ЗБИРКА НА ОДБРАНИ РЕШЕНИ ЗАДАЧИ ОД ОБЛАСТА НА СИНТЕЗАТА НА СИСТЕМИ НА АВТОMАТСКО УПРАВУВАЊЕ

Универзитет Св. Кирил и Методиј - Скопје Факултет за електротехника и информациски технологии - Скопје ЕЛИЗАБЕТА ЛАЗАРЕВСКА ЗБИРКА НА ОДБРАНИ РЕШЕНИ ЗАДАЧИ ОД ОБЛАСТА НА СИНТЕЗАТА НА СИСТЕМИ НА АВТОMАТСКО УПРАВУВАЊЕ Скопје, 6

ii

Автор Д-р Елизабета Лазаревска, редовен професор на Факултетот за електротехника и информатички технологии Скопје Наслов ЗБИРКА НА ОДБРАНИ РЕШЕНИ ЗАДАЧИ ОД ОБЛАСТА НА СИНТЕЗАТА НА СИСТЕМИ НА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ Рецензенти Д-р Миле Станковски, редовен професор на Факултетот за електротехника и информациски технологии Скопје Д-р Стојче Дескоски, редовен професор на Техничкиот факултет во Битола (во пензија) Издавач Универзитет Свети Кирил и Методиј Скопје Електронско издание iii

iv

Good, etter, et. Never let it ret. Till your good i etter, nd your etter i et. St. Jerome Добро, подобро, најдобро. Никогаш немој да се откажеш, сѐ додека твоето добро не биде подобро и твоето подобро не стане најдобро. Книгата е посветена на моите родители, Елизабета Лазаревска v

vi

ПРЕДГОВОР Книгата во прв ред е наменета за студентите од трета година на Факултетот за електротехника и информациски технологии во Скопје, кои на насоката за компјутерско системско инженерство и автоматика го слушаат предметот проектирање на системи на автоматско управување. Меѓутоа, таа успешно ќе им послужи и на сите останати студенти од техничките факултети кои го изучуваат или се сретнуваат со проблеми од широкото подрачје на синтеза на затворени системи на автоматско управување како, на пример, на студентите од машинските, технолошките и металуршките факултети. Несомнено, корисни примери и информации во книгата ќе најдат и сите оние кои веќе работат во областа на синтезата на затворените системи на автоматско управување или само се интересираат за неа. Системите на автоматско управување имаат многу широка примена во индустријата, техниката и нашето секојдневие, поаѓајќи од авионите и вселенските летала, па преку роботите и индустриските процеси, до апаратите што ги користиме во нашиот секојдневен живот. Знаењето на еден инженер автоматичар нема да биде комплетно, ако покрај анализата, тој не ја владее и синтезата на овие системи. Како што анализата му овозможува да ги разбере системите на автоматско управување и нивните својства, така синтезата му овозможува истите да ги проектира односно направи. Генерално земено, тоа е крајната цел на секој еден инженер автоматичар. Извонредно важната и сложена проблематика на синтезата на затворени системи на автоматско управување (САУ) во книгата е поделена на шест поглавја и е изложена преку голем број од околу двестотини решени примери. Во првата глава се дефинирани показателите на квалитет на поведението на еден затворен САУ. Основна цел при проектирањето на секој еден САУ е исполнување на проектните барања кои го опишуваат саканото поведение на проектираниот систем. Тие проектни барања се сведуваат на ограничување на вредностите од параметрите на одделните карактеристики на системот, какви што се: пропусниот опсег, резонантниот врв, времето на смирување на отскочниот одѕив, максималниот прескок во отскочниот одѕив итн. Општо земено, без оглед дали се искажани преку параметрите на карактеристиките на проектираниот систем во фреквентен или временски домен, проектните барања ги специфицираат следните три важни својства на еден САУ: брзината на одѕив, релативната стабилност и грешката на системот. Во првата глава е покажано како се пресметуваат одделните параметри на проектираните системи и нивното влијание врз особините и поведението на тие системи. Втората глава е посветена на аналитичката синтеза на затворените САУ. За разлика од многубројните показатели на квалитетот на поведението на еден затворен САУ во преоден режим, какви што се: времето на прескок, максималниот прескок, времето на пораст и времето на смирување на преодниот одѕив, пропусниот опсег, резонантниот врв, резервите на засилување и фаза и др., сигналот на грешка е единствен показател на сите битни динамички карактеристики на еден систем - резервата на стабилност и брзината на одѕив на системот. Затоа тој може да се искористи како критериум за vii

синтеза на еден затворен САУ. Целта на синтезата во овој случај е да се одбере таква структура и такви вредности на променливите параметри на системот (параметри кои можат да се нагодуваат), што грешката во системот, која се дефинира како разлика помеѓу саканиот и стварниот одѕив на системот, во секој миг на време да биде минимална. Во втората глава, повторно низ решени примери, се прикажани различните аналитички критериуми за синтеза на затворените САУ кои го користат сигналот на грешка, и нивната практична примена. Во третата глава е воведен поимот за синтеза на затворените САУ по пат на компензација и прикажани различните видови компензации и компензатори. Преку голем број решени задачи се прикажани својствата на основните три типа компензатори диференцијален, интегрален и интегро-диференцијален и нивното влијание врз поведението на некомпензираниот систем. Во четвртата глава станува збор за фреквентна синтеза на затворените САУ со помош на Најквистовата крива на соодветниот отворен систем за проектираниот затворен систем. Затоа оваа синтеза многу често популарно се нарекува Најквистова фреквентна синтеза. Решените примери ја третираат Најквистовата синтеза на еден затворен САУ со компензација на засилувањето, со примена на диференцијален компензатор, со примена на интегрален компензатор и со примена на интегро-диференцијален компензатор. Петтата глава е посветена на фреквентната синтеза на затворените САУ со помош на Бодеовите дијаграми на соодветниот отворен систем за проектираниот затворен систем. Тоа е веројатно една од најпопуларните постапки за синтеза во праксата, заради фактот дека фреквентните карактеристики на еден систем се добиваат мошне едноставно и по експериментален пар. Повторно низ решени примери е прикажана Бодеовата синтеза со компензација на засилувањето, со примена на диференцијален компензатор, со примена на интегрален компензатор и со примена на интегро-диференцијален компензатор. Во шестата глава се дадени решени примери од областа на синтеза на затворените САУ со помош на постапката на геометриско место на корени. За таа цел низ соодветни примери најнапред е опишана самата постапка на добивањето на геометриското место на корени на еден затворен САУ, а потоа е илустрирана и нејзината примена во синтезата на затворените САУ по пат на компензација со диференцијален, интегрален и интегро-диференцијален компензатор. Авторот најискрено им се заблагодарува на рецензентите за многу полезните сугестии кои допринесоа кон подобрување на содржината на ова издание. Скопје, мај 6 Од авторот, viii

