«Ehtimollar nazariyasi va matematikalik statistika»

O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O`RTA MAXSUS TA`LIM VAZIRLIGI BERDAX omidagi QORAQALPOQ DAVLAT UNIVERSITETI «Iqtisodiet, bizes va axborot tizimlari» afedrasi Barcha iqtisodiyet yualishlari uchu «Ehtimollar azariyasi va matematiali statistia» fai buyicha ma`ruza mati. N U K U S - 007

O t a r o v A. A. «Ehtimollar azariyasi va matematiali statistia» fai buyicha ma`ruza matlari Nuus, 006y.

K I R I Sh Kudali hayotda turli hodisalarga duch elamiz. Ularga masala, quyoshig chiqish va botish hodisasi, havo o`zgarib, yomg`ir yoi qor yog`ish hodisasi misol Albatta, hodisalar mu`lum shart-sharaitlar (shartlar majmui), bajarilish yoi biror tajriba (siash) o`tazish atijasida ro`y beradi. Masala, bir doa to`liq mag`izli chigiti etarli haroratga, amlia ega bo`lga turoqqa etarli chuqurlia (shartlar majmuasi) eada uib chiqish yoi chiqmasli hodisalarida biri ro`y berishi mumi. Tajriba atijasida biror shartlar majmui bajarilgada albatta ro`y beradiga hodisa muqarrar hodisa deyiladi. Tajriba atijasida shartlar majmui bajarilgada mutlaqo ro`y bermaydiga hodisa mumi bo`lmaga (muqarrar bo`lmaga) hodisa deyiladi. Ammo amaliyotda atijasii to`la ishoch bila bashorat qilish mumi bo`lmaga tajribalar (siovlar) bila ish o`rishga to`g`ri eladi. Masala, tagai tashlashda iborat tajribada u yoi bu tomoii tushishii to`la ishoch bila oldida aytish mumi emas yoi eilga chigit urug`ii uib chiqish yoi chiqmasligi aytish qiyidir. Buga o`xshash barcha hollarda tajribaig atijasii tasodifga bog`liq deb hisoblaymiz va ui tasodifiy hodisa sifatida qaraymiz. Shuday qilib tasodifiy hodisaga, quyidagicha ta`rif berish mumi. Tajriba atijasida (biror shartlar majmui bajarilgada) ro`y berishi ham, ro`y bermasligi ham mumi bo`lga hodisa tasodifiy hodisa deb ataladi. Masala, taga tashlash tajribasida yo gerbli tomo tushishi, yoi raqamli tomo tushishi hodisasi tasodifiy hodisa Tasodifiy hodisalar lati alfavitiiig bosh harflar A, V, S, D... bila belgilaadi. Muqarrar hodisai U harfi bila, mumi bo`lmaga hodisai esa V harfi bila belgilaymiz. Biror tajriba o`tazilayotga bo`lsi. Bu tajribaig har bir atijasii ifodalovchi hodisa elemetar hodisa deb ataladi va ω (omega) bila belgilaadi. Elemetar hodisalar to`lami Ω bila belgilaadi, ya`i Ω {ω }. Elemetar hodisalarga ajratish mumi bo`lga hodisa muraab hodisa deb ataladi. Ko`icha amaliyotda bir xil shartlar majmui bajarilgada o` marta uzatilishi mumi bo`lga hodisalar, ya`i ommaviy bir jisli hodisalar bila ish o`rishga to`g`ri eladi. Ehtimollar azariyasi etarlicha, o` sodagi bir jisli tasodifiy hodisalar bo`ysuadiga qouiyatlari aiqlash bila shug`ullaadi. Dema, ehtimollar azariyasi redmeti ommaviy bir jisli tasodifiy hodisalarig ehtimoliy ouiyatlarii o`rgauvchi fadir. Misollar.. Tagai bir marta tashlashda iborat tajribai qarayli. Bu tajriba atijasi iita elemetar hodisada: ω tagaig gerbli tomoi tushishi hodisasi (G) va ω - tagaig raqamli tomoi tushishi hodisasida (R) iborat Dema, bu holda elemetar hodisalar to`lami Ω { ω ω }{G, R}. Tagai ii marta tashlashda iborat tajribai qarayli. Bu tajriba atijalari quyidagicha bo`ladi: GG ii marta ham tagaig gerbli tomoi tushishi hodisasi; GR birichi marta gerbli, iichi marta raqamli tomoi tushish hodisasi; RG birichi marta raqamli, iichi marta esa gerbli tomoi tushishi hodisasi; RR ii marta ham tagaig raqamli tomoi tushishi hodisasi. Bu holda elemetar hodisalar GG, GR, RG, RR bo`lib, ularig to`lami Ω { GG, GR, RG, RR} -. Tasodifiy hodisalar ustida amallar Biror tajriba o`tazilga bo`lib, uig atijasida A va V hodisalar ro`y berga bo`lsi. Ko`gia hollarda ehtimoli hisoblash jarayoida o`rgailayotga hodisalar orasidag bog`laishi aiqlash lozim Shu maqsadda quyida hodisalar tegligi, yig`idisi va o`aytmasi tushuchalari bila taishamiz. 3.-ta`rif. Agar tajriba atijasida A hodisa ro`y bergada hamma vaqt V hodisa ham ro`y bersa, A hodisa V i ergashtiradi deb ataladi va А В abi yoziladi. Masala, tajriba 3 doa yagi av urug`i eishda iborat bo`lsi. Bu tajriba atijasida quyidagi hodisalari tuzamiz: A o birorta ham urug` uib chiqmagaligi hodisasi, A doa urug`ig uib chiqish hodisasi, A ii doa urug`ig uib chiqish hodisasi, A uib chiqqa urug`lar soi iitada ortiq bo`lmagali hodisasi. Ravshai, bu xolda А А, А А А А 0, 3

3.-ta`rif. Agar A hodisa V hodisai ergashtirsa va o`z avbatida V hodisa A hodisai ergashtirsa, u holda A va V teg uchli hodisalar deyiladi va AV abi yoziladi. 3.3-ta`rif. Tajriba atijasida yo A hodisa, yoi V hodisa, yoi ham A, ham V hodisalar ro`y berishida iborat hodisa A va V hodisalarig yig`idisi deb ataladi va A V abi belgilaadi. 3.4-ta`rif. Tajriba atijasida ham A hodisa, ham V hodisaig (bir vaqtda) birgalida ro`y berishida iborat hodisa A va V hodisalar o`aytmasi deb ataladi va AV abi belgilaadi. 3.5-ta`rif. Agar A va V hodisalar bir aytda ro`y berishi mumi bo`lmaga hodisalar, ya`i A VV bo`lsa, u holda A va V birgalida bo`lmaga hodisalar deyiladi. As holda birgalida hodisalar deyiladi. Masala, tagai tashlash atijasida bir vaqtda gerbli va raqamli tomolar tushish hodisalari birgalida bo`lmaga hodisalar 3.6-ta`rif. Agar A va V hodisalar yig`idisi muqarrar hodisa, o`aytmasi esa mumi bo`lmaga hodisa, ya`i AVU, A VV bo`lsa, u holda A va V hodisalar o`zaro qarama-qarshi hodisalar deyiladi. Odatda A hodisaga arama-qarshi hodisaga А abi belgilaadi. Dema, A А U, A А V. 3.7-ta`rif. Tajriba atijasida A hodisaig ro`y berishda, V hodisaig esa ro`y bermasligida iborat hodisa A va V hodisalar ayirmasi deb ataladi va A - V abi belgilaadi. 3.-eslatma. A, A,, A hodisalarig yig`idisi va o`aytmasi yuqoridagide ta`riflaadi. A, A,, A hodisalari qarayli. Agar bu hodisalar yig`idisi muqarrar hodisa bo`lsa, ya`i A A A U bo`lsa, u holda A, A,, A hodisalar hodisalarig to`la gruasii tashil etadi deyiladi. Agar A, A,, A hodisalar uchu 0. A A A U; 0. A i A j V, i j (i, j,,, ) bulsa, ya`i istalga iita A i va A j ( i j) (i, j, ) hodisalar bir vaqtda ro`y berishi mumi bo`lmasa, u holda A, A,, A hodisalar juft-jufti bila birgalida bo`lmaga hodisalarig to`la gruasii tashil etadi deyiladi. Agarda bir echa A, A,, A hodisalarda istalga birii siash atijasida ro`y berishi boshqalariga qaragada attaroq imoiyatga (qulaylia) ega deyishga asos bo`lmasa, buday hodisalar teg imoiyatli hodisalar deyiladi. -. Hodisa ehtimoliig ta`riflari Ehtimollar azariyasiig asosiy tushuchasi bo`lga tasodifiy hodisaig ehtimoli tushuchasii eltiramiz. Hodisaig ehtimoli ma`osii aglash uchu bitta sodda misol eltiramiz. Bitta yashida 0 doa bir xil shar bo`lib, ularig iitasi qizil ragli, 8 tasi esa o` ragli bo`lsi. Yashidagi bu sharlari yaxshilab aralashtirib, so`g bu yashida qaramasda tavaaliga shar olish tajribasii o`tazayli. Ravshai, yashida oliga sharig o` ragli bo`lish imoiyati qizil ragli bo`lishi imoiyatiga qaragada o`roq Odatda imoiyatlari solar bila xaraterlab, ular solishtiriladi. Natijada o` imoiyatli, am imoiyatli umuma, ma`lum miqdordagi imoiyatli abi hodisalarig soli o`lchovlari to`g`risida gairish mumi Bu hodisaig ehtimoli tushuchasiga olib eladi.. Hodisa ehtimoliig lassi ta`rifi. Biror tajriba atijasida cheli sodagi e, e,, e elemetar hodisalarda birortasi ro`y berishi mumi bo`lsi. 4

