יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1
הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב היא תת קבוצה של קבוצת המילים הסופיות מעל הפסוקים היסודיים P i והסימונים )} (, F,,,,, {, מוגדרת בצורה אינדוקטיבית כדלקמן : בסיס האינדוקציה : 1.כל P i הוא נוסחא בנויה היטב. 2. F היא נוסחא בניה היטב. סגירות : אם ϕ 1, ϕ 2 הן נוסחאות בנוית היטב כך גם : ϕ 1, (ϕ 1 ϕ 2 ), (ϕ 1 ϕ 2 ), (ϕ 1 ϕ 2 ), (ϕ 1 ϕ 2 ) 2
הגדרת הדרגה של נוסחאות בנויות היטב באינדוקציה בסיס: W F F 0 = {F } V ar סגירות : אם ϕ 1, ϕ 2 W F F n אז : ϕ 1, (ϕ 1 ϕ 2 ), (ϕ 1 ϕ 2 ), (ϕ 1 ϕ 2 ), (ϕ 1 ϕ 2 ) W F F n+1 או באופן שקול : W F F n+1 = W F F n { ϕ 1, (ϕ 1 ϕ 2 ), (ϕ 1 ϕ 2 ), (ϕ 1 ϕ 2 ), (ϕ 1 ϕ 2 ) φ 1, φ 2 W F F n } ϕ W F F n המינימלי כך ש n מוגדר כ N rank(ϕ) אם ϕ W F F 0 אז = 0 rank(ϕ) נסמן ב? קשר דו מקומי כלשהו : rank( ϕ) = 1 + rank(ϕ) rank((ϕ 1?ϕ 2 )) = 1 + max{rank(ϕ 1 ), rank(ϕ 2 )} 3
דוגמא : מה הדרגה של 2 הפסוקים האלה? ((P 1 P 2 ) (P 3 P 4 )) (((P 1 P 2 ) P 3 ) P 4 ) 4
דוגמא : מה הדרגה של 2 הפסוקים האלה? ((P 1 P 2 ) (P 3 P 4 )) 1 2 1 (((P 1 P 2 ) P 3 ) P 4 ) 1 2 3 מה ההבדלים ביניהם ) חוץ מהסוגריים (? 5
משפט הקריאה היחידה יש רק דרך אחת להבין כל פסוק. או שהפסוק הוא יסודי או שהוא F או שהוא נבנה, בדרך אחת, בעזרת הקשרים. יחידות הקריאה של פסוק אינה דבר מובן מאליו, ותכונה זו אינה קיימת בדרך כלל בשפות טבעיות למשל: הלכתי לסמינר הסטודנטים של פרופסור מנור. יוסי הביא שוקולד מאיטליה. ניתן לקרוא בעברית בשני אופנים שונים. 6
למה 1 בכל פסוק ϕ: מספר הסוגריים השמאליים (פתח סוגריים) שווה למספר הסוגרים הימנים (סגור סוגריים). נסמן (ϕ) Num L מספר הסוגריים השמאליים. נסמן (ϕ) Num R מספר הסוגריים הימנים. הלמה (ϕ): Num L (ϕ) = Num R נראה באינדוקציה על מבנה הפסוק : 7
מקרה בסיס : פסוק יסודי או F אין סוגריים: שנהם שווים ל.0 מקרה מורכב : קשר השלילה ϕ = ϕ 1 נובע מידית מהנחת האינדוקציה לפיה ב ϕ 1 מספר הסוגריים השמאלים שווה למספר הסוגריים הימנים. קשר דו מקומי : ϕ = (ϕ 1?ϕ 2 ) Num L (ϕ) = 1 + Num L (ϕ 1 ) + Num L (ϕ 2 ) Num R (ϕ) = 1 + Num R (ϕ 1 ) + Num R (ϕ 2 ) ולפי הנחת האינדוקציה ) 1 Num L (ϕ 1 ) = Num R (ϕ ו ( Num L (ϕ 2 ) = Num R (ϕ 2 8
למה 2 לכל רישא ממש של כל נוסחא שמכילה סוגר שמאלי (פתח סוגריים): מספר הסוגריים השמאליים (פתח סוגריים) גדול ממש ממספר הסוגרים הימנים (סגור סוגריים). נסמן Γ: ϕ = הלמה ( ): R Num L ( ) > Num הפסוק עצמו מאוזן ושום רישא לא תגיע לסוגר הימני האחרון שבסוף. הוכחה: נראה באינדוקציה על מבנה הפסוק : עבור פסוקים יסודיים או F P אין סוגר שמאלי ולכן אין עמידה בתנאי הלמה. ) 2 P) 1 P? כל רישא ממש לא ריקה מכילה את הסוגר השמאלי הראשון אבל לא את האחרון. לכן > ( ) L = Num 1 Num R ( ) = 0 9
מקרה מורכב : עבור שלילה ϕ = ϕ 1 סימן ה אינו סוגר משום סוג ועל ϕ 1 נפעיל את הנחת האינדוקציה. ϕ = (ϕ 1?ϕ 2 ) נסמן ב / 1 את ללא האיבר הראשון שלה. יכול להיות אחת האפשריות הבאות : 1. רישא של ϕ) 1 ואז לפי הנחת האינדוקציה : Num L ( / 1 ) > Num R ( / 1 ) כשהנחת האינדוקציה מופעלת על ϕ 1 10