СОДРЖИНА. ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ. АНАЛИТИЧКА СИНТЕЗА НА ЗАТВОРЕНИ САУ 5. СИНТЕЗА СО КОМПЕНЗАЦИЈА И КОМПЕНЗАТОРИ 99. ФРЕКВЕНТНА СИНТЕЗА НА ЗАТВОРЕНИ САУ СО ПОМОШ НА НАЈКВИСТОВА КРИВА 67 5. ФРЕКВЕНТНА СИНТЕЗА НА ЗАТВОРЕНИ САУ СО ПОМОШ НА БОДЕОВИ ДИЈАГРАМИ 6. СИНТЕЗА СО ПОМОШ НА ГЕОМЕТРИСКО МЕСТО НА КОРЕНИ 99 ЛИТЕРАТУРА 95 ix

x

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ. ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ Врз основа на карактеристиките на еден систем на автоматско управување (САУ), било во временски било во фреквентен домен, се дефинираат одредени параметри, кои се користат како показатели на квалитетот на поведението на набљудуваниот систем. Овие показатели можат да се поделат во четири групи:. Показатели на точноста на работа на системот во стационарен режим, кои служат за оценка на големината на грешката на системот во стационарен режим. Показатели на резервата на стабилност на набљудуваниот систем, кои служат како мерка за оддалеченоста на набљудуваниот систем од неговата граница на стабилност. Показатели на брзината на дејствување на системот, кои служат како мерка за брзината на одѕив на набљудуваниот систем на различни влезни возбуди и пореметувања. Интегрални показатели, кои го карактеризираат преодниот режим на системот Првата група показатели го карактеризираат стационарниот режим на работа на еден САУ, додека останатите го карактеризираат неговиот преоден режим. Како мерка за оценка на квалитетот на поведението на еден затворен САУ во стационарен режим, кога соодветниот отворен систем G има астатизам од нулти ред, се употребува константата на положба p : p p lim G lim G за котинуални системи за дискретни системи (.) Како мерка за оценка на квалитетот на поведението на еден затворен САУ во стационарен режим, кога соодветниот отворен систем G има астатизам од прв ред, служи брзинската константа v : v v lim G за континуални системи G за дискретнисистеми lim (.) СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ Квалитетот на поведението на еден затворен САУ во стационарен режим, кога неговиот отворен систем G има астатизам од втор ред, се оценува преку константатата на забрзување : lim G за континуални системи (.) G за дискретни системи lim Точноста на работата на еден затворен континуален САУ во стационарен режим, за различни референтни влезни сигнали y t и различен ред на астатизам на соодветниот отворен систем G се прикажани во Таблица.. Таблица.. Стационарната грешка на затворен континуален САУ за различен референтен влезен сигнал и отворен систем со различен ред на астатизам влез астатизам Точноста на работата на еден затворен дискретен САУ во стационарен режим, за различни референтни влезни сигнали y k и различен ред на астатизам на соодветниот отворен систем G се прикажани во Таблица.. СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ Таблица.. Стационарната грешка на затворен дискретен ДСАУ за различен референтен влезен сигнал и отворен систем со различен ред на астатизам влез астатизам Карактерот на преодниот процес во еден систем зависи од неговите динамички својства: брзината на одѕив и степенот на релативна стабилност. Оценката на овие својства се врши врз основа на бројните вредности на параметрите на системот кои го карактеризираат неговиот одѕив на типична влезна возбуда најчесто отскочен или простопериодичен сигнал. Со други зборови, динамичките својства на еден систем можат да се утврдат врз основа на неговиот отскочен или фреквентен одѕив. Параметрите кои го опишуваат отскочниот одзив на еден затворен САУ се: - период на осцилациите во отскочниот одѕив. Се дефинира како временско растојание помеѓу два соседни максимуми на отскочниот одѕив. M p - прескок. Се дефинира како разлика помеѓу првиот максимум и стационарната вредност на отскочниот одѕив на системот. Најчесто се изразува во % од стационарната вредност на одѕивот и служи за одредување на динамичката грешка на системот (грешката во преоден режим), односно како мерка за точноста на работата на системот во преоден режим. Исто така се користи како мерка за степенот на релативна стабилност на системот. T p - време на пораст на одѕивот. Се дефинира како време потребно отскочниот одѕив на системот да порасне од % на 9% од својата стационарна вредност. Величината на овој параметар ја карактеризира брзината на одѕив на системот, како и неговата СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ способност за што поверна репродукција на влезните сигнали. Притоа, што е поголемо времето на пораст T, тоа се поголеми изобличувањата на влезните сигнали. Кај p системите со прескок помал од % важи една битна и многу едноставна емпириска релација помеѓу времето на пораст и ширината на пропусниот опсег, изразена во Херци: T p f.. (.) T d - време на доцнење. Тоа е времето потребно отскочниот одзив да достигне половина од својата стационарна вредност. Величината на овој параметар покажува со колкаво задоцнување по моментот на возбудување на системот на неговиот излез ќе се појави значителен сигнал и, следствено, служи како мерка за брзината на одзив на системот. T - време на смирување на осцилациите. Тоа е времето потребно амплитудата на осцилациите во отскочниот одзив да падне под одредена вредност, на пример, под % или 5% од вредноста на одзивот во стационарен режим. По времето T, за практични цели, преодниот процес во набљудуваниот систем може да се занемари. T m - доминантна временска константа на системот. Се дефинира како време потребно анвелопата на амплитудите од преодниот процес да опадне на 7% од својата почетна вредност. Како и времето на смирување T, се користи за оцена на времетраењето на преодниот режим. Кај стабилните линеарни динамички системи од прв и втор ред амплитудите на преодниот процес исчезнуваат по експоненцијален закон одреден со t членот e,. Тогаш, доминантната временска константа кај овие системи се одредува како времето за кое експонентот t ќе биде еднаков на, па: T m (.5) Кај системите од повисок ред T m се проценува врз основа на положбата од доминантните полови на системот во ѕ комплексната рамнина. Доминантни полови за еден систем од повисок ред се оние полови кои имаат доминантно влијание врз преодниот одѕив на системот (компонента на одѕивот на системот која го карактеризира неговиот преоден режим на работа), а тоа е конјугирано комплексниот пар полови од преносната функција на системот, кои се наоѓаат најблизу до имагинарната оска во ѕ комплексната рамнина. Нивната положба во ѕ рамнината е определена со непридушуваната фреквенција на системот n и факторот на релативно придушување, па во ваков случај: T m (.6) n СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ Еден таков типичен отскочен одѕив е прикажан на Слика.. M.6. Step Repone. otkoen odiv x(t).8.6.....6.8. T p T m vreme t (e) T Слика.. Типичен отскочен одѕив на еден континуален САУ За систем од втор ред опишан со преносната функција: G (.7) n n n временските показатели на квалитет се определуваат по формулите:.6.6 T p ;..8 (.8) n T m n (.9) СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ 5