Bu e, e,, e elemetar hodisalar quyidagi shartlari qaoatlatirsi: ) hodisalar juft-jufti bila birgalida emas, ya`i istalga iita e i va e j (i j) hodisa birgalida ro`y bermaydi; ) e, e,, e hodisalarda birortasi albatta ro`y beradi; 3) e, e,, e hodisalar teg imoiyatli. Biror A hodisa e, e,, e elemetar hodisalar ichida е, е,..., е lar ro`y bergada ro`y bersi. Bu holda е, е,..., е m elemetar hodisalar (ya`i A hodisasiig ro`y berishiga olib eladiga hodisalar) A hodisaga qulayli tug`diradiga hodisalar deyiladi. Masala, tagai ii marta tashlash tajribasii qarayli. Bu tajriba atijasida GG, GR, RG, RR elemetar hodisalar ro`y beradi. A hodisa tagai ii marta tashlagada iala holda ham gerbli tomoi tushishi hodisasi (GG hodisasi) bo`lsi. Bu holda A hodisaga qulayli tug`diradiga elemetar hodisa faqat bitta bo`ladi (GG hodisa). Faraz qilayl, ta e, e,, e elemetar hodisalarda t tasi A hodisaig ro`y berishiga qulayli tug`dirsi. 3.8-ta`rif. Ushbu m so A hodisaig ehtimoli deb ataladi va ui R(A) abi yoziladi: m R(A) m. Dema, A hodisaig ehtimoli A hodisaig ro`y berishiga qulayli tug`diruvchi hodisalar soiig teg imoiyatli barcha elemetar hodisalar soiga isbatiga teg. Misollar.. Yashida yaxshilab aralashtirilga 5 ta bir xil shar bo`lib, ularda 5 tasi o`, tasi qizil va 9 tasi oq shar bo`lsi. Yashida tavaaliga bitta shar oligada uig o` shar bo`lishi, qizil shar bo`lishi va oq shar bo`lishi ehtimollari toilsi. Ravshai, jami elemetar hodisalar soi 5 (595) Aytayli, A,V va S mos ravishda o`, qizil va oq shar chiqishida iborat hodisalari ifodalasi. m, m va t 3 esa mos ravishda bu hodisalarga qulayli tug`diruvchi elemetar hodisalar soi bo`lsi. U holda masala shartiga o`ra m 5, m, t 3 9 Ehtimolig lassi ta`rifiga o`ra 5 Р( А) 0,, Р( В) 0,44, 5 5 9 Р( С) 0, 36 5 Dema, tavaaliga oliga sharig o` shar bo`lish ehtimoli 0, ga, qizil shar bo`lish ehtimoli esa 0,44 ga va oq shar bo`lish ehtimoli 0,36 ga teg.. O`tazilayotga tajriba, simmetri, bir jisli tagai uch marta tashlashda iborat bo`lsi. Tajriba atijasida marta gerbli tomoi tushish hodisasiig ehtimoli toilsi. Tagai uch marta tashlashda ro`y berishi mumi bo`lga barcha elemetar hodisalar to`lamii tuzamiz: Ω { e (GGG), e (GGR), e 3 (GRR), e 4 (RRR), e 5 (RGR), e 6 (RRG), e 7 (GRG), e 8 (RGG)} bo`lib, bu to`lam elemetlariig soi 8. Aytayli, A hodisa tagai uch marta tashlagada marta gerbli tomoi tushishi hodisasi bo`lsi. Elemetar hodisalar to`lami Ω da o`ramizi, barcha elemetar imoiyatlar soi 3 8, ularda A hodisaga qulayli tug`diruvchi elemetar hodisalar soi t 3 Hodisa ehtimoliig ta`rifiga o`ra qaralayotga A hodisaig ehtimoli 3 Р ( А ) 0, 375 8 Hodisa ehtimoliig ta`rifida bevosita quyidagi xossalar elib chiqadi.. Har qaday A hodisaig ehtimoli 5

R(A) 0 va R(A), ya`i 0 R(A). Muqarrar hodisaig ehtimoli ga teg bo`ladi, ya`i R( Ω ). 3. Mumi bo`lmaga hodisaig ehtimoli olga teg bo`ladi: R(V)0.. Hodisa ehtimoliig geometri va statisti ta`riflari. Biz yuqorida o`rgaga ehtimolig lassi ta`rifida uda bayo etilga barcha elemetar imoiyatlar soi cheli bo`lga holdagia foydalaish mumi, as holda bu ta`rifda foydalaiib bo`lmaydi. Buday holda hodisa ehtimoliga boshqacha ta`rif berishga to`g`ri eladi. Quyida hodisa ehtimoliig geometri va statisti ta`riflarii eltiramiz. Hodisa ehtimoliig geometri ta`rifi. Faraz qilayli, teislida biror Q soha beralga bo`lib, bu Q soha boshqa bir G sohai o`z ichiga olsi: G Q. Q sohaga tavaal qilib uqta tashlaadi. Bu uqtaig G sohaga tushishi ehtimolii ta`riflaymiz. Bu erda barcha elemetar hodisalar to`lami Q sohada iborat Ravshai, Q - chesiz to`lam. Biobari, bu holda ehtimolig lassi ta`rifida foydalaib bo`lmayd. Q sohaga tashlaga uqta shu soxaig istalga qismiga tushishi mumi va uqtaig Q sohaig biror G qismiga tushish ehtimoli G ig o`lchoviga roortsioal bo`lib, u G ig shaliga ham, G ig Q sohaig qaeriga joylashishiga ham bog`liq bo`lmasi. Shu shartlarda ushbu mesg Р mesq miqdor qaralayotga hodisaig geometri ehtimoli deb ataladi. Buda mes Q va G sohalarig o`lchovii bildiradi. Misol. L uzulia ega bo`lga esmaga tavaal qilib uqta tashlaga bo`lsi. Tashlaga uqtaig esma o`rtasida uzog`i bila l masofada (l<l) yotishi hodisasiig ehtimoli toilsi. echish. Umumiylia ziyo eltirmasda esmaig o`rtasii saoq boshi deb qarayli (4-chizma). Masalaig shartii qaoatlatiradiga uqtalar to`lami [-l; l] segmetida iborat Bu segmetig uzuligi l ga teg. Yuqoridagi ta`rifga o`ra qaralayotga hodisaig ehtimoli Р l L ga teg Hodisa ehtimoliig statisti ta`rifi. Yuqorida aytib o`tgaimizde, hodisa ehtimoliig lassi ta`rifi tajriba atijasida ro`y beradiga elemetar hodisalarig teg imoiyatli bo`lishiga asoslagadir. Ko` hollarda elemetar hodisalarig teg imoiyatli bo`lishii o`rsata olmaymiz. Shu sababli ham hodisa ehtimoliig amalda qulay bo`lga ta`rifii eltirish zaruriyati tug`iladi. Buday ta`riflarda biri hodisa ehtimoliig statisti ta`rifidir. Bu ta`rifi eltirishda avval isbiy chastota tushuchasi bila taishamiz. Tabiatda, texiada o` marta tarorlaadiga voqealarga duch elamiz. Bu tajriba atijasida biror A hodisa ro`y berishi ham mumi, ro`y bermasligi ham mumi. Aytayli, N marta tajriba o`tazilga bo`lib, uda A hodisa µ marta ro`y berga bo`lsi. Ushbu W ( A) 6 ( A) µ N isbat hodisaig isbiy chastotasi deb ataladi. Dema, A hodisaig isbiy chastotasi shu hodisa ro`y berga tajribalar soii o`tazilga jami tajribalar soiga bo`lga isbatiga teg. Ko` uzatishlar shui o`rsatadii, bir xil shart-sharoitda o` marta tarorlaadiga tajriba o`tazilgada isbiy chastota biror o`zgarmas so atrofida tebraib turadi (odatda bui

