ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1.

Transcript

1 ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ 1. Γενικά

2 Με τη δοκιμή κάμψης ελέγχεται η αντοχή σε κάμψη δοκών από διάφορα υλικά, που καταπονούνται ή από συγκεντρωμένο φορτίο στο μέσο ή από συγκεντρωμένα φορτία σε άλλες θέσεις ή και από ομοιόμορφα κατανεμημένα φορτία. Οι δοκιμαζόμενοι δοκοί συνήθως στηρίζονται αμφιέρειστα και καταπονούνται ή μέσα στην ελαστική περιοχή οπότε μετά την αποφόρτιση η δοκός επανέρχεται στην αρχική της κατάσταση ή και στην ελαστοπλαστική περιοχή οπότε εμφανίζονται μόνιμες παραμορφώσεις.. Ελαστική κάμψη Η κάμψη όπως έχουμε και πάλι αναφέρει είναι μια από τις απλές καταπονήσεις που χαρακτηριστικό της είναι η ύπαρξη εγκάρσιων φορτίων. Στην καταπόνηση αυτή αναπτύσσονται εσωτερικές καμπτικές ροπές Μ Διακρίνουμε δύο είδη κάμψης : 1) Την καθαρή κάμψη όπου στη δοκό ή σε κάποιο τμήμα της εμφανίζεται μόνο καμπτική ροπή (Ν = Τ = Μ t = 0, M 0) [Σχ. 1] και [Σχ. ]. [Σχ. 1] : Απλές περιπτώσεις καθαρής κάμψης [Σχ. ] : Καθαρή κάμψη μόνο στο τμήμα ΓΔ Κάμψη

3 ) Tη γενική κάμψη όπου εκτός της καμπτικής ροπής Μ εμφανίζεται και τέμνουσα δύναμη Τ (Ν = Μ t = 0, M, Τ 0) [Σχ. 3]. [Σχ. 3] : Απλές περιπτώσεις γενικής κάμψης Η μελέτη της κάμψης από θεωρητική άποψη γίνεται κάτω από τις εξής προϋποθέσεις και παραδοχές [Σχ. 4] : [Σχ. 4] 1) ο διαμήκης άξονας της δοκού είναι ευθύγραμμος Κάμψη 3

4 ) οι διαστάσεις της διατομής είναι μικρές σε σχέση με το μήκος της δοκού 3) οι εγκάρσιες διατομές διατηρούν την επιπεδότητά τους και μετά τη φόρτιση (Bernoulli - Navier) 4) η δοκός αποτελείται από ανεξάρτητες διαμήκεις ίνες που παραμορφώνονται σαν να μην υπήρχαν οι υπόλοιπες 5) ισχύει ο νόμος του Hooke, δηλαδή οι αναπτυσσόμενες τάσεις είναι μικρότερες από το όριο αναλογίας του υλικού 6) όλα τα φορτία που ενεργούν κάθετα στον άξονα της δοκού βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, το επίπεδο κάμψης 7) το επίπεδο κάμψης περιέχει τον διαμήκη κεντροβαρικό άξονα της δοκού και τον άξονα συμμετρίας της διατομής ή έναν από τους κύριους άξονες αδράνειας της διατομής 3. Τάσεις Κάτω από αυτές τις προϋποθέσεις προκύπτει ότι στην περίπτωση της καθαρής κάμψης οι αναπτυσσόμενες τάσεις είναι μόνο ορθές και η κατανομή τους δίνεται από : σ = Ε R y ή σ = Μ y : (1) όπου : Ε = μέτρο ελαστικότητας του υλικού R = ακτίνα καμπυλότητας y = απόσταση από την ουδέτερη γραμμή Μ = καμπτική ροπή Ι = ροπή αδράνειας της διατομής ως προς Οι σχέσεις αυτές μας οδηγούν στο συμπέρασμα ότι οι ακρότατες ίνες μιας καμπτόμενης δοκού υπόκεινται στις μέγιστες καταπονήσεις. Κατά τη διαδικασία καθορισμού των σχέσεων αυτών προέκυψαν και τα αποτελέσματα : 1) η ουδέτερη γραμμή είναι κεντροβαρικός άξονας της διατομής και τη διαχωρίζει σε εφελκυόμενο και θλιβόμενο τμήμα Κάμψη 4

