Οι εξισώσεις καμπτικής αντοχής δοκών σκυροδέματος με οπλισμό FRP σύμφωνα με EC Flexural resistane equations o onrete with FRP reinorement aording to EC Νεφέλη ΜΗΤΣΟΠΟΥΛΟΥ 1, Βασίλης ΚΑΡΑΤΖΑΦΕΡΗΣ, Βασίλης ΤΣΙΤΣΟΣ 3, Μαρίνος ΚΑΤΤΗΣ 4 Λέξεις κλειδιά: οπλισμένο σκυρόδεμα, ράβδοι FRP, καμπτικός σχεδιασμός Keywords: reinored onrete, FRP bars, lexural design ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στην παρούσα εργασία εξάγονται, στην γενική τους μορφή, οι εξισώσεις καμπτικής αντοχής δοκών σκυροδέματος, που είναι οπλισμένες με ράβδους FRP σύμφωνα με τις αρχές και υποθέσεις του EC. Η καμπτική αντοχή περιγράφεται με δύο εξισώσεις που αντιστοιχούν στους δύο πιθανούς τύπους καμπτικής αστοχίας, που μπορούν να εμφανισθούν σε μία καμπτόμενη δοκό σκυροδέματος οπλισμένη με ράβδους FRP. Ο πρώτος τύπος αστοχίας συμβαίνει λόγω θρυμματισμού του σκυροδέματος, ενώ ο δεύτερος, λόγω διάρρηξης του οπλισμού FRP. Οι προβλέψεις των εξισώσεων που αναπτύχθηκαν συγκρίνονται με τα πειραματικά αποτελέσματα εννέα πειραματικών δοκιμών σε δοκούς σκυροδέματος οπλισμένες με ράβδους CFRP και GFRP, που διεξήχθησαν στο εργαστήριο Δομικής Μηχανικής του ΕΜΠ. Προκύπτει ότι οι προβλέψεις των εξισώσεων αυτών βρίσκονται σε καλή συμφωνία με τα πειραματικά αποτελέσματα, καθώς και με τις προβλέψεις που παρέχουν οι αντίστοιχες εξισώσεις του CSA (Canadian Standard Assoiation). ABSTRACT: In this work, the lexural strength equations o onrete beams reinored with FRP bars are derived, in their general orm, aording to the priniples and assumptions o EC. The lexural strength o the beam is desribed by two equations orresponding to the two possible types o lexure ailure that an our in a onrete beam reinored with FRP bars. The irst type o ailure ours due to the onrete rushing, while the seond type, due to the rupture o the FRP reinorement. The preditions o the equations obtained are heked experimentally by onduting experimental tests on nine onrete beams 1 Πολιτικός Μηχανικός, S, Υποψήφια Διδάκτωρ, ΕΜΠ, email: nmitsopoulou@entral.ntua.gr Πολιτικός Μηχανικός, S, Διδάκτωρ ΕΜΠ, email: vkaratzaeris@gmail.om 3 Πολιτικός Μηχανικός, S, Υποψήφιος Διδάκτωρ ΕΜΠ, vtsitsos@hotmail.om 4 Πολιτικός Μηχανικός, Αναπληρωτής Καθηγητής ΕΜΠ, email: mkattis@entral.ntua.gr 1
reinored with CFRP and GFRP bars. The preditions o these equations are in good agreement with the experimental results as well as with the preditions provided by the orresponding equations o the CSA (Canadian Standard Assoiations). EIΣΑΓΩΓΗ Η διασαφήνιση της καμπτικής συμπεριφοράς δομικών στοιχείων σκυροδέματος με οπλισμό FRP έχει αποτελέσει ένα βασικό αντικείμενο έρευνας στην επιστημονική περιοχή του Ο/Σ τα τελευταία χρόνια, διότι αποτελεί την βάση του σχεδιασμού των στοιχείων αυτών, τόσο για αντοχή, όσο