isbiy chastotaig turg`uligi deyiladi). Masala, taga tashlash tajribasii o` marta tarorlagada, tagaig gerbli tomoiig tushish chastotasi quyidagicha bo`lga. Tajribalar soi (W) 4040 000 4000 Gerbli tomoi bila tushish soi ( µ ) r 048 609 0 Nisbiy chastota 0,5080 0,506 0,5005 W r Buda isbiy chastotaig 0,5 soi atrofida tebraib turishii o`ramiz. Tajribalar soii yaada orttira borgada isbiy chastota 0,5 soiga borga sari yaqi elaveradi. Shuday qilib, hodisaig isbiy chastotasi tajribalar soi orta borga sari bitta o`zgarmas so atrofida bo`lar ea. Odatda shu so hodisaig ehtimoli deyiladi. Hodisa ehtimoliga berilga bu ta`rif ehtimolig statisti ta`rifi deyiladi. Misol. Eilga 30 tu olma o`chatida elgusi yili 5 tui o`arga bo`lsa, eilga olma o`chatiig o`arish (N) hodisasiig isbiy chastotasi toilsi. echish. Ehtimolig statisti ta`rifiga asosa N 30, µ A 5. Buda µ 5 5 W ( A) A 0, 83 N 30 6 3-. Ehtimollar azariyasiig asiomalari Agar iita A va V hodisalarda biriig ro`y berishi iichisiig ro`i berish yoi ro`y bermasligiga bog`liq bo`lmasa, u holda bu hodisalar erli hodisalar deyiladi. Yuqoridagi mulohazalarimizda ravshai, bu mavzuda faqatgia birgalida bo`lga hodisalar haqida fir yuritiladi, chu birgalida bo`lmaga hodisalarig birgalida ro`y berish (o`aytmasii) ehtimoli olga teg. A va V hodisalar erili hodisalar bo`lib, R(A) va R(V) ularig mos ehtimollari bo`lsi. 3.3-teorema. Iita erli A va V hodisaig birgalida ro`y bershi ehtimoli shu hodisalarig ehtimollari o`aytmasiga teg: R(AV)R(A) R(V). Isbot. Shartga o`ra A va V erli hodisalar. Tajriba atijasida ta elemetar hodisaga ega bo`layli. Bularda tasi A hodisaga qulayli tug`dirsi. Tajriba atijasida t ta elemetar hodisaga ega bo`layli. Bularda t tasi V hodisaga qulayli tug`dirsi. Ravshai, m Р( А), Р( B) (3.7) m Tajribalar atijasida ro`y beradiga barcha elemetar hodisalar soi t ta Bularda t tasi A va V hodisalarig birgalida ro`y berishiga qulayli tug`diradi. Dema, m Р( АВ) m Buda esa, yuqoridagi (3.7) muosabati e`tiborga olib, Р m m ( А В) Р( А) Р( В) bo`lishii toamiz..-atija. A, A,, A birgalida bog`liq bulmaga hodisalar bo`lsi. U holda R(A, A,, A ) R(A )R(A ) R(A ) bo`ladi 7

Misol. Ii yashiig har birida 0 tada detal` bor. Birichi yashida 8 ta, iichi yashida 7 ta stadart detal` bor. Har bir yashida tavaaliga bittada detal` oliadi. Oliga iala detalig stadart bo`lish ehtimoli toilsi. echish. Birichi yashida oliga detal` stadart detal` bo`lishi hodisasii A, iichi yashida oligai stadart detal` bo`lishi hodisasii V deyli. Uda R(A) 0 8 0,8, R(V) 0 7 0,7 Ravshai, oliga iala detalig stadart detal` bo`lishi hodisasi esa AV hodisa A, V birgalida bo`lmaga hodisalardir. Shuig uchu.3 - teoremaga o`ra R(AV)R(A) R(V) Dema, R(AV)R(A) R(V)0,8 0,70,56 Bog`li hodisalar ehtimollarii o`aytirish teoremasii eltirishda avval hodisaig shartli ehtimoli tushuchasi bila taishamiz. Biror A hodisa berilga bo`lsi. Odatda bu hodisa ma`lum shartlar majmui S bajarilgada ro`y beradi. Agar A hodisaig ehtimoli R(A) i hisoblagada S shartlar majmuida boshqa hech qaday shart talab qilimasa, buday ehtimol shartsiz ehtimol deyiladi. Ko` hollarda A hodisaig extimolii biror V hodisa (R (V)>0) ro`y berga dega shartda hisoblashga to`g`ri eladi. A hodisaig buday ehtimoli shartli ehtimol deyiladi va R(A/V) abi belgilaadi. Misol. Tagai 3 marta tashlash tajribasii qarayli. Tajriba atijasida ro`y beradiga elemetar hodisalar to`lami quyidagicha bo`ladi: Ω {GGG, GGR, GRG, RGG, RRR, RRG, RGR, GRR}. Bu to`lam 8 ta elemetda iboratdir. Tagaig gerbli tomoi faqat bir marta tushish hodisasi A va amida bir marta gerbli tomoi tushish hodisasi V bo`lsa, u holda extimolig lassi ta`rifiga asosa: R(A) 8 3, R(V) 8 7 R(A/V) shartli ehtimol esa R(A/V) 7 3 ga teg Edi bog`liq hodisalar ehtimollarii o`aytirish teoremasi eltiramiz. 3.4-teorema. Iita bog`liq hodisaig birgalida ro`y berish ehtimoli ularda biriig ehtimolii shu hodisa ro`y berdi dega farazda hisoblaga iichi hodisaig shartli eqtimoliga o`aytmasiga teg: R(AV)R(A)R(V/A). Misol. Yashida 5 ta oq, 4 ta qora shar bor. Yashida qaytarib joyiga qo`ymasda, bittalab shar olish tajribasi o`tazilayotga bo`lsi. Birichi galda oq shar, iichi galda qora shar chiqishi ehtimoli toilsi. echish. Birichi galda oq shar chiqish hodisasii A, iichi galda qora shar chiqish hodisasii V deb olayli. Bu hodisalar bog`liq hodisalar Hodisa ehtimoli ta`rifiga o`ra R(A) 5/9. Birichi galda oq shar chiqqa holda, iichi galda qora shar chiqishi ehtimoli (shartli ehtimoli) R(V/A) 4/9 Ravshai, birich galda oq shar, iichi galda qora shar chiqishi hodisasi A - V Bu hodisaig ehtimolii yuqorida eltirilga teoremada foydalaib toamiz: 5 4 0 R(AV)R(A)R(V/A). 9 9 8 3.-eslatma. Agar A, V, S bog`liq hodisalar bo`lsa, u holda R(AVS) R(A)R(V/A)R(S/AV) muosabatig o`rili bo`lishii o`rsatish mumi. 8

Umuma, A, A,, A bog`liq hodisalar uchu quyidagi formula urili bo`ladi: R(A A A ) R(A )R(A /A )R(A 3 /A A ) R(A / A A A - ). 4-. To`la ehtimol formulasi. Bayes formulasi Biror A hodisa ta juft-jufti bila birgalida bo`lmaga N, N,..., N hodisalarig (giotezalarig) bittasi va faqat bittasi bilagia ro`y berishi mumi bo`lsi. Dema, birichida AAN AN,... AN iichida esa АН АН V i j i j 8 9 Ehtimollari qo`shish teoremasida foydalaib toamiz: R(A) R(AN AN,... AN ) R(AN )R(AN )... R(AN ). Agar R(AN ) R(N )R(A/N ), R(AN ) R(N )R(A/N ),. R(AN ) R(N )R(A/N ) bo`lishii e`tiborga olsa, u holda ushbu teglia elamiz: R(A)R(N )R(A/N ) R(N )R(A/N ) R(N )R(A/N ) P( H ) P( A ) Dema, P ( A) P( H ) P( A ) H /. H /. (3.0) Odatda (3.0) formula to`la ehtimol formulasi deb ataladi. To`la ehtimol formulasida muraab hodisalarig ehtimollarii hisoblashda foydalailadi. Misol. Omborga 360 ta mahsulot eltirildi. Bularda: 300 tasi bir orxoada tayyorlaga bo`lib, 50 tasi yaroqli mahsulot, 40 tasi -orxoada tayyorlaga bo`lib, 30 tasi yaroqli mahsulot, 0 tasi 3-orxoada tayyorlaga bo`lib, 0 tasi yaroqli mahsulot. Omborda tavaaliga oliga mahsulotig yaroqli bo`lish ehtimoli toilsi. echish. Tavaaliga oliga mahsulot uchu quyidagi giotezalar o`rili bo`ladi: N mahsulotig -orxoada tayyorlaga bo`lishi, N mahsulotig -orxoada tayyorlaga bo`lishi, N 3 mahsulotig 3-orxoada tayyorlaga bo`lishi. Ularig ehtimollari mos ravishda quyidagicha bo`ladi: 300 5 P ( H ) ; P( H ) 360 P 6 0 360 8 ( H ). 3 Agar oliga mahsulotig yaroli bo`lishii A hodisa deb belgilasa, u holda bu hodisaig turli giotezalar shartlari ostidagi ehtimollari quyidagicha bo`ladi: 5 3 P ( A/ H ) ; P( A/ H ) ; P( A/ H3). 6 4 Yuqorida toilgalari to`la ehtimol formulasi (3.0) ga qo`yamiz: P A P H P A H P H P A/ H P H P A/ H 40 360 5 6 5 6 9 3 4 9. 36 ; 9 / 3 3

