Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Δημήτρης Δεληκαράογλου Αναπλ. Καθ., Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επισκ. Καθ., Τεχνολογικό Πανεπιστήμιο Κύπρου, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών / Τοπογράφων Μηχανικών και Μηχανικών Γεωπληροφορικής 2008

ΤΕΥΧΟΣ Β - ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Β.0 Εισαγωγή... 4 Β.1 Γήινη περιστροφή... 5 Β.2 Μετάπτωση του γήινου άξονα... 5 Β.3 Κλόνιση του γήινου άξονα... 6 Β.4 Κίνηση του Πόλου... 7 Β.5 Εποχές Αναφοράς... 8 Β.6 Πρακτικοί Υπολογισμοί... 9 ΤΕΥΧΟΣ Β - ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ 3

Β.0 Εισαγωγή Η ορθή αναφορά α και η απόκλιση δ αποτελούν τις βασικές συντεταγμένες στο ουράνιο σύστημα αναφοράς, κατά τρόπο ανάλογο με το γεωγραφικό πλάτος και μήκος, σε ένα σφαιρικό πολικό σύστημα αναφοράς βασισμένο στο γήινο άξονα περιστροφής της Γης. Η αφετηρία για την ορθή αναφορά α είναι το σημείο της εαρινής ισημερίας (vernal equinox), δηλαδή το σημείο της τομής του ουράνιου ισημερινού και της εκλειπτικής (της γήινης τροχιάς γύρω από τον Ήλιο ή αντίστοιχα της φαινόμενης τροχιάς του ήλιου κατά τη διάρκεια του έτους) όταν ο Ήλιος κινείται στο βόρειο ημισφαίριο. Αυτή η απλή εικόνα περιπλέκεται από τη δυσκολία ορισμού ενός κατάλληλου ισημερινού και εαρινής ισημερίας, δεδομένου ότι η προφανής κίνηση του ήλιου δεν είναι απολύτως κανονική, λόγω του ελλειπτικού σχήματος της γήινης τροχιάς και της συνεχούς διαταραχής της από τη Σελήνη και τους άλλους πλανήτες. Κατά συνέπεια, είναι απαραίτητος ο διαχωρισμός της κίνησης (α) θεωρώντας αρχικά μια μέση ηλιακή κίνηση και (β) ένα σύνολο περιοδικών διορθώσεων και διαταραχών. Στη πράξη, μόνο το πρώτο λαμβάνεται υπόψη για την καθιέρωση των συστημάτων αναφοράς για τις συντεταγμένες και τη μέτρηση του χρόνου. Ένα δεύτερο, ακόμα δυσκολότερο πρόβλημα, είναι ότι ο ουράνιος ισημερινός και η εκλειπτική κινούνται σε σχέση με τα αστέρια, εξ αιτίας των ΤΕΥΧΟΣ Β - ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ 4

αλληλεπιδράσεων της βαρύτητας μεταξύ της Γης και των άλλων πλανητών του ηλιακού μας συστήματος. Β.1 Γήινη περιστροφή Η Γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της κάθε 24 ώρες (μέσου ηλιακού χρόνου), με το επίπεδο της τροχιάς της γύρω από τον Ήλιο να έχει μια κλίση 23 ο.4 βαθμών ως προς τον ουράνιο ισημερινό. Ο μέσος ηλιακός χρόνος αντιπροσωπεύει έναν μέσο όρο των μεταβολών που προκαλούνται από τη μη-κυκλική τροχιά της Γης γύρω από τον Ήλιο. Η περιστροφή της Γης σχετικά με τα "σταθερά" αστέρια (αστρικός χρόνος) είναι κατά 3 λεπτά και 56.55 δευτερόλεπτα πιο σύντομη από τη μέση ηλιακή ημέρα, μια μεταβολή που αντιστοιχεί σε μια ηλιακή ημέρα ετησίως. Β.2 Μετάπτωση του γήινου άξονα Οι δυνάμεις που συνδέονται με την περιστροφή της Γης την αναγκάζουν να είναι ελαφρώς πεπλατυσμένη, παρουσιάζοντας μια διόγκωση μαζών στον ισημερινό. Η βαρύτητα της Σελήνης κατά κύριο λόγο, και σε έναν μικρότερο βαθμό η βαρύτητα του Ήλιου, στη πράξη έχουν μία επιπλέον επίδραση στη πεπλατυσμένη Γη, που προκαλεί τη κίνηση στο χώρο του άξονα περιστροφής της Γης, ως προς το επίπεδο της εκλειπτικής τροχιάς της Γης περί τον Ήλιο. Αυτή η μετάπτωση αναγκάζει τον άξονα της Γης να περιγράφει έναν κύκλο, που έχει μια ακτίνα 23 ο.4, σε σχέση με ένα σταθερό σημείο στο διάστημα, και διάρκεια περίπου 26.000 έτη. Το άμεσο αποτέλεσμα είναι μια αργή ταλάντευση ανάλογη με εκείνη του άξονα μιας περιστρεφόμενης σβούρας που ταλαντεύεται γύρω από τον άξονα της προτού πέσει. Η κίνηση αυτή είναι γνωστή σαν σεληνό-ηλιακή μετάπτωση (luni-solar precession). Λόγω της μετάπτωσης των αξόνων περιστροφής της Γης κατά τη διάρκεια των 26.000 ετών, όλα τα αστέρια, και άλλα ουράνια αντικείμενα, εμφανίζονται να μετατοπίζονται από τη δύση προς στην ανατολή κατά ένα ποσοστό 0 ο.01 κάθε έτος (360 ο σε 26.000 έτη). Για παράδειγμα, ο Πολικός Αστέρας σήμερα είναι το πλησιέστερο αστέρι στον άξονα της γήινης περιστροφής. Ωστόσο, σε περίπου 13.000 έτη, λόγω της μετάπτωσης του άξονα περιστροφής της Γης, την θέση αυτή θα έχει το αστέρι Vega στον αστερισμό Lyra. ΤΕΥΧΟΣ Β - ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ 5

