1. Τριγωνοµετρικές ταυτότητες.

Transcript

1 . Τριγωνοµετρικές ταυτότητες. co( y co( co( y i( i( y i( y i( co( y co( i( y ± m (. ± ± (. π m (. 3 co ± i( i ± π ± co( (. co( co ( i ( (. 5 i( i( co( (. 6 j j co( + (. 7 j j j i ( (. 8 ( ( y ( y + ( + y (. 9 ( ( y ( y ( + y (. co co co co i i co co ( ( y ( y + ( + y (. i co i i ( + co( (. co ( co( (. 3 i όπου: R A + B ( ( co( + θ Aco B i R και θ ( B / A ή A R co ( θ και B Ri( θ

2 . Αόριστα ολοκληρώµατα ( + b ( + b d b( + + d + b + b b < (. l (. d < (. 3 ( + b ( b( + b + b < (. d c+ b+ c b b c c b > (. 5 d b b c + l b c c+ b+ b c + b+ b c d b c (. 6 c+ b+ + b l (. 7 d + b+ c b d c+ b+ c+ b+ d b (. 8 + b b d l ( + + (. 9 d (. + d + ( + ( + 3 (. d (. ( ( + + d + ( + ( + (. 3 d ( 3 + ( + 8 ( (. d + + ( 3 + ( + 8 ( (. 5 d ( 3 + ( + 8( + 8 (. 6 d ( ( + 6 ( + ( + 6 ( + 6 d ( ( ( + 6 ( (. 8 d ( ( ( + 6 ( (. 9 d + + (. l 3 + d (. l

3 3. Αόριστα ολοκληρώµατα τριγωνοµετρικών συναρτήσεων co( d i( ( 3. co( co( + i ( ( 3. co( d co( + ( i( ( 3. 3 i( d co( ( 3. i( i( co ( ( 3. 5 ( d ( ( ( ( Αόριστα ολοκληρώµατα εκθετικών συναρτήσεων (. d πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός d (. πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός d + 3 πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός 3 3 d πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός i i co + [ ] ( d ( ( co co i + [ ] ( d ( + ( (. 3 (. (. 5 ( Ορισµένα ολοκληρώµατα + b d π b > ( 5. d π ( 5. ( i c d i c ( d i( d π ( 5. 3 i ( d π ( 5. 3

4 6. Σειρές ( + ( ( ( + 3 +! y!! + y ( [ ] j i / ( θ+ φ ( + φ i ( φ / ( (!!! 3 j[ θ+ ( φ ] ! 3!! 5 / 6 7 8

5 7. Μετασχηµατισµός Fourir Αναλογικών σηµάτων. [ ( ] ( ω + jω F X ( d + jω ( X ( ω dω π Ο µετασχηµατισµός Fourir του αναλογικού σήµατος ( Η εξίσωση η οποία ανασυνθέτει το σήµα στο πεδίο του χρόνου. Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourir για µη περιοδικά σήµατα Ιδιότητα Πεδίο του χρόνου Πεδίο συχνοτήτων Συζυγία στο χρόνο ( X ( ω Συζυγία στη συχνότητα ( X ( ω Ανάκλαση ( X( ω Γραµµικότητα ( + b ( X ( ω + bx ( ω Πραγµατικό µέρος Φανταστικό µέρος [ ] [ ] o R{ X ( ω } ji m{ X ( ω } Χρονική µετατόπιση ( o jω X( ω Ολίσθηση συχνότητας jω ( X( ω ω o Ολοκλήρωση ( ξ dξ X( ω + π X ( δ( ω jω Πραγµατικό σήµα ( ( X( ω X ( ω R { X( ω} R{ X( ω} I m{ X( ω} Im{ X( ω} X( ω X( ω rg X( ω rg X( ω Συγκερασµός ( h( X( ω H( ω ιαµόρφωση ( y( [ X( ω Y( ω ] π ιαφόριση στο d( jωx ( ω χρονικό πεδίο d ιαφόριση στο ( πεδίο συχνοτήτων j dx ω d( ω Αλλαγή κλίµακας: ( X ω υϊσµός F αν ( X( ω Θεώρηµα Prvl y( X ( Y( ω π( ω + ( d π + X( ω dω 5

6 Μετασχηµατισµοί Fourir µερικών βασικών συναρτήσεων Πεδίο του χρόνου Πεδίο συχνοτήτων δ( ( πδ( ω u( jω + πδ( ω δ( j ω πδ( ω ω jω ω π[ δ( ω ω + δ( ω+ ω ] co( ω [ ( δ ( ω + ω ] i( + π δ ω ω j jkω k π kδ( ω kω k + + k π δ( T δ πk ω T T + k, < T ωt i( ωt ( T i c, > T π ω W W W i c i(, ω < W π π π X( ω, ω W Λ T T T, < ωt ( T i c, T ( W W π i W u(, R { } > u(, R { } > ( u(, R { } >! co( ( ω, ω < W X( ω, ω > W + jω ( + jω ( + jω π jω δ ω ω + δ ω + ω + ω ω ω u [ ( ( ] ω u [ ( ( ] i( (, R { } >, > g, < π ω δ ω ω δ ω ω + + j ω ω +ω ω ( π jπ g ( f & η jπ g & jπ f η j ω 6

