مود لصف یسدنه یاه لیدبت

فصل دوم 2 تبدیلهای هندسی 1

درس او ل تبدیل های هندسی در بسیاری از مناظر زندگی روزمره نظیر طراحی پارچه نقش فرش کاشی کاری گچ بری و... شکل های مختلف طبق الگویی خاص تکرار می شوند. در این فصل وضعیت های مختلفی را که یک شکل مشخص در اثر حرکت مجموعه نقاطش در صفحه پیدا می کند مطالعه و بررسی خواهیم کرد. این حرکت ها می تواند دارای ویژگی های خاص قابل تعریف باشد حرکاتی که سال های قبل با نمونه هایی از آن آشنا شده اید و بسته به نوع این ویژگی ها آن را انتقال بازتاب یا دوران نامیده اید. انتقال بازتاب و دوران را در حالت کلی تبدیل هندسی می نامیم. تبدیل ها می توانند موقعیت اندازه یا شکل را تغییر دهند. تبدیل یافتۀ یک شکل او لیه را تصویر آن می نامیم. 1 3 1 برای مرور مفاهیم بازتاب انتقال و دوران به تصویر روبه رو دقت کنید. اگر چهارضلعی های 2 1 و 3 را تبدیل یافته چهارضلعی رنگ شده بدانیم الف( کدام چهار ضلعی انتقال یافته چهار ضلعی رنگ شده است ب( کدام چهار ضلعی بازتاب چهار ضلعی رنگ شده است پ( کدام شکل دوران یافته شکل رنگ شده است 2 2

2 الف( بازتاب شکل روبه رو را نسبت به خط d رسم کنید. )توضیح دهید که چگونه این کار را انجام می دهید. در این حالت خط d نسبت به پاره خطی که هر نقطه را به تصویرش نظیر می کند چه وضعیتی دارد ( d ب( آیا این تبدیل موقعیت شکل اولیه را تغییر می دهد اندازه ها را چطور پ( آیا در این تبدیل شیب هر پاره خط با شیب پاره خط متناظر در تصویر آن برابر است ت( آیا حالتی را می توانید تصور کنید که بازتاب شیب خط را حفظ کند v 3 الف( تصویر شکل روبه رو را تحت انتقال با بردار v رسم کنید )توضیح دهید که چگونه این کار را انجام می دهید(. در این حالت پاره خط هایی که هر نقطه را به تصویرش نظیر می کنند نسبت به هم چه وضعیتی دارند ب( آیا این تبدیل موقعیت شکل اولیه را حفظ می کند اندازه ها را چطور پ( آیا در این تبدیل شیب هر پاره خط با شیب پاره خط متناظر در تصویر آن برابر است 4 در سال های گذشته دیدید که برای دوران دادن هر شکل به مرکز دوران و به اندازه زاویه α کافی است هر نقطه از شکل مثل نقطه را به مرکز دوران یعنی وصل کنیم. سپس در جهت خواسته شده روی زاویه ای برابر α رسم کرده و روی آن پاره خطی به اندازه جدا کنیم تا نقطه به دست آید. مثال: میخواهیم مثلث را حول مرکز و 90 درجه در جهت حرکت عقربههای ساعت دوران دهیم. به ترتیبی که گفته شد نقاط و را دوران دادهایم. الف( به همین ترتیب تصویر نقطه را پیدا کنید و شکل را کامل کنید. ب( آیا این تبدیل موقعیت شکل اولیه را حفظ میکند اندازهها را چطور پ( آیا در این تبدیل شیب پارهخط اولیه با شیب پارهخط تصویر آن برابر است ت( آیا میتوانید زاویه دوران را طوری تعریف کنید که دوران تحت آن شیب خط را حفظ کند 3

به طور شهودی می توان دید که بازتاب انتقال و دوران می توانند موقعیت شکل را تغییر... ولی اندازه ضلع ها و زاویه ها... در ادامه این فصل با تبدیلی آشنا خواهید شد که در آن بر خالف سه تبدیل صفح ه قبل اندازه زاویه ها حفظ می شود ولی اندازه پاره خط ها تغییر می کند. حال که به طور شهودی برخی ویژگی های تبدیل های مختلف را مرور کردیم در ادامه با دقت بیشتری به تعریف تبدیل معرفی ویژگی های آن و کاربردهای آن خواهیم پرداخت. در تمام فعالیت هایی که در این بخش انجام دادید تابع یا عملی نقاطی از صفحه را به نقاطی از همان صفحه نظیر می کند. توابعی را که روی نقاط صفحه تعریف می شوند نگاشت می نامیم. بنابراین: تعریف: نگاشت M تابعی از نقاط یک صفحه به نقاط همان صفحه است که دامنه اش تمام نقاط آن صفحه باشد. به عبارتی یک نگاشت به هر نقطۀ از صفحۀ P یک و فقط یک نقطه مثل را از صفحۀ P نظیر می کند. تعریف دقیق تر تبدیل را به کمک تعریف نگاشت بیان می کنیم زیرا تبدیل نوعی نگاشت است. نظیر آنچه که در مورد توابع یک به یک دیده اید: تعریف: تبدیل T در صفحۀ P نگاشتی است که به هر نقطۀ از صفحۀ P دقیقا یک نقطه مثل را از صفحۀ P نظیر میکند و برعکس هر نقطۀ از صفحۀ P تصویر دقیقا یک نقطۀ از صفحۀ P است. اگر تبدیل را با حرف T نمایش دهیم به اختصار چنین مینویسیم: T:P P T()= در تبدیلهای مطرح شده در این کتاب یعنی طولپاها و تجانس میتوان ثابت کرد که تبدیلیافتۀ هر خط یک خط است. بنابراین برای پیدا کردن تبدیلیافتۀ یک خط کافی است تبدیلیافتۀ دو نقطۀ دلخواه از آن را پیدا کرده و خط گذرنده از آن دو را رسم کنیم. بازتاب انتقال دوران و تجانس از تبدیل های مهم در صفحه اند. در ادامه ویژگی های هر یک را با هم مرور می کنیم. 4