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ T n M e M / e (.) (.) (.) Параметрите M r, r, и T d, кои го одредуваат изгледот на фреквентните карактеристики на еден затворен САУ од Слика., се користат за оценка на брзината на одѕив на системот, неговите карактеристики како филтер и квалитетот на репродукција на влезните сигнали..77 Слика.. Типичен изглед на фреквентните карактеристики на еден затворен САУ Тие се дефинираат на следниот начин: 6 СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ M r - вредност на максимумот на амплитудно-фреквентната карактеристика на затворениот систем: j mx G M r mx G (.) Се нарекува уште резонантен врв и се користи за оценка на степенот на релативна стабилност (резерва на стабилност) на набљудуваниот систем. r - резонантна фреквенција. Се дефинира како фреквенција при која настапува резонантниот врв M r и служи за оцена на резервата на стабилност на набљудуваниот систем. G G - пропусен опсег. Понекогаш, кога амплитудно-фреквентната карактеристика има резонантен врв, се дефинира како фреквенција при која карактеристиката повторно поприма вредност по резонантниот врв. Меѓутоа, најчесто се дефинира како фреквенција при која амплитудно-фреквентната карактеристиката G поприма вредност.77 или db. Фреквенцијата ја одредува широчината на пропусниот опсег на набљудуваниот систем, од која што зависат неговите филтерски својства и брзината на одѕив. Може да се покаже дека брзината на одѕив на еден систем е директно пропорционална со големината на неговиот пропусен опсег. Што се однесува до филтерските карактеристики на системот, треба да се има на ум дека пречките и шумовите што го напаѓаат системот често имаат фреквентни спектри концентрирани на многу тесен опсег фреквенции. Следствено, ако системот има соодветни филтерски својства, кои го спречуваат преносот на сигнали токму во опсегот фреквенции на кој дејствуваат шумовите, а го овозможуваат надвор од тој опсег, тој ќе биде во состојба да го отстрани влијанието на пречките и шумовите врз управуваната променлива. T d - време на доцнење. Се дефинира како наклон на фазната фреквентна карактеристика на набљудуваниот систем: T d d (.) d и служи како мерка за инерцијата односно брзината на одзив на системот. За квалитетна репродукција на влезните сигнали, фазно фреквентната карактеристика треба да биде линеарна функција од на целиот опсег од фреквентниот спектар на влезниот сигнал. Селективност. Се дефинира како величина на наклонот на амплитудно фреквентната карактеристика G во околина на фреквенцијата и служи како мерка за способноста на системот да ги елиминира пречките и шумовите, чиј фреквентен спектар СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ 7

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ паѓа во доменот фреквенции непосредно на или зад. Селективноста секогаш може да се изрази како целоброен производ од факторот db / de. Така селективноста може да изнесува db / de, db / de итн. За оценка на степенот на релативна стабилност, односно резервата на стабилност на еден затворен САУ, наместо фреквентните карактеристики на самиот затворен систем, многу често се користи фреквентната карактеристика на соодветниот отворен систем G. Една таква карактеристика G j е прикажана на Слика.. Фреквентната карактеристика G j уште се нарекува Најквистова крива и служи за оцена на стабилноста на затворениот систем. Така, под претпоставка на стабилен отворен систем, набљудуваниот затворен систем ќе биде стабилен доколку критичната точка (, j j ) се наоѓа надвор од карактеристиката G. Колку критичната точка, j е подалеку од карактеристиката j, толку затворениот систем ќе биде постабилен. G Како мерка за оддалеченоста на затворениот систем од неговата граница на стабилност се користат параметрите d и r, кои се дефинираат на следниот начин: r - резерва на фаза. Ако со на фаза r се означи фреквенцијата за која G j може да се претстави како збир од аргументот на j G и o 8 :, резервата r o 8 rg G j во степени (.5) при што се нарекува пресечна фреквенција на засилување. Кај стабилните системи резервата на фаза е позитивен агол, кај нестабилните е негативен. Ако r, системот е на граница на стабилност. Еден систем ќе има дотолку поголема резерва на стабилност, доколку r е поголемо. d - резерва на засилување. Ако со се означи фреквенцијата за која, резервата на засилување d може да се претстави како реципрочна rg G j вредност од модулот на фреквентната преносна функција j G за : d (.6) G j при што се нарекува пресечна фреквенција на фаза. Кај стабилните системи d, додека кај нестабилните d. Ако d, системот се наоѓа на границата на стабилност. Резервата на стабилност на еден систем е дотолку поголема, доколку d е поголемо од. 8 СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ Слика.. Илустрација на резервите на засилување и фаза на еден затворен САУ Поведението на еден затворен линеарен дискретен систем на автоматско управување во временски домен може да се карактеризира преку истите временски показатели како и поведението на еден континуален САУ, ако се примени смената: T e (.7) Исто така, за анализа на поведението на еден затворен линеарен дискретен систем на автоматско управување во фреквентен домен можат да се користат истите фреквентни показатели како и за континуалните САУ, ако се примени билинеарната трансформација: (.8) Притоа се применува следната постапка:. Замена на комплексната променлива во преносната функција G на соодветниот отворен систем со смената (.8) СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ 9