7 Ενέργεια - Ισχύς Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης για ενεργειακά σήµατα RX ( ( * τ ( τ dτ Μέση χρονική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης για σήµατα ισχύος R T * ( τ lim ( ( τ dτ X T T T Φασµατική πυκνότητα ενέργειας X ( f F[ R ( τ ] Φασµατική πυκνότητα ισχύος ( [ R ( τ ] X f F 9. Μετασχηµατισµός plc { } ( ( X ( d Ο Μετασχηµατισµός plc του αναλογικού σήµατος ( σ+ jω Η εξίσωση, η οποία ανασυνθέτει το ( X( d j σήµα στο πεδίο του χρόνου π σ j ω Ιδιότητες του µετασχηµατισµού plc Ιδιότητα Πεδίο Χρόνου Πεδίο Συχνότητας Γραµµικότητα. Μετατόπιση στο χρόνο Μετατόπιση στη µιγαδική συχνότητα Κλιµάκωση στο χρόνο και στη συχνότητα Παραγώγιση στη συχνότητα Ολοκλήρωση στη συχνότητα Μετ/σµός plc παραγώγου Μετ/σµός plc ολοκληρώµατος Η ιδιότητα του συγκερασµού ( + b ( X ( + b X ( µε περιοχή σύγκλισης R { } > m( σ, σ ( u( X ( o. µε την ίδια περιοχή σύγκλισης R { } > σ ( X ( σ µε περιοχή σύγκλισης R { } > +R { } ( b b X b σ R { } > µε περιοχή σύγκλισης b ( ( d X( d µε περιοχή σύγκλισης R { } > σ (. X ( ξ dξ µε περιοχή σύγκλισης R { } > σ d ( d( d ( X ( ( d d d d X ( ξ ξ ( + ( ξ dξ y( ( ( Y( X ( X ( 7

8 Περιοδικά σήµατα Θεώρηµα αρχικής και τελικής τιµής X( ( T T d µε περιοχή σύγκλισης R > ( lim X ( (Αρχική τιµή lim ( lim X ( (Τελική τιµή Μετασχηµατισµοί plc µερικών βασικών συναρτήσεων Σήµα Μετασ/σµός plc Περιοχή σύγκλισης δ( C u( 3 u (! u( + 5 u( (! ( + 6 δ( T 7 [ co( ω ] u( 8 [ i( ω ] u( 9 [ ] [ ] R { } > R { } > T co( ω u( + ( + + ω i( ω u( ω ( + + ω R { } >R{ } R { } >R{ } +ω R { } > ω + ω R { } > C R { } >R{ } R { } >R{ } ίπλευροι Μετασ/τισµοί plc µερικών βασικών συναρτήσεων Σήµα Μετασ/σµός plc Περιοχή σύγκλισης u( R { } < u (! R { } < 3 u( + R { } <R{ } u( (! ( R { } <R + { } 8

9 . Κανονική κατανοµή Η συνάρτηση κατανοµής της Gui τυχαίας µεταβλητής για m και σ δηλώνεται Φ( y και δίνεται από τη σχέση Φ( y P( G y dξ π y ξ f X ( π ( Φ( Φ ( ( ( Q y y y y Εµβαδ& ο Q( y F y P G y Q y m G > σ y Q( y y Q( y y Q( y, 5,-, 8,975-3,8 7,933-7,,67-,5 6,96-3,9,798-7,,7-,6,66-3 5,,8665-7,3 3,88-,7 3, ,,698-7, 3,58-,8, , 9,96-8,5 3,853-,9, ,3 5,79-8,6,75-3,, , 3,33-8,7,96-3, 9,676-5,5,8989-8,8,85-3, 6,873-5,6,77-8,9,86-3,3,83-5,7 5,993-9,,5865-3, 3,369-5,8 3,357-9,,3566-3,5,36-5,9,875-9,,56-3,6,59-6, 9,8658-,3 9,68-3,7,779-6, 5,33-, 8,756-3,8 7,38-5 6,,83-,5 6,687-3,9, ,3,88-,6 5,799-, 3,67-5 6, 7,7688-,7,565-,, ,5,6-,8 3,593-,, ,6,557-,9,876-,3 8, ,7,-,,75, 5,5-6 6,8 5,39-,,786-,5 3, ,9,6-,,393-,6,-6 7,,798-,3,7-,7,38-6 9