מהגדרת ספירת מספר הסוגריים: Num L ( / 1 ) = Num L ( ) 1 Num R ( / 1 ) = Num R ( ) ולכן Num L ( ) > Num L ( ) 1 = Num L ( / 1 ) > Num R ( / 1 ) = Num R ( ) 11
(ϕ 1.2 = או 1 (ϕ = ב ϕ 1 מספר הסוגריים השמאלים שווה למספר הסוגרים הימניים לפי למה 1 ולכן: Num L ( ) = Num L ( / 1 )+1 = Num L (ϕ 1 )+ 1 = Num R (ϕ 1 )+1 = Num R ( )+1 > Num R ( ) הקשר איננו סוגר משום סוג ולכן אנינו משנה דבר. רישא של.ϕ 2 λ כך ש = (ϕ 1?λ.3 לפי הנחת האינדוקציה Num L (λ) > Num R (λ) כשהנחת האינדוקציה מופעלת על ϕ 2 לפי למה מספר :1 ) 1 Num L (ϕ 1 ) = Num R (ϕ ולכן Num L ( ) = 1 + Num L (ϕ 1 ) + Num L (λ) > 1+Num R (ϕ 1 )+Num R (λ) > Num R (ϕ 1 )+Num R (λ) = Num R ( ) 12
= (ϕ 1?ϕ 2.4 לפי למה מספר :1 ) 1 Num L (ϕ 1 ) = Num R (ϕ Num L (ϕ 2 ) = Num R (ϕ 2 ) ולכן Num L ( ) = 1 + Num L (ϕ 1 ) + Num L (ϕ 2 ) = 1 + Num R (ϕ 1 ) + Num R (ϕ 2 ) > Num R (ϕ 1 ) + Num R (ϕ 2 ) = Num R ( ) 13
למה 3 פסוק שיש בו סוגריים לא יכול להיות רישא ממש של פסוק אחר. הוכחה: הדבר נובע באופן מידי משתי הלמות הקודמות. נביט בפסוק שמהווה רישא ממש של פסוק אחר. מכיון שהוא פסוק הסוגריים שלו מאוזנות לפי למה 1: Num L (ϕ) = Num R (ϕ) ומכיון שהוא רישא של פסוק אחר הן לא: Num L (ϕ) > Num R (ϕ) סתירה. 14
משפט 1: לכל פסוק ϕ מתקיימת אחת ורק אחת מן האפשריות האלה : 1. ϕ הוא פסוק יסודי..F הוא הקבוע ϕ.2 הוא פסוק מהצורה ϕ 1 3.ϕ.4 ϕ הוא פסוק מהצורה ) 2 (ϕ 1?ϕ כאשר ϕ 1, ϕ 2 נקבעים באופן יחיד ע"'י ϕ. הוכחה : יהי ϕ פסוק. מהגדרה האינדוקטיבית של W F F נובע מידית ש ϕ בעל הצורה של אחת משלושת האפשרויות. 15
כעת נראה יחידות באינדוקציה על מבנה הפסוק : מקרה בסיס : היחידות נקבעת על ידי סימן הפסוק או F מקרה של ϕ. זהו פסוק שלילה וההמשך לפי הנחת האינדוקציה על ϕ מקרה של קשר דו מקומי :( 2 ϕ). 1 ϕ? צריך להראות שאם לפסוק יש הצגה נוספת ) 2 (ϕ 1?ϕ אז ϕ 1 = ϕ 1 ו = ϕ 2.ϕ 2 נראה ש ϕ 1 ו ϕ 1 חייבים להיות בעלי אותו אורך. אחרת נניח בה"'כ ) 1 l(ϕ 1 ) < l(ϕ כלומר ϕ 1 רישא ממש של ϕ 1 וזו ובגלל ש ϕ 1 l(ϕ 1 ) = l(ϕ 1 סתירה ללמה מספר 3. ולכן ).ϕ 1 = אז ϕ 1 ϕ 1 רישא ממש של הפסוק מורכב משני הפסוקים שמרכיבים אותו ועוד 3 סימונים הסוגריים והקשר. ולכן : l(ϕ 2 ) = l(ϕ) l(ϕ 1 ) 3 = l(ϕ) l(ϕ 1 ) 3 = l(ϕ 2 ) ולכן : 2 ϕ 2 = ϕ 16
משפט 2: לכל פסוק קיים עץ בנייה יחיד. עץ בנייה ל ) 3 ((P 1 P 2 ) P P 3 P 1 P 2 17
הגדרה של עץ בנייה באינדוקציה על מבנה הפסוק והעץ בהתאמה. שלב הבסיס : לפסוק יסודי ול F יש עץ עם קודקוד יחיד. לפסוק מורכב : 2 ϕ 1?ϕ לפי הנחת האינוקציה ל ϕ 1 יש עץ ל ϕ 2 יש עץ ϕ 1 ϕ 2 ולכן נוכל להרכיב את העץ : 18
כעת נראה יחידות : שלב הבסיס : עבור פסוק יסודי P הפסוק הוא באורך אחד. עץ עם יותר מקודקוד אחד מתאר פסוק יותר ארוך ולכן הוא לא עץ הבניה של P. כנ"ל לגבי F. שלב המעבר : לפי משפט הקריאה היחידה סוג הפסוק נקבע באופן יחיד על ידי הקשר הראשי. ההמשך נובע מהנחת האינדוקציה 19