ΚΛΙΜΑΚΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ Στα επόμενα θα δούμε πως η αρχ της αβεβαιότητας (απροσδιοριστίας) του Heisenberg, θέτει ένα κάτω όριο στην ελάχιστη κινητικ ενέργεια που μπορεί να έχει ένα σωματίδιο του μικρόκοσμου, που είναι «εγκλωβισμένο» σε μια περιοχ του χώρου: ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΟ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ Θα υπολογίσουμε την ελάχιστη κινητικ ενέργεια που επιτρέπεται να έχει ένα ηλεκτρόνιο, το οποίο είναι δέσμιο, λόγω της ηλεκτρομαγνητικς αλληλεπίδρασης, στο εσωτερικό του ατόμου.
Για να ξεκινσουμε τον υπολογισμό, ας θεωρσουμε ότι η αβεβαιότητα (απροσδιοριστία) στη θέση του ηλεκτρονίου είναι περίπου ίση με την ατομικ ακτίνα. Θεωρούμε δηλαδ ότι: 10 x 0,1n x 10 (1) Από την αρχ της αβεβαιότητας (Heisenberg) έχουμε: x. p () Η αντίστοιχη λοιπόν αβεβαιότητα στην ορμ θα είναι: p x (3) Η ελάχιστη κινητικ ενέργεια του ηλεκτρονίου θα είναι: ( p) 8 ( x) (4) Η μάζα του ηλεκτρονίου είναι: 31 9,1.10 Kg (5) Η σχέση (4) λοιπόν δίνει: 8 ( x) 34 (1,06.10 Js) 31 10 8.9,1.10 Kg.(10 ) 19 1,54.10 Js Kg 19 J 1,54.10 ev (6) 1 Στα προηγούμενα, κάναμε χρση των τιμών:
34 1,06.10 Js 19 1eV 1,6.10 J ΠΡΩΤΟΝΙΟ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΤΟΥ ΠΥΡΗΝΑ Θα υπολογίσουμε τώρα την ελάχιστη κινητικ ενέργεια που επιτρέπεται να έχει ένα πρωτόνιο, το οποίο είναι εγκλωβισμένο μέσω της ισχυρς δύναμης στον πυρνα. Ας θεωρσουμε σαν μια «τυπικ» τιμ για την ακτίνα ενός 15 πυρνα τα f ( 1f 10 ) Για να ξεκινσουμε τον υπολογισμό μας ας θεωρσουμε ότι η αβεβαιότητα στη θέση του πρωτονίου είναι ίση με την πυρηνικ ακτίνα. Θεωρούμε δηλαδ ότι: x f 15 x.10 (7) Από την αρχ της αβεβαιότητας (Heisenberg) έχουμε: x. p
p x (8) Η ελάχιστη λοιπόν τιμ της κινητικς ενέργειας που επιτρέπεται να έχει το «εγκλωβισμένο» πρωτόνιο θα είναι: ( p) p 8 ( x) p (9) Η μάζα του πρωτονίου είναι: p 7 1,67.10 Kg (10) Έτσι λοιπόν: 34 (1,06.10 Js) 7 15 8.1,67.10 Kg.(.10 ) 13 J,1.10 ev MeV (11) 6 1,3.10 1,3 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1) Η ελάχιστη κινητικ ενέργεια που επιτρέπεται να έχει το πρωτόνιο στον πυρνα είναι στην περιοχ του ενός MeV. (Ενώ αντίστοιχα για το ηλεκτρόνιο στο εσωτερικό του ατόμου, η ελάχιστη επιτρεπόμενη τιμ της κινητικς ενέργειας είναι στην περιοχ του ενός ev). ) Η μάζα του πρωτονίου είναι: p c p 7 1,67.10 Kg οπότε: 940MeV Αντίστοιχα: 34 8 1,06.10 Js.3.10 / s 1 p. c c 8.10 J 15 x..10
