Εργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας Μάθηµα 7ου Εξαµήνου (Ακαδ. Έτος ) «Εισαγωγή στο Γήινο Πεδίο Βαρύτητας» ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΣΚΗΣΗ 2

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας Μάθηµα 7ου Εξαµήνου (Ακαδ. Έτος ) «Εισαγωγή στο Γήινο Πεδίο Βαρύτητας» ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΣΚΗΣΗ 2"

Οκυροη Ζάρκος
4 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Εργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας Μάθηµα 7ου Εξαµήνου (Ακαδ. Έτος ) «Εισαγωγή στο Γήινο Πεδίο Βαρύτητας» ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΕΞΑΜΗΝΟ Ηµεροµηνία Παράδοσης : 6/11/2018 ΑΣΚΗΣΗ 2 Σκοπός: Η παρούσα εργασία αποσκοπεί στην εξοικείωση σας µε το διανυσµατικό χαρακτήρα του νόµου του Νεύτωνα για τη παγκόσµια έλξη, καθώς επίσης στο να εφαρµόζετε τη διανυσµατική µορφή της ελκτικής δύναµης της βαρύτητας σε πρακτικά γεωδαιτικά προβλήµατα. Μέρος (A) Για τις ανάγκες της άσκησης θα χρειαστεί να σηµειώσετε (και στην Τεχνική Έκθεσή σας) τα τελευταία 5 ψηφία (ABCDE) του Αριθµού Μητρώου σας, τα οποία θα χρησιµοποιήσετε προκειµένου να έχετε τα κατάλληλα δεδοµένα για τους υπολογισµούς σας. Π.χ., εάν τα τελευταία 5 ψηφία στον ΑΜ σας είναι 62907, θα χρειαστείτε τα ψηφία Α,Β,C,D,E A=6, B=2, C=9, D=0, E=7. (1) Για ένα διαστηµικό σκάφος µεταξύ Γης και Σελήνης, µε τη βοήθεια ενός επεξηγηµατικού γραφήµατος δώστε τη µαθηµατική έκφραση της απόστασης του από τη Γη, όπου η συνολική ελκτική δύναµη από τη Γη και τη Σελήνη είναι µηδέν. Ακολούθως θεωρείστε ένα δορυφόρο στο σηµείο Ρ, σε απόσταση r e από τη Γη και r m από τη Σελήνη, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχηµατικό διάγραµµα που δείχνει τους άξονες συνταγµένων σε µονάδες της απόστασης Γης-Σελήνης. Σε ποια διεύθυνση ασκείται η συνολική επιτάχυνση λόγω της ελκτικής δύναµης της Γης και της Σελήνης στο δορυφόρο;