Β.3 Κλόνιση του γήινου άξονα Πέρα από τον παραπάνω βασικό κύκλο διαρκείας περίπου 26000 ετών, ο άξονας περιστροφής της Γης υφίστανται και άλλες κινήσεις μικρότερου εύρους και περιοδικότητας, που οφείλονται στις σύνθετες αλληλεπιδράσεις μεταξύ της Γης, του Ήλιου και της Σελήνης. Από αυτές, η πλέον σημαντική και ταχύτερη έχει ένα εύρος μόνο 17 και περίοδο περίπου 18,6 ετών και είναι γνωστή ως κλόνιση του άξονα περιστροφής της Γης. Η ανά έτος μετάθεση του άξονα περιστροφής της Γης, λόγω της κλόνισης, κυμαίνεται μεταξύ 2 και 3. Αξίζει να σημειωθεί ότι η μετάπτωση και η κλόνιση είναι απλά δύο επιπτώσεις διαφορετικής συχνότητας της ίδιας φυσικής επίδρασης. Μια συνήθης κοινή παρερμηνεία είναι ότι η μετάπτωση προκαλείται από τον Ήλιο και η κλόνιση προκαλείται από τη Σελήνη. Στην πραγματικότητα η Σελήνη προκαλεί περίπου τα δύο τρίτα της μετάπτωσης, και, ενώ αληθεύει ότι ένα μεγάλο μέρος της σύνθετης κίνησης της κλόνισης είναι μια αντανάκλαση των περιπλοκών της σεληνιακής τροχιάς, στον υπολογισμό της κλόνισης συνεισφέρουν σημαντικοί όροι που αφορούν τις επιδράσεις του Ήλιου. Επιπλέον και ξεχωριστά από την επίδραση μετάπτωσης / κλόνισης, η εκλειπτική τροχιά της Γης δεν έχει σταθερό προσανατολισμό στο διάστημα, ως αποτέλεσμα της έλξης των άλλων πλανητών πάνω στη τροχιά της Γης. Αυτή η αργή (περίπου 0.5 ετησίως) ΤΕΥΧΟΣ Β - ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ 6