d H = بازتاب همانطور که پیش از این اشاره شد برای پیدا کردن بازتاب یک نقطه مثل نسبت به خط d کافی است از نقطه به خط داده شده عمودی وارد کرده و پای عمود را H بنامیم. حال H را از سمت H به اندازه خودش امتداد میدهیم تا به دست آید. در این صورت را بازتاب یا قرینه نسبت به خط d مینامیم و مینویسیم: S() = در چنین حالتی خط d عمود منصف پاره خط خواهد بود. خط d خط بازتاب یا محور بازتاب نامیده میشود. اگر نقطهای روی خط بازتاب باشد تصویر آن بر خودش منطبق میشود. به عبارتی همان است. تعریف: در هر تبدیل نقطه ای را که تبدیل یافتۀ آن بر خود آن نقطه منطبق می شود نقطۀ ثابت تبدیل می نامند. الف( بازتاب نسبت به یک خط چند نقطه ثابت دارد ب( وقتی بازتاب نسبت به خط d است بازتاب نسبت به خط d کدام نقطه است... چرا پ( قرینه قرینه هر نقطه چیست... در واقع:. = ( )S S(S())= و به زبان ساده تر = ( ) پیش از این به طور شهودی پذیرفتیم که بازتاب طول پاره خط را حفظ می کند. یعنی اندازه پاره خطی مثل در شکل اولیه با اندازه پاره خط در تصویر آن برابر است. این ویژگی را اصطالحا طولپایی یا ایزومتری می نامیم. تعریف: تبدیل هایی که طول پاره خط را حفظ می کنند تبدیالت طولپا )ایزومتری( نامیده می شوند. به عبارتی اگر داشته باشیم T() = و T() = آن گاه داریم: = 5

می خواهیم با استدالل دقیق تری نشان دهیم بازتاب یک تبدیل طولپا است. حالت های مختلف یک پاره خط را نسبت به خط بازتاب d در نظر می گیریم و در هر حالت نشان می دهیم که اندازه پاره خط با اندازه تصویر آن برابر است. الف( ابتدا مسئله را برای حالتی در نظر می گیریم که با خط d موازی است. بازتاب و را نسبت به خط d پیدا کرده و آن را و می نامیم. چرا با خطوط d و موازی است d H H پس چهارضلعی یک... است و از آنجا می توان نتیجه گرفت که اضالع روبه رو دو به دو هم اندازه اند یعنی. = ب( حال فرض می کنیم که فقط یکی از نقاط انتهایی پاره خط داده شده روی خط بازتاب باشد. )اگر هر دو نقطه ابتدا و انتهای پاره خط داده شده روی خط بازتاب باشند اثبات بدیهی است. چرا ( بازتاب نسبت به خط d نقطه و بازتاب M خود M است. به عبارتی: S() = و S(M) = M آیا می توانید به کمک هم نهشتی مثلث ها دلیلی برای تساوی M=M ارائه کنید d d M M H آیا می توانید این تساوی را به روش دیگری نشان دهید )از خاصیت عمود منصف یک پاره خط کمک بگیرید( پ( اگر پاره خط با خط بازتاب d نه موازی و نه متقاطع باشد: پاره خط را امتداد می دهیم تا خط بازتاب را در نقطه M قطع کند. نقطه بازتاب نقطه را نسبت به خط بازتاب پیدا می کنیم و پاره خط M را رسم می کنیم. ادعا می کنیم که نقطه تصویر نقطه نیز روی M واقع می شود. چرا d M = M -.. =.. -... = M و. = M با توجه به قسمت ب حال داریم:.. = 6

