και το μήκος του διακένου είναι 0,7mm. Να υπολογισθεί το ρεύμα που πρέπει να διαρρέει το τύλιγμα του δρομέα έτσι ώστε η μέγιστη τιμή της θεμελιώδους αρμονικής της πυκνότητας της μαγνητικής ροής στο διάκενο να είναι 1.6Τ. Λύση Η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο διάκενο λόγω του ρεύματος του δρομέα μπορεί να υπολογισθεί από μια σχέση αντίστοιχη της (3.5) όπου το γινόμενο k w N ph θα πρέπει να αντικατασταθεί από την k r N r. Έτσι, B H kn I g P 4 r r ag1 = μ 0 ag1 = μ 0 r π ( ) ( ) Θέτοντας στην παραπάνω σχέση, (B ag1 ) =1.6T, k r =0.935, N r =263, P=4, μ 0 =4π10-7 βρίσκουμε I r =11.4A. 3.2 Δημιουργία στρεφόμενων μαγνητικών πεδίων σε μηχανές Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την δημιουργία στρεφόμενων μαγνητικών πεδίων από τα ρεύματα του στάτη σε τριφασικές μηχανές. Η εξέταση θα γίνει αρχικά με ποιοτική ανάλυση και στην συνέχεια θα ακολουθήσει και ποσοτική ανάλυση. 3.2.1 Ποιοτική ανάλυση Για να εξετάσουμε την δημιουργία του μαγνητικού πεδίου από τρία συμμετρικά ρεύματα στο στάτη θα θεωρήσουμε μία τριφασική μηχανή δύο πόλων όπου το τύλιγμα κάθε φάσης είναι συγκεντρωμένο σε δύο αυλάκια και θα θεωρήσουμε ότι η ΜΕΔ από το ρεύμα κάθε φάσης είναι-παρά την παραδοχή του συγκεντρωμένου τυλίγματος- ημιτονοειδώς κατανεμημένη στον χώρο. Τα αποτελέσματα της ανάλυσης θα επεκταθούν στην συνέχεια και σε μηχανές με περισσότερους πόλους. Τα τυλίγματα των τριών φάσεων κατασκευάζονται έτσι ώστε οι μαγνητικοί τους άξονες να είναι μετατοπισμένοι κατά 120 στον χώρο όπως φαίνεται στο Σχ.
Χ. Δημουλιά, Σύγχρονες Ηλεκτρικές Μηχανές Κεφάλαιο 3 4 3.2α. Αυτό, όπως θα δούμε αργότερα, είναι απαραίτητο για την δημιουργία ενός σταθερού σε μέτρο συνιστάμενου μαγνητικού πεδίου. Σχ. 3.2α Σχηματική παράσταση τριφασικής διπολικής σύγχρονης μηχανής με τρία συγκεντρωμένα τυλίγματα πλήρους βήματος στο στάτη. Σχ. 3.2β Τα τρία συμμετρικά ρεύματα που διαρρέουν τα τυλίγματα των φάσεων a, b, c στο Σχ. 3.2α. Θεωρούμε ότι στα τρία τυλίγματα ρέουν τρία ρεύματα ημιτονοειδή με διαφορά φάσης στον χρόνο 120 όπως φαίνεται στο Σχ. 3.2β. Ορίζουμε σαν αρχή των χρόνων αυθαίρετα- την στιγμή που το ρεύμα της φάσης α είναι μέγιστο. Έτσι τα ρεύματα περιγράφονται από τις ia = Imcosωet (3.6) ib = Imcos( ωet 120 ) (3.7) i = I cos( ω t+ 120 ) (3.8) c m e Όπως προαναφέρθηκε, η ΜΕΔ που παράγεται από το ρεύμα μιας φάσης είναι ένα στάσιμο κύμα το οποίο μεταβάλλεται ημιτονοειδώς, άρα μπορεί να παρασταθεί με ένα διάνυσμα η θέση του οποίου είναι πάντοτε στον μαγνητικό άξονα της αντίστοιχης φάσης. Το μέτρο αυτού του διανύσματος μεταβάλλεται αναλογικά με την στιγμιαία τιμή του ρεύματος. Την χρονική στιγμή t=0, το ρεύμα της φάσης α είναι μέγιστο (i a =I m ) όπως φαίνεται στο Σχ. 3.2β. Άρα, η