δευτερεύουσα περιστροφή της εκλειπτικής, καλείται πλανητική μετάπτωση και, μαζί με τη σεληνό-ηλιακή μετάπτωση αποτελούν τη λεγόμενη γενική μετάπτωση. Τα μαθηματικά μοντέλα για τη μετάπτωση και την κλόνιση προέρχονται από έναν συνδυασμό παρατηρήσεων και θεωρίας, και υπόκεινται σε συνεχή καθορισμό και επαναπροσδιορισμό. Τα μοντέλα για την κλόνιση ειδικότερα έχουν φθάσει σε έναν υψηλό βαθμό ανάλυσης, λαμβάνοντας υπόψη παράγοντες όπως η μη-στερεά κατάσταση της Γης και οι επιδράσεις των πλανητών. Το διεθνώς αποδεκτό μοντέλο κλόνισης της Διεθνούς Αστρονομικής Ένωσης περιλαμβάνει 106 όρους, μερικοί τόσο μικροί όπως μεγέθους της τάξης των 0.0001, σε κάθε μια από τις σειρές για τον υπολογισμό της επίδρασης στο εκλειπτικό μήκος και την λοξότητα της εκλειπτικής. Β.4 Κίνηση του Πόλου Το Euler πρόβλεψε το 1758 ότι ο άξονας περιστροφής Γης θα εμφάνιζε επίσης μια επιπλέον κίνηση σε σχέση με ένα σταθερό γήινο σύστημα αναφοράς. Αργότερα, το 1891, ο αμερικανός αστρονόμος Chandler ήταν εκείνος που καθόρισε την περίοδο αυτής της ελεύθερης πολικής κίνησης από περίπου 50 έτη αστρονομικών παρατηρήσεων. Η αποκαλούμενη περίοδος της ταλάντευσης Chandler (Chandler Wobble), που διαρκεί 435 ημέρες, παρεκκλίνει από την περίοδο Euler (304 ημέρες) λόγω της μη-στερεάς κατάστασης και της ανομοιογενούς διανομής των μαζών της Γης. Η ακτίνα της ταλάντευσης Chandler του πόλου περιστροφής είναι περίπου 6 μέτρα. Οι συνιστώσες της κίνησης του πόλου εκφράζονται με δύο παραμέτρους x P, y P που αντιστοιχούν σε μία ακανόνιστη κίνηση του άξονα περιστροφής σε σχέση με τη Γη, όπως ΤΕΥΧΟΣ Β - ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ 7

φαίνεται στο παραπάνω σχήμα που απεικονίζει την κίνηση του πόλου στις περιόδους 1900-97 και 1995-1998. H εμφάνιση και η εξέλιξη των σύγχρονων διαστημικών γεωδαιτικών τεχνικών προσδιορισμού θέσης, όπως του VLBI (Συμβολομετρίας πολύ Μεγάλων Βάσεων), του LLR (τηλέμετρα λέιζερ για τη Σελήνη) και SLR (τηλέμετρα λέιζερ για δορυφόρους), στη δεκαετία του '60 και του GPS στα προηγούμενα έτη, έχουν επιτρέψει τη συνεχή βελτίωση της μελέτης της μετάπτωσης και της κλόνισης του άξονα περιστροφής της Γης, καθώς και της κίνησης του πόλου. Από τις γεωδαιτικές παρατηρήσεις, οι μεταβολές στη γήινη περιστροφή συνήθως καθορίζονται σήμερα σε διαστήματα 1 ημέρας και ακόμη και μερικών ωρών, με ακρίβειες που είναι λιγότερο από 0,5 milliarcsecond για την κλόνιση και τη πολική κίνηση, τιμές που αντιστοιχούν σε 1.5 cm στη γήινη επιφάνεια. Β.5 Εποχές Αναφοράς Εξ αιτίας της προφανούς αυτής κίνησης, οι ουράνιες συντεταγμένες (απόκλιση και ορθή αναφορά) αλλάζουν με το χρόνο λόγω της μετάπτωσης, και ως εκ τούτου οι συντεταγμένες δίνονται πάντα για κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, που αποκαλείται εποχή. Στην Αστρονομία και τη Δορυφορική Γεωδαισία, οι εν λόγω εποχές εκφράζονται με βάση τις Ιουλιανές Ημερομηνίες. Ο ορισμός της Ιουλιανής Ημερομηνίας οφείλεται στον Γάλλο διανοούμενο Julius Scaliger, ο οποίος πρότεινε τον αριθμό των ημερών από το μεσημέρι της 1ης Ιανουαρίου 4713 Π.Χ, ως αφετηρία μέτρησης του χρόνου. Ο Scaliger επέλεξε την καθορισμένη ημέρα δεδομένου ότι την συγκεκριμένη ημέρα συγκλίνανε τρεις ημερολογιακοί κύκλοι. Ο πρώτος κύκλος ήταν η περίοδος 28 ετών κατά τη διάρκεια της οποίας το Ιουλιανό ημερολόγιο επαναλαμβάνει τις ημέρες της εβδομάδας (ο αποκαλούμενος ηλιακός αριθμός). Μετά από 28 έτη, όλες οι ημερομηνίες συμπίπτουν με τις ίδιες ημέρες της εβδομάδας.. Αξίζει να σημειωθεί ότι με την υιοθέτηση του Γρηγοριανού ημερολόγιου η αντίστοιχη εν λόγω επανάληψη συμβαίνει μετά από παρέλευση 400 ετών. Ο δεύτερος κύκλος ήταν ο λεγόμενος χρυσός κύκλος 19 ετών πέρα από τον οποίο οι φάσεις της Σελήνης συμβαίνουν σχεδόν στις ίδιες ημερομηνίες του έτους. Ο τρίτος κύκλος ήταν ο αρχαίος ρωμαϊκός φορολογικός κύκλος 15 ετών του αυτοκράτορα Κωνσταντίνου. Οι τρεις αυτοί κύκλοι συμπίπτουν κάθε 7980 έτη. ΤΕΥΧΟΣ Β - ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ 8