d M ت( اگر پاره خط خط بازتاب را در نقطه ای مثل M قطع کند بازتاب نقطه را نسبت به خط d پیدا کرده و آن را نقطه می نامیم. پاره خط M را رسم کرده و امتداد می دهیم و ادعا می کنیم که بازتاب نقطه یعنی نقطه هم بر امتداد M واقع است. چرا حال داریم: = M +.. =.. +.... =. = M و. = M با توجه به قسمت ب نتیجه مراحل فوق را می توان در قالب این قضیه بیان کرد: قضیه: در هر بازتاب اندازۀ هر پاره خط و اندازۀ تصویر آن با هم برابرند. به عبارتی بازتاب یک تبدیل طولپا است و برای هر دو نقطه و از صفحه = داریم: S() = و S() = که P n n d n می خواهیم بررسی کنیم که آیا بازتاب شیب خطوط را هم حفظ می کند مسئله را برای دو حالت کلی در نظر می گیریم. وقتی که خط داده شده با خط بازتاب موازی باشد و وقتی که با آن موازی نباشد. الف( اگر خط n موازی خط بازتاب d باشد تصویر آن را تحت بازتاب خط n می نامیم. خطوط n و n نسبت به هم چه وضعی دارند چرا آیا در این حالت بازتاب شیب خط را حفظ می کند ب( اگر خط n با خط بازتاب d موازی نباشد خط های n d و n در نقطه ای مثل M متقاطع می شوند. پس n و n موازی نیستند و در این حالت بازتاب شیب خط را... بنابراین M d n در حالت کلی بازتاب شیب خط را... می توان نشان داد که بازتاب عالوه بر طول پاره خط ها اندازه زاویه ها را هم حفظ می کند و به طور کلی هر شکل و تصویر آن تحت بازتاب با هم همنهشت هستند. به طور کلی طولپاها اندازه و شکل را ثابت نگه می دارند و فقط موقعیت را تغییر می دهند و به همین دلیل طولپاها را تبدیل های قابلیت انطباق یا همنهشتی نیز می نامند. به کمک ویژگی های انتقال و دوران ثابت می کنیم که این دو تبدیل نیز طولپا هستند. 7

راستا اندازه انتها ابتدا انتقال یادآوری 1 در شکل مقابل یک بردار ابتدا انتها اندازه و راستای آن مشخص شده است. 2 دو بردار که هم اندازه هم راستا و هم جهت باشند دو بردار برابر هستند. در سالهای گذشته دیدید که برای انتقال دادن یک شکل کافی است تصویر هر نقطه از شکل را به کمک بردار انتقال پیدا کنیم. در واقع اگر نقطه تصویر نقطه باشد آنگاه = v v تعریف: انتقال T تحت بردار v تبدیلی از صفحه است که در آن تصویر هر نقطۀ از صفحۀ P نقطهای مثل از همان صفحه است که = v 1 می خواهیم نشان دهیم انتقال یک تبدیل طولپاست. الف( اگر پاره خط دلخواه با بردار v موازی نباشد تبدیل یافته را با بردار v رسم کنید و آن را بنامید. نشان دهید.= راهنمایی: می دانیم که اگر در یک چهارضلعی دو ضلع روبه رو موازی و مساوی باشند آن چهارضلعی متوازی االضالع است. v ب( اگر پاره خط با بردار v موازی باشد به کمک مجموع یا تفاضل پاره خط ها در هر دو حالت زیر نشان دهید:.= )1( = +.. =.. +.... = طبق خواص انتقال.. = v 8

v = -.. =.. -.... = طبق خواص انتقال.. = )2( بنابراین: قضیه: در هر انتقال اندازۀ هر پاره خط و اندازۀ تصویر آن با هم برابرند. به عبارتی انتقال یک تبدیل طولپا است و برای هر دو نقطه و از صفحۀ P که T() = و T() = داریم: = 2 در هر یک از حالت های فوق نشان دهید انتقال شیب خط را هم حفظ می کند. دوران در درس پیش دیدیم که برای دوران دادن شکل به مرکز دوران و به اندازه زاوی ه α هر نقطه از شکل مثل را به مرکز دوران یعنی وصل می کنیم. سپس در جهت خواسته شده روی زاویه ای برابر α رسم کرده و روی آن پاره خطی به اندازه جدا می کنیم تا به دست آید. بدین ترتیب: تعریف: دوران R به مرکز و زاویۀ α تبدیلی از صفحه است که در آن اگر تصویر نقطۀ باشد داریم: = و = α 9

دوران در خالف جهت حرکت عقربه های ساعت 60 دوران در جهت حرکت عقربه های ساعت می خواهیم نشان دهیم دوران یک تبدیل طولپاست. برای دوران دادن هر پاره خط نظیر کافی است نقاط و را دوران دهیم تا نقاط و حاصل شوند. پاره خط را رسم می کنیم. مسئله را برای حالت های مختلف در نظر می گیریم. الف( مرکز دوران بر پاره خط واقع نباشد و زاویه دوران از زاویه بیشتر باشد. با توجه به شکل 1 +...= 3 +...= α پس می توان مدعی شد که... =... به کمک همنهشتی دو مثلث و نشان دهید و هم اندازه اند. 1 2 3 ب( به طور مشابه نشان دهید که اگر بر پاره خط واقع نباشد ولی زاویه دوران از زاویه کمتر باشد باز هم تساوی = برقرار است. پ( اگر نقطه روی پاره خط باشد: = +.. =.. +.... = و.. = طبق خواص دوران.. = ت( به طریق مشابه نشان دهید اگر نقطه روی امتداد پارخط باشد حکم برقرار است. 10