ΜΕΔ της φάσης α είναιεκείνη την χρονική στιγμή- ένα διάνυσμα που βρίσκεται πάνω στον μαγνητικό άξονα της φάσης α και έχει μέτρο F a =F με το F να δίνεται από την (2.6). Την ίδια χρονική στιγμή τα ρεύματα των φάσεων b και c είναι I m /2 και επομένως οι αντίστοιχες ΜΕΔ θα είναι F b =F c =-F /2 και θα βρίσκονται στο αρνητικό μέρος των αντίστοιχων μαγνητικών αξόνων. Τα διανύσματα των ΜΕΔ την χρονική στιγμή t=0 φαίνονται στο Σχ. 3.3. Η συνιστάμενη ΜΕΔ είναι το διανυσματικό άθροισμα των τριών επιμέρους φασικών και για t=0 βρίσκεται στον μαγνητικό άξονα της φάσης α και έχει μέτρο F s =3/2F. Την χρονική στιγμή ωt=60, το ρεύμα των φάσεων α και b είναι I m /2 ενώ το ρεύμα της φάσης c είναι -I m. Οι ΜΕΔ των αντίστοιχων φάσεων θα είναι όπως φαίνεται στο Σχ. 3.4. Είναι F a =F b =F /2 και οι ΜΕΔ αυτές βρίσκονται στο θετικό
Χ. Δημουλιά, Σύγχρονες Ηλεκτρικές Μηχανές Κεφάλαιο 3 5 μέρος των αντίστοιχων μαγνητικών αξόνων. Η F c =-F και η ΜΕΔ αυτή βρίσκεται στο αρνητικό μέρος του μαγνητικού άξονα της φάσης c. Σχ. 3.3 ΜΕΔ των τριών φάσεων την χρονική στιγμή t 0. Παρατηρούμε ότι πάλι το μέτρο της συνισταμένης ΜΕΔ είναι F s =3/2F αλλά η θέση του διανύσματός της έχει μετατοπισθεί κατά 60 σε σχέση με τον μαγνητικό άξονα της φάσης α, δηλαδή σε σχέση με την χρονική στιγμή t=0. Σχ. 3.4 ΜΕΔ των τριών φάσεων την χρονική στιγμή ωt 60. Εάν εξετάσουμε το φαινόμενο την χρονική στιγμή ωt=120, (Σχ. 3.5) θα δούμε ότι η συνιστάμενη ΜΕΔ έχει πάλι μέτρο F s =3/2F αλλά η θέση της έχει μετακινηθεί στον χώρο κατά 120 σε σχέση με την χρονική στιγμή t=0.
Χ. Δημουλιά, Σύγχρονες Ηλεκτρικές Μηχανές Κεφάλαιο 3 6 Σχ. 3.5 ΜΕΔ των τριών φάσεων την χρονική στιγμή ωt 120. Παρατηρούμε λοιπόν ότι η συνιστάμενη ΜΕΔ έχει σταθερό μέτρο αλλά η θέση της περιστρέφεται στο χώρο. Μετά από χρόνο ωt=2π η συνιστάμενη ΜΕΔ θα επιστρέψει στην αρχική της θέση, δηλαδή στον μαγνητικό άξονα της φάσης α. Έτσι σε έναν κύκλο του ρεύματος (ωt=2π στον χρόνο) η συνιστάμενη ΜΕΔ έκανε έναν κύκλο στον χώρο. Αυτό συμβαίνει σε μία μηχανή δύο πόλων. Σε μία μηχανή P πόλων η συνιστάμενη ΜΕΔ θα έκανε 2/P περιστροφές σε κάθε κύκλο του ρεύματος. 3.2.2 Αναλυτική Προσέγγιση Για να δούμε αναλυτικά την συνιστάμενη ΜΕΔ θα θεωρήσουμε σαν αρχή μέτρησης της γωνίας θ στο διάκενο, τον μαγνητικό άξονα της φάσης α όπως φαίνεται στο Σχ. 3.6. Κάθε χρονική στιγμή t και οι τρεις φάσεις συνεισφέρουν στην συνιστάμενη ΜΕΔ. Η συνεισφορά της φάσης α είναι F a cosθ, όπου F α είναι το πλάτος του κύματος της ΜΕΔ της φάσης α και όπως προαναφέρθηκε εξαρτάται από την στιγμιαία τιμή του ρεύματος της φάσης α. Έτσι, εάν i a =I m cosωt, θα είναι 4 kwnph Fa = Imcosωt = F π P cosωt (3.9) Σχ. 3.6 Συνεισφορά της ΜΕΔ κάθε φάσης στην διαμόρφωση της συνιστάμενης ΜΕΔ του στάτη.