5 ) όταν τα φορτία ενεργούν στο επίπεδο που περιέχει τον ένα κύριο άξονα αδράνειας της διατομής, ουδέτερη γραμμή είναι ο άλλος κύριος άξονάς της Στο [Σχ. 5] φαίνεται η τριγωνική κατανομή των ορθών τάσεων. [Σχ. 5] σ = Μ α y, σ = Μ α κ κ y : () Όταν Μ > 0 τότε οι άνω είναι θλιπτικές και οι κάτω εφελκυστικές. Στη γενική κάμψη οι σχέσεις () γίνονται : σ = Μ α y, σ = Μ α κ y κ Ενώ στην περίπτωση συμμετρικής διατομής ως προς την ουδέτερη γραμμή έχουμε : σ = σ = Μ α κ Μ y = σ = : (3) W 4. Παραμορφώσεις Κάμψη 5

6 Η ακτίνα καμπυλότητας δίνεται από : 1 R = M E : (4) ενώ η ολική γωνία στροφής από : φ = M E l Στην περίπτωση της καθαρής κάμψης (Μ = σταθερό), από την 1 (4) προκύπτει ότι = σταθερά, δηλαδή η ελαστική γραμμή είναι R τόξο κύκλου. Στην περίπτωση γενικής κάμψης έχουμε την dy M (x) διαφορική εξίσωση της ελαστικής γραμμής = - = dx E df όπου y f το βέλος κάμψης. dx Η διαφορική εξίσωση της ελαστικής γραμμής ισχύει εφόσον στις προϋποθέσεις που ήδη έχουμε θέσει παραπάνω προσθέσουμε ακόμη τις εξής : 1) η καμπυλότητα σε κάθε σημείο εξαρτάται μόνο από την τιμή της καμπτικής ροπής Μ ) το μέγιστο βέλος κάμψης είναι πολύ μικρό συγκρινόμενο με το μήκος l της δοκού 3) το μήκος l της δοκού και το ύψος h της διατομής βρίσκονται στη σχέση : 10 h l 0 h 4) το ύψος h της διατομής και το πλάτος της βρίσκονται στη σχέση : h 4 Με τις τελευταίες παραδοχές περιορίζουμε το μέγεθος των παραμορφώσεων (στρεβλώσεων των διατομών) που έχουμε εξαιτίας των αναπτυσσόμενων διατμητικών τάσεων στη γενική κάμψη. Με διάφορους τρόπους μπορούμε να προσδιορίσουμε σε κάθε δοκό την αλγεβρική εξίσωση της ελαστικής γραμμής, ξεκινώντας από τη διαφορική της εξίσωση. Έτσι για απλές δοκούς έχω τον [Πίνακα 1] : Κάμψη 6

7 Px 3l y = 1E 4 - x για 0 < x < l y = qx 4 E ( l 3 -lx + x 3 ) y = Px 6 E ( 3l - x) y = qx 4 E ( x +6l - 4lx) [Πίν. 1] 5. Ελαστοπλαστική συμπεριφορά Όπως έχουμε αναφέρει στις περιπτώσεις διατομών όπου η ουδέτερη γραμμή αποτελεί άξονα συμμετρίας ισχύει : σ = σ = Μ εφ θλ W όπου η W ονομάζεται ροπή αντίστασης της διατομής και είναι καθαρά μέγεθος που εξαρτάται από την γεωμετρία της διατομής. Π.χ. Κυκλική διατομή διαμέτρου d W = = d 4 πd 64 d = πd 3 3 Ορθογωνική διατομή Κάμψη 7

8 W = = h 3 h 1 = h h 6 Η ροπή αντίστασης από φυσική άποψη αποτελεί μέτρο της μέγιστης ικανότητας μιας δοκού να φέρει καμπτικές ροπές στην ελαστική περιοχή. Όταν η φόρτιση αυξηθεί πέρα από τα όρια αναλογίας και ελαστικότητας, παρατηρούμε αύξηση της ταχύτητας με την οποία μεταβάλλονται οι παραμορφώσεις, καθώς και την εμφάνιση πλαστικών παραμορφώσεων. Συγκεκριμένα, αρχίζει από τις έξω - έξω εφελκυόμενες και θλιβόμενες ίνες, η είσοδος διαδοχικών τμημάτων της διατομής στην πλαστική περιοχή, μέχρι να πλαστικοποιηθεί πλήρως [Σχ. 6]. [Σχ. 6] Η είσοδος των πρώτων εξωτερικών ινών στην πλαστική περιοχή θα συμβεί όταν το μέγεθος της τάσης από κάμψη σ φτάσει το όριο διαρροής σ Δ του υλικού. 6. Πειραματική διαδικασία Κάμψη 8