2 (2) Θεωρείστε το σύστηµα συντεταγµένων x-y, όπως φαίνεται στο παραπλεύρως σχήµα που δείχνει τη διάταξη τριών αστεροειδών Α, Β, και C στις κορυφές ενός ορθογωνίου τριγώνου. Επιπλέον, θεωρήστε ότι δίνονται τα ακόλουθα δεδοµένα: ο αστεροειδής Α έχει µάζα 1.Α x kg, o αστεροειδής B έχει µάζα 2.Β x kg και είναι 5.Β x m µακριά από αστεροειδή Α, και o αστεροειδής C έχει µάζα 4.C x kg και είναι 2.5C x m µακριά από αστεροειδή Α κατά µήκος της άλλης πλευράς του τριγώνου. Στα εν λόγω δεδοµένα χρησιµοποιήστε τα αντίστοιχα ψηφία Α, Β, C από τον ΑΜ σας. Να υπολογιστούν αριθµητικά (i) οι επιµέρους διανυσµατικές συνιστώσες της βαρυτικής δύναµης που δέχεται ο αστεροειδής Α ξεχωριστά από τους αστεροειδείς Β και C, (ii) οι διανυσµατικές συνιστώσες της συνολικής βαρυτικής δύναµης που δέχεται ο αστεροειδής Α από τους αστεροειδείς Β και C, και (iii) οι διανυσµατικές συνιστώσες της βαρυτικής δύναµης που δέχεται ο αστεροειδής Β από τον αστεροειδή C. Επιπλέον, σε κάθε µια από τις παραπάνω περιπτώσεις να υπολογιστεί και ο προσανατολισµός της συνολικής δύναµης. (3) Στη Γεωδαισία, όπως φαίνεται στα παραπάνω σχήµατα, οι παλιρροιακές επιταχύνσεις (δυνάµεις ανά µονάδα µάζας) υπολογίζονται από τις διαφορές µεταξύ των δυνάµεων που προκαλούνται από τις βαρυτικές έλξεις της Σελήνης στην εκάστοτε πλευρά της Γης και αντίστοιχα στο κέντρο O της Γης. Με άλλα λόγια, οι παλιρροιακές δυνάµεις είναι διαφορικές βαρυτικές (ελκτικές) δυνάµεις. Χρησιµοποιώντας το παρακάτω απλοποιηµένο γράφηµα υπολογίστε αναλυτικά το µέγεθος των δυνάµεων F 1, F 2 και F o που ασκούνται από τη Σελήνη στις δύο σηµειακές µάζες m 1 και m 2 στα σηµεία Α και C, και στο κέντρο της Γης, και ακολούθως εκφράστε αναλυτικά και υπολογίστε τις παλιρροιακές δυνάµεις F T1 = F 1 - F o και F T2 = F 2 - F o, για στις ακόλουθες περιπτώσεις: (i) αν οι µάζες m 1 και m 2 είναι διαφορετικού µεγέθους, και (ii) εξάγετε µια απλούστερη σχέση, για τη παλιρροιακή επιτάχυνση κατά µήκος της διαµέτρου της Γης, δηλ. τη διαφορά (F T1 - F T2 )/m αν υποτεθεί ότι m 1 = m 2 = m.

3 m 2 O m 1 C B ΓΗ R D A r Σελήνη Υπολογίστε αριθµητικά το µέγεθος όλων των προαναφερόµενων παραµέτρων χρησιµοποιώντας τα παρακάτω δεδοµένα: G = παγκόσµια βαρυτηµετρική σταθερά = N m 2 kg 2 R Ε = ακτίνα Γης στον ισηµερινό = m Μ Ε = µάζα Γης = kg Μ Μ = µάζα Σελήνης = kg Μ S = µάζα Ήλιου = kg r EM = µέση απόσταση Γης-Σελήνης = m r EM, max = µέγιστη απόσταση Γης-Σελήνης = m r EM, min = ελάχιστη απόσταση Γης-Σελήνης = m r ES = µέση απόσταση Γης-Ήλιου = m r ES, max = µέγιστη απόσταση Γης- Ήλιου = m r ES, min = ελάχιστη απόσταση Γης- Ήλιου = m 3a - Σχηµατική παράσταση των ελκτικών δυνάµεων που ασκεί η Σελήνη σε διάφορα σηµεία της Γης 3b - Αφού αφαιρεθεί η ελκτική δύναµη που ασκείται στο κέντρο της Γης Σχηµατική παράσταση των παλιρροιακών δυνάµεων εξ αιτίας της Σελήνης στα διάφορα σηµεία της Γης 3c Αλγεβρικός υπολογισµός των παλιρροιακών δυνάµεων στο σηµείο P (4) Επεκτείνοντας τους προηγούµενους φορµαλισµούς, όπως φαίνονται σχηµατικά στα παραπάνω σχήµατα, κατά ανάλογο τρόπο θεωρήστε τις συνιστώσες της παλιρροιακής δύναµης F x και F y στο σηµείο Ρ κατά µήκος των αξόνων x,y ενός συστήµατος συντεταγµένων µε αρχή το γεώκεντρο, όπου σύµφωνα µε τον προαναφερόµενο ορισµό των παλιρροιακών δυνάµεων είναι F = F C - F P (όπου F C και F P είναι οι ελκτικές δυνάµεις που ασκεί η Σελήνη στα σηµεία C και P αντίστοιχα). Ζητείται να υπολογιστούν οι συνιστώσες F x και F y καταρχήν ως συνάρτηση της γωνίας φ η οποία είναι τόσο µικρή ώστε να µπορεί να ληφθεί cosφ 1. Ακολούθως να εκφραστούν οι συνιστώσες F x και F y ως συνάρτηση της γωνίας θ, και να εξηγηθεί συνοπτικά ποιες από τις παλιρροιακές συνιστώσες F x, F y επιµηκύνει ή συµπιέζει τη Γη και σε ποια σηµεία οι τιµές τους αλλάζουν πρόσηµο.

