ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ- ΠΟΣΟΣΤΑ Οι σελίδες που ακολουθούν ΔΕΝ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ πρόταση για συγκεκριμένο δίωρο της διδασκαλίας ποσοστών- άλλωστε ο απαιτούμενος χρόνος είναι κατά πολύ μεγαλύτερος- απλά παρουσιάζουν κάποιες ιδέες που θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν απο το δάσκαλο ή τη δασκάλα στο σχεδιασμό του μαθήματός τους. Στόχοι της διδασκαλίας Στο τέλος της διδασκαλίας οι μαθητές θα πρέπει να είναι ικανοί: Να διαβάζουν και να γράφουν ποσότητες εκφρασμένες σε ποσοστά αναγνωρίζοντας κάθε φορά τη μονάδα αναφοράς. Να μετατρέπουν τα ποσοστά σε κλάσματα ή σε δεκαδικούς και το αντίστροφο. Να βρίσκουν νοερά το ποσοστό σε απλά προβλήματα.
2 Να κατανοούν ότι το ποσοστό εκφράζει το μέρος μιας ποσότητας, το οποίο προστίθεται (αύξηση) ή αφαιρείται (μείωση έκπτωση) στην αρχική ποσότητα. Να χρησιμοποιούν τις πληροφορίες που δίνονται με ποσοστό για να λύνουν προβλήματα σε διάφορα πλαίσια (μετρήσεις, γεωμετρία). Εισαγωγικές δραστηριότητες Βιώνοντας το γνωστό- Βιώνοντας το νέο Κάθε ενότητα ξεκινάει με μια σειρά ερωτήσεων σχετικά με το περιεχόμενό της. Στόχο αυτές έχουν να προσανατολίσουν το μαθητή προς αυτό το περιεχόμενο και να το συνδέσουν με την πραγματικότητα καθημερινότητα. Οι μαθητές μπορούν να απαντήσουν ακόμα κι άστοχα στην αρχή, αλλά εύστοχα μετά το τέλος της διδασκαλίας της ενότητας. Αναρωτηθήκατε ποτέ τι εκφράζουν τα ποσοστά στις συσκευασίες; Δραστηριότητα 1 η : Η Μαρία κι ο Μιχάλης παρατηρούν τις ετικέτες σε δύο συσκευασίες της αγαπημένης τους σοκολάτας. - Ποιά σοκολάτα παχαίνει λιγότερο;
3 Ο Μιχάλης υποστηρίζει ότι: «Θα φάω τη μεγάλη. Και οι δυο παχαίνουν το ίδιο αφού έχουν 20% ζάχαρη η καθεμία». Η Μαρία υποστηρίζει ότι: «Εγώ θα προτιμούσα τη δεύτερη γιατί είναι πιο μικρή κι έχει ζάχαρη μόνο 30 γραμμάρια». Με ποιο παιδί συμφωνείτε;
4 Δραστηριότητα 2 η : - Ποια συσκευασία έχει περισσότερο φυσικό χυμό; Αναρωτηθήκατε ποτέ τι σημαίνουν τα ποσοστά την περίοδο των εκπτώσεων στις ετικέτες των καταστημάτων; Δραστηριότητα 3 η : Η Χριστίνα θέλει να αγοράσει ένα συγκεκριμένο παντελόνι που το βρίσκει σε δυο διαφορετικά καταστήματα. Στο πρώτο κατάστημα το παντελόνι κοστίζει 70 κι είχε έκπτωση 20%, ενώ στο δεύτερο το παντελόνι είχε την ίδια αρχική τιμή 70, αλλά η έκπτωσή του ήταν 25%. Από ποιο κατάστημα τη συμφέρει να αγοράσει το παντελόνι;
