ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ.

Transcript

1 ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ. ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ. Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ U( ) 4 A, ΜΕ A Για ένα σωματίδιο μάζας, το οποίο κινείται σε μια διάσταση υπό την επίδραση δύναμης F, ( ) έχοντας ολικ ενέργεια Ε (που αποτελεί σταθερά της κίνησης), η διατρηση της ενέργειας δίνει: 1 E U ( ) (1) Στη σχέση (1), Ε είναι η ολικ ενέργεια του σωματιδίου, U( ) είναι η δυναμικ του ενέργεια και η ταχύτητά του. ( ). Στα επόμενα θα θεωρσουμε την περίπτωση ενός σωματιδίου που κινείται μέσα σε ένα δυναμικό της μορφς: U( ) 4 A με A () Θα θεωρσουμε επίσης ως δεδομένο ότι η ολικ ενέργεια του σωματιδίου κατά την κίνησ του στο εν λόγω δυναμικό είναι ίση με μηδέν. Στο παρακάτω σχμα 1, φαίνεται η γραφικ παράσταση του θεωρούμενου δυναμικού.

2 Σχμα 1: Το δυναμικό U( ) 4 A με A Από τη διατρηση λοιπόν της ενέργειας θα έχουμε: 1 ( ) E U 1 4 A ( ) A 4 A (3) Στη συνέχεια ας υποθέσουμε ότι τη χρονικ στιγμ t το σωματίδιο βρίσκεται στη θέση, με >. Στο σωματίδιο θα ασκηθεί δύναμη της μορφς:

3 du F i ( A ) i 4A i ( )ˆ d 4 ˆ 3 ˆ (4) Το î είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στο -άξονα. Έτσι λοιπόν το σώμα θα δεχθεί δύναμη στην κατεύθυνση του î. Προκειμένου να περιγράψουμε την κίνησ του, πρέπει να γνωρίζουμε την κατεύθυνση της αρχικς του ταχύτητας (Δηλαδ το πρόσημο της ταχύτητας τη χρονικ στιγμ t ). Διακρίνουμε λοιπόν δύο περιπτώσεις: Πρώτη περίπτωση: Η αρχικ ταχύτητα είναι αρνητικ, δηλαδ (στο σωματίδιο θα ασκηθεί δύναμη αντίρροπη προς την αρχικ του ταχύτητα). Δεύτερη περίπτωση: Η αρχικ ταχύτητα είναι θετικ, δηλαδ (στο σωματίδιο λοιπόν θα ασκηθεί δύναμη ομόρροπη με την αρχικ του ταχύτητα). Ας δούμε λοιπόν στη συνέχεια τις δύο αυτές περιπτώσεις. Πρώτη περίπτωση Είναι:, οπότε στη σχέση (3) «επιλέγουμε» το αρνητικό πρόσημο και έχουμε διαδοχικά: A

4 1 A 1 (5) t C A Προκειμένου να προσδιορίσουμε τη σταθερά, θα κάνουμε χρση της αρχικς μας συνθκης: τη χρονικ στιμ t =, το σωματίδιο βρίσκεται στη θέση (με >). Θα έχουμε: 1 C A C 1 A Από τις (5) και (6) λοιπόν έχουμε: (6) 1 1 t A A A 1 1 t 1 1 A t 1 A 1 t 1 A t (7)

5 Από τη σχέση (7), βλέπουμε ότι στην περίπτωσ μας το σωματίδιο τείνει ασυμτωτικά στο. (Ο παρονομαστς τείνει στο άπειρο καθώς ο χρόνος τείνει στο άπειρο). Δεύτερη περίπτωση Είναι:, οπότε στη σχέση (3) «επιλέγουμε» το θετικό πρόσημο και έχουμε διαδοχικά: A 1 A D : 1 (8) t D A Μέσω της αρχικς μας συνθκης, προσδιορίζουμε τη σταθερά D 1 A Έτσι λοιπόν μέσω των σχέσεων (8) και (9) έχουμε διαδοχικά: (9) 1 1 t A A 1 1 A t

6 1 1 A t 1 A 1 t 1 A t (1) Στη σχέση (1) παρατηρούμε ότι καθώς t 1, ο A παρονομαστς τείνει στο μηδέν και το κλάσμα τείνει στο άπειρο. Δηλαδ το σωματίδιο φτάνει στο άπειρο σε χρόνο 1 A. Φυσικά αυτό συμβαίνει γιατί θεωρούμε ότι το δυναμικό επεκτείνεται στο άπειρο. Στον πραγματικό όμως κόσμο, το δυναμικό θα έχει «πεπερασμένη έκταση». Ακόμα κι έτσι το «πρόβλημα», έστω και θεωρητικό, παραμένει. Όμως δεν πρέπει να μας διαφεύγει το γεγονός ότι καθώς η ταχύτητα του σωματιδίου αυξάνει συνέχεια, από κάποια στιγμ και έπειτα (ας πούμε όταν η ταχύτητα γίνει ίση με πχ το 1% της ταχύτητας του φωτός) είμαστε υποχρεωμένοι να εφαρμόσουμε «σχετικιστικ» μηχανικ. Τότε πλέον η ταχύτητα έχει ανώτατο όριο (την ταχύτητα του φωτός). Παρακάτω παρατίθεται η όμορφη γραφικ παράσταση, από τον συνάδελφο και φίλο Γιάννη Δογραματζάκη, τον οποίο θερμά ευχαριστώ!

7 Επίσης, μια ποιοτικ περιγραφ όλων των δυνατών περιπτώσεων, που καθιστά πιο ολοκληρωμένη την παρούσα εργασία από τον συνάδελφο και φίλο Ευάγγελο Κορφιάτη, τον οποίο και θερμά ευχαριστώ!

8 Αν η ολικ ενέργεια είναι θετικ τότε το σώμα μπορεί να κινείται από το - έως το +. Αν λοιπόν σε οποιαδποτε θέση έχει θετικ ταχύτητα θα κινηθεί μέχρι το +. Αν έχει αρνητικ ταχύτητα θα κινηθεί μέχρι το -. Αν η ολικ ενέργεια είναι αρνητικ Τότε το σώμα μπορεί να κινείται από - έως από έως +. Αν σε μια θέση <- έχει υ> τότε θα κινηθεί μέχρι το και στην συνέχεια θα κινηθεί μέχρι το -. Αν σε μια θέση <- έχει υ< τότε θα κινηθεί μέχρι το -. Αν σε μια θέση > έχει υ< τότε θα κινηθεί μέχρι το και στην συνέχεια θα φύγει για +. Αν σε μια θέση > έχει υ> τότε θα κινηθεί μέχρι το +. Αν η ολικ ενέργεια είναι μηδέν Τότε το σώμα μπορεί να κινείται από - έως από έως +. Αν σε μια θέση < έχει υ> τότε θα κινηθεί μέχρι το και θα σταματσει ( έκπληξη είναι ότι αυτό γίνεται σε άπειρο χρονικό διάστημα). Αν σε μια θέση < έχει υ< τότε θα κινηθεί μέχρι το -. Αν σε μια θέση > έχει υ< τότε θα κινηθεί μέχρι το και θα σταματσει. Αν σε μια θέση > έχει υ> τότε θα κινηθεί μέχρι το +. ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 13 ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