9 Κανονισμοί : Οι δοκιμές σε κάμψη γίνονται για μεταλλικές κατασκευές σύμφωνα με τα DN 1050 και για ξύλινες κατασκευές σύμφωνα με τα DN 105. Σκοπός : Με το πείραμα κάμψης θέλουμε να προσδιορίσουμε : 1) την αντοχή σε κάμψη κυρίως των ψαθυρών υλικών, στα οποία παρατηρείται θραύση από κάμψη. Η σ ορίζεται ως ο λόγος της ροπής κάμψης τη στιγμή της θραύσης προς τη ροπή αντίστασης της διατομής : σ = Μ. W ) το μέγιστο βέλος κάμψης y κατά τη στιγμή της θραύσης. Αυτό συνήθως χρησιμοποιείται ως μέτρο της ολκιμότητας των ψαθυρών υλικών. Επειδή όμως εξαρτάται από τον τρόπο φόρτισης της δοκού και τις διαστάσεις της ο προσδιορισμός του έχει συγκριτική σημασία Δ Δ Μ 3) το όριο διαρροής σε κάμψη σ = W Τα όλκιμα υλικά δεν δοκιμάζονται συνήθως σε κάμψη. Οι κανονισμοί DN προβλέπουν τη δοκιμή μόνο για το χυτοσίδηρο που είναι ψαθυρό υλικό. Άλλωστε δεν είναι μεγάλη και η αναγκαιότητα της δοκιμής αυτής στα όλκιμα υλικά, όπου τα διάφορα μηχανικά χαρακτηριστικά τους προσδιορίζονται ευκολότερα με τη δοκιμή σε εφελκυσμό, κάτι που δεν συμβαίνει στα ψαθυρά όπου οι παραμορφώσεις τους σε εφελκυσμό είναι πάρα πολύ μικρές. Όποτε γίνει δοκιμή σε κάμψη ενός όλκιμου υλικού το πείραμα τελειώνει στο σημείο διαρροής, γιατί αν συνεχιστεί, το βέλος κάμψης γίνεται πολύ μεγάλο και μπορεί το δοκίμιο να ξεφύγει από τις στηρίξεις του. Συσκευή : Προς το παρόν θα χρησιμοποιηθεί η συσκευή πολλαπλών δοκιμών AMSLER. (Είναι υπό κατασκευή, στα πλαίσια πτυχιακής εργασίας, συσκευή για δοκιμή σε κάμψη). Τα δοκίμια συνήθως είναι κυκλικής, ορθογωνικής ή τυποποιημένης διατομής Ι. Στηρίζονται σε δύο έδρανα και καταπονούνται με μια δύναμη στο μέσον ή συμμετρικά με δύο ίσες δυνάμεις. Στην δεύτερη περίπτωση έχουμε μια περιοχή, ανάμεσα στα φορτία, καθαρής κάμψης δηλαδή σταθερής καμπτικής ροπής. Η περίπτωση αυτή είναι προτιμότερη για τον προσδιορισμό χαρακτηριστικών καμπτικών ροπών όπως της Μ Δ. Σε καθορισμένες θέσεις της δοκού τοποθετούνται βελόμετρα (όργανα για την μέτρηση του βέλους κάμψης). Αν τώρα καταγράψουμε σε ένα σύστημα αξόνων (Ρ, y), τις τιμές των βελών Κάμψη 9

10 κάμψης που παρατηρούμε σε συνάρτηση με τις αντίστοιχες τιμές του συγκεντρωμένου φορτίου Ρ, τότε θα πάρουμε για ψαθυρά υλικά ένα διάγραμμα όπως στο [Σχ. 7]. Αν το πείραμα αναφέρεται σε αμφιέρειστη δοκό με ένα φορτίο στη μέση, τότε σε κάθε τιμή του φορτίου Ρ αντιστοιχεί μια ροπή M = Pl 3 Pl, η δε τιμή των βελών κάμψης είναι y = E [Σχ. 7] Η τιμή της καμπτικής ροπής στη διαρροή είναι : M = P l Δ Δ, ενώ 4 στη θραύση M = P l. Το μέγιστο βέλος κάμψης στη θραύση 4 3 P l y =. 48 E Εάν δοκιμαστούν όλκιμα υλικά το πείραμα περιορίζεται μέχρι το σημείο διαρροής. Κάμψη 10