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ. Замена на комплексната променлива од преносната функција G, добиена во претходниот чекор, со смената фреквентни карактеристики преку G j и генерирање на соодветните j. Одредување на пресечните фреквенции на засилување и фаза, резервите на засилување и фаза, ширината на пропусниот опсег и сите други фреквентни показатели на квалитетот на поведението на генерираниот систем. Трансформација на критичните фреквенции одредени во претходниот чекор од фреквентното подрачје во комплексната рамнина во фреквентното подрачје во комплексната рамнина според формулата T rtg (.9) Што се однесува до интегралните критериуми за оценка на квалитетот на поведението на еден САУ, нив им е посветена следната глава од збирката, а овде само ќе биде наведено дека овие показатели се во вид на интеграл во кој подинтегралната функција за аргумент го има сигналот на грешката: J Fet dt (.) G СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ.. На Слика. е прикажана влезно - излезната карактеристика на засилувач во улогата на регулатор во еден затворен систем на автоматско управување, чии останати компоненти се сите линеарни. Кој е линеарниот опсег на грешката e t во вака дефинираниот затворен САУ? Решение: Бараниот опсег на грешката t e во набљудуваниот затворен САУ е определен со линеарниот дел од карактеристиката на Слика.: t e (.) ut.5.... -. -. e t -. -. -.5 - -8-6 - - 6 8 Слика.. Влезно - излезна карактеристика на регулаторот во еден затворен САУ.. Да се определи времето на доцнење T d за еден континуален динамички систем, чиј отскочен одѕив има облик: x t e t, t Решение: Трајната вредност x на отскочниот одѕив t е: x t lim xt lim e t t па од дефиницијата на времето на доцнење T d следува: x T T e d. x (.) x на набљудуваниот систем (.) d 5 (.) Оттука за T d се добива: T T e d.5.5 e d Td ln.69 (.5) СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ.. Да се определи времето на пораст T p на отскочниот одѕив на системот од претходната задача. Решение: Времето за кое отскочниот одѕив на набљудуваниот систем достига % од својата трајна вредност изнесува: x 9 t t e.x t ln. e. додека времето за кое истиот достига 9% од својата трајна вредност е: x t t e.9x t ln. e. Следствено: (.6) (.7) T p t t...98 e. (.8).. Да се определи времето на пораст T p за отскочниот одѕив на еден дискретен динамички систем со преносна функција: G, (.9) Решение: Отскочниот одѕив на набљудуваниот дискретен динамички систем е: x kt Z X Z G H Z Z k, k а неговата стационарна вредност изнесува: k lim xkt lim k k (.) x (.) Како дискретен сигнал, тој не мора да ги има точните вредности. и.9, па се усвојуваат вредностите. и. 9 : x ln.9 k (.) ln k k T.x k ln. xkt.9x k ln (.) ln ln. ln.9 T p k T k T T T 9 ln ln ln (.) СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ.5. Да се определи времето на смирување на отскочниот одѕив на затворениот систем од Слика.5, ако во системот дејствуваат само единични отскочни пореметувања n t. (Упатство: времето на смирување на отскочниот одѕив да се дефинира како време за кое амплитудите на одѕивот ќе отстапуваат за помалку од % од неговата стационарна вредност.) Решение: Под претпоставка дека t Слика.5. Илустрација кон Задача.5 y : X G (.5) N па, за одѕивот на набљудуваниот систем се добива: X GN (.6) или, во просторот на оригиналите: x t L X L L e Од дефиницијата на времето на смирување на еден систем следува: t, t (.7) T x T e.x T log.98.e. (.8).6. Да се определи процентуалниот износ од максималниот прескок на отскочниот одѕив за системот од Слика.6. _ Слика.6. Илустрација кон Задача.6 СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ Решение: Од Слика.6 непосредно следува: 6 G (.9) G 6 n G (.) G 6 n n Оттука: n 6 n 6 (.) n n 6 (.) M % e e 8.77% 9% (.).7. Да се определи вредноста на максималниот прескок во отскочниот одзив на системот од долната слика, ако 9. _ Слика.7. Илустрација кон Задача.7 Решение: Преносната функција на набљудуваниот затворен систем е: G G n (.) G n n Оттука: (.5) n n 5 5 n 5 (.6) n 5 Бидејќи, може да се заклучи дека отскочниот одѕив на набљудуваниот систем нема прескок. Навистина, за 9, системот од Слика.7 има пар прости реални СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ полови во точките и 9, па неговиот отскочен одѕив е апериодичен и од облик: x t L G L 5 t 5 e e 9 9 6 9 t, t (.7) Истиот е прикажан на Слика.8.. Otkoen odiv n itemot G()=/( ++9)..8 otkoen odiv x(t).6.. 5 6 vreme t (e) Слика.8. Графички приказ на отскочниот одѕив на системот од Задача.7.8. Да се определи времето на пораст, времето на смирување, времето на максимален прескок и самиот максимален прескок на отскочниот одѕив на затворениот систем од долната слика, ако: G (.8) _ Слика.9. Илустрација кон Задача.8 СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ 5

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ Решение: Од изразот за преносната функција непосредно следува: G n G на набљудуваниот затворен систем G (.9) G n n n n (.5) n (.5) n T p.6.6.6 n.6.6.6.5 (.5) T n e. (.5). Otkoen odiv n itemot G()=/( ++) otkoen odiv x(t)..8.6 Sytem: G Rie Time (e):.5 Sytem: G Pek mplitude:. Overhoot (%):. At time (e):.8 Sytem: G Settling Time (e):. Sytem: G Finl Vlue:.. 5 6 vreme t (e) Слика.. Графички приказ на отскочниот одѕив на затворениот систем од Задача.8 6 СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ T M n M % e e.%.e. (.5) (.55).9. На Слика. е прикажан затворен систем за автоматско управување со брзината на движење на возило. Да се пресмета максималниот прескок и стационарната грешка на брзината на возилото за единична отскочна влезна возбуда. Y X Слика.. Илустрација кон Задача.9 Решение: Преносната функција на соодветниот отворен систем е: G (.56) па, за преносната функција на затворениот систем од Слика. се добива: G G G (.57) Оттука: (.58) n n 5 5 n (.59) n M % e.% (.6) Отскочниот одѕив на набљудуваниот затворен систем од Слика. е прикажан на Слика.. СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ 7