بنابراین: قضیه: در هر دوران اندازۀ هر پاره خط و تصویر آن با هم برابرند. به عبارتی دوران یک تبدیل طولپا است و برای هر دو نقطه و از صفحه = داریم: R() = و R() = که P می خواهیم نشان دهیم هر تبدیل طولپا الزاما اندازه زاویه را حفظ می کند. فرض کنید T تبدیلی طولپاست. و داریم: T() = T? T() = و T() = دلیل همنهشتی دو مثلث و را بنویسید و از آنجا برابری زاویه های و را نتیجه بگیرید. بنابراین می توان نتیجه گرفت: قضیه: در هر تبدیل طولپا تبدیل یافتۀ هر زاویه زاویه ای هم اندازۀ آن است. جاهای خالی را با عبارت مناسب کامل کنید. الف( در هر بازتاب تبدیل یافته یک مثلث یک... است که با مثلث اولیه... است. ب( در حالتی که پاره خط نسبت به خط بازتاب... باشد بازتاب شیب خط را حفظ می کند. پ( در حالتی که زاویه دوران... باشد دوران شیب خط را حفظ می کند. ت( در هر بازتاب نسبت به خط d تبدیل یافته تمام نقاط روی خط... است. بنابراین تعداد نقاط ثابت تبدیل در هر بازتاب... است. 11

0 1 در حالتی که پاره خط در راستای عمود بر خط بازتاب قرار دارد ثابت کنید که اگر بازتاب باشد و هم اندازه اند و شیب برابر دارند. 2 در شکل زیر چهار ضلعی D تصویر چهارضلعی محدب D تحت بازتاب است. در شکل اولیه وقتی به ترتیب از به وD می رویم جهت حرکت موافق جهت حرکت عقربه های ساعت است. جهت حرکت در بازتاب این نقاط چگونه است آیا می توان گفت بازتاب جهت شکل را حفظ می کند کتاب هندسه کتاب هندسه D D 3 در شکل d 1 به موازات d 2 و به فاصله m از آن قرار دارد و مثلث بازتاب مثلث نسبت به خط d 1 است. بازتاب مثلث را نسبت به خط d 2 رسم کنید و آن را بنامید. الف( نشان دهید =2m ب( اندازه و چقدر است ج( با چه تبدیلی میتوان مثلث را تصویر میگیرید دانست چه نتیجهای d 1 m d 2 4 در شکل دو خط d 1 و d 2 با زاویه θ یکدیگر را قطع کردهاند. مثلث نسبت به خط d 1 است. بازتاب مثلث بازتاب مثلث را دانست چه نسبت به خط d 2 رسم کنید و آن را بنامید. الف( نشان دهید = 2 θ ب( اندازه و چقدر است ج( با چه تبدیلی میتوان مثلث را تصویر نتیجهای میگیرید θ d 1 d 2 12

تجانس در شکل های متشابه دیدید که طول پاره خط ها الزاما با هم یکسان نیستند اما با یک نسبت اندازه همه پاره خط ها بزرگ تر یا کوچک تر می شوند. ساده ترین تبدیل از این نوع را تجانس می نامیم. در تجانس ابعاد شکل با نسبت 0 k که آن را نسبت تجانس )مقیاس( می نامیم بزرگ یا کوچک می شود. تعریف دقیق تر تجانس بدین شکل است: تعریف: اگر نقطهای ثابت در صفحه و 0 k یک عدد حقیقی باشد نقطه 'M را مجانس نقطه M در تجانس به مرکز و نسبت تجانس k گوییم هرگاه سه شرط زیر برقرار باشد: الف( سه نقطه M و M روی یک خط راست باشند. ب( M = k.m پ( - اگر k مثبت باشد M روی نیم خط M و نقاط M و M در یک طرف نقطۀ قرار دارند. مثال: - اگر k منفی باشد نقطه بین نقاط M و M قرار می گیرد. مثال: k = 2 k = M M 1 2 M M k = 2 M M ΟΜ = 2ΟΜ 1 ΟΜ = ΟΜ 2 ΟΜ = 2ΟΜ به عبارتی هرگاه بخواهیم در تجانس به مرکز و نسبت k تصویر نقطهای مثل M را پیدا کنیم ابتدا از M به وصل میکنیم اگر k مقداری مثبت باشد روی نیم خط M نقطه M را چنان مییابیم که M = k.m و اگر k عددی منفی باشد نقط ه M را روی خط M به گونهای جدا میکنیم که نقطه بین نقاط M و M باشد و 1 ΟΜ = ΟΜ در مورد نقطه M و M چه k. با توجه به اینکه.M = k. M میتوان گفت 13