5 Δραστηριότητα 4 η : Οι γονείς του Ιωσήφ θέλουν να αγοράσουν μια τηλεόραση. Σε ένα κατάστημα κοστίζει 470 κι έχει έκπτωση 15%. Σ ένα δεύτερο κατάστημα η ίδια τηλεόραση κοστίζει 520 και η έκπτωσή της είναι 20%. Από ποιο κατάστημα τους προτείνετε να αγοράσουν την τηλεόραση; Συμπληρώστε τα κενά 1. Δίνεται το κλάσμα. Αν το εκφράσουμε σε εκατοστά είναι το 2. Το 35% του 20 είναι το α Το α % του 20 είναι το 7 Το 35% του α είναι το 7 Να χρωματίσεις τα 2/3 της διπλανής επιφάνειας και να υπολογίσεις το αντίστοιχο ποσοστό. Τι ποσοστό της διπλανής επιφάνειας αντιστοιχεί στο κάθε χρώμα; Τι ποσοστό του συνόλου αντιπροσωπεύουν οι χρωματισμένες μπίλιες;
6 Σημαντικές Ιδέες (Εννοιολόγηση με Θεωρητικοποίηση- Εννοιολόγηση με Ονοματοποίηση) Τα ποσοστά είναι μια άλλη ονομασία για τα εκατοστά Ο όρος ποσοστό είναι απλά μια άλλη ονομασία για τα εκατοστά. Αν οι μαθητές μπορούν να εκφράσουν τα κοινά κλάσματα και τους απλούς δεκαδικούς αριθμούς σαν εκατοστά, τότε ο όρος ποσοστό μπορεί να υποκαταστήσει τον όρο εκατοστό. Ας πάρουμε το κλάσμα ¾. Αν το εκφράσουμε σε εκατοστά, είναι 75/100. Όταν το ¾ γράφεται σε δεκαδική μορφή τότε είναι ίσο με 0,75. Τόσο το 0,75 όσο και το 75/100 διαβάζονται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο «75 εκατοστά» όταν χρησιμοποιούνται σαν τελεστές, το ¾ είναι 0,75 εκατοστά από το ίδιο πράγμα. Γι αυτό το λόγο τα ποσοστά είναι κυρίως μια καινούργια ορολογία, και όχι μια καινούργια έννοια. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν διάφορες αναπαραστάσεις προκειμένου αυτή η σύνδεση να γίνει κατανοητή. Τα ποσοστά επί τοις εκατό (%) μιας ουσίας που υπάρχουν σ ένα προϊόν εκφράζουν τα γραμμάρια αυτής της ουσίας στα 100 γραμμάρια του προϊόντος.
7 Παραδείγματα: Γάλα με 3,5% λιπαρά: Στα 100γραμ. γάλα έχουμε 3,5 γραμ. λιπαρά. Σοκολάτα με 35% κακάο: Στα 100 γραμ. σοκολάτα έχουμε 35 γραμ. κακάο. Το ποσοστό είναι μια συμβολική γραφή που μας επιτρέπει εύκολα να συγκρίνουμε ποσότητες. Ένα ποσοστό μπορεί να εκφραστεί επίσης ως δεκαδικό κλάσμα ή ως δεκαδικός αριθμός. Παράδειγμα: 25% = = 0,25 Η ποσότητα που εκφράζει ένα ποσοστό εξαρτάται από την τιμή στην οποία αναφέρεται. Δραστηριότητες (άμεσης) εφαρμογής 1) Με την αύξηση της τιμής του πετρελαίου παρατηρήθηκε 2,3% ανατίμηση σε μια τριάδα προϊόντων στα ράφια των Σούπερ Μάρκετ. Εάν οι αναγραφόμενες τιμές τους είναι 1,05, 0,77 και 3,50 αντίστοιχα, ποια ήταν η τιμή του καθενός πριν την ανατίμηση; 2) Παρατηρώντας τα αποτελέσματα των πανελλαδικών εξετάσεων σ ένα Λύκειο της χώρας με 300 μαθητές διαπιστώθηκε ότι το 45% των μαθητών εισήχθη στα Α.Ε.Ι., 90 μαθητές εισήχθησαν στα Τ.Ε.Ι., το 20% έμεινε εκτός των σχολών και 15 από αυτούς δεν συμμετείχαν καν στις εξετάσεις. Να υπολογίσετε: i) τον αριθμό των μαθητών που εισήχθησαν στα Α.Ε.Ι. ii) το ποσοστό επί % αυτών που εισήχθησαν στα Τ.Ε.Ι. iii) τον αριθμό των μαθητών που έμειναν εκτός των σχολών iv) το ποσοστό επί % αυτών που δε συμμετείχαν στις εξετάσεις.