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ.. Otkoen odiv n itemot G()=/( ++) Sytem: G Pek mplitude:. Overhoot (%):. At time (e):.989 otkoen odiv x(t).8.6 Sytem: G Rie Time (e):.9 Sytem: G Settling Time (e):. Sytem: G Finl Vlue:.8...5..5..5..5..5.5 vreme t (e) Слика.. Графички приказ на отскочниот одѕив на затворениот систем од Задача.9 Неговата стационарна грешка може да се определи со помош на втората гранична теорема на Лапласовата трансформација: E e G lim Y E lim 6 (.6) (.6).. Да се определи времето на смирување и максималниот прескок на отскочниот одѕив на затворениот систем од долната слика. За која вредност на неопределениот параметар времето на смирување ќе биде помало од e.? Y X Слика.. Илустрација кон Задача. 8 СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ Решение: G G (.6) n G (.6) G n n (.65) n n n (.66) 8 8 T 5.65 (.67) T n 8 e. (.68) M % e e.% (.69).. Да се пресмета времето на смирување и максималниот прескок на отскочниот одѕив на затворениот дискретен систем од долната слика, ако: T.e., T.e. и T e. Y T X G Слика.. Илустрација кон Задача. СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ 9

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ Решение: За да се определи дискретен модел на затворениот систем од Слика., најнапред треба да се определи дискретниот еквивалент на континуалниот систем G, под претпоставка за форматор од нулти ред на неговиот влез: G T e Z G T e Z Z Z T T T e T e Te T e T T (.7) e Оттука, карактеристичниот полином X G ќе биде: Y на дискретната преносна функција T T T T e e T e Te T T T T e e Te (.7) За.e. T.98. 9 има конкретен облик: (.7) и нули во точките:.98. (.7), j Со смената во следните точки во T e, половите (.7) на дискретниот модел G се пресликуваат комплексната рамнина:, ln,.9997 j. (.7) T кои претставуваат полови на соодветниот континуален еквивалент. Карактеристичниот на тој континуален еквивалент е: полином X Y СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ n n (.75) од каде што непосредно следува:.6999 (.76).8 (.77) n T.e. n M % e e.6% (.78) (.79) За T.e. :.7. (.8), j, ln,.897 j.7 T (.8).695 (.8).875.78 (.8) n.9 (.8) T.858e. n (.85) M % e 7.99% (.86) За T e. :.5. 867 (.87).88.59 (.88), j, ln,.9 j.59 (.89) T.9 (.9) СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ n. (.9) T 9.597e. n (.9) M % e.99% (.9) На крај добиените резултати треба да се споредат со параметрите на континуалниот систем кој се добива кога од шемата на Слика. се исфрлат дискретизаторот и форматорот од нулти ред. Тој е идентичен со системот од Задача.8 и неговата структурна блок - шема е прикажана на Слика.9. Следствено, за него важи: n n (.9) n (.95) n T n M % e e. e.% (.96) (.97) Како што може да се забележи од долната таблица, со зголемувањето на периодот на дискретизација T, параметрите на дискретниот модел сѐ повеќе отстапуваат од параметрите на континуалниот систем. Во праксата се смета дека при изборот на T е сосема задоволително да се усвои фреквенција на дискретизација која е пати поголема од пропусниот опсег на системот. Меѓутоа, понекогаш е потребно дискретизацијата да се изведува побавно, односно со поголем период T. Тогаш квалитетот на динамичкиот одзив на дискретниот модел се намалува заради зголеменото доцнење што го внесува форматорот од нулти ред пропорционално со T и зголеменото влијание на пречките. Таблица.. Параметри на изворниот континуален систем и неговите дискретни модели Континуален систем Дискретен модел со T.e. Дискретен модел со T.e. Дискретен модел со T e. T e.. e..858 e. 9.597 e. M %.%.6% 7.99%.99% СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ.. Даден е затворениот систем од долната слика. Да се определи коефициентот на засилување и полот p на компензаторот, така што отскочниот одзив на системот ќе има максимален прескок од 8.8% и време на смирување t.. при критериумот од %. Потоа по пат на симулација на отскочниот одѕив да се провери добиениот резултат. G Y p X Слика.5. Илустрација кон Задача. Решение: Од условот за максималниот прескок се добива: M e.88 (.558) 6.9 ln.559 6.9.88. 558.559.97.65 (.98) Од условот за времето на смирување следува: t rd. n n t.65. e (.99) Преносната функција на затворениот систем од Слика.5 е: G P p G G P p p p n (.) n па, оттука, непосредно следуваат релациите: СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ n p (.) n p (.) со чие решавање се добива: p 5, (.) Добиениот резултат може да се провери со симулација на отскочниот одѕив на затворениот систем од Слика.5, чија што преносна функција G за компензаторот: G (.) p 5 изнесува: G P P 5 G G (.5) Овој отскочен одѕив е прикажан на Слика.6..9.8 Sytem: G Pek mplitude:.8 Overhoot (%): 8.8 At time (e):. Step Repone Sytem: G Time (e):. Amplitude:.757.7 Sytem: G Finl Vlue:.75.6 otkoen odiv x(t).5.....5..5..5..5..5.5 vreme t (e) Слика.6. Отскочен одѕив на затворениот систем од Слика. СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ.. Да се определи пропусниот опсег на еден затворен континуален САУ, чија преносна функција е: G (.6) Решение: Амплитудно - фреквентната карактеристика на набљудуваниот систем е: G j G (.7) и таа е прикажана графички на Слика.7. log G j G -5 - Amplitudn frekventn krkteritik Sytem: g Frequeny (rd/):.996 Mgnitude (db): - db Mgnitude (db) -5 - -5 - -5 По дефиниција: - - - Frekvenij (rd/) Слика.7. Амплитудно - фреквентна карактеристика на системот од Задача. G. 77 (.8) па за пропусниот опсег на набљудуваниот систем се добива: rd (.9).77 СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ 5