1 این دو شکل نمونه ای از تجانس را نشان می دهند که در یکی مرکز تجانس داخل شکل اولیه و در دیگری خارج آن در نظر گرفته شده است. الف( به کمک صفحه شطرنجی در هر شکل نسبت تجانس را مشخص کنید. k =. D D y x ب( آیا تجانس طولپاست چرا پ( در این شکل ها طول هر پاره خط را با طول تصویر آن مقایسه کنید. به چه نتیجه ای می توان رسید k =. ت( مساحت هر شکل را با مساحت تصویر آن مقایسه کنید. چه نسبتی با هم دارند 2 در هر دو حالت فوق نسبت تجانس مقداری بیش از یک است. به عبارتی: < 1 k در ادامه مسئله را برای مقادیر مختلف k بررسی می کنیم. در هر حالت مراحل باقی مانده را کامل کنید. k مثال k = 1 0 > k > 1 k = 1 2-1 > k > 0 k = 1 3 k مثال D k = -1 k > -1 k = -2 D D 14

الف( با توجه به تصاویر صفحه قبل به طور شهودی درستی یا نادرستی هر عبارت را مشخص کنید. طولپاست اندازۀ زاویه حفظ می شود شیب خط حفظ می شود جهت شکل حفظ می شود مساحت شکل حفظ می شود k < 1 k = 1 0 > k > 1-1 > k > 0 تجانس k = -1 k > -1 ب( شرط اینکه تجانس طولپا باشد این است که... پ( خطوطی که هر نقطه را به تصویر آن نظیر می کند یعنی خطوط و... نسبت به هم چه وضعی دارند در تجانس به مرکز و نسبت k: اگر 0> k باشد تجانس جهت شکل را حفظ میکند و تجانس را تجانس مستقیم مینامیم. اگر... جهت شکل و جهت شکل مجانس آن خالف یکدیگرند و تجانس را تجانس معکوس مینامیم. اگر 1< k تصویر شکل... میشود و آن را انقباض مینامیم. اگر... تصویر شکل بزرگتر میشود و آن را تجانس از نوع انبساط مینامیم. حال که به طور شهودی با تجانس و نحوه عملکرد آن روی شکل های هندسی آشنا شدید با استدالل دقیق تری ثابت خواهیم کرد که تجانس تبدیلی است که در حالت کلی شیب خط و اندازه زاویه را حفظ می کند. 15

می خواهیم نشان دهیم تجانس شیب خط را حفظ می کند. برای این منظور تجانس D با مرکز تجانس و نسبت تجانس k و خط را در نظر می گیریم. دو حالت اتفاق می افتد. الف( نقطه روی پاره خط است. حل: در این حالت بدیهی است که نقاط و مجانس های نقاط و روی خط واقع می شوند. بنابراین بر واقع است و شیب خط تغییری نمی کند. ب( نقطه غیر واقع بر خط است. حل: در این صورت اگر نقاط و به ترتیب مجانس های نقاط و باشند طبق تعریف داریم: = k.... = =... =...... (چرا ) پس در این حالت نیز خط و تصویر آن با هم موازی اند و شیب دو خط برابر است. بنابراین: قضیه: تجانس شیب خط را حفظ می کند. میخواهیم نشان دهیم تجانس اندازه زاویه را حفظ میکند. تجانس D با مرکز تجانس و نسبت تجانس k و زاویه را در نظر میگیریم. مجانس این زاویه یعنی زاویه را رسم میکنیم. به کمک قضیه قبل و شکل داده شده ثابت کنید =. 1 1 2 2 نتیجه این فعالیت را در قالب قضیه زیر مطرح می کنیم: قضیه: تجانس اندازۀ زاویه را حفظ می کند. 16

1 ثابت کنید مجانس هر nضلعی یک nضلعی است که با آن متشابه است. به عبارتی هر دو شکل متجانس متشابه اند. 2 با مثال نقض نشان دهید دو شکل متشابه الزاما متجانس نیستند. پیش از این دیدیم که اگر نقطه ای روی خط بازتاب باشد تصویر آن بر خودش منطبق می شود. به عبارتی همان است و داریم S() = = این نقاط را نقاط... نامیدیم. اما برخی از تبدیل ها هر نقطۀ صفحه را به خود آن نقطه نظیر می کند. چنین تبدیل هایی را تبدیل همانی می نامیم. تعریف: تبدیل T را یک تبدیل همانی گوییم هر گاه به ازای هر نقطۀ از صفحۀ P داشته باشیم.T() = معموال تبدیل های همانی را با I نمایش می دهند پس.I() = دقت داشته باشید که در بازتاب به جز نقاطی که روی خط بازتاب قرار دارند تصویر هر نقطه مثل نقطه ای مثل است که در طرف دیگر خط بازتاب قرار دارد. بنابراین بازتاب هیچ گاه یک تبدیل همانی نیست. الف( در چه شرایطی انتقال دوران و تجانس می توانند تبدیل همانی باشند ب( آیا تبدیل همانی طولپاست ج( توضیح دهید که در هر یک از تبدیل های زیر آیا می توان نقاط ثابت تبدیل داشت 1 انتقال غیر همانی: 2 دوران غیر همانی: 3 تجانس غیر همانی: 17