8 Δραστηριότητες δημιουργικής εφαρμογής 1) Ο Πέτρος κάνει μια επίσκεψη στους φίλους του, οι οποίοι του προσφέρουν δυο εναλλακτικές επιλογές ποτού. Στη συσκευασία του ενός (500ml) αναγράφεται 8,5% περιεκτικότητα οινοπνεύματος. Στη συσκευασία του άλλου (750ml) αναγράφεται 7% περιεκτικότητα οινοπνεύματος. Ποιο από τα δυο ποτά θα συνιστούσατε στον Πέτρο ώστε να αποφύγει τις επιπτώσεις ενός πιθανού αλκοτέστ; 2) Μια ανοιξιάτικη ημέρα αποφασίζεις να πάρεις μια φίλη σου να πάτε για ψώνια στο κέντρο της Θεσσαλονίκης. Καθώς περπατάτε στην αγορά βλέπεις σε μια βιτρίνα ένα εντυπωσιακό φόρεμα και μπαίνετε στο κατάστημα να ρωτήσετε την τιμή του. Η πωλήτρια σας ενημερώνει ότι το φόρεμα έχει 20% έκπτωση αλλά θα πρέπει να πληρώσετε γι αυτό 15% φόρο. Τι προτιμάς να υπολογίσεις πρώτα, την έκπτωση ή το φόρο; 3) Μέτρησε τις διαστάσεις της σχολικής σας αίθουσας. Έστω ότι υπολογίσατε το μήκος της 8m και το πλάτος της 6m. Αν αυξηθεί κατά 10% το μήκος και κατά 10% το πλάτος, τότε: iv) ποιες θα είναι οι νέες διαστάσεις; ii) ποιο θα είναι το νέο εμβαδόν; Ποιά είναι η σχέση ανάμεσα στην αύξηση των διαστάσεων και την αύξηση του εμβαδού; 4) Σε μια πόλη Α 15.000 κατοίκων πραγματοποιήθηκε μια έρευνα στην οποία συμμετείχε το 75% αυτών. Σε μια δεύτερη πόλη Β ίδιου πληθυσμού, στην ίδια έρευνα πήρε μέρος μόνο το 48%. Να υπολογίσετε το ποσοστό επί % που συμμετείχε στην έρευνα καθώς και τον αριθμό αυτών.
9 ΠΡΟΣΟΧΗ!!! ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΠΡΟΣΤΕΘΟΥΝ ΑΛΛΑ ΓΙ ΑΥΤΟ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΛΗΦΘΟΥΝ ΙΔΙΑΙΤΕΡΕΣ ΠΡΟΦΥΛΑΞΕΙΣ. Για παράδειγμα, αν οι μαθητές γνωρίζουν ότι το 15% των ανθρώπων σε μια πόλη Α διαβάζουν μια συγκεκριμένη εφημερίδα και το 25% των ανθρώπων σε μια πόλη Β διαβάζουν την ίδια εφημερίδα δεν μπορούν να πουν τι ποσοστό των ανθρώπων και από τις δύο πόλεις διαβάζουν την ίδια εφημερίδα. Εάν το 15% αντιπροσωπεύει 15 ανθρώπους σε σύνολο 100 και το 25% αντιπροσωπεύει 50 ανθρώπους σε σύνολο 200 ο καινούργιος λόγος είναι 65 άνθρωποι σε σύνολο 300 ανθρώπων. Αυτό το ποσοστό είναι κάτι περισσότερο από 21%. Δεν είναι 40%. Αφού «τα όλα» δεν είναι τα ίδια, τα ποσοστά ή τα μέρη «του όλου» δεν μπορούν να προστεθούν άμεσα. Εναλλακτικά το παρακάτω παράδειγμα δείχνει πως τα ποσοστά μπορούν να προστεθούν ή να αφαιρεθούν με αποτέλεσμα τη δημιουργία ενός σωστού ποσοστού. Η Μαρία ξοδεύει το 40% από το χαρτζιλίκι της τη Δευτέρα και το 35% την Τρίτη. Τι ποσοστό από το χαρτζιλίκι της απομένει για το υπόλοιπο της εβδομάδας; Κατά την επίλυση του προβλήματος οι μαθητές προσθέτουν το 40% και το 35% που μας κάνει 75% κι ύστερα το αφαιρούν από το 100/% οπότε προκύπτει ότι η Μαρία έχει μόνο το 25% από το χαρτζιλίκι της για την υπόλοιπη εβδομάδα. Σ αυτή την περίπτωση «το όλο» είναι το ίδιο.