Β.6 Πρακτικοί Υπολογισμοί Για όλες τις ημερομηνίες στο Γρηγοριανό ημερολόγιο, η Ιουλιανή ημερομηνία, σε μια δεδομένη ημέρα ΥΥΥΥ:MM:DD (YYYY=έτος, MM=μήνας, DD=ημέρα) και χρονική στιγμή UT (σε ώρες) υπολογίζεται από τη σχέση Όπου ΙΝΤ(x) δηλώνει το ακέραιο μέρος ενός δεκαδικού αριθμού x. Για την αναγωγή συντεταγμένων από μια αρχική Ιουλιανή εποχή J o = 2000.0 + (JD o 2 451 545.0) / 365.25 στην τελική Ιουλιανή εποχή J 1 = 2000.0 + (JD 1 2 451 545.0) / 365.25 όπου JD 1 είναι η Ιουλιανή ημερομηνία ενδιαφέροντος, υπολογίζεται το χρονικό διάστημα Τ εκφρασμένο σε Ιουλιανούς αιώνες των 36525 μέσων ηλιακών ημερών. T = (J o 2000.0) / 100 t = (J 1 J o ) / 100 ζ = (2306.2181 + 1.39656 T 0.000139 T 2 ) t + (0.30188 0.000345 T) t 2 + 0.017998 t 3 Πίνακας Μετάπτωσης P = R 3 (-z) R 2 (θ) R 3 (-ζ) z = (2306. 2181 + 1.39656 T 0.000139 T 2 ) t + (1.09468 0.000066 T) t 2 + 0.018203 t 3 ΤΕΥΧΟΣ Β - ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ 9

θ = (2004. 3109 0.85330 T 0.000217 T 2 ) t + (-0.42665 0.000217 T) t 2-0.041833 t 3 ε = 23 ο 26 21.448 46.8150 t 0.00059 t 2 + 0.001813 t 3 (Λόξωση της εκλειπτικής) Δψ = -(17.1996 + 0.01742 t) sin(ω) + (0.2062 + 0. 00002 t) sin(2ω) (1.3187 + 0.00016 t) sin(2f 2D + 2Ω) +... (Κλόνιση στο μήκος) Πίνακας Κλόνισης Ν = R 1 (-ε-δε)r 3 (-Δψ) R 1 (ε) Δε = (9.2025 + 0.00089 t) cos(ω) + (-0.0895 + 0.00005 t) cos(2ω) + (0.5736-0.00031 t) cos(2f 2D + 2Ω) +. (Κλόνιση στη λόξωση) Όπου ζ, z και θ εκφράζονται σε δευτερόλεπτα (arc seconds). Οι συναρτήσεις F, D, Ω σχετίζονται με τις θέσεις του Ήλιου και της Σελήνης. Συγκεκριμένα είναι: F = 93 ο.27191028 + 1739527263.137 t 13.257 t 2-0.011 t 3 D = 297 o.8503631 + 1602961601.328 t 6.891 t 2 + 0.019 t 3 ΤΕΥΧΟΣ Β - ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ 10

Ω = 125 o.0445222 6962890.539 t + 7.455 t 2 + 0.008 t 3 Όπου Ω είναι το μέσο εκλειπτικό μήκος του Ανιόντος Δεσμού της Σελήνης, D είναι η μέση αποχή της κατά το εκλειπτικό μήκος του Ήλιου από τη Σελήνη (δηλαδή D = L L, όπου L και L είναι το μέσο εκλειπτικό μήκος της Σελήνης και του Ήλιου αντίστοιχα) και F = L Ω. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, ο όρος «μέσος» υποδηλώνει ότι οι γωνίες αναφέρονται σε μέσες θέσεις του Ήλιου ή της Σελήνης, με ομοιόμορφη ταχύτητα περιστροφής γύρω από τη Γη. Οι εκάστοτε τρεις όροι στις παραπάνω σχέσεις Δψ και Δε αντιστοιχούν στους πιο σημαντικούς όρους των σειριακών συναρτήσεων της κλόνισης σύμφωνα με τη θεωρία της κλόνισης κατά τη Διεθνή Αστρονομική Ένωση (International Astronomical Union Nutation Theory 1980), με περιόδους αντίστοιχα 18.6 ετών, 182.6 ημερών και 13.7 ημερών. ΤΕΥΧΟΣ Β - ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ 11