Aytayli, birgalida bo`lmaga N, N,, N hodisalarig to`la gruasi berilga bo`lib, i, ehtimollari tayi qiymatga ega tajribai o`tazishga qadar ularig har biriig 0 P, bo`lsi. Tajriba atijasida A hodisa ro`y berdi dega shart ostida i i, hodisalarig ehtimollari tajribada so`g qaday bo`lishligi uyidagicha toiladi: H i va A hodisalarig o`aytmasi uchu ushbu formulada H i ( AH ) P( A) P( H / A) P( H ) P( A H ) P / i P ( H A) i / i P ( Hi ) P( A/ Hi ) P( A) i H muosabatga ega bo`lamiz. Bu muosabatga to`la ehtimol formulasii qo`llaib, quyidagii toamiz: P( Hi ) P( A/ Hi ) P( Hi ) P( A/ Hi ) P Hi / A P( H ) P( A H ) P( H ) /... P A/ H P H P A/ H i i Bu formula Bayes formulasi deyiladi. Misol. Yuqoridagi misolda tavaaliga oliga mahsulotig yaroqli ealigi ma`lum bo`lsa, uig birichi orxoada tayyorlaga bo`lish ehtimolii toig. echish. Masalada R(N/A) shartli ehtimoli toish talab qilimoqda. Bu ehtimoli Bayes formulasida foydalaib toamiz: 9 ( H A) / P ( H) P( A/ H ) P( A) P Edi P ( A), 36 P H 6 va ( A / H ) 6 ehtimolli quyidagiga teg: P ( H A) P ( H) P( A/ H ) P( A) 5 5 5 6 9 6 36 / 5 P bo`lgaligida talab qiliayotga 5. 9 5-. O`zaro bog`liq bo`lmaga tajribalar etma- etligi. Berulli formulasi Amaliy masalalari hal etishda tajribalar odatda bir echa bor tarorlaadi. Buig atijasida tajribalar etma-etligi hosil Masala, yagi axta avi yaratilgaligii ma`lum afolat bila tasdiqlash uchu shu av bila bir echa yil tajribalar o`tazilib, ular asosida yagi avig o`rtacha hosildorligi, tola chiqishligi, tez isharligi, sifatliligi abi muhim belgilari avvalgi avlarga qaragada yuqori ealigi o`rsatiladi. Ma`lumi, tajribalar o`tazilishi atijasida tasodifiy hodisalar ro`y berdi. Agar tajriba atijasida biror tasodifiy hodisa ro`y berish ehtimoli boshqa tajriba atijasida aday tasodifiy hodisa ro`y bergaiga bog`liq bo`lmasa, buday tajribalar etma-etligi o`zaro bog`li bo`lmaga tajribalar deliadi. Aytayli, ta tajriba o`tazilga bo`lib, ular quyidagi shartlari qaoatlatirsi: ) tajribalar o`zaro bog`liq bo`lmasi; ) har bir tajriba atijasida yo A hodisa, yoi uga qarama-qarshi A hodisalarda biri ro`y bersi; 3)har bir tajribada A hodisaig ro`y berishi ehtimoli o`zgarmas bo`lib, u P ( A) ga teg bo`lsi. U holda A hodisaig ro`y bermasli ehtimoli, ya`i qarama-qarshi hodisaig ro`y berish ehtimoli P( A) q i i

Buday, ya`i har bir bog`liqmas tajriba atijasida to`la grua tashil qiladiga iita A va A hodisalarda faqat bittasi albatta ro`y beradi deb qaraladiga tajribalar etma-etligi Berulli sxemasi deyiladi. Ravshai, P( A) q Dema, har bir tajriba atijasida A hodisaig ro`y berish ehtimoly P ( A), uga qarama-qarshi A hodisaig ro`y berish ehtimoli ( A) q P bo`lsi. Asosiy masala ta erli tajribada A P bila hodisasig rosa marta ro`y berishi ehtimolii toishda iborat. Bu ehtimoli belgilayli. 3.5-teorema. ta erli tajribada A hodisaig rosa marta ro`y berish ehtimoli uyidagi formula bila hisoblaadi: buda C Р ( ) C р q, Р А А А... А Р А Р А... Р А рq q... q q. (3.) 3.... Bu teorema quyidagicha mulohaza bila isbotlaadi: Bog`liq bo`lmagai ta tajribaig har birida uzatilayotga A hodisaig ro`y berish ehtimoli q q bo`lsi. r, ro`y bermasli ( A hodisaig ro`y berishi) ehtimoli Aytayli, ta tajribada A hodisa biror marta ham ro`y bermasi. Dema, birichi tajribada A hodisa, iichi tajribada ham A hodisa, va hoazo, - tajribada ham A hodisa ro`y berga. Natijada ushbu ( A A) A.... 443 та muraab hodisaga ega bo`lamiz. Uig ehtimoli erli hodisalar uchu ehtimollari o`aytirish teoremasiga asosa: P ( A A... A) Р( A) Р( A)... Р( A) q q... q q. 443 4444 3 3 та та та Bu holda, ya`i ta tajribada A hodisaig biror marta ham ro`y bermasli extimoli ( 0 ) P q Aytayli, ta tajribada A hodisa faqat bir marta ro`y berga bo`lsi. Buda quyidagi ta muraab hodisaga ega bo`lamiz: A A A... A (birichi tajribada A ro`y berdi), 443 та A A A... A (iichi tajribada A ro`y berdi) 443 та A A A A... A (uchichi tajribada A ro`y berdi), 443 4 та A A... A A ( - tajribada A ro`y berdi). 443 та Bu muraab erli hodisalarig ehtimollari o`aytirish teoremasiga asosa

( А А... А А) Р( А) Р( А)... Р( А) Р( А) q Р. ta tajribada A hodisaig bir marta ro`y berish ehtimoli birgalida bo`lmaga hodisalar uchu ehtimollari qo`shish teoremasiga asosa Р Р А А А... А А A А... А А А A А... А... А А... А A Dema, Р () ( А А А... А) Р( А A А... А) P( А А... А A) рq рq... рq рр C C рq. Р Aytayli, ta tajribada A hodisasi ii marta ro`y bersi. Bu holda quyidagi А А А А... А, А А A А... А, А А... А A А muraab hodisalarda biri ro`y berdi. Ularig soi ( ) C bo`lib, har biriig ehtimoli marta ro`y berish ehtimoli рq q ga teg Yuqoridagide, ta tajribada A hodisaig Р C р q. (3.) ga teg bo`lishi o`rsatiladi. (3.) formula Berulli formulasi deb ataladi. ta tajribada A hodisa ro`y bermasligi mumi, bir marta, ii marta va h.., marta ro`y berishi mumi. Buday hodisalar yig`idisi albatta muqarrar hodisa Shuig uchu ularig ehtimollari yig`idisi ga teg Dema, Р ( 0 ) Р Р... Р, ya`i P Misol. Har bir detalig yaroqli bo`lish (A hodisa) ehtimoli 0,8 ga teg. Tayyorlaga 5 detalda 3 tasiig yaraqli bo`lish ehtimoli toilsi. echish. Masala shartiga bioa 0 ( A) 0,8, P( A) q 0, 5, 3, P bo`lishii aiqlaymiz. Uda (3.) Berulli formulasiga o`ra 3 5 P 5 () 3 C5 0,8 ( 0,8) 0,8 0, 0,048. 3 ( 5 3 ) 3.3-eslatma. Edi eri tajribalar etma-etligida hodisaig ro`y berish soii µ bila belgilab, quyidagi hodisalari iritamiz va ularig ehtimollarii yozamiz: 0 µ desa, uig ehtimoli bo`ladi; ehtimoli ) hodisaig da am marta ro`y berish hodisasii { } m 0 { 0 } P ( m) P µ. ) hodisaig da o` marta ro`y berish hodisasii { µ } P { µ } P ( m) m 3) hodisaig amida marta ro`y berish hodisasi { } { } P ( m) P µ m µ ig ehtimoli desa, uig

4) hodisaig o`i bila marta ro`y berish ehtimoli P { 0 µ } P ( m) 3 m 0 5) hodisaig ami bila marta, o`i bila marta ro`y berish hodisasii µ dese, uig ehtimoli { } { } P ( m) P µ m Misollar. ) chigitig uuvchaligi 0% bo`lsa, eilga 4 ta chigitda: a) uchtasiig uib chiqishi; b) hech bo`lmagada iitasiig uib chiqish ehtimolii toig. echish. a) shartga o`ra 4, 3, r 0,8, q 0,. Berulli formulasiga o`ra 3 3 () 3 С ( 0,8) 0, 0,4096; Р 4 4 b) A hodisa eilga 4 ta chigitda hech bo`lmagada iitasiig uib chiqishii, ya`i tasi, yoi 3 tasi, yoi 4 tasi uib chiqishii bildirsi. Ehtimollari qo`shish teoremasiga o`ra: R(A) R 4 {yoi, yoi 3, yoi 4}R 4 ()R 4 (3)R 4 (4). R 4 (3) ehtimol a) badda hisoblaga; Dema, ( А) 0, 978 Р С4 ( 0,8) ( 0,) 0,536; 4 4 0 () 3 С ( 0,8) ( 0,) 0,4096. 4 Р 4 4 Р. Edi (3.) Berulli formulasiig tahlili bila shug`ullaamiz. Ravshai, berilga tayi va r da C р q Р ( 0,,,..., ) ig qiymati ga bog`liq, ya`i ig futsiyasi Buda o`zgaruvchiig 0,,,, qiymatlarida R () futsiyaig qiymatlari ushbu Р ( 0 ), P( ), P,..., P (3.) solar etma-etligida iborat Bu (3.) dagi solarda tayilaga uchu qaysi biri eg atta bo`ladi, ya`i A hodisa ta erli siashda ro`y berishlar soig qaday qiymatlarida R () eg atta ehtimolga ega bo`ladi, dega savolga javob berish masalasii o`rgaamiz. U holda Agar ya`i Shu masadda ushbu Р ( ) P P Р P P C ( ) ( ) isbati qaraymiz. Ravshai, C р q ( ) р q ( ), ( ) ( ) ( )( ) ( ) P P ( ) >, >. (3.3)