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ.. Да се определат резонантниот врв M r и резонантната фреквенција r за континуалниот систем со преносна функција: 5 G (.) 5 Решение: Фреквентната преносна функција на набљудуваниот систем е: 5 G j (.) 5 j а нејзиниот модул изнесува: G j 5 5 6 5 5 (.) Резонантниот врв r за фреквенција r, па M е дефиниран како најголема вредност на G j се добива од условот за екстрем на функцијата j r, која се постига G : d G d j d d 5 5 6 5 (.) додека: M r G 5 5 j. 5 r r 6r 5 (.).5. Даден е затворениот континуален систем со единична негативна повратна врска од Слика.8. Преносната функција на соодветниот отворен систем е: 6 G (.5) _ Слика.8. Илустрација кон Задача.5 6 СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ Да се определат пресечната фреквенција на засилување и резервата на фаза за овој систем. Решение: Фреквентната преносна функција на отворениот систем (.5) е: G j6 j j j (.6) со модул и аргумент определени со следните изрази: j6 6 G j (.7) j j 6 G j rtg6 rtg rg rtg (.8) 5 Bode Digrm Gm = Inf, Pm = deg (t.5 rd/e) Mgnitude (db) -5 - -5 - -5 Phe (deg) -5-9 - - Frequeny (rd/e) Слика.9. Бодеови дијаграми на отворениот систем од Задача.5 Оттука, по дефиниција, за пресечната фреквенција на засилување се добива: 6 G 6 6 j 6 СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ 7

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ 6 6 6 6 (.9) па, резервата на фаза на набљудуваниот затворен систем ќе биде: G j 8 rtg rtg rtg. o r 8 rg 6 (.) Овие вредности можат да се прочитаат и од Бодеовите дијаграми на отворениот систем, прикажани на Слика.9..6. Да се определи резервата на засилување d на еден затворен континуален САУ, ако соодветниот отворен систем е опишан со преносната функција: G (.) Решение: По дефиниција: d (.) G j каде што: G j (.) j е фреквентната преносна функција на отворениот систем G j rtg G. Од условот: rg (.) следува дека пресечната фреквенција на фаза на набљудуваниот систем е: tg.7 (.5) па за резервата на засилување се добива: d G j j tg 8 (.6) 8 СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ.7. Да се определи резервата на фаза r на системот од претходната задача. Решение: Од условот: G j j (.7) следува дека пресечната фреквенција на засилување на набљудуваниот систем изнесува: (.8) Следствено, по дефиниција: G j 8 rtg 8 rd o r 8 rg (.9).8. Да се определи врската помеѓу резервата на фаза и факторот на релативно придушување на затворениот систем од втор ред со преносна функција: G (.) n n n Решение: Затворениот систем (.) може да се претстави со структурната шема од Слика.. _ Слика.. Илустрација кон Задача.8 Фреквентната преносна функција G j на соодветниот отворен систем набљудуваниот затворен систем е од облик: G j n j n и таа има модул еднаков на за фреквенцијата : G j n n j n n G за (.) n -n СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ 9

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ n Резервата на фаза на набљудуваниот систем, по дефиниција, е: rf 8 9 rtg n 9 rtg rtg (.) (.) Релацијата (.) ја дава врската помеѓу резервата на фаза и факторот на релативно пригушување на системот (.) и таа графички е прикажана на Слика.. Едновремено, релацијата (.) ја дефинира врската помеѓу фреквентниот и временскиот одзив на набљудуваниот систем. Реалната крива од Слика. може да се апроксимира со права, прикажана на Слика. со испрекината линија, опишана со изразот:. rf (.) Апроксимацијата е задоволително точна за. 7. р е л а т и в н о п р и д у ш у в а њ е.8.6... Резерва на фаза во степени Слика.. Врска помеѓу резервата на фаза и факторот на релативно придушување кај системот (.) СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ.9. Да се определи средната вредност на временската константа на доцнење T d во фреквентниот опсег на еден затворен САУ, чиј отворен систем има преносна функција: G (.5) Решение: Фреквентната преносна функција на соодветниот отворен систем за набљудуваниот затворен систем е: j j G j (.6) j од каде што следува дека фазно - фреквентната карактеристика на отворениот систем ќе биде: rtg (.7) Имајќи ја на ум дефиницијата на константата на доцнење на еден континуален САУ: d T d (.8) d за бараната средна вредност се добива: T T d redno d d d d d d rtg rtg rtg.7 e (.9).. Да се определи редот на астатизам на отворениот систем за дадените затворени системи од Слика., како и нивната стационарна грешка за единичен отскочен влез. а) б) Слика.. Илустрација кон Задача. СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ Решение: а) Преносната функција на отворениот систем за затворениот систем од Слика..а) е: 5. G (.) и таа има трикратен пол во точката. Следствено, отворениот систем има астатизам од трет ред. Грешката на набљудуваниот затворен систем во комплексното подрачје е дадена со изразот: E Y (.) G па, за нејзината стационарна вредност се добива: e lim t G lim et lim E lim G бидејќи: lim G 5. lim lim G Y (.) (.) б) Преносната функција на отворениот систем за затворениот систем од Слика..б) е: 5 G (.) и таа нема полови во точката. Следствено, отворениот систем има астатизам од нулти ред. Стационарната грешка на набљудуваниот затворен систем изнесува: e lim t e t lim G (.5) бидејќи: lim G lim 5 (.6) СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ.. Да се определи редот на астатизам на отворениот систем за затворениот систем од y t 5th t. Слика., како и неговата стационарна грешка за линеарно растечки влез _ Слика.. Илустрација кон Задача. Решение: Преносната функција на отворениот систем за затворениот систем од Слика. е: 5 5 5 G (.7) и таа има прост пол во точката. Следствено, отворениот систем има астатизам од прв ред и неговата стационарна грешка изнесува: e lim et lim E lim t G 5 5 lim G lim G бидејќи: 5 5 lim G lim Y (.8) (.9).. Да се определи стационарната грешка во затворениот систем од Слика. за y t 5t h t. влезна возбуда од облик _ Слика.. Илустрација кон Задача. СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ Решение: e lim et lim E lim t G lim G бидејќи: lim G lim lim G 5 Y (.5) (.5).. Да се определи стационарната вредност на грешката во затворениот САУ од Слика.5. _ Решение: Со оглед на тоа дека: lim G lim. 5 Слика.5. Илустрација кон Задача. (.5) за стационарната грешка на затворениот систем од Слика.5 за единичен отскочен влез се добива: e lim et lim E lim Y G t lim G (.5) lim G.. Да се определи вредноста на параметарот во затворениот САУ од Слика.6, за која стационарната грешка за единичен отскочен влез ќе изнесува.. Решение: e. 99 (.5) СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ.5. Да се определи стационарната грешка на отскочниот одѕив во затворениот САУ од долната слика. За која вредност на променливиот параметар таа грешка ќе биде нулева? _ Слика.6. Илустрација кон Задача.5 Решение: 5 G (.55) 5 5 E e 5 5 5 GY Y (.56) lim et lim E 5 5 5 lim t Y 5 5 5 lim 5 (.57) 5 e 5 (.58).6. Да се определи најмалата вредност на параметарот во стабилниот затворен САУ од Слика.7, за која стационарната грешка на системот предизвикана од единични n t ќе биде помала од %. Под претпоставка,. отскочни пореметувања Слика.7. Илустрација кон Задача.6 СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ 5