4 Για τη διευκόλυνσή σας στους υπολογισµούς υπενθυµίζεται ότι ισχύει S 2 = r 2 + R 2 2R rcosθ (κανόνας των συνιµητόνων) και r>>r. Μέρος (Β) (1) Θεωρείστε τρεις ίδιας πυκνότητας µεταλλικές σφαίρες, κάθεµια µάζας Μ και ακτίνας R, οι οποίες είναι σε επαφή µεταξύ τους, µε τα κέντρα τους να σχηµατίζουν ένα ισοσκελές τρίγωνο. Να υπολογιστεί η ελκτική δύναµη που ασκείται σε µια από τις εν λόγω σφαίρες από τις άλλες δύο. Υποθέστε ότι δεν ασκούνται οποιεσδήποτε άλλες εξωτερικές δυνάµεις. Ακολούθως θεωρείστε, πάλι σε επαφή, µόνο δύο από τις εν λόγω µεταλλικές σφαίρες και δείξτε αναλυτικά ότι η αµοιβαία ελκτική δύναµη είναι F R 4 δηλ. ανάλογη της 4 ης δύναµης της ακτίνας οποιασδήποτε από τις δύο σφαίρες. Επιπλέον θεωρήστε ότι µε µια αυτοσχέδια µηχανική διάταξη, όπως φαίνεται στο παραπλεύρως σχήµα, µε µάζες Μ = 5 kg (µεγάλες µεταλλικές σφαίρες) και m = 1 kg (µικρές µεταλλικές σφαίρες) εκτελέσατε το πείραµα του Cavendish και υπολογίσατε ότι η γωνία απόκλισης των µικρών σφαιρών ήταν θ=30 ο όταν η απόσταση µεταξύ των µικρών από τις µεγάλες σφαίρες ήταν r = 0.05 m και η δύναµη που ασκείται στο στέλεχος µεταξύ των δύο µικρών σφαιρών είναι F T = sinθ (σε µονάδες Newton). Υπολογίστε την τιµή της παγκόσµιας σταθεράς της βαρύτητας που προκύπτει από το εν λόγω πείραµα. (2) Θεωρείστε τρεις σηµειακές µάζες m 1 = m 2 = 1000 kgr και m = 1 kgr οι οποίες έχουν τις ακόλουθες θέσεις: Οι m 1, m 2 βρίσκονται πάνω στον άξονα x και απέχουν 1000 m από το κέντρο του συστήµατος συντεταγµένων, ενώ η µάζα m βρίσκεται πάνω στον άξονα y σε απόσταση 2000 m από το κέντρο του συστήµατος συντεταγµένων. α) Υπολογίστε την συνισταµένη ελκτική βαρυτική δύναµη που δέχεται η µάζα m που τοποθετήθηκε στον άξονα y από τις άλλες δύο β) Υποθέστε ότι η µάζα m κινείται κατά µήκος του άξονα y πλησιάζοντας το κέντρο του συστήµατος συντεταγµένων. ώστε µια σχέση η οποία να συνδέει την συνισταµένη ελκτική βαρυτική δύναµη µε την απόσταση y της µάζας m από το κέντρο του συστήµατος συντεταγµένων. γ) ώστε µια σχέση να συνδέει την γωνία της συνισταµένης ελκτικής βαρυτικής δύναµης µε την απόσταση y. δ) Εάν η µάζα m κινείται µε σταθερή ταχύτητα u 0 κατά µήκος του άξονα y τότε δώστε τις σχέσεις των υποερωτηµάτων β) και γ) σαν συνάρτηση του χρόνου.