bo`lsa, u holda P ( ) > P ig qaday qiymatlarida P ( ) P isbata echamiz: > bo`lishii bilish uchu (3.3) tegsizlii ga > ( ) > ( )( ) > ( ) ( ) ( ) > ( ) > ( ) < ( ). Dema, < ( ) bo`lgada P ( ) > P Shuday qilib, o`zgaruvchiig qiymatlari ( ) soda ichi bo`lgada Р ehtimol o`sib bordi (ya`i Р futsiya o`suvchi bo`ladi). Xuddi shuga o`xshash, ( ) P P bo`lishii o`rsatish mumi. > bo`lgada 4 < Shuday qilib, o`zgaruvchiig qiymatlari ( ) soda atta bo`lib borgada Р ehtimol ichilashib boradi (ya`i Р futsiya amayuvchi bo`ladi). o`zgaruvchiig qiymati ( ) bo`lgada esa P ( ) P Shuday qilib, o`zgaruvchi 0,,,, qiymatlari qabul qila borib, uig qiymati soda ( ) soga etgucha Р ig qiymati o`sa boradi, ig qiymati oshgada esa Р ehtimol amaya boradi. Bu holi chizma bila tasvirlash mumi (4- a, chizma). Edi ta tajribada A hodisa ro`y berishiig eg atta ehtimolli soii toamiz. Aytayli, bu eg atta ehtimol o`zgaruvchiig 0 qiymatida bo`lsi. Uda yuqorida aytilgalarga o`ra, bir tomoda, iichi tomoda esa P P ( ) P 0 0, (3.3) ( ) P 0 0 (3.4) (3.3) muosabat 0 ( ), (3.4) muosabat esa ( ) 0 bo`lgada bajarilishii yuqoridagide o`rsatish mumi. Dema, eg atta ehtimolli 0 so ushbu (3.5) 0 tegsizlilari qaoatlatirar ea. Bu tegsizlii qaoatlatiradiga butu solar ( ) soga bog`liq bo`ladi: ) Agar ( ) asr so bo`lsa, u holda (3.5) tegsizlii qaoatlatiradiga 0 so bitta bo`ladi (4-b, chizma). ) agar ( ) butu so bo`lsa, u holda (3.5) tegsizlilari qaoatlatiradiga solar iita Dema, bu holda eg atta ehtimolli so iita -misol. Texi azorat bo`limi 4 ta detalda iborat guruhi teshirmoqda. Detalig yaroqli stadartga muvofiq bo`lish ehtimoli 0,6 ga teg. Yaroqli deb ta oliadiga detalig eg atta ehtimolli soi toilsi. echish. Shartga o`ra 4, r 0,6 Uda ( ) 4 0,6 - ( - 0,6) 4,4-0,4 4, r r 4 0,6 0,6 4,4 0,6 5 bo`lib, eg atta ehtimolli 0 so (3.5) muosabatga o`ra 4 0 5 tegsizlilari qaoatlatirishi era. Dema, bu muosabatda o`riadii, eg atta ehtimolli so iita bo`ladi: 0 4, 0 5. 6-. Muavr Lalasig loal va itegral teoremalari Berulli sxemasida R () extimoli toish uchu ushbu Р C р ( р) formulaga ega bo`lga edi. Bu formula sodda bo`lsa ham uda, ayiqsa, tajribalar soi

atta bo`lgada foydalaish acha qiyi Natijada bu ifodai o`ziga qaragada soddaroq va ayi aytda hisoblash uchu oso bo`lga ifoda bila taqribiy ifodalash masalasi tug`iladi. Bu masala ba`zi hollar uchu Muavr Lalasig l o a l v a i t e g r a l teoremasi yordamida hal etiladi. Quyida ulari isbotsiz eltiramiz. 3.7- teorema. (Muavr Lalasig loal teoremasi). Agar Berulli sxemasida etarlicha atta bo`lib, har bir siashda A hodisaig ro`y berish ehtimoli r (0<r< ) o`zgarmas bo`lsa, u holda R () ehtimol uchu ushbu ( ) ( Р ) e (3.) π( ) taqribiy formula o`rili Agar х ( ) deyilsa, u holda ( ) х ( ) bo`lib, yuqoridagi (3.0) formula quyidagi o`riishga eladi. Bu erda ( х) Р х Ushbu ( х) e π e х ( ) ( ) 5 e π ϕ belgilash iritsa, u holda π Р ϕ( х). (3.) ϕ juft futsiya bo`lib, uig qiymatlari uchu jadvallar tuzilga Misol. Har bir eilga chigiti uib chiqish (A hodisa) ehtimoli o`zgarmas bo`lib, R(A) r 0,8 ga teg bo`lsa, eilga 00 ta chigitda uib chiqqalar soi 85 ta bo`lish ehtimolii toig. echish. Masala shartiga o`ra 00, r R(A) 0,8, q - r 0,, 85. Ravshai, talab qiliga R 00 (85) ehtimoli Berulli formulasi bila 00 Р 00( 85) ( 0,8) 85 ( 0, ) 5 aiq hisoblash ( atta bo`lga holda) juda qiyi, buday holda 8585 r - o`zgarmas (0<r<) bo`lgada Muavr Lalasig loal teoremasida foydalaish maqsadga muvofiqdir. Bizi misolda bu taqribiy formulada foydalaish uchu avvalo quyidagi miqdori hisoblaymiz: 85 00 0,8 85 80 х q 00 0,8 0, 6 Muavr Lalasig loal teoremasiga asosa Р 85 ϕ,5 00 0,8 0, 4 5 4 х,5. (,5). 00 ϕ Ilovadagi jadvalda ϕ (,5) 0, 86 ealigida, talab qiliga ehtimolli Р 00 ( 85) 0,86 0, 0456 4 Mazur bobig 7- da ta erli tajribada A hodisaig ami bila marta va µ ig ehtimoli bo`lishii o`rga edi. o`i bila marta ro`y berish hodisasi { } { } P ( m) Р µ m

Muavr Lalasig itegral teoremas etarlicha atta bo`lgada { µ } ehtimoli taqribiy ifodalovchi formulai beradi. uchu ushbu 3.8-teorema. Berulli sxemasida loal teorema shartlari { } Р { µ } x π taqribiy formula o`rili bo`ladi, bu erda 0 < r <. Ushbu Φ e dx Р ( ) ( ) x ( x) e π 0 t dt Р µ ehtimol (3.3) Lalas futsiyasi toq futsiya bo`lib, x ig turli qiymatlariga itegralig mos qiymatlari jadvali tuzilga Misol. Tavaaliga oliga illaig yaroqsiz chiqish ehtimoli 0, ga teg. Tasodifa oliga 400 ta illada 70 tada 30 tagacha yaroqsiz bo`lish ehtimoli toilsi. echish. Shartga o`ra 400, 70, 30, r 0,, q - r 0,8 Ravshai, 70 400 0, 0 x,5; х 6,5. ( ) 400 0,( 0,)( 0,) 8 Yuqorida eltirilga (3.4) formulaga muvofiq izlaayotga ehtimol taxmia µ Р 70 µ 30 Φ 6,5 Φ,5 Р { } 400{ } ( ) Jadvalda hamda ( x) Φ ig toq futsiyaligii e`tiborga olib quyidagilari toamiz: F(-,5) -0,39435, F(6,5) 0,5 (-ilovaga qaralsi), u holda Р 70 µ 30 0,5 0,39435 0, { } 89435 400 Dema, izlaayotga ehtimolli Р { 70 µ 30} 0,89435. 400 Faraz qilayli, ta erli tajribada A hodisa µ marta ro`y bersi. Har bir tajribada A hodisaig ro`y berish ehtimoli r (0<<) bo`lsi. Ma`lumi, µ miqdor A hodisaig isbiy chastotasi Yuqorida eltirilga Muavr Lalasig itegral teoremasida foydalaib, isbiy chastota µ ig o`zgarmas ehtimol r da chetlaish ehtimolii toish mumi: µ ε > 0 oligada ham ushbu < ε tegsizli orqali ifodalaadiga hodisaig ehtimoli uchu µ Р < ε Φ ε ( ) taqribiy formula o`rili bo`lishii o`rsatamiz. Ravshai, µ µ µ < ε ε < < ε ε < < Dema, < ε µ ε < < ε ( ) ( ) ( ). 6