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ Решение: Со оглед на тоа дека набљудуваниот затворен систем од Слика.7 има два влеза, референтниот влез y t и пречките n t, неговиот одѕив x t ќе има две компоненти: X N Y X N Y X N X Y X N Y X N Y X N Y Аналогно, и грешката во системот et yt xt ќе има две компоненти: (.59) E Y X Y Y N Y X Y N E E Карактеристичниот полином на затворениот систем е: y n (.6) (.6) и тој ќе биде Хурвицов полином за секое. Тогаш, за стационарната грешка en се добива: en lim En (.6) и таа ќе биде помала од % за секое : e n. (.6) 6 СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ 7.7. Да се определат константите на грешка за затворениот систем од Слика.8 и да се пресмета стационарната грешка на системот кога на неговиот влез е доведен единичен отскочен, линеарно растечки и параболичен влез. Слика.8. Илустрација кон Задача.7 Решение: Бараните константи на грешка се: G p lim lim (.6) 6 lim lim G v (.65) lim lim G (.66) Стационарната грешка на набљудуваниот систем од Слика.8 за единичен отскочен влез е: p y e (.67) за променлив влез со константна брзина на промена v таа изнесува: 6 v y e (.68) додека за променлив влез кој се менува по параболичен закон со константно забрзување има вредност: y e (.69) _

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ.8. За затворениот систем од Слика.9 да се определат константите на грешка p, v и. Слика.9. Илустрација кон Задача.8 Потоа да се определи стационарната грешка на системот, доколку на неговиот влез е доведен референтен сигнал: y t t 5t h t (.7) Решение: Преносната функција на отворениот систем систем од Слика.9 е: G G за набљудуваниот затворен (.7) 5 5 5 5 па за константите на грешка се добива: p lim G lim 5 (.7) v lim G lim 5 (.7) lim G lim 5 (.7) Ако влезот (.7) се претстави на следниот начин: t y t y t y t y (.75) каде што: t t y h (.76) 8 СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

t ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ t y th (.77) y t 5 t t h (.78) стационарната грешка e во набљудуваниот систем може да се претстави како збир од стационарните грешки предизвикани од влезните компоненти y t, y t и y t, одделно: e e e e (.79) Притоа: e p (.8) v e v (.8) e (.8) Така, за e се добива: e e e e (.8).9. Да се определат константите на грешка и стационарната грешка за затворениот дискретен систем од сл.., ако на неговиот влез дејствуваат сигналите: ykt hkt (.8) ykt kthkt (.85) y (.86) kt kt hkt соодветно. _ Слика.. Илустрација кон Задача.9 СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ 9

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ Решение: За влезот (.8), со Z-слика:, Y (.87) стационарната грешка во системот од Слика. е: Y G E kt e e k lim lim lim lim 8 lim 5 (.88) Ако на влезот од системот дејствува референтниот сигнал (.85), чија што Z-слика е:, T Y (.89) за неговата стационарна грешка се добива: Y G E kt e e k lim lim lim lim T 8 lim 5 T (.9) Конечно, стационарната грешка во системот од Слика., кога на неговиот влез дејствува референтниот сигнал (.86), со Z-слика:

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ, T Y (.9) е: Y G E kt e e k lim lim lim lim T lim 5 T T T (.9) Грешките (.88), (.9) и (.9) можат да се определат и преку константите на грешка p, v и, кои изнесуваат: lim lim G p (.9) lim lim G v (.9) lim lim lim G.95).. Да се определи стационарната грешка во затворениот систем од Слика., доколку на влезот од системот дејствува референтен сигнал од облик: t h t t t y 5.5, а преносната функција на соодветниот отворен систем е: 5 G (.96) Слика.. Илустрација кон Задачата. _

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ Решение: Константите на стационарната грешка за набљудуваниот затворен систем од Слика. се: 5 lim lim G p (.97) 5 lim lim G v (.98) 5 lim lim G (.99) Следствено, за самата грешка се добива: 5 G Y G E 5 G G G (.) Y G E t e e t lim lim lim 5 lim G G G G G G lim lim lim 5.5 5 v p (.).. Даден е затворениот САУ од Слика.. Да се определи приближниот модел од втор ред за неговиот отворен систем. Потоа, за вака апроксимираниот затворен систем, да се определи вредноста на параметарот за која стационарната вредност на грешката на неговиот отскочен одѕив ќе изнесува приближно % од трајната вредност на одѕивот. Слика.. Илустрација кон Задача. _