1 درستی یا نادرستی هر عبارت را داخل جدول مشخص کنید. طول پاره خط را حفظ می کند اندازۀ زاویه را حفظ می کند شیب خط را حفظ می کند جهت شکل را حفظ می کند مساحت شکل را حفظ می کند بازتاب انتقال دوران تجانس تصاویر زیر نمونه هایی از نقاشی های دانش آموزان است که استفاده از بازتاب در آن نقشی عمده دارد. 18

درس دوم کاربرد تبدیل ها تبدیل های هندسی شامل بازتاب انتقال دوران و تجانس به طور مستقیم و غیر مستقیم در زندگی واقعی کاربرد دارند. برای مثال در سال های گذشته با کاربرد برخی تبدیل ها در کاشی کاری آشنا شدید. آیا می توانید با تأمل در محیط اطراف خود به نمونه هایی اشاره کنید که تبدیل های هندسی در آن به کار رفته اند به این تصاویر دقت کنید. کدام یک از تبدیل های هندسی بر زیبایی خوشنویسی های زیر افزوده است 19

کاربردهایی از بازتاب )قرینه یابی( بازتاب عالوه بر شاخه های مختلف ریاضی در سایر علوم نظیر هنر معماری فیزیک و... کاربرد دارد. در علم فیزیک ویژگی های بازتاب همان ویژگی های آینه تخت است. کاربردهای دیگری از بازتاب را در ادامه خواهیم دید. 1 می خواهیم کیکی به شکل زیر را به طور مساوی بین دو نفر تقسیم کنیم. نمای باالی کیک از مربع DE و کمان E از یک دایره تشکیل شده است. به طوری که و و E روی یک خط هستند. E D اگر نمای باالی کیک به شکل روبه رو بود تقسیم آن کار ساده ای بود. چرا که می توانستیم از روی خط بازتاب m کیک را برش بزنیم و آن را به دو نیمه مساوی تقسیم کنیم. m این شکل راه ساده ای برای برش زدن کیک و تقسیم آن به دو قطعه برابر ارائه می کند. توضیح دهید که بازتاب چه کمکی به حل این مسئله کرده است. 2 یکی از کاربردهای بازتاب حل مسائلی است که به مسائل هم پیرامونی یا هم محیطی معروف اند. در این گونه مسائل هدف آن است که بدون اینکه محیط یک چند ضلعی تغییر کند مساحت آن چند ضلعی را تغییر دهیم. برای مثال فرض کنید که زمینی به شکل چند ضلعی DE داریم که دور آن را فنس کشیده ایم. حال می خواهیم با ثابت نگه داشتن محیط و ثابت نگهداشتن تعداد اضالع E چند ضلعی بدون اینکه اندازه فنس کشی تغییر کند مساحت زمین را افزایش دهیم. D 20

به کمک تصویر روبه رو توضیح دهید که این عمل را چگونه می توان انجام داد. چرا محیط چندضلعی DE با محیط چندضلعی DE یکی است E خانه M 1 M 2 D اسطبل رودخانه مسائل پیدا کردن کوتاه ترین مسیر الف( هرون ریاضی دانی است که به او دایرةالمعارف ریاضی و فیزیک لقب داده اند. او که در فاصله زمانی 250 تا 150 سال قبل از میالد در مصر زندگی می کرد برای نخستین بار به کمک بازتاب دستوری برای پیدا کردن کوتاه ترین مسیر در شرایطی خاص ارائه کرد. مسئله ای که او با آن مواجه شد این بود که:»مردی می خواهد برای برداشتن آب از خانه به ساحل رودخانه ای که لبه مستقیمی دارد برود و بعد سطل آب را به اسطبلی 1 که در همان سمت رودخانه است ببرد. او از کدام نقطه از ساحل آب بردارد که مسافتی که در مجموع طی می کند کمترین حالت ممکن باشد «M 1 M d مسئله پیدا کردن نقطه M روی خط d است به گونه ای که M+M کمترین مقدار ممکن باشد. هرون ابتدا بازتاب را نسبت به خط پیدا کرد و آن را نامید. خط فرضی خط بازتاب را در نقطه ای مثل M قطع می کند. او مدعی شد که M جواب مسئله است و M+M کوتاه ترین مسیر ممکن است. با هم دلیل ادعای هرون را بررسی می کنیم: 1 برای هر نقطه دلخواه دیگری نظیر M 1 داریم M 1 = M 1 )و به همین ترتیب.)M= M چرا 2 در مثلث M 1 داریم. M 1 +M 1 > چرا از تساوی = M+M و )1( و )2( ادعای هرون را اثبات کنید. 1 2 M سؤال: در همین مسئله فرض کنید که d یک آینه تخت و یک نقطه نورانی است. نشان دهید بازتاب شعاع نوری M از نقطه می گذرد )به عبارتی نشان دهید که.) M = M 1 2 1 جایی سرپوشیده برای نگهداری چهارپایان به ویژه اسب 21