µ µ P < ε P ε < < Muavr Lalasig itegral teoremasida foydalaib toamiz: P ε < µ ( ) ( ) ε < ε ε ( ) ( ). π ε ε ( ) e ( ) x dx (3.5) ( ) x e dx Φ ε π ( ). 0 Bu holda (3.5) muosabatda µ P < ε Φ ε ( ) (3.6) bo`lishi elib chiqadi. Bu formuladai ε, va ehtimol qiymatlarii toish mumi. Misol. A tagai tashlash tajribasida tagaig gerbli tomoi bila tushish xodisasi µ bo`lsi. Tagai 400 marta tashlagada A xodisa isby chastotasi ig 0,5 ehtimolda 400 absolyut iymat bo`yicha chetlaishi 0,08 da ichi bo`lish ehtimolii toig. echish. Shartga o`ra 400, r0,5, ε 0,08. U holda (3.6) formulaga asosa: µ 400 P 0,5 < 0,8 Φ0,08 Φ( 3,). 400 0,5 0,5 Jadvalda F(3,) 0,4993 i olsa, µ P 0,5 < 0,8 0,9986 400 7-. Puasso teoremasi Biz yuqorida o`rgaga Berulli sxemasida ta erli tajribada A hodisaig marta ro`y berishi ehtimoli Berulli formulasi bila hisoblaishii o`rdi. Berulli formulasii eltirib chiqarishda A hodisaig har bir tajribada ro`y berish ehtimoli o`zgarmas va u r ga teg bo`lsi deb olidi (0 < r < ]. Ko`gia masalalarda hodisaig ro`y berish ehtimoli r tajribalar soi ga bog`liq bo`lib, ig ortib borishi bila r ig amayib borishiga bog`laga Buday holda Berulli sxemasi uchu uyidagi teorema o`rili 3.6-teorema. (Puasso teoremasi). Agar Berulli sxemasida da r 0 va r (>0) bo`lsa, u holda da ushbu muosabat o`rili bo`ladi: Р e yoi Р e. (3.6) Bu taqribiy formulai Puasso formulasi deyiladi. Isbot. Ma`lumi, ta o`zaro erli tajribada A hodisaig marta ro`y berish ehtimoli Р C р ( р) bo`ladi, buda С. Keyigi teglii quyidagicha yozib olamiz: ( ) 7

8.......... 3...... 3... С Bu teglida esa С... (3.7) bo`lishi elib chiqadi. Edi, 0 a solar uchu o`rili bo`lga ushbu a a a a a a...... sodda tegsizlida foydalaib toamiz........ Ravshai,....... Dema,.... (3.8) Natijada (3.7), (3.8) muosabatlarda С bo`lishi elib chiqadi. Agar С ealigii e`tiborga olsa, u holda С bo`lishii, ya`i С bo`lishii toamiz. Bu tegsizlii ga o`aytirsa, uda quyidagi tegsizlilar hosil bo`ladi:. р р С р Dema. р P р (3.9) Edi shu tegsizlida qatashuvchi ifodai quyidagicha yozamiz:.

( ) Agar da r,, bo`lishii e`tiborga olsa, uda (3.9) muosabatda ( ) ( 0) va ( ) e ( ) C р р e Р bo`lishii toamiz. Teorema isbotladi. Puasso formulasi tajribalar soi etarlicha atta bo`lib, har bir tajribada hodisaig ro`y berish ehtimoli r etarlicha ichi bo`lgada Р ehtimoli taqribiy hisoblashga imo beradi. Misol. Darsli 00000 usxada bosib chiqarilga. Darsliig yaroqsiz (bra) bo`lish ehtimoli 0,00005 ga teg. Bu tirajda rosa beshta yaroqsiz itob bo`lish ehtimoli toilsi. echish. Shartga o`ra 00000, r 0,00005, 5. U holda r00000 0,00005 0 bo`lib, (3.6) formulaga asosa Р 0 5 Р 5 0, 0 e e 0, 0375 Dema, izlaayotga ehtimol 0375 00000 8-. Disret tasodifiy miqdorlar ξ disret tasodifiy miqdor bo`lib, uig qabul qilishi mumi bo`lga qiymatlari x, x,, x bo`lsi. Agar ξ tasodifiy miqdorig qabul qilishi mumi bo`lga qiymatlariig ehtimollari ma`lum bo`lsa, ξ disret tasodifiy miqdorig taqsimoti berilga deyiladi. Aytayli, ξ disret tasodifiy miqdor x, x,, x qiymatlari mos ravishda r, r,, r ehtimollar bila qabul qilsi: Р ( ξ х ) р, Р( ξ х ) р,..., Р( ξ х ) р. Bu ma`lumotlarda foydalaiib quyidagi jadvali tuzamiz: ξ X x x R( ξ x ) R r R 5 Bu jadvalig birichi satrida ξ tasodifiy miqdorig qabul qilishi mumi bo`lga qiymatlari, iichi satrida esa ularga mos ehtimollari yozilga. Ravshai: { ξ х }, { ξ х},..., { ξ х } hodisalar bir-biriga bog`liq bo`lmaga hodisalar bo`lib, tasodifiy miqdor, albatta bitta qiymati qabul qilishi era bo`lgai uchu { ξ х } { ξ х}... { ξ х } U bo`ladi {U muqarrar hodisa). Qo`shish teoremasida foydalaib toamiz: P ξ х P ξ х... P ξ х P Natiyjada r r r, ya`i { } { } { } { }. U teglia elamiz. Bu esa ξ tasodifiy miqdorig qabul qilishi mumi bo`lga barcha qiymatlari ehtimollariig yig`idisi ga teg bo`lishii bildiradi. 9

Disret tasodifiy miqdor uchu iritilga yuqoridagi (4.) jadval tasodifiy miqdori to`la tavsiflab beradi. Shuig uchu ham (4.) jadval ξ disret tasodifiy miqdor extimollariig taqsimot oui deb ataladi. Disret tasodifiy miqdorig ba`zi muhim taqsimot qoularii eltiramiz. ta o`zaro eri tajriba o`tazilga bo`lib, har bir tajribada A hodisaig ro`y berish ehtimoli o`zgarmas r ga teg bo`lsi. Buday tajribada A hodisaig marta ro`y berish ehtimoli C р ( р) Р ga teg edi: Bu holda disret tasodifiy miqdor ξ ig qabul qilishi mumi bo`lga qiymatlari ξ : 0,,,, bo`ladi: Ravshai, tasodifiy miqdor bu qiymatlari mos ravishda ushbu Р Р ( ξ ) C р ( р), 0, P q. 0 ehtimollar bila qabul qiladi hamda Natijada ushbu Р ( ξ ) 0 Р ( ξ ) ( р) C ( р) C ( р) C ( р) jadvalga ega bo`lamiz. Odatda bu jadval biomial taqsimot deb ataladi. Misol. Eilga har bir chigitig uib chiqish ehtimoli 0,8 ga teg bo`lsa, eilga 3 ta chigitda uib chiqqa chigitlar soiig qoui tuzilsi. echish. Eilga har bir chigit uib chiqishi ham, uib chiqmasligi ham mumi. Eilga 3 ta chigitda uib chiqishlar soi tasodifiy miqdor bo`lib, u 0,,, 3 qiymatlari qabul qilishi mumi. Bu qiymatlari qabul qilish ehtimoli Berulli formulasi yordamida toiladi: ( 0 0 3 0 3 0) С3 р ( р) ( 0,8) ( 0,) 0,008, ( ) С3 р( р) 3 ( 0,8) ( 0,) 0,096, ( ) С3 р ( р) 3 ( 0,8) ( 0,) 0,384, ( 3 3 0 3 0 0) С р ( р) ( 0,8) ( 0,) 0,5. Р ξ 3 Р ξ 3 Р ξ 3 Р ξ 3 3 Dema, eilga 3 ta chigitda uib chiqishlar soi ξ tasodifiy midorig taqsimot qoui quyidagicha bo`ladi: ξ 0 3 R 0,008 0,096 0,384 0,5 Ravshai, bu ehtimollar yig`idisi: 0,008 0,096 0,384 0,5. 4.-eslatma. ξ tasodifiy miqdor 0,,, 3,... qiymatlari ushbu e Р( ξ ) ( 0,,,...) ehtimollar bila qabul qilsi. Natijada quyidagi taqsimot jadvali hosil ξ 0 Р ( ) ξ е е е Bu jadval Puasso taqsimoti deb ataladi. Bu erda 0 P e 0 e e e e ; 0 0 0