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ Решение: Преносната функција G на соодветниот отворен систем за набљудуваниот затворен систем од Слика. е: 5 G (.) 5 и таа има три пола во точките: * *, j ; 5 (.) Следствено, отворениот систем е од трет ред. Меѓутоа, бидејќи полот 5 се наоѓа многу далеку од имагинарната оска во левата полурамнина од комплексната * рамнина во споредба со останатите два пола, j, неговото влијание врз поведението на системот е занемарливо, па може да се испушти од моделот на отворениот систем. Така се добива апроксимативниот модел на отворениот систем: ~ G ~ ~ ; (.) во кој новата вредност на коефициентот на засилување ~ е одбрана така што апроксимативниот модел (.) да има ист стационарен отскочен одѕив како и изворниот систем (.). Отскочниот одѕив на затворениот систем од Слика., со апроксимираниот модел на ~ отворениот систем G, е: ~ ~ G ~ X Y ~ ~ G ~ (.5) па, неговата стационарна вредност x изнесува: ~ ~ x lim xt lim X lim ~ ~ (.6) t Од друга страна, грешката на системот за отскочна влезна возбуда е: E ~ Y ~ G ~ (.7) и нејзината стационарна вредност ќе изнесува % од трајната вредност x за : ~ ~ e lim et lim E lim ~ ~. ~ (.8) t * СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ.. Даден е линеарниот стационарен континуален динамички систем од прв ред со еден влез y t и еден излез x t, чија влезно-излезна динамика е опишана со преносната функција: G, ont. (.9) а) Да се определи аналитички и графички отскочниот одѕив на набљудуваниот систем б) Да се определи временската константа на системот в) Да се определи времето на пораст на отскочниот одѕив на набљудуваниот систем г) Да се определи времето на смирување на отскочниот одѕив на системот. д) Да се определи ширината на пропусниот опсег на системот. Слика.. Симболичен приказ на линеарниот стационарен континуален систем од Задача. Решение: ) Отскочниот одѕив на набљудуваниот систем е опишан со аналитичкиот израз: x t L X L GY t L L e h t (.) и графички е прикажан на Слика...6 Слика.. Графички приказ на отскочниот одзив на системот од Слика. СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ б) Преносната функција на набљудуваниот систем може да се запише во облик: G T m (.) од каде се гледа дека временската константа на системот е: T m e. (.) Временската константа T m може да се опише како време за кое отскочниот одѕив на набљудуваниот систем прикажан на Слика., ќе порасне до 6% од својата трајна односно стационарна вредност: x t T t e, t xt e m e.7. 6 m (.) в) По дефиниција:... T p t t ln ln ln 9 (.) 9 каде што времето t се одредува од условот: x t e. t ln 9. t (.5) а времето t од условот: x t e.9 t ln. t (.6) г) Ако времето на смирување се дефинира како време за кое амплитудите на одѕивот ќе отстапуваат за % или помалку од својата стационарна вредност, тогаш тоа ќе изнесува: x t. e. 98x T ln. ln 5 t 9 (.7) д) Фреквентната преносна функција на системот од Слика. е: G j (.8) j а нејзиниот модул изнесува: СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ 5

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ G j (.9) Широчината на фреквентниот опсег на набљудуваниот систем се определува од условот: G j.77 и изнесува: (.) (.).. Да се проектира затворен ДСАУ како на Слика.5, во кој континуалниот објект на управување, под претпоставка, има преносна функција: P T (.) така што неговиот излез (управуваната големина) во стационарен режим ќе има константна вредност. Т Т влез _ D/A регулатор форматор објект излез Слика.5. Структурна блок-шема на типичен затворен ДСАУ со еден референтен влез излез. Да се дефинира референтниот влез t x t y t и еден y.. Да се одреди видот на дискретниот регулатор односно соодветниот управувачки закон со кој ќе се оствари поставената цел.. Да се оцени точноста на работа на вака проектираниот систем во стационарен режим. 6 СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ 7. Да се оцени точноста на работа на проектираниот ДСАУ во стационарен режим кога на неговиот влез се доведе променлив сигнал со константна брзина на промена v. 5. Колку изнесува најмалата вредност на стационарната грешка во случајот под. Решение:. Саканиот излез на проектираниот ДСАУ се задава преку отскочниот референтен влез: t h t y (.). ДСАУ од Слика.5 ќе биде во состојба идеално да следи отскочен референтен влез во стационарен режим само доколку соодветниот отворен систем има астатизам од прв ред. Бидејќи објектот на управување P нема полови во (има астатизам од нулти ред), потребниот астатизам на отворениот систем мора да се обезбеди преку дискретниот регулатор R, кој мора да има прост пол во точката. Затоа за управувачки закон се одбира дискретниот еквивалент на И-регулатор: R (.). Дискретната преносна функција на континуалниот објект на управување P, кога се земе предвид и форматорот од нулти ред, е: T Z T Z P e Z P T, T T T T T T T T e e e e (.5) додека отворениот систем има преносна функција:, e e P R G T T T T (.6) Оттука: lim lim T T T T p e e G (.7)

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ 8 СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ p e (.8) па проектираниот ДСАУ идеално ќе го следи референтниот влез t h t y, односно: x (.9). Брзинската константа на проектираниот ДСАУ изнесува: lim lim e e G T T T T v (.) а неговата стационарна грешка за линеарно променлив влез е: T v T v e v (.) 5. Оваа грешка може да се намалува преку зголемување на вредноста на параметарот на регулаторот R, при што треба да се внимава на стабилноста на затворениот систем. Карактеристичниот полином на затворениот ДСАУ од Слика.5 е: T T T T e e G T T T T T T e e e G (.) а неговата параметарска област на стабилност се добива од условите: e e e e T T T T T T T T (.) T T e (.) T T T T T T T T e e e e (.5) и е дадена со неравенството:

ПОКАЗАТЕЛИ НА КВАЛИТЕТОТ НА ПОВЕДЕНИЕТО НА ЕДЕН САУ e (.6) T T e T T Следствено, вредноста на параметарот на регулаторот R не смее да биде поголема од вредноста одредена со горната граница на параметарската област на стабилност... Даден е затворен линеарен стационарен континуален динамички систем со единична негативна повратна врска. Бодеовите дијаграми на слабеење и фаза на соодветниот отворен систем се прикажани на Слика.6. Да се определат пресечната фреквенција на засилување, пресечната фреквенција на фаза, резервата на засилување и резервата на фаза за набљудуваниот систем, ако фреквентната преносна функција на отворениот систем е: j G j (.7) j j j.5 Решение: Бидејќи дијаграмот на фаза никогаш не минува низ правата 8, пресечната фреквенција на фаза не може да се определи. Следствено, не може да се определи ни резервата на засилување. Пресечната фреквенција на засилување е.6e, а резервата на фаза изнесува: G j.6 8 5 8 rg (.8) Bode Digrm leenje (db) - - -6-6 Phe (deg) -9 - -5 - - frekvenij (rd/e) Слика.6. Бодеовите дијаграми на слабеење и фаза на соодветниот отворен систем од Задача. СИНТЕЗА НА СИСТЕМИ ЗА АВТОМАТСКО УПРАВУВАЊЕ - ЗБИРКА ЗАДАЧИ 9