και για λειτουργικότητα. Η θεωρητική και η πειραματική έρευνα, που έχει αναπτυχθεί στην περιοχή αυτή, στηρίζεται στην επέκταση των τεχνικών και μεθόδων που έχουν χρησιμοποιηθεί για τον οπλισμό από χάλυβα, παρά τις ποιοτικές διαφορές ως προς την μηχανική συμπεριφορά που επιδεικνύει ο οπλισμός FRP. Αυτό γίνεται, προκειμένου να αξιοποιηθεί η εμπειρία και η γνώση που έχει αποκτηθεί για τον οπλισμό από χάλυβα, και να παραχθούν αποτελέσματα που θα είναι οικεία στον μηχανικό της πράξης (Benmokrane et al., 1996; asmoudi et al., 1998; Toutanji et al., 000; Pilakoutas et al., 00; Καρατζαφέρης, 009). Τα αποτελέσματα που έχουν παραχθεί από την έρευνα αυτή έχουν αποτελέσει την βάση ανάπτυξης των νέων κωδίκων και κανονισμών για τον σχεδιασμό δομικών στοιχείων σκυροδέματος με οπλισμό FRP σε πολλές χώρες (ACI, 440.1R-15; CSA, S806-1; JSCE, 1997). Η θεωρητική ανάπτυξη των εξισώσεων της καμπτικής αντοχής με την μέθοδο των οριακών καταστάσεων βασίζεται στις παραδοχές και στις υποθέσεις που υιοθετεί ο κάθε κώδικας για την συμπεριφορά του σκυροδέματος και των ράβδων FRP. Οι εξισώσεις που περιγράφουν την καμπτική συμπεριφορά του σκυροδέματος και έχουν συμπεριληφθεί στους κώδικες ACI 440.1R-15 και CSA S806-1 βασίζονται στο εκτεταμένο θεωρητικό και ερευνητικό έργο που έχει δημοσιευθεί τα τελευταία χρόνια. Στους δύο αυτούς κώδικες, η καμπτική αντοχή συνδέεται με τους δύο πιθανούς τύπους καμπτικής αστοχίας που μπορούν να εμφανισθούν σε ένα καμπτόμενο δομικό στοιχείο Ο/Σ με ράβδους FRP, και οι σχετικές εξισώσεις έχουν αναπτυχθεί με βάση την έννοια της ισόρροπης διατομής εισάγοντας ορισμένες υποθέσεις για την συμπεριφορά του δομικού στοιχείου και των υλικών. Στην εργασία αυτή, ακολουθώντας μια ανάλογη διαδικασία, αναπτύσσονται οι αντίστοιχες εξισώσεις καμπτικής αντοχής δοκών σκυροδέματος με οπλισμό FRP χρησιμοποιώντας τις βασικές παραδοχές του EC. Για δοκούς σκυροδέματος με ορθογώνια διατομή, οι εξισώσεις αυτές αναπτύσσονται για την γενική μορφή του νόμου τάσεων-παραμορφώσεων του σκυροδέματος που προτείνει ο EC, καλύπτοντας έτσι και θλιπτικές αντοχές σκυροδέματος μεγαλύτερες των 50 Pa. Για όλους τους τύπους αστοχίας, παρέχονται κλειστές εκφράσεις των καμπτικών αντοχών και παρέχονται βοηθήματα για τον άμεσο υπολογισμό τους. Για δοκούς με διατομή Τ ή Γ και για αντοχές σκυροδέματος μικρότερες των 50 Pa,
εξάγεται η εξίσωση της καμπτικής αντοχής για θρυμματισμό σκυροδέματος, που αποτελεί την βάση σχεδιασμού στην πράξη. Οι θεωρητικές αντοχές που προβλέπουν οι εξισώσεις για δοκούς σκυροδέματος με ορθογώνια διατομή συγκρίνονται με τις πειραματικές αντοχές που προκύπτουν από εννέα πειραματικές δοκιμές πάνω σε δοκούς σκυροδέματος με οπλισμό G-FRP και C- FRP. Επίσης, οι θεωρητικές αυτές αντοχές συγκρίνονται με αυτές που παρέχουν οι αντίστοιχες εξισώσεις του CSA. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΜΠΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ Η ανάπτυξη των σχέσεων που παρέχουν την καμπτική αντοχή μιας δοκού ΟΣ με οπλισμό FRP στηρίζεται στις απλοποιητικές παραδοχές του EC για την καμπτική παραμορφωσιακή συμπεριφορά της δοκού και στα διαγράμματα τάσεων παραμορφώσεων σκυροδέματος και οπλισμού, που δείχνονται στο Σχήμα 1. Το διάγραμμα θλιπτικών τάσεων-παραμορφώσεων του σκυροδέματος είναι το μη γραμμικό διάγραμμα του ΕC, ενώ το διάγραμμα εφελκυστικών τάσεωνπαραμορφώσεων οπλισμού FRP θεωρείται γραμμικό μέχρι την διάρρηξή του. Στο διάγραμμα σκυροδέματος, k δηλώνει την χαρακτηριστική θλιπτική αντοχή του και d a k / την θλιπτική αντοχή σχεδιασμού του. είναι ο μερικός συντελεστής για το σκυρόδεμα και είναι ένας μειωτικός συντελεστής αντοχής από μακροχρόνιες επιδράσεις και από δυσμενείς επιπτώσεις από τον τρόπο εφαρμογής των εξωτερικών φορτίων. Η καμπύλη τάσης-παραμόρφωσης του σκυροδέματος περιγράφεται μαθηματικά από την σχέση [1 (1 / ) n d ], όταν 0, d, όταν u, (1) όπου, σύμφωνα με EC (ΕΝ 199-1-1:004), είναι 0 0 n, /, 3.5 /, όταν 50 Pa 00 u 00 k 4 0 0.53 1.4 3.4[(90 ) /100)], ( / 00).0 0.085( k 50) n k, 0 4 ( / ).6 35[(90 ) /100)] όταν 50 Pa. u 00 k Η αναλυτική σχέση των εφελκυστικών τάσεων-παραμορφώσεων των ράβδων οπλισμού FRP έχει την μορφή E, όπου E είναι το μέτρο ελαστικότητας οπλισμού FRP. Στο διάγραμμα του Σχήματος 1, u και u δηλώνουν την χαρακτηριστική τιμή της εφελκυστικής αντοχής και παραμόρφωσης, αντίστοιχα, των ράβδων οπλισμού FRP, και d, d, τις αντίστοιχες ποσότητες σχεδιασμού. Η εφελκυστική αντοχή σχεδιασμού ορίζεται με την σχέση /, όπου k d E u 3
είναι ο μερικός συντελεστής των ράβδων FRP και είναι ένας συντελεστής E μείωσης που εισάγει τις δυσμενείς επιδράσεις από ερπυσμό και άλλες αιτίες. Στην παρούσα εργασία, για τους μερικούς συντελεστές και των υλικών, υιοθετούνται οι τιμές 1.5 και 1.3, αντίστοιχα, και για τους μειωτικούς συντελεστές a και E, οι τιμές 0.85 και 0.80 αντίστοιχα. Σχήμα 1. Διαγράμματα τάσεων-παραμορφώσεων για σκυρόδεμα και FRP. Η παραμορφωσιακή κατάσταση της διατομής μιας δοκού σκυροδέματος με οπλισμό FRP, στην οποία το σκυρόδεμα έχει προσεγγίσει την παραμόρφωση u και, ταυτόχρονα, οι ράβδοι οπλισμού έχουν προσεγγίσει την παραμόρφωση d ορίζεται ως ισόρροπη παραμορφωσιακή κατάσταση. Οι διανομές των παραμορφώσεων και τάσεων κατά το ύψος της διατομής, στην ισόρροπη παραμορφωσιακή κατάστασή της, δείχνονται στο Σχήμα. Σχήμα. Παραμορφώσεις και τάσεις στην ισόρροπη ορθογώνια διατομή. 4