chui qatorlar azariyasida: ealigi ma`lum. 0 e 9-. Uzlusiz tasodifiy miqdorlar. Biz yuorida disret tasodifiy miqdor va uig taqsimot qouii o`rgadi. Agar tasodifiy miqdor uzlusiz bo`lsa, bu tasodifiy miqdorig qabul qilishi mumi bo`lga qiymatlari biror ( а; b) oraliqi tashil etadi. Biobari bu holda tasodifiy miqdorig taqsimot qouii yuqoridagi o`xshash jadval shalida yozib bo`lmaydi. Faraz qilayli, ξ ixtiyoriy tasodifiy miqdor, x esa biror haqiqiy so bo`lsi. Qaralayotga tasodifiy miqdor uchu ushbu { ξ < x } hodisai qarayli. Bu tajriba atijasida ro`y berga miqdorig x soda ichi bo`lish hodisasii bildiradi. Edi shu hodisaig ehtimoli P { ξ < x} i qarayli. Ravshai, bu ehtimol oliga x haqiqiy soga bog`liq, ya`i x ig futsiyasi Odatda P { ξ < x} ehtimol bila aiqlaga futsiya ξ tasodifiy miqdorig taqsimot futsiyasi deb ataladi va G` (x) abi belgilaadi: G` (x) P { ξ < x}. (4.) Misol. Ushbu jadval bila berilga ξ disret tasodifiy miqdor taqsimot qouiig taqsimot futsiyasi toilsi: ξ - 0,5 P { ξ < x} 0, 0,3 0,4 0, Jadvalda o`riadii, ξ tasodifiy miqdorig qabul qilishi mumi bo`lga qiymatlari, 0,,,5 Bu solari so o`qida yasaymiz. -, 0,,,,5 Aytayli, x - bo`lsi. Uda { ξ < x } hodisasi mumi bo`lmaga hodisa { ξ < x }V. Chui bu holda tasodifiy miqdoriig ξ < x tegsizlii qaoatlatiruvchi bitta ham qiymati yo`q. Dema, G`(x)R{ ξ < x }R(V)0 Edi - < x 0 bo`lsi. Bu holda { ξ < x } hodisasi { ξ < x }{ξ -) Buda esa G`(x)R{ ξ < x }R(ξ -)0, elib chiqadi. Edi 0< x bo`lsi. Bu holda { ξ < x } hodisasi { ξ < x}{ ξ -} { ξ 0} bo`lib, G`(x)R{ ξ < x }R(ξ -)R{ξ 0} 0, 0,3 0,5 Faraz qilayli, < x,5 bo`lsi. Bu xolda hodisa { ξ < x}{ ξ } { ξ 0} { ξ } bo`lib, G`(x)R{ ξ < x}r{ξ -}R{ξ 0}R{ξ } 0, 0,3 0,4 0,9 Va, ihoyat, x >,5 bo`lgada { ξ < x} bo`lib, G`(x)R{ ξ < x}r{u} Shuday qilib, qaralayotga tasodifiy miqdorig taqsimot futsiyasi

F ( x) 0, 0, 0,5 0,9, агар агар агар агар агар х < х 0 < х < х,5 х >,5 булса, булса, булса, булса, булса 0-. Tasodifiy miqdorig soli xarateristiasi Tasodifiy miqdor taqsimot qouiig berilishi shu tasodifiy miqdor haqida to`liq ma`lumot beradi. Ammo ba`zi hollarda tasodifiy miqdor to`g`risida ayrim, yig`ma ma`lumotlari bilish lozim Buda tasodifiy miqdorig soli xarateristialari tasodifiy miqdorig matemati utilishi va disersiyasi tushuchalari muhim rol o`yaydi. Biz quyida shu tushuchalar bila taishamiz. Biror ξ disret tasodifiy midor berilga bo`lib, u x, x,, x qiymatlari mos ravishda r, r,, r ehtimollar bila qabul qilsi: 4.-ta`rif. Ushbu х р х р... х yig`idisi ξ disret tasodifiy midorig matemati utilishi deb ataladi va р х р M ξ abi belgilaadi: Mξ х р х р... х р х р (5.) Dema, disret tasodifiy midorig matemati utilishi bu tasodifiy miqdorig qabul qilishi mumi bo`lga barcha qiymatlarii ularig mos ehtimollariga o`aytmalari yig`idisida iborat. Tasodifiy miqdor matemati utilishiig ma`osii aglash uchu bitta masalai qaraymiz. Faraz qilayli, ta tajriba o`tazilga bo`lib, buda ξ tasodifiy midor x, x,, x qiymatlari mos ravishda m, m,, m martada qabul qilga bo`lsi. Ravshai, m m m. Qaralayotga ξ tasodifiy midor qabul qilga qiymatlariig o`rta arifmeti qiymati (ui х bila belgilayli) x m xm... xm ga teg Bu miqdori quyidagicha yozish mumi: xm xm... xm m m m x x x... x. m Agar i (i,,, ) i { ξ хi } hodisaig isbiy chastotasi W i eaii hamda bu isbiy chastota { ξ хi } hodisasiig ehtimoli r i {R{ ξ хi } r i ) da am farq qilishii ( Wi i ) e`tiborga olsa, uda m m x x x... x x x m xw... x x W ξm... x W eaii toamiz. Dema, x Mξ. Bu muosabat ξ tasodifiy miqdorig matemati qutilishi shu tasodifiy miqdor uzatilayotga qiymatlariig o`rta arifmeti qiymatiga taqriba teg eaii o`rsatadi (shuig uchu ham M ξ i o`icha ξ tasodifiy miqdorig o`rtacha qiymati deb yuritiladi).

3 Misollar.. Biomial qou bila taqsimlaga tasodifiy miqdorig matemati utilishi toilsi. echish. Bu holda, ma`lumi, ξ disret tasodifiy miqdor 0,,,,,, qiymatlari mos ravishda 0 0 0 0,...,,...,,, С С С С С ehtimollar bila qabul qiladi. ξ disret tasodifiy miqdorig matemati utilishi ta`rifga bioa С С С С С С M 0 0 0 0...... 0 ξ Edi bu tegliig o`g tomoidagi yig`idii hisoblaymiz. С. (5.) teglida i m bila almashtiramiz. Uda yig`idi quyidagi o`riishga eladi: [ ] 0 0 m m m m m m m C m m (5.3) (5.) va (5.3) muosabatlarda С bo`lishii toamiz. Natijada С M ξ elib chiqadi. Dema, biomial qou bila taqsimlaga ξ disret tasodifiy miqdorig matemati utilishi M ξ ga teg. Puasso qoui bo`yicha taqsimlaga tasodifiy midorig matemati utilishi toilsi. echish. Bu holda, ma`lumi, ξ tasodifiy miqdor 0,,,, qiymatlari mos ravishda...,...,,, 0 0 е е е ehtimollar bila qabul qiladi. Matemati utilish ta`rifiga o`ra...... 0 0 0 ξ е е е е M Ui quyidagicha е е е M ξ

yozib olamiz. Qatorlar azariyasida, ma`lumi, Natijada е ( ) Mξ е е е ( ) Edi uzlusiz tasodifiy miqdorig matemati utilishi tushuchasi bila taishamiz. Faraz qilayli, ξ uzlusiz tasodifiy miqdorig ehtimol zichligi r(x) bo`lsi. 5.-ta`rif. Ushbu. ( x) (5.4) Mξ x dx (5.5) miqdor ξ uzlusiz tasodifiy miqdorig matemagi utilishi M ξ deb ataladi. Dema, uzlusiz tasodifiy miqdorig matemati utilishi mavjud bo`lishi uchu (5.5) xosmas itegral absolyut yaqilashuvchi bo`lishi era. Misollar.. Teis taqsimlaga tasodifiy miqdorig matemati utilishi toilsi. echish. Teis taqsimlaga ξ tasodifiy miqdorig ehtimol zichligi ifodasii matemati utilish ifodasi x( x) Mξ Mξ dx ga qo`yib, hisoblaymiz: x b a ( x) dx x( x) dx x( x) dx x( x) x 0 dx b a b a b a x xdx b a b b a dx a x 0 dx ( b a ) ( b a). b a xdx b a b a a b Dema, teis taqsimlaga ξ tasodifiy miqdorig matemati utilishi: Mξ.. Normal qou bo`yicha taqsimlaga tasodifiy miqdorig matemati utilishi toilsi. echish. Normal qou bo`yicha taqsimlaga ξ tasodifiy miqdorig ehtimol zichligi ifodasii (6- ga qarag) matemati utilish ifodasiga qo`ysa, Edi bu itegrali hisoblaymiz. Dema, Agar x а x ϕ dx σ σ aϕ x а Mξ x ϕ dx σ σ x a t almashtirish bajaramiz. σ σ ( σt a) ϕ() t dt σtϕ() t () t dt σ tϕ() t dt a ϕ() t dt. () t dt a ϕ() t. Mξ σ tϕ dt dt 4

ϕ () t dt e dt, tϕ() t π t 0 t t t t 0 te dt te dt te dt te dt π π 0 0 0 bo`lishii e`tiborga olsa, uda M ξ σ 0 a a bo`lishii toamiz. Shuday qilib, ormal qou bo`yicha taqsimlaga ξ tasodifiy miqdorig matemati utilishi M ξ a Xulosa qilib buday aytish mumi: tasodifiy miqdorig matemati utilishi shuday soi ifodalaydii, bu so tasodifiy miqdor qiymatlariig o`rta arifmetigi bo`lib, uig atrofida tasodifiy miqdorig qabul qilishi mumi bo`lga qiymatlari joylashga Edi tasodifiy miqdor matemati utilishiig xossalarii eltiramiz:. Agar S o`zgarmas so bo`lsa, MS S. ξ tasodifiy miqdor, S o`zgarmas so bo`lsa, u holda M ( Сξ ) СMξ 3. ξ va η tasodifiy miqdorlar berilga bo`lsi. Uda M ( ξ ± η) Mξ ± Мη 4. Agar a va b o`zgarmas solar bo`lsa, u holda M ( aξ b) amξ b 5. Agar ξ va η o`zaro bog`liq bo`lmaga tasodifiy miqdorlar bo`lsa, u xolda M ( ξ η) Mξ Мη Edi eltirilga xossalarda ayrimlariig isbotii eltiramiz: 5.3-ta`rif. ( ξ Mξ ) abi belgilaadi: dt π te t dt M miqdor ξ tasodifiy miqdorig disersiyasi deb ataladi va D ξ [ ξ Mξ ]. Dξ M Yuqorida eltirilga tasodifiy miqdorig matemati utilishiig xossalarida foydalaib, uchu boshqa ifoda toamiz: Dema, Dξ M M [ ] M ( ξ ) M ( ξ ) M ( ξ ) M ( ξ ) ( M ( ξ )). [ ξ Mξ ] M ξ ξm ( ξ ) ( M ( ξ )) ξ M ξ ( M ξ ) M ( ξ ) ( ξ ) ( Mξ ). Dξ M (5.6) Misollar.. Biomial qou bo`yicha taqsimlaga tasodifiy midorig disersiyasi toilsi. echish. Ma`lumi, bu tasodifiy miqdor 0,,,, qiymatlari mos ravishda 0 0 0 ( ), С ( ),..., С ( ) С matemati utilishi M ξ. Yuqoridagi (5.6) formulada foydalaish maqsadida Mξ 0 ehtimollar bila qabul qiladi, ( ) Bu tegliig o`g tomoidagi yig`idii hisoblaymiz: С M ξ i toamiz. Ta`rifga o`ra D ξ uig 5