ب( دو خط متقاطع d 1 و d 2 و نقاط ثابت و مطابق شکل مفروض اند. چگونه می توان با طی کوتاه ترین مسیر از نقطه آغاز به حرکت کرده و پس از برخورد با دو خط d 1 و d 2 از نقطه گذشت d 1 d 2 حل: برای پیدا کردن کوتاه ترین مسیر به روش زیر عمل می کنیم. قرینه را نسبت به خط d 1 نقطه 1 و قرینه 1 را نسبت به خط d 2 نقطه 2 می نامیم. از 2 به وصل می کنیم و نقطه برخورد آن را با 1 d 2 می نامیم. به همین ترتیب از 1 به 1 وصل می کنیم و نقطه برخورد آن را با 2 d 1 می نامیم. از به 2 وصل می کنیم. ادعا می کنیم که مسیر مورد نظر 2 1 است. کافی است نشان دهیم این مسیر از تمام مسیرهای دیگر کوتاه تر است. ابتدا ثابت می کنیم که طول این مسیر با طول پاره خط 2 برابر است. )1( 1 d 1 2 2 1 d 2... 1 2 = 2 2+ 2 1=... + + =... 2 2 1 1 1 1= 2 1 1 1+ 1 = d 1 d 2 )2( حال مسیر دلخواه دیگری مانند MN را درنظر می گیریم. داریم: M=... M+MN=... 1 N=... M+MN+N=...+N 1 N 1 2 M N 1 حال با توجه به مثلث N 2 داریم: طول مسیر اول طول مسیر دوم 2 پ( دو شهر و مطابق شکل در یک طرف رودخانه ای واقع اند. می خواهیم جاده ای از به بسازیم به طوری که 4 کیلومتر از این جاده در ساحل رودخانه ساخته شود. این 4 کیلومتر را در چه قسمتی از رودخانه بسازیم تا مسیر D کوتاه ترین مسیر ممکن باشد 4 D رودخانه حل: مسئله را در چند مرحله حل می کنیم. 1 اگر جاده ساحلی را از صورت مسئله حذف کنیم به عبارتی اگر D=0 این مسئله شبیه به کدام یک از مسائلی است که قبال دیده اید 22

4 2 با توجه به شرایط مسئله مسیر موردنظر باید مسیری به شکل مسیر D باشد. اما: 4 D بنابراین: )چرا ( طول مسیر = طول مسیر D + 4 طول مسیر = طول مسیر D 3 پس کافی است برای پیدا کردن کوتاه ترین مسیر ممکن به شکل D مسیر را به گونه ای انتخاب کنیم که طول کوتاه ترین طول ممکن باشد. D 4 به کمک مراحل 1 تا 3 و شکل روبه رو توضیح دهید که رسم کوتاه ترین مسیر D چگونه است. اگر دو شهر و دو طرف رودخانه باشند و بخواهیم جاده ای از به بسازیم به طوری که پل MN عمود بر راستای رودخانه باشد محل احداث پل را کجا در نظر بگیریم که مسیر MN کوتاه ترین مسیر ممکن باشد رودخانه M N راهنمایی: به کمک فعالیت قبل و با توجه به تصویر داده شده طریقۀ رسم مسیر MN را شرح دهید و مشخص کنید چرا این مسیر کوتاهترین مسیر ممکن است. M N 23

0 1 دور زمین هایی مطابق شکل فنس کشی شده است. چطور می توان بدون کم و زیاد کردن فنس ها مساحت زمین را افزایش داد E F E D D F 2 می خواهیم کنار رودخانه ها 3 اسکله بسازیم. جای 2 اسکله و مطابق شکل مشخص است. اسکله M را در چه نقطه ای از ساحل رودخانه بسازیم که قایق ها هنگام طی مسیر MM کوتاه ترین مسیر را طی کنند M 3 دایره نقطه P و خط m مطابق شکل مفروض اند. به کمک دوران پاره خطی چنان رسم کنید که وسط آن روی p یک سر آن روی دایره و سر دیگر آن روی خط m واقع باشد. P (c) m 24

درس سوم تقارن در بسیاری از مناظر طبیعت گیاهان و جانوران ساختار اتم ها معماری هنرهای مختلف دستی و نیز اشکال هندسی می توان نوعی نظم تعادل و هارمونی مشاهده کرد. در این درس تبدیل هایی را مرور می کنیم که یک شکل را به خود آن شکل نظیر می کنند. چنین تبدیل هایی را تقارن آن شکل می نامیم. فعالیت زیر برای روشن تر شدن این موضوع طراحی شده است. 25