5 (3) Θεωρήστε ότι τα πέντε τελευταία ψηφία του Αριθµού Μητρώου σας είναι ABCDE. Σηµειώστε τα επιµέρους αυτά ψηφία και, όπως φαίνεται στο παραπλεύρως ενδεικτικό σχήµα, θεωρείστε ότι δύο µάζες Μ 1 =4.1x10 12 kg και Μ 2 =2.6x10 13 kg είναι τοποθετηµένες σε δύο σηµεία στο χώρο µε συντεταγµένες αντίστοιχα [X 1,Y 1,Z 1 ]=[ 14ABC m, -15DE m, -65AE m ] και [X 2,Y 2,Z 2 ]=[ 17BCD m, 1ACE m, -34BD m ], ενώ σε τρία σηµεία P 1, P 2, P 3 µε συντεταγµένες αντίστοιχα [x 1,y 1,z 1 ] = [ 2BDE m, 0 m, 0 m], [x 2,y 2,z 2 ]=[ 1ABCE m, 0 m, 0 m ] και [x 3,y 3,z 3 ]=[ 600A m, 500C m, -300D m ] είναι τοποθετηµένες τρεις µοναδιαίες µάζες. Να υπολογιστούν, σε καθένα από τα σηµεία P1, P2, P3 οι αντίστοιχες συνιστώσες Fx, Fy, Fz (σε µέγεθος και κατεύθυνση) της εκάστοτε συνολικής δύναµης έλξης F που ασκείται σε κάθε µια από αυτές από τις δυο µάζες Μ 1 και Μ 2. (4) Στο υπόµνηµα Askisi_2_ _tables.pdf στην ιστοσελίδα των ασκήσεων του µαθήµατος δίνονται, για διαφορετικές εποχές αναφοράς, οι καρτεσιανές συντεταγµένες, στο ηλιακό βαρυκεντρικό σύστηµα αναφοράς: του πλανήτη ία, του τεχνητού δορυφόρου Juno που τέθηκε σε τροχιά γύρω από αυτόν το 2016, και µερικών από τα πολλά φεγγάρια του πλανήτη. Ακολουθείστε τις αναφερόµενες οδηγίες στο υπόµνηµα και επιλέξτε βάσει των δύο τελευταίων ψηφίων του αριθµού µητρώου σας την κατάλληλη εποχή αναφοράς, το κατάλληλο φεγγάρι του ία, και τις αναγκαίες επιµέρους καρτεσιανές συντεταγµένες για τη συγκεκριµένη χρονική εποχή αναφοράς. Ακολούθως υπολογίστε: (i) Τις επιµέρους συνιστώσες Fx, Fy, Fz της ελκτικής δύναµης F που ασκεί ο πλανήτης ίας αφενός στο φεγγάρι που επιλέξατε και αφετέρου στον τεχνητό δορυφόρο Juno. (ii) Τις επιµέρους συνιστώσες Jx, Jy, Jz της συνολικής ελκτικής δύναµης J που ασκούν ο ίας και το φεγγάρι του στον τεχνητό δορυφόρο Juno, καθώς επίσης και την κατεύθυνση της στο διαστηµικό χώρο. Συνιστάται να δηµιουργήσετε ένα φύλλο excel ή µια ρουτίνα προγραµµατισµού (σε γλώσσα προγραµµατισµού της επιλογής σας) που να δέχονται ως στοιχεία εισόδου τις καρτεσιανές συντεταγµένες δύο ελκυόµενων µαζών, και τη παγκόσµια βαρυτηµετρική σταθερά G και να δίνει ως στοιχεία εξόδου τις επιµέρους συνιστώσες, π.χ. Fx, Fy, Fz της ελκτικής δύναµης F, το µέγεθος της ελκτικής δύναµης F και την κατεύθυνση της.

Σχετικά έγγραφα

Εργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας Μάθημα 7ου Εξαμήνου (Ακαδ. Έτος ) «Εισαγωγή στο Γήινο Πεδίο Βαρύτητας»

Εργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας Μάθημα 7ου Εξαμήνου (Ακαδ. Έτος 018 19 «Εισαγωγή στο Γήινο Πεδίο Βαρύτητας» ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ... ΕΞΑΜΗΝΟ... Ημερομηνία Παράδοσης : 6/11/018 ΑΣΚΗΣΗ 3 Σκοπός: Η παρούσα εργασία