Με δεδομένα την γεωμετρία της διατομής και την συμπεριφορά των υλικών, η οριακή αυτή κατάσταση επιτυγχάνεται για το παρακάτω λόγο οπλισμού της διατομής, bal A, bal d u bd E d u d, () όπου, το A, bal είναι το εμβαδόν οπλισμού, bd,, το πλάτος και το στατικό ύψος της διατομής και,, δυο αδιάστατοι συντελεστές. Οι συντελεστές αυτοί υπολογίζονται έτσι ώστε η διανομή των θλιπτικών τάσεων στην θλιπτική ζώνη του σκυροδέματος να είναι στατικά ισοδύναμη με μια ομοιόμορφη διανομή d στην περιοχή ( x ) b της διατομής (Σχήμα ). Βρίσκεται ότι bal 1 u u 1,. n 1 1 u 1 ( n 1)( n ) n 1 (3) 1 n 1 u Αν o λόγος οπλισμού της διατομής A / bd ικανοποιεί την συνθήκη, bal, τότε η διατομή θα αστοχήσει από θρυμματισμό σκυροδέματος. Στον τύπο αυτό αστοχίας, η τάση που αναπτύσσεται στον οπλισμό παρέχεται από τη σχέση 1 1 ( E ) 4 E E (4) d u u u και πρέπει να ικανοποιεί την σχέση d. Η σχέση (4) προσδιορίζεται από την ισότητα της θλιπτικής δύναμης που επενεργεί στη θλιπτική ζώνη του σκυροδέματος και της εφελκυστικής δύναμης που επενεργεί στον οπλισμό. Η ροπή ζεύγους των δυνάμεων αυτών αποτελεί την καμπτική αντοχή της διατομής και προκύπτει στις παρακάτω δύο μορφές x (1 0.5 x ), d (5) bd d d x (1 0.5 ), (6) bd d όπου x u d /( u ) είναι το πλάτος της θλιβόμενης ζώνης. 5
Αν ο λόγος οπλισμού της διατομής A / bd ικανοποιεί την συνθήκη, bal, τότε η διατομή θα αστοχήσει από διάρρηξη των ράβδων οπλισμού. Όταν u, η παραμόρφωση που αναπτύσσεται στο σκυρόδεμα και η ροπή καμπτικής αντοχής της διατομής υπολογίζονται στην μορφή 1 n1 1 d d d d d x x 1 0.5, bd d d x 1 0.5, d bd d, (7) (8) (9) όπου x d /( ) είναι το πλάτος της θλιβόμενης ζώνης και d 1 n1n n1 1 1 n 1, 1. (10) 1 n 1 Οι παραπάνω συντελεστές έχουν υπολογισθεί έτσι ώστε η διανομή των θλιπτικών τάσεων στην θλιπτική ζώνη του σκυροδέματος να είναι στατικά ισοδύναμη με μια ομοιόμορφη διανομή d στην θλιπτική περιοχή ( x) b της διατομής. Όταν, η παραμόρφωση που αναπτύσσεται στον οπλισμό και η ροπή αντοχής της διατομής βρίσκονται να είναι n d ( n 1) 11, (11) d d n 1 n A d d x, n (1) n 1 n dbx d x, n1 n (13) 6
όπου xd/( d). Για σκυροδέματα με θλιπτική αντοχή k 50 Pa, το n παίρνει την τιμή και οι παραπάνω σχέσεις γίνονται 3 3 0, (14) 3 d d d d d 3 A d d x, 8 (15) 3 dbxd x. 3 8 (16) Για τον άμεσο υπολογισμό των συντελεστών και, για όλες τις κατηγορίες σκυροδέματος, έχει συνταχθεί ο Πίνακας 1. Για σκυροδέματα με k 50 Pa, για τον υπολογισμό των συντελεστών, παρέχεται ο Πίνακας. Πίνακας 1. Τιμές των παραμέτρων, u, n,, k u n 50 3.50.00.00 0.83 0.97 55 3.13.0 1.75 0.79 0.95 60.88.9 1.59 0.75 0.9 65.74.36 1.49 0.73 0.89 70.66.4 1.44 0.7 0.87 75.6.47 1.41 0.71 0.85 80.60.5 1.40 0.71 0.84 85.60.56 1.40 0.71 0.83 90.60.60 1.40 0.71 0.83 Πίνακας. Τιμές των παραμέτρων, σαν συνάρτηση της παραμόρφωσης, όταν 3.5και 50 Pa.1 0.756 0.90.8 0.799 0.953. 0.763 0.914.9 0.804 0.957.3 0.769 0.93 3.0 0.810 0.961.4 0.776 0.931 3.1 0.814 0.964.5 0.78 0.938 3. 0.819 0.967.6 0.788 0.944 3.3 0.84 0.969.7 0.794 0.949 3.4 0.88 0.971 3.5 0.83 0.973 k 7