Χ. Δημουλιά, Σύγχρονες Ηλεκτρικές Μηχανές Κεφάλαιο 3 7 και η συνεισφορά της ΜΕΔ της φάσης α στην συνισταμένη ΜΕΔ στην θέση θ είναι F ( θ, ωt) = F cosωt cosθ (3.10) a Ομοίως, η συνεισφορά της ΜΕΔ της φάσης b στην συνισταμένη ΜΕΔ στην θέση θ είναι F ( θω, t) = F cos( ωt 120 ) cos( θ 120 ) (3.11) b και η συνεισφορά της ΜΕΔ της φάσης c στην συνισταμένη ΜΕΔ στην θέση θ είναι F ( θω, t) = F cos( ωt 240 ) cos( θ 240 ) c (3.12) Η συνιστάμενη ΜΕΔ από τα τρία ρεύματα του στάτη, σε μια θέση θ, θα είναι,, F( θ, t) = Fa( θω, t) + Fb( θω, t) + Fc( θω, t) = = F ( ) ( ) ( ) ( ) cosωt cosθ + F cos ωt 120 cos θ 120 + F cos ωt 240 cos θ 240 = 3 = F ( ) cos θ ωt 2 (3.13) H συνιστάμενη ΜΕΔ είναι ένα κύμα το οποίο έχει σταθερό μέτρο και μεταβάλλεται ημιτονοειδώς στον χώρο. Σχ. 3.7 Μετακίνηση της συνιστάμενης ΜΕΔ του στάτη με τον χρόνο. γωνιών. Η φασική του γωνία στον χώρο είναι ωt δηλαδή γραμμική συνάρτηση του χρόνου. Έτσι κάποια χρονική στιγμή tx, η συνιστάμενη ΜΕΔ έχει μέγιστη τιμή 3/2 F και η θέση του μεγίστου της είναι σε γωνία ω tx σε σχέση με την αρχή μέτρησης των γωνιών (εδώ, αρχή μέτρησης των γωνιών, θεωρήθηκε ο μαγνητικός άξονας της φάσης α) όπως φαίνεται στο Σχ. 3.7. Μία άλλη χρονική στιγμή, ty, το μέγιστο της συνιστάμενης ΜΕΔ είναι πάλι 3/2 F αλλά τώρα αυτό το μέγιστο βρίσκεται σε γωνία ω ty σε σχέση με την αρχή μέτρησης των Το μέγιστο δηλαδή, έχει μετακινηθεί κατά ω (ty-tx) στο διάκενο. Η γωνιακή ταχύτητα του κύματος της συνιστάμενης ΜΕΔ είναι, επομένως, ω. Σε μία μηχανή με P πόλους η γωνιακή της ταχύτητα θα ήταν (2/Ρ) ω rad/s, ή n=120 f/p rpm.
Χ. Δημουλιά, Σύγχρονες Ηλεκτρικές Μηχανές Κεφάλαιο 3 8 Ο αναγνώστης μπορεί να παρακολουθήσει τα αντίστοιχα videos για την πληρέστερη κατανόηση της δημιουργίας του συνιστάμενου από τα τρία επιμέρους πεδία. Παρατηρούμε λοιπόν ότι τρία συμμετρικά ρεύματα στον στάτη τα οποία ρέουν σε τρία συμμετρικώς διατεταγμένα τυλίγματα δημιουργούν ένα συνιστάμενο πεδίο το οποίο έχει σταθερό μέτρο και στρέφεται με την σύγχρονη μηχανική ταχύτητα. Είδαμε ότι και το πεδίο που δημιουργείται από το dc ρεύμα του δρομέα είναι σταθερό σε μέτρο και στρέφεται με την σύγχρονη μηχανική ταχύτητα. Αυτά τα δύο πεδία αλληλεπιδρούν (τείνουν να ευθυγραμμιστούν) με αποτέλεσμα να αναπτύσσεται μια σταθερή σε μέτρο ηλεκτρομαγνητική ροπή. Πρέπει να τονισθεί ότι τα μέτρα των πεδίων που προαναφέρθηκαν είναι σταθερά μόνο όταν η μηχανή λειτουργεί σε μόνιμη κατάσταση και έχει συμμετρικό ηλεκτρικό φορτίο. Σε μεταβατικές καταστάσεις ή σε ασύμμετρες φορτίσεις τα πεδία δεν είναι σταθερά όπως θα αναλυθεί σε άλλο κεφάλαιο. Τα πεδία αυτά είναι υπεύθυνα για την επαγωγή στον στάτη εναλλασσόμενων τάσεων η ανάλυση των οποίων θα γίνει στο επόμενο κεφάλαιο. Παράδειγμα 3.2 Μια διφασική σύγχρονη μηχανή έχει δύο τυλίγματα στο στάτη με κάθετους μεταξύ τους μαγνητικούς άξονες. Τα τυλίγματα διαρρέονται από συμμετρικά ρεύματα, δηλαδή ρεύματα που έχουν ίδιο πλάτος και διαφορά φάσης 90. Να βρεθεί μια έκφραση για το συνιστάμενο πεδίο των ρευμάτων του στάτη. Λύση Επειδή οι μαγνητικοί άξονες απέχουν 90 στο χώρο και τα ρεύματα 90 στο χρόνο, οι ΜΕΔ των δύο τυλιγμάτων, αντίστοιχα με τις (3.10)-(3.12) θα είναι, F F [ ( ) 1 = F cos( θ )cos( ωt) = cos θ ωt + cos( θ +ωt) ] 2 F F [ ( ) 2 = Fsin( θ)sin( ωt) = cos θ ωt cos( θ + ωt) ] 2 Η συνιστάμενη ΜΕΔ θα είναι F cos( 1 2 t ) total = F + F = F θ ω