p. c 50MeV Βλέπουμε λοιπόν ότι: p c c, γεγονός που μας. p επιτρέπει να χρησιμοποισουμε την «μη σχετικιστικ» σχέση κινητικς ενέργειας-ορμς ( P ). UP QUARK ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΠΡΩΤΟΝΙΟΥ Θα βρούμε τώρα την ελάχιστη κινητικ ενέργεια που επιτρέπεται να έχει ένα «πάνω» κουάρκ (up quar, u), το οποίο λόγω της ισχυρς αλληλεπίδρασης είναι εγκλωβισμένο μέσα στο πρωτόνιο. (Θεωρείστε την ακτίνα του πρωτονίου ίση προς 1f). Η αβεβαιότητα στη θέση του πάνω κουάρκ u στο πρωτόνιο, μπορεί να ληφθεί προσεγγιστικά ίση με την ακτίνα του πρωτονίου, οπότε έχουμε:
15 x 1f 10 (1) Μέσω της αρχς του Heisenberg, η αβεβαιότητα στην ορμ του u είναι: p x (13) Στην περίπτωση του πάνω κουάρκ παρατηρούμε ότι: p. c c x 34 8 1,06.10 Js.3.10 / p. c c x.10 15 s 11 p. c 1,6.10 J 8 p. c 10 ev p. c 100MeV (14) 5MeV Η μάζα του πάνω κουάρκ είναι της τάξης των c παρατηρούμε ότι:, οπότε p. c uc (15) Έτσι λοιπόν (παίρνοντας και απλουστεύοντας την σχετικιστικ σχέση κινητικς ενέργειας ορμς), βρίσκουμε ότι η ελάχιστη κινητικ ενέγεια τoυ u, στο εσωτερικό του πρωτονίου είναι: p. c 100MeV (16)
ΜΠΑΛΑΚΙ ΤΟΥ ΤΕΝΙΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΚΟΥΤΙ Ας θεωρσουμε τώρα ένα μπαλάκι του τένις μέσα σε ένα κουτί σχματος κύβου και ακμς 0,5. Ζητάμε την ελάχιστη κινητικ ενέργεια που επιτρέπεται να έχει το μπαλάκι. Παίρνοντας ως αβεβαιότητα για τη θέση την τιμ: x 0,5 (17), η αντίστοιχη αβεβαιότητα στην ορμ θα είναι: p x (18) Το μπαλάκι του τένις έχει μάζα (ας πούμε) 50g. Η ελάχιστη λοιπόν επιτρεπόμενη τιμ της κινητικς ενέργειας για το «εγκλωβισμένο» μπαλάκι θα είναι: ( p) 8 ( x) 34 (1,06.10 Js) 8.5.10 Kg.(0,5 ) 67 J 1,1.10 49 ev (19) 6,9.10 Το παραπάνω αποτέλεσμα ( 48 10 ev ) που για κάθε πρακτικ χρση μπορεί να θεωρηθεί ίσο με το μηδέν, μας δείχνει ότι η αρχ της αβεβαιότητας δεν κάνει αισθητ την παρουσία της στα μακροσκοπικά αντικείμενα της καθημερινότητάς μας.
Ας δούμε τι σημαίνει για ένα αντικείμενο με μάζα 0,05Κg, μια 67 κινητικ ενέργεια της τάξης του 10 J : 1 Από τη σχέση:, βρίσκουμε ότι στην εν λόγω ενέργεια αντιστοιχεί ταχύτητα: 33.10 s 10 Η ηλικία του Σύμπαντος είναι (τάξη μεγέθους) 10 χρόνια. 7 Με δεδομένο ότι : 1 ό 3,1.10 είναι: 17 3,1.10 s. s, η ηλικία του Σύμπαντος Πόση λοιπόν απόσταση διανύει ένα σώμα με την ταχύτητα s 33.10 σε χρόνο όση η ηλικία του Σύμπαντος; 16 Η απάντηση είναι περίπου 6.10. Δηλαδ απόσταση μικρότερη και από την ακτίνα ενός πυρνα ( ακόμα και ενός πρωτονίου). Έτσι λοιπόν στην μακροσκοπικ περίπτωση με το μπαλάκι του τένις, οι προβλέψεις της κλασσικς μηχανικς (το μπαλάκι μπορεί και να είναι ακίνητο) αποδεικνύονται απόλυτα σωστές.
ΑΘΗΝΑ, ΙΟΥΛΙΟΣ 01 ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