Mξ 0 С ( ) 6 0 ( ) ( ) q ( )[ ( ) ] [( ) ]( ) q ( )[( ) ( ) ] ( )( )( ) q ( )[( ) ( ) ] ( ) q ( )[( ) ( ) ] ( ) ( q) ( q) ( ), (chui ( q), ( q) Dema, ). ( ). M ξ (5.6) muosabatda foydalaib toamiz: ( ) q ( ) ( ) ( ξ ) ( M ) ( ) ( ). Dξ M ξ Dema, biomial qou bila taqsimlaga ξ tasodifiy miqdorig disersiyasi Dξ ( ) -. Katta solar oui.. Faraz etayli X,X,...,X N () lar biror a-iymatga ega bulga itisodiy ursatichi ulchash atijasida aydo bulga midorlar bulsi. Bu iymatlarig xar biri a va uga ushilga biror midor yigidiga teg buladi. Shu sababli uicha amalda a -ig iymati sifatida N α X N () N α i oladilar. Bu erda shuday savollar tugiladi. a X N - desa buladimi? a- X N ayirma acha buladi va u aysi iymatda ichi bulishi era? Teshirishlar atijasi tasodifiy midorlar bulgaligi sababli. { X N -a >δ } biror xodisa buladi. Agar bu xodisai A bila belgilasa, ya`i A{ X N -a >δ } (3) desa, A-ig yuzaga elish extimoli R(A)- achali ichi, uda R(A)-R(A) achali birga yai bulsa amalda A-i am yuzaga eladiga A-i esa uicha yuzaga eladiga xodisa desa buladi. Bu xolda δ -ig atta ichiligiga ura a X N (4) deb olsa buladi. Agar teshirishlar atijasi () uzaro bogli bulmaga tasodifiy midorlar etmaetligii tashil etsa, N-istalgacha atta so bulsa, istalga ichi so δ uchu R(A) istalgacha ichi so bular ea. Ya`i lim P{ X a f δ} 0 (5) buladi. N N

R(A)R{ X N -a >δ }-ig ichili darajasi δ va oret amaliy xolatga boglidir. Chebыshev tegsizligi X tasodifiy midor. Matemati utilma amx va disersiya δ DX ega, a va δ - lar cheli, δ >0 istalgacha ichi so bulsi. Teorema. Agar X yuorida eltirilga shartlari bajaruvchi tasodifiy midor va δ >0 istalgacha ichi so bulsa R{ X-a >δ } ДХ δ (6) buladi. Isbot. A R{ X-a >δ }-belgilaymiz, g(x) - tasodifiy futsiya uyidagicha:, agar A- xodisa yuzaga elsa 0, agar A - xodisa yuzaga elsa. Mg(x) P(A)0 P(A)P(A) R{ X-a >δ } (7) buladi. f(x) ( δ i belgilaymiz va bu futsiya f(x) 0 va f(x) A xodisa yuzaga elsa. Shuig uchu Mg(x) Mf(x)M[ x a M( X a) ] δ δ δ DX (8) buladi. (7) va (8) larda: R{ X-a >δ } M(g(X)) Mf(X) δ DX, (6) yuzaga eladi. (6) - tegsizlii Chebыshev tegsizligi deyiladi. Chebishev teoremasi. Agar X,X,...,X N,... tasodifiy midorlar etma- etligi juft- juft uzaro bogli bulmasalar disersiyalari bir xil so bila chegaralaga: DX C bulsalar. N N Uda lim P{ X M( N N X ) > δ } 0 (9) N α α α α buladi. Isbot. () i eslasa, (9) ifodadagi extimoli uyidagi uriishda ezish mumi. R( X N -MX N >δ ). Bu ifoda Chebishev tegsizligiga asosa δ DX ( N ) ichi ei teg buladi. N N DX ( D X DX N N N N C C N ) ( ) α α buladi. Ya`i α α N С DX ( N ) (0) N Bui biz disersiyaig xossalarida foydalaib yuzaga eltirdi. (bular: uzgarmas uaytuvchii vadratga utarib disersiya belgisida tashariga chiarish mumi va juft -juft uzaro bogli bulmaga tasodifiy midorlar yigidisiig disersiyasi disersiyalar yigidisiga teg dega xossalar) Shuday ilib, N N C P( X MX P X MX D X N α α > δ) ( N N ) > δ) ( N) () α N α δ δ N buladi () da N limitga utsa (9) yuzaga eladi. Chebishev teoremasi xam isbot buldi. Bu teoremada shuday atijaga erishish mumi. Natija. X biror matemati utilish M(X)a, cheli disersiya D(X)σ ega bulsa va X,X,...,X N, shu tasodifiy midor ustida utazilga N ta uzaro bogli bulmaga uzatishlar atijalari bulsa, uda istalga ichi δ>0 uchu lim P( X a < δ ) buladi. N N Bu dema teshirishlar soi N acha atta bulsa teg extimol bila tasdilash mumi, X N va M(X)a fari istalgacha ichi, ya`i X N a olish mumi. 7

Berulli teoremasi. Agar A xodisaig yuzaga elish extimoli R(A)r, M A xodisa ustida utazilga N uzaro bogli bulmaga teshirishlar atijasida A i yuzaga elish soi bulsa, uda xaraday δ> 0 uchu: lim P( M > δ ) 0 buladi. N N Xichi teoremasi. Faraz etayli M(X)a a <, X X-i uzaro bogli bulmaga uzatishlar atijasida xosil bulga tasodifiy midorlar lim P( Х a > δ) 0 buladi. N Xarateristi futsiyalar xaida tushucha. Xarateristi futsiyalarig asosiy xossalari. Maraziy limit teorema. Faraz ilayli, X va U tasodifiy uzgaruvchilar bulsi. ZXiY -i omles tasodifiy uzgaruvchi deyiladi, bu erda i-mavxumli birligi bulib i, i - aibmximy. Z-ig matemati utilmasi MZaib buladi. Z va Z omles tasodifiy uzgaruvchilarig uaytmasi Z Z (x i x -u i u )i(x x -u u ), agar Z x i u va Z x i u bulsalar. Matemati utilishig xaiiy tasodifiy uzgaruvchilar uchu urili bulga xossalari omles soli tasodifiy uzgaruvchilar uchu urili bulib oladi. Masala Z (,,...,) omles soli tasodifiy uzgaruvchilar bulsa M(Z Z...Z ) M(Z )M(Z )...M(Z ) va M(SZ)SMZ buladi va uda tashari:. Agar X,X,...,X erli tasodifiy uzgaruvchilar. f,f,...,f - omles taosdifiy uzgaruvchilari ifodalovchi futsiyalari bulsa, M f (x ),f (x ),,...,f (x ) () buladi, agar M f (x ) < urili bulsa.. Agar M Z < bulsa, MZ M Z () buladi. Ta`rif. X xaiiy tasodifiy uzgaruvchi bulsa, uig xarateristi futsiyasi deb Z e itx (i va - <t< xaiiy arametr) omles tasodifiy uzgaruvchiig matemati utilmasiga ataladi, ui ϕ x (t) bila belgilasa: ϕ x (t) MZ M e itx (3) Masala ) agar X- disret xaiiy tasodifiy uzgaruvchi bulib, Tasimot ouiga ega bulsa, uig xarateristi futsiyasi ϕ x (t) e itx R (4) buladi. ) Agar X uzlusiz tasodifiy uzgaruvchi bulib f(x) - <x< dagi zichli futsiyasi bulsa, uda itx ϕ x (t) e f ( x) dx (5) buladi. X tasodifiy uzgaruvchiig xarateristi futsiyasi ϕ x (t), t0, ϕ x (0) va ϕ x (t) barcha - <t< uchu buladi. ϕ x (t) t ig (-, ) dagi iymatlari uchu teis uzlisiz futsiya. Agar Z, r-chi tartibli mometga ega bulsa, ya`i M X r - mavjud bulsa, uda ϕ x (t), r-chi tartibli xosilaga ega va ϕ (r) x(0) r M(X r ) (6) buladi. Agar X,X,...,X -erli tasodifiy uzgaruvchilar bulsa uda ϕ х х... х (t) ϕ х (t) ϕ х (t)... ϕ х (t) (7) buladi. Ya`i ϕ x () tdt<, mavjud va f(x) X ig zichli futsiyasi bulsa 8