10 Ασκήσεις Προβλήματα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την τελική Αξιολόγηση 1> Η είδηση που δημοσιεύεται σε μια τοπική εφημερίδα αναφέρει ότι το 75% του συνόλου των οικογενειών παρευρέθηκαν σε μια διάλεξη. Αν το σύνολο των οικογενειών ήταν 320, πόσες οικογένειες παρευρέθηκαν στη διάλεξη; 2> Η ομάδα μπάσκετ του σχολείου κέρδισε το 80% των είκοσι πέντε παιχνιδιών που έπαιξε αυτό το χρόνο. Πόσα παιχνίδια έχασε; 3> Αν η Ελένη διάβασε 60 από τις 180 σελίδες του αγαπημένου της βιβλίου τι ποσοστό του βιβλίου έχει διαβάσει; 4> Ο Γιώργος αγόρασε ένα καινούργιο ηλεκτρονικό υπολογιστή με έκπτωση 12,5%. Πλήρωσε 700. Πόσα ευρώ ήταν η έκπτωση; 5> Το βιβλιοπωλείο αγοράζει ένα μολύβι 0,80ευρώ και το πουλάει για ένα ευρώ το καθένα. Ποιο είναι το ποσοστό αύξησης της τιμής του κάθε μολυβιού; 6> Ένα κατάστημα αγοράζει τις φριτέζες προς 80 τη μία και τις πουλάει με κέρδος 50%. Πόσα ευρώ θα κερδίσει αν πουλήσει 50 φριτέζες; 7> Ένας υπάλληλος έχει μισθό 1200 το μήνα. Αν του γίνονται κρατήσεις 24,5% πάνω στο μισθό, σε πόσα θα ανέλθουν οι κρατήσεις σ ένα εξάμηνο; 8> Ένας καταστηματάρχης αγόρασε 1000 πετσέτες προσώπου που έκαναν 2750. Επειδή όμως ήταν ελαττωματικές τις πλήρωσε 25% φθηνότερα. Πόσα πλήρωσε ο καταστηματάρχης για τις πετσέτες; 9> Μια βαλίτσα με ρόδες πουλήθηκε 65. Πόσα την είχε αγοράσει το κατάστημα αν την πούλησε με κέρδος 60%; 10> Μια γυναικεία καμπαρτίνα πουλήθηκε με ζημιά 18. Ποια είναι η τιμή αγοράς της καμπαρτίνας, αν πουλήθηκε με ζημιά 20% στην τιμή αγοράς; 11> Μια αντιπροσωπεία δικύκλων πούλησε μια μοτοσικλέτα, που την είχε αγοράσει 1250 με κέρδος 750. Πόσο τις % κέρδισε; 12> Ένα σχολείο έχει 182 αγόρια και 168 κορίτσια. Πόσο τις % των μαθητών του σχολείου είναι τα κορίτσια;
11 Προτεινόμενες δραστηριότητες που μπορούν να υποστηρίξουν τους στόχους του μαθήματος διαθεματικά. Στη Γεωγραφία: τα παιδιά βρίσκουν κι αναλύουν τα δεδομένα που εκφράζονται με ποσοστά, π.χ. ποσοστό πληθυσμού της Ελλάδας που ζει σε αστικά κέντρα, ποσοστό της πανίδας και της χλωρίδας που απειλείται με εξαφάνιση, ποσοστό αύξησης ή μείωσης του πληθυσμού με βάση τα στοιχεία της απογραφής κ.α. Τα παιδιά κάνουν σχέδια εργασίας με θέμα τη σχέση του ανθρώπου με το φυσικό περιβάλλον: βρίσκουν πληροφορίες που τις εκφράζουν με ποσοστά κι αφορούν την υπερεκμετάλλευση των φυσικών πόρων, τη δυνατότητα εκμετάλλευσης των εναλλακτικών μορφών ενέργειας, το μέρος του παγκόσμιου πληθυσμού που δεν έχει πρόσβαση σε πόσιμο νερό, στην εκπαίδευση κ.α.