Το νομογράφημα του Σχήματος 3 παρέχεται για επίλυση της τριτοβάθμιας εξίσωσης (14). Σχήμα 3. Νομογράφημα για την επίλυση της τριτοβάθμιας εξίσωσης 14 Στην πράξη, σπάνια οι δοκοί σχεδιάζονται να αστοχήσουν από διάρρηξη του οπλισμού FRP. Ένας τέτοιος σχεδιασμός, θα εκμεταλλευόταν μεν τα υψηλά όρια αντοχής των ράβδων FRP, αλλά θα οδηγούσε σε υπερβολικές βυθίσεις των δοκών, που θα ξεπερνούσαν τα επιτρεπτά όρια. Σε συνηθισμένες κατασκευές, οι δοκοί σχεδιάζονται να αστοχήσουν από θρυμματισμό σκυροδέματος, παρόλο που, για την αστοχία αυτή, δεν γίνεται πλήρης εκμετάλλευση της υψηλής αντοχής των ράβδων οπλισμού FRP. Στη συνέχεια, για τον τύπο αυτό αστοχίας, εξάγονται οι καμπτικές αντοχές δοκών με διατομές T και Γ, που είναι συχνά απαντώμενες στην πράξη. Όπως στην περίπτωση των διατομών με ορθογώνια διατομή, η αστοχία από θρυμματισμό σκυροδέματος συμβαίνει, όταν, bal, όπου, για τις διατομές αυτές, το, bal παρέχεται από την σχέση b b 1 h w u w d, bal T T T b u d / E b d d (17) 8
Στις παραπάνω σχέσεις, bw είναι το πλάτος του κορμού της διατομής, και b, h το πλάτος και το πάχος του πέλματος της διατομής (Σχήμα 4). Οι συντελεστές T, T έχουν υπολογισθεί έτσι ώστε η διανομή των θλιπτικών τάσεων στην θλιπτική ζώνη του σκυροδέματος να είναι στατικά ισοδύναμη με μια ομοιόμορφη διανομή T d στις σκιαγραμμισμένες θλιπτικές περιοχές που δείχνονται στις διατομές του Σχήματος 4 Σχήμα 4. Παραμορφώσεις και τάσεις στις διατομές Τ και Γ, για αστοχία από θρυμματισμό σκυροδέματος. Η καμπτική αντοχή των διατομών Τ και Γ υπολογίζεται με μια από τις παρακάτω σχέσεις bw x x h 1 0.5 1 0.5, T T T TT bd d b d d d bd d b w x x h T 1 0.5T T 1 0.5 b d d d, b w x T T b d d (18) (19) όπου T και παρέχονται από τις σχέσεις (0) και (1) που αναγράφονται παρακάτω. Η ποσότητα είναι η εφελκυστική τάση που αναπτύσσεται στις ράβδους οπλισμού FRP και πρέπει να ικανοποιεί την συνθήκη d. 9
1 T T bw u 4 u E d T T d TTd b E (0) 1 T u E Td b h w T 1. b d (1) Για σκυροδέματα με 50 Pa, λαμβάνεται 0.8, 1. k T T ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΓΚΡΙΣΕΙΣ Για την σύγκριση των θεωρητικών αποτελεσμάτων, που δίνουν οι παραπάνω εξισώσεις, με πειραματικά αποτελέσματα διεξήχθηκαν εννέα πειραματικές δοκιμές σε δοκούς σκυροδέματος με οπλισμό C-FRP και G-FRP. Οι πειραματικές δοκοί είχαν διατομή 15x0 m, μήκος 150 m και είχαν οπλισθεί με ράβδους GFRP και ράβδους CFRP, με τα χαρακτηριστικά γεωμετρίας και αντοχής που παρουσιάζονται στο Πίνακα 3. Η κυλινδρική αντοχή του σκυροδέματος των εννέα δοκιμίων προσδιορίστηκε πειραματικά στην τιμή k 30 Pa.