این مثلث متساوی االضالع را در نظر بگیرید: الف( بازتاب این مثلث نسبت به خط داده شده چگونه است... ب( آیا تحت این بازتاب تصویر هر نقطه از شکل لزوما خود آن نقطه است... پ( آیا خط بازتاب دیگری برای این مثلث سراغ دارید... این مثلث چند خط بازتاب دارد... ت( آیا غیر از بازتاب تبدیل دیگری سراغ دارید که هر نقطه از شکل را به نقطه ای از همان شکل ببرد... برای مثال آیا می توانید زاویه دورانی معرفی کنید که شکل را بر خودش منطبق کند... این زاویه چند درجه است... اگر 360 α <0 زاویه دوران باشد چند دوران به مرکز و زاویه α می توانید مشخص کنید... همان گونه که در این فعالیت دیدید در مثلث متساوی االضالع سه بازتاب و سه دوران متفاوت می توان معرفی کرد که نقاط این مثلث را به نقاطی از همین مثلث نظیر کند. به عبارتی تحت این تبدیل ها تصویر این مثلث بر خودش منطبق می شود. چنین تبدیل هایی را تقارن می نامیم. با این تعریف مثلث متساوی االضالع دارای 6 تقارن است. دقت داشته باشید که دوران 360 تبدیل انتقال با بردار صفر و تبدیل تجانس با نسبت تجانس 1=k هر شکل را به خود آن شکل نظیر می کنند که پیش از این آنها را»تبدیل های همانی«نامیدیم. بنابراین در شمارش تقارن های یک شکل تمام تبدیل های فوق به عنوان تبدیل همانی فقط یک تقارن محسوب می شوند. تعریف: تبدیل طولپای T را تقارن شکلF می نامیم به شرط آنکه تبدیل یافتۀ شکل F تحت آن تبدیل بر خود شکل F منطبق شود. یعنی داشته باشیم: T(F) = F تعریف: اگر شکلی تحت یک بازتاب بر خودش منطبق شود گوییم آن شکل تقارن بازتابی )خطی( دارد. و اگر آن شکل تحت دورانی با زاویۀ 360 α <0 بر خودش منطبق شود گوییم تقارن دورانی )پیچشی( دارد. تعریف: تقارن دورانی با زاویه 180 را تقارن مرکزی نیز می نامند. در این حالت مرکز دوران را مرکز تقارن شکل می گویند. 26

مثال: شش ضلعی منتظم 6 تقارن بازتابی و 6 تقارن دورانی دارد. تقارن های بازتابی: تقارن های دورانی: 60 120 180 240 300 360 همان طور که اشاره شد تقارن دورانی با زاویه 360 انتقال با بردار صفر و تجانس با نسبت تجانس 1=k تبدیل های همانی هستند. تبدیل های همانی را تقارن همانی نیز می نامند. با این تعریف هر شکلی دارای تقارن همانی است. 1 شکل های زیر را به عنوان تصویر دو بعدی در نظر بگیرید و جدول را کامل کنید: تقارن های دورانی تعداد تقارن های بازتابی تعداد کل تقارن ها...... 72 144... 2 دایره چند تقارن دارد 27

0 1 الف( با تکمیل جدول زیر مشخص کنید که تعداد تقارن های nضلعی منتظم چند تاست n=3 n =4 n=5 n=6 n=7 n=8 n n ضلعی منتظم تعداد تقارن های بازتابی تقارن های دورانی تعداد کل تقارن ها آیا شکل مرکز تقارن دارد ب( nضلعی منتظم در چه صورتی مرکز تقارن دارد ج( الگویی برای پیدا کردن زاویه های دوران در تقارن های دورانی یک n ضلعی منتظم ارائه کنید. 2 تقارن های خطی و دورانی متوازی االضالع مستطیل لوزی مثلث متساوی الساقین و ذوزنقه متساوی الساقین را مشخص کنید و در جدولی بنویسید. کدام یک از این شکل های هندسی مرکز تقارن دارند 3 الف( شکلی رسم کنید که خط بازتاب داشته باشد ولی مرکز تقارن نداشته باشد )یعنی تقارن خطی داشته باشد اما تقارن دورانی نداشته باشد(. ب( شکلی رسم کنید که مرکز تقارن داشته باشد ولی خط بازتاب نداشته باشد )یعنی تقارن دورانی داشته باشد اما تقارن خطی نداشته باشد(. 4 نشان دهید اگر شکلی دو خط بازتاب عمود بر هم داشته باشد محل تالقی این دو خط مرکز تقارن شکل است )در واقع هر شکل که دارای دو تقارن بازتابی باشد که دو خط بازتاب آن بر هم عمود باشند دارای تقارن دورانی است(. 28

5 جدول زیر را کامل کنید. شکل تقارن بازتابی تقارن دورانی تعداد تقارن ها 29