Οι δοκοί, 8 ημέρες μετά την κατασκευή τους, υπεβλήθηκαν σε κάμψη τεσσάρων σημείων μέχρι την τελική αστοχία τους (Σχήμα 5). Στον Πίνακα 3, παρουσιάζονται οι exp πειραματικές καμπτικές αντοχές των δοκών R που μετρήθηκαν και οι EC θεωρητικές καμπτικές αντοχές CSA R, R που υπολογίσθηκαν, τόσο με τις εξισώσεις του EC, όσο και με τις εξισώσεις του CSA (CSA 01), αντίστοιχα. Και στις δύο περιπτώσεις, οι θεωρητικές τιμές των αντοχών υπολογίσθηκαν θέτοντας στις σχετικές εξισώσεις όλους τους υπεισερχόμενους συντελεστές υλικών ίσους με 1. Από την σύγκριση προκύπτει Πίνακας 3. Γεωμετρία και αντοχή των ράβδων FRP GFRP CFRP Ονομαστική διάμετρος, mm 15.88 1.7 Εμβαδόν διατομής, mm 197.9 16.7 Εφελκυστική αντοχή, Pa 761 300 Ονομαστικό Μέτρο Ελαστικότητας για Εφελκυσμό, GPa 46.7 130 ότι τα θεωρητικά αποτελέσματα των δύο κανονισμών συγκλίνουν μεταξύ τους και βρίσκονται σε καλή συμφωνία με τα πειραματικά αποτελέσματα. 10
Σχήμα 5. Η δοκός B-G-1 στη δοκιμή κάμψης τεσσάρων σημείων Πίνακας 4. Δεδομένα γεωμετρίας, οπλισμού και αντοχής των πειραματικών δοκών Οπλισμός Δοκός d EC CSA exp A R R R [mm] [ΚNm] [ΚNm] [ΚNm] GFRP B-G-1 177 Φ1.7 3.06 1.8 1 B-G- 177 Φ1.7 3.06 1.8.5 B-G-3 177 Φ1.7 3.06 1.8 1.5 B-G-4 175 Φ16 7.07 4.86 5.5 B-G-5 175 Φ16 7.07 4.86 3 CFRP B-C-1 177 Φ1.7 33.45 30.49 8.5 B-C- 177 Φ1.7 33.45 30.49 9.5 B-C-3 179 Φ7.8 4.03.17 0 B-C-4 179 Φ7.8 4.03.17 3.5 11
ΑΝΑΦΟΡΕΣ Amerian Conrete Institute (ACI), Committee 440.1R-15 Guide or the design and onstrution o strutural onrete reinored with iber-reinored polymer bars. ACI 440.1R-15 (015) Benmokrane, B., Chaallal, O., and asmoudi, R., Flexural Response o Conrete Beams Reinored with FRP Reinoring Bars. ACI Strutural Journal, Vol. 91, No., (1996) 46 55 Canadian Standards Assoiation (CSA), Design and onstrution o building strutures with ibre-reinored polymers. CSA S806-1 (reairmed 017) (01) ΕΝ 199-1-1:004(Ε), Euroode :Design o onrete strutures- Part 1-1: General rules and rules or buildings, European Standard, European Committee or Standardization JSCE, Reommendation or design and onstrution o onrete strutures using ontinuous iber reinoring materials. Conrete Engineering Series 3, Japan Soiety o Civil Engineers, Tokyo, Japan (1997) asmoudi, R., Theriault,., and Benmokrane, B., Flexural behavior o onrete beams reinored with deormed iber reinored plasti reinoring rods. ACI Strutural Journal, Vol. 95, No. 6 (1998) 665-676 Pilakoutas, K., Neoleous, K. and Guadagnini,. Design philosophy issues o ibres reinored polymer reinored onrete strutures. Journal o Composites or Constrution, Vol.6, No 3 (00) 154-161 Toutanji, H. and Saai,., Flexural behavior o onrete beams reinored with glass iber-reinored polymer (GFRP) bars. ACI Strutural Journal, Vol. 97, No 5 (000) 71-719 Καρατζαφέρης, Β., Ανάλυση της μηχανικής συμπεριφοράς δομικών στοιχείων σκυροδέματος οπλισμένων με σύνθετες ράβδους, Διδακτορική Διατριβή, Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Ε.Μ.Π., Αθήνα (009) 1